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★ 数列 / ピー
問題です。
No.230 - 2008/04/04(Fri) 13:17:54
☆ Re: 数列 / ピー
回答です。
a(n＋1)=pa(n)＋q＾(n)
を考えたのですがよく分かりませんでした。

宜しくおねがいします
No.231 - 2008/04/04(Fri) 13:19:17
☆ Re: 数列 / ヨッシー
q＾(n) は、q^n で十分です。
必要以上のカッコは、かえって見にくいです。

さて、
「an+1=pan＋qn を考えた」というのは、
解答のように、ｂn＝３nａn と置くことは、
思いつきそうもないので、そのように置いたということでしょうか？

解答をわざわざ載せた行為と、本文が噛み合わなかったので、
聞いてみました。
No.233 - 2008/04/04(Fri) 13:46:46
☆ Re: 数列 / ピー
何度もすいません
回答を見ても分からなかったので
a(n＋1)の前の3＾(n＋1)を無くしたかったので3＾(n＋1)を両辺に割ると
an+1=pan＋qn
の式にあてはまると思っていたのですが分かりませんでした
No.234 - 2008/04/04(Fri) 14:25:00
☆ Re: 数列 / ヨッシー
残念ながら、
　an+1=pan＋qn
の形にはなりません。
解答のパターンで理解してください。

いかにも、
（第n+1項)＝(第n項)＋１
という形が見えています。
No.237 - 2008/04/04(Fri) 15:38:09
☆ Re: 数列 / ピー
ヨッシーのおかげで漸化式は理解できました
S(n)-(1/3)S(n)は
a(n＋1)=S(n＋1)-s(n)
を利用しているのですか？
No.239 - 2008/04/04(Fri) 16:31:54
☆ Re: 数列 / ヨッシー
違います。

もし、ａn＝1/3n で、
　Ｓn＝a1＋a1＋・・・＋an
であるとき
　　Ｓn＝1/3＋1/9＋・・・＋1/3n
　(1/3)Ｓn＝1/9＋1/27＋・・・1/3n+1
として、上から下を引き
　Ｓn−(1/3)Ｓn＝1/3−1/3n+1
としますよね？(等比数列の和の公式です)

発想はこれと同じです。
No.241 - 2008/04/04(Fri) 18:22:48
☆ Re: 数列 / ピー
等比数列の和の公式ですね。
参考書にも同じのが載ってました。
教えていただいてどうもありがとうございました
No.249 - 2008/04/05(Sat) 13:33:40
★ てすと / yuuka
てすと
No.225 - 2008/04/04(Fri) 10:59:21
★ 最小値 / ピー
すべての正の数x,yに対して、不等式
(√x)＋(√y)≦k√(3x＋y)が成り立つような実数kの最小値を求める問題で

回答の下から2乗の式についてXはどこに消えてしまったのか分からないので教えてください

それから
回答の一番したの不等式の3(k＾2)-1>0の不等式>と
(k＾2)【3(k＾2)-4】≧0の不等式の≧の記号が違いますが
>,≧はどのようにちがうのですか？
3(k＾2)-1≧0は駄目でしょうか？
No.223 - 2008/04/03(Thu) 23:14:50
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
Ｘが消えたのは、おそらくミスプリでしょう。
市販の問題集ですか？

3k2-1≧0は駄目です。
3k2-1＝0 のとき、不等式の左辺がいくつになるか
計算してみれば分かります。
No.224 - 2008/04/04(Fri) 09:05:43
☆ Re: 最小値 / ピー
はい。市販の参考書です。

3(k＾2)-1=0を計算すると
k=(1/√3),-(1/√3)になりました
0より小さい値が出るから≧は駄目なのですか？
No.226 - 2008/04/04(Fri) 11:31:29
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
数学力＝読解力 ですよ！
「不等式の左辺がいくつになるか」と書きました。
k=1/√3 または k=-1/√3 のときに、
(3k2-1){X-Y/(3k2-1)}2＋(3k4-4k2)Y2/(3k2-1)
は、いくつになりますか？
(3k2-1){X-Y/(3k2-1)}2＋(3k4-4k2)Y2/(3k2-1)≧0
を満たしていますか？
ということです。
No.227 - 2008/04/04(Fri) 12:07:08
☆ Re: 最小値 / ピー
k=1/√3 または k=-1/√3
を代入しましたら
0≧0になってしまいました
これは成り立たないので
だから3k2-1＞0となるんですね。
ありがとうございました
No.228 - 2008/04/04(Fri) 12:34:44
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
違いますよ！大警告！
(誤りその１)左辺は０ではありません。
(誤りその２)０≧０ は正しい不等式です。
No.232 - 2008/04/04(Fri) 13:38:05
☆ Re: 最小値 / ピー
左辺は０ではないのですか？
k=1/√3 または k=-1/√3 は2乗すると1/3になり
式に代入すると
０になりました。
No.235 - 2008/04/04(Fri) 14:29:13
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
途中の式を書いてみてください。
最低でも、
　・・・・・・＝０
と、０になる直前の式を書いてみてください。
No.236 - 2008/04/04(Fri) 14:35:44
☆ Re: 最小値 / ピー
(3k＾2-1){X-Y/(3k＾2-1)}＾2＋(3k＾4-4k2)Y2/(3＾k2-1)
k＾2=1/３を代入すると
(1-1)【x-【Y/(1-1)】】＋【{3*(1/9)-4*(1/3)}/(1-1)】*(Y＾2)≧0
より
0＋【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2)≧0
になりました
No.238 - 2008/04/04(Fri) 15:56:27
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
3k^2-1=0 のときに、
　(3k＾2-1){X-Y/(3k＾2-1)}＾2＋(3k＾4-4k2)Y2/(3＾k2-1)＝０
になるというのが、ビーさんの主張ですよね？
0＋【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2) では、０になっていませんよね？

ちなみに、
(1-1)【x-【Y/(1-1)】】も、０ではありません。
（２乗が抜けているとかいう些末事は、この際どうでも良いです。）

というか、そろそろ最重要事項に気付いて。
No.240 - 2008/04/04(Fri) 18:16:59
☆ Re: 最小値 / ピー
(1-1)【x-【Y/(1-1)】】は0じゃないのですか？
0は何をかけても0だと思っていました

０＊【x-【Y/(0)】＾2になります
No.243 - 2008/04/04(Fri) 21:18:42
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
百歩、いや、∞歩譲って、０＊【x-【Y/(0)】^2 が０だとして、
【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2) は？
No.244 - 2008/04/05(Sat) 00:15:58
☆ Re: 最小値 / ピー
【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2)
はわかりませんでした
分母が0なので答えは0以外ですよね？
是非教えてください
よろしくおねがいします
No.246 - 2008/04/05(Sat) 09:22:01
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
ようやく、本質に入ってきましたね。
>分母が0なので答えは0以外ですよね？
と書くと、答えがどこかにあるみたいに見えますが、
答えはどこにもありません。
計算自体存在しないのです。
だから、3k2-1 が分母に残った時点で、
3k2-1=0 の可能性は、完全に消滅しているのです。
No.247 - 2008/04/05(Sat) 10:01:38
☆ Re: 最小値 / ピー
存在しないんですね。
分かりました
毎回ありがとうございます。
ヨッシーさんからいろいろな知識を教えてもらって毎日新たな発見をしています。
どうもありがとうございます
No.248 - 2008/04/05(Sat) 13:32:57
★ 積分 / ピー
a,bを正の定数とする。
曲線y=acosx、ｘ軸、ｙ軸とで囲まれた部分の面積を、曲線
y=bsinxが2等分するとき、a：bを最も簡単な整数の比で表す問題です。
ただし、0≦x≦(π/2)

y=six
y=cosのグラフしか描けないのでこの問題は分かりませんでした。
よろしくおねがいします
No.216 - 2008/04/03(Thu) 15:23:24
☆ Re: 積分 / ピー
回答の続き
No.218 - 2008/04/03(Thu) 15:24:26
☆ Re: 積分 / ヨッシー
y=sin(2x+π/3) のようなグラフならともかく
（これとて、積分をやる段階では描けないといけませんが)
y=a・cosx は、y=cosx のグラフをｙ軸方向にａ倍に引き延ばした
だけなので、描けるでしょう。

図は、ａ＝ｂの場合のグラフです。
網掛けをした２つの部分の面積が等しくなるように、ａ，ｂを
調節します。

比を求めるだけなので、a=1 などに固定して良いでしょう。
No.221 - 2008/04/03(Thu) 19:29:55
☆ Re: 積分 / ピー
ヨッシーさんどうもありがとうございました
acosx=bsinx
として考えて求める事ができました。
図ありがとうございます
No.222 - 2008/04/03(Thu) 23:06:01
★ 春休み課題 / 北4
すみません。書き直しました。
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc
No.215 - 2008/04/03(Thu) 15:05:31
☆ Re: 春休み課題 / ラディン.ms
(与式)=a(b^2+c^2)+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2+2abc
　　　=(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+bc(b+c)
　　　={(b+c)a+c(b+c)}(a+b)
　　　=(b+c)(c+a)(a+b)
です
No.220 - 2008/04/03(Thu) 15:34:21
★ 春休み課題 / 北3
教科書の大問30番
2 2 2 2 2 2
a(b +c )+b(c +a )+c(a +b )+2abc
分かりにくいかと思いますが上段の 2 は２乗のことです。
No.212 - 2008/04/03(Thu) 14:34:25
☆ Re: 春休み課題 / らすかる
2乗がどこについているかわかりません。
例えば aの2乗 は a^2 のように書いてください。
No.213 - 2008/04/03(Thu) 14:42:20
★ 春休み課題 / 北２
すみません。
さきほどの質問にファイルを添付し忘れたので
改めて投稿します。
大問38番 （３）と大問39番（１）〜（４）
No.210 - 2008/04/03(Thu) 14:12:23
☆ Re: 春休み課題 / kei
38(3)

3+5=1+7に着目すれば、展開順序の方針がたちます。
(与式)={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+15
=(x2-8x+7)(x2-8x+15)+15
=y(y+8)+15=y2+8y+15=(y+3)(y+5)

(y=x2-8x+7とおきました。)

という具合ですね。

39(1)
x4と定数項の4=22に着目し、(x2+2)2を考えてみる。二乗の差の形に帰着します。

(2)
上と同じで、着目すべきはx4と1
こんどは(x2+1)2ではなく(x2-1)2を考えましょう。

(3),(4)
(1),(2)と同じです。
No.211 - 2008/04/03(Thu) 14:33:36
☆ Re: 春休み課題 / ﾒｸﾞﾐ
> すみません。
> さきほどの質問にファイルを添付し忘れたので
> 改めて投稿します。
> 大問38番 （３）と大問39番（１）〜（４）

ごめんなさい解法を具体的にお願いします。
No.464 - 2008/04/27(Sun) 00:56:01
★ 春休み課題 / 北
この度、志望校に合格することができました。
その高校の春休みの課題についての質問です。
大問38番 （３）と大問39番（１）〜（４）の
解法が分かりません。
それと、教科書の大問30番の解法が分かりません。
よろしくお願いします。
No.209 - 2008/04/03(Thu) 13:59:28
★ 円 / ピー
xy平面上において、x軸上に原点Ｏと異なる位置にある点Aをとり、点Ａを中心とした半径ＯＡの円をかく。
また、この円の外側のx軸上に点Ｂ、y軸上に点Ｃを、線分BCがこの円と異なる2点で交わるようにそれぞれとり、線分BCと円との交点を、点Bに近い方からＰ，Ｑとする。
いま、BP=PQ=QCとなるときOA：ABを最も簡単な整数の比で表すといくらかという問題。


どんな図形になるか分かりません。
図形の書きかたを教えてください
No.197 - 2008/04/03(Thu) 09:13:26
☆ Re: 円 / ピー
回答です
No.200 - 2008/04/03(Thu) 09:16:25
☆ Re: 円 / ヨッシー
図の描き方が分からないということなので、次のどの段階で止まっているか
チェックしてみてください。
１．ｘ軸とｙ軸を描く
２．x軸上に原点Ｏと異なる位置にある点Aをとる
３．点Ａを中心とした半径ＯＡの円を描く
４．円の外側のｘ軸上に点Ｂを取る。
５．円の外側のｙ軸上に点Ｃを取る。
６．線分BCがこの円と異なる2点で交わっているかチェックし
　　交わっていなければ、別の位置に点Ｂ、点Ｃを取り直す。
ここまでです。BP=PQ=QC であるように調整する必要は
特にありません。
No.201 - 2008/04/03(Thu) 09:28:37
☆ Re: 円 / ヨッシー
上の解答とは違う、図形的に解いたものを
私のページに載せました。
ただし、図はおあずけです。
No.203 - 2008/04/03(Thu) 11:27:35
☆ Re: 円 / ピー
図形の描き方で6番を教えてください
半径OAの円の外側に点Bと点Ｃを置いたのですが円と交わりません。　接線になってしまいます。
半径OAの内側に点を置けば2点交わりますが
No.205 - 2008/04/03(Thu) 12:44:48
☆ Re: 円 / ヨッシー
点Ａをたとえば、(2,0) にしましょう。
半径２の円を描くと、円の右端は(4,0) になりますね？
点Ｂをその少し右、(5,0) くらいに取りましょう。
点Ｃを(0,2) くらいにして、ＢＣを結べば．．．
ほら２点と交わりましたね。
No.206 - 2008/04/03(Thu) 13:05:51
☆ Re: 円 / ピー
ありがとうございます。
交わりました
No.207 - 2008/04/03(Thu) 13:10:36
☆ Re: 円 / ヨッシー
とりあえず、おあずけ解除。
No.208 - 2008/04/03(Thu) 13:12:37
☆ Re: 円 / ピー
ヨッシーさん図も解説もありがとうございます。
凄く分かりやすかったです。
どうもありがとうございます
No.214 - 2008/04/03(Thu) 15:00:28
☆ Re: 円 / ヨッシー
あれはあれとして、上の、円の方程式を使う方法も、
理解しておきましょうね。
No.219 - 2008/04/03(Thu) 15:30:33
★ 区分求積 / kkk
放物線y＝ｘ^2/4および点F(０，１)をとる。
Oを原点として放物線上に点A（ｘ、ｙ）（ｘ＞０）をとるとき、∠OFA=θ、FA=ｒとする。
（１）ｒをθを用いて表せ。
（２）放物線上にｎ個の点A1（x1,y1）,A2（x2,y2）…Aｎ（xｎ,yｎ）をxn＞０かつ、∠ＯFＡk=kπ/2n(k=1,2,3…,ｎ)を満たすようにとる。
lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]FＡkを求めよ。



（１）はできました。
ｒ＝２/(1+cosθ)
（２）は解答では
lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]FＡk
＝lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]１/cos^2(kπ/4n)
＝∫[0,1](１/cos^2(πx/4))dx
＝［4/πtanπx/4］(0→１)
＝4/π
としてましたが、自分はこうしました。

lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]FＡk
＝lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]１/cos^2(kπ/4n)
＝∫[0,π/4]{１/cos^2(x)}*4/πdx
＝［4/πtanx］(0→π/4)
＝4/π
これだと区分求積じゃなくなってしまいますか？
１/nずつを4/π倍したつもりです…

今年の熊本前期入試です。お願いします。
浪人です。
No.194 - 2008/04/03(Thu) 02:03:13
☆ Re: 区分求積 / ヨッシー
u=πx/4 とおいて、
du＝(π/4)dx より dx＝(4/π)du
0≦ｘ≦1 は、0≦u≦π/4 に対応
として、置換積分したものになっていますので、
特に問題はないと思います。
No.195 - 2008/04/03(Thu) 08:47:19
☆ Re: 区分求積 / kkk
ありがとうございました。
安心しましたｍ（_ _）ｍ
No.202 - 2008/04/03(Thu) 10:16:01
★ (No Subject) / shuse
三角形ABCにおいて,面積が1でAB＝2であるとき,BC^2＋(2√3-1)AC^2の値を最小にするような∠BACの大きさを求めよ.

お願いします
No.180 - 2008/04/02(Wed) 12:47:49
☆ (No Subject) / ヨッシー
∠Ａや∠Ｂが鈍角になると、その角が直角の時より、
ＡＣもＢＣも長くなるので、最小になり得ません。
よって、点Ｃは下のような範囲を動き、∠ＢＡＣも、それに応じた
範囲の角であるとします。


∠ＢＡＣ＝θとおき、ＣからＡＢにおろした垂線の足をＨとすると、ＣＨ＝１ より
　ＡＣ＝1/sinθ、ＡＨ＝1/tanθ
よって、ＢＨ＝２−ＡＨ＝２−1/tanθ
三平方の定理より
　ＢＣ2＝１＋(２−1/tanθ)2
ＢＣ2＋(2√3−1)ＡＣ2
　＝１＋(２−1/tanθ)2＋(2√3−1)/sin2θ
　＝{sin2θ＋(2sinθ−cosθ)2＋(2√3−1)}/sin2θ
　＝{5sin2θ−4sinθcosθ＋cos2θ＋(2√3−1)}/sin2θ
　＝(4sin2θ−4sinθcosθ＋2√3)/sin2θ
　＝{2-2(1−2sin2θ)−2sin2θ＋2√3}/sin2θ
　＝(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)/sin2θ
f(θ)＝(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)/sin2θ と置きます。θで微分して
f'(θ)＝{(4sin2θ−4cos2θ)sin2θ−sin2θ(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)}/sin4θ
　　＝{(4sin2θ−4cos2θ)(1−cos2θ)−2sin2θ(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)}/2sin4θ
　　＝{(4sin2θ−4cos2θ)−2sin4θ＋4cos22θ−2(2＋2√3)sin2θ＋2sin4θ＋4sin22θ}/2sin4θ
　　＝{(4sin2θ−4cos2θ)＋4−2(2＋2√3)sin2θ}/2sin4θ
　　＝(−2cos2θ＋2−2√3sin2θ)/sin4θ
　　＝{2−4sin(2θ＋π/6)}/sin4θ
よって、α≦θ≦π/2　(α＝tan-1(1/2)) の範囲において、
　α≦θ≦π/3 のとき、f'(θ)≦0、π/3≦θ≦π/2 のとき f'(θ)≧0
よって、最小値は θ＝π/3 のとき。
答え　∠ＢＡＣ＝π/3
No.182 - 2008/04/02(Wed) 16:12:48
☆ Re: / shuse
なるほど。分かりました

ありがとうございます
No.184 - 2008/04/02(Wed) 17:28:17
★ 図形 / ピー
三角形ABCにおいて、辺AB,B,CAを1：２に内分する点をそれぞれD,E,Fとする。
また、線分BFと線分CD、線分CDと線分AE,線分AEと線分BFとの交点をそれぞれP,Q,Rとする。
三角関係ABCの面積をS,三角形PQRの面積をTとするとき,T=kSを満たす実数Kの値は？という問題です。

答えは1/7

自分の解き方は
Dを通りBCに平行な線を引きAＥとの交点をGと置きました。
平行線と線分の比からDG:BE=AD:AB=1:3
布良薄の定理より
(3/1)*(2/1)*(QR/AQ)=1
より
AQ:QR=6:1
までしか進みませんでした。
教えてください
No.172 - 2008/04/02(Wed) 09:00:18
☆ Re: 図形 / ヨッシー
AB,BC,CA ですね。
また、布良薄→メネラウス　です。
さらに、解答の記号が、ちょっと食い違っています。
ＡＱ：ＱＥ＝６：１　ですね？
同様に　ＢＲ：ＲＦ＝６：１、ＣＰ：ＰＤ＝６：１ です。

△ＡＢＥ、△ＢＣＦ、△ＣＡＤ はいずれも、△ＡＢＣの1/3倍の
面積です。つまり、
　△ＡＢＥ＋△ＢＣＦ＋△ＣＡＤ＝△ＡＢＣ
ところが、△ＢＱＥ、△ＣＲＦ、△ＡＰＤ の部分が重なっており、
その分の隙間が、△ＰＱＲとして現れています。つまり、
　△ＰＱＲ＝△ＢＱＥ＋△ＣＲＦ＋△ＡＰＤ
です。
△ＢＱＥ、△ＣＲＦ、△ＡＰＤは、それぞれ、
△ＡＢＥ、△ＢＣＦ、△ＣＡＤの、1/7倍なので、
△ＡＢＣの(1/3)×(1/7)＝1/21 (倍) の面積です。
それが３つあるので、
　△ＰＱＲ＝△ＡＢＣ×(1/21)×３＝(1/7)△ＡＢＣ
つまり、
　Ｔ＝(1/7)Ｓ
となります。

次に、算数としての解き方。
(実際に同様の問題が、中学入試で出ています)

図のように、△ＰＱＲを１３個並べてあるところに、
４つの三角形で出来た平行四辺形の対角線を引いて
作ったのが△ＡＢＣです。
１３個の三角形のうち、△ＡＢＣからはみ出た分は、
２×３＝６(個分)　なので、△ＡＢＣは、△ＰＱＲの
　１３−６＝７(個分)
の面積といえます。(以下略)
No.174 - 2008/04/02(Wed) 09:45:22
☆ Re: 図形 / ピー
ＡＱ：ＱＥ＝６：１についてなのですが
もう一度メネラウスの定理について考えたのですが
(BC/BE)*(AF/FC)*(RE/AR)=1
(RE/AR)=1/6
AR：RE=6：１でも合ってますか？
No.176 - 2008/04/02(Wed) 11:30:19
☆ Re: 図形 / ヨッシー
記号の取り方を間違えてました。

上の記事の４〜５行目は
ＡＲ：ＲＥ＝６：１　ですね？
同様に　ＢＰ：ＰＦ＝６：１、ＣＱ：ＱＤ＝６：１ です。
が正しいです。
No.177 - 2008/04/02(Wed) 11:43:03
☆ Re: 図形 / ピー
図形の添付どうもありがとうございます。
　　△ＰＱＲ＝△ＢＱＥ＋△ＣＲＦ＋△ＡＰＤ
がわかりませんでした。
これは公式のようなものですか？

参考書の回答は
S=△ABCとおくと
△AQC=(6/7)△ABC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
同様に△ABR=△BCF=(2/7)S
△PQR=△ABC−(△AQC＋△ABR＋△BCF)
=(1/7)S
と書いてあるのですが、
△AQC=(6/7)△ABC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
の意味が分かりませんでした
No.178 - 2008/04/02(Wed) 11:51:58
☆ Re: 図形 / ヨッシー
公式というわけではありません。
(下図参照)

△AQC=(6/7)△ADC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
ですね。
No.179 - 2008/04/02(Wed) 12:44:49
☆ Re: 図形 / ピー
図ありがとうございます。
でも△AQC=(6/7)△ABC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
がよくわかったです。
まず△AQC=(6/7)△ABCについて教えて頂けませんか？
No.181 - 2008/04/02(Wed) 13:42:26
☆ Re: 図形 / ヨッシー
重ねて言いますが、
　△AQC=(6/7)△ABC
ではなく
　△AQC=(6/7)△ADC
です。高さが共通なので、底辺の比　ＣＤ：ＣＱ＝７：６
が面積比になります。
No.183 - 2008/04/02(Wed) 16:43:57
☆ Re: 図形 / ピー
△ＰＱＲ＝△ＢＱＥ＋△ＣＲＦ＋△ＡＰＤ
というのについてまだ違和感があります。
四角だとわかるのですが三角形だと難しいです


何度も同じような質問を繰りえしてばかりですいません。
もう一つ分からない点があってDG:EC=1:6もわかりませんでした
No.187 - 2008/04/02(Wed) 19:04:20
☆ Re: 図形 / ヨッシー
あ、それも、記号を取り違えていた頃の式です。
正しくは、
△ＰＱＲ＝△ＡＱＤ＋△ＢＲＥ＋△ＣＰＦ
です。

また、DG:EC=1:6 ではなく、ＤＱ：ＱＣ＝１：６ です。
No.192 - 2008/04/03(Thu) 00:41:14
☆ Re: 図形 / ピー
ヨッシーさん
長い間この問題を親切に解説いて頂いて感謝しています。
どうもありがとうございました
No.196 - 2008/04/03(Thu) 09:06:20
★ 因数分解 / るー

失礼します。
これから高校1年生です。

ｘ2＋６ｘ＋３

こういう問題を
解の公式使わないで
やる方法ってどんなのですか?
「２で割って２乗…」
みたいのをうっすら思い出したのですが…
No.161 - 2008/04/01(Tue) 19:08:20
☆ Re: 因数分解 / rtz
x2はx^2と表記しましょう。
それからその式自体は方程式ではないので解は出ませんし、
(有理数での)因数分解も出来ません。

x2＋6x＋3＝0の解を求めると言うことなら、
x2＋6x＋9−6＝0
(x＋3)2＝6
x＋3＝±√6
x＝−3±√6
とできます(が、時間的にはロスだと思います)。
No.162 - 2008/04/01(Tue) 19:32:59
☆ お答ありがとうございますっ / るー
ああっごめんなさい
「=0」忘れてました；

「x^2＋6x＋3＝0」
これから
どれをどういう風に計算すれば
「x^2＋6x＋9−6＝0」
これになるんですか?

たびたびすみません。
No.163 - 2008/04/01(Tue) 19:51:01
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
x^2＋6x に、あと何か足して、(x+□)^2 の形にしようと考えます。
すると、x^2＋6x＋9＝(x＋3)^2 を思いつくわけですが、
　x^2＋6x＋9
では、x^2＋6x＋3 に比べて 6 大きいので、引いておきます。つまり、
　x^2＋6x＋3＝x^2＋6x＋9−6
です。その先は、rtz さんの書かれたとおりです。

では、ax2+bx+c＝0 (a≠0) を、同じように解くと？
と考えて、x=・・・ の形にしたのが、解の公式です。
No.164 - 2008/04/01(Tue) 19:58:16
☆ Re: 因数分解 / るー
なるほど!ですっ
rtzさん、ヨッシーさん
ありがとうございました!!

また質問した時は
よろしくお願いします(。。*
No.165 - 2008/04/01(Tue) 20:40:58
☆ Re: 因数分解 / zero
http://b4.spline.tv/study777/?message=487

n-1次の係数=0化
No.169 - 2008/04/01(Tue) 22:52:30
★ 確率 / ピー
1〜20の整数の中からどの２つの数の差も2以上となるような3つの数を取り出す方法は全部で何通りかという問題で考え方を教えてください

1〜20までの整数の中から3つの数を取り出す場合の数は20C3より1140通りですが。

どの2数の差も2以上の3つの数の余事象は
〇連続した2数とこれらとの差が2以上の数
と
〇３つの連続した数
の2種類ですがどうしてこの２種類の余事象になるのかが創造できませんでした。
No.150 - 2008/04/01(Tue) 11:36:10
☆ Re: 確率 / ヨッシー
まずは、簡単に解ける方法を。
1〜18 までの数から、３つ選び(連続していても良い)、
一番大きい数に２を足し、真ん中の数に１を足すと、
条件にあった３つの数を選んだのと同じになります。
よって、18Ｃ3＝816(通り)
No.152 - 2008/04/01(Tue) 11:46:18
☆ Re: 確率 / ヨッシー
余事象というのは、1140 通りのうち、条件に合わないものです。
>〇連続した2数とこれらとの差が2以上の数
は、(1,2,4)(1,2,5)(2,3,5)(1,3,4)などです。
>〇３つの連続した数
は、(1,2,3)(2,3,4)などです。
これらは、条件(どの２つの数の差も2以上となる)を満たしていません。
よって、1140 から、これらの選び方（それぞれ 306通り,18通り)を
引いた、1140-(18+306)＝816(通り) となります。
No.153 - 2008/04/01(Tue) 11:57:27
☆ Re: 確率 / ピー
何度もすいません
どの2数の差も2以上の3つの数というのは
例えば
(1,3,4)(2,4,5)といった数ですか？
No.155 - 2008/04/01(Tue) 13:46:59
☆ Re: 確率 / ヨッシー
(1,3,4) は、3と4が差が１なのでダメです。
(2,4,5) は、4と5が差が１なのでダメです。
上に挙げた、(1,2,4) などは、太字の数字が差が1になっているので、
ダメな例です。
ダメな例の寄せ集めが余事象で、それらを1140 から引くのです。

ちなみに、どの2数の差も2以上の3つの数は、
(1,3,5)などです。
1と3は差が2(2以上)、3と5は差が2(2以上)、1と5は差が4(2以上) で、
どの2数の差も2以上です。
No.157 - 2008/04/01(Tue) 13:57:23
☆ Re: 確率 / ピー
どうもありがとうございました。
余事象を考える問題は解けましたが簡単に解ける方法難しくてわかりませんでした
No.159 - 2008/04/01(Tue) 17:30:19
☆ Re: 確率 / ヨッシー
簡単に解ける方法の説明
●●●●○●●●●○○●●●●●●●
18個のボールから３個を選びます。(隣り合っても良い)
上の図は、(5,10,11)を選んだところです。
次に、○と○の間に●を割り込ませます。
●●●●○●●●●●○●○●●●●●●●
すると、20個のボールから３個選んで、その差が少なくとも
２である選び方(5,11,13)になります。

このように、
１８個のボールから３個を選ぶ方法　と
２０個のボールから３個を選び、どの２個のボールも隣り合わないようにする方法
とは、１対１に対応します。
No.160 - 2008/04/01(Tue) 17:37:23
☆ Re: 確率 / ピー
どうもありがとうございました。
たとえば20個のボールから３個選んで、その差が少なくとも
3以上はなれている場合は
17C3となるのでしょうか？
No.166 - 2008/04/01(Tue) 21:07:35
☆ Re: 確率 / ヨッシー
16Ｃ3 になります。
３個選んでから、間に２個ずつ計４個を割り込ませないと
いけませんから。
No.170 - 2008/04/01(Tue) 22:58:33
☆ Re: 確率 / ピー
ヨッシーさんどうもありがとうございます。
初めよく分からなかったのですが図を何回も見てやっとこと理解できました。
こんなに簡単に求める方法があるなんて知りませんでした。
どうもありがとうございます。
No.171 - 2008/04/02(Wed) 08:45:32
★ (No Subject) / 桜
こんばんは。
よろしくお願いいたします。

0≦x≦4における関数f(x)=x^2-2ax+2a+3の最大値をM(a),最小値をm(a)とする。M(a),m(a)をそれぞれの式で表せ。

という問題がまったくわかりませんでした(>_<*)
解説お願いいたします。

よろしくお願いいたします。
No.144 - 2008/03/31(Mon) 23:50:24
☆ (No Subject) / ヨッシー
私のページに解答を載せました。
No.146 - 2008/04/01(Tue) 00:15:35
☆ Re: / 桜
とてもわかりやすかったです。
ありがとうございました。
No.191 - 2008/04/02(Wed) 23:12:17
★ 分数関数　 / ピー
2つの複素数Z,Wが|Z|=1,W=(6Z-1)/(2Z-1)を満たす時|W|の最小値はいくらかという問題です。

Z=x＋iyとおいて
|W|＾2= (37-12x)/(5-4x)
=3＋【22/(5-4x)】

x=5/4, y=3までは理解できたのですが
グラフの描き方が分からないので教えてください
漸近線はx=5/4, y=3にしてどのように描くのかわかりません。
グラフが分からないのでどうしてx=−１になるのかもわかりませんでした。

何回も質問してすいません。
いろいろと助かります
No.133 - 2008/03/31(Mon) 16:39:30
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
|W|2＝３＋22/(5-4x)
において、|Z|＝1 より、-1≦ｘ≦1 なので、
分母は 1≦5-4x≦9 の範囲を取るので、
5-4x＝9 のときに |W|2 は最小になる。
5-4x＝9 となるのは、x=-1 のときで、このとき
|W|2＝３＋22/9＝49/9
|W|＝7/3
No.134 - 2008/03/31(Mon) 18:24:58
☆ Re: 分数関数　 / ピー
どうして5-4x＝9 と表すのかがよくわかりませんでした。
この問題はグラフが描けなくても解けますか？
No.135 - 2008/03/31(Mon) 19:12:03
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
>グラフが描けなくても解けますか？
描けるに越したことはありません。
>グラフを描かなくても解けますか？　ならば
上の通り解けます。

ｘが　1≦ｘ≦9 の範囲の数を取るとき、
　22/x
が最小になるのは、x がいくつのときですか。
というのと同じ問題(小５レベル)です。
No.136 - 2008/03/31(Mon) 19:16:01
☆ Re: 分数関数　 / ピー
グラフの描き方が分からないので教えて頂けませんか？
|W|2＝３＋22/(5-4x)
において、|Z|＝1 より、-1≦ｘ≦1 なので、
分母は 1≦5-4x≦9 の範囲を取る　

の所まで分かりました
No.137 - 2008/03/31(Mon) 21:02:16
☆ Re: 分数関数　 / ピー
5-4x＝9 は5-4xのグラフは1≦5-4x≦9 の範囲内で9が小さいということですか？

上手く伝えられなくてすいません
No.139 - 2008/03/31(Mon) 21:11:16
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
22/(5-4x) のように、5-4x が分母にあります。
正の数では、分母が大きいほど、その数は小さいですね？
No.140 - 2008/03/31(Mon) 21:12:46
☆ Re: 分数関数　 / ピー
22/(5-4x)
x=1だと22/1
x=-1のとき22/9
となりx=-1のときの方がyの値が小さいのでx=-1が最小値になるんですね。
ありがとうございます。

グラフは描かれるようになりたいのですがどのように描くのです？
教えて頂けたら助かります
No.141 - 2008/03/31(Mon) 21:35:42
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
>x=-1が最小値
ではなく、x=-1 のとき、|W2|が最小になります。
こういう言い回しは、身につけましょう。

さて、グラフですが、
　ｙ＝３＋22/(5-4x)
のグラフを描くとします。
２項目の分子分母を-4で割ります。
　ｙ＝３−5.5/(x-1.25)
３を移項します。
　ｙ−３＝−5.5/(x-1.25)
これより、ｙ＝３＋22/(5-4x) のグラフは、
　ｙ＝−5.5/ｘ
のグラフを、ｘ軸方向に1.25、ｙ軸方向に３　平行移動したグラフとなります。
No.142 - 2008/03/31(Mon) 22:07:51
☆ 複素数の問題として / 豆
複素数の理解が進めば、別のやり方でも解けます。
w=(6z-1)/(2z-1)より2zw-w=6z-1
2z(w-3)=w-1
両辺の絶対値を取って、|z|=1より
2|w-3|=|w-1|
wは3と1との距離の比が1:2の点であり、アポロニウスの円を描く。
よって、原点より最も近い点は3と1を1:2に内分する点、
つまり(3+2・2)/3=7/3　であり、絶対値の最小値は7/3
No.143 - 2008/03/31(Mon) 22:53:18
☆ Re: 分数関数　 / ピー
グラフを描く時
ｙ＝−5.5/ｘ
のグラフは
第2象限と第4象限になりますか？
No.147 - 2008/04/01(Tue) 10:36:57
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
そうですね。
そしてそれを、平行移動しますから、第１象限にもちょっと入ってきます。
No.148 - 2008/04/01(Tue) 10:39:42
☆ Re: 分数関数　 / ピー
ヨッシーさんどうもありがとうございました。
おかげで問題を解く事ができました。
毎回親切にありがとうございます。

豆さんどうもありがとうございます
複素数の理解が進めば、別のやり方でも解けます。
w=(6z-1)/(2z-1)より2zw-w=6z-1
2z(w-3)=w-1
両辺の絶対値を取って、|z|=1より
2|w-3|=|w-1|
まではなんとか理解をしたのですが1：2がどうやって現われたのかがよく分かりませんでした。

アポロニウスの円は知らなかったので参考書を拝見したのですが詳しく扱っていなかったので理解できませんでした

どうもありがとうございます
No.149 - 2008/04/01(Tue) 11:31:47
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
蛇足ながら。
複素数　x+yi を、xy座標上の点(x,y) で表す方法があります。
複素数平面といいます。

すると、w-3 の、wは自由に動く点(x,y)、3 は点(3,0) で表される点、となります。
そして、w-3 は、点(3,0) から、点(x,y) までのベクトルの成分で
表される複素数で、
|w-3|は、そのベクトルの大きさ(２点の距離)ということになります。

2|w-3|=|w-1| を日本語で言うと、
点(x,y) と 点(1,0) までの距離が
点(x,y) と 点(3,0) までの距離の２倍である
ことを表しています。ここで、１：２が出てきます。

つまり、点(3,0)と点(1,0)からの距離の比が１：２ である点が
ｗで表される点である、ということです。

アポロニウスの定理はこちらです。
No.151 - 2008/04/01(Tue) 11:42:45
☆ Re: 分数関数　 / ピー
2|w-3|=|w-1| を日本語で言うと、
点(x,y) と 点(1,0) までの距離が
点(x,y) と 点(3,0) までの距離の２倍である
ことを表しています。ここで、１：２が出てきます。

から１:２がどうやって出てくるのかよくわかりませんでした

すいません
No.154 - 2008/04/01(Tue) 13:42:54
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
|w-1| は |w-3| の２倍である　と、
|w-3|：|w-1| ＝ １：２ である
は、同じことですね。
No.156 - 2008/04/01(Tue) 13:50:13
☆ Re: 分数関数　 / ピー
ヨッシーさんありがとうございます
アポロニウスの定理の定理について教えてください
円周上の点をP(x,y) と置いて
A(1.0) , B(3.0)として置くと三角形ができました。
この後どのように考えるのかが分かりませんでした
No.158 - 2008/04/01(Tue) 17:27:30
☆ Re: 分数関数　 / ピー
アポロニウスについて考えたのですが結局わかりませんでした

教えて頂いたのにすいません
No.167 - 2008/04/01(Tue) 21:08:46
☆ Re: 分数関数　 / 豆
＞円周上の点をP(x,y) と置いて
＞A(1.0) , B(3.0)として置くと三角形ができました。
＞この後どのように考えるのかが分かりませんでした

イメージは6個上のヨッシーさんのスレッドの『こちら』のところ
をクリックしてください。ビジュアルなイメージが分かります。
なお、『アポロニウスの円』で検索すればその他の情報も手に入ると思います。

一応、今回のケースで何故円になるか以下証明しておきます。
2|w-3|=|w-1|　　　両辺を2乗して、　(w~はwの共役複素数)
4(w-3)(w~-3)=(w-1)(w~-1)
3ww~-11w-11w~+35=0
3w(w~-11/3)-11(w~-11/3)+35=121/3
3(w~-11/3)(w-11/3)=16/3
|w-11/3|=4/3
よって、wは11/3が中心で半径4/3の円を描く
No.173 - 2008/04/02(Wed) 09:18:14
☆ Re: 分数関数　 / ピー
豆さんありがとうございます
3w(w~-11/3)-11(w~-11/3)+35=121/3
の右辺の121/3はどこから現われたのか分からないので教えてください
No.188 - 2008/04/02(Wed) 20:45:47
☆ Re: 分数関数　 / ヨッシー
ｘ2＋２ｘ＝０　を変形して
(ｘ＋１)2＝１　としたとき、
右辺の１はどこから現れたのか分かりますか？

3w(w~-11/3)-11(w~-11/3)+35=121/3　を展開して、
3ww~-11w-11w~+35=0　にしてみれば、納得できると思いますが。
No.189 - 2008/04/02(Wed) 21:02:09
☆ Re: 分数関数　 / ピー
3w(w~-11/3)-11(w~-11/3)+35=121/3
は分かりました。
ありがとうございます。↓因数分解がわかりませんでした

3(w~-11/3)(w-11/3)=16/3
No.190 - 2008/04/02(Wed) 21:16:43
☆ Re: 分数関数　 / 豆
基本的な式の変形が苦手なようですね。
繰り返し訓練していくうちにスピードアップしていくと思いますが、
変形前後の式を見比べて、なんとか後の式に持っていくには
どうすればよいのか懸命に考えることが大切だと思います。

とりあえず、最後のところは馬鹿丁寧に書きますが、
できるだけ、すぐに質問しないように頑張ってください。

3w(w~-11/3)-11(w~-11/3)+35=121/3
(w~-11/3)でくくってみる
(w~-11/3)(3w-11)=121/3-35
左辺3w-11の3をくくりだし、右辺は3で通分し計算する
3(w~-11/3)(w-11/3)=16/3
両辺を3で割る
(w~-11/3)(w-11/3)=16/9
左辺は|w-11/3|^2、右辺は(4/3)^2なので、
|w-11/3|^2=(4/3)^2
|w-11/3|＞0なので、
|w-11/3|=4/3
No.204 - 2008/04/03(Thu) 12:05:15
★ 新高1 / 匿名
この前はお世話になりました。

1/4x^2-1を因数分解しなさい。
という問題で、私は(1/2x+1)(1/2x-1)だと思ったのですが
答えは1/4(x+2)(x-2)でした。
なぜ(1/2x+1)(1/2x-1)ではダメなのでしょうか？
No.130 - 2008/03/31(Mon) 16:13:05
☆ Re: 新高1 / ヨッシー
ダメではないですよ。
テストでは、いずれも正解のはずです。
特に、制約がない限り（括弧の中は分数ダメとか）
No.132 - 2008/03/31(Mon) 16:22:04
☆ Re: 新高1 / 匿名
ダメではないと聞いて安心しました！
どうもありがとうございました。
No.138 - 2008/03/31(Mon) 21:09:54
★ 方程式 / ピンク
xについて解くことは可能でしょうか
No.129 - 2008/03/31(Mon) 16:03:12
☆ Re: 方程式 / .
方程式になっていません。
No.168 - 2008/04/01(Tue) 21:45:40
★ 指数関数 / ピー
不等式ｘ＾(log(3)x)≧ax＾(4)がすべての正の数xについて成り立つ時定数aの最大値の値を求める問題です。

回答の上から2行目のlog(3)a＋4log(3)xがどうやって現われたのか分かりません。

教えてください
No.127 - 2008/03/31(Mon) 11:59:49
☆ Re: 指数関数 / ヨッシー
ｘlog3x≧ax4
の両辺を３を底にした対数を取ります。
３＞１ なので、不等号の向きは変わらず、
log3ｘlog3x≧log3(ax4)
公式　lognＡＢ＝lognＡ＋lognＢ
　　　lognＡB＝ＢlognＡ
より、
log3x・log3ｘ≧log3a＋log3x4
log3x・log3ｘ≧log3a＋４log3x
という変形です。

log に関するこの手の公式は、上記の他に
　lognＡ/Ｂ＝lognＡ−lognＢ
　logAＢ＝logCＢ/logCＡ
の計４つだけですので、ちゃんと覚えて使えるようになりましょう。
No.128 - 2008/03/31(Mon) 12:40:55
☆ Re: 指数関数 / ピー
どうもありがとうございます。
助かりました
No.131 - 2008/03/31(Mon) 16:17:49
★ 微分 / ピー
問題は
No.119 - 2008/03/31(Mon) 10:59:32
☆ Re: 微分 / ピー
回答を見ると
導関数f'(x)の定義に似ている
f'(x)=lim(h→0) 【f(x＋h)-f(x)】/h
の形に似ているが少し違うような

回答の2行目の【(x＾2)-1)】/(x-1)がどうして突然現われるのも分かりませんでした

全体的によく分かりませんでした。
宜しくお願いします
No.121 - 2008/03/31(Mon) 11:03:43
☆ Re: 微分 / ヨッシー
導関数の定義の式
　f'(x)=lim(h→0){f(x＋h)-f(x)}/h
も、ｘの関数ですから、ｘに特定の値を入れることも出来ます。つまり、
　f'(1)=lim(h→0){f(1＋h)-f(1)}/h
という感じです。これに、Ｘ＝1+h を代入すると、ｈ→0 のとき
Ｘ→１ なので、
　f'(1)=lim(X→1){f(X)-f(1)}/(X-1)
この式は、X→+1 に限っても成り立つので、
Ｘ＝ｘ2 と置き換えると、Ｘ→1 は、x→1 に対応し、
　f'(1)=lim(x→1){f(x2)-f(1)}/(x2-1)
と書き換えられます。

そこで、この形を作ることを、目標にします。

(x2-1)/(x-1) はその補正のために掛けられています。
No.125 - 2008/03/31(Mon) 11:21:22
☆ Re: 微分 / ピー
どうもありがとうございました。
難しい問題です。
No.126 - 2008/03/31(Mon) 11:54:57
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