ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ お礼です。 / 梅雨だったゆういちろうです。

こんばんは、この間ここが数学サイトだと知っていながら
社会を聞いてものすごい速さで教えてもらいましたゆういちろうです。あれから、「金印」を調べノート提出したら
ずっと後ろにはってもらって、今日戻ってきました。
僕は感想の最後に「偽者が出回ったらしい。と書いて先生のももちろんにせものですよね」って書いていたので、今日返してもらったら。ＶＥＲＲＹ　ＧＯＯＤの横に、金印が今度
２つも教えてくれて。「よく調べたね、だれも調べようと
しなかったこと、先生も嬉しいよ、だけど偽物より
せめて複製品といってくれないか」よ笑っている判も
押してくれていました。先週は。ノートがなかったので
他の研究は、パソコン用紙にして、返してもらうのを
楽しみにしていました。なんて書いてくれるかなあって
思っていたら。面白かったです。又後ろにはってもらえる
ようにがんばります。ヨッシー先生。七先生ありがとうございました。「漢委奴国王」（かんのわのなのこくおう）は
思い出になりました。一生忘れないと思います。
自慢の一週間をおくれました。嬉しかったです。

No.1141 - 2008/06/16(Mon) 22:32:28

☆ Re: お礼です。 / ヨッシー

こういう、プラスになることで、忘れないことが出来るのって、良いですね。

私などは、先生に恥をかかされたとか、先生がぼんくらで困ったとか
いうのばかり覚えてますね。

No.1156 - 2008/06/17(Tue) 09:11:24

★ できるだけ早めにお願いしたいのですが / GURURU

aがa>1を満たすとき、xについての不等式(x-a-1)(x-2a)≦0　…?@がある。
（１）不等式?@を解け。
（２）f(x)=-x^2+4xとする。xが（１）の範囲の値をとる時、f(x)の最小値を求めよ。

明日までには答えが知りたいのですがお願いできますか？
よろしくお願いします。

No.1139 - 2008/06/16(Mon) 21:57:39

☆ Re: できるだけ早めにお願いしたいのですが / 魑魅魍魎

(1)
a>1より
a+1≦x≦2a

(2)
2<a+1≦x≦2a
より
f(x)の最小値はx=2aのときなので
f(2a)=-4a^2+8a

No.1143 - 2008/06/16(Mon) 23:55:36

☆ Re: できるだけ早めにお願いしたいのですが / GURURU

ありがとうございます。
よく理解することができました。

No.1178 - 2008/06/18(Wed) 21:28:21

★ ３次方程式 / 礼花　高２

続けての投稿ですみません。

aを実数とする。整式P(x)=x^3+(2a+5)x^2+(2a+13)x+9がある。
(1)P(x)をx+1で割ったときの余りを求めよ。
(2)３次方程式P(x)=0が１つの実数解と２つの虚数解をもつとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、虚数解をα=p+qi,β=p-qi(p・qは実数、q＞０、iは虚数単位)とする。q^2の最大値とそのときのaの値を求めよ。

(1)は解けたのですが、(2)(3)がどうしても、どうやって解いたらいいのか分かりません。２問も申し訳ありませんが、よろしくおねがいします。

No.1137 - 2008/06/16(Mon) 21:24:46

☆ Re: ３次方程式 / 魑魅魍魎

ヒントです。
(2)
P(x)=(x+1)(x^2+2(a+2)x+9)
なので
P(x)=0は
実数解x=-1を持つので
x^2+2(a+2)x+9=0
が2つの虚数解を持つことになります。なので判別式D＜0となれば２つの虚数解を持ちます。

No.1140 - 2008/06/16(Mon) 22:29:11

☆ Re: ３次方程式 / 礼花　高２

遅れてしまい、すみませんでした。

(2)はまずP(x)=x^3+(2a+5)x^2+(2a+13)x+9をx+1で割って、x^2+2(a+2)x+9)という商を出してから計算するんですね…。
-5＜a＜1という答えが出ましたし、(3)も何とか解くことが出来ました♪
魑魅魍魎さま、２問もありがとうございました。

No.1241 - 2008/06/22(Sun) 18:14:17

★ (No Subject) / 礼花　高２

こんばんは。いつもお世話になります。

AB=3,AC=5,cos∠BAC=1/3を満たす△ABCを底面とし、頂点をPとする四面体PABCが半径3の球面に内接している。
(1)辺BCの長さを求めよ。また、△ABCの外接円の半径を求めよ。
(2)点Pが球面上を動き、辺APの長さが最大となるとき、辺BPの長さを求めよ。
(3)点Pが球面上を動くとき、四面体PABCの体積の最大値を求めよ。

この問題の(2)(3)の解き方が全く分かりません。解説をよろしくお願い致します。

No.1136 - 2008/06/16(Mon) 21:13:55

☆ Re: / 魑魅魍魎

(2)
APの長さが最大になるときは半径3の球の中心を通るときなので
AP=6
また球の中心をQとすれば
AQ=BQ=AB=3より△ABQは正三角形となります。
よって∠QAB=60°
余弦定理よりBDが求まります。

(3)
Qを通り△ABCに垂直に降ろしたときの底面からの高さが最大になります。
Qを通り△ABCに垂直に降ろしたとき交わる点をTとすると
△TAQをみればTAは(1)で求めた外接円の半径であり、AQは球の半径3なので三平方の定理よりTQが求まります。
よって
V=(△ABCの面積×TP)/3

間違っていたらごめんなさい＞＜

No.1142 - 2008/06/16(Mon) 23:25:24

☆ Re: / 礼花　高２

ありがとうございます！
大変申し訳ないのですが、(2)がいまいちよく分かりません。
教えてもらう立場ですみませんが、もう少し教えて頂けないでしょうか？よろしくお願いします。

No.1147 - 2008/06/17(Tue) 00:44:14

☆ Re: / 魑魅魍魎

半径3の球の中心をQとします。
AとQを結ぶ直線が　球と交わる点をPで
そのときがAPの長さが最大となり、AP＝AQ+QP=3+3=6

また、AQ=BQ=AB=3より
AQ=BQ=AB=3より△ABQは正三角形となります。
よって∠QAB=60°

△ABPに余弦定理を用います
BP^2＝AB^2+AP^2－2AB×AP×cos60°

--------------------------------
最初に書いた説明で
『余弦定理よりBDが求まります。』
と書きましたが
『余弦定理よりBPが求まります。』
でした。

No.1152 - 2008/06/17(Tue) 02:12:27

☆ Re: / 礼花　高２

返信が遅くなってしまい、すみません。

(2)はBP=3√3，(3)15√2/2と、何とか答えが出ました。
魑魅魍魎さま、分かりやすく解説してくださって、本当にありがとうございました。本当に助かりました!!

No.1239 - 2008/06/22(Sun) 18:09:06

★ (No Subject) / 空

関数y=f(x)のグラフは座標平面で原点に関して
点対称である。
更にこのグラフのx≦0の部分は軸がy軸に平行で、
点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。
このときx=-1におけるこの関数のグラフの接線と
この関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

よろしくお願いします。

No.1135 - 2008/06/16(Mon) 20:38:44

☆ (No Subject) / ヨッシー

図のように、f(x) は
f(x)＝－ｘ²－ｘ　(ｘ≦0)
　　＝ｘ²－ｘ　　(ｘ＞0)
と表せます。
ｙ＝－ｘ²－ｘを微分して、
　ｙ’＝－２ｘ－１
ｘ＝－１における接線の傾きは、ｙ’＝１より、
接線の式は、　ｙ＝ｘ＋１
これと、ｙ＝ｘ²－ｘとのｘ＞０における交点は
　ｘ²－ｘ＝ｘ＋１
より、ｘ＝1+√2
よって、求める面積は、
　∫_-1～0{ｘ＋１－(－ｘ²－ｘ)}dx＋∫_0～1+√2{ｘ＋１－(ｘ²－ｘ)}dx
で求められます。

No.1150 - 2008/06/17(Tue) 00:58:01

☆ Re: / 空

解けました。
ありがとうございます！

No.1159 - 2008/06/17(Tue) 20:16:58

★ (No Subject) / ミホ

arccosX/√（１+x＾２）+arctanX=π/２または-π/２
早い解答お願いします。

No.1126 - 2008/06/16(Mon) 09:47:39

☆ Re: / 雀

自信ないですが、
arccosx/√(1+x2)＝α
arctanx＝β
とおくと
x/√(1+x2)=cosα
x=tanβ
この二式から
cosα＝sinβ

sin(π/2-α)=sinβ
より
π/2-α＝β　→α+β=π/2
つまり
arccosx/√(1+x2)+arctanx＝π/2

-π/2にはならなかったのですが。

No.1130 - 2008/06/16(Mon) 17:33:59

☆ Re: / X

別解1)(かなり煩雑です)
arccos{x/√(1+x^2)}+arctanx=θ
と置くと加法定理により
sinθ={sin[arccos{x/√(1+x^2)}]}cos(arctanx)
+{x/√(1+x^2)}sin(arctanx) (A)
ここで
0≦arccos{x/√(1+x^2)}≦π (C)
ですので
sin[arccos{x/√(1+x^2)}]=√{1-{x/√(1+x^2)}^2}
=1/√(1+x^2) (B)
又
-π/2より
cos(arctanx)>0
∴cos(arctanx)=1/√(1+x^2) (D)
更に(C)'より
x≧0のとき
sin(arctanx)=1/√(1+1/x^2) (E)
x<0のとき
sin(arctanx)=-1/√(1+1/x^2) (F)
ですが(E)(F)いずれの場合も
sin(arctanx)=x/√(1+x^2) (F)'
(B)(D)(F)'から(A)は
sinθ=1/(1+x^2)+(x^2)/(1+x^2)=1
(C)(C)'から
-π/2<θ<3π/2
ですので
θ=π/2
となります。

別解2)
f(x)=arccos{x/√(1+x^2)}+arctanx
と置くと
f'(x)=0 (自分で確かめてみて下さい)
ですので
f(x)=C
(Cは実数の定数)
ここで
f(0)=π/2
ですので
C=π/2
よって
f(x)=π/2
となります。

いずれの場合も
arccos{x/√(1+x^2)}+arctanx=-π/2
とはならないようです。

No.1134 - 2008/06/16(Mon) 20:12:52

☆ Re: / ミホ

解答ありがとうございます。
自分の答えもarccos{x/√(1+x^2)}+arctanx=-π/2
になりませんでした。
みなさんのおかげでなんとか今日課題の発表ができます。
ありがとうございました。

No.1158 - 2008/06/17(Tue) 11:01:18

★ ヒント / Jez-z

空間に3点A(1,0,1),B(2,2,-1),C(1,-3,5)と原点Oを通りベクトル↑u=(0,2,1)に垂直な平面πがある。また、平面ＡＢＣ上で∠BACの二等分線とする直線をlとする。lとπの交点Ｐの座標を求めよ。

という問題で、特に、↑u=(0,2,1)に垂直な平面πを３つの一次独立なベクトルで表したいのですがどのようにすればもとまるのでしょうか？（この方針でいけば解けますよね？）

よろしくお願いします。

No.1116 - 2008/06/15(Sun) 19:15:20

☆ Re: ヒント / X

平面ですので、一次独立なベクトルは二つで十分です。

π上の点をP(x,y,z)とすると、πの方程式は
↑u・↑OP=0
∴2y+z=0
これよりz=-2y
よって
↑OP=(x,y,-2y)
∴↑a=(1,0,0),↑b=(0,1,-2)
と選ぶと
↑OP=x↑a+y↑b
となります。

>>この方針でいけば解けますよね？
大丈夫ですよ。

No.1118 - 2008/06/15(Sun) 20:31:43

★ 円と直線 / GURURU

連続ですみませんがお願いします。

座標平面上に2点A（2,3）、B（4,1）と直線L：y=(t+1)x-tがある。ただし、tは実数の定数とする。
（１）Lはtの値によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。
（２）2点A、Bを直径の両端とする円をCとする。CとLが接するとき、tの値を求めよ。

No.1110 - 2008/06/15(Sun) 14:31:58

☆ Re: 円と直線 / 魑魅魍魎

ヒントです。
(1)
y=(t+1)x-t
⇒y-x+t(x-1)=0
左辺がtの値によらず0になるにはどうすればよいか考えてみてください。

(2)面倒かもしれませんが、
円Cの方程式を求め、y=(t+1)x-tを代入します。
CとLが接するので、代入した式の判別式=0となります。

もっと楽な方法があるかもです。。。。

No.1111 - 2008/06/15(Sun) 16:13:48

☆ Re: 円と直線 / にょろ

(1)に関してはこんな感じです。
上と同じかどうかわかりませんが…

（１）Lはtの値によらず定点を通る。この定点の座標を求めよ。
→とりあえず、tに何入れてもいいんだったら具体的に入れよう
→二本あればその定点の候補がでてくるはずだ
→計算しやすい値をtに代入
→それが実際に定点かを調べればいい

と、定期テストでやって
吟味の上で○（と書いてあった）をもらったいい思い出があります。

No.1113 - 2008/06/15(Sun) 18:08:17

☆ Re: 円と直線 / GURURU

(1)は特に参考になりました。式をtでくくればよかったみたいですね。
y-x=0、x-1=0ということでいいんですよね？

(2)は円の方程式を求めてみて、グラフを書いてみて思ったのですが、点と直線の距離を利用して解けないでしょうか。

No.1124 - 2008/06/16(Mon) 01:50:33

☆ Re: 円と直線 / 魑魅魍魎

(2)は点と直線の距離を使って解けますね。こっちの方が楽ですね。
(1)はy-x=0、x-1=0でOKです。

No.1127 - 2008/06/16(Mon) 11:32:25

☆ Re: 円と直線 / GURURU

ありがとうございます。

No.1138 - 2008/06/16(Mon) 21:52:36

★ 確率 / GURURU

点Oを中心とする円に内接する正六角形ABCDEFがある。
1から6までのカードが一枚ずつ6枚ある。
このカードをこの正六角形の各頂点に無作為に一枚ずつ置く。
（１）Oを通る3本の対角線の両端に置かれたカードに書かれた数の和が７になる確立を求めよ。
（２）Oを通る3本の対角線の両端に置かれたカードに書かれた数の和がいずれも奇数になる確率を求めよ。

考え方も含めて、どのように解答すればよいか教えてください。お願いします。

No.1109 - 2008/06/15(Sun) 14:21:12

☆ Re: 確率 / rtz

確率の分母に関してはすぐ出せるかと思うので、分子の方を。

(1)
さいころと同じく、1<->6、2<->5、3<->4です。
つまり、適当な頂点に1を置けば、6の位置も勝手に決まります。
残った4頂点に適当に2を置けば、5も決まります。
残った2頂点のどちらかに3を置けば、4も決まります。

(2)
和が奇数になるのは偶数＋奇数 or 奇数＋偶数のときです。
ちょうど3つずつあるのでペアが3つ出来ます。
Aに適当な数字を入れれば、それと偶奇が違う3つの数字から1つ選んでDに入れればよいです。
残った4つの数字から適当なものをBに入れれば、それと偶奇が違う2つの数字から1つ選んでEに入れればよいです。
残った2つの数字どちらかをCに入れれば、それと偶奇が違う数字が残りますからFに入れればよいです。

No.1112 - 2008/06/15(Sun) 16:21:20

☆ Re: 確率 / にょろ

(1)で少し思ったのが
一つでも7になるペアがあればいいのか
全部7でなければいけないのか
どっちなんでしょう？
(2)から全部なのかな～と思いつつ

No.1114 - 2008/06/15(Sun) 18:45:44

☆ Re: 確率 / GURURU

ありがとうございます。
模試や試験などで回答するときはどのように書けばよいのでしょうか。説明（文章）と式の書き方というか…

No.1117 - 2008/06/15(Sun) 19:52:11

☆ Re: 確率 / rtz

＞にょろさん
確かにわざわざ"何れも"が抜いてあるのは変といえば変ですね。
まぁ3つとも7のつもりだとは思いますが。

＞GURURUさん
私のやり方を踏まえるなら、
「数の和が7になるのは、1と6、2と5、3と4の場合であり、
一方の位置が決まれば、他方は対角線を挟んで反対側になる。
まず1を適当な頂点に置くのが6通り、すると6は位置が決まるので1通り。
次いで2を残った4頂点から適当に置くのが4通り、すると5は位置が決まって1通り。
最後に3を残った2頂点どちらかに置くのが2通り、すると4は位置が決まって1通り。
よって題意を満たすのは～通りあり、数字の置き方自体は～通りあるので、題意を満たす確率は～」
とかそんな感じです。

他のやり方としては
「(7になる組み合わせの部分同じ)
一方、対角線はAD、BE、CFの3本ある。
これらを16、25、34の何れかに当てはめるのが3!通りあり、
それぞれについて、数字をどちらの頂点におくか2通りずつ選べるので、(確率の計算部分同じ)」
など。

(2)もこんな感じで。
とりあえず自分で書いてみてください。
言葉にしにくい部分もするように頑張ってみてください。
書く練習をしないと全然書けないままになってしまうので。
簡単に表現できるとか、すっきりしてるとかは二の次です。
まずは長ったらしくてもいいので。

No.1119 - 2008/06/15(Sun) 20:48:31

☆ Re: 確率 / GURURU

（１）は”いずれも”を書き忘れていました。すみません。

がんばって自分でも書いて練習してみます。
ありがとうございました。

No.1123 - 2008/06/16(Mon) 01:25:35

★ 最大値 / Jez-z

a>0とする。f(x)=│x^3-3a^2x│の0≦x≦1における最大値を求めよ。という問題で、

答が-3a^+1または2a^3または3a^2-1になったのですが、間違っている気がしてなりません。

ちょっと見てもらえませんか？お願いします。

No.1098 - 2008/06/14(Sat) 15:23:33

☆ Re: 最大値 / 魑魅魍魎

aがどのような場合のとき
答が-3a^+1または2a^3または3a^2-1になったのですか？

No.1099 - 2008/06/14(Sat) 15:44:30

☆ Re: 最大値 / Jez-z

それぞれ、順に
2a^2<0,a≦1≦2a^2,1<aのときです

よろしくお願いします

No.1100 - 2008/06/14(Sat) 17:49:39

☆ Re: 最大値 / 七

aの範囲が一部おかしいですね。
「0＜a＜1/2 のとき -3a^2+1，
1/2≦a≦1 のとき 2a^3，
1＜a のとき 3a^2-1」
が答になるように思います。

No.1101 - 2008/06/14(Sat) 18:46:59

☆ Re: 最大値 / Jez-z

自己解決しました。ありがとうございます。

No.1102 - 2008/06/14(Sat) 22:21:33

☆ Re: 最大値 / ioo

> 自己解決しました。
質問して回答を得ておきながら「***自己***解決」というのは、回答をくれた人に対して「おまえらの回答は自分の疑問の解決に一切役立たなかったぞ」と宣言するようなものなので、それが万が一本当に事実だったとしても言うべきではないでしょう。

No.1104 - 2008/06/15(Sun) 04:25:56

☆ Re: 最大値 / ヨッシー

頂いたアドバイスやヒントをもとに、自分で考えたら解けた、
という意味で使われたと思います。

一方、「自己解決」という言葉から、そういう印象を受ける方も
おられると言うことは、これを機に、認識しておかれると良いでしょう。

No.1108 - 2008/06/15(Sun) 10:34:41

☆ Re: 最大値 / Jez-z

了解しました。マナーを教えていただきありがとうございます。

No.1115 - 2008/06/15(Sun) 19:10:56

★ 順列と組み合わせ / 数学苦手

(1)nC2=10
(2)nCn-2+nCn-1=21　　次の等式を満たすnの値をそれぞれ求めよという問題なのですが解き方がわかりません。教えてください。宜しくお願いします。

No.1095 - 2008/06/13(Fri) 23:54:45

☆ Re: 順列と組み合わせ / ヨッシー

(1)公式通りやると、
　nＣ2＝n(n-1)/2
なので、
　n(n-1)/2＝10
より
　n^2-n-20=0
　(n-5)(n+4)=0
　n=5, -4
ｎ＞０より、ｎ＝５
(2)
公式　_nＣ_r＝_nＣ_n-r より
　_nＣ_n-2＝_nＣ₂
　_nＣ_n-1＝_nＣ₁
となり、
　n(n-1)/2＋n＝21
　n^2+n-42=0
　(n-6)(n+7)=0
より
　n=6,-7
ｎ＞０より、n=6

No.1096 - 2008/06/14(Sat) 00:01:09

☆ Re: 順列と組み合わせ / 数学苦手

なるほど、そのようにして解くのですね。わかりやすい解説ありがとうございました。

No.1103 - 2008/06/14(Sat) 23:47:22

★ 数学的帰納法 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。
できるところまでやってみたので教えてください。

数学的帰納法を用いて次の等式を説明せよ。
(1)1・2＋2・3＋3・4＋・・・+n(n+1)=(1/3)n(n+1)(n+2)

n=1のとき
左辺=2 右辺=2よってn=1成り立つ

1・2＋2・3＋3・4＋・・・＋k(k＋1)=(1/3)k(k+1)(K+2)
と仮定する。

このあとn=k+1のとき
なぜn=k+1を代入しないで足すんですか？？

教えてください
よろしくおねがいいたｓます

No.1090 - 2008/06/12(Thu) 23:40:41

☆ Re: 数学的帰納法 / 魑魅魍魎

n=k+1のとき
左辺=1・2＋2・3＋3・4＋・・・+k(k+1)+(k+1)(k+2)

仮定より↑式は

1・2＋2・3＋3・4＋・・・+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=(1/3)k(k+1)(K+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(K+2){(1/3)k+1}
=(1/3)(k+1)(K+2)(k+3)

よってn=k+1のときも成り立つ。

No.1091 - 2008/06/13(Fri) 00:02:53

☆ Re: 数学的帰納法 / にょろ

↑ので証明は大丈夫ですが

桜さんの疑問の答え

どちらでも結局かわらないからかと

だって、定義式の左辺にk+1を代入するのも
左辺に足すのも同じことでしょ？

No.1092 - 2008/06/13(Fri) 00:38:51

☆ Re: 数学的帰納法 / s0

むしろ、「証明の文章は堅苦しいかもしれないけれどもラフに言えば

> だって、定義式の左辺にk+1を代入するのも
> 左辺に足すのも同じことでしょ？

という理屈を書いてあるのだ」と言ったほうがいいかもしれませんね。

数学的帰納法の二段目には、「n=k の場合が正しいときにはどんなことが言えるか」ということが書いてあります。このとき、n=k+1 のときはまだ正しいかどうか分らないので代入してもわからないまま、つまり全然意味がありません。そこでは「これは n=k+1 とした場合と同じだ」ということを結論として述べたいのです。そして、そのときに使える材料（つまり仮定）は n=k のときの式（←これが正しい場合だけを考えているので使っていいわけです）と、一般に成り立つ事実だけです）。「仮定」から「結論」を理詰めで導かないといけません。n=k+1 を代入するのは示すべき結論を仮定することであり、理屈として正しくありません。

No.1094 - 2008/06/13(Fri) 22:07:20

☆ Re: 数学的帰納法 / 桜　高校2

お返事おくれてすみません。
とっても参考になりました！！☆
ありがとうございましたo

No.1248 - 2008/06/22(Sun) 19:13:59

★ 平面図形で・・・。 / さくら（高１）

初めまして、こんばんは。
平面図形で分からない
問題が出てきたので質問させて
下さい。

△ＡＢＣの内接円の辺ＡＢと
接する点をＰとする。
ＡＢ＝１４、ＢＣ＝１５、ＣＡ＝１１
の時、線分ＢＰの長さを求めよ。

というものです。
考えても解き方が分からないので、
よろしくお願いします。

No.1086 - 2008/06/12(Thu) 19:27:03

☆ Re: 平面図形で・・・。 / ヨッシー

図のように、各接点をＰ、Ｑ、Ｒとし、
ＢＰ＝ＢＱ＝ｘ、ＡＰ＝ＡＲ＝ｙ、ＣＱ＝ＣＲ＝ｚ
とすると、
　ｘ＋ｙ＝１４
　ｘ＋ｚ＝１５
　ｙ＋ｚ＝１１
全部足して２で割ると、
　ｘ＋ｙ＋ｚ＝(14+15+11)÷2＝20
　ｘ＝(ｘ＋ｙ＋ｚ)－(ｙ＋ｚ)＝20－11＝9
ちなみに、ｙ＝５，ｚ＝６です。

No.1087 - 2008/06/12(Thu) 19:44:46

☆ Re: 平面図形で・・・。 / さくら（高１）

丁寧に教えていただき、
ありがとうございます!!
図もあって分かりやすかったです。
そうやれば解けるんですね!
今度は自力で頑張ってみますね。
それでは本当にありがとうございました。

No.1088 - 2008/06/12(Thu) 20:17:02

★ 証明したい… / Jez-z

いろいろ、式をいじくっているうちに次のような事実を発見しました。（事実は言いすぎかもしれません、「予想」に過ぎないので）
整式P(x)を整式Q(x)で割りきれる
⇔P(x)-Q(x)がQ(x)で割りきれる。
（具体例）
9は3で割り切れる
⇔9-3=3*2

x^2+2x+1はx+1で割り切れる
⇔x^2+2x+1-(x+1)=x*(x+1)

このことを、一般に証明したいのですが、どのようにすれば証明できるのでしょうか？どなたか指針を提示していただけませんか？
ご指導、よろしくお願いします。

No.1079 - 2008/06/11(Wed) 20:03:33

☆ Re: 証明したい… / ヨッシー

ＡがＢで割り切れるということは
　Ａ＝Ｃ×Ｂ
と書けるＣがあるということです。
（整数の話ならＣは整数ですし、整式の話ならＣは整式です)
このとき、
　Ａ－Ｂ＝ＣＢ－Ｂ＝（Ｃ－１）Ｂ
と書けるので、・・・

No.1080 - 2008/06/11(Wed) 20:15:25

☆ Re: 証明したい… / Jez-z

それで、証明できますね！
ちなみに、上の考え方って役に立つ（利用するときある）ものなのですかね？
上で求めたことを利用するような問題ありましたら教えて（紹介して）いただけませんか？（虫のよい話ですいません）

No.1084 - 2008/06/11(Wed) 21:24:03

☆ Re: 証明したい… / ヨッシー

ｎの倍数と、別のｎの倍数の和は、ｎの倍数である。
　Ａｎ＋Ｂｎ＝（Ａ＋Ｂ）ｎ
これって、分配法則や、因数分解と同じですね。

No.1085 - 2008/06/11(Wed) 22:47:53

☆ Re: 証明したい… / にょろ

与えられた式をいじくるのって楽しいですよね。
特に教科書のはうまく数選んでるから少しでも数かえると
下手すると一学年どころか進学するぐらいの勢いで複雑になりますよね。
特に小学校の問題は「-」がないから特に顕著で

No.1093 - 2008/06/13(Fri) 00:44:14

★ 実数 / シャイア（高一）

こんにちは。　スイマセン、また分からない問題が出来てしまって…。

問題：√2／√2-1の整数部分をa、小数部分をbとする。次の値を求めよ。

1、a

3、a+b+b^2

解き方がさっぱり分かりません。
お願いしますm(_　_)m

No.1075 - 2008/06/11(Wed) 17:45:07

☆ Re: 実数 / ヨッシー

√2/(√2-1) だと勝手に解釈します。
普通にやったのでは、ａ＝ｂ＝０ですから。

√2≒1.4 なので、
　√2/(√2-1)≒1.4/0.4＝3.5
より、ａ＝３です。もとの、√2/(√2-1) からａを引いたものがｂです。
　ｂ＝√2/(√2-1)－３＝{√2－3(√2-1)}/(√2-1)
　　＝(3－2√2)/(√2-1)＝(3－2√2)(√2＋1)
　　＝√2－１

ちなみに、もとの数も、
　√2/(√2-1)＝√2(√2+1)＝２＋√2
と、有理化しておけば、a+b+b^2 の計算が楽でしょう。

　　

No.1076 - 2008/06/11(Wed) 17:53:23

☆ Re: 実数 / シャイア（高一）

ありがとうございます!!
√2/(√2-1)はaとbだから、√2/(√2-1)からaをひいたらbが出るんですね～！
二つ目の問題は有理化して計算すると5-√2でＯＫですよね？

No.1077 - 2008/06/11(Wed) 18:20:04

☆ Re: 実数 / ヨッシー

5-√2でＯＫです。

No.1081 - 2008/06/11(Wed) 20:17:00

☆ Re: 実数 / シャイア（高一）

ありがとうございます!!
明日、数学のテスト頑張ります！

No.1082 - 2008/06/11(Wed) 20:31:42

★ 十分条件 / Jez-z

実数x,yに対して２つの条件
p:│x+y│+│x-y│≦2
q:x^2+y^2≦r^2
がある。rは正の整数とする。
このとき、pがqであるための十分条件を求めよ。

というものなのですが、pのあらわす図形が分からないので行き詰ってしまいました。（絶対値が２つあるので、4つに場合分けして「または」で結んだのですが、とりとめのない図形で収拾がつかなくなってしまいました）

ご指導ください。よろしくお願いします。

No.1067 - 2008/06/10(Tue) 21:42:20

☆ Re: 十分条件 / 七

│x+y│+│x-y│≦2
x＋y≧0，x－y≧0
つまり y≧－x，y≦x のとき x≦1
x＋y≧0，x－y＜0
つまり，y≧－x，y＞x のとき y≦1
x＋y＜0，x－y≧0
つまり y＜－x，y≦x のとき y≧－1
x＋y＜0，x－y＜0
つまり y＜－x，y＞x のとき x≧－1

No.1069 - 2008/06/10(Tue) 22:07:21

☆ Re: 十分条件 / Jez-z

ありがとうございます。

No.1078 - 2008/06/11(Wed) 19:55:49

★ (No Subject) / シャイア（高一）

すいません、もう一問質問させてもらいます。

この問題を解いてみたのですが、解き方が間違っていたみたいで答えが合いませんでした。

問題：0,1,2,3,4,5の6個の数字を1個ずつ使って3桁の数をつくる。次のような数は何個作れるか。

1、0を含む数
　　　百の位が0以外数の5通り
　　　十の位は0を含む、百の位の数を除いた数の5通り
　　　一の位は0を含む、百・十の位の数を除いた数の4通り
　…として、5×5×4＝100個としたのですが、答えは20通りで間違えてしまいました。

2、偶数
　答え：52個

3、300より小さい数
　答え：40個

2・3も1と同じように解いてみたのですが、間違えていました。

正しい解き方を教えて下さい。
よろしくお願いしますm(_　_)m

No.1061 - 2008/06/10(Tue) 17:52:44

☆ Re: / シャイア（高一）

すいません、ちなみに順列です。

No.1062 - 2008/06/10(Tue) 17:54:18

☆ Re: / 七

1、0を含む数
0は十の位か一の位の2通り，そのそれぞれについて残りの2カ所に1～5を適当に入れればいいので
2･5･4＝40 個ではありませんか？
2、偶数
偶数になるのは一の位が0，2，4になるときですが
一の位が0になるときと，一の位が2，4になるときであとの計算が変わってきます。

3、300より小さい数
百の位が1か2であればいいですね。

No.1063 - 2008/06/10(Tue) 18:51:40

☆ Re: / シャイア（高一）

ありがとうございます！

１は、確かに40個でした^^；　スイマセンでした・・・。
１って、0は十・一の位のどちらかに入れることが出来るから、
2Ｐ1で2で、残りの2カ所に1～5を入れるから、5Ｐ2で5・4で、この2つをかけて2・5・4＝40個・・・ということですよね？？

２は、一の位が0のときは1Ｐ1で１で、残りの2ヵ所に1～5を入れることが出来るから、
5Ｐ2で5・4だから、この2つをかけて1・4・5＝20個。
一の位が2，4のときは2Ｐ1で2で、残りの2ヵ所は百の位は1～5で十の位は0と百の位で選んだ数を除いた数0（5通り）この3つをかけて2・5・5＝50個。
20+50＝70個・・・でOKなんでしょうか？

３は、百の位が1のとき1Ｐ1で１で、残りの2カ所は0～5を入れることが出来るから、
6Ｐ2で6・5で、この2つをかけて1・6・5＝30個。
百の位が2のとき2Ｐ1で2で、残りの2ヵ所は0～5を入れることが出来るから、
6Ｐ2で6・5で、この2つをかけて2・5・6＝60個。
30+60＝90個でOKですか？？

長くなってしまってスイマセンm(_　_)m

No.1065 - 2008/06/10(Tue) 20:52:06

☆ Re: / 七

２
例えば，一の位が2のときは
残りの0，1，3，4，5
のうち百の位には0以外の4通り，
そのそれぞれについて十のくらいのは残りの4通りずつ
1･4･4＝16 通り
一の位が4のときも同様だから
20＋16･2＝52 個

３
百の位が1のとき，残りの2カ所は0，2，3，4，5を入れることが出来るから、
5Ｐ2で 1・5・4＝20個
2のときも同様
20･2＝40個
です。

No.1066 - 2008/06/10(Tue) 21:22:56

☆ Re: / シャイア（高一）

あっ、そうなんですか！
ありがとうございます^^
明日の数学のテスト頑張ります!!

No.1074 - 2008/06/11(Wed) 17:29:23