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★ ２次方程式 / 礼花　高２
こんばんは。いつもお世話になります。

a,bは実数でf(x)=x^2+ax+bとする。α、βを2次方程式f(x)=0の異なる2つの実数解とする。α^2,β^2がまたf(x)=0の異なる2つの実数解であるとき、a,bの値を求めよ。

この問題を判別式D=(a+2b)(a-2b)＞0として、2b＜a,a＜2 と、ここまでは解いたのですが、ここからどうやって解いたらいいのか全く分かりません。解説をよろしくお願いします。
No.885 - 2008/05/29(Thu) 00:02:22
☆ Re: ２次方程式 / 案山子
> こんばんは。いつもお世話になります。
>
> a,bは実数でf(x)=x^2+ax+bとする。α、βを2次方程式f(x)=0の異なる2つの実数解とする。α^2,β^2がまたf(x)=0の異なる2つの実数解であるとき、a,bの値を求めよ。
>
> この問題を判別式D=(a+2b)(a-2b)＞0として、2b＜a,a＜2 と、ここまでは解いたのですが、ここからどうやって解いたらいいのか全く分かりません。解説をよろしくお願いします。




さて，本題に入ります．

「二次方程式f(x)=0は実数解を持つ」ので，その判別式をDとすると，

D=a^2-4b＞0

この判別式は無理に解く必要はありませんが，見た目に分かりやすく次のようにしておきましょう．

a^2＞4b　・・・条件（＊）

「α，βが二次方程式f(x)=0の実数解」なので，

解と係数の関係から
　和　α＋β＝-a/1 →　α＋β＝−a ・・・?@
　積　α・β＝b/1　 →　αβ＝b ・・・?A

「α^2，β^2も二次方程式f(x)=0の実数解」なので，

解と係数の関係から
　和　α^2＋β^2＝-a/1 →　α^2＋β^2＝−a ・・・?B
　積　α^2・β^2＝b/1 →　(αβ）^2＝b ・・・?C

?Bは，(α＋β）＾2−２αβ＝−a　なので，?@，?Aの関係を代入して

（−a)＾2−２（b）＝−a　→a^2−２b＝−a ・・・?D

?Cは，?Aの関係を代入して

（b）＾2＝１ →b^2＝b ・・・?E


?Eを解くと
b^2-b=0
b(b-1)=0
b=0，１

これより?Dから
（あ）b=0の場合
a^2＝-a
a^2+a=0
a(a+1)=0
a=0，-1
ここで，一旦整頓して書いておくと
（a，b)=(0，0)と(0，-1)

同じようにして?Dから，
（い）b=1の場合
a^2-2=-a　←整頓しますよ．
a^2+a-2=0
(a-1)(a+2)=0
a=1，-2
ここで，一旦整頓して書いておくと
（a，b)=(1，1)と(-2，1)

ところが，この中で条件（＊）に適しているのは
(a，b)=(0，-1)と(-2，1)　[終]

最後に，肝心な判別式の条件（＊）を忘れないようにしましょう．
No.888 - 2008/05/29(Thu) 02:02:13
☆ Re: ２次方程式 / 案山子
礼花さんの考えですが，まず判別式に気付いたところは良いです．

でも判別式を解くときに，文字aとbがあるので注意が必要です．

礼花さんのように単に

「2b＜a，a＜2（こちらは打ち間違いかな？）」

とはしないことが肝心ですよ
No.889 - 2008/05/29(Thu) 02:03:55
☆ Re: ２次方程式 / 七
(a,b)=(-1,0)ではありませんか？
(a，b)＝(0，−1) では解は±1でどちらも2乗すると1になり，元の方程式の解ですが異なる解ではありません。
(a，b)＝(−2，1)では重解1をもつことになり，やはり異なる解とはなりません。(a^2＝4bです)
No.891 - 2008/05/29(Thu) 09:32:08
☆ Re: ２次方程式 / 礼花　高２
返信がとても遅くなってしまい、本当に申し訳ありません…。
案山子さまの分かり易い解説で、一度はあきらめかけたこの問題がやっと理解できるようになりました。
嬉しくて嬉しくてたまりません！
案山子さま、七さま、教えてくださって本当にありがとうございました。
No.938 - 2008/06/01(Sun) 23:44:34
★ (No Subject) / DEBORAH
連続投稿となりますが、よろしくお願いします。
No.883 - 2008/05/28(Wed) 22:18:25
☆ (No Subject) / ヨッシー
(1)
f(x)＝x^2-2ax+a-1/2 とおきます。
y=f(x) のグラフは下に凸なので、f(0)＜0 であれば、
異符号の解を持ちます。
　f(0)＝a-1/2＜０　より
　a＜1/2
(2)
解と係数の関係より
　1+sinθ+cosθ＝2a　･･･(i)
　(1/2＋sinθ)(1/2+cosθ)＝a-1/2　･･･(ii)
(ii) より
　sinθcosθ＋(1/2)(sinθ+cosθ+1)+1/4＝a
(i) を代入して
　sinθcosθ+1/4=0
　sin2θ＝-1/2
より、2θ=7π/6 または 11π/6
　θ=7π/12 または 11π/12
ここで、1/2+sinθ と 1/2+cosθ が異符号となるのは、
θ＝11π/12　･･･(3)の答え

sin(11π/12)＝sin(π/12)＝sin(π/3−π/4)
　＝sin(π/3)cos(π/4)−cos(π/3)sin(π/4)
　＝(√3−1)/2√2
cos(11π/12)＝−cos(π/12)＝−cos(π/3−π/4)
　＝−cos(π/3)cos(π/4)−sin(π/3)sin(π/4)
　＝(-√3−1)/2√2
よって、(i) より
　2a＝1+sinθ+cosθ＝１−1/√2
　a=(√2-1)/2√2＝(2-√2)/4

(2) からやって(3)が楽になる方法があるかも知れません。
No.893 - 2008/05/29(Thu) 13:21:10
☆ Re: / DEBORAH
やっと理解できました。
何度やっても、答えが出ず悪戦苦闘していたもので・・。
ありがとうございました。
No.915 - 2008/05/30(Fri) 18:47:00
★ (No Subject) / DEBORAH
今回もよろしくお願いします。
以下の写真の問題です。
No.881 - 2008/05/28(Wed) 22:09:44
☆ Re: / DEBORAH
失礼しました投稿ミスです。
No.882 - 2008/05/28(Wed) 22:10:57
☆ Re: / 成瀬
　　1/{√(k + 2) + √k} = {√(k + 2) - √k}/2
と変形(有理化)すれば、
　　Σ[k=1,48] 1/{√(k + 2) + √k}
　　= (√3 - √1)/2
　　 +(√4 - √2)/2
　　 +(√5 - √3)/2
　　 +(√6 - √4)/2
　　 +・・・
　　 +{√(46+2) - √46}/2
　　 +{√(47+2) - √47}/2
　　 +{√(48+2) - √48}/2
となり、ほとんどの項が消える事が分かります。
No.884 - 2008/05/28(Wed) 22:31:42
☆ Re: / DEBORAH
理解できました。ありがとうございました。
No.916 - 2008/05/30(Fri) 18:48:13
★ 因数分解 / テスト間近の高一……
数?Tの因数分解です
No.878 - 2008/05/28(Wed) 19:20:25
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
↑間違えて途中で投稿してしまいましたすみません。

?@(a+b)(b+c)(c+a)+abc
?A(b+c)^3+(c+a)^3+(a+b)^3+3abc
?Ba^3+b^3+c^3-3abc

解答は不明です

よろしくお願いします＾＾
No.879 - 2008/05/28(Wed) 19:24:58
☆ Re: 因数分解 / 豆
まず、3番は基本公式ですのでどこかに出ていると思います。
答えは(a+b+c)(a^2+b^2+c^-bc-ca-ab)

1,2番はまともに展開すると多少厄介になるかも知れません。
ちょっとした工夫で処理します。
この場合は、いずれもa+b+c=Aとおくと良さそうです。

(1)与式=(A-c)(A-a)(A-b)+abc
　　　=[A^3-(a+b+c)A^2]+(bc+ca+ab)A+[-abc+abc]
　　　=(a+b+c)(bc+ca+ab)
二つの[　]のところは消えてしまいます

(2)与式=(A-a)^3+(A-b)^3+(A-c)^3+3abc
　　　=[3A^3-3(a+b+c)A^2]+3(a^2+b^2+c^2)A-a^3-b^3-c^3+3abc
　　　　　[　]は消える
　　　=(a+b+c)(3(a^2+b^2+c^2)-(a^2+b^2;c^2-bc-ca-ab))
　　　=(a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2+bc+ca+ab)
No.890 - 2008/05/29(Thu) 08:13:39
☆ Re: 因数分解 / 豆
(1)はまともに展開しても、大したことはないですね。
aに注目して展開すれば、
与式=(b+c)(a^2+(b+c)a+bc)+bca
=(b+c)a^2+((b+c)^2+bc)a+(b+c)bc
=((b+c)a+bc)(a+b+c)
=(a+b+c)(bc+ca+ab)
No.894 - 2008/05/29(Thu) 15:48:57
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
ご回答有難う御座います＾＾
これで次のテストものりきれそうです＾＾
有難う御座いました。
No.895 - 2008/05/29(Thu) 19:02:55
★ (No Subject) / こまったガール
学校のテスト前に授業で出された問題です．形式はセンター試験的な問題なので問題文の記号（ア）〜（エ）の部分が穴埋めです．
私の考え方では答えが違っていたんですがどうしてなのか分かりません．助けてください．

問題文：Xの二次不等式「(2X-a)(X-3a+2)＜0の解がちょうど3個の整数を含むとき，正の定数aの値の範囲は（ア）＜a＜（イ），（ウ）＜a＜＝（エ）である．」
補足：＜＝（小なりイコール）です．

解答：（ア）5/3　（イ）2　（ウ）2　（エ）7/3


私の考え方：
・不等式の左辺＝０として解きました．「X＝a/2，X＝3a-2」
・左辺をグラフ化してX軸よりも下側の範囲で3個の整数が含まれるとよいので今求めたXの解の差が「３＜解の差＜＝４」となればいいのね．

・場合わけに気を付けて・・・

・a/2＜3a-2なら（→つまり4/5＜aの場合なら）不等式の解は「a/2＜X＜3a-2」．
・だからこの場合の解の差は「(3a-2)-(a/2)=5a/2-2」となり，さっきの考え方から「３＜5a/2-2（解の差）＜＝４」．
・これを解いて，「2＜a＜＝12/5」．場合わけに適する．

同じようにして
・場合わけに気を付けて・・・

・a/2＞3a-2なら（→つまり4/5＞aの場合なら）不等式の解は「3a-2＜X＜a/2」．
・だからこの場合の解の差は「(a/2)-（3a-2)=-5a/2+2」となり，さっきの考え方から「３＜-5a/2+2（解の差）＜＝４」．
・これを解いて，「-12/5＜a＜＝-2」．場合わけには適するけれど問題文の正の定数に適していない

以上のことから解答は・・・「2＜a＜＝12/5」．

感想：こんな風に解いて実際に解答集で自己解答したら全然答えが違っていてガッカリ（泣）．先生に聞きに行ったのに先生も「ちょっと先に解いてみるから待ってて」って言ったものの解答してみたら間違えていました．そして最後に私に「これはできなくてもいいから」って．助けて（泣）．
No.874 - 2008/05/28(Wed) 08:58:56
☆ (No Subject) / ヨッシー
たとえば、解答と違う点の、具体的なところとして、
ａ＝12/5 が、解答には入っていないのに、こまったガールさんの
解答には入っています。
では、このときどういうことになるかというと、
不等式の解は、
　6/5＜ｘ＜26/5
となり、2,3,4,5 の整数が含まれることになります。

つまり、「３＜解の差≦４」では、ダメだということです。
たとえば、0.9＜ｘ＜3.1 は、解の差は2.2 ですが、整数解は
３つ含みますね。

正解は、次の記事で。
No.875 - 2008/05/28(Wed) 10:00:42
☆ (No Subject) / ヨッシー
不等式の解が、
　4/5＜a のとき　a/2＜ｘ＜3a-2
　０＜a＜4/5 のとき　3a-2＜ｘ＜a/2
になることは良いですね？

(1)
4/5＜a のとき　a/2＜ｘ＜3a-2　において、
解の差ということに関しては、
　２＜(3a-2)−a/2＜４
が必要です。（十分ではありません）
そこで、8/5＜a＜12/5　の範囲で、整数解がいくつ含まれるか調べます。
整数解の個数が変わるのは、a/2 または 3a-2 が整数になるところです。

8/5＜a＜2 の範囲では、
　4/5＜a/2＜１
なので、a/2＜ｘ＜3a-2 に、０は含まれず１は含まれることは確実です。
あとは、３が含まれて４が含まれなければいいので、
　３＜3a-2≦４
より、5/3＜ａ≦２
8/5＜a＜2 を考慮して、5/3＜ａ＜２

ａ＝２ のとき、
　a/2＝１、3a-2＝4 であり、１＜ｘ＜４ には、整数は２つだけなので、不適

２＜ａ＜12/5 の範囲では、
　１＜a/2＜6/5
なので、a/2＜ｘ＜3a-2 に、１は含まれず２は含まれることは確実です。
あとは、４が含まれて５が含まれなければいいので、
　４＜3a-2≦５
より、２＜ａ≦7/3
これは、２＜ａ＜12/5 に完全に含まれるので、そのまま答えとなり
　２＜ａ≦7/3

(2)
０＜a＜4/5 のとき　3a-2＜ｘ＜a/2 において、
　２＜a/2−(3a-2)＜４
が必要です。このためには、
　-8/5＜ａ＜０
が必要ですが、ａは正の定数なので、これを満たすことは出来ません。

以上より、5/3＜ａ＜２ および ２＜ａ≦7/3 となります。
No.876 - 2008/05/28(Wed) 10:23:18
☆ Re: / こまったガール
とても親身な解説で驚きです．ありがとうございます．学校の先生よりも全然筋道を通してお話してくださっている感じが伝わりました．
私の考えで出した解答の中で具体的な値（a＝12/5では整数が4個入ってしまう）という部分には感動しました．

ただ，解答するのに一番肝心な部分であると思いますが，正解の記事の初めの方で，解の差がどうして次のようになるのかまだよく分かりません．私は左辺＝0を解いてからグラフ化して考えたのがいけなかったのかな？
グラフ化してX軸との共有点に綺麗な点（整数となる点）が3個含まれたらよいと視覚的に考えたので「3＜解の差≦4」としました．
ヨッシー先生の解説で具体的な例からだめなのは分かってもただ単純にその部分を読んでみて確かにだめだわって感じた程度です（汗）


> (1)
> 4/5＜a のとき　a/2＜ｘ＜3a-2　において、
> 解の差ということに関しては、
> 　２＜(3a-2)−a/2＜４
> が必要です。（十分ではありません）


今回，ヨッシー先生は私が「解の差」にこだわった考え方だったのでそれに合わせてくださいましたが，他に何かよい解き方があるのなら別解説をおねがいできますか．（すいません，頭悪くて＾＾）

余談：私は女子だけど数学が好きです．絶対に筋道をたどって考える学問だから．いつも心得ているのは間違えた問題は自分のどういう考え方が間違いの道に迷い込んだのか考えると時間を忘れてしまいます．今回みたいな問題ができないっていうのはどういう部分がよく理解できていないのかなって今も考えています．（整数の勉強不足かな？）
ヨッシー先生はどんな問題集や参考書で勉強しているのかな？とも思ってしまいました．尊敬です．

初めの方ですでに解説ではなくてどうして「2＜解の差＜4」なのかは分からないだけど，そこを強制的に理解したとして読んでみて解答集と同じ解答までたどりついていることに感動しています．ありがとうございました．
No.877 - 2008/05/28(Wed) 17:50:05
☆ (No Subject) / ヨッシー
解の差は、別に合わせたわけではなく、２解にはさまれた部分の
幅を考えるのは、普通にやることです。

2＜解の差＜4 になるのは、以下の図の通りです。

ただし、2＜解の差＜4　で範囲が確定されるわけではなく(＝十分でない)
範囲はさらに狭められる可能性を含んでいます。
ただし、少なくとも、２以下や４以上について、調べる
必要はないということがわかり、解の目安になります。
No.880 - 2008/05/28(Wed) 20:28:11
★ 数学?T / kry
「x=(1+√5)/2とする。このとき、

(1)x^2-x-1の値を求めよ。

(2)x^8の値を求めよ。」

特に(2)を、代入以外の方法で解くやり方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.866 - 2008/05/27(Tue) 23:23:51
☆ Re: 数学?T / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
(1) x^2-x-1＝ｘ(ｘ−1)−1＝｛(√5+1)/2}*(√5-1)/2−1
　　　　　＝1−1＝0
としてもいいし、ｘの値を見て x^2-x-1＝0　の解になっていることに気がつけば、なおさら楽ですね。

(2) (1)の結果より ｘ^2=ｘ＋1
x^8＝(ｘ^2)^4＝(x+1)^4＝(x^2+2x+1)^2
　＝{(x+1)+2x+1}^2＝(3x+2)^2＝9x^2＋12ｘ+4
　＝9(x+1)＋12ｘ+4＝21ｘ＋13
＝21*(√5+1)/2＋13＝(47＋21√5)/2
こんなもんでどうでしょう。
No.868 - 2008/05/28(Wed) 00:08:34
☆ Re: 数学?T / kry
自分も試行錯誤したのですが、なかなかうまくいきませんでした。累乗のまま代入しないスマートな解答をしていただきありがとうございます。
No.869 - 2008/05/28(Wed) 00:19:21
★ 数学?U / 桜　高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

二次方程式x^2+(a-2)x+2a=0の解の比が2:3になるように定数aの値を定めよ。


私は
2α,3αとおいて、
5α=-a+2
3α^2=a

5α=-3α^2+2まで求めたのですがこのあとわからずうまくいきません。

教えてください。
よろしくお願いいたします
No.858 - 2008/05/27(Tue) 19:41:49
☆ Re: 数学?U / ヨッシー
5α=-3α^2+2 は、3α^2+5α-2=0 という二次方程式です。
因数分解して
　(3α-1)(α+2)=0
より、α=1/3 または -2
α=1/3 のとき、a=1/3
α=-2 のとき、a=12

それぞれ
x^2-5x/3+2/3=0
　(1/3)(3x-2)(x-1)=0 より、x=2/3, 1 で、比が２：３
x^2+10x+24=0
　(x+4)(x+6)=0　より、x=-4,-6 で、比が２：３
とそれぞれ、条件を満たします。
No.863 - 2008/05/27(Tue) 20:15:49
☆ Re: 数学?U / 桜　高校2
ヨッシーさん
ありがとうございました！！

おかげさまで解決しました☆
そして、数学が苦手でしたがだんだんわかるようになりました！！
No.865 - 2008/05/27(Tue) 21:51:22
★ 球面 / ナナ
またまたお願いします・・・・。
（1）
球面x＾２+y＾2+Ｚ＾2＝3が直線x＝（y/２）＝Z-１から切り取る線分の長さを求めよ。
（2）
点（1.2.1）を通り、3つの座標平面に同時に接する球面の方程式を求めよ。

詳しい解説お願いします。
No.850 - 2008/05/27(Tue) 16:35:29
☆ Re: 球面 / rtz
(1)
直線の方程式からy,zをxで表し、
球面の方程式に放り込めば、両交点のx座標が出ます。
そのまま両方の座標を出して長さを出してもいいし、
方向ベクトルが(1,2,1)であることを使って出してもいいと思います。

(2)
題意の球面の中心の座標は(a,a,a) (a＞0)、半径がaとおけることは良いでしょうか。
(実際は(a,a,-a)(-a,a,-a)など考えられますが、(1,2,1)を通りません)
つまり(x−a)2＋(y−a)2＋(z−a)2＝a2が球面の方程式になります。
No.853 - 2008/05/27(Tue) 16:51:21
★ (No Subject) / トキ
製品Ａを１個つくるのに原料Ｐが４トン、Ｑが２トン人手が２人必要である。
製品Ｂを１個作るには原料Ｐが３とん、Ｑが８トン人手が５人必要です。また、
製品Ａを１個作るのに６万円、製品Ｂを１個つくると２０万円の利益がある。
利益を最大にするには１日にＡ、Ｂをそれぞれ何個ずつつくればいいのでしょう？ただし原料はＰ、Ｑとも２４０トン以内、人手は１８０人以内１日使えるとする。

4x+3y<=240
2x+8y<=240
2x+5y<=180 　
x>=0,y>=0

3x+10y=k　（利益の式）
No.847 - 2008/05/27(Tue) 15:32:19
☆ Re: / rtz
2chのスレでも聞いてましたね。
それだけの情報が分かっているのですから、
条件をグラフに表してみては？

かつ利益の式が、
その範囲内を通過できて、k(＝y切片の1/10)が最大となるような点をグラフから判断すれば自ずと答えが出ます。


それから利益の式は、
間違ってはいませんが、そうおくと後で混乱の元のような気がしますが…。
No.852 - 2008/05/27(Tue) 16:41:28
☆ (No Subject) / トキ
説明ありがとうございます。

けれど、グラフを書いたはいいですけど
グラフの意味がわかっていません。

できれば詳しく説明お願いします。

（ヨッシー代筆）
No.856 - 2008/05/27(Tue) 19:12:12
☆ (No Subject) / ヨッシー
新しいスレッドを立てると、古い記事が消えるのが早まりますので、
極力、「返信」でお願いします。
（途中の２記事も削除しました）

製品Ａをｘ個、製品Ｂをｙ個作るとして、
4x+3y≦240
2x+8y≦240
2x+5y≦180
をグラフにすると、以下のようになります。



一方、利益をｋ円とすると、
　6x+20y=k
であるので、変形して、
　y=-3x/10＋k/20
となるので、ｘｙ平面上の、ある点(x,y)から、傾き-3/10 の
直線を引き、ｙ軸との交点（ｙ切片)の20倍が、利益になります。
上のグラフで、塗られた範囲の、あらゆる点から、傾き-3/10
の直線を引いたとき、ｙ切片が最大になるのは、

図のように、(40,20) を通るときで、このときのｙ切片は、
　k/20=y+3x/10＝32
よって、最大利益は32×20＝640(万円) となります。
No.857 - 2008/05/27(Tue) 19:36:01
☆ Re: / トキ
ヨッシー様々です。
ほんとうにありがとうございます。
私もいずれ教える立場になれるよう勤めたいと思います。

ヨッシー代筆
No.860 - 2008/05/27(Tue) 20:05:42
☆ Re: / トキ
すいません何回も言わせてしまい。
No.862 - 2008/05/27(Tue) 20:15:36
★ 空間図形の方程式 / ナナ
またお願いします。
つぎの直線の方程式を求めよ
（1）原点を通り、方向ベクトルが（1,1、-1）である直線
（2）点（1,2,1）を通り、方向ベクトルが（-1、0、3）である直線
（3）２点（1、2、-3）（-4、1、5）を通る直線
No.845 - 2008/05/27(Tue) 12:31:52
☆ Re: 空間図形の方程式 / ヨッシー
点(a,b,c) を通り、方向ベクトルが(i,j,k) である直線の式は、
実数ｔを使って、
　ｘ＝it+a、ｙ＝jt+b、ｚ＝kt+c
と表せます。i,j,k いずれも０でない場合は、それぞれ
　ｔ＝(x-a)/i、ｔ＝(y-b)/j、ｔ＝(z-c)/k
と変形出来るので、
　(x-a)/i＝(y-b)/j＝(z-c)/k
という表し方もできます。また、ｋだけ０であるような場合は、
　(x-a)/i＝(y-b)/j、ｚ＝ｃ
のように、複合した表し方もあります。

これに従うと、
(1)
　ｘ＝ｔ、ｙ＝ｔ、ｚ＝−ｔ　（ｔは実数）または
　ｘ＝ｙ＝−ｚ
(2)
　ｘ＝−ｔ＋１、ｙ＝２，ｚ＝３ｔ＋１　(ｔは実数)　または
　(x-1)/(-1)＝(z-3)/3、ｙ＝２
(3) 方向ベクトルは、２点を結ぶベクトル(-5,-1,8)なので、
(1,2,-3) を通ることより
　ｘ＝−５ｔ＋１，ｙ＝−ｔ＋２，ｚ＝８ｔ−３　（ｔは実数）　または
　(x-1)/(-5)＝(y-2)/(-1)＝(z+3)/8
もちろん、(-4，1，5) を通ることより、
　ｘ＝−５ｔ−４，ｙ＝−ｔ＋１，ｚ＝８ｔ＋５　（ｔは実数）　または
　(x+4)/(-5)＝(y-1)/(-1)＝(z-5)/8
としても良いです。
No.846 - 2008/05/27(Tue) 12:48:11
☆ Re: 空間図形の方程式 / ナナ
早速取り組んでみます♪♪
ありがとうございます
No.851 - 2008/05/27(Tue) 16:36:21
★ ベクトル / ナナ
問1　空間の3点Ａ（1、2、3）Ｂ（-2、0、4）Ｃ（3、5、-1）を頂点とする三角形の面積を求めよ。

問2　次の直線の方向ベクトルを求め、その直線を図示せよ。（1）x＝y＝z
（2）x＝３　3-y＝（Z+１）/３

教えてください。
No.840 - 2008/05/27(Tue) 10:49:34
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
問1
距離の公式より
　ＡＢ＝√14、ＢＣ＝5√3、ＣＡ＝√29
ヘロンの公式より面積Ｓは、
　Ｓ＝{√(√14＋5√3＋√29)(−√14＋5√3＋√29)(√14−5√3＋√29)(√14＋5√3−√29)}/4
　４Ｓ＝√{(5√3＋√29)^2−14}{14−(5√3−√29)^2}
　　＝√(90＋10√87)(-90＋10√87)
　　＝√600＝10√6
　Ｓ＝5√6/2

問2
(1) (1,1,1)
(2) (0,-1,3)

No.841 - 2008/05/27(Tue) 11:34:41
☆ ベクトル / ナナ

ありがとうございます。。
図がとてもわかりやすいです（＞。＜）
No.844 - 2008/05/27(Tue) 12:25:18
★ 線形代数 / 美穂
指数関数
問1　次の値をa+biの形で表せ
（1）e^(-πi)
（2）e^(1+(πi/2))
（3）e^(2-i)

問2　１のn乗根、複素数aのn乗根を指数の形で表せ
問3　z=x+iyに対して、次の関数をx.yで表せ
（1）e^(-z+πi)

明日中間テストなんですが全然できなくて……。
はやい解説お願いします。
お願いします。。。。

E
No.839 - 2008/05/27(Tue) 09:00:42
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
まず、
　ｅ^(θi)＝cosθ＋ｉsinθ
という、オイラーの公式は、押さえておきます。

問1(1)
ｅ^(-πi)＝cos(-π)＋ｉsin(-π)＝−１＋０ｉ
(2)
ｅ^(1+(πi/2))＝ｅ・ｅ^(πi/2)＝ｅ{cos(π/2)＋ｉsin(π/2)}
　　＝０＋ｅｉ
(3)
ｅ^(2-i)＝ｅ^2・ｅ^(-i)＝ｅ^2{cos(-1)＋ｉsin(-1)}
　　＝ｅ^2cos(1)−ｅ^2sin(1)ｉ

問2
１＝ｅ^0i＝(e^0i)^n と考えると、１のｎ乗根の１つは　ｅ^0＝１
１＝ｅ^2πi＝{e^(2πi)/n}^n と考えると、１のｎ乗根の１つは　ｅ^(2πi)/n
１＝ｅ^4πi＝{e^(4πi)/n}^n と考えると、１のｎ乗根の１つは　ｅ^(4πi)/n
これらより、１のｎ乗根は
　ｅ^(kπi)/n　（ｋ＝0，1，2，･･･n-1)
同様に、ａのｎ乗根は、ｎ乗根ａをn√ａ と書くと、
　(n√ａ)ｅ^(kπi)/n　（ｋ＝0，1，2，･･･n-1)

問3
　e^(-z+πi)＝e^(-x-yi)・e^πi
　　＝e^(-x)・e^(-yi)×(-1)
　　＝(-1/e^x){cos(-y)＋ｉsin(-y)}
　　＝(−cosｙ＋ｉsinｙ)/e^x
No.842 - 2008/05/27(Tue) 12:11:36
☆ Re: 線形代数 / 美穂
ありがとうございます！！！！
早速やってみます
No.843 - 2008/05/27(Tue) 12:23:44
★ 三角関数 / 数学苦手
0≦x＜2πのとき、cosx+sin2x＞0
sinx(1+cos2x)+sin2x(1+cosx)=0
という２題の計算問題を教えてください。お願いします。
No.837 - 2008/05/27(Tue) 00:07:22
☆ Re: 三角関数 / にょろ
色々方法ありますけど…
例えば
cosx+sin2x=cosx+2sinxcosx
=cosx(1+2sinx)>0
の範囲を考えるとか
多分一番最初に思いつくのは
cos2x=cosx^2-sin^2
sin2x=2sinxcosx
辺りを代入してみてください。

まずはそれをやるのが常套手段かと
No.838 - 2008/05/27(Tue) 00:28:13
☆ Re: 三角関数 / 数学苦手
そこまでは考えたのですが、そこからがわかりません。cosx＜sinxの場合などをすればいいいいのでしょうか？
No.854 - 2008/05/27(Tue) 17:02:54
☆ Re: 三角関数 / にょろ
不等式の場合は
（負数）（正数）＝（負数）
（負数）（負数）＝（正数）
（正数）（正数）＝（正数）
が成り立ちます。

今回の場合は、
cosx(1+2sinx)＝（正数）となればいいわけですから
cosxと1+2sinxが共に同符号の条件を求める事になります。

方程式の場合更に
cos^2x+sin^2x=1を使えば多分とけます。
それ以上にいい方法があればそれがいいと思いますけど
No.864 - 2008/05/27(Tue) 21:42:21
☆ Re: 三角関数 / 数学苦手
方程式の問題なのですが、sin2x(2cosx+1)=0でx=2/3π,4/3π
0,π,2πとなったのですがこれでいいのでしょうか？ご指摘のほど宜しくお願いします。
No.867 - 2008/05/28(Wed) 00:06:35
☆ Re: 三角関数 / にょろ
(2cosx+1)は部分あっていると思います。

sin2xは少し解が不足及び過剰な気がします。
0≦x＜2π
つまり
0≦2x＜4π
です。

0<x<2πで
sin2x=0を考えましょう。

2x=tとすると

0≦t＜4πです。
この時
sint=0を満たす解は３つあるはずです。

そして過剰分ですが…
「xの定義域って何処でしたっけ？」
No.870 - 2008/05/28(Wed) 01:10:38
☆ Re: 三角関数 / にょろ
一部範囲間違えてしまいました。

あと、参考画像です。

sin,cos等の方程式はそれぞれ簡単なグラフを書くと間違いが少なくなると思います。
No.872 - 2008/05/28(Wed) 01:14:48
☆ Re: 三角関数 / 数学苦手
有難うございました。よく分かりました。
No.873 - 2008/05/28(Wed) 07:10:53
★ 数列 / アイ
a[n+1]=1/2(a[n]+2/a[n]),a[1]=2のとき、（１）a[n]≧√2を示せ。（２）数列｛a[n]｝は単調減少することを示せ（３）lim[n→∞]a[n]=√2を証明せよ。
という問題なんですけど、（１）、（２）はやってみたんですけど、よくわりません。

おしえてください。
No.834 - 2008/05/26(Mon) 00:51:38
☆ Re: 数列 / ヨッシー
問題の主旨から、
　a[n+1]=(1/2){a[n]+(2/a[n])}
と推測します。
(1)
a[n] は、０以下になることはないので、相加相乗平均より
　a[n+1]=1/2(a[n]+2/a[n])≧√{a[n]×(2/a[n])}＝√2
(2)
a[n+1]−a[n]＝b[n] とおくと、
　b[n]＝(1/2){a[n]+(2/a[n])}−a[n]＝(1/2)(2/a[n]-a[n])
　　＝(２−a[n]^2)/2a[n]
a[n]≧√2 より b[n]≦0 となり、a[n] は単調減少します。
No.835 - 2008/05/26(Mon) 09:21:20
★ 2次方程式 / ゆう 高1
2X＾2−2KX−K＋2＝０
が、2(X−K／2)^2＝０と変形できるのか教えてください!!
お願いします!
No.824 - 2008/05/25(Sun) 21:55:23
☆ Re: 2次方程式 / ヨッシー
2(X−K／2)^2＝2X^2-2KX+K^2/2
であるので、そのようには、変形出来ません。

2X＾2−2KX−K＋2＝2(X−K／2)^2−K^2/2−K＋2
のようには、変形出来ます。
No.826 - 2008/05/25(Sun) 22:02:17
☆ Re: 2次方程式 / 高１ ゆう
ありがとうございます。分かったのですが、その式を使って解く問題がまだ分からなくて...

次の2次方程式が重解をもつような定数Kの値とその重解を求めなさい。2X^2−2KX−K＋2＝０

です。よろしくお願いします。
No.828 - 2008/05/25(Sun) 22:44:53
☆ Re: 2次方程式 / にょろ
まず重解を持つということはどういう事か分かりますか？
判別式=0です。
が…今回はヨッシーさんの
「2X＾2−2KX−K＋2＝2(X−K／2)^2−K^2/2−K＋2」
を使います。
理由はa(x-b)^2=0という変形が出来る方程式そしてその時のみ
重解を持ちます。

というわけで、Kの条件は
-k^2/2-K+2=0
⇔
k^2+2k-4=0

の解が求めるkです。

つまりK=-1±√5です。
この時の答えはK/2です。（代入はしましょう）
理由はわかりますね？

横槍すいませんでした
No.830 - 2008/05/25(Sun) 23:18:33
☆ Re: 2次方程式 / にょろ
読み返してみたら少し日本語変でした
でも、大意はつかめますよね？
ごめんなさい
No.831 - 2008/05/25(Sun) 23:32:26
☆ Re: 2次方程式 / ゆう
ありがとうございます。Kの値は分かったのですが、その後、なぜK／2に代入すると答えがでるのかが分からないので教えてください!
No.832 - 2008/05/25(Sun) 23:53:20
☆ Re: 2次方程式 / ヨッシー
2(X−K／2)^2＝０
に注目！！
この方程式の解は？
No.833 - 2008/05/25(Sun) 23:57:06
★ (No Subject) / 礼花　高２
こんばんは。いつもお世話になります！

1.x=1+√2のとき、次の問いに答えよ。
(1)x^2-2x-1=0となることを示せ。
(2)(1)を用いて、x^3-3x^2-3x+5の値を求めよ。

(1)はx=1√2から x-1=√2 となり、(x-1)^2=2 　よってx^2-2x-1=0が成り立つ、というふうに解けたのですが、(2)がどうしても分かりません。ご解説をよろしくお願いします。
No.823 - 2008/05/25(Sun) 21:39:45
☆ (No Subject) / ヨッシー
x^3-3x^2-3x+5=x(x^2-2x-1)-x^2-2x+5
=x(x^2-2x-1)-(x^2-2x-1)-4x+4
となり、x^2-2x-1=0 より、-4x+4 だけ残り
　-4x+4＝-4(1+√2)+4＝-4√2
No.825 - 2008/05/25(Sun) 21:59:19
☆ Re: / 礼花　高２
ヨッシーさま、早々のご回答、ありがとうございます。
よく分かりました！丁寧に解説して下さって、すごく助かりました。本当にありがとうございました。
No.829 - 2008/05/25(Sun) 22:45:56
★ 二次不等式 / 桜　高校2
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

放物線y=x^2-ax+a-1がx軸から切り取る線分の長さが6であるときの定数aを求める問題で質問があります。

私は解の公式で
x=-1,a-1を出しましたがまずここができませんでした。

教えてください。
No.820 - 2008/05/25(Sun) 20:53:59
☆ Re: 二次不等式 / ヨッシー
まず、x^2-ax+a-1=0 の解は、x=1,a-1 です。
この２解の差が、６だというのですから、
　１−(ａ−１)＝６　または　(ａ−１)−１＝６
これらを解いて、
　ａ＝−４　または　ａ＝８
No.821 - 2008/05/25(Sun) 21:27:38
☆ Re: 二次不等式 / 桜　高校2
ありがとうございました！！
おかげさまでできました(^^)v
No.827 - 2008/05/25(Sun) 22:13:49
★ (No Subject) / 匿名　高1
またお世話になります。

aを定数とするとき、次のxについての方程式を解け。
(1)x^2-6ax+9a^2=4
(2)ax^2-(a^2+1)x+a=0

私はどちらも場合わけをせずに答えを出しましたが
(2)だけa≠0のとき、a=0のときと場合わけされていました。
なぜ(2)だけ場合わけをしなければいけないのでしょうか？

説明のほうよろしくお願いします。
No.817 - 2008/05/25(Sun) 13:54:43
☆ Re: / 七
a=0
のときは2次方程式ではありませんから
判別式を使えなくなります。
No.818 - 2008/05/25(Sun) 14:50:58
☆ Re: / 七
余り適切ではありませんでしたね。
ax^2-(a^2+1)x+a=0

a＝0のとき
−x＝0 より x＝0

a≠0 のとき
(x−a)(ax−1)＝0
x＝a，1/a
No.819 - 2008/05/25(Sun) 14:56:09
☆ Re: / 匿名　高1
説明ありがとうございます。
とてもよくわかりました！
本当にありがとうございました★
No.836 - 2008/05/26(Mon) 20:36:14
★ 三角関数 / 真由音
こんにちは。

0＜a＜πを満たす。θが0以上π以下の範囲で
f(θ)=sin(θ-a)-sinθを考える。

(1)方程式f(θ)=0の解は、aを用いてθ=π/[ア]+a/2と表される。更に、この方程式の解が、sin(θ-a)=1/2を満たすならば、a=[イ]π/[ウ]である。


(2)aを(1)で求めた値とするとき、関数f(θ)は、

θ=πのとき 最大値　√[エ]/[オ]

θ=π/[カ]のとき 最小値−√[キ]をとる。


という問題です。f(θ)の式の変形が分かりません。教えてください。
No.815 - 2008/05/25(Sun) 11:45:25
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

(1)
0≦θ≦π の範囲で、sinθとsin(θ−ａ) が等しくなるのは
図のような場合なので、このとき、
　θ＋(θ−ａ)＝π
の関係があります。これを解いて、
　θ＝π/2＋ａ/2
このとき、θ−ａ＝π/2−ａ/2 となり、
　sin(θ−ａ)＝sin(π/2−ａ/2)＝1/2
0＜a＜π より、０＜π/2−ａ/2＜π/2 なので、
　π/2−ａ/2＝π/6
これより、ａ＝2π/3

(2)
加法定理より
　sin(θ−2π/3)＝sinθcos(2π/3)−cosθsin(2π/3)
　　＝-(1/2)sinθ−(√3/2)cosθ
よって、
　ｆ(θ)＝sin(θ−2π/3)−sinθ＝-(3/2)sinθ−(√3/2)cosθ
　　＝-√3{(√3/2)sinθ＋(1/2)cosθ}
合成の公式より
　ｆ(θ)＝-√3sin(θ＋π/6)
0≦θ≦π の範囲では、
　-1/2≦sin(θ＋π/6)≦１
より、
θ＝π のとき、sin(θ＋π/6)＝-1/2 で、f(θ) の最大値 √3/2
θ＝π/3 のとき、sin(θ＋π/6)＝１ で、f(θ) の最小値 -√3
No.816 - 2008/05/25(Sun) 12:15:23
★ 指数関数 / 指数関数
a,bは実数でa>0である。このとき
f(x)=(logX)^2-2a(logX)+b（1/2≦X≦2）
で定義された関数を
最大値１、最小値１をとるときa,bの値を求めよ。
底は2です.
No.812 - 2008/05/24(Sat) 23:01:39
☆ Re: 指数関数 / 指数関数
最小値−１でした。

よろしくお願いします
No.813 - 2008/05/24(Sat) 23:10:59
☆ Re: 指数関数 / ヨッシー
y=log2x とおくと、1/2≦x≦2 のとき
-1≦y≦1 ですから、
　g(y)＝y2-2ay+b
の -1≦y≦1 での最大最小を考えます。
　g(y)=y2-2ay+b＝(y-a)2-a2+b
より、
a<-1 のとき、g(-1)が最小、g(1)が最大なので、
　g(-1)＝2a+b+1=-1
　g(1)＝-2a+b+1＝1
これを解いて、a=-1/2, b=-1 これはa<-1 でないので不適
-1≦a＜0 のとき、g(a)が最小、g(1) が最大なので、
　g(a)＝-a<SUP>2+b＝-1
　g(1)＝-2a+b+1＝1
これを解いて、
　a=1±√2, b=2±2√2（複号同順)
-1≦a＜0 を満たすのは、a=1−√2, b=2−2√2
0≦a＜1 のとき、g(a)が最小、g(-1) が最大なので、
　g(a)＝-a2+b＝-1
　g(-1)＝2a+b+1=1
これを解いて、a=-1±√2, b=2干2√2（複号同順)
0≦a＜1 を満たすのは、a=-1＋√2, b=2−2√2
1≦a のとき、g(1)が最小、g(-1)が最大なので、
　g(1)＝-2a+b+1＝-1
　g(-1)＝2a+b+1=1
これを解いて、a=1/2, b=-1 これは、1≦a でないので不適

以上より、a=1−√2, b=2−2√2 または a=-1＋√2, b=2−2√2
No.814 - 2008/05/25(Sun) 00:03:57
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