x^2+(1+2a)x+3-a=0が整数解をもつとき、aを求めよ。
判別式で、必要条件を求めようとしたのですが、実際求めても解決しそうにありませんでしたので、解と係数の関係を使い、aを消去する方針で臨んだのですが、うまく不定方程式の基本的な整数×整数＝整数にもちこめず敢え無く挫折してしまいました。
どなたかご教授願いします。
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No.1507 - 2008/07/09(Wed) 22:06:01
| ☆ Re: 判別式？解と係数？ / みと | | | 「解と係数の関係を使い、aを消去する方針で臨んだのですが」の続きとして
α＋β＝−2a−1，αβ＝−a＋3 から、
…aを消去して
2αβ−(α＋β)＝7
…2倍
4αβ−2(α＋β)＝14
…整数×整数＝整数
(2α−1)(2β−1)＝15
後は、
15＝(−15)＊(−1)＝(−5)＊(−3)＝(1)＊(15)＝(3)＊(5) で
２解が、(−7，0)，(−2，−1)，(1，8)，(2，3) となり
…a＝3，1，−5，3
最後の行訂正いたしました。
Jez-z さん 混乱させて、すみません。
魑魅魍魎 さん ご指摘ありがとうございました。
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No.1509 - 2008/07/10(Thu) 01:42:10 |
| ☆ Re: 判別式？解と係数？ / 魑魅魍魎 | | | 横から失礼致します。
みとさんの最後のところの
2解が(−7，0)，(−2，−1)，(1，8)，(2，3)
から得られるaは
a＝3,1,-5,-3
ですね。
面倒ですが別解？です。
解の公式より
x={-1-2a±√(4a^2+8a-11)}/2
で√の中が
4a^2+8a-11=n^2 ---------------(1)
の形であればよく、そうすればxは
x={-1-2a±n}/2
となり、また分子が偶数になれば整数解をもつことになります。分子が偶数になるにはaが整数、nが奇数であればよい
(1)から
a=±{√(n^2+15)}/2 -1
aは整数から
{√(n^2+15)}=2t (ｔは整数)
となればよいので
n^2+15=4t^2
(2t+n)(2t-n)=15
t,nは整数なので
?@2t+n=1 2t-n=15
?A2t+n=15 2t-n=1
?B2t+n=3 2t-n=5
?C2t+n=5 2t-n=3
の場合がでてくる
?@と?Aからは n=±7 t=4
?Bと?Cからは n=±1 t=2
が得られます。
n=±7 のとき a=±4-1 ⇒ a=3 ,a=-5
n=±1 のとき a=±2-1 ⇒ a=1 ,a=-3
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No.1510 - 2008/07/10(Thu) 02:05:31 |
| ☆ Re: 判別式？解と係数？ / Jez-z | | | みとさん、それは思いつきませんでした…
魑魅魍魎さん、別解まで書いていただきありがとうございます。
うまく因数分解するには両辺を2倍しないといけないんですね…
私は、むしろみとさんがなぜ「両辺を2倍する」ことを思いついたのかが不思議（知りたい）でなりません。もしよかったら、そのところをお話し願いませんか？
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No.1523 - 2008/07/10(Thu) 23:47:14 |
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