1からnまでの数字が書かれたn枚のカードがあり、このn枚のカードから1枚を取り出し、元に戻す。この試行を3回行う。このとき、記録した3個の数字が3つとも異なる場合は大きい方から2番目の値をX、２つが一致し1つが異なる場合は２つの一致した値をXとし、3つとも同じ数字ならその値をXとする。
確率P(X≦k)を求めよ。ただし、k=1,2,…,n-1,nとする。
（考え方）
問題文に示されたとおりに3つの場合に分けて考える。
つまり、
(?@)記録した3個の数字が3つとも異なる場合
(?A)２つが一致し1つが異なる場合
(?B)3つとも同じ数字である場合
(?B)は111,222,333,…,kkkのk通りであってますよね？
（※）すべての場合はn^3通り であることもわかりました。
しかし、この場合以外は自信がありません。
ご教示ください。よろしくご指導願います。
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No.1989 - 2008/08/08(Fri) 23:24:33
| ☆ Re: 確率 / ヨッシー  | | | (ii)数字が２種類で２枚ある方がｋ以下なので、
11x,22x,33x・・・kkx
で、x には、それぞれ n-1 通りの入り方があります。
また、11x,1x1,x11 の３通りの並び方がありますので、
k×(n-1)×3＝3k(n-1)
(i)数字が３種類で１つがkより大きく、残り２つがk以下なので、
kより大きいn-k個の数から１個選び、
k以下のk個の数から異なる２個を選ぶので
(n-k)×k×(k-1)
並び方は、小さい順にabc とすると、aとb の並び順は
既に固定されていますので、(k×(k-1) は kＰ2 で順列です)
cab,acb,abc の３通りです。よって、
(n-k)×k×(k-1)×３＝3k(k-1)(n-k)
以上より、求める確率は、
k+3k(n-1)+3k(k-1)(n-k)＝k{-3k^2+3(n+1)k-2}/n^3
となります。
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No.1990 - 2008/08/09(Sat) 00:36:19 |
| ☆ Re: 確率 / ぱんだ | | | 横レス失礼します。
ヨッシーさんのおっしゃる「(i)数字が３種類で１つがkより大きく、残り２つがk以下なので」ですが、この部分が間違いだと思います。
実際は「(i)数字が３種類で２つの値（ｍとおく）がk以下で、残り１つはｍ以外のなんでもよい」といった形になると思います。
その場合?@が非常にやっかいになるので、私は以下のようにやってみました。
今回の問題、「（同着を含めて）上から2位の数がｋ以下の確率を求めよ」というように考えます。
分け方としては
?@全ての数がｋ以下の場合
?A２つはｋ以下、１つはｋより大の場合
?@は(k/n)^3
?Aは「1回目にｋより大、2回目と3回目にｋ以下が出る」確率の3倍なので、
{(n-k)/n}(k/n)^2×３
ここで?@と?Aは同時には満たされないので
答えは(k/n)^3+{(n-k)/n}(k/n)^2×３=k^2(3n-2k)/n^3
計算が間違っていたらすいません。
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No.1991 - 2008/08/09(Sat) 01:21:18 |
| ☆ Re: 確率 / ヨッシー | | | No.1992 - 2008/08/09(Sat) 01:25:43 |
| ☆ Re: 確率 / ぱんだ | | | 一応念のためにヨッシーさんのやり方（Ｊｅｚさんのやり方）でやってみると
（?@）は（ア）「全ての数が異なり、かつ全てｋ以下」である場合と
（イ）「全ての数が異なり、かつ１つはｋより大、２つはｋ以下」の場合
（ア）はk(k-1)(k-2)で
（イ）は「全ての数が異なり、1回目と2回目はｋ以下、3回目はｋより大」の3倍なので
k(k-1)(n-k)×３
これらを全て足すと上のk^2(3n-2k)/n^3になるので
どうやらあってそうです。
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No.1993 - 2008/08/09(Sat) 01:38:58 |
| ☆ 確率について私が思うこと / ぱんだ | | | Jezさんは「3つの場合に分けて」問題を解こうとされたのですが、これは教科書に書いてあったのでしょうか？それとも自分で考えたのでしょうか？（これは責めているわけではないです）
高校の教科書では、どうも「全部で〜通り！求める方法は〜通り！」という方法にこだわりすぎている感じがします。
その結果、確率が苦手な生徒が「全体が〜通り」でやろうとして失敗するのは非常に多く見られるパターンです。
今回Jezさんの場合分けを見て真っ先に感じたのは「こんな問題で『全体〜通り』なんてやりたくないぞ。第一〜を見分ける数え方なのか、見分けない数え方なのか、あとで大混乱するのが目に見えてる。こんな場合分けにいちいち付き合わないといけないの？こんな意味不明な分け方してたら俺も間違いかねないな（明確な場合わけの力をつけるいい練習にはなります！）」ということです。
今回の私のアドバイスとしては、高校で習うＰやＣなどを極力使わずに、中学生でもわかるような素朴な確率の積の法則をうまく使いこなせるようにするのが確率の実力をアップさせるコツだと私は考えています（これには色々な考え方の人がいますし、反論もあると思いますが）
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No.1995 - 2008/08/09(Sat) 01:59:07 |
| ☆ Re: 確率 / Jez-z | | | ヨッシーさん、ぱんださん貴重な解説ならびにアドバイスありがとうございます。
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No.2003 - 2008/08/11(Mon) 22:31:35 |
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