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★ ２次関数の解と係数の関係の問題 / Kay
２次関数の解と係数の関係の問題です。ｄ３の質問箱に質問した問題です。

解説の中に「α、βの少なくとも一方は正」というのは「α＜０またはβ＜０」ということ、とあったのですが、よく分からないので、詳しく教えてく下さい。

「α、βの少なくとも一方は正」というのは、「２解とも０以下」ではない、ということなので、これを（２解ともはダメだが）「１つの解は０以下でもよい」と考えれば「α、βの少なくとも一方は正」というのは「α≦０またはβ≦０」だと思うのですが。

なぜ、「α≦０またはβ≦０」ではなく、「α＜０またはβ＜０」と、不等号（≦）の等号がなくなって（＜）なってしまうのか教えてください。
No.271 - 2008/04/06(Sun) 20:27:53
☆ Re: ２次関数の解と係数の関係の問題 / ヨッシー
ｄ３の質問箱というのは、よく知りませんが、
普通に考えれば、「α、βの少なくとも一方は正」というのは、「α＞０ または β＞０」で、不等号の向きが逆です。
「『２解とも０以下』ではない」は、「α、βの少なくとも一方は正」と
同値ですが、それを書くなら、「『α≦０ かつ β≦０』ではない」
です。
これ以上のことは、ここでは言えません。
No.272 - 2008/04/06(Sun) 21:35:06
★ (No Subject) / 亜矢
直線y=kx+3k…?@（ｋは定数）と円x^2+y^2-6x=0…?Aについて
次の各問いに答えよ。

(1)直線?@はkの値にかかわらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。
答　（-3,0)
(2)直線?@が円?Aに接するときのｋの値を求めよ。
答　k=±1/√3
(3)?@と?Aが異なる２点P,Qで交わるとする。ｋが変化するとき、弦PQの中点Mの軌跡を表す図形の方程式を求めよ。
答　x^2+y^2=9(3/2＜x)

(3)がどうしても解けません・・・ (゜ー゜;A
よろしくお願いします。
No.270 - 2008/04/06(Sun) 20:23:54
☆ (No Subject) / ヨッシー
?@と?Aが異なる２点P,Qで交わるので、ｋの範囲は、
　-√3/3＜ｋ＜√3/3
です。
このとき、?@を?Aに代入した
　(1+k2)ｘ2＋(6k2-6)ｘ+9k2＝０
の解をα、βとすると、
　（(α+β)/2, k(α+β)/2+3k）
が、Ｍの座標になります。
解と係数の関係より
　α+β＝(6-6k2)/(1+k2)
より、Ｍの座標を(ｘ、ｙ)とすると、
　ｘ＝(3-3k2)/(1+k2)
　ｙ＝k(3-3k2)/(1+k2)+3k
ｙの式を変形して、
　ｙ＝{k(3-3k2)+3k(1+k2)}/(1+k2)
　　＝6k/(1+k2)
ここで、ｋ＝tanθ とおくと、-π/6＜θ＜π/6 であり、
　ｘ＝3cos2θ(1-tan^2θ)＝3cos2θ
　ｙ＝6cos2tanθ＝3sin2θ
よって、x2＋y^2＝32
ただし、ｘ＝3cos2θ において、-π/6＜θ＜π/6 なので、
　ｘ＞3/2
No.273 - 2008/04/06(Sun) 22:17:35
☆ Re: / XX
P,Qのx座標をα、βとするとα、βは?@?Aからyを消去してできるxの二次方程式
(k^2+1)x^2+6(k^2-1)x+9k^2=0 (A)
の解であることが分かります。よって解と係数の関係より
α+β=6(k^2-1)/(k^2+1) (B)
又、(A)の解の判別式をDとすると(A)は異なる二つの実数解を持つので
D/4=9(k^2-1)^2-(9k^2)(k^2+1)>0 (C)
このときM(X,Y)と置くと
X=(α+β)/2 (D)
更に点Mも?@の上にあるので
Y=kX+3k (E)
(B)(D)(E)よりk,α,βを消去してX,Yの関係式を求めます。
又、(A)(C)(D)よりk,α,βを消去してXについての不等式を求め
Xの範囲を求めます。
No.274 - 2008/04/06(Sun) 22:27:06
☆ Re: / X
>>ヨッシーさんへ
ごめんなさい。かぶりました。
ついでにハンドル名もXXと間違えました。
Xが正しいハンドル名です。
No.275 - 2008/04/06(Sun) 22:30:46
☆ Re: / 亜矢
ヨッシーさん、Ｘさん
詳しいご説明ありがとうございました！
No.278 - 2008/04/06(Sun) 23:17:08
★ 高２の進研過去問です / てる
α＝(√5-1)/2とする。
α^3+pα^2+qα-1=√5を満たす有理数p,qの値を求めよ。

答え　p=3,q=3

よろしくお願いします！
No.264 - 2008/04/06(Sun) 17:01:19
☆ Re: 高２の進研過去問です / angel
とりあえず、素直に計算してみましたか?
　α^2=(3-√5)/2
　α^3=√5-2
となりますから、代入して√5を含む項・含まない項で整理すると、
　1/2・(q-p)√5 + 1/2・(3p-q-6)=0
となります。
　(有理数)・(無理数) + (有理数) = 0
の形であれば、この2つの有理数は共に 0 となりますから、この問題の場合、
　q-p = 3p-q-6 = 0
ということで、p,q が割り出せます。
No.265 - 2008/04/06(Sun) 17:41:29
☆ 別解 / angel
α^2, α^3 を計算するのが面倒なため、次に挙げる解の方が楽ですが、別々の方法で解いてクロスチェックする ( 違う方法で解いても同じ答えになるなら、まず正解だろうと推測できる ) ためにも、先の方法はやった方が良いです。

別解としては、
α=(√5-1)/2 を、無理数の見えない形に整理するところから。
両辺を2倍して、-1 を移項すると、
　2α+1 = √5
さらに、両辺を平方すると、
　(2α+1)^2 = (√5)^2
これより、α^2+α-1=0 すなわち、α^2=1-α
さらに、α^3=α・α^2=α(1-α)=α-α^2=α-(1-α)=2α-1

これらを代入すれば、
　(2α-1)+p(1-α)+qα-1 = (2α+1)
これをαについてまとめてあげれば、αは無理数、その他は有理数なので、先ほどと同じ話になります。
No.266 - 2008/04/06(Sun) 17:48:09
☆ Re: 高２の進研過去問です / てる
なるほど〜。

よく分かりました。ありがとうございました！
No.269 - 2008/04/06(Sun) 19:09:16
★ 春休みの課題です / 桜和
はじめまして、桜和といいます。
早速質問なのですが、

図のように点Ｐからの２直線がＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄで円と交わり、ＣＰ＝１３、ＤＰ＝１２、ＡＤ＝ｘ、ＢＣ＝ｙ、∠ＡＢＰ＝９０°、⌒ＡＤ＝２⌒ＣＤである。
このとき、ｘ、ｙの値を求めよ。

答えｘ＝５√３　ｙ＝６０√３−２５／１３

という問題が分かりませんでした。
よろしく願いします。
No.262 - 2008/04/06(Sun) 14:04:13
☆ Re: 春休みの課題です / ヨッシー
∠ＡＢＣ＝90° なので、ＡＣはこの円の直径となり、
同時に∠ＡＤＣ＝90° であることも分かります。
すると、△ＣＤＰは、直角三角形で、三平方の定理より、
ＣＤ＝５　が分かります。

一方、、⌒ＡＤ＝２⌒ＣＤより、ＡＤ：ＤＣ＝√3：１ と分かります。
すると、ＡＤ＝5√3　・・・ｘ

△ＣＤＰと△ＡＢＰは相似（３辺が５：１２：１３）であり、
ＡＰ＝5√3＋12
ＢＰ＝(12/13)ＡＰ＝144/13＋60√3/13
よって、
ＢＣ＝ＢＰ−ＣＰ＝144/13＋60√3/13−13＝(60√3−25)/13　・・・ｙ
No.263 - 2008/04/06(Sun) 14:59:07
☆ Re: 春休みの課題です / 桜和
解かりました！！
ありがとうございます。
８日が課題テストなので頑張ります！
No.277 - 2008/04/06(Sun) 23:03:15
★ 春休みの宿題です / shuse
次の二つの関数f(x)=2|x^2-x-2|+x-4,g(x)=2x+kについて考える。
(1)y=f(x)のグラフを書け。
(2)y=f(x)とy=g(x)の二つのグラフが共有点を２つ持つ時のkの値の範囲を求めよ。また、共有点を４つ持つ時のkの値の範囲を求めよ。
(3)f(x)≦g(x)となるようなxの値の範囲をIとする。Iに整数が３こ含まれるときのkの値の範囲を求めよ。また、Iに整数が５個含まれる時のkの値の範囲を求めよ。

この問題の(3)の解き方が分からないので教えてください。

答えは
(2)2つ持つ時　-6<k<-3,1/8<k
　4つ持つ時　-3<k<1/8
(3)3こ含まれる時　-1≦k<0
　5個含まれる時　1≦k<6

です
No.257 - 2008/04/06(Sun) 09:58:28
☆ Re: 春休みの宿題です / ヨッシー

図を参照してください。

y=g(x) において、ｋ は、ｙ切片に現れます。
ｘ軸上の●が、f(x)≦g(x) を満たす、整数ｘを表します。
●の数が、整数の個数になります。
No.260 - 2008/04/06(Sun) 13:12:47
★ 図形 / ピー
問題です。
答え
(1)?@ 9 ?A　【11√5】/5
(2) 38/3

恥ずかしながら1問も分かりませんでした。
宜しくおねがしいます。(いつでも構いません）
No.250 - 2008/04/05(Sat) 13:37:58
☆ Re: 図形 / ヨッシー
平面の場合は解けますか？

１辺６の正方形ＡＢＣＤにおいて、ＢＰ＝３
の点を図のように取るとき、線分ＡＣ上の点Ｒに対して、
　ＢＲ＋ＲＰ
の最小値。
答えは、3√5
No.251 - 2008/04/05(Sat) 14:13:23
☆ Re: 図形 / ピー
平面の場合分かりませんでした。
どのように解くのか教えてください
No.252 - 2008/04/05(Sat) 14:57:49
☆ Re: 図形 / ヨッシー

図のように、ＡＣに対して、Ｐと対称な点Ｐ’を取ると、
ＲＰ＝ＲＰ’ なので、ＢＲ＋ＲＰ の代わりに、
ＢＲ＋ＲＰ’を最小にすることを考えます。
すると、ＢとＰ’を直線で結んだときが長さが最小なので、
ＢＰ’＝√(62＋32)＝3√5
となります。
立体の場合も、同じ方法が使えます。

(1)-2

図のように、ＡＰと垂直な平面を考えます。
この平面上に引いた直線は、必ずＡＰと垂直になります。
その平面が、ちょうど点Ｑを通るとき、ＡＰとの交点がＳに
なります。
下の方の図は、上の図を真上から見た図です。
ＡＰ＝3√5
ＡＱ＝２　に対して、ＡＳ＝ＡＱ×2/√5＝4/√5＝4√5/5
よって、ＰＳ＝ＡＰ−ＡＳ＝11√5/5

(2)
ＢＦをＦの方向へ１２延ばした点をＴとします。
ＡＰＱを通る平面は、必ず点Ｔを通り、
三角錐Ｔ−ＡＢＰ を形成します。

求める立体は、三角錐Ｔ−ＡＢＰ から、三角錐Ｔ−ＱＦＵ
（Ｕは、ＰＴとＦＧの交点）を引いたものです。
２つの三角錐は、相似で、相似比は、３：２ であるので、
体積比は、２７：８ です。つまり、求める立体の体積は、
三角錐Ｔ−ＡＢＰの、19/27 となります。
三角錐Ｔ−ＡＢＰの体積は、底面△ＡＢＰの面積が３ｘ、
高さが１８であるので、
　３ｘ×１８÷３＝１８ｘ
よって、求める立体の体積は、
　１８ｘ×19/27＝３８ｘ/３
となります。
No.253 - 2008/04/05(Sat) 16:31:12
☆ Re: 図形 / ピー
ヨッシーさんありがとうございます。
図凄いです。
どんなソフトを使っているんですか？
もしよかったら教えてください。

話が変わって
?@の問題で
立体のFR＋RPが分からないので教えてください。
平面はよっしさんのおかげで理解できましたが立体は難しいです
No.254 - 2008/04/05(Sat) 22:11:56
☆ Re: 図形 / ヨッシー
平面ＡＥＧＣに対して、点Ｐと対称な点は、
ＣＤの中点になります。この点をＰ’として、
ＦＰ’の直線距離を出します。

ＧＩＦアニメの作り方は、私のページにあります。
No.255 - 2008/04/05(Sat) 23:12:19
☆ Re: 図形 / ピー
ＦＰ’の直線距離の求めかたは三平方の定理を利用するのでしょうか？
立体の最短距離は難しいです。

図形を作るソフトはGIFという名前なんですね。
教えていただいてありがとうございます
No.256 - 2008/04/05(Sat) 23:29:44
☆ Re: 図形 / ピー
立体の最短距離の求めかたが分からなかったので教えてください
No.258 - 2008/04/06(Sun) 10:58:02
☆ Re: 図形 / ヨッシー
では、小手調べに、ＥＣの距離を求めてみてください。

高校までの範囲では、最短距離＝直線距離＝距離 です。
高２あたりで、空間座標を習って、すぐに出てくるはずです。
No.259 - 2008/04/06(Sun) 11:43:23
☆ Re: 図形 / ピー
参考書を見たのですがよく分からなかったのでもしよかったら教えていただけないでしょうか？
何度もすいません
No.268 - 2008/04/06(Sun) 18:51:35
☆ Re: 図形 / ヨッシー

図の、ＦＰ’が求める距離です。
　１．ＢＰ’の長さはいくらですか？
　２．四角形ＢＦＵＰ’は、どんな四角形ですか？
　３．ＦＰ’の長さはいくらですか？
No.276 - 2008/04/06(Sun) 22:47:35
☆ Re: 図形 / ピー
１．ＢＰ’の長さはいくらですか？
ＢＰ’＝(3＾2)＋（６＾2)
＝√45
=3√5

　２．四角形ＢＦＵＰ’は、どんな四角形ですか？

向かい合った2つ辺の長さが平行なので平行四辺形ですか？

　３．ＦＰ’の長さはいくらですか？
　　　【(3√5)＾2】＋36=9
図の添付ありがとうございました。
分かりやすかったです。
No.279 - 2008/04/06(Sun) 23:24:06
☆ Re: 図形 / ヨッシー
答えが出たようなので、良いのですが、
２．は、平行四辺形には違いないですが、正しくは長方形です。
そうでないと、３．の三平方が出来ないはずですからね。
No.280 - 2008/04/06(Sun) 23:29:12
☆ Re: 図形 / ピー
?@理解できました
どうもありがとうございます。
ＡＳ＝ＡＱ×2/√5＝4/√5＝4√5/5
の式が分かりませんでしたので教えてください
No.281 - 2008/04/07(Mon) 08:04:04
☆ Re: 図形 / ピー
引き続き質問をさせてください。
(2)について
ＢＦをＦの方向へ１２延ばした点をＴとします
どうして12増やすのかわからなかったです。

２つの三角錐は、相似条件を教えてください
∠Tとどこか共通なのでしょうか？
No.282 - 2008/04/07(Mon) 08:26:08
☆ Re: 図形 / ヨッシー
>ＡＳ＝ＡＱ×2/√5
△ＡＳＱは、1:2:√5 の直角三角形なので、そうなります。

ＡＱがＢＦと交わる点がＴです。
△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２の相似なので、
ＡＥ＝６に対して、ＦＴ＝１２　です。
No.283 - 2008/04/07(Mon) 08:37:03
☆ Re: 図形 / ピー
何度もすいません
△ＡＳＱは、1:2:√5 の直角三角形という比がどうして現われるのかが分かりませんでした

△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２の相似もどうしてなのか分かりませんでした

何度もすいません
No.284 - 2008/04/07(Mon) 09:37:13
☆ Re: 図形 / ピー
もう一度考えてみたのですが分からなかったので教えてください。
いつでも構いません
No.294 - 2008/04/07(Mon) 15:32:05
☆ Re: 図形 / ヨッシー
△ＡＳＱは、△ＡＢＰと相似ですので、1:2:√5 の直角三角形です。

△ＡＥＱと△ＴＦＱが相似だとして、
対応する辺を書いてみてください。
たとえば、△ＡＳＱと△ＡＢＰなら、
ＡＳとＡＢ、ＳＱとＢＰ、ＡＱとＡＰです。
それらの中で、既に長さの分かっているものがあります。
No.295 - 2008/04/07(Mon) 17:35:26
☆ Re: 図形 / ピー
△ＡＳＱは、△ＡＢＰと相似が分からなかったです。
∠Ａが共通で後はどこの角が等しいでしょうか？
No.297 - 2008/04/07(Mon) 17:57:39
☆ Re: 図形 / ヨッシー
「図のように、ＡＰと垂直な平面を考えます。」と書いてあるように、
ＡＰと垂直な平面を、その平面の方向(平面が直線に見える方向)
から見ると、∠ＡＳＱ＝90°です。
No.301 - 2008/04/07(Mon) 20:27:37
☆ Re: 図形 / ピー
?Aまで理解できました
ありがとうございます。
△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２になるのかがわかりませんでした。

1：２ではなくたとえば1：３でも可能ですか？

△ＡＥＱと△ＴＦＱが相似だとして、
対応する辺は　ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱになりました
No.302 - 2008/04/07(Mon) 21:16:38
★ X1とX2を同時確率密度関数f(x1,x2)=x1exp(-x2) (0<x1<x2<∞の時)0 (それ以外の時)の2つの確率変数とする。X1,X2 / yuuka
宜しくお願い致します。

[Q]Let X1,X2 be two random variables with joint pdf f(x1,x2)=x1exp{-x2},
for 0<x1<x2<∞,zero elsewhere.Determine the joint mgf of X1,X2.Does
M(t1,t2)=M(t1,0)M(0,t2)?

[問]X1とX2を同時確率密度関数f(x1,x2)=
x1exp(-x2) (0<x1<x2<∞の時)
0 (それ以外の時)
の2つの確率変数とする。
X1,X2の同時積率母関数を定めよ。
M(t1,t2)=M(t1,0)M(0,t2)か?

正解は(1-t2)^-1(1-t1-t2)^-2,t2<1,t1+t2<1;No
となっています。

これはどのようにして解けばいいのでしょうか?


一応,"同時"の定義を下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。
No.245 - 2008/04/05(Sat) 09:11:45
★ イデアル / ゆーじ
大学２ねんのものです。

Ｚを自然数全体を表すとする。
環Ｚ[√(-3)]のイデアルで、４を含むものを全て求めよ
No.242 - 2008/04/04(Fri) 21:13:39
☆ Re: イデアル / 我疑う故に存在する我
質問書き込みから時間が経ちますが、
貴方の考えた所までを書き込んで貰えますか？
例えばイデアル (1), (2), (4) 等がありますが、
他にもありますね。
No.261 - 2008/04/06(Sun) 13:37:59
★ 数列 / ピー
問題です。
No.230 - 2008/04/04(Fri) 13:17:54
☆ Re: 数列 / ピー
回答です。
a(n＋1)=pa(n)＋q＾(n)
を考えたのですがよく分かりませんでした。

宜しくおねがいします
No.231 - 2008/04/04(Fri) 13:19:17
☆ Re: 数列 / ヨッシー
q＾(n) は、q^n で十分です。
必要以上のカッコは、かえって見にくいです。

さて、
「an+1=pan＋qn を考えた」というのは、
解答のように、ｂn＝３nａn と置くことは、
思いつきそうもないので、そのように置いたということでしょうか？

解答をわざわざ載せた行為と、本文が噛み合わなかったので、
聞いてみました。
No.233 - 2008/04/04(Fri) 13:46:46
☆ Re: 数列 / ピー
何度もすいません
回答を見ても分からなかったので
a(n＋1)の前の3＾(n＋1)を無くしたかったので3＾(n＋1)を両辺に割ると
an+1=pan＋qn
の式にあてはまると思っていたのですが分かりませんでした
No.234 - 2008/04/04(Fri) 14:25:00
☆ Re: 数列 / ヨッシー
残念ながら、
　an+1=pan＋qn
の形にはなりません。
解答のパターンで理解してください。

いかにも、
（第n+1項)＝(第n項)＋１
という形が見えています。
No.237 - 2008/04/04(Fri) 15:38:09
☆ Re: 数列 / ピー
ヨッシーのおかげで漸化式は理解できました
S(n)-(1/3)S(n)は
a(n＋1)=S(n＋1)-s(n)
を利用しているのですか？
No.239 - 2008/04/04(Fri) 16:31:54
☆ Re: 数列 / ヨッシー
違います。

もし、ａn＝1/3n で、
　Ｓn＝a1＋a1＋・・・＋an
であるとき
　　Ｓn＝1/3＋1/9＋・・・＋1/3n
　(1/3)Ｓn＝1/9＋1/27＋・・・1/3n+1
として、上から下を引き
　Ｓn−(1/3)Ｓn＝1/3−1/3n+1
としますよね？(等比数列の和の公式です)

発想はこれと同じです。
No.241 - 2008/04/04(Fri) 18:22:48
☆ Re: 数列 / ピー
等比数列の和の公式ですね。
参考書にも同じのが載ってました。
教えていただいてどうもありがとうございました
No.249 - 2008/04/05(Sat) 13:33:40
★ てすと / yuuka
てすと
No.225 - 2008/04/04(Fri) 10:59:21
★ 最小値 / ピー
すべての正の数x,yに対して、不等式
(√x)＋(√y)≦k√(3x＋y)が成り立つような実数kの最小値を求める問題で

回答の下から2乗の式についてXはどこに消えてしまったのか分からないので教えてください

それから
回答の一番したの不等式の3(k＾2)-1>0の不等式>と
(k＾2)【3(k＾2)-4】≧0の不等式の≧の記号が違いますが
>,≧はどのようにちがうのですか？
3(k＾2)-1≧0は駄目でしょうか？
No.223 - 2008/04/03(Thu) 23:14:50
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
Ｘが消えたのは、おそらくミスプリでしょう。
市販の問題集ですか？

3k2-1≧0は駄目です。
3k2-1＝0 のとき、不等式の左辺がいくつになるか
計算してみれば分かります。
No.224 - 2008/04/04(Fri) 09:05:43
☆ Re: 最小値 / ピー
はい。市販の参考書です。

3(k＾2)-1=0を計算すると
k=(1/√3),-(1/√3)になりました
0より小さい値が出るから≧は駄目なのですか？
No.226 - 2008/04/04(Fri) 11:31:29
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
数学力＝読解力 ですよ！
「不等式の左辺がいくつになるか」と書きました。
k=1/√3 または k=-1/√3 のときに、
(3k2-1){X-Y/(3k2-1)}2＋(3k4-4k2)Y2/(3k2-1)
は、いくつになりますか？
(3k2-1){X-Y/(3k2-1)}2＋(3k4-4k2)Y2/(3k2-1)≧0
を満たしていますか？
ということです。
No.227 - 2008/04/04(Fri) 12:07:08
☆ Re: 最小値 / ピー
k=1/√3 または k=-1/√3
を代入しましたら
0≧0になってしまいました
これは成り立たないので
だから3k2-1＞0となるんですね。
ありがとうございました
No.228 - 2008/04/04(Fri) 12:34:44
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
違いますよ！大警告！
(誤りその１)左辺は０ではありません。
(誤りその２)０≧０ は正しい不等式です。
No.232 - 2008/04/04(Fri) 13:38:05
☆ Re: 最小値 / ピー
左辺は０ではないのですか？
k=1/√3 または k=-1/√3 は2乗すると1/3になり
式に代入すると
０になりました。
No.235 - 2008/04/04(Fri) 14:29:13
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
途中の式を書いてみてください。
最低でも、
　・・・・・・＝０
と、０になる直前の式を書いてみてください。
No.236 - 2008/04/04(Fri) 14:35:44
☆ Re: 最小値 / ピー
(3k＾2-1){X-Y/(3k＾2-1)}＾2＋(3k＾4-4k2)Y2/(3＾k2-1)
k＾2=1/３を代入すると
(1-1)【x-【Y/(1-1)】】＋【{3*(1/9)-4*(1/3)}/(1-1)】*(Y＾2)≧0
より
0＋【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2)≧0
になりました
No.238 - 2008/04/04(Fri) 15:56:27
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
3k^2-1=0 のときに、
　(3k＾2-1){X-Y/(3k＾2-1)}＾2＋(3k＾4-4k2)Y2/(3＾k2-1)＝０
になるというのが、ビーさんの主張ですよね？
0＋【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2) では、０になっていませんよね？

ちなみに、
(1-1)【x-【Y/(1-1)】】も、０ではありません。
（２乗が抜けているとかいう些末事は、この際どうでも良いです。）

というか、そろそろ最重要事項に気付いて。
No.240 - 2008/04/04(Fri) 18:16:59
☆ Re: 最小値 / ピー
(1-1)【x-【Y/(1-1)】】は0じゃないのですか？
0は何をかけても0だと思っていました

０＊【x-【Y/(0)】＾2になります
No.243 - 2008/04/04(Fri) 21:18:42
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
百歩、いや、∞歩譲って、０＊【x-【Y/(0)】^2 が０だとして、
【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2) は？
No.244 - 2008/04/05(Sat) 00:15:58
☆ Re: 最小値 / ピー
【{3*(1/9)-4*(1/3)}/0】*(Y＾2)
はわかりませんでした
分母が0なので答えは0以外ですよね？
是非教えてください
よろしくおねがいします
No.246 - 2008/04/05(Sat) 09:22:01
☆ Re: 最小値 / ヨッシー
ようやく、本質に入ってきましたね。
>分母が0なので答えは0以外ですよね？
と書くと、答えがどこかにあるみたいに見えますが、
答えはどこにもありません。
計算自体存在しないのです。
だから、3k2-1 が分母に残った時点で、
3k2-1=0 の可能性は、完全に消滅しているのです。
No.247 - 2008/04/05(Sat) 10:01:38
☆ Re: 最小値 / ピー
存在しないんですね。
分かりました
毎回ありがとうございます。
ヨッシーさんからいろいろな知識を教えてもらって毎日新たな発見をしています。
どうもありがとうございます
No.248 - 2008/04/05(Sat) 13:32:57
★ 積分 / ピー
a,bを正の定数とする。
曲線y=acosx、ｘ軸、ｙ軸とで囲まれた部分の面積を、曲線
y=bsinxが2等分するとき、a：bを最も簡単な整数の比で表す問題です。
ただし、0≦x≦(π/2)

y=six
y=cosのグラフしか描けないのでこの問題は分かりませんでした。
よろしくおねがいします
No.216 - 2008/04/03(Thu) 15:23:24
☆ Re: 積分 / ピー
回答の続き
No.218 - 2008/04/03(Thu) 15:24:26
☆ Re: 積分 / ヨッシー
y=sin(2x+π/3) のようなグラフならともかく
（これとて、積分をやる段階では描けないといけませんが)
y=a・cosx は、y=cosx のグラフをｙ軸方向にａ倍に引き延ばした
だけなので、描けるでしょう。

図は、ａ＝ｂの場合のグラフです。
網掛けをした２つの部分の面積が等しくなるように、ａ，ｂを
調節します。

比を求めるだけなので、a=1 などに固定して良いでしょう。
No.221 - 2008/04/03(Thu) 19:29:55
☆ Re: 積分 / ピー
ヨッシーさんどうもありがとうございました
acosx=bsinx
として考えて求める事ができました。
図ありがとうございます
No.222 - 2008/04/03(Thu) 23:06:01
★ 春休み課題 / 北4
すみません。書き直しました。
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc
No.215 - 2008/04/03(Thu) 15:05:31
☆ Re: 春休み課題 / ラディン.ms
(与式)=a(b^2+c^2)+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2+2abc
　　　=(b+c)a^2+(b^2+2bc+c^2)a+bc(b+c)
　　　={(b+c)a+c(b+c)}(a+b)
　　　=(b+c)(c+a)(a+b)
です
No.220 - 2008/04/03(Thu) 15:34:21
★ 春休み課題 / 北3
教科書の大問30番
2 2 2 2 2 2
a(b +c )+b(c +a )+c(a +b )+2abc
分かりにくいかと思いますが上段の 2 は２乗のことです。
No.212 - 2008/04/03(Thu) 14:34:25
☆ Re: 春休み課題 / らすかる
2乗がどこについているかわかりません。
例えば aの2乗 は a^2 のように書いてください。
No.213 - 2008/04/03(Thu) 14:42:20
★ 春休み課題 / 北２
すみません。
さきほどの質問にファイルを添付し忘れたので
改めて投稿します。
大問38番 （３）と大問39番（１）〜（４）
No.210 - 2008/04/03(Thu) 14:12:23
☆ Re: 春休み課題 / kei
38(3)

3+5=1+7に着目すれば、展開順序の方針がたちます。
(与式)={(x-1)(x-7)}{(x-3)(x-5)}+15
=(x2-8x+7)(x2-8x+15)+15
=y(y+8)+15=y2+8y+15=(y+3)(y+5)

(y=x2-8x+7とおきました。)

という具合ですね。

39(1)
x4と定数項の4=22に着目し、(x2+2)2を考えてみる。二乗の差の形に帰着します。

(2)
上と同じで、着目すべきはx4と1
こんどは(x2+1)2ではなく(x2-1)2を考えましょう。

(3),(4)
(1),(2)と同じです。
No.211 - 2008/04/03(Thu) 14:33:36
☆ Re: 春休み課題 / ﾒｸﾞﾐ
> すみません。
> さきほどの質問にファイルを添付し忘れたので
> 改めて投稿します。
> 大問38番 （３）と大問39番（１）〜（４）

ごめんなさい解法を具体的にお願いします。
No.464 - 2008/04/27(Sun) 00:56:01
★ 春休み課題 / 北
この度、志望校に合格することができました。
その高校の春休みの課題についての質問です。
大問38番 （３）と大問39番（１）〜（４）の
解法が分かりません。
それと、教科書の大問30番の解法が分かりません。
よろしくお願いします。
No.209 - 2008/04/03(Thu) 13:59:28
★ 円 / ピー
xy平面上において、x軸上に原点Ｏと異なる位置にある点Aをとり、点Ａを中心とした半径ＯＡの円をかく。
また、この円の外側のx軸上に点Ｂ、y軸上に点Ｃを、線分BCがこの円と異なる2点で交わるようにそれぞれとり、線分BCと円との交点を、点Bに近い方からＰ，Ｑとする。
いま、BP=PQ=QCとなるときOA：ABを最も簡単な整数の比で表すといくらかという問題。


どんな図形になるか分かりません。
図形の書きかたを教えてください
No.197 - 2008/04/03(Thu) 09:13:26
☆ Re: 円 / ピー
回答です
No.200 - 2008/04/03(Thu) 09:16:25
☆ Re: 円 / ヨッシー
図の描き方が分からないということなので、次のどの段階で止まっているか
チェックしてみてください。
１．ｘ軸とｙ軸を描く
２．x軸上に原点Ｏと異なる位置にある点Aをとる
３．点Ａを中心とした半径ＯＡの円を描く
４．円の外側のｘ軸上に点Ｂを取る。
５．円の外側のｙ軸上に点Ｃを取る。
６．線分BCがこの円と異なる2点で交わっているかチェックし
　　交わっていなければ、別の位置に点Ｂ、点Ｃを取り直す。
ここまでです。BP=PQ=QC であるように調整する必要は
特にありません。
No.201 - 2008/04/03(Thu) 09:28:37
☆ Re: 円 / ヨッシー
上の解答とは違う、図形的に解いたものを
私のページに載せました。
ただし、図はおあずけです。
No.203 - 2008/04/03(Thu) 11:27:35
☆ Re: 円 / ピー
図形の描き方で6番を教えてください
半径OAの円の外側に点Bと点Ｃを置いたのですが円と交わりません。　接線になってしまいます。
半径OAの内側に点を置けば2点交わりますが
No.205 - 2008/04/03(Thu) 12:44:48
☆ Re: 円 / ヨッシー
点Ａをたとえば、(2,0) にしましょう。
半径２の円を描くと、円の右端は(4,0) になりますね？
点Ｂをその少し右、(5,0) くらいに取りましょう。
点Ｃを(0,2) くらいにして、ＢＣを結べば．．．
ほら２点と交わりましたね。
No.206 - 2008/04/03(Thu) 13:05:51
☆ Re: 円 / ピー
ありがとうございます。
交わりました
No.207 - 2008/04/03(Thu) 13:10:36
☆ Re: 円 / ヨッシー
とりあえず、おあずけ解除。
No.208 - 2008/04/03(Thu) 13:12:37
☆ Re: 円 / ピー
ヨッシーさん図も解説もありがとうございます。
凄く分かりやすかったです。
どうもありがとうございます
No.214 - 2008/04/03(Thu) 15:00:28
☆ Re: 円 / ヨッシー
あれはあれとして、上の、円の方程式を使う方法も、
理解しておきましょうね。
No.219 - 2008/04/03(Thu) 15:30:33
★ 区分求積 / kkk
放物線y＝ｘ^2/4および点F(０，１)をとる。
Oを原点として放物線上に点A（ｘ、ｙ）（ｘ＞０）をとるとき、∠OFA=θ、FA=ｒとする。
（１）ｒをθを用いて表せ。
（２）放物線上にｎ個の点A1（x1,y1）,A2（x2,y2）…Aｎ（xｎ,yｎ）をxn＞０かつ、∠ＯFＡk=kπ/2n(k=1,2,3…,ｎ)を満たすようにとる。
lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]FＡkを求めよ。



（１）はできました。
ｒ＝２/(1+cosθ)
（２）は解答では
lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]FＡk
＝lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]１/cos^2(kπ/4n)
＝∫[0,1](１/cos^2(πx/4))dx
＝［4/πtanπx/4］(0→１)
＝4/π
としてましたが、自分はこうしました。

lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]FＡk
＝lim[n→∞]1/ｎ?納K=1〜ｎ]１/cos^2(kπ/4n)
＝∫[0,π/4]{１/cos^2(x)}*4/πdx
＝［4/πtanx］(0→π/4)
＝4/π
これだと区分求積じゃなくなってしまいますか？
１/nずつを4/π倍したつもりです…

今年の熊本前期入試です。お願いします。
浪人です。
No.194 - 2008/04/03(Thu) 02:03:13
☆ Re: 区分求積 / ヨッシー
u=πx/4 とおいて、
du＝(π/4)dx より dx＝(4/π)du
0≦ｘ≦1 は、0≦u≦π/4 に対応
として、置換積分したものになっていますので、
特に問題はないと思います。
No.195 - 2008/04/03(Thu) 08:47:19
☆ Re: 区分求積 / kkk
ありがとうございました。
安心しましたｍ（_ _）ｍ
No.202 - 2008/04/03(Thu) 10:16:01
★ (No Subject) / shuse
三角形ABCにおいて,面積が1でAB＝2であるとき,BC^2＋(2√3-1)AC^2の値を最小にするような∠BACの大きさを求めよ.

お願いします
No.180 - 2008/04/02(Wed) 12:47:49
☆ (No Subject) / ヨッシー
∠Ａや∠Ｂが鈍角になると、その角が直角の時より、
ＡＣもＢＣも長くなるので、最小になり得ません。
よって、点Ｃは下のような範囲を動き、∠ＢＡＣも、それに応じた
範囲の角であるとします。


∠ＢＡＣ＝θとおき、ＣからＡＢにおろした垂線の足をＨとすると、ＣＨ＝１ より
　ＡＣ＝1/sinθ、ＡＨ＝1/tanθ
よって、ＢＨ＝２−ＡＨ＝２−1/tanθ
三平方の定理より
　ＢＣ2＝１＋(２−1/tanθ)2
ＢＣ2＋(2√3−1)ＡＣ2
　＝１＋(２−1/tanθ)2＋(2√3−1)/sin2θ
　＝{sin2θ＋(2sinθ−cosθ)2＋(2√3−1)}/sin2θ
　＝{5sin2θ−4sinθcosθ＋cos2θ＋(2√3−1)}/sin2θ
　＝(4sin2θ−4sinθcosθ＋2√3)/sin2θ
　＝{2-2(1−2sin2θ)−2sin2θ＋2√3}/sin2θ
　＝(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)/sin2θ
f(θ)＝(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)/sin2θ と置きます。θで微分して
f'(θ)＝{(4sin2θ−4cos2θ)sin2θ−sin2θ(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)}/sin4θ
　　＝{(4sin2θ−4cos2θ)(1−cos2θ)−2sin2θ(2＋2√3−2cos2θ−2sin2θ)}/2sin4θ
　　＝{(4sin2θ−4cos2θ)−2sin4θ＋4cos22θ−2(2＋2√3)sin2θ＋2sin4θ＋4sin22θ}/2sin4θ
　　＝{(4sin2θ−4cos2θ)＋4−2(2＋2√3)sin2θ}/2sin4θ
　　＝(−2cos2θ＋2−2√3sin2θ)/sin4θ
　　＝{2−4sin(2θ＋π/6)}/sin4θ
よって、α≦θ≦π/2　(α＝tan-1(1/2)) の範囲において、
　α≦θ≦π/3 のとき、f'(θ)≦0、π/3≦θ≦π/2 のとき f'(θ)≧0
よって、最小値は θ＝π/3 のとき。
答え　∠ＢＡＣ＝π/3
No.182 - 2008/04/02(Wed) 16:12:48
☆ Re: / shuse
なるほど。分かりました

ありがとうございます
No.184 - 2008/04/02(Wed) 17:28:17
★ 図形 / ピー
三角形ABCにおいて、辺AB,B,CAを1：２に内分する点をそれぞれD,E,Fとする。
また、線分BFと線分CD、線分CDと線分AE,線分AEと線分BFとの交点をそれぞれP,Q,Rとする。
三角関係ABCの面積をS,三角形PQRの面積をTとするとき,T=kSを満たす実数Kの値は？という問題です。

答えは1/7

自分の解き方は
Dを通りBCに平行な線を引きAＥとの交点をGと置きました。
平行線と線分の比からDG:BE=AD:AB=1:3
布良薄の定理より
(3/1)*(2/1)*(QR/AQ)=1
より
AQ:QR=6:1
までしか進みませんでした。
教えてください
No.172 - 2008/04/02(Wed) 09:00:18
☆ Re: 図形 / ヨッシー
AB,BC,CA ですね。
また、布良薄→メネラウス　です。
さらに、解答の記号が、ちょっと食い違っています。
ＡＱ：ＱＥ＝６：１　ですね？
同様に　ＢＲ：ＲＦ＝６：１、ＣＰ：ＰＤ＝６：１ です。

△ＡＢＥ、△ＢＣＦ、△ＣＡＤ はいずれも、△ＡＢＣの1/3倍の
面積です。つまり、
　△ＡＢＥ＋△ＢＣＦ＋△ＣＡＤ＝△ＡＢＣ
ところが、△ＢＱＥ、△ＣＲＦ、△ＡＰＤ の部分が重なっており、
その分の隙間が、△ＰＱＲとして現れています。つまり、
　△ＰＱＲ＝△ＢＱＥ＋△ＣＲＦ＋△ＡＰＤ
です。
△ＢＱＥ、△ＣＲＦ、△ＡＰＤは、それぞれ、
△ＡＢＥ、△ＢＣＦ、△ＣＡＤの、1/7倍なので、
△ＡＢＣの(1/3)×(1/7)＝1/21 (倍) の面積です。
それが３つあるので、
　△ＰＱＲ＝△ＡＢＣ×(1/21)×３＝(1/7)△ＡＢＣ
つまり、
　Ｔ＝(1/7)Ｓ
となります。

次に、算数としての解き方。
(実際に同様の問題が、中学入試で出ています)

図のように、△ＰＱＲを１３個並べてあるところに、
４つの三角形で出来た平行四辺形の対角線を引いて
作ったのが△ＡＢＣです。
１３個の三角形のうち、△ＡＢＣからはみ出た分は、
２×３＝６(個分)　なので、△ＡＢＣは、△ＰＱＲの
　１３−６＝７(個分)
の面積といえます。(以下略)
No.174 - 2008/04/02(Wed) 09:45:22
☆ Re: 図形 / ピー
ＡＱ：ＱＥ＝６：１についてなのですが
もう一度メネラウスの定理について考えたのですが
(BC/BE)*(AF/FC)*(RE/AR)=1
(RE/AR)=1/6
AR：RE=6：１でも合ってますか？
No.176 - 2008/04/02(Wed) 11:30:19
☆ Re: 図形 / ヨッシー
記号の取り方を間違えてました。

上の記事の４〜５行目は
ＡＲ：ＲＥ＝６：１　ですね？
同様に　ＢＰ：ＰＦ＝６：１、ＣＱ：ＱＤ＝６：１ です。
が正しいです。
No.177 - 2008/04/02(Wed) 11:43:03
☆ Re: 図形 / ピー
図形の添付どうもありがとうございます。
　　△ＰＱＲ＝△ＢＱＥ＋△ＣＲＦ＋△ＡＰＤ
がわかりませんでした。
これは公式のようなものですか？

参考書の回答は
S=△ABCとおくと
△AQC=(6/7)△ABC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
同様に△ABR=△BCF=(2/7)S
△PQR=△ABC−(△AQC＋△ABR＋△BCF)
=(1/7)S
と書いてあるのですが、
△AQC=(6/7)△ABC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
の意味が分かりませんでした
No.178 - 2008/04/02(Wed) 11:51:58
☆ Re: 図形 / ヨッシー
公式というわけではありません。
(下図参照)

△AQC=(6/7)△ADC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
ですね。
No.179 - 2008/04/02(Wed) 12:44:49
☆ Re: 図形 / ピー
図ありがとうございます。
でも△AQC=(6/7)△ABC=(6/7)*(1/3)S=(2/7)S
がよくわかったです。
まず△AQC=(6/7)△ABCについて教えて頂けませんか？
No.181 - 2008/04/02(Wed) 13:42:26
☆ Re: 図形 / ヨッシー
重ねて言いますが、
　△AQC=(6/7)△ABC
ではなく
　△AQC=(6/7)△ADC
です。高さが共通なので、底辺の比　ＣＤ：ＣＱ＝７：６
が面積比になります。
No.183 - 2008/04/02(Wed) 16:43:57
☆ Re: 図形 / ピー
△ＰＱＲ＝△ＢＱＥ＋△ＣＲＦ＋△ＡＰＤ
というのについてまだ違和感があります。
四角だとわかるのですが三角形だと難しいです


何度も同じような質問を繰りえしてばかりですいません。
もう一つ分からない点があってDG:EC=1:6もわかりませんでした
No.187 - 2008/04/02(Wed) 19:04:20
☆ Re: 図形 / ヨッシー
あ、それも、記号を取り違えていた頃の式です。
正しくは、
△ＰＱＲ＝△ＡＱＤ＋△ＢＲＥ＋△ＣＰＦ
です。

また、DG:EC=1:6 ではなく、ＤＱ：ＱＣ＝１：６ です。
No.192 - 2008/04/03(Thu) 00:41:14
☆ Re: 図形 / ピー
ヨッシーさん
長い間この問題を親切に解説いて頂いて感謝しています。
どうもありがとうございました
No.196 - 2008/04/03(Thu) 09:06:20
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