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★ (No Subject) / みな　高1
x2乗＋(x＋3)2乗＝0という二次方程式の解き方が分からないので教えてください。お願いします。
No.1836 - 2008/07/31(Thu) 10:23:43
☆ (No Subject) / ヨッシー
展開して解の公式　ですね。
複素数の解になると思います。
No.1838 - 2008/07/31(Thu) 10:41:12
☆ (No Subject) / みな　高１
回答ありがとうございます！解いてみたんですが・・・
展開するとx２乗＋x２乗＋6x＋9になって
2x２乗＋6x＋9になり　−３土√9-18
　　　　　　　　　　　――――――――　になって計算が
出来なくなってしまうの　　　2　　　　　　　　　　　　　ですがどうすればいいでしょうか？教えて下さい。
　　　　　　　　　　　　　　
No.1840 - 2008/07/31(Thu) 11:58:05
☆ (No Subject) / ヨッシー
　2x^2+6x+9=0
より
　x＝{-3±√(9-18)}/2＝{-3±√(-9)}/2
　＝{-3±3i}/2
です。(i は虚数単位)

または
　x^2＋(x＋3)^2＝0
　x^2＝−(x＋3)^2
　ｘ＝±(x+3)i
　(1干i)ｘ＝±3i
(1-i)ｘ＝3i より、(1-i)(1+i)ｘ＝3i(1+i)
　　　2x＝3i-3,　x＝(3i-3)/2
(1+i)ｘ＝-3i より、(1-i)(1+i)ｘ＝-3i(1-i)
　　　2x＝-3i-3,　x＝(-3i-3)/2
以上より、ｘ＝{-3±3i}/2

としても解けます。
No.1841 - 2008/07/31(Thu) 12:21:20
☆ Re: / みな　高1
何度もありがとうございます！
でもこの問いの答えは-3√11/2だそうでどうしてもこたえが合いません。どうやったらいいでしょうか？
No.1843 - 2008/07/31(Thu) 12:52:45
☆ (No Subject) / ヨッシー
それは、答えが違うか、問題が違うかですね。
二次方程式なのに、解が１個というのも変ですね。
No.1844 - 2008/07/31(Thu) 13:20:42
☆ Re: / みな　高1
すみません！-3土√11/2の間違いでした。
これなら解けるのでしょうか？
No.1845 - 2008/07/31(Thu) 14:29:51
☆ (No Subject) / ヨッシー
解が　ｘ＝(-3±√11)/2 とすると、元の二次方程式は
　2x^2＋6x−1＝０
になるので、問題は
　ｘ^2＋(ｘ＋３)^2＝１０
であろうと思われます。
No.1846 - 2008/07/31(Thu) 14:47:24
☆ Re: / みな　高1
何度も詳しく回答していただいて本当にありがとうございます！！たすかりました★
No.1847 - 2008/07/31(Thu) 14:56:55
★ (No Subject) / ゆぅ 高1
|ｘ|＋2|ｘ−1|＝ｘ＋3

という方程式を解きたいのですが.なぜ.
−3≦ｘ＜1のとき
という場合分けは必要ないのか分からないので教えて下さい!
No.1829 - 2008/07/30(Wed) 23:26:22
☆ (No Subject) / ヨッシー
普通に解いてみます。
ｘ＜０ のとき
　|x|＝-x, |x-1|＝1-x　なので、
　-x+2(1-x)=x+3　より、x=-1/4
０≦ｘ＜１　のとき
　|x|＝x, |x-1|＝1-x　なので、
　x+2(1-x)=x+3　より、x=-1/2
　これは、０≦ｘ＜１ を満たさないので解ではない
１≦ｘ のとき
　|x|＝x, |x-1|＝x-1　なので、
　x+2(x-1)=x+3　より、x=5/2
以上より、　ｘ＝-1/4、5/2

右辺は絶対値が付いていませんので、x=-3 について
考える必要はありません。
No.1832 - 2008/07/30(Wed) 23:40:08
☆ Re: (No Subject) / ゆぅ
よく分かりました!
ありがとうございます?~
No.1833 - 2008/07/30(Wed) 23:47:10
★ (No Subject) / みかげ
問0､1､2､3､4､5､6から異なる数字を選んで、3桁の奇数をつくれ。

この問題の解法を教えてください。
No.1828 - 2008/07/30(Wed) 23:24:40
☆ (No Subject) / ヨッシー
いくつ出来るかではなくて、「作れ」なのですね？
１個で良いですか？それとも、７５個全部書き上げますか？
No.1830 - 2008/07/30(Wed) 23:32:14
☆ Re: / みかげ
すみません!
「いくつできるか。」です・・・
No.1834 - 2008/07/31(Thu) 09:39:55
☆ (No Subject) / ヨッシー
上に書いたように７５個です。
一の位に入るのは、１，３，５の３通り。
百の位に入るのは、一の位の数と、０以外の５通り。
十の位に入るのは、残りの５通り。
よって、３×５×５＝７５(通り)　です。
No.1835 - 2008/07/31(Thu) 10:04:24
☆ Re: / みかげ
ありがとうございました。
No.1872 - 2008/08/01(Fri) 23:37:53
★ 数学A / kry
「1.4人の男子と7人の女子を一列に並べるとき，次の場合の数を求めよ。
(1)女子の順序が一定の並び方。
(2)男子どうしが隣り合わない並び方。

2.白玉が4個,黒玉が3個,赤玉が1個あるとする。
(1)円形に並べる方法は何通りあるか。
(2)8個の玉にひもを通してネックレスを作る方法は何通りあるか。

3.正n角形の頂点を結んでできる三角形のうち,正n角形と辺を共有しない三角形の個数を求めよ。」

よろしくお願いします。
No.1827 - 2008/07/30(Wed) 20:18:39
★ 極値をもつ条件 / 白梅
高校３年生の問題です。宜しくお願い致します。

（問題）関数f(ｘ)＝{２ｘ＋a}／{ｘ^2−１}が
　　　　極値をもつとき、aの値の範囲を求めよ。

（解答）f'(ｘ)＝{２(ｘ^2−１)−(２ｘ＋a)*２ｘ}／{(ｘ^2−１）^2}
　　　　　＝{−２(ｘ^2＋aｘ＋１)}／{(ｘ^2−１)^2}
　　　　
　　　　関数f(ｘ)が極値をもつとき、f'(ｘ)＝０は
　　　　実数解をもち、その前後でf'(ｘ)の符号が変わる。
　　　「よって、２次方程式ｘ^2＋aｘ＋１＝０が
　　　　異なる２つの実数解をもち、少なくとも一方は
　　　　ｘ≠±１である。異なる２つの実数解を
　　　　もつことより、判別式Ｄ＞０　
　　　　Ｄ＝a^2−４であるから、a^2−４＞０を
　　　　解いて、a＜−２, ２＜a　ｘ＝±１が
　　　　解となるとき、それぞれa＝±２　
　　　　よってa＜−２,２＜aの範囲では、ｘ＝±１
　　　　は解とはならない。」
　　　　f'(ｘ)＝０の２解をｘ＝α, β（α＜β）として
　　　　増減表をつくると（書けないので省略します）
　　　　関数f（ｘ）は極値をもつ。
　　　　したがって、求めるaの値の範囲は
　　　　a＜−２,２＜a　である。

私が疑問に思うのは解答のカギ括弧の所です。　
f'(ｘ)の定義域は±１を除く実数全体のはずなのに、
なぜ、２次方程式ｘ^2＋aｘ＋１＝０のうち
少なくとも１つがｘ≠±１なのでしょうか。
そもそも定義できないのだから「２つとも
ｘ≠±１」ではないのでしょうか。
その後に記してある、「ｘ＝±１が
解となるとき、それぞれa＝±２」と言えるのは
どの箇所、またはどの条件から導けるのでしょうか。

以上２カ所が分かりません。
解説宜しくお願いします。
No.1824 - 2008/07/30(Wed) 19:06:38
☆ Re: 極値をもつ条件 / ヨッシー
ｘ^2＋aｘ＋１＝０ が異なる２実根を持ち、
　それらが−１と１であるとき、→極値を持たない
　一方が±１ で他方が±１ でないとき→極値が１つ
　両方±１でないとき　→極値が２つ
です。一方が±１でも、±１ でない方で極値を持ちます。

「ｘ＝±１が解となるとき」ですから、
ｘ^2＋aｘ＋１＝０　の解が１　→ａ＝−２
ｘ^2＋aｘ＋１＝０　の解が−１　→ａ＝２
いずれも、ｘ^2＋aｘ＋１＝０　に、ｘ＝１ や ｘ＝−１ を代入すれば得られます。
No.1825 - 2008/07/30(Wed) 19:35:44
☆ Re: 極値をもつ条件 / rtz
先に下のほうから。
＞x＝±1が解となるとき、それぞれa＝±2
x2＋ax＋1＝0の解がx＝±1なのですから、
a＝-2/x＝干2です(複合同順)。


＞少なくとも1つがx≠±1
たとえば2次方程式が(x−1)(x−k) (k≠±1)になったとすれば、
f'(x)＝-2(x−k)/{(x＋1)2(x−1)}
x＝1,kの前後で符号が切り替わります。
即ち極値を持ちます。

もっとも、この問題は特殊で、
そもそもx2＋ax＋1＝0がx＝±1を解とするとき、
これらは重解になります。
つまり、
f'(x)＝-2(x干1)2/{(x2−1)2}
＝-2/(x±1)2
となり、極値を持つことはありません。
No.1826 - 2008/07/30(Wed) 19:42:17
☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅
ヨッシー様、rtz様、お二人ともとても迅速、
かつ丁寧に問題の詳細を
解説して下さってありがとうございます＾＾

ヨッシー様の仰る通り、「ｘ≠±１が少なくとも
一方に当てはまる」という時点では、あくまでも
極値をもつ基本的な原理を述べているのであって
f'(ｘ)という曲線とｙ＝で表せる直線との
交点が極値を求める方法だということを
この問題では言っていたのですね。＾＾

rtz様の仰る通り、2次方程式が(x−1)(x−k) (k≠±1)
と置き換えることで、増減表から
極値の存在のあるなしを考えることは
特に分かりやすいです＾＾
重解をもつことはグラフを書いても平らな所が
できてしまうということで極値をとらないことが
納得できます。　

本当にありがとうございました＾＾
No.1831 - 2008/07/30(Wed) 23:39:20
★ 絶対値 / 桜　高校2
こんばんは。
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

方程式|x^2-x-2|=2x+kの異なる実数会の個数を調べよ・

という問題がわかりません・
教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.1821 - 2008/07/29(Tue) 23:36:23
☆ Re: 絶対値 / ぱんだ
kだけ分離してやるとうまくいくと思います。
|x^2-x-2|-2x=kの解の個数を求めればよいわけです。
左辺をf(x)とおいてやって、
f(x)=|(x-2)(x+1)|-2xなのでｘ≧２のときと-1≦ｘ≦２のとき、ｘ≦-1のときで場合分けしてf(x)のグラフを書いて
y=f(x)とy=kの交点の数を求めたらＯＫです。
No.1822 - 2008/07/29(Tue) 23:43:38
☆ Re: 絶対値 / 桜　高校2
ありがとうございます☆

数学がすごく苦手で難しくて解けません><
申し訳ございません。

こんな私にもう少しヒントをください。
よろしくおねあいいたします。
No.1851 - 2008/07/31(Thu) 17:05:34
☆ Re: 絶対値 / ヨッシー
たとえば、|x^2-2x|＝ｋ だと、
　ｙ＝|x^2-2x|
のグラフを描いて、これに、ｙ＝ｋ を、ｋの値を色々変えながら
重ねてみます。

グラフより
　ｋ＜０ のとき　０個
　ｋ＝０ のとき ２個
　０＜ｋ＜１ のとき　４個
　ｋ＝１ のとき　３個
　ｋ＞１ のとき ２個
となります。

まずは、ｙ＝|(x-2)(x+1)|-2x のグラフを描きましょう。
No.1857 - 2008/07/31(Thu) 20:05:01
★ (No Subject) / 松竹梅（高１）
ある野球チーム９人のうち、打順が３番、４番に定着した選手２人を除いた７人の打順を決めたい。投手と捕手は７番、８番、９番のいずれかにするとすれば、７人の打順の決め
方は何通りあるか。

よろしくお願いします。
No.1806 - 2008/07/28(Mon) 22:39:22
☆ Re: / ぱんだ
こういう問題では制限のきつい人から先に選ぶのが基本です。
この問題では、投手と捕手の打順を先に決めます。
投手が７，８，９の3通り、その後保守が残りの2通り
最後に、3番4番と投手捕手を除いた5人を自由に選べばよい。
寄って３×２×５！＝７２０（通り）が正解。
No.1809 - 2008/07/28(Mon) 22:45:32
★ 微積 / 大１
微積の問題です。
1/Xは[-1,1]で広義積分可能でないことを示せ。という問題なのですが、解説をよろしくお願いします。
No.1805 - 2008/07/28(Mon) 21:56:39
☆ Re: 微積 / 豆
不連続点であるx=0において積分したlog|x|が発散
No.1815 - 2008/07/29(Tue) 08:47:42
★ 関数の連続と係数の決定 / 白梅
高校３年生の問題です。宜しくお願い致します。

（問題）関数ｆ（ｘ）＝lim[ｎ→∞]２ｘ^(２ｎ＋１)＋aｘ＋b
　　　　　　　　　　　／ｘ^(2ｎ＋２)＋４ｘ^(２ｎ)＋５
　　　　が全てのｘにおいて連続となるように、定数a,bを定めよ。
　

（解答）（ア）|x|＜０のとき、lim[ｘ→∞]ｘ^ｎ＝０であるから、
　　　　　　　ｆ（ｘ）＝aｘ＋b／５
　　　　（イ）ｘ＝１のとき、ｆ（１）＝a＋b＋２／１０
　　　　（ウ）ｘ＝−１のとき、ｆ（−１）＝−a＋b−２／１０
　　　　（エ）|x|＞１のとき、ｆ（ｘ）＝２ｘ／ｘ^2＋４
　　
　　　　「（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）より
　　　　　ｆ（ｘ）はｘ＝±１以外のｘにおいて連続である」
　　　　　よって、ｘ＝±１において連続となるように
　　　　　定数a,bの値を定める。
　　　　　（エ）よりlim[ｘ→１＋０]ｆ（ｘ）＝２／５
　　　　　（ア）よりlim[ｘ→１−０]ｆ（ｘ）＝a＋b／５
　　　　　（イ）よりｆ（１）＝a＋b＋２／１０
　　　　　ｆ（ｘ）がｘ＝１で連続であることより、
　　　　　lim[ｘ→１＋０]ｆ（ｘ）＝lim[ｘ→１−０]ｆ（ｘ）＝ｆ（１）
　　　　　 よって a＋b＝２‥‥（１）
　　　　　　ｘ＝−１も同様にして　−a＋b＝−２‥‥（２）
　　　　　（１）（２）よりa＝２、b＝０

私が疑問に思うのは解答のカギ括弧の所です。
（イ）（ウ）はこの問題で連続を言う為に、
ｘ＝±１の吟味をするのだから
式変形後にabが含まれていても全く疑問に思わず、
さらに（エ）の式はｘの式であるので明らかに
連続である事は納得できました。
しかし（ア）の式は明らかにa、bという
これから吟味する定数を含んでいるのに「連続だ」などと
前触れもなしに言える理由が分かりません。

なぜ定数を含む（ア）の式から
ｆ（ｘ）が連続だと言えるのでしょうか。
解説宜しくお願い致します。
　　　　　
No.1804 - 2008/07/28(Mon) 19:57:41
☆ Re: 関数の連続と係数の決定 / ぱんだ
かなり久々の投稿になります。
えっと、まず問題の分数がどこからどこまでが分母でどこからどこまでが分子か非常に分かりにくいです（汗）
ｆ（ｘ）＝lim[ｎ→∞]{２ｘ^(２ｎ＋１)＋aｘ＋b}
　　　　　　　　　　　／{ｘ^(2ｎ＋２)＋４ｘ^(２ｎ)＋５}
ということでよろしいですね？
あと、（ア）は|x|＜０ではなくて|x|＜１ですね？
（問題を解くことよりも、白梅さんの書き込みから元の問題を想像することの方に時間がかかってしまいました　汗）

さて、白梅さんの質問についてですが、問題の意味をよく考えてみてください。全てのｘにおいて連続となるように、定数a,bを定めよ。という問題ですが、「例えばa=100,b=200というように適当に定数a,bを定めたら条件を満たせるのだろうか？」
この場合（ア）の式はｆ（ｘ）＝100ｘ＋200／５という式になります。このことから|x|＜１の範囲では連続だといえます。（しかし、全てのｘについては連続にはなりませんので条件を満たしません。）
他にも適当にa=5,b=7などとやってもやはり|x|＜１では連続になります。

このように、aやbは所詮単なる数字（２や３の仲間、定数である！）というイメージが非常に重要になってきます。
文字にはそれぞれ意味があるのです。そのことを肝に銘じて於いてください。

さて、最後にaやbをどんな定数（数字）に一つ決めても（くれぐれも動く数、変数ではないですよ。あくまでも定数。数字）|x|＜１の範囲では連続だったけど、全てのｘの範囲で連続になるようなaとbの値は一つだけに決まります。それが上の方法で求められるわけです。
No.1808 - 2008/07/28(Mon) 22:43:03
☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅
ぱんだ様、詳しく分かりやすい解説を
して下さって本当にありがとうございます＾＾

見づらく、誤った解答を
入力してしまった結果、ぱんだ様の手を煩わせてしまい
申し訳ないと思うと同時に深く反省していますm(。_。；)m
すみませんでした。指摘通り（ア）は
|x|＜０ではなく、|x|＜１です。

ぱんだ様の例えのように考えれば、なるほど、
連続だという事がやっと納得できました。＾＾
「|x|＜１に限定してこそ、ｆ（ｘ）＝aｘ＋b／５
が成り立つ」と言えるのですね＾＾

類題もしっかりやってぱんだ様の仰る
例も考えながら、頭に考え方を叩き込みたいと思います！

本当にありがとうございました＾＾
No.1812 - 2008/07/28(Mon) 23:34:39
★ 領域問題 / ダン
某掲示板で拾ってきました。

(1)xy平面上の動点P,Qはそれぞれx軸、y軸上のx≧0,y≧0,の部分を
OP+OQ=1という関係満たしながら動く。
このとき線分PQの通過しうる領域を図示し、その領域の面積を求めよ。
(2)xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を
OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。
このとき平面PQRの通貨しうる領域の体積を求めよ。
ただしOは原点である。


前に代ゼミのテキストで以下のような問題がありましたができませんでした。以下の問題を解く途中でわからずに挫折してたときに上の問題が途中式が同じだったので今回は理解したいので質問させていただきます。
「テキストの問題」
tを実数として、直線tx+(1-t)y=t(1-t)を考える。
tが00,y>0の範囲で直線が通過する
領域を図示せよ。（答え√x+√y≦1）

拾ってきた問題をとくと、
P（t,0）Q(0,s)とするとOP+OQ=1より
s+t=1
t≠０のとき
直線ＰＱは、
y=-sx/t+s
よってs=1-tを代入して
t^2+(y-x-1)t+x=0
f(t)=t^2+(y-x-1)t+xとすると
f(t)=０がｔ>0に少なくともひとつ実数解をもつ条件が
求めるもの。
判別式≧０、軸＞０、f(0)＞0
この三つの式を処理できずに困ってます。
代ゼミのテキストでも同様の式がでてきました。
式変形を解説詳しくお願いします。
No.1802 - 2008/07/28(Mon) 18:12:49
☆ Re: 領域問題 / ダン
訂正
＞＞tが00,y>0の範囲で直線が通過する
→tがx>0,y>0の範囲で直線が通過する
No.1811 - 2008/07/28(Mon) 23:16:44
☆ Re: 領域問題 / ぱんだ
えっと、色々と言いたいことはあるのですが、ちょっと辛口のコメントから。
まず、「正しい」と誰かが言っている解き方を吟味せずに覚えることは何か意義があることでしょうか？答えは誰かに（よくわからないけど）こうすれば出るらしいと教えてもらうものではなく、自分で論理立てて解法を作っていくものだと私は考えています。

f(t)=０がｔ>0に少なくともひとつ実数解をもつ条件が
求めるもの。
判別式≧０、軸＞０、f(0)＞0

とお題目のように書かれてますが、これは某掲示板で拾ったものでしょうか？？それともどこかの教科書に「このタイプの問題はこう解け」と書かれてあった（のを覚えた）のでしょうか？代ゼミの問題集の「掲示板の問題とは違う」問題ではこうなっていたのでしょうか？
いずれにしても申し訳ないですが軽率すぎると思います。式変形の前に、式を導く方針をしっかり自分で立てられることが最重要だと思います。では、実際にやってみましょう。
（＊実際は細かいところまで議論をするとかなりやっかいになるのですが、恐らくダンさんの能力的に無理があるので細かい議論は省略します）

まずP(t,0),Q(0,1-t)とおきます。（ただし、０≦ｔ≦１）
線分ＰＱをl_t:(x/t)+{y/(1-t)}=1とおけます。（l_tのtは右下に小さく書く添え字。線分Ｌは定まった一つの直線ではなく、ｔと共に変化する直線群というイメージをしっかり持ちましょう　＊t=0とt=1のときは本当は分けて議論しなければならないが省略）
「ある点R(x0,y0)が求める領域上にある」とは（x0,y0は定数、数字だというイメージを持つこと！）
「R(x0,y0)がl_t上に来るようなt（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在する」
つまり「(x0/t)+{y0/(1-t)}=1となるｔ（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在する　（＊そしてその解t=t0として０≦x0≦t0とならないといけないのですが、煩雑なので省略。）」
両辺にt(1-t)をかけて「(1-t)x0+ty0=t(1-t)となるｔ（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在する」
つまり「t^2+(-x0+y0-1)t+x0=0が０≦ｔ≦１に少なくとも一つ解を持つ」条件を求めればよい。

さて、左辺をf(t)とおいて、色々な条件を考えるわけですが
少なくとも１つということは、２つ以上解を持っても、１つだけでもよいということはしっかり意識してください。
やり方としては「ちょうど２つだけ」の場合と「ちょうど１つ」の場合に分けてやるのが一番確実ですが、今回先に
f(0)とf(1)を求めてみると、
f(0)=x0≧０かつf(1)=y0≧0となっていることから
Ｄ≧０かつ０≦軸≦１となることが条件になります。

軸のｘ座標＝(x0-y0+1)/2なので0≦(x0-y0+1)/2≦１
つまり-1≦x0-y0≦1となるが、これは必ず満たされる。
（-1+y0≦x0は左辺≦０、x0≦y0+1は右辺≧１なので）

次に、D=(-x0+y0-1)^2-4x0=x0^2+y0^2+1-2x0y0-2x0-2y0
=y0^2+(-2x0-2)y0+x0^2-2x0+1≧０について考える。
（y0について一文字整理したのがポイント。最終的にｙ＝〜の形にしたいので、ｙが主役）
（Ｄ＝０を解いてy0=x0±２√(x0)より）
y0≧x0+2√(x0)+1（右辺≧１より不適）またはy0≦x0-2√(x0)+1
よってy0≦x0-2√(x0)+1
代ゼミの形にどうしても直したければ（今回必要ないと思われるが）右辺＝(√(x0)-1)^2に直して変形すればＯＫ。
（その際√(x0)-1≦０に気をつけて）

ただ、実際問題としてこの問題はファクシミリの原理を使った方がかなり早く終ると思います。ｘ＝X0のときのｙ座標の取りえる範囲を表す方法です。
l_tでｘ＝X0のとき、y=1+X0-(t+X0/t)≦1+X0-2√X0（相加相乗）とあっさりでます。
No.1813 - 2008/07/29(Tue) 01:59:28
☆ Re: 領域問題 / ダン
解説ありがとうございます。
ぱんださんがいうとおりだと思います。いろいろと
反省しております…；；；

＞軸のｘ座標＝(x0-y0+1)/2なので0≦(x0-y0+1)/2≦１
つまり-1≦x0-y0≦1となるが、これは必ず満たされる。
（-1+y0≦x0は左辺≦０、x0≦y0+1は右辺≧１なので）
とありますが、

点R(x0,y0)がl_t上に来るようなt（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在するので０≦x0≦１となるのはわかりますが、
y0がf(1)=y0≧0としかわからないと思うんですがどうして
「-1+y0≦x0は左辺≦０」がいえるのでしょうか？
初歩的な質問で申し訳ありません…
No.1816 - 2008/07/29(Tue) 09:54:38
☆ Re: 領域問題 / ダン
すいません(･･;)勘違いです。やっとわかりましたm(_ _)mありがとうございました！
No.1817 - 2008/07/29(Tue) 10:56:43
★ ４次不等式 / 桜　高校2
こんばんわ。
よろしくお願いいたします。

(1)不等式2x^4-5x^2+2＞0を解け。

(2)不等式(x^2-4x+1)-3(x^2-4x+1)+2≦0を解け。

という問題がわかりませんでした。
教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.1801 - 2008/07/28(Mon) 17:55:43
☆ Re: ４次不等式 / ヨッシー
(1)
　2x^4-5x^2+2＞0
より、
　(2x^2-1)(x^2-2)＞０
これは、
　2x^2-1＞0　かつ　x^2-2＞0　または
　2x^2-1＜0　かつ　x^2-2＜0
を表します。それぞれ解いて、
　ｘ＜-√2　または　ｘ＞√2　または　-√2/2＜ｘ＜√2/2

(2)
(x^2-4x+1)^2-3(x^2-4x+1)+2≦0　であるとします。
Ｘ＝x^2-4x+1 とおくと、この不等式は
　Ｘ^2−3Ｘ＋2≦0
これを解いて、
　(Ｘ−１)(Ｘ−２)≦0
　1≦Ｘ≦2
よって、
　1≦x^2-4x+1≦2
これを解いて、
　2−√5≦ｘ≦0　または　4≦ｘ≦2+√5
No.1803 - 2008/07/28(Mon) 19:10:27
☆ Re: ４次不等式 / 桜　高校2
ヨッシーさんありがとうございました☆
すごくわかりました(*^_^*)
No.1818 - 2008/07/29(Tue) 14:43:49
★ (No Subject) / 大学4回　卒業あやういです
こんにちは、今回は情報解析という分野での質問です。

連続時間フーリエ級数において，偶関数と奇関数のフーリエ係数は以下のように求められる．
• 偶関数fe(x) のフーリエ係数
an=2/π∫fe(x)cosnxdx, bn = 0
• 奇関数fo(x) のフーリエ係数
an=0, bn=2/π∫fo(x)sinnxdx
（いずれの∫の範囲は0〜πです）
これにもとづき，関数f(x) をf(x + 2π) = f(x) によって周期的に拡張した関数f(x) のフーリエ係数を求めよ．
f(x) =｛　1 (0 ≤ x < π)
　　　｛　0 (π ≤ x < 2π)

何卒、よろしくお願いします。
No.1800 - 2008/07/28(Mon) 16:31:13
☆ Re: / X
g(x)=f(x)-1/2
と置くとg(x)は奇関数となります。
ということでまずg(x)のフーリエ係数を計算しましょう。
No.1823 - 2008/07/30(Wed) 07:16:53
★ 三角関数 / shiyo
三角関数です。
問1：（sinθ＋cosθ）／（sinθ-cosθ） = （3＋√5）／2のとき、tanθ=√5であることを示せ。


問2： 次の等式が成り立つことを証明せよ。
?@ sin^4θ＋cos^4θ = 1 - sin²2θ／2
?A sin3θ／sinθ - cos3θ／cosθ = 2

という問題です。宜しくお願い致します。
No.1794 - 2008/07/28(Mon) 12:38:59
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
問1
　（sinθ＋cosθ）／（sinθ-cosθ） = （3＋√5）／2
より、
　2(sinθ＋cosθ)＝(sinθ-cosθ)(3＋√5)
展開して整理すると
　(5+√5)cosθ＝(1+√5)sinθ
よって、
　tanθ＝sinθ/cosθ＝(5+√5)/(1+√5)＝√5

問2
(1)
(右辺)＝1-2sin2θcos2θ
　＝1-2sin2θ(1-sin2θ)
　＝1-2sin2θ+sin4θ+sin4θ
　＝(1-sin2θ)2+sin4θ
　＝cos4θ+sin4θ＝(左辺)

(2)
３倍角の公式
　sin3θ＝3sinθ−4sin3θ
　cos3θ＝4cos3θ−3cosθ
より、
(左辺)＝3-4sin2θ−4cos2θ+3
　＝６−４＝２＝(右辺)
ただし、sinθcosθ≠0 のときに限ります。
No.1796 - 2008/07/28(Mon) 13:21:59
☆ Re: 三角関数 / shiyo
ありがとうございます！！
No.1797 - 2008/07/28(Mon) 14:00:16
☆ Re: 三角関数 / 豆
問2　(2)　は以下でも良いですね(もし3倍角を忘れたら)
左辺=(sin(3θ)cosθ-cos(3θ)sinθ)/(sinθcosθ)
=sin(2θ)/(sinθcosθ)
=2
No.1799 - 2008/07/28(Mon) 15:33:47
☆ Re: 三角関数 / shiyo
豆さんも有り難うございます。
No.1810 - 2008/07/28(Mon) 23:09:59
★ 積分 / kei　高三
0<a<1とするとき、次の積分を求めよ。
（１）∫(0からa)1/{(1-x)(1+x^2)}dx
（２）∫(1/2からa)x^4/(1-x^2)^2dx
（３）∫(0からa)√(1-x^2)dx

という問題なんですが、（１）（２）はうまく2つの分数に分けようとしてできませんでした。（３）はsinにおきかえてやると、置き換えた文字が残ってしまい、aだけで表せず、うまくいきませんでした。どなたか教えてください。おねがいします。
No.1789 - 2008/07/28(Mon) 02:05:43
☆ Re: 積分 / X
(1)
1/{(1-x)(1+x^2)}=(1/2){1/(1-x)+(1+x)/(1+x^2)}
と部分分数分解できます。が、問題の積分を計算すると
最終的に逆三角関数の一つであるarctanが混じる式になり、高校数学の範囲からは外れます。

(2)
x^4/(1-x^2)^2=1+(2x^2-1)/(1-x^2)^2
後は
(2x^2-1)/(1-x^2)^2=(px+q)/(1-x)^2+(rx+s)/(1+x)^2
と部分分数分解できるものとしてp,q,r,sを求めましょう。

(3)
これも(1)と同様、aで表そうとすると逆三角関数が必要になります。
No.1793 - 2008/07/28(Mon) 11:58:29
★ 積分範囲の分け方について / Kay（高１女子）
次の問題について、答えそのものを出すことはできたのですが、積分範囲の分け方が模範解答と違うのです。どのように
対処すべきか教えてください。

【問題】
-1=<pのとき、S(p)=∫(from p to p+1)｜x^2-1｜dxとおく。
s(p)を求めよ。

【私の分け方】
i) -1=<p<0のとき
ii) 0=<p<1のとき
iii)1=<pのとき

【模範解答の分け方】
i) -1=<p=<0のとき
ii) 0=<p=<1のとき
iii)1=<pのとき

模範解答では、すべての不等号に等号が含まれています。
他の問題を見ると、
i) a<x=<b
ii)b<x=<c
iii)c<x
や
i) a=<x<b
ii)b=<x<c
iii)c=<x
などと、それぞれの境界は左右どちらか一方の区分に分けて
（つまり「＝」をつけて）、両方には付けない場合ばかりが
目につくのです。

この問題では、なぜ両方に＝を付けなければならないのですか。あるいは、この問題でも両方に＝を付ける必要はないの
ですか。

他の問題の解説をやっているとき、学校の先生は「どっちでもいい」と言っていたのですが、分け方の基準がよく分からないので教えてください。
No.1786 - 2008/07/27(Sun) 23:11:43
☆ Re: 積分範囲の分け方について / rtz
ぶっちゃけてしまうと、本当にどちらでも構いません。

その境界(例えばp＝0)において、
左側(-1≦p≦0)から考えたときと、右側(-1≦p≦0)から考えたとき(0≦p≦1)で
値が変わらない(p＝0での値が等しい)なら
どちらに含んでも、両方に含んでしまっても構わないわけです。
(どっちにも含まないのは当然困りますが)

例外なのはその境界で値が変わってしまう場合です。
極端な例ですが、f(x)＝0(x＜0)、1(x≧0)などです。
このように、グラフで表したとき、線が途切れてしまう場合は含む含まないを考える必要があります。

ただ、通常高校までで、このような例はほとんどありません。
ですのでどう分けてもいいでしょう。

個人的には境界は両方含んで解答するようにしています。
なぜなら、例えば文字aを含んだf(x)の最大値を聞かれるような問題で、
aの範囲によって場合分けしなければならない場合、
範囲ごとの最大値を比較する必要がありますが、
もし境界が最大値の場合、その境界を含んでいないと最大値がないことになります。
この辺の記述が面倒くさいので、両方に含ませるようにしています。
No.1788 - 2008/07/28(Mon) 01:57:47
☆ Re: 積分範囲の分け方について / Kay（高１女子）
rtzさんへ
さっぱりしました。ありがとうございます。
ところで、rtzはどういう由来なのですか。
No.1807 - 2008/07/28(Mon) 22:40:40
☆ Re: 積分範囲の分け方について / rtz
ほんとは長ったらしいHNなのですが、
打つのが面倒なので適当な部分の頭文字を繋げただけです。
大した理由じゃないのでお気になさらず。
No.1814 - 2008/07/29(Tue) 02:17:14
★ 不等式 / ゆぅ 高1
不等式
4分の2x＋a≦3分のx−2を満たす自然数xの個数が3個となるように、定数aの値の範囲を定めよ。

という問題なのですが、分からないので教えてください。
よろしくお願いします!
No.1784 - 2008/07/27(Sun) 22:05:45
☆ Re: 不等式 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
(2ｘ＋ａ)/4＝(ｘ−2)/3
(2ｘ/4)＋ａ＝(ｘ/3)−2
上のどちらのつもりでしょうか？
（括弧を用いないとどこまでが分子か分かりません）
No.1790 - 2008/07/28(Mon) 08:50:08
☆ Re: 不等式 / ゆぅ
すみません……
上の方です!!
No.1795 - 2008/07/28(Mon) 13:10:48
☆ Re: 不等式 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
(2ｘ＋ａ)/4≦(ｘ−2)/3　を変形すると
　6ｘ＋3ａ≦4ｘ−8
　∴ｘ≦(−3ａ−8)/2
この範囲にある自然数が3個というのは、{1,2,3}ということなので、そうなるには
３≦(−3ａ−8)/2＜４　でなければなりません。

あとはこれを解くだけですね。
No.1798 - 2008/07/28(Mon) 14:34:54
☆ Re: 不等式 / ゆぅ
分かりました!
ありがとうございました!
No.1820 - 2008/07/29(Tue) 22:07:24
★ 三角関数 / 礼花　高２
こんばんは、いつもお世話になります。

次の式をr sin(θ+α)の形に変形せよ。
√6sinθ-√2cosθ

この問題を図を書いて考えてみたのですが、どうも分かりませんでした。教えて下さい。よろしくお願い致します。
No.1781 - 2008/07/27(Sun) 21:51:55
☆ Re: 三角関数 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
√{(√6)^2＋(√2)^2}＝√8　より
√6sinθ-√2cosθ＝√8{sinθ*(√6/√8)−cosθ*(√2/√8)}
＝2√2{sinθ*(√3/2)−cosθ*(1/2)}
＝2√2{sinθ*cos(π/6)−cosθ*sin(π/6)}
＝2√2sin(θ−π/6）

三角関数の和の合成の方法をマスターしておきましょう。（下記参照）
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/gouseikousiki.html
No.1791 - 2008/07/28(Mon) 09:21:02
☆ Re: 三角関数 / 礼花　高２
和の合成を使うんですね。
ＤＡＮＤＹ　Ｕ様、教えて下さってありがとうございました！
No.1888 - 2008/08/03(Sun) 21:47:37
★ 三角関数 / 礼花　高２
いつもお世話になります♪

0°≦θ＜360°のとき、次の不等式を解け。
2cos^2θ-3sinθ-3=0

この問題で、cos^2θを1-sin^2θになおし、因数分解して(sinθ+1)(2sinθ+1)=0というところまでは求められたのですが、ここから先が分かりません。答え方は、普通に「解なし」でいいのでしょうか？よろしくお願いします！
No.1780 - 2008/07/27(Sun) 21:45:56
☆ Re: 三角関数 / rtz
(x＋1)(2x＋1)＝0なら解けますか？
今回はxがsinθに変わっているだけです。
つまり、x＝？の代わりにsinθ＝？になります。

そのあとは出てきたsinθ＝？から、
θが幾らになるのかを考えればよいでしょう。

あと、普通の問題なら解無し、ということはあまりありません。
No.1785 - 2008/07/27(Sun) 22:26:38
☆ Re: 三角関数 / 礼花　高２
お返事遅くなってしまい、申し訳ありません。
私、ちょっと勘違いしていました；
rtz様、教えて下さって本当にありがとうございました！
No.1890 - 2008/08/03(Sun) 21:53:47
★ 二次不等式 / 桜　高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

x,yがx^2+2y^2=1を満たすとき、(1/2)x+y^2の最大値と最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。

という問題がわかりませんでした。
教えて下しさい。

よろしくお願いいたします。
No.1773 - 2008/07/27(Sun) 13:13:58
☆ Re: 二次不等式 / rtz
条件式からy2＝(1/2)(1−x2)ですね。
あとは式に代入し、平方完成して最大最小を求めればよいでしょう。
ただし、x2＝1−2y2≦1から-1≦x≦1です。
No.1775 - 2008/07/27(Sun) 13:58:56
☆ Re: 二次不等式 / 桜　高校2
ありがとうございます☆
おかげさまで解けました！！(*^_^*)m

話が変わって恐縮ですが、
-(1/2)y^2+(3/2)y+2を基本形にしたいのですが、
-1/2(y-3/2)2+13/2になってしまいます。。
答えは13/2のところが25/8です。

どうやったらよいのでしょうか。
No.1776 - 2008/07/27(Sun) 18:47:12
☆ Re: 二次不等式 / rtz
計算ミスでしょう。

(-1/2){y−(3/2)}2までは正しいですので
落ち着いて計算してください。
(-2をかけていませんか？-1/2です。)
No.1777 - 2008/07/27(Sun) 20:00:54
☆ Re: 二次不等式 / 桜　高校2
rtzさん、ありがとうございます☆
できました！！
おっしゃるとおり-2をかけてました。。。><


本当にありがとうございました☆
できてうれしいです。
No.1782 - 2008/07/27(Sun) 21:56:02
★ (No Subject) / ゆぅ
夜遅くにすみません。
(a−1)x＋(a＋1)<0解がx<−√3のとき、ａの値を求めよ。
という問題なのですが、お願いします。
No.1771 - 2008/07/27(Sun) 02:13:53
☆ Re: / 七
(a−1)x＋(a＋1)＜0解がx＜−√3のとき、
(a−1)x＋(a＋1)＝0解はx＝−√3であるから
−√3(a−1)＋(a＋1)＝0
(1−√3)a＝−1−√3
a＝(√3＋1)/(√3−1)＝2＋√3
逆にa＝2＋√3 のとき
(a−1)x＋(a＋1)＜0解がx＜−√3になるから
a＝2＋√3
No.1772 - 2008/07/27(Sun) 10:48:57
☆ Re: (No Subject) / ゆぅ
分かりました!
どうもありがとう
ございました!!


No.1783 - 2008/07/27(Sun) 22:00:39
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