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★ (No Subject) / Φ
Σ[k=2…n]1/k(k^2-1) の値を求めよ、という問題です。
よろしくお願いします。
No.398 - 2008/04/17(Thu) 20:11:58
☆ Re: / X
与式を
Σ[k=2…n]1/{k(k^2-1)}
と見て回答します。

1/{k(k^2-1)}=1/{k(k-1)(k+1)}
∴1/{k(k^2-1)}=A/k+B/(k-1)+C/(k+1)
(A,B,Cは定数)
と変形できると仮定してA,B,Cの値を求めると
A=-1
B=C=1/2
∴Σ[k=2…n]1/{k(k^2-1)}=Σ[k=2…n]{-1/k+(1/2)/(k-1)+(1/2)/(k+1)}
=Σ[k=2…n][(1/2){1/(k-1)-1/k}-(1/2){1/k-1/(k+1)}]
=…
No.400 - 2008/04/17(Thu) 21:10:25
☆ Re: (No Subject) / hari
別解です。

目的はa[n+1] - a[n]やa[n+2] - a[n]のような形にすることなので

1/(k-1)k(k+1) = (1/2){1/(k-1)k - 1/k(k+1)}

と分解すればＯＫです。
（1/(k-1)k(k+1) = □/(k-1)k - □/k(k+1)
とまず分解し、右辺から左辺にもどせるように、□に1/2を代入します。）

あとは2からnまで足せば初項と末項のみ残ります。
No.402 - 2008/04/18(Fri) 03:40:20
★ 高１・因数分解 / 匿名
x^9+3x^6+3x^3+1を因数分解しなさい。

という問題なのですが、
これはどう解けばいいのでしょうか？
No.397 - 2008/04/17(Thu) 19:53:51
☆ Re: 高１・因数分解 / X
x^3=X
と置いてみましょう。
No.399 - 2008/04/17(Thu) 20:59:24
☆ Re: 高１・因数分解 / 匿名
Xと置いてみると
X^3+3X^2+3X+1
=(X+1)^3
=(x^3+1)^3
={(x+1)(x^2-x+1)}^3
=(x+1)^3(x^2-x+1)^3

になったのですが･･･
途中式はあっているでしょうか？
No.401 - 2008/04/17(Thu) 22:40:15
☆ Re: 高１・因数分解 / ヨッシー
途中の式も合っていますし、最終の答えも、それで良いです。
No.403 - 2008/04/18(Fri) 07:00:45
☆ Re: 高１・因数分解 / 匿名
あっていてよかったです！
どうもありがとうございました★
No.404 - 2008/04/18(Fri) 19:37:01
★ 場合の数 / コブクロ
一個のさいころをn回振って、出た目を順に記す。この中から任意の２数を取り出すとき、和が4にならない目の出方は何通りあるか。

どのように考えればいいのかわかりません。教えてください。
No.390 - 2008/04/17(Thu) 01:22:30
☆ Re: 場合の数 / X
サイコロの２つの目で和が4になる組み合わせは
{2,2}{1,3}
よって題意を満たすためにはn個の数字の中に
(i)2を2個以上含まない
(ii)1,3を同時に含まない
という条件が必要になります。
従って
(I)2が全く含まれない場合
3も含まれない場合は4^n[通り]
1も含まれない場合は4^n[通り]
1,3がいずれも含まれない場合は3^n[通り]
∴場合の数は4^n+4^n-3^n=2・4^n-3^n[通り]
(II)2が1個のみ含まれる場合
3が含まれない場合は
{1,4,5,6}
の4つの数字でできるn-1個の重複順列に2を1個割り込ませて順列を作ると考えて
{4^(n-1)}n[通り]
同様に1が含まれない場合も
{4^(n-1)}n[通り]
1,3がいずれも含まれない場合は
{3^(n-1)}n[通り]
∴場合の数は2{4^(n-1)}n-{3^(n-1)}n[通り]

(I)(II)の和を取って求める場合の数は
2・4^n-3^n+2{4^(n-1)}n-{3^(n-1)}n
=2{4^(n-1)}(n+4)-{3^(n-1)}(n+3) [通り]
となります。
No.393 - 2008/04/17(Thu) 09:37:56
★ 二次関数2 / 桜
たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

(1)二次関数y=3x^2-(3a-6)x+bがx=1で最小値-2をとるとき、定数a,bの値を求めよ。

(2)二次関数f(x)=ax^2+bx+cが、f(-1)=f(3)=0を満たし、その最大値が4であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。


よろしくお願いいたします。
No.386 - 2008/04/16(Wed) 23:31:01
☆ Re: 二次関数2 / X
(1)
問題の二次関数は
y=3{x-(a-2)/2}^2+b-(3/4)(a-2)^2
となりますので
x=(a-2)/2のとき、最小値b-(3/4)(a-2)^2
を取ります。よって
(a-2)/2=1 (A)
b-(3/4)(a-2)^2=-2 (B)
(A)(B)を連立して解きます。

(2)
f(x)のx^2の係数がaでf(-1)=f(3)=0であることから
f(x)=a(x+1)(x-3) (A)
となります。
これより
f(x)=a(x^2-2x-3)
=a(x-1)^2-4a
ここでf(x)は最大値が4ですので
a<0 (B)
-4a=4 (C)
(B)(C)よりaを求め、(A)に代入して展開し、
f(x)=ax^2+bx+c
と係数を比較します。
No.389 - 2008/04/16(Wed) 23:45:00
☆ Re: 二次関数2 / 桜
ありがとうございました
とてもわかりやすかったです(^^)
No.411 - 2008/04/20(Sun) 17:06:20
★ 二次関数 / 桜
こんばんは。よろしくお願いいたします。

(1)二次関数y=2x^2+4xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動するとx軸と2点(3,0)(7,0)で交わるという。このときa,bの値を求めよ。

(2)二次関数y=-2x^2+2ax-aの最大値Mをaの関数としてあらわせ。またこのaの関数Mは、aのどんな値に対して最小になるか。　

2問が分かりませんでした。(2)は最小になるaの値の求め方が分かりません。

よろしくお願いいたします。
No.385 - 2008/04/16(Wed) 23:23:43
☆ Re: 二次関数 / X
(1)
y=2x^2+4xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動したときのグラフの方程式は
y-b=2(x-a)^2+4(x-a)
これが点(3,0),(7,0)を通るので
-b=2(3-a)^2+4(3-a) (A)
-b=2(7-a)^2+4(7-a) (B)
(A)(B)を連立して解きます。
(まず(A)-(B)を計算しましょう。)
No.387 - 2008/04/16(Wed) 23:34:13
☆ Re: 二次関数 / X
(2)
前半)
y=-2x^2+2ax-a
を平方完成しましょう。
後半)
前半の結果、Mはaの二次関数になりますので、aについて平方完成しましょう。
No.388 - 2008/04/16(Wed) 23:36:40
☆ Re: 二次関数 / 桜
ありがとうございました☆
おかげさまで解決いたしました！！
No.410 - 2008/04/20(Sun) 17:04:59
★ いろいろ　（入試問題かな？） / Answer
(1)２次関数　y=x^2-a のグラフ上でx座標が正の整数である点を考える。
この中にy座標が 495　のものと、699　のものがあるとき、 a　のとる値をすべて求めよ。

(2)xy平面上に定点Ａ(-1,0),B(1,0)と動点Ｐがある。
Ｐは領域 y>0　にあり、条件　∠ＰＢＡ−∠ＰＡＢ＝π/３
を満たしながら動くものとする。点Ｐのx座標が最小となるときの点Ｐの座標を求めよ。

(3)６個の数1,2,3,4,5,6から異なる4つの数を選んで並べ、4桁の自然数Nを作る。
その千、百、十、一の各位の数を順にa、b、c、dとすれば、N＝1000a+100b+10c+dであることに
注意して、次の問いに答えよ。
　１、Nが3の倍数であるための必要十分条件は、各位の数の和が3の倍数であることを示せ。
　２、が3の倍数であるとき、そのようなNの総和を求めよ。

(4)xの2次方程式 x^2+(4k-3)x+3k=0は、0aはBの小数部分に等しい。このとき、実数kを求めよ。

(5)０を原点とするxy平面上に正方形OABCがある。頂点Aは第4象限(x>0かつy<0で表される領域)
にあり、辺AB上に点(10,0)が、辺BC上に点(9,7)がそれぞれある。このとき、点A,B,Cの座標を
求めよ。

(6)n^4が3n+7の倍数となるような自然数nをすべて求めよ。

※x^2はエックスの２乗の意

一問でもいいので、解答宜しくお願いします。
No.381 - 2008/04/16(Wed) 21:42:56
☆ Re: いろいろ　（入試問題かな？） / ヨッシー
(1)
　x12-a＝495　・・・(i)
　x22-a＝699　・・・(ii)
であるとします。ただし、x1, x2 は正の整数。
(ii)から(i)を引いて、
　x22−x12＝204
　(x2−x1)(x2＋x1)＝22×3×17
より、204 を２つの偶数の積に分解すると、
　2・102、6・34
であるので、
　x2−x1＝2、x2＋x1＝102 より、x1＝50, x2＝52　このとき a＝2005
　x2−x1＝6、x2＋x1＝34 より、x1＝14, x2＝20　このとき a＝-299
No.394 - 2008/04/17(Thu) 10:38:43
☆ Re: いろいろ　（入試問題かな？） / ヨッシー
(3)１．
N＝1000a+100b+10c+d＝(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d
　＝3(333a+33b+3c)＋(a+b+c+d)
と書けるので、
Ｎが３の倍数であることと、a+b+c+d が３の倍数であることは同値である。

２．
ある３の倍数が見つかったら、その各位の数を並べ替えた
24個の数も、３の倍数です。
たとえば、1236 が３の倍数であるので、1263,1326,1362 なども３の倍数です。
これら２４個の数を足すと、
千の位には、1,2,3,6 が６回ずつ現れます。
百の位、十の位、一の位も同様で、
1,2,3,6 からなる24個の数の合計は
1000×{(1+2+3+6)×6}＋100×{(1+2+3+6)×6}＋10×{(1+2+3+6)×6}＋{(1+2+3+6)×6}
＝6666×(1+2+3+6)
で表されます。

和が３の倍数となる４つの数の選び方は
和が１２：(1,2,3,6)(1,2,4,5)
和が１５：(1,3,5,6)(2,3,4,6)
和が１８：(3,4,5,6)
であるので、求める総和は
　6666×(12+12+15+15+18)＝479952

(4)問題として成立していません。
問題文を見直してください。
No.395 - 2008/04/17(Thu) 12:26:28
☆ Re: いろいろ　（入試問題かな？） / ヨッシー
(5)
点Ｃが第１象限にあることはＢＣが(9,7)を通ることより
わかります。
点Ｄ(10,0)、点Ｅ(9,7)、点Ｆ(0,10) とします。
∠ＯＡＤ＝90°なので、点Ａは、ＯＤを直径とする円上にあり、
それを90°回転したのが点Ｃなので、点Ｃは、ＯＦを直径とする円上にあります。つまり、
　ｘ2＋ｙ(ｙ−10)＝０　・・・(i)
また、∠ＯＣＥ＝90°なので、点Ｃは、ＯＥを直径とする円上にあります。つまり、
　ｘ(ｘ−９)＋ｙ(ｙ−７)＝０　・・・(ii)
(i)(ii) の解のうち、原点以外の点が点Ｃとなります。
これを解いて、x=3, y=9
以上より、点Ａ(9,-3)、点Ｂ(12,6)、点Ｃ(3,9) となります。
No.396 - 2008/04/17(Thu) 13:40:21
★ 代数 / たもつ
2,3,5,7,…,pは素数を小さい方から並べたものとする。
(1)q=2^2×3×5…(p-1)を4で割ったときの余りは3であることを示せ。またこのことを使って、qはpより大きい4m+3の形の素数を約数として持つことを示せ。
(2)(1)を使って、4n+3の形の素数は無限にあることを示せ。

という問題です。
けんとうもつかないのでよろしくお願いします。
No.369 - 2008/04/15(Tue) 16:43:48
☆ Re: 代数 / らすかる
q=2^2×3×5…(p-1) の省略部分はどうなっているのですか？
No.370 - 2008/04/15(Tue) 18:20:06
☆ Re: 代数 / rtz
q＝2*3*5*…*p＋1なら分かるのですが、
ちょっと解せませんね。
問題文の確認をお願いします。
No.371 - 2008/04/15(Tue) 18:49:43
☆ Re: 代数 / たもつ
分かりにくくて申し訳ありません。
問題では最初に書いてあるように書いてありました。
たぶん…の部分は７＊１１＊…と小さい方からpより小さいものまで掛けていくのだと思います
No.372 - 2008/04/15(Tue) 18:59:46
☆ Re: 代数 / ヨッシー
「最初に書いてあるように」ということは、
q=2^2×3×5…(p-1)
ですよね？
2^2 が付いている時点で、４で割り切れるんですが。

それに、p=13 だと、(p-1)自体４で割り切れますね。
No.374 - 2008/04/15(Tue) 19:16:57
☆ Re: 代数 / たもつ
すいませんでした。自分の見間違いでした。
q=2^2*3*5*7…p-1という問題でpまでかけて最後に1引くというものでした。すいません。
(1)は自力で分かったのですが、(2)の証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。
No.375 - 2008/04/15(Tue) 23:58:43
☆ Re: 代数 / 風あざみ
たぶん、この問題の「2^2×3×5…(p-1)は」、「2^2×3×5…×p-1」の誤りなんでしょう。
出題ミスだと思います。
No.376 - 2008/04/16(Wed) 00:00:41
☆ 2番 / 風あざみ
4n+3の形の素数が有限個と仮定します。
pを4n+3の形の素数のうち最大のものとします…※
(4n+3の形の素数が有限個なら、このようなpは必ず存在します)。

(1)より2^2×3×5…×p-1はpより大きな4n+3の形の素数p'を
素因数としてもちます。
明らかにこれは※に反します。

したがって、「4n+3の形の素数が有限個」という仮定は誤りで、4n+3の形の素数が無数にあることがわかります。
No.377 - 2008/04/16(Wed) 00:06:58
☆ Re: 代数 / たもつ
>風あざみさん

すいません自分のミスでした。
丁寧な解答ありがとうございました。
No.378 - 2008/04/16(Wed) 01:17:50
★ お願します。 / 帝丹
三角形ＡＢＣにおいて
cosA+cosB+cosC
のとり得る値の範囲を求めよ
という問題なのですが
どなたかヒント、アドバイス宜しくお願いします。
No.365 - 2008/04/15(Tue) 09:07:36
☆ Re: お願します。 / 豆
A+B+C=πから文字がひとつ消せます。
あとは、どちらかを定数、最後の文字を変数と考えて、
その文字で三角関数の合成をしてみる。
でいかがでしょうか？
No.368 - 2008/04/15(Tue) 15:14:39
★ 二次関数の問題 / DEBORAH
連続投稿となりますが、よろしくお願いします。高3です。

kを定数とし、二次関数y=x^2-2kx＋2k＋3のグラフをCとする。Cが次の条件を満たすようにkの値の範囲を求めよ。

(2) x軸の-2<x<4の部分と、異なる二点で交わる。
(3) x軸の-2<x<4の部分と、一点のみで交わる。ただし、Cがx軸と接する場合は考えない。

答えは、

(2) -7/6<k<-1、3<k<19/6
(3) k≦-7/6、19/6≦K

まず、何からはじめればよいのかもわかりません。
よろしくお願いします。
No.364 - 2008/04/15(Tue) 05:28:14
☆ Re: 二次関数の問題 / ヨッシー
まず何からと言うと、条件に合うような状態のグラフを描くことです。
　f(x)＝x^2-2kx＋2k＋3
と置いたとき、
１．判別式はどうあるべきか？
２．軸はどの位置にあるべきか？
３．頂点はどの位置にあるべきか？
４．境界上でのf(x) の値はどうあるべきか？
を、吟味し、ｋの範囲を決めていきます。
※境界上というのは、-2<x<4 なら、x=-2 と x=4 の所です。
No.367 - 2008/04/15(Tue) 10:51:09
☆ Re: 二次関数の問題 / DEBORAH
(2)は、理解でき、答えも導き出せましたが、（3）が、まだ解けません。一点のみで交わるというのは、二つの異なる実数解のうちの一つが、その範囲内でx軸と交わると言う意味ですか??
No.373 - 2008/04/15(Tue) 19:14:46
☆ Re: 二次関数の問題 / ヨッシー
そうですね。

図のような２通りが考えられます。
　４．境界上でのf(x) の値はどうあるべきか？
だけで解けます。
No.379 - 2008/04/16(Wed) 02:06:14
☆ Re: 二次関数の問題 / DEBORAH
やっと、理解できました。ありがとうございました。
No.392 - 2008/04/17(Thu) 06:03:16
★ 関数の最大最小 / DEBORAH
高校三年です。今回もよろしくお願いします。

0≦x≦2で定義された関数f(x)= x^2-2ax＋4について。
f(x)の最大値をaを用いてあらわせ。
また、f(x)の最大値が16のときaの値を求めよ。

ちなみに答えは、
a＜1のとき、-4a＋8
1≦aのとき、4
aの値は、a=-2

です。
No.363 - 2008/04/15(Tue) 05:20:31
☆ Re: 関数の最大最小 / ヨッシー
こちらなどが参考になると思います。

この問題も、
　f(x)＝(x-a)2−a2＋4
より、頂点が(a, 4−a2) と書けるので、
頂点が、0≦x≦2 に対して、どういう位置にあるかを場合分けすることになります。
No.366 - 2008/04/15(Tue) 10:45:41
☆ Re: 関数の最大最小 / DEBORAH
理解できました。ありがとうございました。
No.391 - 2008/04/17(Thu) 06:01:33
★ 微分の問題 / 新高３
3次方程式x^3-3x^2-9x+a=0が異なる2つの正の解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。
この問題が分からないので誰かよろしくお願いします。
No.359 - 2008/04/14(Mon) 17:37:54
☆ Re: 微分の問題 / ヨッシー
x^3-3x^2-9x+a=0 を、
　y=-x^3+3x^2+9x と y=a
の、連立したものと考えます。
　f(x)＝-x^3+3x^2+9x
とおくと、
　f'(x)＝-3x^2+6x+9＝-3(x+1)(x-3)
より、f(x) は、
　x=-1 で極小値 f(-1)＝-5、
　x=3 で極大値 f(3)＝27
を取ります。また、原点(0,0) を通ります。
それを踏まえて、y=f(x) のグラフを描くと、

図のように、y=a のグラフが、y=f(x) のグラフと交わる点の
ｘ座標が、x^3-3x^2-9x+a=0 の解です。
ｘ＞０ の部分で、交点が２個出来るａの範囲は０＜ａ＜２７ になります。
No.360 - 2008/04/14(Mon) 18:03:57
☆ Re: 微分の問題 / 新高３
なるほど！グラフまで描いて説明していただきありがとうございます！！
No.362 - 2008/04/15(Tue) 02:07:02
★ 宜しくお願いします / 帝丹
放物線 y=x^2 上に２点P,Qがある。　線分PQの中点のy座標をhとする。
(1)　線分PQの長さL と 傾きm でhを表せ。

(2)　Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。


(1)については
h={{L^2/(1+m^2)}+m^2}/4
と答えが出ました。

(2)について
(1)より
h={{L^2/(1+m^2)}+m^2}/4
={{L^2/(1+m^2)}+(m^2+1)-1}/4

相加相乗平均より

h≧(2L-1)/4
となり、
等号が成り立つとき
m^2+1=L/(m^2+1)

(m^2+1)^2=L

m^2+1=±L

m^2=±L-1

ここから
m^2=L-1････････(1)
と
m^2=-L-1･･･････(2)


m^2≧0から
(1)より
L-1≧0 ⇒　L≧1････(1)´

(2)より
-L-1≧0　⇒　L≦-1･････(2)´

またLは長さなのでL≧０により(1)´のときである。

よって、L≧1のとき最小値は(2L-1)/4となりました。


０≦L≦１のときの考え方がわかりません。
宜しくお願いします。


※数学問題集｢考える葦｣数学質問掲示板にも投稿しています。
No.357 - 2008/04/14(Mon) 10:40:48
☆ Re: 宜しくお願いします / 帝丹
すみません、解決しました。
No.358 - 2008/04/14(Mon) 11:37:19
★ 文章題 / なでしこ
中学一年生です。よろしくお願いします。
A、B、Cがそれぞれあめ玉を何個か持っています。AはBより１６個多く持っていました。３人はそれぞれが持っているあめ玉の半分を、AはBに、BはCに、CはAに渡したところ、Bの持っているあめ玉の個数は３２個、Cの持っているあめ玉の個数は、２２個になりました。Cが初めに持っていたあめ玉の個数は何個ですか。解き方を教えてください。
No.352 - 2008/04/13(Sun) 21:37:48
☆ Re: 文章題 / ヨッシー
飴の移動を逆にたどります。
ＣがＡに自分の半分を渡したら、Ｃが22個になった。
　→Ｃは渡す前に44個持っていて、Ａに22個上げた。
ＢがＣに自分の半分を渡したら、Ｂが32個になった。
　→Ｂは渡す前に64個持っていて、Ｃに32個上げた。
これだけで、Ｃの最初持っていた数はわかりますね。
No.353 - 2008/04/13(Sun) 21:46:45
☆ Re: 文章題 / なでしこ
そうですね!とてもよくわかりました。ありがとうございます。また、よろしくお願いします。
No.354 - 2008/04/13(Sun) 21:57:38
☆ Re: 文章題 / ヨッシー
うーむ。
どうも、「AはBに、BはCに、CはAに」順々に渡したわけではないようですね。
そうでないと、Ａ、Ｂの個数が整数で出ないです。

とすると、

図のような移動があったと考えられ、
Ｂの最初の数は　32−8＝24(個)
その半分がＣに行ったので、Ｃの最初の数の半分は
　22−12＝10
Ｃの最初の数は 10×2＝20(個)　となります。
No.355 - 2008/04/14(Mon) 08:47:18
☆ Re: 文章題 / なでしこ
確かめをしてみておかしかったので、やり直してみました。
どうもありがとうございます。
No.361 - 2008/04/14(Mon) 21:45:42
★ 相加相乗平均 / Kay
一般に、ａ≧０，ｂ≧０のとき、
ａ＋ｂ≧２√ａｂ・・・※
（等号成立条件：ａ＝ｂ）
と参考書に書いてあるのですが、
ａ＝ｂ＝０のときも成り立つので、※の条件としては、
ａ≧０，ｂ≧０ではなく、ａ＞０，Ｂ＞０の方が、
より正確だと思うのです。

どなたか、適切なアドバイスをお願いします。
No.349 - 2008/04/13(Sun) 09:40:15
☆ Re: 相加相乗平均 / ヨッシー
相加相乗平均の前提は、ａ＞０，ｂ＞０ であったはずです。
式の上では、ａ≧０，ｂ≧０ でも成り立つのでしょうが、
相乗平均（３数以上の場合を考えた場合）の性格上、０が
１つあったら、他の数に関係なく平均が０、というのは、平均としての
役割を果たさないと思います。

また、相加≧相乗の証明(３数以上)の際に、log を取ったりするのですが、
その際に、０を認めては証明に使えないです。
No.350 - 2008/04/13(Sun) 09:59:17
★ Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / yuuka
宜しくお願い致します。

Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))
という級数の収束・発散がどうしてもわかりません。

このような場合はどのようにして判定すればいいのでしょうか?
No.342 - 2008/04/12(Sat) 09:07:51
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / 我疑う故に存在する我
f (n) = n^2008/(log n)^(log n) と置き、 n を十分大なる実数として、 n = e^x と変換すると
f (e^x) = e^(2008*x)/x^x となり、 x が十分大の所で、単調に減少して 0 に収束する。
n → ∞　と e^x → ∞ は同等だから、元の級数はライプニッツの定理により収束。
（ついでに云うと絶対収束。）
No.345 - 2008/04/12(Sat) 17:05:34
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / yuuka
有難うございます。


> f (n) = n^2008/(log n)^(log n) と置き、 n を十分大なる実数として、 n =
> e^x と変換すると
> f (e^x) = e^(2008*x)/x^x となり、 x が十分大の所で、単調に減少し
> て 0 に収束する。
> n → ∞　と e^x → ∞ は同等だから、元の級数はライプニッツの定理
> により収束。
> （ついでに云うと絶対収束。）

ライプニッツの定理とは
「交項級数Σ[n=1..∞](-1)^na_nが|a_n|が単調減少且つlim[n→∞]|a_n|=0ならばΣ[n=1..∞](-1)^na_nは収束」
なるものですね。おかげ様で納得致しました。
No.348 - 2008/04/13(Sun) 03:10:23
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / 我疑う故に存在する我
「絶対収束」は取り消しておきます。

注意書き
http://yosshy.sansu.org/shitsumon.htm
に、大学生の方は、自分で解いてください。
と有ります。
No.351 - 2008/04/13(Sun) 11:01:56
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / ヨッシー
まぁ、質問していただくのは構いませんが、しばしば答えかねる場合があります。
No.356 - 2008/04/14(Mon) 08:50:03
★ (No Subject) / ラディン.ms
２点A(-√3,0),B(√3,0)があり，
さらに動点P(p1,p2)とHを次のように定める。
?@）P≠AかつP≠Bのとき　∠APB＝60°であり
　　HはBから∠APBの二等分線に下ろした垂線の足である
?A）P=Aのとき　H(√3/2,-3/2)
?B）P=Bのとき　H=B

（１）p1=0,p2>0のとき　Hの座標を求めよ。
（２）p2>0のとき　PHとy軸の交点Rの座標を求めよ。
（３）p2≧0のとき　Hは中心[ア]，半径[イ]の円上を動く。空欄ア，イを埋めよ。
（４）p1≧0,p2≧0のとき　Hが描く線の長さを求めよ。
（５）p2≧0のとき　Hが描く線の長さを求めよ。

よろしくお願いします。
No.339 - 2008/04/11(Fri) 19:33:28
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
∠ＡＰＢの二等分線をＡＴとすると
(1) ｐ1＝0 のとき ∠ＡＰＴ＝∠ＢＰＴ＝30°であり、ＡＴはｙ軸の(0,3)より下の部分になります。
よって、ＢからのＡＴへの垂線の足Ｈは原点にきます。すなわち　Ｈの座標は(0,0)

(2) ｐ2＞0のとき、点(0,3)をＣとすると△ＡＣＢの外接円の弧ＡＣＢ上をＰは動きます。
ＰＴとこの円の交点をＤとすると、∠ＡＰＤ＝∠ＢＰＤ＝30°よりＤは弧ＡＤ＝弧ＢＤ となり、Ｄはｙ軸上の点となります。（ＤとＲとが一致する）
よって ∠ＢＲＯ＝(1/2)∠ＡＲＢ＝60°となるので、ＯＲ＝1
したがって、Ｒの座標は（0、-1）

(3) ＰＴは常に定点Ｒ(0,-1)を通るので、∠ＢＨＰ＝90°になるので、ＨはＢＲを直径とする円周上を動きます。
[ア]＝(√3/2,-1/2)、[イ]＝1

(4) ＨはＢＲを直径とする円の弧ＢＯ上を動くので・・・

(5) (√3/2,-3/2)をＥとすると
ＨはＢＲを直径とする円の弧ＢＯＥ上を動くので・・・
No.341 - 2008/04/11(Fri) 23:46:51
☆ Re: / ラディン.ms
解答ありがとうございます。

図を描いて考えてみたのですが，（２）の２行目からよくわかりませんでした。
No.343 - 2008/04/12(Sat) 16:57:04
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
∠ＡＰＢの２等分線と外接円の交点をＤとすると、円周角が等しければそれに対するこの長さが等しいので
弧ＡＤ＝弧ＢＤ　です。
この円はｙ軸に関して対称だから、Ｄはｙ軸上の点、すなわちＲと一致します。(以降ＤをＲと書きます)
∠ＡＲＢ＝180°−∠ＡＰＢ＝120°
∴∠ＢＲＯ＝60°
また　ＢＯ＝√3　だから ＯＲ＝1
したがって、Ｒの座標は（0,-1）となります。
No.346 - 2008/04/12(Sat) 17:32:23
☆ Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。
No.347 - 2008/04/12(Sat) 18:19:33
★ 旧掲示板 / ヨッシー
旧掲示板ですが、
最終記事までのログが取れましたので、この掲示板からの
リンクは外しました。
旧掲示板自体は残りますが、書き込みは出来ません。

荒らしさえなければ、続けたのですが残念です。
No.336 - 2008/04/11(Fri) 13:03:40
★ 2次関数の問題です / ケイ
曲線 y=2lx^2-4x+3l+2 と、点(0,1) を通る直線が4点で交わる時の直線の傾きmの値を求めなさい。
という問題で、
y=2lx^2-4x+3l+2
=(x-1)(x-3)
(x-1)(x-3)>0より、x<1,x>3の時　y=2(x-2)^2
(x-1)(x-3)<0より、1<x<3の時　　y=-2(x-2)^2+4　　となる
点(0,1)を通る直線を y=mx+1 とおく
傾きの最小値は点(0,1)(1,2)を通る 2=x+1 だから m=1
傾きの最大値は 1<x<3 y=-2x^2+8x-4と接するから傾きは
　-2x^2+8x-4=mx+1 が1<x<3で重解を持つ時の値だから
　2x^2+(m-8)x+5=0 (m-8)^2-4・2・5=0
m^2-16m+24=0 m=8+2√10,8-2√10
という所までは解けるのですが m=8+2√10,8-2√10のどちらが1<x<3 で接する時の値なのかが分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.334 - 2008/04/11(Fri) 10:42:18
☆ Re: 2次関数の問題です / ヨッシー

グラフを描きましょう。

-2x^2+8x-4=mx+1 が、重解を持つときが２ヶ所あると言うことなので、
図のように、２つの傾きの接線が引けます。
１つは、１＜ｘ＜３ で接していて、１つは、ずっと右下の方で
接しています。
どちらの方が傾きが大きいかを考えると、m=8+2√10,8-2√10のどちらであるか
は、わかるでしょう。
No.335 - 2008/04/11(Fri) 11:28:09
★ 2次関数なですが… / すにふ
不等式　x2乗−(a＋1)x＋a＜0 を満たす整数がちょうど2個だけあるような実数aの値の範囲を求めなさい。
という問題が分かりません。
(x−a)(x−1)＜0 で、aが−1では駄目だって事は分かるのですが…。
よろしくお願いいたします。
No.330 - 2008/04/10(Thu) 02:52:22
☆ Re: 2次関数なですが… / hari
解の差の絶対値|a - 1|が2より大きく3以下であればよいですね。

解の差の絶対値というのは y = x^2 - (a + 1)x + aが切り取るx軸の長さです。
今回は端点を含まないので、この切り取られた長さが2より大きく3以下ならば必ずそこに整数が二つ含まれることになります。
No.331 - 2008/04/10(Thu) 04:54:20
☆ Re: 2次関数なですが… / すにふ
hariさん、どうもありがとうございました。
問題の意味が理解できました。
No.333 - 2008/04/11(Fri) 10:17:01
★ ベクトル、一次変換 / 康夫
?@ベクトルについて
去年の学校の補習で、２つのベクトルに垂直なベクトルの公式みたいなものを教えてもらったのですが、ノートをなくし、確認できなくなりました。その公式を教えてください。


?A一次変換に関する問題
直線y=mxに関して各点のその対称点に移す一次変換およびその行列はmにより決まるから、f(m)およびA(m)と表す。
（1）行列A(m)を求めよ。
（2）A(m)の逆行列を作れ。

一応解くことはできたのですが、（2）の解説でf(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)^-1であると書いていました。
どういてこのようなことが言えるのですか。教えてください。
No.328 - 2008/04/09(Wed) 23:33:07
☆ Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
(1)私のページの「ベクトルの外積」をご覧ください。

(2)
「f(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)である」でしょうね。
ある点Ａが y=mx に関して、対称に移動した点をＢとします。
点Ｂを、y=mx に関して対称に移動したものが点Ａですから、
　Ａ→Ｂ　も　Ｂ→Ａ　もf(m) であり、当然、Ｂ→Ａ　は
Ａ→Ｂの逆写像です。
No.329 - 2008/04/09(Wed) 23:57:27
☆ Re: ベクトル、一次変換 / 康夫
逆写像とかいう意味があまりわかりません。・・・
No.337 - 2008/04/11(Fri) 13:42:53
☆ Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
ある写像の逆の動きをするのが逆写像です。
たとえば、
　ｘ軸方向に３、ｙ軸方向に−２、移動する写像
の逆写像は
　ｘ軸方向に−３、ｙ軸方向に２、移動する写像
です。元の写像で点Ａ（２，４）は、点Ｂ（５，２） に移ります。
逆に、逆写像では、点Ｂが点Ａに移ります。

この例では、元の写像と、逆写像は別の動きをしますが、
対称移動では、逆写像も、同じ動きをする写像となります。
No.338 - 2008/04/11(Fri) 13:55:29
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