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★ 球 / 桜　高校2
こんばんは。
いつもお世話になっております
よろしくお願いいたします。

一辺の長さがaの正四面体に球が内接している。
(1)球の半径をaを用いて表せ。
(2)正四面体と球の体積比を求めよ。


教えてください
よろしくお願いいたします。
No.2475 - 2008/09/02(Tue) 18:31:13
☆ Re: 球 / ヨッシー
(1)

△ＢＣＤの重心をＨとすると、ＢＣ＝ａ に対して、
ＨＢ＝ＨＣ＝ＨＤ＝a/√3＝√3a/3
△ＡＢＨにおいて、∠ＡＨＢ＝90° なので、
三平方の定理より　ＡＨ＝√6a/3
内接球の中心を点Ｉとすると、点Ｉは、ＡＨ上にあり
　ＡＩ：ＩＨ＝３：１
求める半径はＩＨにあたるので、
　ＩＨ＝(1/4)ＡＨ＝√6a/12

(2)
正四面体の体積：
　△ＢＣＤにおいて、ＣＤの中点をＭとすると、
　　ＣＤ＝ａ，ＢＭ＝√3a/2
　より、△ＢＣＤ＝√3a^2/4
　さらにＡＨ＝√6a/3 より、
　求める体積は、
　　(1/3)×√3a^2/4×√6a/3＝√2a^3/12
球の体積
　(4π/3)(√6a/12)^3＝√6πa^3/216
よって、体積比は、
　√2a^3/12：√6πa^3/216＝6√3：π
No.2476 - 2008/09/02(Tue) 19:06:26
☆ Re: 球 / 桜　高校2
とっても丁寧な図と解説ありがとうございます。
ヨッシーさんにはいつもお世話になっております。
おかげさまで解けました！
No.2482 - 2008/09/02(Tue) 22:24:45
★ (No Subject) / ラスク
またまたすみません；；
自分なりに解いてみたのですが
これであっていますか？
違ったら正しい回答とよければ解説もお願いします。

定価900円の品物を2割引で売ったが、
なお2割の利益があった。
次の問に答えよ。
（１）原価はいくらだったか。
（２）定価は原価の何％増しにつけられていたか。

自分の回答
（１）720-144=576（円）
（２）900÷576=1.5625
　　　　　　　=56（％）

お願いします。
No.2462 - 2008/09/01(Mon) 22:32:07
☆ Re: / ヨッシー
残念ながら、不正解です。
定価900円の品物を(定価の)2割引で売ったが、
なお(原価の)2割の利益があった。
という意味です。
No.2463 - 2008/09/01(Mon) 22:38:37
☆ Re: / ラスク
ありがとうございます。

定価の2割引→900×0.2＝720円
原価をxと考えて
原価の2割→x×0.2＝0.2x
ということですか??；；
No.2465 - 2008/09/01(Mon) 22:59:45
☆ Re: / ヨッシー
720円 が売値ですね。
これが、原価の何倍にあたるでしょうか？
つまり原価をｘとすると、[　　]ｘ と書けるでしょうか？
0.2x は、利益分ですね。
No.2467 - 2008/09/01(Mon) 23:15:54
☆ Re: / ラスク
原価をxとすると、［1.2］xで、
720-0.2x=x
720=1.2x
x=600
原価は600円

あってますか??
No.2469 - 2008/09/02(Tue) 00:15:44
☆ Re: / ヨッシー
正解です。
ただし、720-0.2x=x は、やや蛇足気味ですね。
いきなり 720=1.2x でいいです。
No.2472 - 2008/09/02(Tue) 05:47:25
☆ Re: / ラスク
わかりましたw
ありがとうございました！
No.2480 - 2008/09/02(Tue) 21:00:01
★ 図形 / かず
図のような板がある。これを線に沿って２枚に切り離し、それをつなぎあわせると８×８マスの正方形ができるという。どう切ればよいだろうか。

すみませんが教えてください。
No.2457 - 2008/09/01(Mon) 21:12:12
☆ Re: 図形 / らすかる
ここで切る
No.2459 - 2008/09/01(Mon) 22:04:49
☆ Re: 図形 / ヨッシー
先を越されましたが、一応作ったので載せておきます。

No.2460 - 2008/09/01(Mon) 22:12:00
☆ コツを教えてください / √
横から、すみません。

このような問題は、
まず、どのように考えていったら良いのか、
を教えてください。
No.2470 - 2008/09/02(Tue) 00:40:41
☆ もしかして / √
管理人ヨッシー様

もしかして、人様の質問に便乗することは、
マナー違反でしょうか？

もし、そうでしたら次回からは、新しくスレッドをたてますので、今回はお許しくださいｍ（＿）ｍ
No.2471 - 2008/09/02(Tue) 01:14:57
☆ Re: 図形 / ヨッシー
>マナー違反でしょうか？
別に、かまいませんよ。


右の２マスの出っ張りがあるので、６マスの所が出来るだろうということと、
上の４マスに対して、空白が４マスありますので、
図の赤線あたりに切れ目が来るなぁ、くらいの予測を付けて、
あとはひらめきですね。
No.2473 - 2008/09/02(Tue) 05:57:40
☆ 有り難うございました / √
ヨッシーさん　有り難うございました。

「裁ち合わせ」って難しいですね。
No.2474 - 2008/09/02(Tue) 09:46:30
★ 集合 / にし
a＞0の実数とする。2次不等式ax^2-3a^2x+2a^3≦0の解の集合をＡ，x^2+x-2≧0の解の集合をＢとする。このとき，集合Ａ∩Ｂか空集合となるようなaの値の範囲を求めよ。

教えていただけるとうれしいです。
宜しくお願いします。
No.2456 - 2008/09/01(Mon) 20:53:12
☆ Re: 集合 / ヨッシー
x^2+x-2≧0 の解は x≦-2, x≧1 なので、
ax^2-3a^2x+2a^3≦0 の解が -2＜ｘ＜1 の範囲に入っていれば
良いことになります。
ａ＞０ より、ax^2-3a^2x+2a^3≦0 の解は、
a(x-a)(x-2a)≦0 より、a≦ｘ≦2a なので、
　-2＜a かつ 2a＜1
となります。よって、　-2＜a＜1/2
No.2464 - 2008/09/01(Mon) 22:44:39
☆ Re: 集合 / rtz
＞ヨッシーさん
条件のa＞0が抜けていますので0＜a＜1/2ですね。
No.2466 - 2008/09/01(Mon) 23:12:57
☆ Re: 集合 / ヨッシー
そうでした。
失礼しました。
No.2468 - 2008/09/01(Mon) 23:17:30
☆ Re: 集合 / にし
なるほど！有難うございます！
No.2477 - 2008/09/02(Tue) 20:06:02
★ 正方形 / カッコ（中一）
中一の問題ですが、解からないところがあります。
『１辺がａcmの正方形で４ａはどんな数量を表していますか』という問題で、答えを『周辺の長さ』と書いたら、
間違えました。これは、違っているのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.2453 - 2008/09/01(Mon) 20:21:39
☆ Re: 正方形 / rtz
意図していることは正しいでしょうが、
普通は「周りの長さ」というと思います。
No.2454 - 2008/09/01(Mon) 20:32:55
☆ Re: 正方形 / ヨッシー
『周の長さ』『４辺の長さの和』なら良かったかも。
あるいは、『周の長さをcmで表したときの数値部分』と
まで要求するか？まさかね。

で、先生の用意した解答は？
No.2455 - 2008/09/01(Mon) 20:34:41
☆ Re: 正方形 / カッコ（中一）
教えていただきありがとうございます
先生の解答は『正方形の周の長さ，ｃｍ』でした
周辺の長さとはいわないのでしょうね。
どうもありがとうございました。
No.2458 - 2008/09/01(Mon) 21:20:32
★ 加法定理 / もやし
?@cosθ＋sinθ=０（０≦θ≦π）？

?AsinＸ‐√３cosＸ=√２（０≦Ｘ≦π）？

の方程式が解りません?ﾎ
宜しくお願いします。
No.2450 - 2008/09/01(Mon) 09:02:44
☆ Re: 加法定理 / ヨッシー
いわゆる合成公式ですが、もとをたどれば加法定理です。
(1)
cosθ＋sinθ＝√2{(1/√2)cosθ＋(1/√2)sinθ}
　＝√2{sin(π/4)cosθ＋cos(π/4)sinθ}
　＝√2sin(θ＋π/4)＝０
より、θ＋π/4＝π
(2)
sinＸ‐√3cosＸ＝2{(1/2)sinＸ−(√3/2)cosＸ}
　＝2{cos(π/3)sinＸ−sin(π/3)cosＸ}
　＝2sin(Ｘ−π/3)＝√2
より　Ｘ−π/3＝π/4
No.2451 - 2008/09/01(Mon) 11:28:56
★ 百分率と歩合 / ラスク

定価で売ると、1冊について100円の利益がある書籍を
定価の1割引で売った利益は、2割引で売った利益の
3倍に等しい。この書籍の原価を求めよ。

定価をxとして考えると
0.9x＝0.8x×3
という式が出てきたのですが
ここから先がわかりません。
この式は使えるのでしょうか？；；

教えてください。
よろしくお願いします。
No.2447 - 2008/09/01(Mon) 00:35:33
☆ Re: 百分率と歩合 / gaku
0.9x円は売上金であって，利益ではないです。売上げから原価を引いた金額が利益です。この場合，原価は(x-100)円。
No.2448 - 2008/09/01(Mon) 01:06:26
☆ Re: 百分率と歩合 / ラスク
gakuさんありがとうございます。

xの求め方がわかりません＞＜
面倒ですみませんが解説お願いします。
No.2449 - 2008/09/01(Mon) 07:19:10
☆ Re: 百分率と歩合 / ヨッシー
>定価をxとして考えると
までの方針が決まっているので、あとは
「問題文に書いてあるとおりに式を作る」です。
定価：ｘ円
原価：ｘ−100円　→　利益：100円
定価の１割引の売値：0.9ｘ
その時の利益：0.9ｘ−(ｘ−100円)＝100−0.1ｘ
定価の２割引の売値：0.8ｘ
その時の利益：0.8ｘ−(ｘ−100円)＝100−0.2ｘ

ここまで確認しておいて、
>定価の1割引で売った利益は、2割引で売った利益の3倍に等しい
を式にすると、
　100−0.1ｘ＝３(100−0.2ｘ)
あとはこれを解くだけです。

答えは400円です。
No.2452 - 2008/09/01(Mon) 11:34:38
☆ Re: 百分率と歩合 / ラスク

理解できました！
丁寧な解説ありがとうございました。
No.2461 - 2008/09/01(Mon) 22:15:28
★ 数Ａ / ゆき（高一）
こんばんは、またまたお願いします＞＜

△ABCの中線AM上（点Aを除く）に任意の点Pをとるとき、AB＜ACならば、PB-PC＜AB-ACであることを証明せよ。

名前が間違っていたので訂正しました＾＾；
よろしくお願いします！！

No.2445 - 2008/08/31(Sun) 23:44:28
★ はじめまして★ / あ
　
(1)
4x^2-28xy+49y^2
　
(2)
4x^2-100y^2
　
(3)
連続する3つの整数では
一番大きい数の2乗と
一番小さい数の2乗の
和から2をひいたものが
中央の数の2乗の2倍と
等しくなることを中央の
整数をnとして証明しなさい
　

この問題が全然
解けません(´;ω;)
解き方を教えて
ください。
お願いします!!
　

No.2441 - 2008/08/31(Sun) 22:37:00
☆ Re: はじめまして★ / とおりすがり
(1)(2)は因数分解ですか？
だとします．

(1)
4x^2 - 28xy + 49y^2 = (2x)^2 - 2*(2x)*(7y) + (7y)^2 = ・・・

(2)
4x^2 - 100y^2 = (2x)^2 - (10y)^2 = ・・・

(3)
連続する3つの整数は，中央の整数をnとすれば
n - 1，n，n + 1
と表せます．
一番大きい数の2乗と一番小さい数の2乗の和から2をひいたものは
(n + 1)^2 + (n - 1)^2 - 2
と書けて，更に中央の数の2乗の2倍は
2n^2
となります．
あとはこれが等しいことを言えば良い．
No.2442 - 2008/08/31(Sun) 23:10:20
☆ Re: はじめまして★ / 7bitm　
なんとなく付け足すと、

(1)　
慣れないうちは「たすきがけ」を使うと良いかと。

(2)
まずは共通因数でくくった方が楽かな？
No.2446 - 2008/09/01(Mon) 00:02:59
★ (No Subject) / β　高校２
nが自然数の時、次の等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
１^3＋２^3＋……＋ｎ^3＝{ｎ(ｎ＋１)／２}^2

数学的帰納法がよくわかっていなくて解き方が分かりません。
宜しくお願いします。
No.2440 - 2008/08/31(Sun) 22:33:56
☆ Re: / ヨッシー
数学的帰納法の基本的なパターンは、
たとえば、すべての自然数ｎについて成り立つことを言う場合、
(1) n=1 のとき成り立つことを言う
(2) n=k のとき成り立つとしたとき、n=k+1 のときも
　　成り立つことを言う。
(3) (1)(2)より、すべての自然数ｎについて成り立つ
です。

上の問題の場合、
(1)n=1 のとき、
　(左辺)＝１3＝１
　(右辺)＝{ｎ(ｎ＋１)／２}^2＝１
　より、与式は成り立つ。
(2)
　n=k のとき
　1^3＋2^3＋……＋k^3＝{k(k+1)/2}^2
　が成り立つとき、n=k+1 を考えると、
　1^3＋2^3＋……＋k^3＋(k+1)^3＝{k(k+1)/2}^2＋(k+1)^3
　　＝k^2(k+1)^2/4＋4(k+1)^3/4
　　＝(k+1)^2{k^2＋4(k+1)}/4
　　＝(k+1)^2(k+2)^2/4＝{(k+1)(k+2)/2}^2
　より、n=k+1 のときも、与式が成り立つ。
(3) 以上より、すべての自然数ｎについて、与式が成り立つ。
No.2444 - 2008/08/31(Sun) 23:43:38
★ 数I　2次関数 / 匿名
この前はお世話になりました！

(1)x^2+2y=2,x≧0,y≧0のとき、x^2+y^2の最大値と最小値を
　求めよ。
　》いつも通りにyを消去したのですが式が複雑になって
　　できませんでした。この場合はどう解くのでしょうか？

(2)y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)+10の値域を求めよ。
　》これはx^2-2xを何かに置き換えて考えるのでしょうか？
　でもそのあとがわかりません。

(3)x^2-13x+40≧0
　 x^2+(k-4)x-4k＜0
　 これを同時に満たす整数値が5だけであるように、　
　 定数kのとりうる値の範囲を定めよ。
　 》答えは-8≦k＜-5なのですが、-8が≦になるのが
　　 わかりません。≦だと同時に満たす整数値は
　　 5と8になってしまうと思うのですが…

3問ありますが宜しくお願いします;;
No.2435 - 2008/08/31(Sun) 18:28:51
☆ Re: 数I　2次関数 / ヨッシー
(1)
x^2+2y=2,x≧0,y≧0　をグラフに描くと、0≦ｙ≦1 であることが分かります。
x^2+y^2＝k として x^2+2y=2 に x^2＝-y^2＋k を代入して
　-y^2＋k＋2y＝2
　y^2−2y＋2−k＝０
　ｋ＝(y-1)^2＋1
これと、0≦ｙ≦1 より、1≦ｋ≦2 となります。

x^2+2y=2 のグラフに、円：x^2+y^2＝r^2 を重ねて、半径ｒの
最大最小を見つける方法もあります。

(2)
X=x^2-2x とおくと、X=(x-1)^2-1 より、X≧-1 です。
このとき、
　ｙ＝X^2＋4X＋10＝(X+2)^2＋6
と、X≧-1 より ｙ≧7

(3)
x^2+(k-4)x-4k＜0 の k＜-4 のときの解は、
　４＜ｘ＜−ｋ
なので、ｋ＝−８ でも、ｘ＝８ は含まれません。
No.2437 - 2008/08/31(Sun) 18:49:48
★ (No Subject) / L
三角ＯＡＢ
ＡＢをｍ：ｎにない分

点をＱとする
ＯＡＱ：ＯＢＱ＝ｍ：ｎ
になるんですか？？？？
なる場合なぜかをおしえてくださいｍ
No.2429 - 2008/08/31(Sun) 00:17:11
☆ Re: / hari
なります。その二つの三角形は高さが等しく、底辺がｍ：ｎの比なので面積もｍ：ｎになります。
No.2430 - 2008/08/31(Sun) 00:42:32
☆ Re: / L
ありがとうございます
No.2431 - 2008/08/31(Sun) 00:48:48
★ 二次関数 / ゆき（高１）
こんばんは、分からないので教えてください＞＜！

kを定数とする。放物線y=(x-1)^2+kについて、以下の問いに答えよ。
（１）直線ｙ＝ｘが接戦となるように定数ｋの値を求めよ。
（２）ｋ＝０のとき原点をとおりこの放物線に接する接線をすべて求めよ。
（３）ｋの値を変化kさせると原点を通る接線の本数はどうなるか。

（１）と（２）はできたのですが。。。（３）が分からないです。
よろしくご指導お願いします。
No.2427 - 2008/08/30(Sat) 23:15:27
☆ Re: 二次関数 / hari
原点を通る接線をy = mxとおいて連立すると
x^2 - (2 + m)x + k + 1 = 0
となり判別式を考えると接するので0になります。
D1 = (2 + m)^2 - 4(k + 1) = 0

今度はmに注目します。D1 = 0を満たすmが存在しなければ接線は0本、存在すれば解の個数はいくつか調べます。

m^2 + 4m - 4k = 0
D2 = 4 + 4k
となりk＜-1で0本、k = -1で1本、k＞-1で2本と変化することがわかります。
No.2428 - 2008/08/30(Sat) 23:59:27
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

図のような、グラフの位置と接線の数の関係が
思い描ければ、方針が立てやすいと思います。
No.2432 - 2008/08/31(Sun) 06:15:49
★ (No Subject) / ｆだｓ
赤球
黄球
青球

が２個ずつ計６個ある

同じ色の球が隣り合わないように一列に並べる方法
は何通りあるか

９０−６（隣り合う）

ですか？？？
No.2424 - 2008/08/30(Sat) 22:43:36
☆ Re: / ヨッシー
その「６」というのは、
赤も黄も青も隣り合っている場合ですね。

赤黄　で始まるパターンが何通りあるかをまず数えましょう。
計算しましょうではありませんよ。数えましょう。
No.2425 - 2008/08/30(Sat) 22:55:31
★ 期待値☆ / ｒｉａ

教えてください.

３枚の硬貨を同時に投げるとき、
表の出る枚数の期待値を求めよ。

この場合、表と裏の1/2の確率で３枚あるから
1/2×1/2×1/2＝1/8
であってますか？
自信がないのでよろしくお願いします。。
No.2414 - 2008/08/30(Sat) 16:44:05
☆ Re: 期待値☆ / gaku
こんにちは

riaさんは「期待値」と「確率」を混同していますよ。

この問題では，3枚同時に投げると何枚表になることが「期待できるか」を求めます。
No.2416 - 2008/08/30(Sat) 18:02:24
☆ Re: 期待値☆ / ria
そぉなんですか！z
ありがとうございます*...

別の問題で、賞金の期待値を求める問題は
できたのですが、この問題はどのように
したらよいかわかりません＞＜
教えてください.
No.2433 - 2008/08/31(Sun) 17:55:27
☆ Re: 期待値☆ / ヨッシー
賞金の期待値と同じ考え方ですよ。

(表が0枚の確率)×０＋(表が1枚の確率)×１(表が2枚の確率)×２(表が3枚の確率)×３
No.2434 - 2008/08/31(Sun) 18:11:06
☆ Re: 期待値☆ / ria

ありがとうございます+..

もうひとつ自信のない問題があるのですが、
教えてください.

【問】袋の中に図のような７枚のカードが入っている。
　　　この中から１枚取り出すとき、出る数字の
　　　期待値を求めよ。
　　　
　　（図）　?@　?A　?B　?C　?D　?D　?D

　　この場合、
　　1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7＋5×3/7＋5×3/7
　　＝55/7

　　これであってますか？
No.2436 - 2008/08/31(Sun) 18:48:27
☆ Re: 期待値☆ / ヨッシー
1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7＝25/7
です。
３つの５を、5A,5B,5C のように区別するなら、
それぞれの確率は １／７ なので、後半部分は、
　5×1/7＋5×1/7＋5×1/7＝15/7
区別せずに、５が３枚とするなら、
　5×3/7＝15/7
です。

チェックポイント１
　確率の和は１になるべきです。
　1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7＋5×3/7＋5×3/7
　では、
　1/7＋1/7＋1/7＋1/7＋3/7＋3/7＋3/7＝13/7
　になります。
　1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7
　のように、
　1/7＋1/7＋1/7＋1/7＋3/7＝7/7＝１
　にならないといけません。

チェックポイント２
　１から５までのカードなのに、１回あたりの期待値が
　55/7≒7.8
　というのは、おかしいですね。
No.2438 - 2008/08/31(Sun) 18:56:18
☆ Re: 期待値☆ / ria

わかりました！
とてもわかりやすい
解説ありがとうございます.
No.2443 - 2008/08/31(Sun) 23:23:50
★ 和積or積和！？ / Jez-z
鋭角三角形ABCを考える。このとき
cosA+cosB+cosCの最大値を求めよ。

いろいろと変形した結果、
2cos{(A+B)/2}〔cos{(A-B)/2}-cos{(A+B)/2}〕+1
までできたのですが、次にどうすればよいのか…
ここら辺で、最大値の考察を始めるべきでしょうか？
予想では「３」だと思うのですが・・・

お願いします。
No.2407 - 2008/08/30(Sat) 00:38:57
☆ Re: 和積or積和！？ / hari
大体こういうのって正三角形で最大になるものなんですよ。

cosA + cosB＋cosC
= cosA + 2cos((B + C)/2)cos((B - C)/2)
≦cosA + 2cos((B + C)/2)　(∵0≦|B - C|＜π/2)
= cosA + 2sin(A/2)
= 1 - 2sin2(A/2) + 2sinA
= -2(sin(A/2) - 1/2)2＋3/2
≦3/2
等号成立は、B = CかつA = π/3なのでA = B = C = π/3で最大値3/2です。

【追記】Jez-zさんの式を
2cos{(A+B)/2}〔cos{(A-B)/2}-cos{(A+B)/2}〕+1
≦ 2sin(C/2)((1 - sin(C/2)) + 1)
として平方完成すれば一緒になりますね。

「別解」
関数の凸性を利用します。f(x)がある区間で上に凸のときその区間内で
f((A + B + C)/3)≧(f(A) + f(B) + f(C))/3・・・(☆)
が成り立ちます。
左辺はA、B、Cの平均、右辺はf(x)上の三点で作られる三角形の重心なので大小関係はグラフを見れば一目瞭然ですね。
ここの一番下参照（ただしこの図は下に凸なので不等号が逆向きです。）

[0,π/2]でcosxは上に凸ですので(☆)でfをcosにとすればよいです。等号はA = B = Cのとき成立。

参考URL
No.2409 - 2008/08/30(Sat) 03:10:20
☆ Re: 和積or積和！？ / にょろ
予想について

その予想は不味いだろうと言っておきますね。
まず、cosθの最大値がそもそも1なんです。
つまり「３」が最大値であるならば
cosA=cosB=cosC=1
でなければなりません。
全部の角度が0って…
三角形じゃないですよね^^;
No.2411 - 2008/08/30(Sat) 12:27:34
☆ Re: 和積or積和！？ / Jez-z
hariさん、にょろさんありがとうございます。
勉強になりました＾＾
No.2415 - 2008/08/30(Sat) 17:44:18
☆ Re: 和積or積和！？ / Jez-z
即興で作ったのですが、問題が
cosAcosBcosCの最大値を求めよ。に変わったらどうでしょう？
この場合、最大値って求めることできますか？
ちなみに、以下のところまでやってみたのですが・・・

与式を変形して
-cosAcosBcos(A+B)
このあと、積→和の公式と2倍角の公式を用いて（共通因数が出てくるといいなと願いつつ）変形してみましたが、失敗してしまいました。

積の場合も「予想」としては「正三角形」が妥当なのでしょうか？そしたら、cos60°=1/2より
与式の最大値は1/8になると予想できますが・・・

ご指導、お願いします
No.2418 - 2008/08/30(Sat) 18:03:10
☆ Re: 和積or積和！？ / rtz
cosAcosBcosC
＝(1/2){cos(A+B)＋cos(A-B)}cosC
＝(1/2){−cos2C＋cos(A-B)cosC}
＝(-1/2){cosC−(1/2)cos(A-B)}2＋(1/8)cos2(A-B)
≦(1/8)cos2(A-B) (等号成立はcosC＝(1/2)cos(A-B))
≦1/8
等号成立は、
cos(A-B)＝1即ちA＝B(∵-180°＜A-B＜180°)、
cosC＝1/2からC＝60°よりA＝B＝C＝60°即ち正三角形。
No.2419 - 2008/08/30(Sat) 18:24:33
☆ Re: 和積or積和！？ / hari
どのような問題が「正三角形が正解として妥当」かというのはわかりませんが、よくあるということです。
そして今回も正三角形のとき最大となります。

f(x) = log(cosx)を考えるとfは区間内で上に凸です。
sinの場合が京大で入試問題となったようです。ある入試問題の別解

cosAcosBcosC = (1/2)(cos(A + B) + cos(A - B))cosC
≦(1/2)(- cosC + 1)cosC = (-1/2)(cosC - 1/2)2 + 1/8≦1/8
No.2420 - 2008/08/30(Sat) 18:27:19
★ (No Subject) / ｆだｓ
★ (No Subject) / ｆだｓ 引用
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o
重解のときaの値を求めよ
ってのがわかりません
（ｘ−１）・・・


No.2339 - 2008/08/27(Wed) 14:36:34

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: / rtz 引用
同じ投稿を2度されるのは結構ですが、
何が何をどう重解なのかきちんと書いてください。
問題文として不適切です。


No.2345 - 2008/08/27(Wed) 15:39:21

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: NEW / ｆだｓ 引用
（２）
aを実数とする　ｘの３次方程式
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o・・・・Ａ
について
Ａが重解をもつときaの値を求めよ
ってのがわかりません



なんか
あがんない（？）みたいなんで
もう一度投稿しますｍｍｍ
No.2404 - 2008/08/29(Fri) 23:39:20
☆ Re: / rtz
本当にそれで問題文は正しいのですか？
aは1つに定まりませんよ？
No.2410 - 2008/08/30(Sat) 07:54:41
☆ Re: / ｆだｓ
あと

aを実数とする　ｘの３次方程式
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o・・・・Ａ
について
１）x=１はＡの解であることを示せ

２）Ａが重解をもつときaの値を求めよ

です
No.2413 - 2008/08/30(Sat) 14:05:02
☆ Re: / とおりすがり
bとは何か書いてありませんか？
でないと(1)は出来ないと思いますが・・・
No.2417 - 2008/08/30(Sat) 18:02:38
☆ Re: / ｆだｓ
まじでごめんなさいｍｍｍｍｍｍｍｍｍｍ
ほんっとごめんなさいｍｍｍｍｍｍｍｍ







ｂじゃなくて
７でした；；；；；；；；ＯＴＺ
No.2421 - 2008/08/30(Sat) 19:35:54
☆ Re: / ヨッシー
右辺もo ではなく 0 ですね。

>１）x=１はＡの解であることを示せ
これは、単にx=1 を代入して、0 になることを示すだけです。

２）Ａが重解をもつときaの値を求めよ
１）より、
　x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+7)
は、(x-1) を因数として因数分解できて
　(x-1){x^2-(2a+2)x+(3a+7)}
となります。
重解を持つためには、
　x^2-(2a+2)x+(3a+7)＝０　が x=1 を解とする
　x^2-(2a+2)x+(3a+7)＝０　が重解を持つ
のいずれかであればいいことになります。
前者は x=1 を代入、後者は判別式を調べる、です。
No.2422 - 2008/08/30(Sat) 19:52:51
☆ Re: / ｆだｓ
ありがとううございますｍｍｍｍｍｍｍ
No.2423 - 2008/08/30(Sat) 22:36:02
★ 二次関数 / ゆき（高１）
度々すみません、教えてください＞＜

xの二次不等式 2x^2-3x+k>0 について以下の問いに答えよ。
(1)全ての実数xに対して不等式が成り立つように実数kの範囲を定めよ。
(2)全ての有理数xに対して不等式が成り立つように有理数kの範囲を定めよ。
(3)全ての整数xに対して不等式が成り立つように整数kの範囲を定めよ。

(1)は解けて、k>9/8だと分かりました。
(2)は分からなかったです。答えはk>9/8ですが、考え方がよく分かりません。
(3)の解答がk≧2になっています。9/8の次の整数が2だから、という理由でよいのでしょうか。

よろしくお願いします！
No.2401 - 2008/08/29(Fri) 23:20:46
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

(1)
y=2x^2-3x にグラフを描いてみます。
このグラフは、頂点（3/4, -9/8) の下に凸のグラフです。
これに、ｋを足すと、このグラフはｙ軸方向に持ち上がりますが、
どれだけ持ち上げたら、グラフ全体がｘ軸の上に出るかと考えます。
k=9/8 だと、頂点だけ、ｘ軸上にあり、他は上に出ています。
よって、k＞9/8 であるｋを足せば、グラフ全体が上に出ます。

(2)
有理数の場合も、k=9/8 だと、x=3/4 のときに、不等式が
成り立っていないことになります。よって、(1) と同じく
k＞9/8 の条件が必要です。

(3)
一方、グラフの●は、ｘが整数の点ですが、(1,-1) が、一番
ｙの値が小さい点です。
そこで、ｋ＝１ とすると、ｘ＝１ の点がまだｘ軸上にあるので
もっと上げてやる必要があります。
ｋ＝２ とすると、ｘ軸の上に出るので、整数ｋの範囲は
　ｋ≧２
となります。

ｘ＝１ の点が (1, -0.9) などで、これが最小だと、ｋ≧１ で十分です。
No.2408 - 2008/08/30(Sat) 00:50:20
☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）
グラフまで丁寧に、ありがとうございました！＾＾
No.2426 - 2008/08/30(Sat) 23:11:28
★ 高２です / R
はじめまして。

△ABCにおいて、BC=２、∠B＋∠C＝60°とする。
(1)このような三角形の面積の最大値を求めよ。
その時の２辺AB,ACの長さを求めよ。
(2)(1)で得た三角形の内接円の半径を求めよ。

という問題の求め方がわかりません。
詳しく求め方を教えてください。
お願いします！
No.2398 - 2008/08/29(Fri) 21:19:04
☆ Re: 高２です / ヨッシー

∠B＋∠C＝60°ならば ∠A＝120° なので、
円周角の性質より、点Ａは、図のような円弧上にあります。
このうちで面積最大となるのは、点Ａが辺ＢＣから最も離れた点
に来たときで、図のようにＡＢ＝ＡＣとなるときです。

このとき、ＢＣの中点をＥとすると、ＢＥ＝ＥＣ＝１であり、
ＡＥ＝√3/3 であるので、△ＡＢＣの面積の最大値は
　(1/2)×2×√3/3＝√3/3
また、ＡＢ＝ＡＣ＝２ＡＥ＝2√3/3

(2)
内接円の中心をＤとすると、ＢＤは、∠ＡＢＣの二等分線。
角の二等分線の定理より、
ＡＤ：ＤＥ＝ＡＢ：ＢＥ＝２：√3
求める半径はＤＥであるので、
　ＤＥ＝ＡＥ×√3/(2＋√3)＝1//(2＋√3)
No.2399 - 2008/08/29(Fri) 22:42:16
☆ Re: 高２です / R

細かいご説明
ありがとうございました。

やっと理解することができました。
No.2406 - 2008/08/30(Sat) 00:28:42
★ 質問です！！ / 現役の小６
四角形の対角線の長さが５cmでそれ以外何1つ分かっていないのですが、どうすれば四角形の面積が求められるのでしょうか。
No.2395 - 2008/08/29(Fri) 18:23:48
☆ Re: 質問です！！ / rtz
"2本の対角線が垂直になっていて、両方長さが5cm"
ということですか？
問題は正確に書かないと、
解けるものも解けなくなってしまいますので、注意してください。

http://www.rakugakukobo.com/sansuu/sandojyo/sando_4/sd4_01_h3_09.htm
↑を参照してください。
No.2396 - 2008/08/29(Fri) 18:30:53
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