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★ 三角関数 / ワンチョペ
tanα=t（t≠±1）とするとき、次の式?@、?Aをtで表せ。

?@sin2α=？

?A1＋sin2α＋cos2α分の1＋sin2α−cos2α=？

が解りません。ぜひ教えてください。
No.1714 - 2008/07/23(Wed) 14:16:16
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
まず、sin と tan 、cos と tan の関係式
　１＋1/tan2α＝1/sin2α
　１＋tan2α＝1/cos2α
より、
　sin2α＝tan2α/(１＋tan2α)
　cos2α＝1//(１＋tan2α)
よって、
　sin2α＝2sinαcosα＝±2tanα/(１＋tan2α)
　　＝±2ｔ/(１＋ｔ2)
ところで、
　sin2αtanα＝(2sinαcosα)(sinα/cosα)＝2sin2α≧0
より、sin2α と tanα が異符号になることはないので、
　sin2α＝2ｔ/(１＋ｔ2)

(2)は、
１＋sin2α＋cos(1/2α)＋sin2α−cos2α
１＋1/(sin2α＋cos2α)＋sin2α−cos2α
1/(１＋sin2α＋cos2α)＋sin2α−cos2α
など、いろいろに読めますが、いずれにしても、(1) と同じ方法で
解けるでしょう。
No.1715 - 2008/07/23(Wed) 16:13:33
★ (No Subject) / 大学１回です。
もう１問お願いします。

問題
標的を射撃したときの横方向の誤差Ｘと縦方向の誤差Ｙは互いに独立で，ともに標準正規分布Ｎ（0，1）に従う。ただし，ここでＸ，Ｙは符号付きで考える。
（1）着弾点と目標との距離の２乗Ｘ＾2＋Ｙ＾2の密度関数を求めよ。
No.1713 - 2008/07/23(Wed) 08:53:51
★ (No Subject) / 大学１回です。
問題
指数分布に対して，Ｐ（Ｘ＜ｈ+ｔ｜Ｘ＞ｔ）＝Ｐ（Ｘ＜ｈ）がすべての正数ｈ，ｔ＞０に対し成り立つことを示せ。

よろしくお願いします。
No.1712 - 2008/07/23(Wed) 08:46:50
★ 三角関数 / ゆき
sinx/2+3cosx-2=0 (0≦x≦π)
この方程式の解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.1707 - 2008/07/22(Tue) 23:55:28
☆ Re: 三角関数 / 魑魅魍魎
sinx/2
は
sin(x/2)
それとも
(sinx)/2

のどちらでしょうか？
No.1708 - 2008/07/23(Wed) 00:19:46
☆ Re: 三角関数 / ゆき
すみません。
sin(x/2)の方です。
よろしくお願いします。
No.1709 - 2008/07/23(Wed) 00:27:39
☆ Re: 三角関数 / 魑魅魍魎
sin(x/2)+3cosx=2

cosx=1-2{sin(x/2)}^2
より

sin(x/2)+3-6{sin(x/2)}^2=2　　------(1)

sin(x/2)=Aとおくと

0≦x≦πより
0≦A≦1

(1)は
A+3-6A^2=2
6A^2-A-1=0
(3A+1)(2A-1)=0
A=-1/3 , A=1/2

0≦A≦1より

sin(x/2)=1/2

x/2=π/6
x/2=5π/6

(0≦x≦π)から
x=π/3
No.1710 - 2008/07/23(Wed) 00:47:55
☆ Re: 三角関数 / ゆき
分かりました☆
ありがとうございました
No.1751 - 2008/07/25(Fri) 17:14:48
★ もう１問おねがいします / くま
（1）k=1,2,3…のとき、不等式
1/k＋1＜∫[k→k＋1]1/xdx＜1/k
が成り立つことを示せ。

（2）n=2,3,4…のとき、不等式
logn＜1＋1/2＋1/3＋…＋1/n＜1＋logn
が成り立つことを示せ。
No.1704 - 2008/07/22(Tue) 20:33:59
☆ Re: もう１問おねがいします / rtz
(1)
区分求積です。
y＝1/xのグラフを描いて考えましょう。
積分の表す面積と、k〜k+1の幅が1であることを踏まえます。

(2)
(1)を∫[k〜k+1]1/xdx＜1/k＜∫[k-1〜k]1/xdx
に直し、k＝1〜nで足し合わせます。
ただし右辺は最初のみ1にします。
No.1706 - 2008/07/22(Tue) 22:04:43
☆ Re: もう１問おねがいします / くま
グラフ書いてもいまいちよくわからないです＞＜
No.1722 - 2008/07/23(Wed) 21:44:33
☆ Re: もう１問おねがいします / ヨッシー

グラフにおいて、
　1/(k＋1) は赤の面積
　∫[k→k＋1]1/xdx は黄色の面積
　1/k は青の面積
となっています。
No.1726 - 2008/07/24(Thu) 08:49:51
☆ Re: もう１問おねがいします / くま
わかったです！
じゃあ答えは図より〜って感じで大丈夫ですか？

(2)はいまいちわからないです＞＜
No.1729 - 2008/07/24(Thu) 15:54:05
★ おねがいします＞＜ / くま
次の極限値を求めよ。ただし、nは正の整数である。

（1）lim[n→∞]1/n??(k/n)^3

（2）lim[n→∞]1/n(cosπ/2n＋cos2π/2n＋cos3π/
2n＋…＋cosnπ/2n）
No.1703 - 2008/07/22(Tue) 20:29:03
☆ Re: おねがいします＞＜ / rtz
(1)
?納k＝1,n]k3を使います。

(2)
区分求積から、
∫[π/(2n)〜(n+1)π/(2n)]cosxdx＜(1/n)?納k＝1〜n]cos(kπ/2n)＜∫[0〜π/2]cosxdx
です。
No.1705 - 2008/07/22(Tue) 21:59:32
☆ Re: おねがいします＞＜ / くま
てことは、
（1）は、
lim[n〜∞]1/n?納k=1〜n]（k/n)^3
=lim[n〜∞]1/(n^4)｛(1/4)n^2(n＋1)^2
=lim[n〜∞]（n^2＋2n＋1)/4n^2
=1/4…(答)
でオッケーでしょうか？

(2)区分求積分の使い方がよくわかりません。。。
No.1721 - 2008/07/23(Wed) 21:35:35
☆ Re: おねがいします＞＜ / ヨッシー
とりあえず、こちらをご覧ください。
No.1723 - 2008/07/23(Wed) 22:16:00
☆ Re: おねがいします＞＜ / くま
どうもです。
ということは、
lim[n〜∞]1/n?納k=1〜n]coskπ/(2n）
=∫[0〜1]cos(xπ/2)

ってなるでオッケーでしょうか？
でもこの積分の解き方がわからないです。
No.1724 - 2008/07/23(Wed) 23:34:21
☆ Re: おねがいします＞＜ / ヨッシー
∫cos(xπ/2)dx＝(2/π)sin(πx/2)
ですね。
No.1725 - 2008/07/24(Thu) 08:41:59
☆ Re: おねがいします＞＜ / くま

[(2/π)sin(πx/2)](1〜2)＝2/π

できました！
ありがとうございます
No.1727 - 2008/07/24(Thu) 15:19:19
☆ Re: おねがいします＞＜ / ヨッシー
答えは良いですが、積分範囲は 0〜1 ですね。
落ち着いて！
No.1728 - 2008/07/24(Thu) 15:41:12
☆ Re: おねがいします＞＜ / くま
あ！タイプミスでした＾＾；
No.1734 - 2008/07/25(Fri) 00:04:54
★ (No Subject) / 大学4回　卒業あやういです
問題
離散時間フーリエ級数における以下の性質を証明せよ．ただし，周期N の関数x[n]，y[n] のフー
リエ係数をak，bk とし，n0 とM は定数とする．
1. 線形性：Ax[n] + By[n] → Aak + Bbk
2. 時間シフト：x[n − n0] → ake−ik(2π/N)n0
3. 周波数シフト：eiM(2π/N)nx[n] → ak−M


連続ですいません。よろしくお願いします。
No.1699 - 2008/07/22(Tue) 15:25:52
★ (No Subject) / 大学4回　卒業あやういです
問題
オイラーの公式eix = cos x+i sin x を利用して以下の問題に答えよ．導出過程も記載すること．
裏面を使ってもよい．
1. cos x をe を用いて表せ．
2. sin x をe を用いて表せ．
3. e−ix をcos x とsin x を用いて表せ．
4. sin2 x + cos2 x = 1 を証明せよ．


よろしくお願いします。
No.1698 - 2008/07/22(Tue) 15:24:39
☆ (No Subject) / ヨッシー
eix＝cosｘ＋ｉsinｘ
e-ix＝cosｘ−ｉsinｘ
から、1. と 2. と 3.は出来ますね。
また、これら２式を左辺どうし、右辺どうし掛けると・・・
No.1700 - 2008/07/22(Tue) 15:31:17
☆ Re: / 大学4回　卒業あやういです
ありがとうございます。
３の問題は導出過程はないんですか？
そのまま公式を引用でいいんでしょうか？
No.1701 - 2008/07/22(Tue) 15:50:52
☆ (No Subject) / ヨッシー
eix = cos x+i sin x の x に、-x を代入して、
だけで良いと思います。
でも、3. は、ホントにこういう問題でしょうか？
1. 2. で既出の式を、あえて 3. で聞くのは、考えにくいですが。
No.1702 - 2008/07/22(Tue) 17:10:21
★ (No Subject) / 大学１年です。
問1　Ｘ1，…，Ｘｎを互いに独立，かつ同一分布に従う確率変数とし，共通の分布関数をＦ（ｘ）とおく。その最大値Ｘ＝max｛Ｘ1，…，Ｘｎ｝の分布関数を求めよ。
　（Ｐ（Ｘ＜＝ｘ）＝Ｐ（Ｘ1＜＝ｘ，…，Ｘｎ＜＝ｘ）である。）

問2　ある川での年間を通じての瞬間最大流量は平均1の指数分布に従い，年が異なれば最大流量は互いに独立とする。５０年間での瞬間最大流量が８以下である確率を求めよ。
No.1695 - 2008/07/22(Tue) 00:21:11
★ (No Subject) / 大学１年です。
統計学のテストが迫っているのですが、特に証明問題が手に負えません。よろしくお願いします。

問　n個のデータＸ1，…，Ｘｎの標本分散，標本不遍分散はそれぞれ以下で与えられることを示せ。

　　・　１/２ｎ＾２?這煤iＸｉ−Ｘｊ）＾２　　

　　・　１/２ｎ（ｎ−1）?這煤iＸｉ−Ｘｊ）＾２

　　　　　　（i＝１→ｎ）（ｊ＝１→ｎ）
No.1694 - 2008/07/22(Tue) 00:11:15
★ 不等式の証明 / ooooooo
問：(sina+sinb)/2<=sin(a+b/2)を証明せよ。ただし、文字は全て０とπの間の数とする。

を教えて下さい。できれば(sina+sinb+sinc)/3<=sin(a+b+c/3),(sina+sinb+sinc+sind)/4<=sin(a+b+c+d/4)も知りたいので、一般化した証明が分かると嬉しいです。
No.1688 - 2008/07/21(Mon) 12:43:27
☆ Re: 不等式の証明 / キューダ
区間[0,π]においてsin(x)が上に凸であることを指摘すると、直ちに成立することが言えます。
丁寧に説明する場合には、関数を図示し、左辺が示す値、右辺が示す値を添えれば良いでしょう。

詳しくは、凸関数、関数の凸性、凸不等式などを検索してみてください。
文字数2,3,4個→n個という方向だけでなく、sin(x)→凸性を持つ全ての関数へと拡張できます。
No.1691 - 2008/07/21(Mon) 17:32:05
☆ レスありがとうございました！ / ooooooo
キューダ様、ご丁寧なレスありがとうございました。
アドバイスを参考に、もう少し熟考してみようと思います。
また機会がありましたら、お力を貸して頂けると嬉しいです。
No.1693 - 2008/07/21(Mon) 21:27:56
★ 数A / みかげ
【問】x+y+z=9を満たす自然数x,y,zの解の組は何通りあるか。

【解説】x-1=X,y-1=Y,z-1=Zとおくと
　　　x=X+1,y=Y+1,z=Z+1となり、x+y+z=9より
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=9
よって　　　X+Y+Z=6
　　　X,Y,Zは0以上の整数となる。
　　　すなわち、6個の〇と2個の｜を並べる並べ方の総数に　　　等しいから
　　　8!/(6!2!)=28(通り)　

【疑問】よってX,Y,Zは0以上の整数となる。のが何故なのか分かりません

よろしくお願いします
No.1686 - 2008/07/21(Mon) 12:07:34
☆ Re: 数A / らすかる
x-1=XとおいたのでXはxより1小さい数です。
xは自然数つまり1以上の整数ですから、Xは0以上の整数ですね。
No.1687 - 2008/07/21(Mon) 12:42:14
★ (No Subject) / 阿呆
１）4^log2３

２）４＾（２/３）÷24^（1/3）×18^（2/3）

をおしえてくださいいいいいいｍｍｍｍ
No.1685 - 2008/07/21(Mon) 10:23:51
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
1) ｘ＝4^log[2]３ 　とおいて対数をとると
log[2]ｘ＝log[2]３・log[2]４
　　　　＝２*log[2]３＝log[2](３^2)
∴ ｘ＝３^2＝９

2）4^(2/3)÷24^(1/3)×18^(2/3)＝16^(1/3)÷24^(1/3)×324^(1/3)
＝(16÷24×324)^(1/3)＝216^(1/3)＝６

となります。
No.1689 - 2008/07/21(Mon) 13:11:05
☆ Re: / 阿呆
okuremasitaga
あ　り　が　と　う　
No.1697 - 2008/07/22(Tue) 08:54:24
★ sincostan / K
問
sinx＋siny＝1、cosx＋cosy＝1/3のとき、tan(x＋y)/2の値を求めよ。

解　3

tanの展開のしかたがよくわかりません。
解答までの過程と解説を、どなたかよろしくお願いします。
No.1679 - 2008/07/20(Sun) 20:53:12
☆ Re: sincostan / rtz
＞tanの展開
必要ありません。

2式を和→積に直せばすぐ出ます。
No.1681 - 2008/07/21(Mon) 01:10:48
★ 「反転」の意味 / √
よろしくお願い致します。

「図形や絵が上下【反転】している」
の意味は、

「鏡像（線対称）」ということですか？
それとも
「１８０度、向きを変えた」ということですか？

昨日、ＩＱサプリを見ていて、ふと疑問に思いました。
No.1677 - 2008/07/20(Sun) 18:38:19
☆ Re: 「反転」の意味 / らすかる
「鏡像（線対称）」です。
No.1680 - 2008/07/20(Sun) 22:55:14
☆ Re: 「反転」の意味 / √
らすかるさん
有り難うございました。
No.1683 - 2008/07/21(Mon) 08:15:35
★ (No Subject) / ぽにょ　高3
次の極限値を求めよ。
lim(1-1/n)^n　(n→∞)

教えてください。お願いします。
No.1676 - 2008/07/20(Sun) 18:34:02
☆ Re: / にょろ
(1-1/n)^n=((1+(-1/n))^-n)^-1
でどうでしょ？
No.1682 - 2008/07/21(Mon) 04:32:16
☆ Re: / ぽにょ　高3
lim(1+x)^(1/x)=e　のx=-1/nとした時ってことですかね？
つまり答えは、e^(-1)ですね。
おかげでとても分りました。ありがとうございます☆
No.1696 - 2008/07/22(Tue) 01:48:01
★ (No Subject) / きんに
101.32kPaの下で，4℃の水１molを100℃で蒸発させると体積は何倍になるか．ただし，４℃での水の密度を1.00g/立方センチメートルとする．　　　　　　　　解答おねがいします
No.1672 - 2008/07/20(Sun) 15:37:29
☆ Re: / 七
0℃＝273K であれば
1mol の水が100℃で水蒸気になると
23.4･(273＋100)/273 [l(リットル)] の体積になります。
一方4℃での水の密度が1.00g/cm3ですから1mol＝18gの水の体積は
18 [cm3]です。
No.1674 - 2008/07/20(Sun) 18:11:19
☆ Re: / 七
書き忘れていましたが
101.32kPaを1atm(気圧)としています。
No.1678 - 2008/07/20(Sun) 18:41:26
☆ Re: / gion
>23.4･(273＋100)/273 [l(リットル)] の体積になります。
間違いその１：23.4ではなく22.4
間違いその２：1atm,273KのH2Oは気体ではない．
間違いその３：そもそもH2Oは３原子分子だ．
これはひどい．
No.1684 - 2008/07/21(Mon) 09:29:40
☆ Re: / 七
>gion,間違いその1
そうでした。
No.1692 - 2008/07/21(Mon) 20:39:31
★ (No Subject) / ayu
ｍ,ｎが整数のとき、ｍｎが偶数ならばｍ,ｎの少なくとも一方は偶数であることを証明せよ。

教えてください。
No.1670 - 2008/07/20(Sun) 12:48:45
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
背理法

「ｍ,ｎの少なくとも一方は偶数である」の否定は「ｍ,ｎともに奇数」

「ｍ,ｎともに奇数」とすれば、・・・ｍｎは・・・・
No.1671 - 2008/07/20(Sun) 14:42:39
★ ベクトル / アシメ 高3
2点(1,1,3)(3,5,5)を通る直線をlとし,原点に最も近いl上の点をAとする｡

(1)点Aの座標を求めよ｡
(2)B(x,y,z)をl上の点とする｡x=1のとき△AOBの面積を求めよ。

全くわかりません。
よろしくお願いします。
No.1667 - 2008/07/20(Sun) 01:19:05
☆ Re: ベクトル / 七
(1)
l上の任意の点P(x，y，z)とすると，tを実数として
(x，y，z)＝(1，1，3)＋t(2，4，2)
＝(1＋2t，1＋4t，3＋2t)
と表すことが出来る。
OP2＝(1＋2t)2＋(1＋4t)2＋(3＋2t)2
＝24t2＋24t＋11
＝24(t＋1/2)2＋5
だから t＝−1/2 のとき OP2は最小値5をとる。
OP≧0 だからこのとき OPも最小になり，その値は√5
t＝−1/2だから A(0，−1，2)
(2)
x=1のときt＝0だから
B(1，1，3)
OB＝√11
→OA･→OB＝5
△AOB＝(1/2)√(5･11−25)＝(1/2)√30
計算は間違っているかも知れません。
No.1675 - 2008/07/20(Sun) 18:33:46
☆ Re: ベクトル / アシメ
ありがとうございます。

OP2とはどういうことなのでしょうか？
No.1690 - 2008/07/21(Mon) 14:59:12
☆ Re: ベクトル / 七
>OP2とはどういうことなのでしょうか
直線上の任意の点Pと原点Oとの距離の2乗です。
No.1711 - 2008/07/23(Wed) 06:02:13
★ 模試の勉強で・・・ / 高１
二次関数の問題で二次関数ｆ(x）=ｘ＾2＋2ax＋ｂがありｙ=ｆ(ｘ）のグラフは点（1,8）を通る。ただしａ、bは実数の定数でａ＞０ ?@ｂをａをもちいて表せ ?Aｙ=ｆ(ｘ)のグラフの頂点が直線ｙ=ｘ＋１上にあるときａの値を求めよ ?B?Aのとき負の定数ｐについてｐ≦ｘ≦０における関数ｆ(ｘ）の最大値と最小値の差が-2ｐとなるｐの値を求めよ 。という問題があるのですが、先生がくれたプリントで答えが分かりません。出来れば、解答のチェックをしてほしいのですが。
(1)b=7-2a(2)a=(-3＋√33)/2(3)(-√33＋5-√22＋√6)/2となったのですがどうでしょうか。　
No.1665 - 2008/07/19(Sat) 22:18:58
☆ Re: 模試の勉強で・・・ / rtz
まず最初に、
書き込む際は適宜改行しましょう。
このままだと非常に見づらいです。

(1)は問題ありませんが、
(2)が間違っていますので、自動的に(3)も間違いです。

(2)はもっと簡単な数字になります、検算してみてください。
また、(3)は2つ答えがあります。
No.1666 - 2008/07/20(Sun) 00:40:07
☆ Re: 模試の勉強で・・・ / 高１
ありがとうございます。改行忘れてしましました。すいません。
(2)a=2 (3) p=-2 , -3-√5 ですか？
No.1669 - 2008/07/20(Sun) 09:41:15
☆ Re: 模試の勉強で・・・ / rtz
こちらの計算とも一致しました。
No.1673 - 2008/07/20(Sun) 16:28:39
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