ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限値 / こうこ　浪人

（ｍ+1）！/ｔという式で（ｍ＝0.1.2...）ｔ→∞にすると0に収束するというのがよく理解できません。

分子が小さい自然数の場合には理解できるのですが、
分子が大きな自然数の場合
（ｍは0以上の自然数ならどんな数でもいいので、
ものすごく大きな自然数）よく理解できません。

どうかよろしくお願いします。

No.1585 - 2008/07/15(Tue) 08:46:59

☆ Re: 極限値 / ヨッシー

これは、感覚的に理解出来ないということでしょうか？

ｍがいくら大きくても、有限の数なので、(m+1)! も有限の数です。
たとえば、ｎ＝(m+1)! とすると、ｔはｎⁿ より
もっともっと大きい数になるので、（ｍ+1）！/ｔは０に収束します。

Newton のある号に、「宇宙の星をすべて集めても、無限には
ほど遠い」という、記述がありましたが、無限とはそれほど大きいのです。

No.1587 - 2008/07/15(Tue) 10:27:40

☆ Re: 極限値 / こうこ　浪人

ありがとうございます！

m=0.1.2....と限りなく続いていくのに
有限の数なんでしょうか。

No.1607 - 2008/07/16(Wed) 09:38:31

☆ Re: 極限値 / ヨッシー

ｍ→∞ の極限値を聞いているわけではないので、ｍは有限と考えます。

No.1608 - 2008/07/16(Wed) 10:16:26

★ 加法定理の応用 / とうこ

問
Ａ+Ｂ+C=πのとき、次の等式がなりたつことを証明せよ。
sin2Ａ+sin2Ｂ+sin2C=4sinAsinBsinC

という問題で、解答はこちら。

解　　　sin2Ａ+sin2Ｂ=2sin(A+B)cos(A-B)
　また、C=π-(A+B) であるから、
　　　　sin2C=sin2{π-(A+B)}
　　　　　　　=sin{2π-2(A+B)}
　　　　　　　=sin{-2(A+B)}
　　　　　　　=-sin2(A+B)　　　　　　　ここまでは分るのですが、、
　　　　　　　=-2sin(A+B)cos(A+B)
◎この「cos(A+B)」となるのは何故ですか？
　残りの解答はこうなります。

　よって（左辺）
　　=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)
　　=2sin(A+B){cos(A-B)-cos(A-B)}
　　=2sin(π-C){-2sinAsin(-B)}　　　　　　ここから、
　　=4sinAsinBsinC
　　=（右辺）
◎右辺に繋がるまでの過程の解説をお願いします。

所々分るのですが、省略されている部分をどなたか解説お願いします。
出典は精説の高校数学問題集です。

No.1581 - 2008/07/14(Mon) 10:42:54

☆ Re: 加法定理の応用 / ヨッシー

最初の部分は、２倍角の公式
　sin２α＝2sinαcosα
のαがA+B になったもので、
　sin２(A+B)＝2sin(A+B)cos(A+B)
です。

(左辺)とはsin2Ａ+sin2Ｂ+sin2Cのことですが、
sin2Ａ+sin2Ｂ=2sin(A+B)cos(A-B)・・・和積の公式
sin2C=-2sin(A+B)cos(A+B)
より、
(左辺)＝2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)
2sin(A+B) でくくって
　＝2sin(A+B){cos(A-B)-cos(A-B)}
和積の公式より
　＝2sin(A+B){-2sinAsin(-B)}
Ａ+Ｂ+C=π より
　＝2sin(π-C){-2sinAsin(-B)}
あとは、sin(-B)＝-sinB，sin(π-C)＝sinC より
　＝4sinAsinBsinC
です。

No.1582 - 2008/07/14(Mon) 11:33:52

☆ Re: 加法定理の応用 / とうこ

わかりました！
２倍角に気づきませんでした。。
三角関数の公式はごちゃごちゃになりがちで…。
ありがとうございました。

No.1583 - 2008/07/14(Mon) 12:33:12

★ (No Subject) / ウア　高一

YOKOHAMAの８文字を一列に並べる。
?@
OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。
答え：１４４通り
?A
Y,K,H,Mがこの順にあるものは何通りか。
答え：４２０通り
解説お願いします。

No.1577 - 2008/07/14(Mon) 03:08:56

☆ Re: / にょろ

奇数組（イ）：YKHM
偶数組（ロ）：OOAA

1番目:イのどれかだから4通り
3番目:イの残りから一つだから3通り
｜
以上奇数番目の組み合わせは24通り

次
偶数番目

2つのAが4つの（2番目～8番目）までのどこかに入る組み合わせは
4C2=6
Oは残りにはいるので
偶数番目の組み合わせは6通り

∴全組み合わせは24*6=144

ところでこの144結構おもしろい形の素因数分解なので
よく組み合わせとかには出てきたりして

8個の中文字を入れる箱から
4つY,K,H,Mを入れる箱を決めることを考えると
8C4=70

残りは(OとA)は(1)より6通り

∴全組み合わせは70*6=420

こんなところでいかがでしょう？

No.1578 - 2008/07/14(Mon) 03:21:14

★ 組み合わせ / ウア　高一

正七角形について、次の数を求めよ。
?@頂点を結んでできる三角形の個数
答え：３５個
?A頂点を結んでできる四角形の個数
答え：３５個
?B対角線の本数
答え：１４本
?@と?Aは分かったのですが?Bが分かりません。
?Bの解説お願いします。

No.1574 - 2008/07/14(Mon) 02:15:40

☆ Re: 組み合わせ / 七

7個の頂点から2個を選んで結ぶと
辺と対角線が出来ます。
辺の数は7本なので
₇C₂-7=21-7=14

No.1575 - 2008/07/14(Mon) 02:46:51

☆ Re: 組み合わせ / ウア　高一

ありがとうございます。
今丁度私が思いついたやり方でもあっているでしょうか？
まずひとつの頂点から引ける対角線は４本、頂点が七つあるので７×４＝２８
一本につき重なっているのがあるので２８÷２＝１４

No.1576 - 2008/07/14(Mon) 03:01:11

☆ Re: 組み合わせ / にょろ

大丈夫です。
小学生の時その方法で教えられました。

No.1579 - 2008/07/14(Mon) 03:23:13

☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

こちらもご覧ください。

No.1580 - 2008/07/14(Mon) 10:38:46

★ 数学A / ウア　高一

?@
７人をA,Bどちらかの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、空の部屋があってもよいものとする。
答え：１２８通り
?A
集合｛１，２，３，４，５，６｝の部分集合は何個あるか。
答え：６４個
?B
立方体の６つの面に、青、白、赤、黄、紫、緑の６色を１面ずつ塗るとする。異なる塗り方は何通りあるか。
答え：３０通り
?C
９個の要素をもつ集合Aの部分集合の総数を求めよ。また、Aの２個の特定の要素を含むAの部分集合の総数を求めよ。
答え：１２８通り

数学の４STEPと言う問題集で結構考えたのですが、分からなかった問題です。四つもあってすみません・・・。
解説お願いします。

No.1571 - 2008/07/14(Mon) 00:15:06

☆ Re: 数学A / とん

?@重複順列ですね
　まず7人が部屋を選ぶわけです。
ですから7人それぞれにA/B 2つの選択権があるわけです
（補足ですが全員がAを選んでもいいしBを選ぶかもしれない）

つまり1人につき2つの選択権があるので
２×２×２×２×２×２×２＝２＾７＝１２８

?Aこれも重複順列
｛１，２，３，４，５，６｝ここから何個でもいいから取り出していくのが部分集合。当然全部とらなくてもいいし
ひとつもとらなくてもいい

つまりひとつの数字につき「とる・とらない」の2通り選択権がアル。
よって２＾６＝６４

?B立体の色塗りはひとつの面を固定して考えます
（立方体は見かけが同じでも回転したとき同じ色のならび方が出来るため）
つまり1つの面を上にして固定してそこに青を塗ると決める

次にその反対側（底面）を決めます
これは青以外の5通り。
後は側面ですがこれは4つの円順列と考えることが出来

（４－１）！＝６

よって５×６＝３０

?Cは?Aといっしょで
　２＾９＝５１２通り

後半は結局9人のメンバーのうち2人はレギュラー入りな訳で
　残りの7人がメンバー入りするかしないかを決めればいい

よって7人のメンバーが入るか・入らないか
　２＾７＝１２８通り

No.1572 - 2008/07/14(Mon) 01:46:30

☆ Re: 数学A / ウア　高一

とても分かりやすい説明ありがとうございました。

No.1573 - 2008/07/14(Mon) 02:05:21

★ 基礎化学（大学生です） / コニャック

「ある塩を水に溶かした所、全て自然に溶解し、その際溶液の温度が低下した。この溶液のエンタルピー変化?凾g、エントロピーの変化?凾r、及び自由エネルギー変化?凾fの各値は、正か負か、あるいわゼロか。」という問題がありました。
誰かわかる方はいらっしゃいますか？
よろしくお願いします。

No.1568 - 2008/07/13(Sun) 22:23:02

☆ Re: 基礎化学（大学生です） / コニャック

誰か～、私を助けてください！！

No.1584 - 2008/07/14(Mon) 21:22:13

★ 確率 / 礼花　高２

ATSUHIMEの8文字を次のように並べる方法は何通りあるか。
(1)ATSUHIMEの8文字を1列に並べる並べ方
(2)ATSUHIMEの8文字を円形に並べる並べ方で、子音の両隣りに必ず母音がくる並べ方
(3)ATSUHIMEの8文字を1列に並べる並べ方のうち、TSHMAUIEやAUIETSHMのように、母音と子音が完全に2分される並べ方

この問題が(2)から分かりません。ちなみに答えは(2)が144通り、(3)が1152通りなのだそうです。すみませんが、よろしくお願い致します。

No.1567 - 2008/07/13(Sun) 21:38:51

☆ Re: 確率 / にょろ

(2)
子音THSM
母音AUIE
ですかね？
（見間違ってたら怖い）
まず、子音を円に並べる方法は?
後はその間に母音を入れるのは単純な順列ですよ。

後はこんな考え方も

文字が入るところを
1,2,…と番号でふります。
1にAを入れると
残りは…
この考え方も円順列（？）でやったと思いますよ。

(3)
子音、母音
母音、子音
の順番が二通り考えられますね
後は、子音と母音はそれぞれ独立の順列です。

No.1569 - 2008/07/13(Sun) 22:29:35

☆ Re: 確率 / 礼花　高２

返信遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。
丁寧に解説して下さって本当にありがとうございました！

No.1778 - 2008/07/27(Sun) 21:25:44

★ 三角比 / 礼花　高２

いつもお世話になります♪

円に内接する四角形ABCDがあり、AB=2,BC=CD=3であるとき、次の問いに答えよ。
(1)∠BAD=120°のとき、∠BCDの大きさとBDの長さを求めよ。
(2)(1)のとき、四角形ABCDの面積と外接円の半径を求めよ。
(3)∠BAD=αとする。AD=1のとき、cosαの値とBDの長さを求めよ。

この問題が(2)から、どうしても分かりません。すみませんが、どなたか教えて下さいませんか？宜しくお願い致します。

No.1566 - 2008/07/13(Sun) 21:31:09

☆ Re: 三角比 / みと

(1)
四角形ABCDが、円に内接することから、∠BCD＝180－∠BAD＝60°

(2)
△BCDが、{BC=CD=3，∠BCD＝60°}から正三角形で、BD＝3となることから
…余弦定理を利用し、ADを求める。
四角形ABCD＝△BCD＋△ABD
…面積の公式から△BCD，△ABDを求め、和を考える

(3)
四角形ABCDが、円に内接することから、∠BCD＝180－∠BAD＝180－α
●cos(180－α)＝－cosα
△ABCと△BCDの共通辺がBDという関係から、余弦定理を利用し、
…BD^2＝AB^2＋AD^2－2cosα＝BC^2＋CD^2－(－cosα)　で
…cosα　を求めた後、BD^2を求めてBDを求める。

No.1570 - 2008/07/13(Sun) 23:04:36

☆ Re: 三角比 / 礼花　高２

お返事遅くなってしまい、申し訳ありません。
分かり易く、かつ丁寧に解説してくださってありがとうございました。本当に助かりました♪

No.1779 - 2008/07/27(Sun) 21:34:36

★ 極限 / マリオ

a[n]＝{(n+1)logn -nlog(n+1) +1}/n(n+1)（n=1,2.・・・）とする。
このときlim[n→∞] a[n+1]/a[n]
を求めよ。

どうしたらいいのでしょうか。
全然指針が着きません。

No.1561 - 2008/07/13(Sun) 19:15:41

☆ Re: 極限 / X

a[n]={log{{n^(n+1)}/(n+1)^n} +1}/{n(n+1)}
={logn+log[{n/(n+1)}^n]+1}/{n(n+1)}
と変形し、
lim[n→∞]{n/(n+1)}^n=lim[n→∞]{1-1/(n+1)}^n
=lim[n→∞][{1-1/(n+1)}^{-(n+1)}]^(-n/(n+1))
=1/e
となることに注意すると、問題の極限について
最終的に
lim[n→∞]{log(n+1)}/(logn)
の収束・発散を議論すればよいことになります。
そこではさみうちの原理を使います。
{log(n+1)}/(logn)>(logn)/logn=1 (A)
一方
{log(n+1)}/(logn)=1-1+{log(n+1)}/(logn)
=1+{log(1+1/n)}/(logn)
でn→∞を考えていることからn>3としてもよいので
{log(n+1)}/(logn)<1+log(1+1/n) (B)
(A)(B)より…

No.1562 - 2008/07/13(Sun) 20:38:37

★ 高２　２次関数 / まい

放物線 y=x^2-2ax+a^2+3a-4…?@（aは定数）がある。
この放物線?@とy軸との交点をPとすると、Pはy軸の負の部分にある。

(1)点Pの座標をaを用いて表せ。またaの値の範囲を求めよ。

(2)a≠0のとき、放物線?@の頂点をQ,放物線?@の軸とx軸との交点をRとする。三角形PQRの面積が1/2のときaの値を求めよ。

答　(1)P(0,a^2+3a-4) -1<a<4 (2)a=1/3,(2-√7)/3

(2)がどうしても分かりません・・・。
どうかよろしくお願いします！！

No.1557 - 2008/07/13(Sun) 16:41:37

☆ Re: 高２　２次関数 / にょろ

(1)まずPはx=0の時いくつになるか
それがy軸との交点

Pがy軸と負の交点を持つ。
（交点の式）<0

(2)三角形の面積の求め方はいくつかあります。

今回は、多分
底辺＊高さ÷２です。
実は、底辺も高さもすぐ求まります。

紫の線は↑の式のどこでしょう？

No.1558 - 2008/07/13(Sun) 18:13:24

★ 中1『規則性を見つける問題』 / 1111

現在、僕は中3で受験生なので1年から問題を振り返っています。わからないところがあったので質問したいと思います。

　　白い碁石と黒い碁石がたくさんある。下の図のように、
　　奇数番目の列には白の外資を3個、偶数の列には、白の
　　碁石1個と黒の碁石2個を、1列目、2列目・・・・と置い
　　ていく

問、ある奇数番目の列に碁石を置いて並べるのをやめたとこ
　　ろ並んでいる碁石のうち白の碁石が黒の碁石より35個多
　　かった。このとき並んでいる白の碁石は全部で何個か。

この問題をわかりやすく教えてください。お願いします。

No.1554 - 2008/07/13(Sun) 13:27:25

☆ Re: 中1『規則性を見つける問題』 / ヨッシー

１列目と２列目、３列目と４列目のように２列ずつで考えると、
６個の中に白４個、黒２個があります。
２列まで並べると白が２個多い。
４列まで並べると白が４個多い。
６列まで並べると白が６個多い。
のように増えていきます。

奇数列まで並べたと言うことは、そこで白を３個置いたので、
その１列前の偶数列までは白が
　３５－３＝３２(個)
多かったことになります。
よって、３２列までで、白６４個、黒３２個であり、
３３列までで　白は
　６４＋３＝６７(個)
です。

No.1555 - 2008/07/13(Sun) 13:43:55

☆ Re: 中1『規則性を見つける問題』 / 1111

とてもお早いお返事ありがとうございました！！！
納得できました！

このサイトはどんな時、どんな時間でも早いんですか？

No.1556 - 2008/07/13(Sun) 13:56:56

☆ Re: 中1『規則性を見つける問題』 / ヨッシー

早いかどうかは、その記事を見たタイミング、問題の難易度、
自分の忙しさ、それと何より、正しく質問されているかによります。

No.1559 - 2008/07/13(Sun) 18:44:21

★ 高?U / 和音

高?Uの問題なのですが、

x+a分の1 ﾏｲﾅｽ x+b分の1 ｲｺｰﾙ (x+a)(x+b)分の(x+b)-(x+a) ｲｺｰﾙ (x+a)(x+b)分のb-a

になって、その後

(x+a)(x+b)分の1

になる理由がわかりません。どなたか教えて下さいm(__)m

No.1546 - 2008/07/12(Sat) 16:44:35

☆ Re: 高?U / にょろ

1/(x+a)-1/(x+b)=
((x+b)-(x+a))/(x+a)(x+b)=
(b-a)/(x+a)(x+b)

ですか？
最低限の表記法ぐらい調べましょう

b-a=1ならば
ちゃんとそうなりますよ。
条件抜けてる気がする

No.1547 - 2008/07/12(Sat) 16:52:12

☆ Re: 高?U / 和音

見辛いな記述をしてしまいすみません。
条件はa≠bなのですが、どうしてb-aが1になるのでしょうか？

No.1548 - 2008/07/12(Sat) 16:57:33

☆ Re: 高?U / X

にょろさんの仰るとおり、a≠bとは別に条件として
b-a=1
が無ければ
(b-a)/{(x+a)(x+b)}
=1/{(x+a)(x+b)}
とはなりません。

No.1549 - 2008/07/12(Sat) 21:09:30

★ 空間のベクトル（高２） / 爆弾三郎

すいません。もう一問お願いします。

図のような、AB=2,AD=4,AE=3の直方体ABCD-EFGHがある内積を求めよ

(1)↑AC・↑AB 答え4
　(2)↑BG・↑GC -9
　(3)↑AG・↑AD 16
　(4)↑DF・↑BE 5

何回やっても答えが合いません。
使う公式が間違っているのでしょうか？

お願いします。

No.1538 - 2008/07/11(Fri) 21:54:17

☆ Re: 空間のベクトル（高２） / X

まず前準備。
↑AB=↑a↑AD=↑b,↑AE=↑c
と置くと
↑a・↑b=↑b・↑c=↑c・↑a=0 (A)
|↑a|=2 (B)
|↑b|=4 (C)
|↑c|=3 (D)
よって
(1)
↑AC・↑AB=(↑AB+↑BC)・↑AB
=(↑a+↑b)・↑a
=|↑a|^2+↑a・↑b
=4

(2)
↑BG・↑GC=(↑BF+↑FG)・(-↑CG)
= (↑c+↑b)・(-↑c)
=…

(3)
↑AG・↑AD=(↑AB+↑BC+↑CG)・↑AD
=(↑a+↑b+↑c)・↑b
=…

(4)
↑DF・↑BE=(↑DA+↑AB+↑FB)・(↑AE-↑AB)
=(-↑b+↑a+↑c)・(↑c-↑a)
=…

No.1540 - 2008/07/11(Fri) 22:58:43

☆ Re: 空間のベクトル（高２） / 爆弾三郎

わかりました。

Xさんどうもありがとうございました。

No.1544 - 2008/07/12(Sat) 13:56:41

★ 平方根 / とうこ

　　3+2√2　　　2√3+√6
√（────）=　────
　　　 6　　　　　　 6

という問題なのですが、√の中の√の外し方がわかりません。
解答までの過程と解説、どなたかお願いします。
自分は高二ですが、内容的には中三～高一くらいだと思います。

よろしくお願いします。

No.1536 - 2008/07/11(Fri) 20:07:36

☆ Re: 平方根 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

√(3＋2√2)/√6＝√(2+2√2+1) /√6
＝√{(√2)^2+2√2√1+(√1)^2} /√6
＝√{(√2＋√1)^2} /√6
＝(√2＋√1) /√6
＝√6(√2＋√1) /6＝(2√3＋√6) /6

このように、√{(a+b)＋2√(ab)}＝√a＋√b
左辺の形に持っていけば因数分解できるので、右辺と等しくなり２重根号が外れるのです。

No.1539 - 2008/07/11(Fri) 21:58:24

☆ Re: 平方根 / とうこ

わかりました！

丁寧な解説ありがとうございました！

No.1551 - 2008/07/12(Sat) 22:08:10

★ 行列 / 白梅

行列について質問させてください。

行列のｎ乗を考える問題でわざわざ
計算しなくても即答できる行列がありますよね。

特に有名で、
教科書にも書かれているような行列としては、

（１）（ａ　０）^ｎ　＝（ａ^ｎ　０）
　　　（０　 b）　　　（０　　b^ｎ）

（２）（１　ａ）^ｎ　＝（１　　ｎａ）　
　　　（０　１）　　　（０　　１　）

といったものがありますが最近、

（ａ　b ）^ｎ　
（０　１）　　　　といった行列にも即答できる

公式？があるということを聞きました。
自分で実際に計算してみたのですが、どうしても
（１,２）成分の規則が掴めません。
教えていただけないでしょうか。

No.1535 - 2008/07/11(Fri) 19:31:52

☆ Re: 行列 / 魑魅魍魎

(1,2)成分だけを書くと

n=1 b
n=2 b(a+1)
n=3 b(a^2+a+1)
n=4 b(a^3+a^2+a+1)
･
･

n=k b{?納s=1～k]a^(k-1)}

No.1541 - 2008/07/12(Sat) 01:29:01

☆ ありがとうございます！ / 白梅

魑魅魍魎様、分かりやすい回答本当に
ありがとうございます＾＾

昨日丸一日その疑問に対して悩み続けていたので、
やっと規則性がハッキリとして分かって
とても嬉しいです！＾＾
複雑な行列を計算した後であっているかどうか
確認する為の検算用に知っておきたかったので、
魑魅魍魎様には、大変感謝しております。

本当にありがとうございました＾＾

No.1543 - 2008/07/12(Sat) 11:49:46

★ (No Subject) / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします

△ABCにおいて∠A=120°、AC=2,AB=√3－１であるとき、
BC=√(ア)、
∠B=イ度である。

アはわかったのですがイがわかりあせんでした。
教えてください
よろしくお願いいたします。

No.1534 - 2008/07/11(Fri) 19:28:09

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

ＡＣ/ sin∠Ｂ＝ＢＣ/ sin∠Ａ　がいえるので

ＡＣ＝2　,∠Ａ＝120°,ＢＣ＝√6　を代入すれば sin∠Ｂが求まります。
（余弦定理で cos∠Ｂを求めてもいいですね）

No.1537 - 2008/07/11(Fri) 21:40:39

☆ Re: / 桜　高校2

ありがとうごあいました！！
おかげさまでできました。

No.1553 - 2008/07/13(Sun) 12:00:15

★ 確率 / 礼花　高２

袋の中に白球２個、黒球３個、赤球４個が入っている。３個を取り出すとき、次の問に答えよ。
(1)赤球のみ取り出す確率を求めよ。
(2)赤球が少なくとも１個含まれる確率を求めよ。
(3)取り出した３個の球に含まれる赤球の個数の期待値を求めよ。

連続ですみません。この問題で、(1)(2)は解けたのですが、(3)の求め方が分かりません。すみませんが、どなたかよろしくお願いします。

No.1527 - 2008/07/11(Fri) 06:04:03

☆ Re: 確率 / らすかる

ちょうど1個含まれる確率は (5C2×4C1)/9C3=40/84
ちょうど2個含まれる確率は (5C1×4C2)/9C3=30/84
ちょうど3個含まれる確率は (5C0×4C3)/9C3=4/84
よって期待値は 1(40/84)+2(30/84)+3(4/84)=4/3

別解
1個取り出して赤球である確率は4/9だから
1個取り出した時の赤球の個数の期待値は4/9個
よって3個ならば期待値は(4/9)×3=4/3個

No.1529 - 2008/07/11(Fri) 08:36:13

☆ Re: 確率 / 礼花　高２

理解できました！
丁寧に教えて下さって、本当にありがとうございました。

No.1563 - 2008/07/13(Sun) 21:00:28