ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 行列 / レモン

行列Aと、線形部分空間Wを次のようにおきます。
A={[t,0},[t,α]} W={v|v=Au uは任意の2次ベクトル}

このときWの次元が1となるのは、tがどんな値をとるときか

この問題での式の立て方に詰まっています。
どうやればいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1733 - 2008/07/24(Thu) 23:05:04

★ わかりにくいかも・・・ / 阿呆

１））
（log｛3｝2＋log｛9｝2）（log｛4｝3＋log｛8｝3）
２）円に内接する四角形ＡＢＣＤ
ＡＢ＝8
ＢＣ＝5
ＡＤ＝3
∠ＡＢＣ＝π/3

２）ＣＤの長さ＝８
になりますか？？？

３）三角形ＡＢＣの外心をＯ
垂心をＨとする

３－１）三角形ＡＢＣ
∠Ａをもとめよ＝65？？？
∠ＯＢＡ＝25
∠ＯＣＡ＝40

3－2）
∠Ａ＝70
∠ＢＨＣ＝ｃ
∠ＨＣＡ＝ｄ
をもとめよ

４）ｘｙ平面上に３点Ａ（1.2）Ｂ（ー1.6）Ｃ（ー2.0）
天Ｃから直線ＡＢにおろした垂線の足Ｈの座標を求めよ

Ｌ；（ｋ＋２）ｘ－（ｋ－１）ｙ－ｋ－５＝０
ｍ；ｘ＋２ｙ－９＝０
平行になるとき
２直線の距離をもとめよ

がわかりません
おねがいしますＭＭＭ

No.1732 - 2008/07/24(Thu) 21:33:37

★ 教えてください?ﾎ高??です。 / 愛依

整数ｍに対して、
f(x)=x^2-ｍx+ｍ/4-1
とおく。

このとき、不等式f(x)≦0を満たす整数xがちょうど4ことなるような、ｍをもとめよ。

というものなんですが…範囲しかだせず、きちんとした値がでません?ｿどうしたらいぃのでしょうか？？

No.1730 - 2008/07/24(Thu) 17:49:00

☆ Re: 教えてください� 高�です。 / にょろ

何でか知らんけどこの手の問題多い気がする
不等式f(x)≦0を満たす整数xがちょうど4こ
⇔
f(x)=0を満たすx、a,bの間にある整数が4つ

x^2-ｍx+ｍ/4-1=0
⇒
x=(m±√(m^2-m+4))/2
あとは
この範囲に整数が4つくるように範囲を決めてあげれば終了です

No.1731 - 2008/07/24(Thu) 19:08:26

☆ Re: にょろさん / 愛依

ありがとうございました?~

No.1742 - 2008/07/25(Fri) 09:14:01

★ 関数 / メジャー

ある地域にはケーブルテレビ会社が１社しかないとする。
ケーブルテレビの世帯ごとの受信料がp円であるとき
受信世帯数はx=10000-2pで表されるとしよう。
一方、x世帯に受信させるためのケーブルテレビ会社の費用
はc=1000000+1000x円で表される

問い　ケーブルテレビ会社の収入を受信世帯xの関数として
　　　表しなさい

自分では、収入をπとしてπ＝px-(1000000+1000x)
と考えましたが、これでいいでしょうか？

また、収入を最大化するために受信料pをどうしたら
いいのかができません。
立式の仕方をお願いします。

No.1717 - 2008/07/23(Wed) 18:16:27

☆ Re: 関数 / ヨッシー

収入と支出と利益がゴッチャになっていますが、
ここでいう収入は、利益のことでしょうね。
ｘの関数で、と書いてあるので、ｐも
　ｐ＝(10000-x)/2
として
　π＝(10000-x)x/2-(1000000+1000x)
とする必要があるでしょう。

で、このままπを最大にするｘを求めてから、
　ｐ＝(10000-x)/2
から、ｐを求めても良いし、
　π＝p(10000－2p)－{1000000＋1000(10000－2p)}
として、πを最大にするｐを求めても良いです。

No.1719 - 2008/07/23(Wed) 18:27:15

★ 中３です / ライト

13で割ると5余り、7で割ると1余る3桁の整数のなかで最大のものを求めなさい。

これは書き出して求めるしかないのですか??教えてください。

No.1716 - 2008/07/23(Wed) 17:56:18

☆ Re: 中３です / ヨッシー

13＝7×2－1 であることを利用すると、
たとえば、13で割って5余る3桁の数の1つ 109 を考えます。
これは、7で割ると4余ります。つまり、
　109＝7×15＋４
です。これに13を足すと、13については5余るままですが、
7については、あまりが1減ります。つまり、
　109＋13＝(7×15＋４)＋(7×2－1)＝7×17＋3
です。余りを1にするには、109 に、13を3回足せば良く
　109＋13×3＝148
が、条件を満たす数の1つです。
あとは、13×7＝91 をいくつか足して、3桁で最大のものを見つけます。

No.1718 - 2008/07/23(Wed) 18:19:04

☆ Re: 中３です / ライト

割る数の関係を見て周期的に足していけばいいんですね。
分かりました。
ありがとうございます。

No.1720 - 2008/07/23(Wed) 18:38:39

★ 三角関数 / ワンチョペ

tanα=t（t≠±1）とするとき、次の式?@、?Aをtで表せ。

?@sin2α=？

?A1＋sin2α＋cos2α分の1＋sin2α－cos2α=？

が解りません。ぜひ教えてください。

No.1714 - 2008/07/23(Wed) 14:16:16

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

まず、sin と tan 、cos と tan の関係式
　１＋1/tan²α＝1/sin²α
　１＋tan²α＝1/cos²α
より、
　sin²α＝tan²α/(１＋tan²α)
　cos²α＝1//(１＋tan²α)
よって、
　sin2α＝2sinαcosα＝±2tanα/(１＋tan²α)
　　＝±2ｔ/(１＋ｔ²)
ところで、
　sin2αtanα＝(2sinαcosα)(sinα/cosα)＝2sin²α≧0
より、sin2α と tanα が異符号になることはないので、
　sin2α＝2ｔ/(１＋ｔ²)

(2)は、
１＋sin2α＋cos(1/2α)＋sin2α－cos2α
１＋1/(sin2α＋cos2α)＋sin2α－cos2α
1/(１＋sin2α＋cos2α)＋sin2α－cos2α
など、いろいろに読めますが、いずれにしても、(1) と同じ方法で
解けるでしょう。

No.1715 - 2008/07/23(Wed) 16:13:33

★ (No Subject) / 大学１回です。

もう１問お願いします。

問題
標的を射撃したときの横方向の誤差Ｘと縦方向の誤差Ｙは互いに独立で，ともに標準正規分布Ｎ（0，1）に従う。ただし，ここでＸ，Ｙは符号付きで考える。
（1）着弾点と目標との距離の２乗Ｘ＾2＋Ｙ＾2の密度関数を求めよ。

No.1713 - 2008/07/23(Wed) 08:53:51

★ 三角関数 / ゆき

sinx/2+3cosx-2=0 (0≦x≦π)
この方程式の解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.1707 - 2008/07/22(Tue) 23:55:28

☆ Re: 三角関数 / 魑魅魍魎

sinx/2
は
sin(x/2)
それとも
(sinx)/2

のどちらでしょうか？

No.1708 - 2008/07/23(Wed) 00:19:46

☆ Re: 三角関数 / ゆき

すみません。
sin(x/2)の方です。
よろしくお願いします。

No.1709 - 2008/07/23(Wed) 00:27:39

☆ Re: 三角関数 / 魑魅魍魎

sin(x/2)+3cosx=2

cosx=1-2{sin(x/2)}^2
より

sin(x/2)+3-6{sin(x/2)}^2=2　　------(1)

sin(x/2)=Aとおくと

0≦x≦πより
0≦A≦1

(1)は
A+3-6A^2=2
6A^2-A-1=0
(3A+1)(2A-1)=0
A=-1/3 , A=1/2

0≦A≦1より

sin(x/2)=1/2

x/2=π/6
x/2=5π/6

(0≦x≦π)から
x=π/3

No.1710 - 2008/07/23(Wed) 00:47:55

☆ Re: 三角関数 / ゆき

分かりました☆
ありがとうございました

No.1751 - 2008/07/25(Fri) 17:14:48

★ もう１問おねがいします / くま

（1）k=1,2,3…のとき、不等式
1/k＋1＜∫[k→k＋1]1/xdx＜1/k
が成り立つことを示せ。

（2）n=2,3,4…のとき、不等式
logn＜1＋1/2＋1/3＋…＋1/n＜1＋logn
が成り立つことを示せ。

No.1704 - 2008/07/22(Tue) 20:33:59

☆ Re: もう１問おねがいします / rtz

(1)
区分求積です。
y＝1/xのグラフを描いて考えましょう。
積分の表す面積と、k～k+1の幅が1であることを踏まえます。

(2)
(1)を∫[k～k+1]1/xdx＜1/k＜∫[k-1～k]1/xdx
に直し、k＝1～nで足し合わせます。
ただし右辺は最初のみ1にします。

No.1706 - 2008/07/22(Tue) 22:04:43

☆ Re: もう１問おねがいします / くま

グラフ書いてもいまいちよくわからないです＞＜

No.1722 - 2008/07/23(Wed) 21:44:33

☆ Re: もう１問おねがいします / ヨッシー

グラフにおいて、
　1/(k＋1) は赤の面積
　∫[k→k＋1]1/xdx は黄色の面積
　1/k は青の面積
となっています。

No.1726 - 2008/07/24(Thu) 08:49:51

☆ Re: もう１問おねがいします / くま

わかったです！
じゃあ答えは図より～って感じで大丈夫ですか？

(2)はいまいちわからないです＞＜

No.1729 - 2008/07/24(Thu) 15:54:05

★ おねがいします＞＜ / くま

次の極限値を求めよ。ただし、nは正の整数である。

（1）lim[n→∞]1/n??(k/n)^3

（2）lim[n→∞]1/n(cosπ/2n＋cos2π/2n＋cos3π/
2n＋…＋cosnπ/2n）

No.1703 - 2008/07/22(Tue) 20:29:03

☆ Re: おねがいします＞＜ / rtz

(1)
?納k＝1,n]k³を使います。

(2)
区分求積から、
∫[π/(2n)～(n+1)π/(2n)]cosxdx＜(1/n)?納k＝1～n]cos(kπ/2n)＜∫[0～π/2]cosxdx
です。

No.1705 - 2008/07/22(Tue) 21:59:32

☆ Re: おねがいします＞＜ / くま

てことは、
（1）は、
lim[n～∞]1/n?納k=1～n]（k/n)^3
=lim[n～∞]1/(n^4)｛(1/4)n^2(n＋1)^2
=lim[n～∞]（n^2＋2n＋1)/4n^2
=1/4…(答)
でオッケーでしょうか？

(2)区分求積分の使い方がよくわかりません。。。

No.1721 - 2008/07/23(Wed) 21:35:35

☆ Re: おねがいします＞＜ / ヨッシー

とりあえず、こちらをご覧ください。

No.1723 - 2008/07/23(Wed) 22:16:00

☆ Re: おねがいします＞＜ / くま

どうもです。
ということは、
lim[n～∞]1/n?納k=1～n]coskπ/(2n）
=∫[0～1]cos(xπ/2)

ってなるでオッケーでしょうか？
でもこの積分の解き方がわからないです。

No.1724 - 2008/07/23(Wed) 23:34:21

☆ Re: おねがいします＞＜ / ヨッシー

∫cos(xπ/2)dx＝(2/π)sin(πx/2)
ですね。

No.1725 - 2008/07/24(Thu) 08:41:59

☆ Re: おねがいします＞＜ / くま

[(2/π)sin(πx/2)](1～2)＝2/π

できました！
ありがとうございます

No.1727 - 2008/07/24(Thu) 15:19:19

☆ Re: おねがいします＞＜ / ヨッシー

答えは良いですが、積分範囲は 0～1 ですね。
落ち着いて！

No.1728 - 2008/07/24(Thu) 15:41:12

☆ Re: おねがいします＞＜ / くま

あ！タイプミスでした＾＾；

No.1734 - 2008/07/25(Fri) 00:04:54

★ (No Subject) / 大学4回　卒業あやういです

問題
離散時間フーリエ級数における以下の性質を証明せよ．ただし，周期N の関数x[n]，y[n] のフー
リエ係数をak，bk とし，n0 とM は定数とする．
1. 線形性：Ax[n] + By[n] → Aak + Bbk
2. 時間シフト：x[n − n0] → ake−ik(2π/N)n0
3. 周波数シフト：eiM(2π/N)nx[n] → ak−M

連続ですいません。よろしくお願いします。

No.1699 - 2008/07/22(Tue) 15:25:52

★ (No Subject) / 大学4回　卒業あやういです

問題
オイラーの公式eix = cos x+i sin x を利用して以下の問題に答えよ．導出過程も記載すること．
裏面を使ってもよい．
1. cos x をe を用いて表せ．
2. sin x をe を用いて表せ．
3. e−ix をcos x とsin x を用いて表せ．
4. sin2 x + cos2 x = 1 を証明せよ．

よろしくお願いします。

No.1698 - 2008/07/22(Tue) 15:24:39

☆ (No Subject) / ヨッシー

e^ix＝cosｘ＋ｉsinｘ
e^-ix＝cosｘ－ｉsinｘ
から、1. と 2. と 3.は出来ますね。
また、これら２式を左辺どうし、右辺どうし掛けると・・・

No.1700 - 2008/07/22(Tue) 15:31:17

☆ Re: / 大学4回　卒業あやういです

ありがとうございます。
３の問題は導出過程はないんですか？
そのまま公式を引用でいいんでしょうか？

No.1701 - 2008/07/22(Tue) 15:50:52

☆ (No Subject) / ヨッシー

e^ix = cos x+i sin x の x に、-x を代入して、
だけで良いと思います。
でも、3. は、ホントにこういう問題でしょうか？
1. 2. で既出の式を、あえて 3. で聞くのは、考えにくいですが。

No.1702 - 2008/07/22(Tue) 17:10:21

★ (No Subject) / 大学１年です。

問1　Ｘ1，…，Ｘｎを互いに独立，かつ同一分布に従う確率変数とし，共通の分布関数をＦ（ｘ）とおく。その最大値Ｘ＝max｛Ｘ1，…，Ｘｎ｝の分布関数を求めよ。
　（Ｐ（Ｘ＜＝ｘ）＝Ｐ（Ｘ1＜＝ｘ，…，Ｘｎ＜＝ｘ）である。）

問2　ある川での年間を通じての瞬間最大流量は平均1の指数分布に従い，年が異なれば最大流量は互いに独立とする。５０年間での瞬間最大流量が８以下である確率を求めよ。

No.1695 - 2008/07/22(Tue) 00:21:11

★ (No Subject) / 大学１年です。

統計学のテストが迫っているのですが、特に証明問題が手に負えません。よろしくお願いします。

問　n個のデータＸ1，…，Ｘｎの標本分散，標本不遍分散はそれぞれ以下で与えられることを示せ。

　　・　１/２ｎ＾２?這煤iＸｉ－Ｘｊ）＾２　　

　　・　１/２ｎ（ｎ－1）?這煤iＸｉ－Ｘｊ）＾２

　　　　　　（i＝１→ｎ）（ｊ＝１→ｎ）

No.1694 - 2008/07/22(Tue) 00:11:15

★ 不等式の証明 / ooooooo

問：(sina+sinb)/2<=sin(a+b/2)を証明せよ。ただし、文字は全て０とπの間の数とする。

を教えて下さい。できれば(sina+sinb+sinc)/3<=sin(a+b+c/3),(sina+sinb+sinc+sind)/4<=sin(a+b+c+d/4)も知りたいので、一般化した証明が分かると嬉しいです。

No.1688 - 2008/07/21(Mon) 12:43:27

☆ Re: 不等式の証明 / キューダ

区間[0,π]においてsin(x)が上に凸であることを指摘すると、直ちに成立することが言えます。
丁寧に説明する場合には、関数を図示し、左辺が示す値、右辺が示す値を添えれば良いでしょう。

詳しくは、凸関数、関数の凸性、凸不等式などを検索してみてください。
文字数2,3,4個→n個という方向だけでなく、sin(x)→凸性を持つ全ての関数へと拡張できます。

No.1691 - 2008/07/21(Mon) 17:32:05

☆ レスありがとうございました！ / ooooooo

キューダ様、ご丁寧なレスありがとうございました。
アドバイスを参考に、もう少し熟考してみようと思います。
また機会がありましたら、お力を貸して頂けると嬉しいです。

No.1693 - 2008/07/21(Mon) 21:27:56

★ 数A / みかげ

【問】x+y+z=9を満たす自然数x,y,zの解の組は何通りあるか。

【解説】x-1=X,y-1=Y,z-1=Zとおくと
　　　x=X+1,y=Y+1,z=Z+1となり、x+y+z=9より
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=9
よって　　　X+Y+Z=6
　　　X,Y,Zは0以上の整数となる。
　　　すなわち、6個の〇と2個の｜を並べる並べ方の総数に　　　等しいから
　　　8!/(6!2!)=28(通り)　

【疑問】よってX,Y,Zは0以上の整数となる。のが何故なのか分かりません

よろしくお願いします

No.1686 - 2008/07/21(Mon) 12:07:34

☆ Re: 数A / らすかる

x-1=XとおいたのでXはxより1小さい数です。
xは自然数つまり1以上の整数ですから、Xは0以上の整数ですね。

No.1687 - 2008/07/21(Mon) 12:42:14

★ (No Subject) / 阿呆

１）4^log2３

２）４＾（２/３）÷24^（1/3）×18^（2/3）

をおしえてくださいいいいいいｍｍｍｍ

No.1685 - 2008/07/21(Mon) 10:23:51

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

1) ｘ＝4^log[2]３　とおいて対数をとると
log[2]ｘ＝log[2]３・log[2]４
　　　　＝２*log[2]３＝log[2](３^2)
∴ ｘ＝３^2＝９

2）4^(2/3)÷24^(1/3)×18^(2/3)＝16^(1/3)÷24^(1/3)×324^(1/3)
＝(16÷24×324)^(1/3)＝216^(1/3)＝６

となります。

No.1689 - 2008/07/21(Mon) 13:11:05

☆ Re: / 阿呆

okuremasitaga
あ　り　が　と　う　

No.1697 - 2008/07/22(Tue) 08:54:24

★ sincostan / K

問
sinx＋siny＝1、cosx＋cosy＝1/3のとき、tan(x＋y)/2の値を求めよ。

解　3

tanの展開のしかたがよくわかりません。
解答までの過程と解説を、どなたかよろしくお願いします。

No.1679 - 2008/07/20(Sun) 20:53:12

☆ Re: sincostan / rtz

＞tanの展開
必要ありません。

2式を和→積に直せばすぐ出ます。

No.1681 - 2008/07/21(Mon) 01:10:48

★ 「反転」の意味 / √

よろしくお願い致します。

「図形や絵が上下【反転】している」
の意味は、

「鏡像（線対称）」ということですか？
それとも
「１８０度、向きを変えた」ということですか？

昨日、ＩＱサプリを見ていて、ふと疑問に思いました。

No.1677 - 2008/07/20(Sun) 18:38:19

☆ Re: 「反転」の意味 / らすかる

「鏡像（線対称）」です。

No.1680 - 2008/07/20(Sun) 22:55:14

☆ Re: 「反転」の意味 / √

らすかるさん
有り難うございました。

No.1683 - 2008/07/21(Mon) 08:15:35