２つの正の整数a,bの間に等式
1/a+5 + 1/b+5 = 3/k …?@ が成立している。
(1)k=15のとき，abのとりうる値を求めよ。
(2)k=30のとき，abの最小値を求めよ。
よろしくお願いします。
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No.1048 - 2008/06/09(Mon) 20:04:54
| ☆ Re: / rtz | | | {1/(a+5)}＋{1/(b+5)}＝3/kですか？
適宜括弧を補って下さると分かりやすいです。
間違っていましたので修正しました。申し訳ありません。
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No.1049 - 2008/06/09(Mon) 20:27:09 |
| ☆ Re: / X | | | >>rtzさんへ
>>⇔k(b+5)＋k(a+5)＝(a+5)(b+5) （両辺にk(a+5)(b+5)をかける）
ですが
⇔k(b+5)＋k(a+5)＝3(a+5)(b+5)
の誤りではありませんか？
(2)の別解を載せておきます。
問題の等式をk=30のときrtzさんと同様の方法で変形すると
3ab-15(a+b)-225=0
∴ab-5(a+b)-75=0 (A)
さてここからですが
方針1)
(A)を満たす自然数の値の組(a,b)を求めます。
方針2)
a>0,b>0ですので相加平均と相乗平均の関係から
a+b≧2√(ab) (B)
(等号成立はa=bのとき)
∴√(ab)=tと置くと(A)(B)より
t^2-10t-75≧0かつt>0
これを解いてまずtの値の範囲を求めます。
但し、不等号の下の等号成立条件に注意しましょう。
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No.1050 - 2008/06/09(Mon) 20:29:33 |
| ☆ Re: / rtz | | | ＞Xさん
あ、本当ですね。
以下のように修正します。
{1/(a+5)}＋{1/(b+5)}＝3/k
⇔3k(b+5)＋3k(a+5)＝9(a+5)(b+5) （両辺に3k(a+5)(b+5)をかける）
⇔9(a+5)(b+5)−3k(b+5)−3k(a+5)＝0
⇔{3(a+5)−k}{3(b+5)−k}＝k2
⇔{3a−(k-15)}{3b−(k-15)}＝k2
まで式変形すれば、
(1)
k＝15を代入すればabが出ます。
(2)
(3a−15)(3b−15)＝900⇔(a−5)(b−5)＝100で、a-5,b-5≧-4です。
(-4)2＝16＜100なので、正の候補だけ考えます。
(a−5)(b−5)＝100⇔ab＝5(a＋b)＋100
ですから、abが最小のとき、a＋bも最小です。
a＋bが最小なら、a＋b−10＝(a−5)＋(b−5)も最小です。
よって、相加相乗を使えば(a−5)＋(b−5)の最小値が出せます。
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No.1051 - 2008/06/09(Mon) 21:22:34 |
| ☆ Re: / Π | | | 回答ありがとうございます。
Ｘさんの方針１は
(a-5)(b-5)=100,a-5≧-4，b-5≧-4 より、これを満たす
(a-5,b-5)の組は
(1,100),(2,50),(4,25),(5,20),(10,10)
であるから
(a,b)=(6,105),(7,55),(9,30),(10,25),(15,15) であり
abの最小値は(a,b)=(15,15)の時で
15×15=225（答）
というやり方でいいですか？
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No.1064 - 2008/06/10(Tue) 20:16:23 |
| ☆ Re: / X | | | 大筋ではそれで問題ありません。
答もそれで正しいと思います。
只、a,bの間に大小関係の条件はありませんので
(a-5,b-5)の組は
(1,100),(2,50),(4,25),(5,20),(10,10)
,(100,1),(50,2),(25,4),(20,5)
となります。
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No.1071 - 2008/06/11(Wed) 01:49:23 |
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