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★ 背理法 / レンズ

＞にょろさん 回答ありがとうございます。 にょろさんの説明はｑならばｐでないと仮定する。 しかし、ｐである。よってｑ。となっていると思うのですが これは本にかいてある命題ｐ→ｑが偽である（ｐかつｑでない）を仮定して矛盾を導くことでｐ→ｑが真であるとする方法と同じことなんでしょうか？かなり違うように見受けられます。対偶を利用した証明に近いような・・どうなんでしょう？ ＞与一さん 回答ありがとうございます。本（白チャート）の記述は2、3行目（背理法の説明）と 1+2√3が有理数であると仮定するのくだりです。本の通りかきますと、 √3が無理数ならば、1+2√3は無理数であることを証明せよ。（↑問題文） 1+2√3は無理数でない、すなわち有理数であると仮定する。 1+2√3＝ｒとおく（ｒは有理数）・・?@ ?@を変形すると、√3＝（ｒ-1）／2・・?A ここでｒは有理数なので、（ｒ-1）／2は有理数である。 ?Aは√3が無理数であることに矛盾する。従って1+2√3は 無理数である。 で、疑問点を書きますと、（さっきとすこし違ってますが） １、本の背理法の説明だと、何に対する矛盾なのかが わからない。問題文だとｐ（仮定）に対する矛盾ですが、たとえば鯨が魚でないことを証明しろに対し、鯨が魚であると 仮定する、魚ならばえらを持つ。鯨はえらを持たない。（事実）、したがって鯨は魚ではない。問題文に書かれていない 事実にたいする矛盾です。 2、また問題文はｐ＝√3は無理数である→ｑ＝1+2√3は無理数であるとおけるが、ｐは仮定であるのに、問題文の途中で、事実として扱って（あるいは、仮定を根拠にして）ｑを導くのはおかしくないか？ No.2540 - 2008/09/06(Sat) 17:40:10 ☆ Re: 背理法 / レンズ すいません、ボタン押し間違いました。あと にょろさんの説明はｑならばｐでないと仮定するではなく、 にょろさんの説明はｑでないならばｐでないと仮定でした。 No.2541 - 2008/09/06(Sat) 18:10:44 ☆ Re: 背理法 / 通りすがり > にょろさんの説明はｑならばｐでないと仮定する。 > しかし、ｐである。よってｑ。となっていると思うのですが p:√3が無理数 q:1+2√3が無理数　でしょうか。 もしそうなら，にょろさんの説明は，「qでないならばpでない」を「証明」しています（背理法と対偶法は似たような証明になることが多いです）。仮定ではなく。 それから，qならばpでない，すなわち「pならばqでない」と仮定するのは背理法ではありません。あくまで「pであってqでないとする」と仮定して矛盾を導くのが背理法です。 No.2542 - 2008/09/06(Sat) 18:12:10 ☆ Re: 背理法 / 通りすがり すみません。更新してませんでした。 > にょろさんの説明はｑでないならばｐでないと仮定でした。 仮定ではなく，証明。 No.2543 - 2008/09/06(Sat) 18:13:13 ☆ Re: 背理法 / 与一 『¬(ｐ→ｑ)』は確かに『ｐ∧¬ｑ』になります。正しい論理ですが、これは背理法ではありません。 背理法は、ｐ→¬ｑを真であると仮定し、これが矛盾することを示し、ｐ→ｑを証明します。 ２. 数学の問題にある仮定とは解答にたどり着くためのヒントのようなものです。『√3が無理数ならば』とあれば、この問題内で√3は無理数として扱ってよい、ということになります。 No.2548 - 2008/09/06(Sat) 22:52:20 ☆ Re: 背理法 / 通りすがり 「ｐ→¬ｑを真であると仮定し、これが矛盾することを示し」ただけでは，p⇒¬qが偽であることしかわかりません。 これだけでは「ｐ→ｑを証明します」は不可能です。 No.2566 - 2008/09/07(Sun) 16:33:33 ☆ Re: 背理法 / 与一 ｐ→¬ｑが偽であることは、「ｐが真かつ¬ｑが偽」であることと同値です。 つまり「ｐが真でｑが真」なので、ｐ→ｑである。 No.2584 - 2008/09/08(Mon) 02:13:09 ☆ Re: 背理法 / 通りすがり すみません。どうやら¬の意味を誤解していたようです。 例えば¬（１＜ｘ＜２）は，必ず１＜ｘ＜２でない，ではなく１＜ｘ＜２でないxが存在する，ですね。 > それから，qならばpでない，すなわち「pならばqでない」と仮定するのは背理法ではありません この部分は，「pならば必ずqでない」と解釈すれば，ご理解くださると思います。曖昧な書き方をして申し訳ありませんでした。 No.2590 - 2008/09/08(Mon) 16:00:00

★ 背理法 / レンズ

背理法の説明について、ある本ではこうあります。 命題ｐ→ｑが偽である（ｐかつｑでない）を仮定して 矛盾を導くことでｐ→ｑが真であるとする方法。 まず、お聞きしたいのは、この説明は正しいのでしょうか？ この説明の下に、例題として √3が無理数ならば、1+2√3は無理数であることを証明せよ。とあります。で、 1+2√3が有理数であると仮定する。 1+2√3＝ｒ（ｒは有理数） √3＝（ｒ-1）／2。ｒが有理数なので、（ｒ-1）／2も有理数である。これは√3が無理数であることに矛盾する。 よって1+2√3は無理数である。とあるのですが、よくわかりません。説明にあてはめると、ｐ＝√3は無理数である ｑ＝1+2√3は無理数である。 ｐかつｑでないと仮定する。 ところがｐである。よってｑ。←この行がわからない。 はじめに普通に解いた時は納得したのですが、ｐとかｑとか 記号で考えると←のところで、わからなくなります。 ｐが無理数であることがわかっているならｐ→ｑである、ｐ である、よってｑだけで証明にはならないのでしょうか？また背理法とは厳密にいうとどういった論法なんでしょうか？以上3点をお願いします。 No.2536 - 2008/09/06(Sat) 14:51:36 ☆ Re: 2次関数 / にょろ 背理法って言うのはもしも〜だったら○○になるはずだ でも○○にならないだから〜ではないということです。 今回の問題では もしも No.2537 - 2008/09/06(Sat) 15:44:29 ☆ Re: 2次関数 / にょろ 背理法って言うのは（適当にかくと）もしも〜だったら○○になるはずだ でも○○にならないだから〜ではないということです。 今回の問題では もしも「1+2√3は有理数」ならば 1+2√3＝ｒ（ｒは有理数）とおけて それを変形すると√3＝（ｒ-1）／2になったで rが有理数なんだから√3は有理数のはずだ でも実際には無理数だから「1+2√3は有理数」ではない 有理数でない実数は無理数だだから 「1+2√3は無理数」 厳密にやって分からないんだったら適当にやると理解できたりします。 No.2538 - 2008/09/06(Sat) 15:48:58 ☆ Re: 背理法 / 与一 背理法というのは、 ある事柄 P を証明するために、P の否定 ¬P を仮定すると、矛盾（ある命題とその否定が同時に証明されること）が起きることを利用する証明の手法である。 貴方の文章は、どこからが書籍等の内容でどこからが貴方の意見なのかが分かりづらいですね。 論理学は非常に厳密な学問なので、できれば本の内容は書きかえずに載せてもらえるとありがたいです。 No.2539 - 2008/09/06(Sat) 16:10:46

★ 数列 / セロ。高２

初めまして。 とても単純な問題なのですが、 いまいち理解できません。 Σ(k=1〜20)|ａk|を求めよ。 ただこれだけです。 解答は、 ＝Σ(k=1〜7)ak−Σ(k=8〜20)ak ＝1/2×７×(20+2)−1/2×13×(−1−37) ＝77+247 ＝324 となっています。 なぜ1〜7と、8〜20になるのかが わかりません。 よろしくお願いします。 No.2533 - 2008/09/06(Sat) 11:20:38 ☆ Re: 数列 / ヨッシー 「ただこれだけ」のはずありません。 　ａn＝-3n＋23 のようなものが与えられているはずです。 １から７項まではプラス。 ８項以降はマイナス。 | | は、マイナスには−１を掛けてプラスにするので、 こういう計算になります。 No.2534 - 2008/09/06(Sat) 12:59:46 ☆ Re: 数列 / gaku 推測すると，初項20，公差-3の等差数列がanらしい。 絶対値がついていますから，第8項以降は(-ak)としてやる必要があります。 No.2535 - 2008/09/06(Sat) 13:03:01 ☆ Re: 数列 / セロ。高２ あ、すいません。 お二人さんの言うとおりで、 問題に与えられていました。 どうもありがとうございました。 No.2545 - 2008/09/06(Sat) 19:48:27

★ イメージが・・・ / Jez-z

空間内に半径√3の球SとAB=3,BC=4,CA=5（直角三角形）がある。三角形ABCは3つの頂点がすべてSの外側に存在し、3辺がすべてSに接しながら空間を動く。このとき三角形ABCの周が通過する部分全体の体積を求めよ。 （できたところまで書きます） 切り口が√3になるようにSを切り、その円を内接円とする三角形A'B'C'と切り口が1になるようにSを切り、その円を内接円とする三角形ABCを考えてみました。（前者は問題分にある「√3」を利用するため、とりあえず…やってみました） さて、ここから条件をみたすように三角形ABCを（上下左右）に動かしてみましたが、（おそらく球となると思うのですが）三角形ABCの通過後の「ビジョン」がまだ見えません。 それと、√3の使い道も闇の中…暗中模索状態です＾＾； ヒント等ありましたら、お願いします。 No.2529 - 2008/09/06(Sat) 01:05:54 ☆ Re: イメージが・・・ / ヨッシー 半径√3の球の中心をＯ とし、△ＡＢＣの３辺がこの球に 接しているとき、内接円(半径１)は、球面の一部であり、 内接円の中心をＩとすると、ＯＩ＝√2 となります。 この状態で、Ｏから最も遠い、△ＡＢＣの周上の点はＣです。 ＩＣ＝√10、ＯＩ＝√2 より、ＯＣ＝2√3 よって、点Ｃは、点Ｏ中心に半径2√3の球面上を動き、 点Ｃから、ＣＡ上の接点に至る辺によって、半径√3 の球の 外側はすべて通過します。 No.2532 - 2008/09/06(Sat) 01:37:54 ☆ Re: イメージが・・・ / Jez-z 私の読解力不足のせいかもしれませんが 「点Ｃから、ＣＡ上の接点に至る辺によって」の箇所を詳しく教えていただけませんか？ お願いします No.2549 - 2008/09/07(Sun) 00:23:40 ☆ Re: イメージが・・・ / ヨッシー 図の、太線で示した部分が、それです。 この部分だけを考えて、△ＡＢＣをぶん回せば、 半径2√3 の球から、もとの球(半径√3) を除いた部分の 全体を動きます。 No.2550 - 2008/09/07(Sun) 00:45:21 ☆ Re: イメージが・・・ / Jez-z わかりました。ありがとうございます。＾＾ No.2567 - 2008/09/07(Sun) 16:40:13

★ 数列 / ぐるる

等差数列{an}があり、a=1,a7+a8+a9=15である。また、数列{bn}をbn=2^an (n=1,2,3,･･･)で定める。 （１）anをnを用いて表せ。 （２）a1+a2+a3+...+anをnを用いて表せ。また、b1+b2+b3+...+bnをnを用いて表せ。 （３）Sn＝b1b2+b2b3+b3b4+......bnb(n+1)　とする。このとき、Sn>100を満たす最小の自然数nを求めよ。 よろしくお願いします。 No.2528 - 2008/09/06(Sat) 00:35:29 ☆ Re: 数列 / ヨッシー (1) a7+a8+a9=15 より a8＝5 がわかります。よって、 公差は 4÷7＝4/7 an＝4n/7 ＋ 3/7 (2) 　a1+a2+・・・+an＝(a1+an)n/2＝(4n＋10)n/14＝(2n＋5)n/7 bn＝2(4n+3)/723/7・(24/7)n から、等比数列として扱うことが出来ます。 とりあえず、ここまで。 No.2531 - 2008/09/06(Sat) 01:25:59 ☆ Re: 数列 / ぐるる a7+a8+a9=15 より a8＝5というのは、ナゼですか？ あと、公差は 4÷7というのもよくわかりません。 No.2554 - 2008/09/07(Sun) 11:08:44 ☆ Re: 数列 / ヨッシー 等差数列の性質： 　連続する３項の和は、真ん中の数の３倍 によります。公差をｄとすると、連続する３項は 　ａ−ｄ，ａ，ａ＋ｄ と書けるので、足すと公差に関係なく３ａになります。 同様に、等比数列の連続する３項の積は真ん中の数の３乗となります。 初項をa1、公差をｄとして、数列を書き並べると、 　a1, a1+d, a1+2d, a1+3d・・・, a1+7d のように、第8項は a1+7d となります。 a8＝a1+7d において、a1=1, a8=5 より、 　7d＝a8−a1＝5−1＝４ となります。 No.2555 - 2008/09/07(Sun) 11:24:16 ☆ Re: 数列 / ぐるる お早い返事ありがとうございます。 なるほどそういうことだったんですね。 No.2556 - 2008/09/07(Sun) 11:44:03

★ xの二次方程式 / みな　高1

x2乗-2(a-1)x＋(a-2)2乗＝0・・・?@ (1)?@が実数解をもたないとき、定数aの値の範囲を求めよ。 (2)?@が重解を持つ時、定数aの値と重解を求めよ。 というもんだいの解き方が分かりません。 詳しい解き方の解説をいただけるとうれしいです。 よろしくお願いします。 No.2518 - 2008/09/05(Fri) 22:44:36 ☆ Re: xの二次方程式 / ヨッシー まず、判別式というのを知らないと始まりませんが、 ?@ の判別式を書くことは出来ますか？ No.2519 - 2008/09/05(Fri) 22:46:16 ☆ Re: xの二次方程式 / ヨッシー あ、始まらなくもないか。 　x2-2(a-1)x＋(a-2)2＝0 を変形して 　(x-a+1)2＝・・・ の形にしてみましょう。 No.2520 - 2008/09/05(Fri) 22:49:53 ☆ Re: xの二次方程式 / みな　高1 判別式というのは、 (-2a+2)2乗-4×(a-2)2乗＜0 の式のことですか？ ちなみにこの式はあっていますか？ 何度もすみませんが教えて下さいお願いします。 No.2523 - 2008/09/05(Fri) 22:55:56 ☆ Re: xの二次方程式 / ヨッシー 最後の　＜０　は余分ですね。 　(-2a+2)2-4×(a-2)2 までが判別式で、これが負だと、実数解がなく、 ０だと、重解になります。 それにそって、ａの範囲を求めたり、ａの値を求めたりします。 No.2526 - 2008/09/05(Fri) 23:01:45

★ 因数分解 / みな　高1

(xy-1)(x-1)(y＋1)−xyという問題を ＝(xy-1)2乗＋(x−y)(xy-1)−xy というところまで解いたのですが、その後のたすきがけの計算がどうしても出来ません。(計算が合いません) 詳しい解説をいただけるとうれしいです。 毎回毎回本当にありがとうございます。 今回もよろしくお願いいたします。 No.2513 - 2008/09/05(Fri) 22:35:58 ☆ Re: 因数分解 / ヨッシー xy-1 を Ａ とでもおくと、 　Ａ2＋(x-y)Ａ−xy ですね？ 足して x-y 掛けて-xy になる２つの数を見つけます。 No.2515 - 2008/09/05(Fri) 22:42:29 ☆ Re: 因数分解 / 通りすがり xy-1=Xとおくと　X2+(x-y)X-xy=0 足してx-y,掛けて-xyとなる２数はx,-yなので (X+x)(X-y)と因数分解できます Xを元に戻して　(xy+x-1)(xy-y-1) No.2516 - 2008/09/05(Fri) 22:43:03 ☆ Re: 因数分解 / 通りすがり かぶってしまいました。すみません＾＾ No.2517 - 2008/09/05(Fri) 22:43:31 ☆ Re: 因数分解 / みな　高1 問題が解けました！！ 本当にありがとうございます。 またお願いします。 No.2524 - 2008/09/05(Fri) 22:57:06

★ 高一【数学A】 / ＊Sana＊

いつもお世話になっています。 また御願いしても宜しいでしょうか? 図のように、点Ｏを中心とする円に内接する正六角形ＡＢＣＤＥＦがある。１から６までの数が１ずつ書かれた６枚のカードを、この六角形の各頂点に無作為に１枚ずつ置く。 (1)Ａ，Ｄに置かれたカードに書かれた数の和が３となるのは何通りあるか。 (2)Ｏを通る３本の対角線の両端に置かれたカードに書かれた数の和がいずれも７となるのは何通りあるか。 (3)Ｏを通る３本の対角線の両端に置かれたカードに書かれた数の和がいずれも奇数となるのは何通りあるか。 宜しく御願い致します。 No.2511 - 2008/09/05(Fri) 22:13:43 ☆ Re: 高一【数学A】 / ヨッシー (1) ＡＤの数は1,2 か 2,1 の２通り。 ＢＣＥＦに3456 を並べるのは 4!＝24(通り) 合計　48通り (2) (1,6)(2,5)(3,4) を、AD,BE,CF のどれかに割り付けるのは 3!＝6(通り) それぞれについて、AとD, BとE, CとF が入れ替わることを考慮して 　6×2×2×2＝48(通り) (3) １，３，５ の３つの数字に、２，４，６ のいずれかを加えて ３つの奇数を作るのは、3!＝６(通り) そのそれぞれについて、(2) の48通りがあるので 　6×48＝288(通り) No.2512 - 2008/09/05(Fri) 22:19:30

★ 高1 数字Ａ / 優

上面下面は大きさの異なる正方形で、側面は合同な台形である六面体がある。この六面体に、隣り合った面は色が異なるように、色を塗りたい。ただし、六面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。 (1)異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 (2)異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 (3)異なる4色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 こんばんは。解説と解答を教えて頂けると助かります。宜しくお願いします。 No.2509 - 2008/09/05(Fri) 21:57:45 ☆ Re: 高1 数字Ａ / ヨッシー (1) 各色１回ずつ使います 上面に塗るのが６通り。下面が残りの５通り。 残り４色は、円順列なので、（４−１）！＝６通り 以上より　６×５×６＝１８０(通り) (2) ２回使う色が１色と、１回使う色が５色。 どの色を２回使うかで６通り。どの色を使わないかで５通り。 (2)-1. それを上面に塗る場合。下面にも同じ色を塗る。 残り４色は円順列で６通り。 以上より6×5×6＝180(通り) (2)-2. それを側面に塗る場合。上面の色は４通り。下面は残り３通り。 側面は１通り。 以上より 6×5×4×3＝360(通り) 合わせて　180＋360＝540(通り) (3) 同じ色を３回使うことはないので、２回使う色が２色、１回使う色が２色。 どの色を２回使うかで１５通り。 どの色を１回使うかで６通り。 色の選び方は９０通り。 (3)-1. ２回使う色を、両方側面に塗る場合 上面と下面の塗り方は２通り。 (3)-2. ２回使う色を、上下面に塗る場合 どちらを上下面に塗るかで２通り。 側面は１通り。 合計 90×(2＋2)＝360(通り) No.2510 - 2008/09/05(Fri) 22:12:39 ☆ Re: 高1 数字Ａ / らすかる (2) 5色のうち2回使う色の選び方が5通り。 2回使う色を上下の面に塗る場合、残りは円順列で(4-1)!=6通り。 2回使う色を隣り合わない側面2箇所に塗る場合、4色から 上面と下面に塗る2色を選べば良いので、4P2=12通り。 よって全部で 5×(6+12)=90通り。 (3) 4色のうち2回使う色の選び方が4C2=6通り。 1回しか使わない色を上下の面に塗る場合、どちらの色をどちらに塗るかで2通り。 1回しか使わない色を隣り合わない側面に塗る場合、 2回使う色のどちらを上下の面に使うかで2通り。 よって全部で 6×(2+2)=24通り。 No.2521 - 2008/09/05(Fri) 22:53:38 ☆ Re: 高1 数字Ａ / ヨッシー あ、６色から５色とか４色とか選ぶのと勘違いしていました。 (2)は、６倍 (3)は、15倍　余分に足してました。 No.2525 - 2008/09/05(Fri) 22:57:26

★ 模試の過去問らしい / ぐるる

Oを原点とする座標平面上に曲線C：y=√x(x≧0)があり、C上に点の列O、P1、P2、････、Pn,・・・がこの順に、さらに、△OP1Q1および△QnP(n+1)Q(n+1) (nは１以上の整数）はすべて正三角形である。Pnのx座標をxnとする。 （１）x1をもとめよ （２）xnをもとめよ （３）lim(n→∞)　(1/n^3)(OP1^2+P1P2^2+･･･+P(n-1)Pn^2)を求めよ。 ややこしく感じてどうすればいいかわかりません。 分かりやすくお願いします。 No.2508 - 2008/09/05(Fri) 19:36:50 ☆ Re: 模試の過去問らしい / ヨッシー この文だけでは、図のように好き勝手にＰ1，Ｐ2・・・が取れます。 問題文は一字一句抜けていませんか？ >点の列O、P1、P2、････、Pn,・・・がこの順に、さらに、 の辺が、文章的におかしい気がします。 この順にどうしたのでしょう？ No.2514 - 2008/09/05(Fri) 22:39:42 ☆ すみません。訂正します。 / ぐるる Oを原点とする座標平面上に曲線C：y=√x(x≧0)があり、C上に点の列O、P1、P2、P3、･･･、Pn,･･･がこの順に、さらに、x軸上に点の列O,Q1,Q2,Q3,･･･,Qn,･･･がこの順に並んでいる。さらに、△OP1Q1および、△QnP(n+1)Q(n+1) (nは１以上の整数をとる）はすべて正三角形であり、Pnのx座標をxnとする。 すみません。こちらです。確認おねがいします No.2527 - 2008/09/06(Sat) 00:17:00 ☆ Re: 模試の過去問らしい / ヨッシー 私のページに解答を載せました。 No.2530 - 2008/09/06(Sat) 01:17:09 ☆ Re: 模試の過去問らしい / ぐるる 確認しました。ありがとうございます！ No.2553 - 2008/09/07(Sun) 11:00:37

★ 立体（複雑） / Jez-z

半径1の球Sと正四面体Tがある。Tの4頂点のうち３点はS上にあり、Sの中心はこの３点を通る平面上に存在する。このとき、Sに外接し、Tの３つの面に接する球の半径を求めよ。 この問題なのですが、まず「図」を書くことから始めるのが基本だと思うのですが、問題文が言っている「状態」がうまく図示できません。たぶん、図示さえできればもっと考えられると思うのですが… ヒントなどほしいと思っています、アドバイスお願いします No.2502 - 2008/09/04(Thu) 23:03:10 ☆ Re: 立体（複雑） / ヨッシー こんな感じです。 答えは、(√2−1)/4 になります。 No.2504 - 2008/09/04(Thu) 23:36:27 ☆ Re: 立体（複雑） / rtz 図示、というか想像できていれば 汚くても絵は描けると思いますが…。 球と正四面体、というよりは、 正四面体があって、その底面の中心をOとし、 Oが中心である半球が被さっている、と考えた方がいいかもしれません。 (半球の切断面である円は正四面体の底面である正三角形の外接円) とすれば、 題意の球は正四面体の3側面と半球のてっぺんに接するので、 要は正四面体を、半球の高さ(＝球の半径)で底面と平行に切断した、 小さな正四面体の内接球ということになります。 No.2505 - 2008/09/04(Thu) 23:41:29 ☆ 感謝 / Jez-z ありがとうございます。おかげで正答を得ることができました。 No.2522 - 2008/09/05(Fri) 22:54:32

★ よろしくお願いします。 / Ａ

関数f(x)=asinxcosx+cos^2xがある。 (1)f(x)をsin2x,cos2xで表せ。 (2)a=√3のとき、f(x)の最大値、最小値を求めよ。 (3)0≦x≦π/4とする。 (ｲ)0(ﾛ)f(x)の最大値が、f(x)の最小値の2倍となるような実数aの値を求めよ。 よろしくお願いします。 No.2489 - 2008/09/03(Wed) 18:20:14 ☆ Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー (1) 倍角の公式 　sin2x＝2sinｘcosｘ 　cos2x＝2cos2ｘ−１ を使います。 (2) f(x)＝cos(π/6)sin2ｘ＋sin(π/6)cos2ｘ＋1/2 　＝sin（2x＋π/6)＋1/2 と書けるので、最大値3/2、最小値-1/2 (3) (ｲ)0(ﾛ)f(x) とは何ですか？ No.2492 - 2008/09/03(Wed) 19:46:51 ☆ Re: よろしくお願いします。 / Ａ (ｲ)0は打ち間違いです。 飛ばして(ﾛ)からが問題です。 No.2493 - 2008/09/03(Wed) 20:35:48 ☆ Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー 私の見込では、 「f(x)の最大値が、f(x)の最小値の2倍となるような実数a」は無い となりましたが、どうでしょう？ No.2494 - 2008/09/04(Thu) 09:48:51 ☆ Re: よろしくお願いします。 / rtz ＞ヨッシーさん 一応2つ存在するようですが…。 No.2498 - 2008/09/04(Thu) 19:53:53 ☆ Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー あ、「0≦x≦π/4とする。」を見落としてましたね。 No.2500 - 2008/09/04(Thu) 19:57:06 ☆ Re: よろしくお願いします。 / Ａ 遅くなりました。 (3)方針だけでも教えてもらえないでしょうか？ 答えも出るなら教えてほしいです。 No.2501 - 2008/09/04(Thu) 21:49:41 ☆ Re: よろしくお願いします。 / だるまにおん ヨッシーさん、お久しぶりです。 この問題は、２ちゃんねるの【高三・高卒】第二回 全統記述模試2【ネタバレ】というスレッドに書き込まれた問題であり、実際に河合塾の模試のネタバレである可能性が高いです。 No.2507 - 2008/09/05(Fri) 08:45:03

★ 方程式 / あや

こんにちは。失礼します。よろしくお願いします。 【質問】 nを0以上の整数とするとき、2nπ+π/3≦t≦2nπ+2π/3において、 cost+st-1=0 を満たすtが、(1)ただ一つ存在する、(2)四つ存在するような正の定数sのとりうる値の範囲をそれぞれ求めなさい。 f(t)=cost+st-1とおいて、f(t)のグラフを描こうとしました。f'(t)=-sint+sなので、|s|＜1、|s|＝1、|s|＞1に分けて考えようとしましたが、全く上手くいきませんでした。 この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。 No.2483 - 2008/09/03(Wed) 11:11:45 ☆ Re: 方程式 / ヨッシー cost+st-1=0 を変形して 1-cosｔ＝st なので、ｙ＝1-cosｔ と　y=st の交点について考えます。 図の太線と、原点を通る直線　y=st が、何点で交わるかを調べます。 No.2484 - 2008/09/03(Wed) 11:37:24 ☆ Re: 方程式 / あや　大学受験生 ヨッシー様へ はじめまして。早速のお返事ありがとうございました。グラフをつけていただいたおかげで、考え方はよくわかりました。ｙ＝1-cosｔとy=stに分けるところとか、すごーいと思います。 考え方はわかったのですが、解き方でまだ質問があります。まず(1)についてですが、交点が一個になるのはグラフを見ると、(π/3,1/2)を通るときから(2π/3,3/2)を通るときまでの間になりそうです。これを解くと、3/2π≦s≦9/4πになりました。でもたとえば、(π/3,1/2)を通るときなど、隣のお山とも交点を持ちそうですが、答えを書くときはちゃんと(π/3,1/2)以外の交点はないことを書かなければいけないでしょうか。 それから、(π/3,1/2)を通るときより傾きを小さくしても、一個目のお山とは交点はないですが、二個目のお山とは交点を持ちそうな感じがします(実際ヨッシー様のグラフではそうなっているような…？)。ということは、傾きを小さくしていくと、三個目、四個目のお山で一個の交点を持つかもしれないってことですよね(グラフ出を見る限りそんなことはなさそうですが)。これはグラフより明らかに3/2π≦s≦9/4π以外にないなんて結論付けてしまってよいのでしょうか。 こちらの疑問についても教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。 No.2485 - 2008/09/03(Wed) 15:21:51 ☆ Re: 方程式 / ヨッシー それらはちゃんと書かないといけないでしょう。 (2π/3, 3/2) を通るときの傾き9/4π が上限ですね。 (π/3, 1/2) を通るときの傾き 3/2π 。このとき、 (π/3, 1/2) を３倍に延ばした(π, 3/2) は、まだ，次の山の 太線の右上(8π/3, 3/2) に届いていないので、 3/2π≦s≦9/4π において、交点は１つです。 次に、(8π/3, 3/2) を通るときの傾き 9/16π。 このとき、この点を 1/3 倍した (8π/9, 1/2) は、 １つ目の山の太線の左下(π/3, 1/2) より右にあるので、交点は１個です。 一方、３つ目の山の太線の右上(14π/3, 3/2) を通るとき、 傾きは 9/28π ですが、この点を 1/3 倍した、(14π/9, 1/2) は、 ２つ目の山の太線の左下(7π/3, 1/2) より左にあるので、 ２つ目の山の太線と交わります。よって、 　9/28π＜s≦9/16π の範囲で、交点は１つです。 式で書くとややこしいですが、表にまとめるとスッキリすると思います。 No.2486 - 2008/09/03(Wed) 16:38:46 ☆ Re: 方程式 / 豆 計算自体は楽になりませんが、いくつ解があるかについては 少し考え方が楽になるかもしれませんので、少し異なるグラフで・・ t＞0　なので、s=(1-cost)/t　として、 y= (1-cosx)/xのグラフと、y=sのグラフの交点の個数を考える。 （高さだけ見ればよいことになる） 前者のグラフは極小点がx=2nπの点であり、極大点は 1-cosxのそれ(（2n-1）π)より左にずれ、高さはxが増えるにつれ 低くなることが分かる　　（グラフが書ければよいのですが・・・） なお、x方向の極大点のずれはxが増加するに従い小さくなってくる。 y'=(xsinx+cosx-1)/x^2より、 x=2π/3　のとき、y'=π/√3-3/2＞0より π/3≦x≦2π/3は単調増加の領域である。 以降2πの周期に関しても単調増加の領域である。 従って、一つ目の山での値域は (1/2)/(π/3)≦y≦(3/2)/(2π/3)　　つまり　　3/(2π)≦y≦9/(4π) 二つ目での山の地域は (1/2)/(7π/3)≦y≦(3/2)/(8π/3)　 といった具合で値の範囲が特定できます。　あとは大小関係の比較ですね・・・ No.2487 - 2008/09/03(Wed) 17:31:57 ☆ Re: 方程式 / あや　大学受験生 ヨッシー様へ お返事ありがとうございます。グラフを見ればなんとなくわかるのに、ちゃんとした答えを書くのが大変です。深みにはまっていくような感じのいやな問題です。 次に〜からの部分ですが、ここは要するに二つ目のお山で交点一個になる場合は、二つ目のお山での右端(上限)から三つ目のお山での右端(下限)を通るまでの間ってことですよね。ここら辺からちょと難しいです。 三つ目のお山以降で交点が一つになることはないことをどうやって書けばいいのかわかりません。表にまとめるとスッキリするってことですが、どういう表を描けばいいの思いつかないです。ヨッシー様のおっしゃる表ってどんなかんじでしょうか。 豆様へ お返事ありがとうございます。一度に複数の解き方はキツイので、また後ほどゆっくり読ませていただきます。すみません。 No.2495 - 2008/09/04(Thu) 17:08:34 ☆ Re: 方程式 / 豆 あやさんへ そうですね。ひとつずつ着実にマスターしてください。 ヨッシーさん 今後のために、可能であれば山が低くなっていく方のグラフも アップしていただけたら幸甚。 No.2496 - 2008/09/04(Thu) 17:17:42 ☆ Re: 方程式 / ヨッシー まずは、豆さんのグラフは こうだと思うんですが、どうですか？ あと、これを、 　2nπ＋π/3≦ｔ≦2nπ＋2π/3 で、切らないといけないですね。 No.2497 - 2008/09/04(Thu) 17:23:00 ☆ Re: 方程式 / ヨッシー なかなかうまい表が書けなかったので、少し工夫します。 図のように、太線を原点からの光線によって、直線y=3/2 に 投射します。つまり、１つ目の山の太線は、直線y=3/2 上では、 　2π/3≦ｘ≦3π/3 に投射されます(赤線)。２つ目の山の太線は 　8π/3≦ｘ≦21π/3 です(青線)。 この横線が、何本重なるかが、y=st と太線が、何カ所で 交わるかに対応します。 一般に、太線の 　(右上のｘ座標)≦ｘ≦(左下のｘ座標)×３ です。さらに、第ｎ番目の山の太線の投射は 　(6n-4)π/3≦ｘ≦(18n−15)π/3＝(6n−5)π となります。これらのｘ座標を、小さい順にたどって、 (右上のｘ座標) に出会ったら、交わる数を＋１し、 (左下のｘ座標)×３に出会ったら、交わる数を−１するとして、 表を書くと、以下のようになります。 −１の間隔は、＋１の３倍なので、この先に、４点で交わる点は ありません。 １点で交わるのは、 　2π/3≦ｘ≦π　および　8π/3≦ｘ≦14π/3 で、傾きで言うと、ｙ座標が3/2 なので、 　9/4π≦ｓ≦3/2π　および　9/16π≦ｓ≦9/28π ４点で交わるのは 　32π/3≦ｘ≦38π/3　および　13π≦ｘ≦44π/3 で傾きで言うと、 　9/64π≦ｓ≦9/76π　および　3/26π≦ｓ≦9/88π となります。 問題では、ｔを使っていますが、便宜上ｘを使用しています。 No.2499 - 2008/09/04(Thu) 19:55:38 ☆ Re: 方程式 / 豆 アップ、ありがとうございました。 No.2506 - 2008/09/05(Fri) 07:27:12 ☆ Re: 方程式 / あや　大学受験生 ヨッシー様へ 無事解決しました。とても丁寧におしえていただき、ありがとうございました。 No.2544 - 2008/09/06(Sat) 19:45:15

★ (No Subject) / にし
こんばんは，今回もお願いします。 2つの2次方程式x^2−3x＋m−1=0…?@， x^2＋(m−2)x−2=0…?Aが共通な実数解をただ1つだけもつとき，定数mの値と共通解を求めよ。 宜しくお願いします。 No.2478 - 2008/09/02(Tue) 20:12:24 ☆ Re: / rtz 丸囲み文字は特定の環境で文字化けしますので、 使わない方がいいです。 共通解をtとでもおいて代入し、 (2)から(1)を引いてみましょう。 No.2479 - 2008/09/02(Tue) 20:55:11 ☆ Re: / にし 有難うございます。 文字化けは今後気をつけます･･･ No.2481 - 2008/09/02(Tue) 21:15:19

★ 球 / 桜　高校2

こんばんは。 いつもお世話になっております よろしくお願いいたします。 一辺の長さがaの正四面体に球が内接している。 (1)球の半径をaを用いて表せ。 (2)正四面体と球の体積比を求めよ。 教えてください よろしくお願いいたします。 No.2475 - 2008/09/02(Tue) 18:31:13 ☆ Re: 球 / ヨッシー (1) △ＢＣＤの重心をＨとすると、ＢＣ＝ａ に対して、 ＨＢ＝ＨＣ＝ＨＤ＝a/√3＝√3a/3 △ＡＢＨにおいて、∠ＡＨＢ＝90° なので、 三平方の定理より　ＡＨ＝√6a/3 内接球の中心を点Ｉとすると、点Ｉは、ＡＨ上にあり 　ＡＩ：ＩＨ＝３：１ 求める半径はＩＨにあたるので、 　ＩＨ＝(1/4)ＡＨ＝√6a/12 (2) 正四面体の体積： 　△ＢＣＤにおいて、ＣＤの中点をＭとすると、 　　ＣＤ＝ａ，ＢＭ＝√3a/2 　より、△ＢＣＤ＝√3a^2/4 　さらにＡＨ＝√6a/3 より、 　求める体積は、 　　(1/3)×√3a^2/4×√6a/3＝√2a^3/12 球の体積 　(4π/3)(√6a/12)^3＝√6πa^3/216 よって、体積比は、 　√2a^3/12：√6πa^3/216＝6√3：π No.2476 - 2008/09/02(Tue) 19:06:26 ☆ Re: 球 / 桜　高校2 とっても丁寧な図と解説ありがとうございます。 ヨッシーさんにはいつもお世話になっております。 おかげさまで解けました！ No.2482 - 2008/09/02(Tue) 22:24:45

★ (No Subject) / ラスク

またまたすみません；； 自分なりに解いてみたのですが これであっていますか？ 違ったら正しい回答とよければ解説もお願いします。 定価900円の品物を2割引で売ったが、 なお2割の利益があった。 次の問に答えよ。 （１）原価はいくらだったか。 （２）定価は原価の何％増しにつけられていたか。 自分の回答 （１）720-144=576（円） （２）900÷576=1.5625 　　　　　　　=56（％） お願いします。 No.2462 - 2008/09/01(Mon) 22:32:07 ☆ Re: / ヨッシー 残念ながら、不正解です。 定価900円の品物を(定価の)2割引で売ったが、 なお(原価の)2割の利益があった。 という意味です。 No.2463 - 2008/09/01(Mon) 22:38:37 ☆ Re: / ラスク ありがとうございます。 定価の2割引→900×0.2＝720円 原価をxと考えて 原価の2割→x×0.2＝0.2x ということですか??；； No.2465 - 2008/09/01(Mon) 22:59:45 ☆ Re: / ヨッシー 720円 が売値ですね。 これが、原価の何倍にあたるでしょうか？ つまり原価をｘとすると、[　　]ｘ と書けるでしょうか？ 0.2x は、利益分ですね。 No.2467 - 2008/09/01(Mon) 23:15:54 ☆ Re: / ラスク 原価をxとすると、［1.2］xで、 720-0.2x=x 720=1.2x x=600 原価は600円 あってますか?? No.2469 - 2008/09/02(Tue) 00:15:44 ☆ Re: / ヨッシー 正解です。 ただし、720-0.2x=x は、やや蛇足気味ですね。 いきなり 720=1.2x でいいです。 No.2472 - 2008/09/02(Tue) 05:47:25 ☆ Re: / ラスク わかりましたw ありがとうございました！ No.2480 - 2008/09/02(Tue) 21:00:01

★ 図形 / かず

図のような板がある。これを線に沿って２枚に切り離し、それをつなぎあわせると８×８マスの正方形ができるという。どう切ればよいだろうか。 すみませんが教えてください。 No.2457 - 2008/09/01(Mon) 21:12:12 ☆ Re: 図形 / らすかる ここで切る No.2459 - 2008/09/01(Mon) 22:04:49 ☆ Re: 図形 / ヨッシー 先を越されましたが、一応作ったので載せておきます。 No.2460 - 2008/09/01(Mon) 22:12:00 ☆ コツを教えてください / √ 横から、すみません。 このような問題は、 まず、どのように考えていったら良いのか、 を教えてください。 No.2470 - 2008/09/02(Tue) 00:40:41 ☆ もしかして / √ 管理人ヨッシー様 もしかして、人様の質問に便乗することは、 マナー違反でしょうか？ もし、そうでしたら次回からは、新しくスレッドをたてますので、今回はお許しくださいｍ（＿）ｍ No.2471 - 2008/09/02(Tue) 01:14:57 ☆ Re: 図形 / ヨッシー >マナー違反でしょうか？ 別に、かまいませんよ。 右の２マスの出っ張りがあるので、６マスの所が出来るだろうということと、 上の４マスに対して、空白が４マスありますので、 図の赤線あたりに切れ目が来るなぁ、くらいの予測を付けて、 あとはひらめきですね。 No.2473 - 2008/09/02(Tue) 05:57:40 ☆ 有り難うございました / √ ヨッシーさん　有り難うございました。 「裁ち合わせ」って難しいですね。 No.2474 - 2008/09/02(Tue) 09:46:30

★ 集合 / にし

a＞0の実数とする。2次不等式ax^2-3a^2x+2a^3≦0の解の集合をＡ，x^2+x-2≧0の解の集合をＢとする。このとき，集合Ａ∩Ｂか空集合となるようなaの値の範囲を求めよ。 教えていただけるとうれしいです。 宜しくお願いします。 No.2456 - 2008/09/01(Mon) 20:53:12 ☆ Re: 集合 / ヨッシー x^2+x-2≧0 の解は x≦-2, x≧1 なので、 ax^2-3a^2x+2a^3≦0 の解が -2＜ｘ＜1 の範囲に入っていれば 良いことになります。 ａ＞０ より、ax^2-3a^2x+2a^3≦0 の解は、 a(x-a)(x-2a)≦0 より、a≦ｘ≦2a なので、 　-2＜a かつ 2a＜1 となります。よって、　-2＜a＜1/2 No.2464 - 2008/09/01(Mon) 22:44:39 ☆ Re: 集合 / rtz ＞ヨッシーさん 条件のa＞0が抜けていますので0＜a＜1/2ですね。 No.2466 - 2008/09/01(Mon) 23:12:57 ☆ Re: 集合 / ヨッシー そうでした。 失礼しました。 No.2468 - 2008/09/01(Mon) 23:17:30 ☆ Re: 集合 / にし なるほど！有難うございます！ No.2477 - 2008/09/02(Tue) 20:06:02

★ 正方形 / カッコ（中一）

中一の問題ですが、解からないところがあります。 『１辺がａcmの正方形で４ａはどんな数量を表していますか』という問題で、答えを『周辺の長さ』と書いたら、 間違えました。これは、違っているのでしょうか。 よろしくお願いします。 No.2453 - 2008/09/01(Mon) 20:21:39 ☆ Re: 正方形 / rtz 意図していることは正しいでしょうが、 普通は「周りの長さ」というと思います。 No.2454 - 2008/09/01(Mon) 20:32:55 ☆ Re: 正方形 / ヨッシー 『周の長さ』『４辺の長さの和』なら良かったかも。 あるいは、『周の長さをcmで表したときの数値部分』と まで要求するか？まさかね。 で、先生の用意した解答は？ No.2455 - 2008/09/01(Mon) 20:34:41 ☆ Re: 正方形 / カッコ（中一） 教えていただきありがとうございます 先生の解答は『正方形の周の長さ，ｃｍ』でした 周辺の長さとはいわないのでしょうね。 どうもありがとうございました。 No.2458 - 2008/09/01(Mon) 21:20:32

★ 加法定理 / もやし
?@cosθ＋sinθ=０（０≦θ≦π）？ ?AsinＸ‐√３cosＸ=√２（０≦Ｘ≦π）？ の方程式が解りません?ﾎ 宜しくお願いします。 No.2450 - 2008/09/01(Mon) 09:02:44 ☆ Re: 加法定理 / ヨッシー いわゆる合成公式ですが、もとをたどれば加法定理です。 (1) cosθ＋sinθ＝√2{(1/√2)cosθ＋(1/√2)sinθ} 　＝√2{sin(π/4)cosθ＋cos(π/4)sinθ} 　＝√2sin(θ＋π/4)＝０ より、θ＋π/4＝π (2) sinＸ‐√3cosＸ＝2{(1/2)sinＸ−(√3/2)cosＸ} 　＝2{cos(π/3)sinＸ−sin(π/3)cosＸ} 　＝2sin(Ｘ−π/3)＝√2 より　Ｘ−π/3＝π/4 No.2451 - 2008/09/01(Mon) 11:28:56

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