| ご質問の趣旨は、ユークリッド距離(L^2-距離)なら、平面上の2点からの距離が等しい点はその垂直二等分線になりますが、L^1-距離ならどうなるか、ということでしょうか？
|x|+|y|=|x-p|+|y-q|
で、p≧q>0 とします。x,y について、x<0, 0≦x<p, x≧p の場合と y<0, 0≦y<q, y≧q の場合がありますから、全部で9通り考えればＯＫです。
結論から言うと、3本の線からなる折れ線になります。_/~ これを縦横変えたような形です。
(1)x,y<0 の時
-x-y=-x+p+(-x+q) ⇔ p+q=0 これをみたす x,y なし。
(2)x<0, 0≦y<q の時
-x+y=-x+p-y+q ⇔ y=(p+q)/2≧q だから、これをみたす x,y なし。
(3)x<0, y≧q の時
-x+y=-x+p+y-q ⇔ p+q=0 これをみたす x,y なし。
(4)0≦x<p, y<0 の時
x-y=p-x+q-y ⇔ x=(p+q)/2 0<(p+q)/2≦p だから、これを満たす x,y は {(x,y)| y<0, x=(p+q)/2}
(5)0≦x<p, 0≦y<q の時
x+y=-x+p-y+q ⇔ x+y=(p+q)/2 0≦x+y<p+q だから、これを満たすx,y は{(x,y)| 0≦x<p, 0≦y<q, x+y=(p+q)/2}
(6)0≦x<p, y≧q の時
x+y=-x+p+y-q ⇔ x=(p-q)/2 0≦(p-q)/2<p だから、これを満たす x,y は{(x,y)| y≧q, x=(p-q)/2}
以下同様。x≧p の場合は式を満たす x,y はありません。
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No.1634 - 2008/07/18(Fri) 00:03:15 |
