○∫1〜2 (1/(4x^2-1))dxの定積分の値を求める問題なんですが･･･
1/(4x^2-1)=(a/(2x+1))+(b/(2x-1))
1=a(2x-1)+b(2x+1)
=(2a+2b)x+(-a+b)
2a+2b=0
-a+b=1
よってa=-1/2, b=1/2
∫1〜2 (1/(4x^2-1))dx
=-1/2∫1〜2 (1/(2x+1))dx+1/2∫1〜2 (1/(2x-1))dx
ここで2x+1=t, 2x-1=pとし、
x =1/2(t-1) ,x =1/2(p+1)
dx=1/2dt ,dx=1/2dp
=-1/4∫3〜5 (1/t)dt+1/4∫1〜3 (1/p)dp
=-1/4[log t]3〜5 + 1/4[log p]1〜3
=-1/4log(5/3)+1/4log3
ここから、わかりません。
答えは1/4log(9/5)なんですが、このとき方であっているのかも自信ないです。
お願いします。
○次の極限値を求めよ。
lim(n→∞)1/n√n(√1 + √2 + √3 + … +√n)
これもわかりません！
お願いします！！
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No.1977 - 2008/08/08(Fri) 00:30:21
| ☆ Re: 高3です / rtz | | | (−1/4)log(5/3)＋(1/4)log3
＝(1/4)log{(5/3)-1}＋(1/4)log3
＝(1/4)log(3/5)＋(1/4)log3
＝(1/4)log(9/5)
下はどこまでが分数なのか、括弧を使って
式が1通りのみに受け取れるように下さい。
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No.1978 - 2008/08/08(Fri) 00:38:17 |
| ☆ Re: 高3です / rtz | | | あと、恐らく下に関してはy＝√xを用いた区分求積だと思います。
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No.1979 - 2008/08/08(Fri) 00:42:31 |
| ☆ Re: 高3です / にょろ | | | まず表記法として
これを参照してください
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
これが一般的なのでその方が読みやすいです。
2行目まで合っているとすると
∫[1,2](1/(4x^2-1))dx
=-(1/2)∫[1,2] (1/(2x+1))dx+(1/2)∫[1,2](1/(2x-1))dx
=(1/4)(-∫[1,2](2/(2x+1))dx+∫[1,2](2/(2x-1))dx)
=(1/4)((-log(2x+1))+log(2x-1))|_[1,2]
=(1/4)(log((2x-1)/(2x+1)))|_[1,2]
=(1/4)(log(1/3)-log(3/5))
=(1/4)log(5/9)
になります。
f(x):=√x
lim_[n→∞](1/n)√n(√1 + √2 + √3 + … +√n)
=lim_[n→∞](1/n)(√1/n+√1/n+…+√n/n)
=lim_[n→∞](1/n)Σ_[k=1,n]f(k/n)
=〜
でどうでしょう？
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No.1980 - 2008/08/08(Fri) 00:44:16 |
| ☆ Re: 高3です / sa-ya | | | 1問目は理解できました。
ありがとうございました。
2問目ですが、
f(x)=√x ってどうやって求めたんでしょうか？
初歩的なことかもしれませんが…、お願いします。
あと、
lim(n→∞)(1/(n√n))(√1 + √2 + √3 + … +√n)
=lim(n→∞)(1/n)(1/√n)(√1+√2+ √3…+√n)
という式が、
=lim(n→∞)(1/n)(√1/n+√1/n+…+√n/n)
=lim_[n→∞](1/n)Σ_[k=1,n]f(k/n)
となる理由が、わかりません。
=lim(n→∞)(1/n)(√1/√n + √2/√n + √3/√n … + √n/√n)
=lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1,n)(√k/√n)
ではないんでしょうか？？
ほんとに知識不足でごめんなさい。
できるなら、詳しい解説をお願いします…。
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No.1988 - 2008/08/08(Fri) 22:52:57 |
| ☆ Re: 高3です / にょろ | | | すいません表記が不十分でした。
=lim(n→∞)(1/n)(1/√n)(√1+√2+ √3…+√n)
=lim(n→∞)(1/n)(√(1/n)+√(1/n)+…+√(n/n))
でした
√k/√n=√(k/n)
となります。
あとf(x)=√xとおくと
と書いた方がよかったですね
そうすると定積分の公式にうまくはまるからとしかいえません。
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No.1994 - 2008/08/09(Sat) 01:41:35 |
| ☆ Re: 高3です / sa-ya | | | いえいえ。
こちらのほうこそ、理解不足ですいません…。
そういうことなんですね♪
やっと理解できました。
詳しく解説してくださってありがとうございました！！
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No.1996 - 2008/08/09(Sat) 19:08:08 |
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