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★ 感動！三次方程式一般解 / おジン
はじめまして。67歳です。若いときから三次方程式にも、二次方程式にような一般解があると聞いていました。最近貴兄ののホームページを拝見、驚きました。間違いの難路を克服して、数式を展開、例題にやっと答にたどり着きました。本当に人間の知恵は、すばらしいですね。

それからこの解法はカルダノさんが発見したのですか。いえ、複素数なんか使っておられるので、あのころにもすでにあったのですか。できれば、面白い数学史などもし迂回してください。感動ありがとうございました。
No.783 - 2008/05/21(Wed) 03:28:55
☆ Re: 感動！三次方程式一般解 / ヨッシー
Wikipedia によると、
「三次方程式の解を示す際に世界ではじめて虚数の概念を導入したのはカルダーノである。」
となっています。
解法発見については、一波乱あったようです。
Wikipedia はこちら
No.791 - 2008/05/21(Wed) 13:01:35
☆ Re: 感動！三次方程式一般解 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
http://www.kyouiku.tsukuba.ac.jp/~miya/HomePage/cardano.html
　↑
このようなサイトを見つけました。
No.803 - 2008/05/22(Thu) 14:57:47
★ 中学入試問題？ / ひょうたんマニア
こんにちは、はじめまして。

早速ですが、この間某巨大掲示板に出ていた問題について算数で解いてみたのですが、
正解との間に若干の差が出てしまいました。
これは、無理数の四則演算を何回かすれば生じる誤差の範囲でしょうか？
それとも、どこか明らかに間違っているでしょうか？
問題は、以下のURLにちょうど載っていたので、リンクをはらせていただきます（ごめんなさい）．

http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/area/area.html

算数で解いた場合：約14.25㎠
　　　　　　正解：約14.63㎠

それと、管理人様、すみませんが、パスワードの設定をし忘れたので削除が出来なくなった下の記事を削除お願いします．
No.782 - 2008/05/21(Wed) 02:49:32
☆ Re: 中学入試問題？ / らすかる
算数では解けませんので多分解き方が間違っているものと思いますが、
どのように解いたのですか？
No.784 - 2008/05/21(Wed) 04:56:26
☆ Re: 中学入試問題？ / ひょうたんマニア
文章では、ではうまく説明できにくいのですが、上のリンク先の図でいえば、半径５?aの円の方を、正方形の対角線に沿って右斜め下４５°向きにずらしていくと、ちょうど左上の円と扇形が接するとき、右斜め下部分の円と正方形がきっちり一致します．つまり、そのとき、右下部分に正方形からはみ出たかまぼこの断面状の図形が２つできる事になります．その2つの図形の面積の和はリンク先の図の赤色部分（三日月部分）の面積と等しいので、

(5×5×π÷4-5×5÷2)×2＝25(π/2-1)≒14.25㎠

として解いたのですが…。
No.787 - 2008/05/21(Wed) 08:52:50
☆ Re: 中学入試問題？ / らすかる
＞その2つの図形の面積の和はリンク先の図の赤色部分（三日月部分）の面積と等しいので

これが誤りです。等しくありません。
No.789 - 2008/05/21(Wed) 09:39:33
☆ Re: 中学入試問題？ / ひょうたんマニア
なるほど。
つまらないミス（思い込み）でした．
No.790 - 2008/05/21(Wed) 11:00:29
★ ２次方程式 / 礼花　高２
こんばんは。

次の条件を満たすような、定数ｍの値を求めよ。また、２つの解を求めよ。
(３)2次方程式x^2-2mx+m^2+2m+3=0の2つの解の差が2である。
この問題を、
2つの解をα、α＋2とすると、解と係数の関係よりα+(α+2)=2ｍ…☆、α(α+2)=m^2+2m+3…★と式を立て、
☆より2α=2m-2、★よりα^2+2α=m^2+2m+3、
…と、ここまではできたのですが、どうしてもここから先が分かりません。よろしくお願いします。
No.778 - 2008/05/21(Wed) 00:34:11
☆ Re: ２次方程式 / 成瀬
そこまで出来ているのでしたらもう一歩です。
☆より、α = m - 1 ですのでこれを★に代入して
　　(m - 1)2 + 2m - 2 = m2 + 2m + 3
　　⇔ m = - 2
を得ます。
なので、これより、αが得られますね。
No.779 - 2008/05/21(Wed) 00:46:08
☆ Re: ２次方程式 / 礼花　高２
返信遅くなってしまって、申し訳ありませんでした。

代入するんですね…！
成瀬さま、とても分かり易く解説してくださって、ありがとうございました。
No.822 - 2008/05/25(Sun) 21:32:13
★ 無理数の証明 / アゲ
√5＋√7は無理数であることを示せ｡ただし、√5，√7は無理数であることをもちいてよい。

よくわかりません…
お願いします！
No.773 - 2008/05/20(Tue) 22:52:34
☆ Re: 無理数の証明 / ヨッシー
√5＋√7＝m (m は有理数) とおくと、
　√5＝m−√7
二乗して
　5＝m^2＋7−2m・√7
　2m・√7＝m^2＋2
m＝０ではあり得ないので、両辺2mで割って、
　√7＝(m^2＋2)/2m
左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾します。

※有理数同士の四則演算は有理数になることを、既知のこととしています。
（ただし、０で割ることを除く)
No.777 - 2008/05/20(Tue) 23:43:20
☆ Re: 無理数の証明 / らすかる
別解
√5+√7=m（mは正の有理数）とおいて両辺に√5-√7を掛けて整理すると
√5-√7=-2/m となるが、この2式を足して両辺を2で割ると
√5=m/2-1/m=(有理数) となり、√5が無理数であることと矛盾。
No.785 - 2008/05/21(Wed) 07:04:56
★ 因数分解 / テスト間近の高一……
たびたびすみません。
数学?Tの因数分解です。
x^2-(y+z)^2

とても不明です。
詳しく解説よろしくお願いします＾＾
No.769 - 2008/05/20(Tue) 21:42:15
☆ Re: 因数分解 / X
因数分解の公式
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
を使いましょう。
No.770 - 2008/05/20(Tue) 21:58:27
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
A=y+z とおくと
　x^2-(y+z)^2＝x^2−A^2
すると、2乗−2乗 の公式が使えます。
No.771 - 2008/05/20(Tue) 21:59:29
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
返答有難う御座います＾＾

答えは
(x-y+z)^2ですか？
No.772 - 2008/05/20(Tue) 22:18:47
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
因数分解の答え合わせは簡単です。
展開して、元の式になればいいのです。
が、
(x-y+z)^2＝x^2+y^2+z^2-2yz+2zx-2yx
一方、
x^2-(y+z)^2＝x^2-y^2-z^2-2yz
で、違うことが分かります。

A=y+z とおくと
　x^2-(y+z)^2＝x^2−A^2
　＝(x-A)(x+A)
のA を y+z に戻すと？
No.775 - 2008/05/20(Tue) 23:31:38
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
めちゃくちゃわかりました＾＾
これでテストのりきれそうです＾＾
有難う御座います＾＾
No.800 - 2008/05/22(Thu) 12:17:50
★ こんばんは / 真由音
　こんばんは。センター形式の問題です。

aを実数の定数とする。2次方程式x^2+2(a-1)x-2(a-1)=0が虚数解をもつようなaの値の範囲は
　　　　−1＜a＜1

であり、このとき、この方程式の解の３乗がいずれも実数になるようなaの値は

　　　　　a=[エ]/[オ]である。


という問題なんですが、虚数解もつaの値の範囲は、判別式を使って求めることができました。

次の方程式の解の３乗がいずれも実数になるようなaの値の解き方が分かりません。

教えてください。お願いします。
No.765 - 2008/05/20(Tue) 19:23:45
☆ Re: こんばんは / X
x^2+2(a-1)x-2(a-1)=0 (A)
とします。
題意から(A)の解について
x^3=A^3 (B)
なる実数Aが存在しなければなりません。
(B)より
(x-A)(x^2+Ax+A^2)=0
ここでxは実数ではありませんのでx≠A
∴x^2+Ax+A^2=0 (C)

さて、係数が実数である二次方程式の解の1つが複素数zの場合、
その二次方程式はzの共役複素数も解に持たなければなりません。
従って(A)の解の1つが(C)の解である場合、他の(A)の解も
(C)の解となりますので、(A)(C)は等価でなければなりません。
このことから係数比較により、a,Aについての連立方程式を立てましょう。
No.767 - 2008/05/20(Tue) 21:30:00
☆ Re: こんばんは / 真由音
どうして、題意から(A)の解について
x^3=A^3 (B)
なる実数Aが存在しなければならないんでしょうか？


No.776 - 2008/05/20(Tue) 23:36:52
☆ Re: こんばんは / X
問題の二次方程式の解をxとするとx^3が実数ですので
x^3=u
(uはある実数)
と表すことができます。
ここで
u=A^3
(Aは実数)と置き換えると
x^3=A^3
となります。
No.788 - 2008/05/21(Wed) 08:57:25
☆ Re: こんばんは / ToDa
とりあえずこういう解き方も。六次方程式は見かけだけです。

元の二次方程式の2解をp,qとすると、解と係数の関係より
p+q = pq = -2(a-1) (=tとおく)

さて、p^3,q^3がともに実数である条件を求める。
二次方程式(x-p^3)(x-q^3) = 0の2解がともに実数であればよいから、
判別式:
(p^3 + q^3)^2 - 4(pq)^3
={(p+q)(p^2 - pq + q^2)}^2 - 4(pq)^3
=[(p+q){(p+q)^2 - 3pq}]^2 - 4(pq)^3
={t(t^2 - 3t)}^2 - 4t^3
=t^3(t-1)^2(t-4)≧0

∴t≦0 or t=1 or t≧4
このうち-1<a<1をみたすものは…
No.794 - 2008/05/21(Wed) 17:05:04
☆ Re: こんばんは / 真由音
　こんばんは。

Ｘ先生、細かいところまで教えていただき、ありがとうございました！

ＴｏＤａ先生、別解を教えていただき、ありがとうございました！参考にさせていただきます。
No.795 - 2008/05/21(Wed) 19:47:36
★ 対数関数 / 数学苦手
a,bを正の整数とする。a^2が7桁、ab^3が20桁の数とするときa,bはそれぞれ何桁の数となるか
No.757 - 2008/05/20(Tue) 18:08:47
☆ Re: 対数関数 / 数学苦手
教えてください。よろしくお願いします。
No.758 - 2008/05/20(Tue) 18:09:52
☆ Re: 対数関数 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
a^2が7桁だから、10^6≦ａ^2＜10^7
対数をとると(底10)　6≦2loga＜7
∴　3≦loga＜7/2・・・(1)　となり　10^3≦ａ＜10^3.5
よって　ａは４桁の数

ab^3が20桁だから、10^19≦ab^3＜10^20
対数をとって、19≦loga＋３logb＜20
(1)より　−7/2＜−loga≦−3　だから各辺足して
　　31/2＜３logb＜17
∴31/6＜logb＜17/3　となり　
10^5＜10^(31/6)＜ｂ＜10^(17/3)＜10^6
したがって、ｂは６桁の数となります。
No.763 - 2008/05/20(Tue) 19:15:12
☆ Re: 対数関数 / ヨッシー
ａがｍ桁とすると
　０＜10m-1≦ａ＜10m
より
　102m-2≦ａ2＜102m
ａ2 が７桁より
　106≦ａ2＜107
これらを比較すると、ｍ＝４

ｂがｎ桁とすると
　０＜10n-1≦ｂ＜10n
より
　103n-3≦ｂ3＜103n
これに、
　103≦ａ＜104
を掛けて、
　103n≦ａｂ3＜103n+4
これと
　1019≦ａｂ3＜1020
を比較して、
　ｎ＝６
答え、ａは４桁、ｂは６桁
No.764 - 2008/05/20(Tue) 19:15:32
☆ Re: 対数関数 / 数学苦手
解法を２つもありがとうございます。よく分かりました。
No.786 - 2008/05/21(Wed) 07:14:47
★ (No Subject) / 小6
すいません。もうひとつ、「ｆ（x）＝x^x」を微分するとどうなるんですか？
No.756 - 2008/05/20(Tue) 18:07:17
☆ Re: / 魑魅魍魎
f(x)=x^x
logf(x)=xlogx
これをxで微分してみてください。
No.760 - 2008/05/20(Tue) 18:46:01
★ (No Subject) / 小6
正17角形の作図が何故出来るか教えてください。
No.752 - 2008/05/20(Tue) 17:52:12
☆ Re: / 我疑う故に存在する我
正５角形が「何故」作図可能かは分かりますか？
正１５角形、正１６角形についてはどうですか？
No.768 - 2008/05/20(Tue) 21:37:28
☆ Re: / 小6
遅れてすいません。
それならわかります。
No.792 - 2008/05/21(Wed) 14:50:37
☆ Re: / 我疑う故に存在する我
どう答えていいか良く分かりませんが、
正５角形の場合、本に書いてある作図法が
ちゃんと正５角形の作図法になっている事を証明しなくてはなりません。

正１７角形の場合も同様です。

むしろ正９角形が作図できないことの方の証明が問題です。
正１７角形と合わせて、ガロア理論・群論と言った
高等数学が根拠になっています。
No.797 - 2008/05/21(Wed) 21:46:50
★ 因数分解 / テスト間近の高一……
数?Tの因数分解です。

x^3+3x^2-x-3
答え(x+3)(x+1)(x-1)

教えて下さい。
No.747 - 2008/05/20(Tue) 17:33:31
☆ Re: 因数分解 / ヨッシー
まず、因数定理で f(x)＝x^3+3x^2-x-3 に、
何を代入したらf(x)＝０ になるかを探します。
たとえば、f(1)＝０ が見つかったら、
x^3+3x^2-x-3 は (x-1) で割りきれますので、割ってみて、
　x^3+3x^2-x-3＝(x-1)(x^2+4x+3)
とし、次に、(x^2+4x+3) を因数分解します。
No.749 - 2008/05/20(Tue) 17:40:04
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
わかりました＾＾有難う御座います。

2(x+y)^2-(x+y)-3　答え(x+y+1)(2x+2y-3)

も教えて下さい。
No.754 - 2008/05/20(Tue) 17:55:46
☆ Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
x+y=A
とおくと
2A^2-A-3
となり、これを因数分解してみてください
No.755 - 2008/05/20(Tue) 18:01:09
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
2A^2-A-3がわかりません……
No.759 - 2008/05/20(Tue) 18:17:37
☆ Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
2A^2-A-3
＝(2A-3)(A+1)
なので
A=x+yを代入すると･･･
No.761 - 2008/05/20(Tue) 19:01:26
☆ Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
わかりました＾＾
有難う御座いました＾＾
No.766 - 2008/05/20(Tue) 21:29:39
★ (No Subject) / ラディン.ms
0°<θ<45°のとき　sinθcosθ=1/4を満たすθを求めよ。


よろしくお願いします。
No.742 - 2008/05/20(Tue) 16:47:40
☆ Re: / 魑魅魍魎
sin2θ＝2sinθcosθ
を使ってみてはどうでしょうか。
No.743 - 2008/05/20(Tue) 16:50:52
☆ Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。倍角公式を使えばよかったのですね……
No.744 - 2008/05/20(Tue) 17:01:38
☆ Re: / 魑魅魍魎
面倒ですが
sinθ+cosθ=A --------------(1)
と置く。
√2（sin(θ+π/4))=A＞０　(∵0°<θ<45°)

(1)の両辺を二乗すると
1+2sinθcosθ=A^2
sinθcosθ=(A^2-1)/2
なので
(A^2-1)/2＝1/4
A^2=3/2
A=√3/√2　(∵A>0)

√2（sin(θ+π/4))=√3/√2
⇒sin(θ+π/4)=√3/2
⇒θ+π/4=π/3
⇒θ=π/12
No.745 - 2008/05/20(Tue) 17:23:02
☆ Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。面倒くさそうですがやってみます。
No.746 - 2008/05/20(Tue) 17:25:14
★ (No Subject) / りょう
携帯からすいません。
今日テイラー展開を習いまして、そこで疑問に思ったことがあります。
0^0(ゼロのゼロ乗)=1というのはどうやって証明したらいいのでしょうか？？ 教えてください。
No.739 - 2008/05/20(Tue) 13:57:15
☆ Re: / 豆
極限値ですね。
x^x=e^(xlogx)→e^0=1　(x→+0)
No.740 - 2008/05/20(Tue) 14:47:56
☆ Re: (No Subject) / りょう
なるほど〜極限とか意外でした!!!
ありがとうございます!!!
No.741 - 2008/05/20(Tue) 16:15:35
★ 質問 / loof
携帯からは画像を添付出来ないんですか？
No.736 - 2008/05/20(Tue) 08:03:22
☆ Re: 質問 / ヨッシー
設定には、画像を添付出来る/出来ないの設定はありません。

画面にそういう欄がないならば、出来ないと考えざるを得ません。
私は、日本にいませんので確認出来ません。
他の方どうでしょう？
No.738 - 2008/05/20(Tue) 13:19:53
★ 整数問題 / loof
（1）（2）を詳しく解説してください。
No.733 - 2008/05/19(Mon) 23:49:07
☆ Re: 整数問題 / ヨッシー
(1)x=1 のとき
　1/2y＋1/3z＝1/3
両辺に6yzを掛けて、
　3z+2y=2yz
　2yz-2y-3z=0
これを、(2y＋･･･)(z＋･･･)＝　または　(y＋･･･)(2z＋･･･)＝
の形にすることを考えると、
　(2y−3)(z−1)＝3
　(y−3/2)(2z−2)＝3
が考えられますが、後者は、左辺の２つの()が整数とは限らないので、
考えにくいので、
　(2y−3)(z−1)＝3
を考えます。y,z は正の整数なので、左辺の()はともに正です。
この式を成り立たせるのは
　2y−3＝3, z−1＝1
または
　2y−3＝1, z−1＝3
のときで、それぞれ、
　y=3, z=2　および　y=2, z=4
となります。

(2)
1/2y 1/3z ともに、ｙやｚが１のときが最大になります。
このとき、
　1/x＝4/3−1/2−1/3＝1/2
より、ｘの最大値は２。
一方、ｙ、ｚが大きくなると、1/2y, 1/3z は０に近づくので、
　1/x＝4/3
より得られる　x=3/4 がｘが最小であり、整数では、x=1 が最小。
よって、ｘ＝１またはｘ＝２
No.734 - 2008/05/20(Tue) 00:30:10
★ 円の弧と弦の関係 / 北野新二
模型の電車を作るとき。車体の幅と丸い屋根の寸法が合わなくて困っています。
No.732 - 2008/05/19(Mon) 23:46:46
☆ Re: 円の弧と弦の関係 / ヨッシー
車体の幅が決まっているのは当然ですが、他に決まっているのは
盛り上がりの高さでしょうか？


図のように寸法が決まっていると、
r,d,r-h で直角三角形ができるので、
　r2＝(r-h)2＋d2
より、
　ｒ＝(h2+d2)/2h
と弧の半径が決まります。また、弧の中心角θは、
　θ＝2×cos-1{(r-h)/r}
となるので、弧の長さは、
　2rθ＝4rcos-1{(r-h)/r}
となります。
No.737 - 2008/05/20(Tue) 13:01:21
☆ Re: 円の弧と弦の関係 / らすかる
弧の長さは rθ=2rarccos{(r-h)/r} のような気がします。
No.748 - 2008/05/20(Tue) 17:36:10
☆ Re: 円の弧と弦の関係 / ヨッシー
そうですね。
らすかるさんの書かれた通りです。

円周の公式 2πr の連想から、余計な２を付けてしまいました。
No.750 - 2008/05/20(Tue) 17:41:37
★ (No Subject) / ひまわり
Q（有理数全体の集合）の2つのコーシー列｛an},{bn}について、
　
　（１）{an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
　（２）{an−bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。
という問題がわかりません。
教えてください。
お願いします。
No.731 - 2008/05/19(Mon) 21:46:01
★ (No Subject) / サッカー
ありがとうございました。
No.730 - 2008/05/19(Mon) 21:23:15
★ 連立方程式 / サッカー
A、B、C３人の貯金箱の合計は６５００円であるという。また、Aの貯金額の３倍はBの貯金額より６００円多く、Aの貯金額の８０％をCにあげると、Cの貯金額はBの貯金額より２６０円多くなるという。このとき、A、B、Cそれぞれの現在の貯金額を求めよ。　
　　　　　

　　答えはAが１２００円B３０００円C２３００円です。
No.727 - 2008/05/19(Mon) 18:09:21
☆ Re: 連立方程式 / 魑魅魍魎
「A、B、C３人の貯金箱の合計は６５００円であるという」
⇒A+B+C=6500

「Aの貯金額の３倍はBの貯金額より６００円多く」
⇒3A=B+600

「Aの貯金額の８０％をCにあげると、Cの貯金額はBの貯金額より２６０円多くなる」
⇒{A×8/10}+C=B+260

これらの連立方程式より求まります。
No.728 - 2008/05/19(Mon) 18:42:00
★ (No Subject) / 図形と式
中心（2,4）、半径5の円Cがy=x+kと異なる2点で交わるとき、その交点をそれぞれP,Qとするとき∠PBQ=60°となるkの値を求め三角形PBQの面積を求めよ。

よくわからないのでよろしくお願いします。。
No.708 - 2008/05/19(Mon) 00:23:39
☆ Re: / 図形と式
すいません点Ｂについての説明が抜けてました。。

点Ｂは円Ｃとｘ軸との交点のうちｘ座標の小さい点です
一応（−１、０）のはずです
No.709 - 2008/05/19(Mon) 00:36:15
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
y=x+k と中心Ｃ(2,4)との距離が 5/2のときに中心角∠ＰＣＱ＝120°となり、∠ＰＢＱ＝60　°となります。

x-ｙ+k＝0 と中心Ｃ(2,4)との距離が5/2だから
|2-4+k|/√2＝5/2
これを解けば、条件を満たすｋが求まります。

ｋが分かれば、Ｂ(-1,0)と x-ｙ+k＝0の距離が求まるので、ＰＱ＝√5だから 三角形PBQの面積が求まります。
No.729 - 2008/05/19(Mon) 18:50:34
☆ Re: / 図形と式
ありがとうございます

Ｋの値面積共に２つ別々の値でますよね？
No.735 - 2008/05/20(Tue) 01:32:27
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
はい。そういうことになりますね。
No.753 - 2008/05/20(Tue) 17:54:10
★ 積分 / 悩める学生
Tとαは定数とする。
(1)∫[0→T]a*sin^2(2πt/T+α)dt
(2)∫[0→∞]dt/(a^2+t^2)^3/2
(3)∫[0→π/2]sin^3θdθ
がわかりません。教えてください。
No.706 - 2008/05/18(Sun) 22:34:30
☆ Re: 積分 / type
(1)(3)は倍角, 3倍角で次数下げ
No.710 - 2008/05/19(Mon) 00:53:14
☆ Re: 積分 / 悩める学生
なるほどーやってみます。
２番はどうしたらいいですか？
No.712 - 2008/05/19(Mon) 01:14:18
☆ Re: 積分 / kei
t=atanxでおきかえ。
No.713 - 2008/05/19(Mon) 02:02:01
☆ Re: 積分 / 魑魅魍魎
横から失礼致します。
keiさんのヒントで
t=atanθと置いた場合の積分範囲はどのようになるのでしょうか？

私は次のように考えました。(自信ないですが。。。）
a>0のとき
a^2-2at+t^2 < a^2+t^2 < a^2+2at+t^2

(a-t)^3 < (a^2+t^2)^3/2 < (a+t)^3

1/(a-t)^3 > 1/(a^2+t^2)^3/2 > 1/(a+t)^3


∫[0→∞]dt/(a-t)^3 =1/(2a^2)

∫[0→∞]dt/(a+t)^3 =1/(2a^2)

よって
∫[0→∞]dt/(a^2+t^2)^3/2=1/(2a^2)
としました。a<0の場合も同様です。a=0のときも成り立つ
No.716 - 2008/05/19(Mon) 02:56:04
☆ Re: 積分 / りょう
２番は
t=acotθと置けばいいと、思ったけど、どうですか？？
No.717 - 2008/05/19(Mon) 07:59:35
☆ Re: 積分 / 豆
魑魅魍魎さんへ
＞t=atanθと置いた場合の積分範囲はどのようになるのでしょうか？
0→π/2　です。

＞∫[0→∞]dt/(a-t)^3 =1/(2a^2)
積分範囲にaを含んでいます。この変格積分は値を持ちません。
（意味のある議論かどうかは分かりませんが）仮に持ったとしても、
0→aとa→2aの値はキャンセルするので
残りの2a→∞の積分は負にならないと、おかしいですね。
No.718 - 2008/05/19(Mon) 09:18:39
☆ Re: 積分 / 魑魅魍魎
豆さんへ
t=atanθと置いたときの積分範囲は理解できました。


＞積分範囲にaを含んでいます。この変格積分は値を持ちません。（意味のある議論かどうかは分かりませんが）仮に持ったとしても、0→aとa→2aの値はキャンセルするので
残りの2a→∞の積分は負にならないと、おかしいですね。

ここの部分がわかりません＞＜
積分範囲にaを含んでいますというのはどういうことなのでしょうか？

あと、変格積分がどのようなものか知らなかったのでネットで調べてみました。
いまいち理解できなかったのですが、積分範囲が∞(−∞)の場合のこと････なのでしょうか･･･
No.720 - 2008/05/19(Mon) 10:23:07
☆ Re: 積分 / 成瀬
変格積分はいわゆる広義積分ですね。
積分区間が無限区間であったり、積分区間に被積分関数の特異点(発散してしまう点など)が含まれているときの積分のことです。

今、考えている積分区間は無限区間[0, ∞)で a ＞ 0 としているため、積分範囲に a が含まれます。

∫0∞ dt/(a - t)3 は豆さんの仰るとおり存在しないと思います。
No.721 - 2008/05/19(Mon) 10:58:47
☆ Re: 積分 / 魑魅魍魎
本当に申し訳ありませんが、

もしa=1なら
∫[0→∞] dt/(1 - t)^3
= {∫[0→1] dt/(1 - t)^3}+{∫[1→∞] dt/(1 - t)^3}

=[1/2(1-t)^2]{0→1} + [1/2(1-t)^2]{1→∞}
= ∞ -1/2 + 0 -∞

となり、∞-∞の計算ができないので
∫[0→∞] dt/(1 - t)^3は存在しないということなのでしょうか？
No.722 - 2008/05/19(Mon) 14:07:04
☆ Re: 積分 / 豆
∫[0→1] dt/(1 - t)^3+∫[1→∞] dt/(1 - t)^3
=lim[a→1-0]∫[0→a] dt/(1 - t)^3+lim[b→1+0,c→∞]∫[b→c] dt/(1 - t)^3
ということです。
それぞれが収束しなければ、値を持ちません。
No.723 - 2008/05/19(Mon) 15:04:10
☆ Re: 積分 / 魑魅魍魎
わかりました！
皆様ありがとうございました。

悩める学生さん、横から申し訳ありませんでした。
No.724 - 2008/05/19(Mon) 15:29:16
☆ Re: 積分 / 悩める学生
いえいえ、俺も分からなかったので、勉強になりました。
ありがとうございました。
No.725 - 2008/05/19(Mon) 16:28:10
☆ Re: 積分 / 豆
解決したようですが、(2)はtanの置換以外に次の方法もあります。
∫dt/(a^2+t^2)^(3/2)=(1/a^2)∫(a^2+t^2-t^2)dt/(a^2+t^2)^(3/2)
=(1/a^2)(∫dt/(a^2+t^2)^(1/2)-∫t^2dt/(a^2+t^2)^(3/2))
=(1/a^2)(t/(a^2+t^2)^(1/2)-∫t(-2t)/(2(a^2+t^2)^(3/2))- ∫t^2dt/(a^2+t^2)^(3/2))
=(1/a^2)t/(a^2+t^2)^(1/2)+定数
従って0→∞の定積分は1/a^2
No.726 - 2008/05/19(Mon) 17:01:15
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