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★ 不等式の証明 / ooooooo
問：(sina+sinb)/2<=sin(a+b/2)を証明せよ。ただし、文字は全て０とπの間の数とする。

を教えて下さい。できれば(sina+sinb+sinc)/3<=sin(a+b+c/3),(sina+sinb+sinc+sind)/4<=sin(a+b+c+d/4)も知りたいので、一般化した証明が分かると嬉しいです。
No.1688 - 2008/07/21(Mon) 12:43:27
☆ Re: 不等式の証明 / キューダ
区間[0,π]においてsin(x)が上に凸であることを指摘すると、直ちに成立することが言えます。
丁寧に説明する場合には、関数を図示し、左辺が示す値、右辺が示す値を添えれば良いでしょう。

詳しくは、凸関数、関数の凸性、凸不等式などを検索してみてください。
文字数2,3,4個→n個という方向だけでなく、sin(x)→凸性を持つ全ての関数へと拡張できます。
No.1691 - 2008/07/21(Mon) 17:32:05
☆ レスありがとうございました！ / ooooooo
キューダ様、ご丁寧なレスありがとうございました。
アドバイスを参考に、もう少し熟考してみようと思います。
また機会がありましたら、お力を貸して頂けると嬉しいです。
No.1693 - 2008/07/21(Mon) 21:27:56
★ 数A / みかげ
【問】x+y+z=9を満たす自然数x,y,zの解の組は何通りあるか。

【解説】x-1=X,y-1=Y,z-1=Zとおくと
　　　x=X+1,y=Y+1,z=Z+1となり、x+y+z=9より
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=9
よって　　　X+Y+Z=6
　　　X,Y,Zは0以上の整数となる。
　　　すなわち、6個の〇と2個の｜を並べる並べ方の総数に　　　等しいから
　　　8!/(6!2!)=28(通り)　

【疑問】よってX,Y,Zは0以上の整数となる。のが何故なのか分かりません

よろしくお願いします
No.1686 - 2008/07/21(Mon) 12:07:34
☆ Re: 数A / らすかる
x-1=XとおいたのでXはxより1小さい数です。
xは自然数つまり1以上の整数ですから、Xは0以上の整数ですね。
No.1687 - 2008/07/21(Mon) 12:42:14
★ (No Subject) / 阿呆
１）4^log2３

２）４＾（２/３）÷24^（1/3）×18^（2/3）

をおしえてくださいいいいいいｍｍｍｍ
No.1685 - 2008/07/21(Mon) 10:23:51
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
1) ｘ＝4^log[2]３ 　とおいて対数をとると
log[2]ｘ＝log[2]３・log[2]４
　　　　＝２*log[2]３＝log[2](３^2)
∴ ｘ＝３^2＝９

2）4^(2/3)÷24^(1/3)×18^(2/3)＝16^(1/3)÷24^(1/3)×324^(1/3)
＝(16÷24×324)^(1/3)＝216^(1/3)＝６

となります。
No.1689 - 2008/07/21(Mon) 13:11:05
☆ Re: / 阿呆
okuremasitaga
あ　り　が　と　う　
No.1697 - 2008/07/22(Tue) 08:54:24
★ sincostan / K
問
sinx＋siny＝1、cosx＋cosy＝1/3のとき、tan(x＋y)/2の値を求めよ。

解　3

tanの展開のしかたがよくわかりません。
解答までの過程と解説を、どなたかよろしくお願いします。
No.1679 - 2008/07/20(Sun) 20:53:12
☆ Re: sincostan / rtz
＞tanの展開
必要ありません。

2式を和→積に直せばすぐ出ます。
No.1681 - 2008/07/21(Mon) 01:10:48
★ 「反転」の意味 / √
よろしくお願い致します。

「図形や絵が上下【反転】している」
の意味は、

「鏡像（線対称）」ということですか？
それとも
「１８０度、向きを変えた」ということですか？

昨日、ＩＱサプリを見ていて、ふと疑問に思いました。
No.1677 - 2008/07/20(Sun) 18:38:19
☆ Re: 「反転」の意味 / らすかる
「鏡像（線対称）」です。
No.1680 - 2008/07/20(Sun) 22:55:14
☆ Re: 「反転」の意味 / √
らすかるさん
有り難うございました。
No.1683 - 2008/07/21(Mon) 08:15:35
★ (No Subject) / ぽにょ　高3
次の極限値を求めよ。
lim(1-1/n)^n　(n→∞)

教えてください。お願いします。
No.1676 - 2008/07/20(Sun) 18:34:02
☆ Re: / にょろ
(1-1/n)^n=((1+(-1/n))^-n)^-1
でどうでしょ？
No.1682 - 2008/07/21(Mon) 04:32:16
☆ Re: / ぽにょ　高3
lim(1+x)^(1/x)=e　のx=-1/nとした時ってことですかね？
つまり答えは、e^(-1)ですね。
おかげでとても分りました。ありがとうございます☆
No.1696 - 2008/07/22(Tue) 01:48:01
★ (No Subject) / きんに
101.32kPaの下で，4℃の水１molを100℃で蒸発させると体積は何倍になるか．ただし，４℃での水の密度を1.00g/立方センチメートルとする．　　　　　　　　解答おねがいします
No.1672 - 2008/07/20(Sun) 15:37:29
☆ Re: / 七
0℃＝273K であれば
1mol の水が100℃で水蒸気になると
23.4･(273＋100)/273 [l(リットル)] の体積になります。
一方4℃での水の密度が1.00g/cm3ですから1mol＝18gの水の体積は
18 [cm3]です。
No.1674 - 2008/07/20(Sun) 18:11:19
☆ Re: / 七
書き忘れていましたが
101.32kPaを1atm(気圧)としています。
No.1678 - 2008/07/20(Sun) 18:41:26
☆ Re: / gion
>23.4･(273＋100)/273 [l(リットル)] の体積になります。
間違いその１：23.4ではなく22.4
間違いその２：1atm,273KのH2Oは気体ではない．
間違いその３：そもそもH2Oは３原子分子だ．
これはひどい．
No.1684 - 2008/07/21(Mon) 09:29:40
☆ Re: / 七
>gion,間違いその1
そうでした。
No.1692 - 2008/07/21(Mon) 20:39:31
★ (No Subject) / ayu
ｍ,ｎが整数のとき、ｍｎが偶数ならばｍ,ｎの少なくとも一方は偶数であることを証明せよ。

教えてください。
No.1670 - 2008/07/20(Sun) 12:48:45
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
背理法

「ｍ,ｎの少なくとも一方は偶数である」の否定は「ｍ,ｎともに奇数」

「ｍ,ｎともに奇数」とすれば、・・・ｍｎは・・・・
No.1671 - 2008/07/20(Sun) 14:42:39
★ ベクトル / アシメ 高3
2点(1,1,3)(3,5,5)を通る直線をlとし,原点に最も近いl上の点をAとする｡

(1)点Aの座標を求めよ｡
(2)B(x,y,z)をl上の点とする｡x=1のとき△AOBの面積を求めよ。

全くわかりません。
よろしくお願いします。
No.1667 - 2008/07/20(Sun) 01:19:05
☆ Re: ベクトル / 七
(1)
l上の任意の点P(x，y，z)とすると，tを実数として
(x，y，z)＝(1，1，3)＋t(2，4，2)
＝(1＋2t，1＋4t，3＋2t)
と表すことが出来る。
OP2＝(1＋2t)2＋(1＋4t)2＋(3＋2t)2
＝24t2＋24t＋11
＝24(t＋1/2)2＋5
だから t＝−1/2 のとき OP2は最小値5をとる。
OP≧0 だからこのとき OPも最小になり，その値は√5
t＝−1/2だから A(0，−1，2)
(2)
x=1のときt＝0だから
B(1，1，3)
OB＝√11
→OA･→OB＝5
△AOB＝(1/2)√(5･11−25)＝(1/2)√30
計算は間違っているかも知れません。
No.1675 - 2008/07/20(Sun) 18:33:46
☆ Re: ベクトル / アシメ
ありがとうございます。

OP2とはどういうことなのでしょうか？
No.1690 - 2008/07/21(Mon) 14:59:12
☆ Re: ベクトル / 七
>OP2とはどういうことなのでしょうか
直線上の任意の点Pと原点Oとの距離の2乗です。
No.1711 - 2008/07/23(Wed) 06:02:13
★ 模試の勉強で・・・ / 高１
二次関数の問題で二次関数ｆ(x）=ｘ＾2＋2ax＋ｂがありｙ=ｆ(ｘ）のグラフは点（1,8）を通る。ただしａ、bは実数の定数でａ＞０ ?@ｂをａをもちいて表せ ?Aｙ=ｆ(ｘ)のグラフの頂点が直線ｙ=ｘ＋１上にあるときａの値を求めよ ?B?Aのとき負の定数ｐについてｐ≦ｘ≦０における関数ｆ(ｘ）の最大値と最小値の差が-2ｐとなるｐの値を求めよ 。という問題があるのですが、先生がくれたプリントで答えが分かりません。出来れば、解答のチェックをしてほしいのですが。
(1)b=7-2a(2)a=(-3＋√33)/2(3)(-√33＋5-√22＋√6)/2となったのですがどうでしょうか。　
No.1665 - 2008/07/19(Sat) 22:18:58
☆ Re: 模試の勉強で・・・ / rtz
まず最初に、
書き込む際は適宜改行しましょう。
このままだと非常に見づらいです。

(1)は問題ありませんが、
(2)が間違っていますので、自動的に(3)も間違いです。

(2)はもっと簡単な数字になります、検算してみてください。
また、(3)は2つ答えがあります。
No.1666 - 2008/07/20(Sun) 00:40:07
☆ Re: 模試の勉強で・・・ / 高１
ありがとうございます。改行忘れてしましました。すいません。
(2)a=2 (3) p=-2 , -3-√5 ですか？
No.1669 - 2008/07/20(Sun) 09:41:15
☆ Re: 模試の勉強で・・・ / rtz
こちらの計算とも一致しました。
No.1673 - 2008/07/20(Sun) 16:28:39
★ (No Subject) / 極限弐！

limlog(1+4/n)^n=limlog((1+4/n)^n/4)^4
なんで
n/4乗にするのかがわかりません
No.1660 - 2008/07/19(Sat) 20:56:48
☆ Re: / rtz
n→∞ですか？

それはともかく、e＝lim[t→∞]{1＋(1/t)}tを使うためです。
No.1662 - 2008/07/19(Sat) 21:10:29
☆ Re: / 極限弐！
なるほど

完璧わかりました（笑）
ありがとううございますｍｍ
No.1663 - 2008/07/19(Sat) 21:14:57
★ 函数の単射 / なっち
大学2年生の問題です。

f(z)はD内で正則で、D内のあるzoで、f(zo)≠0であるならば、D内の小近傍で単射である事を示せ。
という問題です。なんとなくイメージ的には当たり前な気がするのですが、
いざ数式で証明するとなるとどうしていいか分かりません。
どなたか教えて下さい！
No.1657 - 2008/07/18(Fri) 23:29:10
☆ Re: 函数の単射 / 黄桃
問題がおかしくありませんか？

「正則」とあるから、f(z) は複素正則関数で、D はCの領域（単連結開集合）らしい、と推測するところから始めないといけないのでは、回答はつけづらいです。
「なんとなくイメージ的には当たり前」なのであれば、そのイメージを書いてみてください（不完全でも結構です）。

本題ですが、f(z)≡1 (定数関数) はCで正則でしかもどの開集合でも単射ではありませんから、元の命題は偽です。

＃元の問題を想像すると一致の定理を使いそうです。
No.1668 - 2008/07/20(Sun) 05:41:27
★ 累次積分の領域について / とん
累次積分の領域について解りません。問題は
∬(x-2y+3)dxdy
D={(x,y)|x+y≦1,x≧0,y≧0}
という問題ですが、書籍にxを先に定数と思う場合、yの範囲をxで表示すると
0≦y≦1-x
となる。yをこの範囲で積分した後でxで積分する。xの積分範囲は
0≦x≦1なので・・・・・・
と書かれていましたが、xの積分範囲はどうして
0≦x≦1-y
とはならないのでしょうか？
宜しくお願いします。
No.1653 - 2008/07/18(Fri) 19:33:25
☆ Re: 累次積分の領域について / rtz
z軸方向に、z＝x−2y＋3であるような面を考えて、
Dの領域の部分だけみれば、(0,0,3)(1,0,4)(0,1,1)を頂点とする三角形です。
これら頂点からxy平面に垂線を降ろすと、斜めに切られた三角柱ができます。

この体積を求めるとき、
yz平面、即ちx軸に垂直に切り分けて考えれば、
x＝t(0≦x≦1)において、この三角柱の切断面の面積は
∫[0,1-t](t-2y+3)dyです。
その後この平面をx軸方向に積分すれば体積になり、
その際の積分範囲は0〜1です。
No.1655 - 2008/07/18(Fri) 21:46:20
☆ Re: 累次積分の領域について / とん
rtzさん

教えて頂きありがとうございます。体積を考えるのですね。Dの領域から、三つの頂点(0,0,3)(1,0,4)(0,1,1)はどのようにして、見つけるのでしょうか？何度もすいませんが宜しくお願いします。

とん
No.1659 - 2008/07/19(Sat) 10:25:55
☆ Re: 累次積分の領域について / rtz
見つけたというか、
z＝x−2y＋3に、Dの表す直角三角形の頂点(0,0)(1,0)(0,1)の座標を代入しただけです。
No.1661 - 2008/07/19(Sat) 21:06:14
☆ Re: 累次積分の領域について / とん
rtz さん
ご回答ありがとうございます。
立体を考えるのが難しいですね。
頑張ってみます。

　　　　　　　　　　　とん
No.1664 - 2008/07/19(Sat) 22:01:55
★ 連立不等式 / 桜　高校2
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

xについての不等式x^2-(a+1)a+a＜0,3x^2+2x-1＞0を同時に満たす整数xがちょうど3つの存在するような定数aの値の範囲を求めよ。


私は、
x^2-(a+1)a+a＜0を解いて
a＜1のときa＜x＜1
a=1のとき　解なし
a＞1のとき１＜x＜a

3x^2+2x-1＞0を次にといて
x＜-1, 1/3＜x

とここまでやりましたが、次から何をしたらよいのかわかりません・

教えてください。
すみませんです。
よろしくお願いいたします。
No.1650 - 2008/07/18(Fri) 15:49:26
☆ Re: 連立不等式 / rtz
場合分けのまま続けましょう。
a＜1なら、
[ x＜-1または1/3＜x ] かつ a＜x＜1
で、これを満たす整数が3つ、です。
1/3〜1未満に整数は入りませんから、x＜-1だけ考えればよいことになります。
つまり、a＜x＜-1を満たす整数xが3つ、要はx＝-2,-3,-4のみが
↑の不等式の中に入るようにaの範囲を決めましょう。

a＞1の方は1＜x＜aだけ考えればいいので、
こちらは考えやすいかと思います。
x＝2,3,4だけが満たすようにaの範囲を決めます。

どちらにせよ分かりにくければ数直線を描いてみて下さい。
No.1651 - 2008/07/18(Fri) 16:01:00
☆ Re: 連立不等式 / 桜　高校2
rtzさんありがとうございます。(*^_^*)
こちらの問題は無事解けました☆！！

類似の問題で、
xについての2つの二次不等式
x^2-2x-8＜0, x^2+(a-3)x-3a≧0
を同時に満たす整数がただ1つ存在するように定数aの値の範囲を定めよ。

という問題を同様に解いてみるのですが、できません。。
教えてください。
再度すみませんです。
よろしくお願いいたします。
No.1652 - 2008/07/18(Fri) 18:21:13
☆ Re: 連立不等式 / rtz
こっちも先ほど同様、解が判明している方がヒントになります。
1つ目の式を解いて、先に数直線上に表しておきます。

そして2つ目の式の解をaの値で場合わけします。
これらも数直線上に表し、
解であるような整数が1つだけになるようにすればいいです。
No.1654 - 2008/07/18(Fri) 21:25:38
☆ Re: 連立不等式 / 桜　高校2
ありがとうございます。

-2＜a＜-1となりましたが、これでよいのでしょうか。

すみません
よろしくお願いいたします。
No.1656 - 2008/07/18(Fri) 22:08:11
☆ Re: 連立不等式 / rtz
残念ながら違うようです。
1つ目は-2＜x＜4で、
2つ目は
-a＞3でx≧-a,x≦3、-a＝3で全てのx、-a＜3でx≧3,x≦-aです。

この時点で-a≧3は除外されます。
あとはx＝3が条件を満たしますので、
x≦-aがx＝-1を含まないようにaを考えましょう。
No.1658 - 2008/07/19(Sat) 01:37:21
★ (No Subject) / ayu
第２項が４３、第９項が２２である等差数列について、（１）初項と公差（２）初項から第ｎ項までの和が最大になるようなｎの値をそれぞれ求めよ。

どなたか教えてください。
No.1645 - 2008/07/18(Fri) 12:09:06
☆ (No Subject) / ヨッシー
(1)
第２項から第９項までは、公差の７個分増えているので、
　(22−43)/7＝-3　・・・公差
よって、初項(第１項)は、
　43-(-3)＝46　・・・初項
(2)
この数列は、公差が負なので、ある項までが正(または0)で、
その次の項から後はすべて負になります。
第ｎ項までの和は、項が正であるあいだは増え続け、
項が負になる１つ手前が最大で、その後減り続けます。
一般項　４６−３(ｎ−１)＝−３ｎ＋４９
より、第１６項が１，第１７項が−２　なので、第１６項が
最大になります。
No.1648 - 2008/07/18(Fri) 14:50:20
★ (No Subject) / さかな
次の数列の初項からｎ項までの和をもとめよ。
（1）1・2，3・4，5・6，7・8，9・10，…
（2）1(n+1),2(n+2),3(n+3),4(n+4)…

教えてください。よろしくお願いします。
No.1642 - 2008/07/18(Fri) 11:57:26
☆ (No Subject) / ヨッシー
第ｎ項をｎの式で表して、和の公式に持ち込むのが、あれこれ
考えなくて済む方法です。

(1)
第ｎ項は、(2n-1)・2n ＝4n^2-2n であるので、
ｎ項までの和は
　4n(n+1)(2n+1)/6 − 2n(n+1)/2
　＝2(2n^3+3n^2+n)/3 − 3(n^2+n)/3
　＝(4n^3+3n^2-n)/3

(2)
かなり変わった数列(第何項まで足すかを決めてから、
数列の内容を決め、必ずその項まで足し、途中の合計は
気にしない)ですが、やってみます。

数列の第ｋ項は　ｋ(ｎ+ｋ)　で、これを、ｋ＝１　から　ｋ＝ｎ　まで足します。
　ｋ(ｎ+ｋ)＝ｎｋ＋ｋ^2
より、求める和は
　n^2(n+1)/2＋n(n+1)(2n+1)/6
　＝n(n+1)(5n+1)/6
No.1647 - 2008/07/18(Fri) 14:45:03
★ 不等式 / 桜　高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

次の不等式を解く問題です。ただしaは定数とします。
x^2-(a+a^2)x+a^3＜0

このような問題を見たことがなくて
いつもどおり
といて
a＜x＜a^2と出しましたが不正解でした。

わかりません。
教えてください
いつもすみません。よろしくお願いいたします。
No.1641 - 2008/07/18(Fri) 11:47:57
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
a=2 とすると
　ｘ^2−6x＋8＜０
　(x-2)(x-4)＜０
　２＜ｘ＜４
これは問題ありません。では、a=0.5 の場合
　x^2−0.75x＋0.125＜０
　(x-0.25)(x-0.5)＜０
　0.5＜ｘ＜0.25
これはおかしいですね。
　0.25＜ｘ＜0.5
でないといけません。
a＜x＜a^2 で良いときと、a^2＜x＜a になるときとあるようです。
No.1643 - 2008/07/18(Fri) 11:58:35
☆ Re: 不等式 / 桜　高校2
そういうことですね！！！
すごくわかりました。
本当に本当にありがとうございます☆
No.1649 - 2008/07/18(Fri) 15:08:23
★ (No Subject) / さおり
追加でお願いします。
y=x/{x-√(a^2-x^2 )}

見にくくなってしまいすみません。
No.1639 - 2008/07/18(Fri) 10:00:13
★ (No Subject) / さおり
次の極限をもとめよ。
(1)y=xarctanX-log√（１-x^2）
(2)y=e^(x^x )

解答お願いします。
No.1638 - 2008/07/18(Fri) 09:56:20
☆ (No Subject) / ヨッシー
どうしたときの極限ですか？
ｘ→∞　とか　ｘ→０　とか。

また、(1) は、
　y=x(arctanX)-log√(1-x^2)
　y=xarctan{X-log√(1-x^2)}
　その他
のどれでしょうか？
X は x のことでしょうか？
No.1640 - 2008/07/18(Fri) 10:19:38
☆ Re: / さおり
わかりにくくてすみません・・・・。
たぶんロピタルを利用して答えるのですが・・・。
全く解き方がわからないんですね。
ただ、
（１）arctanx
が解答です。
あとXはｘと同じです。
wordで数式を作ったのですが、貼り付けたらおかしくなってしまいました。
お願いします。
No.1646 - 2008/07/18(Fri) 14:31:27
★ 微分積分 / みほ
次の関数のどう関数を求めよ。
（１）y＝arcsin（x／a）a＞0
（２）y＝（1／a）arctan（x／a）a＞0
（３）y＝arcsin（cosx）

お願いします
No.1635 - 2008/07/18(Fri) 07:50:33
☆ Re: 微分積分 / みほ
「どう関数」ではなく「導関数」でした・・・・。
No.1636 - 2008/07/18(Fri) 09:45:21
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