【1】2点A,Bと、その上を動く1個の石がある。
この石は時刻t=0では点Aにあり、その後、次の規則[A][B]にしたがって動く。
各t=0,1,2…に対して
[A]時刻tに石が点Aにあれば、時刻t+1に石が点Aにある確率はc,点Bにある確率は1-cである。
[B]時刻tに石が点Bにあれば、時刻t+1に石が点Bにある確率は2c、点Aにある確率は1-2cである。
ただし、cは0<c<1/2を満たす定数とする。
いまnを自然数とし､時刻t=nにおいて石が点Aにある確率をP[n]とする。
(1)P[n],P[2]を求めよ。
(2)P[n+1]をP[n]とcを用いて表せ。
(3)P[n]を求めよ。
(4)lim[n→∞]P[n]を求めよ。
【2】nを自然数とする。つぼの中に、1の数字を書いた玉が、1個、2の数字を書いた玉が1個、3の数字を書いた玉が1個、……、nの数字を書いた玉が1個、合計n個の玉が入っている。
つぼから無作為に玉を1個取り出し、書かれた数字を見て、元に戻す思考をn回行う。
(1)試行をn回行った時、kの数字が書かれた玉をちょうどk回撮り出す確率をP[k]とする。P[k]をkの式で表せ。
ただし、k=1,2,3…,nとする。
(2)(1)で求めたP[1],P[2],P[3]……,P[n]について、Q[n]=2P[1]+2^2P[2]+2^3P[3]+……+2^nP[n]とおく。
このQ[n]について極限lim[n→∞]Q[n]の値を求めよ。
よろしく御願いします。
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No.1920 - 2008/08/04(Mon) 13:51:37
| ☆ (No Subject) / ヨッシー  | | | 【1】
(1) はおそらくP[1],P[2] でしょう。
P[0]＝1 であり、ｃの確率で点Ａにあり続けるので
P[1]＝ｃ
P[2]＝ｃP[1]＋(1-2c)(1-P[1])＝ｃ2＋(1-2c)(1-c)＝3c2-3c+1
(2)
P[n+1]＝ｃP[n]＋(1-2c)(1-P[n])
＝(3c-1)P[n]＋(1-2c)
(3)α＝(1-2c)/(2-3c) とおくと、
P[n+1]−α＝(3c-1)(P[n]−α) と書けます。
Q[n]＝P[n]−α とおくと、Q[n] は、初項が
Q[0]＝1−α 公比が 3c-1 の等比数列となり、一般項は
Q[n]＝(1-α)(3c-1)^(n-1)＝{(1-c)/(2-3c)}(3c-1)^(n-1)
よって、
P[n]＝Q[n]＋α＝(1-2c)/(2-3c)＋{(1-c)/(2-3c)}(3c-1)^(n-1)
(4) 0＜ｃ＜1/2 より
-1＜3c-1＜1/2 なので、ｎ→∞ のとき (3c-1)^(n-1)→0
であるので、
P[n]→(1-2c)/(2-3c)
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No.1921 - 2008/08/04(Mon) 14:54:19 |
| ☆ Re: / syu | | | わかりやすい解答ありがとうございます。
自分でも解けるようになるまで、勉強したいと思います。
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No.1927 - 2008/08/04(Mon) 18:51:21 |
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