集合{1,2,...,n}から集合{1,2,...,m}への写像について次の問題に答えなさい。 1 写像は何通りあるか。 2 nとmの関係がどのような場合に単射を作れるか?作れる場合の単射は何通りあるか? 3 nとmの関係がどのような場合に全射を作れるか? 4 nとmの関係がどのような場合に全単射を作れるか?作れる場合の全単射は何通りあるか。
(a,b)={x∈R|a<x<b}とする。 1 開区間(a,b)から開区間(c,d)への関数で、全単射となる関数を1つあげよ。
という問題がわかりません。答えてくれれば幸いです。
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No.590 - 2008/05/11(Sun) 20:11:37
| ☆ Re: 写像について / にょろ | | | (1)
A(x)を集合{1,2,...,n}から集合{1,2,...,m}への写像 Bを集合{1,2,...,n} とします。
Bの1から考え得る写像は A(1)=1 A(2)=2 ・ ・
とmまであります よって1の写像m通り 他の2,3,4からの写像もm通りなので
m^n通りです。 (写像に制限はないので全てのxでA(x)=1でも可)
(2)
単射とは A(1)=2ならば もう他のA(x)では2になら無いと言うことです。
取りあえずn=3,m=4でやってみましょう。
A(1)=2 とすると A(2)=4 A(3)=1
と決めるんです。
要するにnのグループの数字一つにつきmのグループの数字が一つ 一緒にいないといけないんです。 (浮気はダメです) 逆にmの数字は一人でもやっていけます。
というわけでn≦mです。
で、こういった理由で考え得る写像mPn通りです。 なぜなら、1…n迄の数字がmの中から数字を選ぶんですから
(3)さっきの例を挙げると 今度はmは寂しがり屋で絶対一人になること(A(x)=mとなるxが存在すること)を許してはくれません。 でも、自分は浮気します。 何人でも対応します。 (A(1)=A(3)=5とかでも良い)
n=4,m=3でやってみましょう。 A(1)=3 A(2)=1 A(3)=2 A(4)=3
これで、全てのmは遊び相手が見付かりました。
(4)
今回はmもnも寂しがり屋で浮気禁止です。 要するにnの遊び相手のmは絶対一人居ないといけないし その逆もそう 勿論浮気も認めない(A(2)=A(5)=2はだめ)
つまりn=mでなければいけません。
で、何通りかというと(2)のm=nの場合つまりn!(=m!)です。
1もっと簡単に言うと逆関数のある関数は何か? といってるんです。
a=c,b=dになりますけど
y=xが一番簡単な関数ですかね?
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No.606 - 2008/05/12(Mon) 01:53:34 |
| ☆ Re: 写像について / 悩める学生 | | | にょろさんありがとうございました。 とてもわかりすかったです。またよろしくおねがいします。
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No.608 - 2008/05/12(Mon) 06:58:53 |
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