高校３年生の問題です。宜しくお願い致します。
（問題）ｘ＝cos^3θ ｙ＝sin^3θ (０≦θ≦２π）
で表される曲線Ｃについて
（１）dy／dx, (d^2*ｙ)／(d*x^2)をθを用いて表せ。
（２）曲線Ｃの概形をかけ。
（解答）（１）dx/dθ＝３cos^2θ*（−sinθ)
dy/dθ＝３sin^2θ*cosθより
∴dy／dx＝−tanθ
∴ (d^2*ｙ)／(d*x^2)＝１／（３cos^4θ*sinθ）
（２）「曲線ＣはX軸Y軸に関して対称であるから」
０≦θ≦π／２すなわち
０≦ｘ≦１ ０≦ｙ≦１の範囲で考える。
よってグラフは図のようになる。（図は省略）
私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
「曲線ＣはX軸Y軸に関して対称であるから」は
どこからそのように言えるのでしょうか。
あくまでもここまで媒介変数表示された式を
考えて来たのであって、f(ｘ）＝といった式は
どこにも見当たりません。
さらにＣのグラフですが解答のグラフは
アステロイドと呼ばれるグラフの模様です。
しかしそのグラフを書き上げるには
解答の増減表では「dy／dxと(d^2*ｙ)／(d*x^2)の
値を考慮してdy／dxは０＜ｘ＜π／２の間では負、
(d^2*ｙ)／(d*x^2)では正の値だからｙは
左上がり」と記してあります。
これは何を意味しているのでしょうか。
微分で取り扱うf'（ｘ）、f''（ｘ）に
類似したものでしょうか。そもそも媒介変数表示された
グラフを増減表からどのように書けば良いのか
参考書などを色々と調べましたが書き方が
１から分かりません。
こんな類題もありました。
（問題）ｘ＝ｅ^(−t)*cost ｙ＝ｅ^(−t)sint
(０≦t≦π）で表せる曲線の概形を描け。
この場合はdx/dt、dy／dtを正か負かの判別で
曲線を描いています。
先の問題と後の問題で曲線を描く手段が違うのは
なぜですか。 解説宜しくお願い致します。
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No.1869 - 2008/08/01(Fri) 19:35:01
| ☆ Re: 媒介変数で表示された関数のグラフ / ぱんだ | | | よい質問だとは思うのですが、まだまだ基本的なことを理解できていない様子ですね。今日は帰ってきたのが夜遅いので、基本的なことをちょっとだけ説明させていただきます。
ｘ＝cos^3θ ｙ＝sin^3θについて、
θ＝０のときの点をP_0(cos^3(0),sin^3(0))
θ＝πのときの点をP_π(cos^3(π),sin^3(π))というように名前をつけることを意識してください。
そしてP_0, P_0.1, P_0.2, ・・・などを次々とグラフ上に書いていってください。
難しくて表現できないけど、ｙがｘの関数になっている感じがしませんか？（この関数をｆ（ｘ）とでも思っておいて下さい）
次にdy／dxの意味がお分かりではないようですね。
これは「ｙをｘで」微分したものです。ｙがｘの関数ｆ（ｘ）だったとすると当然ｆ’（ｘ）になります。
(d^2*ｙ)／(d*x^2)はdy/dxをさらにもう一回ｘで微分したものです。
私も以前なぜこんな記号なのだろうと不思議に思ったのですが、(d/dx)が「ｘで微分しなさい」という記号
(d/dx)^2がそれを2回実行する記号、つまり「ｘで2回続けて微分しなさい」という記号だと思えば
(d/dx)^2の後にｙをつけたらｙというものをｘで2回続けて微分する、つまり(d^2/dx^2)yということでd^2y/dx^2という書き方になったと今の私は考えています。（当然これはｆ’’（ｘ）です）
媒介変数の捉え方について、以前私がこの掲示板に書き込んだものを見つけましたので、貼り付けておきますね。
（今日はもう寝ますので、今日のところはこれで失礼します）
31059．Re: 微分を利用した極限値の問題
名前：ぱんだ 日付：2月16日(金) 1時29分
まず、微分の意味というものを考えてみましょう。
例えばdy/dxとは「ｙをｘで微分したもの」です。数?Vではこのように
「どの文字をどの文字で微分したか」が重要なポイントになります。
ではそのdy/dxとは直観的に言うと何なのか？
例えばｘｙ平面にグラフを書いたときの「傾き」であったり
「ｘとｙの変化の割合」であったりします。
さて、今回の問題を考えるときはdy/dxを
「ｙはｘの何倍変化するか」という捉え方をするとわかりやすいと思います。
今ＡとＢの歯車が接していて、ＢはＣとも接しています。
Ａをｘ回動かすと連動してＢがｙ回動き、それに連動してＣがｚ回動くシステムです。
今、dy/dx=3という条件が与えられました。これはどういうことでしょうか？
（下の答えを見る前に少し自分で考えてみてください）
「ｘを少しだけ動かすとｙはその（約）3倍（の速さで）動く」ということです。
今さらにdy/dz=2という条件が与えられました。
これは「ｙを少しだけ動かすとｚはその2倍動く」ということです。
ではここで問題です。dz/dxはいったいなんでしょうか？
dz/dxとは、ｚはｘの何倍の速さで動くのかということです。
その答えは当然（dy/dx）×（dz/dy)＝３×２＝６です。
合成関数の微分の公式はこのように捉えると
複雑な証明ではなく、簡単に直観的に理解できると思います。
さて、今y=(3x+1)^4という式をｘで微分することを考えて見ましょう。
3x+1=uとおいてみてください。ｘが動くと連動してuも動き、
それに連動してyの値も動きます。
uはｘを使ってu=3x+1と表され、yはuを使ってy=u^2と表されます。
※yを直接ｘで表すのが不可能（あるいは難しい）場合はこのように
間に「ｙともｘとも比較しやすいもの」を仲介に持ってきます。
このuの役を媒介変数と呼んだりします。
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No.1874 - 2008/08/02(Sat) 02:15:01 |
| ☆ Re: 媒介変数で表示された関数のグラフ / ぱんだ | | | 昨日の続きです。
「dy／dxと(d^2*ｙ)／(d*x^2)の
値を考慮してdy／dxは０＜ｘ＜π／２の間では負、
(d^2*ｙ)／(d*x^2)では正の値
（出来上がるグラフをｆ（ｘ）とおいたとして、ｆ’（ｘ）は負、ｆ’’（ｘ）は正）
だからｙは左上がり」と書かれてますが左上がりというのは
左に行くと上がる、つまり右に行くと下がるということで
右下がりと同じことです。ただし、昨日私が書いたように
「θと共に点が（左上に）動いていく」様子を意識できれば左上がりという言葉のほうがその状況を説明するのに適していると分かると思います。
まずその辺を理解した上で色々と問題を解いてみてください。
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No.1881 - 2008/08/02(Sat) 18:38:53 |
| ☆ お知らせ / 白梅 | | | ぱんだ様、回答をいただいてからずっと
質問したグラフの書き方で
曲線を手段が私が示した問題同士で
どうして違うのか毎日毎日考えました、
しかし、結果としてまだ納得できません。
どうして同じように媒介変数表示された問題なのに
導き方がなぜ違うのかが考えても考えても分かりません。
ぱんだ様にはグラフの基本的な事を教えてもらい
大変感謝しています。その上で
グラフを書くにはどの点に注目して
そのように考えれば良いか、他の掲示板にて
質問文を大分変えて質問しようと思います。
その点、理解して下さります様、宜しくお願い致します。
マルチ投稿と間違えられない為にも、
これ以降は回答の募集を打ち切らせていただきたいと
思います。何度も同じ事を繰り返す様ですが、
ぱんだ様にはいつも分かりやすい解説をしていただき、
大変感謝しています。
今後もどうぞ、宜しくお願い致します＾＾
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No.2094 - 2008/08/17(Sun) 08:17:46 |
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