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★ 三角関数 / りゅう
図のように、x,y,l1,l2, θ1,θ2ととります。

(1)l1,l2,θ1,θ2が与えられたとき x,yはどうなるか？
(2)x,y,l1,l2が与えられたとき　θ1,θ2はどうなるか？

と、いう問題が分かりません。教えてください宜しくお願いします。
No.1284 - 2008/06/25(Wed) 10:04:04
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
太字はベクトルです。

(1)
図のように、点Ａ、点Ｐとすると、
　ＯＡ＝(l1cosθ1、l1sinθ1)
　ＡＰ＝(l2cos(θ1＋θ2)、l2sin(θ1＋θ2))
であるので、
　ＯＰ＝ＯＡ＋ＡＰ＝(l1cosθ1＋l2cos(θ1＋θ2)、l1sinθ1＋l2sin(θ1＋θ2))
よって、
　ｘ＝l1cosθ1＋l2cos(θ1＋θ2)
　ｙ＝l1sinθ1＋l2sin(θ1＋θ2)

(2) は逆三角関数を使いますが、良いですか？
No.1287 - 2008/06/25(Wed) 17:34:05
☆ Re: 三角関数 / りゅう
よっしーさんありがとうございます。
大丈夫です〜！！
逆三角関数使ってよいので、教えてください！！！
No.1288 - 2008/06/25(Wed) 17:43:58
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
l3＝√(x^2+y^2) とおき、∠ＰＯＡ＝θ3 とおくと、
　cosθ3＝(l12＋l32−l22)/２・l1・l3
より、
　θ3＝acos{(l12＋l32−l22)/２・l1・l3}
また、線分ＯＰとｘ軸のなす角θ4は、
　tanθ4＝y/x
より、
　θ4＝atan(y/x)
で表せます。よって、
　θ1＝θ4−θ3＝atan(y/x)−acos{(l12＋x2+y2−l22)/２・l1・√(x^2+y^2)}

一方、∠ＰＡＯ について、
　cos∠ＰＡＯ＝(l12＋l22−l32)/２・l1・l2
より、
　∠ＰＡＯ＝acos{(l12＋l22−l32)/２・l1・l2}
θ2はその補角なので、
　θ2＝π−θ4＝π−acos{(l12＋l22−x2−y2)/２・l1・l2}
No.1306 - 2008/06/26(Thu) 00:17:46
☆ Re: 三角関数 / りゅう
よっしーさんありがとうございました。
逆三角関数を使うとは、おもってもみませんでした＾＾；
よく分かりました！！
No.1307 - 2008/06/26(Thu) 00:26:01
★ 確率 / √
よろしくお願い致します。

箱の中に［○●●］合計３個の、玉が入っています。
（○は当たり　・　●はハズレ）
誰が引いても、○が出る確率は「１／３」ですよね？

ここで、
３人が順番に、１つづつ、引いていきます。

１番目の人が、引いたら●でした。
すると
２番目の人が、○を引く確率が
「１／３」から「１／２」に上がった。と考えるのは間違いですよね？？？


私は次のように考えました。

１番目の人が、○を引く確率は「１／３」

２番目の人が、○を引くには、１番目の人が、●を引かなければならないので、
【計算は】
「２／３」ｘ「１／２」＝「１／３」

３番目の人が、○を引くには、１番目、２番目の人が共に●を引かなければならないので、
【計算は】
「２／３」ｘ「１／２」ｘ「１／１」＝「１／３」

だから、
○を引く確率は、誰もが平等に「１／３」なので、
たとえ、
１番目の人が、●を引いたからといって、
２番目の人は、喜ぶのは間違い。

この考え方で、合ってますでしょうか？
No.1276 - 2008/06/24(Tue) 23:48:02
☆ Re: 確率 / らすかる
＞１番目の人が、引いたら●でした。
＞すると
＞２番目の人が、○を引く確率が
＞「１／３」から「１／２」に上がった。と考えるのは間違いですよね？？？

間違いではありません。
「１番目の人が引いて●だった」という結果が出た後なら、１／２に上がります。
よって

＞だから、
＞○を引く確率は、誰もが平等に「１／３」なので、

これは合っていますが、

＞たとえ、
＞１番目の人が、●を引いたからといって、
＞２番目の人は、喜ぶのは間違い。
＞
＞この考え方で、合ってますでしょうか？

これは合っていません。
No.1277 - 2008/06/24(Tue) 23:51:07
☆ Re: 確率 / √
らすかるさん　
早速のお返事有り難うございます。

> 「１番目の人が引いて●だった」という結果が出た後なら、１／２に上がります。

すると、
前の人の「結果を見てから引く」のと「結果を見ないで引く」のでは、確率が変わってしまうということですか？

「引く順番」が関係してくると、３人が平等で無くなってしまうようにも思えるのですが。

でも現実では、
１番目の人が●を引いたら、
２番目・３番目の人は喜ぶというのも事実ですが。

もう少し考えてみます。

取り急ぎ、有り難うございました。
No.1278 - 2008/06/25(Wed) 00:19:40
☆ Re: 確率 / らすかる
＞すると、
＞前の人の「結果を見てから引く」のと「結果を見ないで引く」のでは、
＞確率が変わってしまうということですか？

そうです。確率は、条件が変われば変わって当然です。
例えば「前の人が○を引いたのがわかっていても、後の人が残念に思うのは間違い」
ということはないですよね。
前の人が○を引いたのがわかっていたら、後の人は○は引けませんから残念に決まってます。
No.1280 - 2008/06/25(Wed) 00:37:44
☆ Re: 確率 / √
らすかるさん
昨日からお世話になっております。
有り難うございます。

この問題は、映画「ラスベガスをぶっつぶせ」を見て思いついたのですが、

少し言い方を変えてみます。

では、
【３人（全員）が引き終わった後という条件で】
?@「せーの」で３人同時に手を開く。
?A１人づつ、順番に手を開いていく。

この場合は、?@も?Aも、３人は平等に、○の確率は「１／３」ですよね？

すると、
【今度は、まだ１番目の人しか引いてない時】
１番目の人が玉を引いて、その結果を２番目の人に「見せる」か「見せない」で、２番目の人の確率が変ってしまうのは変な気もするのですが。

たとえば、
１番目の人が、●だったという結果を、
２番目の人に
「見せた」時は、○を引く確率は「１／２」
では、
「見せなかった」時は、○を引く確率は「１／３」
ということになってしまうのでしょうか？

本当は、上記の【３人全員が引き終わった後の条件】と結果的には同じでなくては　おかしいような気もするのですが。

私の表現の仕方がうまくないのですが、
私は、もともと、どこの部分を勘違いしているのでしょうか？？？
No.1285 - 2008/06/25(Wed) 12:51:28
☆ Re: 確率 / rtz
＞【３人（全員）が引き終わった後という条件で】
＞この場合は、(1)も(2)も、３人は平等に、
＞○の確率は「１／３」ですよね？
(1)は正しいですが、(2)はどの時点で言ってるかどうかで違いが出るでしょう。
全員が開く前なら1/3ですが。

＞上記の【３人全員が引き終わった後の条件】と
＞結果的には同じでなくては　
＞おかしいような気もするのですが。
与えられた情報によって、考えられる確率は変わります。
極端な話、100人でくじ引き(当たり1つだけ)をして、
みんなが引いてまだ見ていない段階では当たりの確率は全員等しく1/100ですが、
みんなが引いて99人が見てはずれなら、残る1人が当たりの確率は1です。
No.1286 - 2008/06/25(Wed) 16:32:58
☆ Re: 確率 / ToDa@修正しまくり。
ちょうど私も、同じような質問を高校生から受けました。

>私は、もともと、どこの部分を勘違いしているのでしょうか？？？

現実の事象と確率空間を混同しているところにあるのでは。
以下の主張に反論はできますか？

「玉を引いてまだその色を見ていない時点でも、手の中の玉の色は●なら●、○なら○とその時点で既に決まっていて、もう一方の色である可能性は皆無なのだから、そもそも誰の引いた玉がどの色であるかなどという確率を論じることが不合理だ」
No.1292 - 2008/06/25(Wed) 20:03:12
☆ Re: 確率 / らすかる
＞たとえば、
＞１番目の人が、●だったという結果を、
＞２番目の人に
＞「見せた」時は、○を引く確率は「１／２」
＞では、
＞「見せなかった」時は、○を引く確率は「１／３」
＞ということになってしまうのでしょうか？

「１番目の人が●を引いた」という結果を知っている人にとっては
１番目の確率が０、２番目と３番目の○の確率が１／２ずつ … (1)
「１番目の人が●を引いた」という結果を知らない人にとっては
１番目、２番目、３番目の○の確率が１／３ずつ … (2)
です。
「見せた」「見せない」というよりは、「知っているかどうか」です。
つまり、結果を誰にも見せない場合でも
　１番目の人にとっては (1)
　他の人にとっては (2)
となります。
No.1297 - 2008/06/25(Wed) 21:12:23
☆ Re: 確率 / らすかる
補足
１番目の人が●を引いたということを公表したとしますよね。
その場合、「１番目の人の○の確率は0」というのはよろしいでしょうか？
これでもし２番目と３番目の人の確率が1/3ずつだとしたら、
確率の合計が2/3になってしまっておかしいですね。
No.1298 - 2008/06/25(Wed) 21:17:56
☆ Re: 確率 / √
お返事遅くなりました。

★ｒｔｚさん
有り難うございます。
ｒｔｚさんの書かれた内容自体は理解できました。


★ＴｏＤａ＠修正しまくり。さん
有り難うございます。

> 現実の事象と確率空間を混同しているところにあるのでは。

『数学的確率』は、どんな場合でも変化なく「１／３」
ただ、前に引いた人の結果を知ってしまった時に、心の中で
ラッキー　ｏｒ　アンラッキー　と思うだけ。だと考えたのですが。

> 以下の主張に反論はできますか？
>
> 「玉を引いてまだその色を見ていない時点でも、手の中の玉の色は●なら●、○なら○とその時点で既に決まっていて、もう一方の色である可能性は皆無なのだから、そもそも誰の引いた玉がどの色であるかなどという確率を論じることが不合理だ」

反論はできません。ごもっとも。
自分が玉を引いた時点で自分の結果が決まる。

「１／２」に上がっただの「１／３」のままだの、
論じること自体、不合理だということですね。
内容自体は理解できました。


★らすかるさん
昨日から有り難うございます。
らすかるさんの、おっしゃりたいことも理解できました。

皆様の、それぞれのご回答は、それなりに納得しました。
自分の中では、少し、あやふやなのですが、あやふやのままでもいいかなと思います。
有り難うございました。
No.1300 - 2008/06/25(Wed) 22:24:51
★ (No Subject) / m　高校２
数学Ｂの数列で

第ｎ項がｎ^２−３ｎで表される数列の階差数列はどのような数列か。

答え：初項０、公差２の等差数列

という問いなのですが、どのように解いていけばよいのか分かりません。教えてください宜しくお願いします。
No.1275 - 2008/06/24(Tue) 23:38:17
☆ (No Subject) / らすかる
第n+1項と第n項の差をとれば
{(n+1)^2-3(n+1)}-(n^2-3n)
=2n-2
ですから、初項0、公差2の等差数列ですね。
No.1281 - 2008/06/25(Wed) 00:41:07
☆ Re: / m　高校２
なるほど！分かりました！
ありがとうございます！！
No.1291 - 2008/06/25(Wed) 19:31:55
★ もう１題あるのですが / ひろ
0＜a＜1のとき、loga(x-a)≧2loga3(x-a)を満たすxの範囲を求めよ。

すみません。皆様、宜しくお願いします。
No.1273 - 2008/06/24(Tue) 22:59:21
☆ Re: もう１題あるのですが / とん
真数条件
　　ｘ＞ａ・・・・・・?@

loga(x-a)≧2loga3(x-a)より
loga(x-a)≧loga｛3(x-a)｝＾２

0＜a＜1 より

ｘ−ａ≦｛3(x-a)｝＾２
ｘ−ａ≦９ｘ＾２−１８ａｘ＋９ａ＾２
９ｘ＾２−（１８ａ＋１）ｘ＋９ａ＾２＋ａ≧０
たすきがけで

（ｘ−ａ）（９ｘ−９ａ−１）≧０
　ｘ≦ａ，（９ａ＋１）／９　≦ｘ　・・・・・?A

?@と?Aの共通範囲を求めればいいのでは？
No.1283 - 2008/06/25(Wed) 04:35:32
☆ Re: もう１題あるのですが / ひろ
ありがとうございます！
感謝です！！
No.1311 - 2008/06/26(Thu) 23:06:06
★ 中学生でもわかるように / ひろ
教えていただけますでしょうか？

2・3＋3・5＋4・7＋・・・・＋(n+1)(2n+1)の和

宜しくお願いします。
No.1272 - 2008/06/24(Tue) 22:53:03
☆ Re: 中学生でもわかるように / らすかる
中学生でわかるかどうかはわかりませんが…

(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1 をうまく差で表します。
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 から (2/3){(n+1)^3-n^3}=2n^2+2n+2/3
(2n^2+3n+1)-(2n^2+2n+2/3)=n+1/3
(n+1)^2-n^2=2n+1 から (1/2){(n+1)^2-n^2}=n+1/2
(n+1/3)-(n+1/2)=-1/6
(n+1)-n=1 から (-1/6){(n+1)-n}=-1/6
(-1/6)-(-1/6)=0
よって
(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1
=(2n^2+2n+2/3)+(n+1/2)+(-1/6)
=(2/3){(n+1)^3-n^3}+(1/2){(n+1)^2-n^2}+(-1/6){(n+1)-n}
={(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)n^3+(1/2)n^2-(1/6)n}
つまり
n=1 → 2・3={(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1}
n=2 → 3・5={(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}-{(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}
のように表せるので
2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1)
={(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1}
+{(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}-{(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}
+{(2/3)4^3+(1/2)4^2-(1/6)4}-{(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}
+・・・
+{(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)n^3+(1/2)n^2-(1/6)n}
={(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1}
={4(n+1)^3+3(n+1)^2-(n+1)}/6-(4+3-1)/6
=(4n^3+15n^2+17n+6)/6-1
=n(4n^2+15n+17)/6
No.1279 - 2008/06/25(Wed) 00:33:57
☆ Re: 中学生でもわかるように / らすかる
技巧的な方法としては
2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1)
=2・1+3・1+4・1+…+(n+1)・1
+2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n
+2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n
と分けて
2・1+3・1+4・1+…+(n+1)・1
=2+3+4+…+(n+1)
=n{2+(n+1)}/2=n(n+3)/2

2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n
=(1/3){1・2・3+2・3・3+3・4・3+…+n・(n+1)・3}
=(1/3){1・2・(3-0)+2・3・(4-1)+3・4・(5-2)+…+n・(n+1)・{(n+2)-(n-1)}}
=(1/3){(1・2・3-0・1・2)+(2・3・4-1・2・3)+(3・4・5-2・3・4)+…
　　　　+{n・(n+1)・(n+2)-(n-1)・n・(n+1)}}
=(1/3){n・(n+1)・(n+2)}
=n(n+1)(n+2)/3

よって
2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1)
=n(n+3)/2+2{n(n+1)(n+2)/3}
=n(4n^2+15n+17)/6
No.1282 - 2008/06/25(Wed) 01:39:19
☆ Re: 中学生でもわかるように / ひろ
大変参考になりました。
ありがとうございました。
No.1312 - 2008/06/26(Thu) 23:06:45
★ 項の係数 / ゆっち　（高１）
(χ−２ｙ＋ｚ^２）^７におけるχ^２ｙ^３ｚ^４

を　教えてください

答えはー１６８０です
No.1271 - 2008/06/24(Tue) 20:56:26
☆ Re: 項の係数 / 魑魅魍魎
ヒントです。
(a+b+c)^n
の一般項は
{n!/(p!q!r!)}(a^p)(b^q)(c^r)

今回の場合
(χ−２ｙ＋ｚ^２）^７
なので
{7!/(p!q!r!)}(x^p)((-2y)^q)((z^2)^r)

χ^２ｙ^３ｚ^４
から
p=2 q=3 r=2
No.1274 - 2008/06/24(Tue) 23:16:08
★ 極限 / りょう
たびたびすいません・・・。

lim[n→∞](1+1/(n+1))^n

lim[n→∞](1-1/(n^2))^n

lim[x→0](1+x+x^2)^1/x

lim[x→0]x^2*sin(1/x)/sinx

という問題が分かりません。教えてください。
No.1264 - 2008/06/24(Tue) 16:23:28
☆ Re: 極限 / りょう
すいません。訂正です

最初の問題の１+１/n+１ではなく、１-１/n+１です。
No.1265 - 2008/06/24(Tue) 16:40:21
☆ Re: 極限 / 豆
無理やり作りたい形に持っていく
1番　(1-1/(n+1))^n=((n/(n+1))^(-n))^(-1)=((1+1/n)^n)^(-1)
2,3番も類似形
4番　=(x/sinx)・x・sin(1/x)
3つの積ですが、各々はどうなりますか？
No.1267 - 2008/06/24(Tue) 16:48:42
☆ Re: 極限 / りょう
1と3は出来ました。
2は全く分かりません。
4はx/sinx*sin(1/x)/(1/x)となるのは分かるんですが、最後はsin(1/x)/(1/x)は０になるのでしょうか？？
No.1268 - 2008/06/24(Tue) 17:14:19
☆ Re: 極限 / 豆
ただ、意味もなく変形しても何にもなりません。
(x/sinx)・x・sin(1/x)としているのを、
何が目的でsin(1/x)/(1/x)などと意味のない変形を？？？
x/sinx→1　　x→0　　|sin(1/x)|≦1です
(x/sinxはもちろん意味があります)

(1-1/(n^2))^n=((n^2-1)/n^2)^n
n^2-1=m^2と置きましょう　
=(m^2/(m^2+1))^((-m^2)・(-n/m^2))　　(1番でもこうやっています)
=((1+1/m^2)^(m^2))^(-n/m^2)
No.1269 - 2008/06/24(Tue) 17:46:23
☆ Re: 極限 / りょう
なるほど！！！
豆さんありがとうございました！！
No.1270 - 2008/06/24(Tue) 18:45:16
★ 微分・積分 / りょう
方程式:e^x-3x=0は0と1の間、また1と2の間に解をもつことを示せ。
と、いう問題が分かりません。教えてください。
No.1260 - 2008/06/24(Tue) 14:41:38
☆ Re: 微分・積分 / 魑魅魍魎
y=e^x-3xのグラフを描いてみると分かると思います。
No.1262 - 2008/06/24(Tue) 15:37:35
☆ Re: 微分・積分 / りょう
中間値の定理も使ってできそうです。ありがとうございました！！
No.1263 - 2008/06/24(Tue) 16:08:39
★ 微分の問題 / ケンタ
y＝(1＋1/x)^xの微分はどうなりますか？
自分でやったらy'＝(1＋1/x)^2{log(1＋1/x)＋x^2/(x＋1)}となったんですが、不安です。
No.1259 - 2008/06/24(Tue) 14:27:37
☆ Re: 微分の問題 / 魑魅魍魎
y´＝(1＋1/x)^２{log(1＋1/x)＋x^2/(x＋1)}
　　　　　　　↑ここが2ではなくx
ですね。
No.1261 - 2008/06/24(Tue) 15:32:42
★ 複素数と方程式 / いさみ
３次式　f(x)=x^3+px+q=0 が複素数 a+i　を解に持つという。ただし、p,q,aは実数で i=√-1とする。

　f(x)=0 の a+i 以外の解を a で表せ。
です。よろしくお願い致します。
No.1253 - 2008/06/22(Sun) 22:57:44
☆ Re: 複素数と方程式 / ヨッシー
３次関数のグラフを思い浮かべてもらうと分かりますが、
ｘ^3 の係数が正の場合、

のように、マイナスの方から上がってきて、くねくねと曲がって、
プラスの方に去っていきます。
ですから、実数解を少なくとも１つ持ちます。それをｘ＝αとすると、
　f(x)＝(ｘ−α)(ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ)　（ｂ、ｃは実数)
と因数分解されます。f(x)＝０ の解の１つが虚数になるなら、
それは、ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解であるので、それが
　ｘ＝ａ＋ｉ
であるなら、他方は　ｘ＝ａ−ｉ　です。
よって、解と係数の関係より
　ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｘ^2−２ａｘ＋(ａ^2＋１)
これに、(ｘ−α)を掛けて、
　(ｘ−α){ｘ^2−２ａｘ＋(ａ^2＋１)}＝ｘ^3−(２ａ＋α)ｘ^2＋(ａ^2＋１＋２ａα)ｘ−α(ａ^2＋１)
ここで、f(x) のｘ^2 の項がないことに注目して、
　２ａ＋α＝０
よって、
　α＝−２ａ
よって、他の解は、ａ−ｉ　と　−２ａ
No.1254 - 2008/06/22(Sun) 23:07:37
☆ Re: 複素数と方程式 / いさみ
どうもありがとうございました。
本当にわかりやすい解答を有り難うございます。
No.1256 - 2008/06/22(Sun) 23:49:55
★ 二次方程式 / 桜　高校2
こんばんは。
よろしくお願いいたします。

二次方程式x^2+2mx+m+2=0が異なる2つの負の解を持つとき、定数mの範囲を求めよ・

という問題がわかりません。

解説を交えて教えてくださると嬉しいです。
お願いいたします。
No.1249 - 2008/06/22(Sun) 19:16:46
☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー
２つの解をα、βとすると、解と係数の関係より
　α＋β＝-2m
　αβ＝m+2
α＜0、β＜0 α≠β　であることと、
α＋β＜０　かつ　αβ＜０αβ＞０　かつ　Ｄ＞０　であることは
同値であるので・・・(以下略)

らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。
No.1250 - 2008/06/22(Sun) 19:19:52
☆ Re: 二次方程式 / らすかる
αβ＜０ でなく αβ＞０ ですね。
No.1251 - 2008/06/22(Sun) 22:36:21
☆ Re: 二次方程式 / らすかる
別解
f(x)=x^2+2mx+m+2=(x+m)^2-(m-2)(m+1) のグラフで
頂点が第３象限にありf(x)＞0であればよいので
m＞0 かつ (m-2)(m+1)＞0 かつ m+2＞0
No.1252 - 2008/06/22(Sun) 22:49:32
★ 3次方程式 / 礼花　高２
xの3次式P(x)=x^3-(k+3)x^2+(3k+1)x-3(kは実数)がある。
(1)P(3)の値を求めよ。また、P(x)を因数分解せよ。
(2)3次方程式P(x)=0の値がすべて実数になるようなkの値の範囲を求めよ。また、P(x)=0の3つの解をα,β,γとするとき、α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2をkを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0の3つの解α,β,γがすべて正の数であるとき、α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2の最小値を求めよ。また、そのときのkの値を求めよ。

続けての投稿、失礼します。
この問題で(1)は解けたのですが、(2)からがどうしても解けません。2問もすみませんが、教えてください。よろしくお願いします。
No.1246 - 2008/06/22(Sun) 18:59:24
☆ Re: 3次方程式 / ヨッシー
(1)
P(3)＝０ なので、P(x) は(x-3) で割り切れて、
　P(x)＝(x-3)(x^2-kx+1)
と因数分解出来ます。
(2)
(1) より、x^2-kx+1=0 の解が実数であればよいので、
　Ｄ＝k^2−４≧０
より、ｋ≦−２、ｋ≧２
解の１つはｘ＝３ であり、これをαとし、
他の２つは x^2-kx+1=0 であり、それらをβ、γとします。
解と係数の関係より
　β＋γ＝ｋ、βγ＝１
　β^2＋γ^2＝(β＋γ)^2−2βγ＝ｋ^2−２
よって、
　α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2＝α^2(β^2＋γ^2)＋(βγ)^2
　　＝３^2(ｋ^2−２)＋１
　　＝９ｋ^2−１７
(3)αはすでに正なので、β、γの両方が正であればよい。
x^2-kx+1=0 の 解と係数の関係より
　β＋γ＝ｋ＞０　かつ　βγ＝１＞０　かつ　Ｄ＝k^2−4≧0
よって、ｋ≧２ であり、このとき、
　α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2＝９ｋ^2−１７
の最小値は９・２2−１７＝１９
No.1255 - 2008/06/22(Sun) 23:19:59
☆ Re: 3次方程式 / rtz
(2)後半は、
α^2β^2＋β^2γ^2＋γ^2α^2
＝(αβ＋βγ＋γα)^2−2αβγ(α＋β＋γ)
＝(3k＋1)^2−2・3・(k＋3)
＝9k^2−17
でもいいかと思います。
No.1257 - 2008/06/23(Mon) 01:19:48
★ 自分の解答 / Jez-z
どこが間違っているのかわからないので、教えてください。
まず、問題を書きます。
1〜9までの自然数が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚ずつ計n回取り出す。このとき、取り出したn枚のカードに書かれているカードの和が3の倍数である確率を求めよ。

（解答）
題意より自然数を３で割ったあまりに注目して３つに分類する。つまり、
A={3,6,9} B={2,5,8} C={1,4,7}
このとき、Aから１枚、Bから1枚、Cから１枚取り出す確率はいずれも3/9=1/3である。
また、n回後の試行後、カードに書かれている数の和が3の倍数、３で割って１余る数、３で割って２余る確率をそれぞれ
a(n),B(n),C(n)とする。（ a(n)+B(n)+C(n)=1 )
ここで、n+1回後にカードに書かれている数の和が3の倍数となるには、
(1)n回目で３の倍数、n+1回目にAから1枚取り出す
(2)n回目で3で割って1余る数、n+1回目にBから1枚取り出す。
(3)n回目で3で割って2余る数、n+1回目にCから1枚取り出す。

よって
a(n+1)=1/3{a(n)+b(n)+c(n)}
=1/3{a(n)+1-a(n)}
=1/3

となり、漸化式を立てるのに失敗してしまいました。
どなたかご教授ください
No.1233 - 2008/06/22(Sun) 16:22:36
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
カードを１回１回元に戻すと解釈して良いでしょうか？

であれば、何回目でも確率は1/3 なので、
　a(n+1)＝1/3(一定)
となっても、不思議ではありません。
No.1235 - 2008/06/22(Sun) 17:04:08
☆ Re: 自分の解答 / Jez-z
だとしたら、問題として成り立ちませんよね？
元に戻さないと解釈すべきですか？

・・・これは、口頭でメモったものなのでもしかしたらそこを間違えたのかも知れません。
少なくとも、ヨッシーさんなら「元に戻さない」ととりますか？
No.1236 - 2008/06/22(Sun) 17:28:37
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
普通は、戻すか戻さないか問題に指定されているので、
それに従います。

そうでない場合は、両方解いてみて、それらしい方と
解釈するしかありませんが、この問題はどうでしょう？
No.1240 - 2008/06/22(Sun) 18:09:06
☆ Re: 自分の解答 / Jez-z
自分の聞き間違いだと仮定して次のような問題を想定しても
「1〜nが書かれたカードがある。（元に戻すものとする）」
これでは、剰余類が使えず、問題が挫折してしまいますよね？
No.1244 - 2008/06/22(Sun) 18:49:51
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
その場合は、ｎが９回以下に限られるので、ｎの数式にならなくとも
個別に答えを出せば良い話ですね。
　ｎ＝１　のとき　1/3
　ｎ＝２　のとき　1/3
のように。
No.1245 - 2008/06/22(Sun) 18:52:11
☆ Re: 自分の解答 / Jez-z
たぶん、出題者はnの数式になるように作りたかったのだと想像しますが、つまり、a(n+1)＝定数×a(n)
の形にもちこみたかったと考えられるのですが、この問題の設定では、どこをどう変えようとも「nの数式」
にすることは不可能でしょうか…？

（数学らしくない質問の連発ですいません）
No.1247 - 2008/06/22(Sun) 19:06:51
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
ｎの数式にしようと思えば出来ます。
ｎはたかだか１から９の９個の数なので、１０次式をたてれば、
作れないことはありません。

それに、どれほどの意味があるかは別です。
No.1258 - 2008/06/23(Mon) 18:45:32
★ (No Subject) / 匿名　高1
いつもお世話になっています。

添付した画像の通りなのですが、
y=f(x)のグラフをy=αに関して対称移動すると
なぜ(x,y)が(x,2α-y)になるのでしょうか？
2α-yがよくわからないので教えて下さい。
No.1231 - 2008/06/22(Sun) 15:39:27
☆ Re: / 七
A(x，y) の y＝a に対して対称な点の座標を
A'(x，z) とすると
線分AA'の中点はy＝a上にあり，(x，a)です。
したがって
(y＋z)/2＝2
z＝2a−y
No.1232 - 2008/06/22(Sun) 15:52:39
★ 微分 / ai
y=x^3/x^3-1の極値、凹凸、変曲点を調べグラフをかけ。

この問題の場合、yだけでなくy'も調べなくてはいけない理由を教えてください。
No.1230 - 2008/06/22(Sun) 13:19:02
☆ Re: 微分 / ヨッシー
y' どころか y" も調べないといけません。

y' は、関数の増減は分かりますが、凹凸は分かりません。
たとえば、
　ｙ＝ｘ^2
のグラフのｘ＞０ の部分と、
　ｙ＝−ｘ^2
のグラフの ｘ＜０ の部分とでは、両方単調増加ですが、
前者は下に凸、後者は上に凸で、凹凸が違います。
これは、ｙ”を調べないと分かりません。
No.1234 - 2008/06/22(Sun) 16:51:13
★ (No Subject) / zambatra
以下の問題が分からないので分かる方がいれば教えてください

ある円が台形ＡＢＣＤに内接している。いま、K,L,M,Nを対角線AC,BDと円との交点とする（ただし、KはAとLの間、MはBとNの間にあるものとする）。AK･LC=16、BM・ND=9/4であるとき、円の半径を求めよ.
No.1227 - 2008/06/21(Sat) 22:08:27
★ ベクトルその２ / Kay（高１女子）
何度もすみません。ベクトル２題目です。
よろしくお願いします。
No.1215 - 2008/06/21(Sat) 13:07:15
☆ Re: ベクトルその２ / 七
とりあえず
○2の式は間違っています。
ベクトルを省略すると

OP＝m･3OA＋n･2OB

です
OP' にも見えるのですが
OP'であるのならばP'の説明が必要です。
No.1218 - 2008/06/21(Sat) 14:11:08
☆ Re: ベクトルその２ / 七
面積についてはあっていますから省略します。
No.1221 - 2008/06/21(Sat) 17:14:03
★ ベクトル / Kay（高１女子）
ファイルを添付できなかったのでもう一度投稿します。
No.1214 - 2008/06/21(Sat) 13:01:55
☆ Re: ベクトル / 七
A，Bの位置関係がKayさんの図と逆になっていますが
α≧0，β≧0の条件がありませんから
Pの存在範囲は図の青斜線部だと思います。
No.1222 - 2008/06/21(Sat) 17:45:52
☆ Re: ベクトル / Kay
七さんへ
御礼遅くなりすみません。ありがとうございました。
No.1419 - 2008/07/05(Sat) 06:19:00
★ ベクトルその１ / Kay（高１女子）
次の２題よろしくお願いします。

一応自力で解答し、答えも合っているのですが、模範解答と
途中経過が異なり、これでいいのかがよく分かりません。

客観的に第三者の目から見てどこがどうおかしいか、足りないかなどアドバイスをお願いします。
No.1213 - 2008/06/21(Sat) 12:57:54
★ 四面体 / pon
正四面体ABCDの側面の三角形ABCの内部及び周上の動点Pから面ABDに垂線PQを下ろし、Qから面BCDに垂線QRを下ろすとき、三角形PQRの面積を最大にする点Pの位置を求めよ。

ベクトルを使おうとしたんですけど、いまいちよく分かりませんでした・・・どなたか、よろしくお願いします！！
No.1204 - 2008/06/21(Sat) 00:02:20
☆ Re: 四面体 / ヨッシー

正四面体の１辺を６とすると、１つの正三角形の高さは3√3となります。
この正四面体を、ＢＤが重なって見える方向から見て、
図の左のような三角形を考えると、底辺3√3 に対して、高さは
2√6 になります。

今、図の方向は、△ＰＱＲの面積が、そのまま現れる方向です。
各ＰＱＲは一定なので、ＰＱ×ＱＲが最大になるところを見つけます。
今、右図において、ＢＱ：ＱＡ＝（１−ｓ）：ｓ とします。
このとき、
　ＱＲ＝(1-s)2√6
　ＱＰ＝(3s/2)2√6
となり、これらの積は、
　36s(1-s)
となり、ｓ＝1/2 のときに最大になります。

このとき、ＡＰ：ＰＣ＝(1/2)：(1/6)＝3:1　より、
ＡＣを３：１に内分する点になります。
No.1207 - 2008/06/21(Sat) 00:35:35
☆ Re: 四面体 / pon
ありがとうございます！！！
でもＱＰの出し方がよく分からないんですが・・・
どうすればよいのでしょうか？
No.1209 - 2008/06/21(Sat) 02:26:30
☆ Re: 四面体 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
横から失礼します。
ヨッシーさんの上の左の図において、ＣからＡＢ(D)への垂線の足をＨとします。

すると ＡＨ＝2√3　またＡＱ＝3√3×ｓ＝3√3ｓ
∴ ＡＨ：ＡＱ＝2√3：3√3ｓ＝2：3ｓ
△ＣＡＨ∽△ＰＡＱだから
ＰＱ＝ＣＨ×(ＡＱ/ＡＨ)＝2√6×(3ｓ/2)

と導かれますね。
No.1210 - 2008/06/21(Sat) 10:51:52
☆ Re: 四面体 / pon
理解できました。ありがとうございました！！
No.1223 - 2008/06/21(Sat) 18:23:47
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