行列A=M{(1,a,a),(a,1,a),(a,a,1)}について，次の問に答えよ。aは実数とする。
(1)Aを対角化する直行行列Pを求めてAを対角化せよ
(2)任意のベクトルx=(x,y,z)に対してtxAx>0となるためのaの条件を求めよ
この問題なのですが、答はa≠0のときP={(1/√3,0,-2/√6),(1/√3,1/√2,1/√6),(1/√3,-1/√2,1/√6)}、a=0のとき、任意の直行行列
となっていますが、どうやっても答になりません。まずa≠0のときの固有値すら求めることが出来ない有様です。a=0のときは固有値がλ=1(3重解)というのは分かりましたが、その後なぜPは任意の直行行列になったのかが分かりません。
よろしくお願いします
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No.89 - 2008/03/30(Sun) 01:07:16
| ☆ Re: 対角化 / 新高専３年 | | | No.90 - 2008/03/30(Sun) 01:10:06 |
| ☆ Re: 対角化 / 我疑う故に存在する我 | | | a≠0 でも答えが沢山ある （固有値 (1 - a) に対する固有空間が 2 次元）なので貴方の答えが間違っているとは断言出来ません。）
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No.97 - 2008/03/30(Sun) 16:30:15 |
| ☆ Re: 対角化 / 我疑う故に存在する我 | | | 後半 a = 0 の時単位行列となるからです。
(2) x が零ベクトルでない時ですね。
行列の固有値が皆正なる事が必要十分です。
固有値は、 1 + 2a, 1 - a （重複）です。
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No.98 - 2008/03/30(Sun) 17:00:55 |
| ☆ Re: 対角化 / Sy | | | 参考まで
P = {1/Sqrt[2]*{-1, 1, 0},
1/Sqrt[6]*{1, 1, -2},
1/Sqrt[3]*{1, 1, 1}};
PA(Transpose[P])=
{{1 - a, 0, 0},
{0, 1 - a, 0},
{0, 0, 1 + 2*a}}
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No.99 - 2008/03/30(Sun) 17:32:16 |
| ☆ Re: 対角化 / Sy | | | 蛇足でしょうが もう少し 補足します；
R^3 = Ker(A - (1 - a)*I) + Ker(A - (1 + 2a)*I)
dim(Ker(A - (1 - a)*I))=2 で
Ker(A - (1 - a)*I)から直交する固有vectorを選び正規化し
Ker(A - (1 + 2a)*I)の固有vectorを正規化しPを構築し
群O(3)∋P---ρ-->ρ(P)
A------------------->PAP^(-1)
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No.100 - 2008/03/30(Sun) 19:08:59 |
| ☆ Re: 対角化 / 新高専３年 | | | > 後半 a = 0 の時単位行列となるからです。
>
> (2) x が零ベクトルでない時ですね。
> 行列の固有値が皆正なる事が必要十分です。
> 固有値は、 1 + 2a, 1 - a （重複）です。
(1)は理解できました
(2)なのですがなぜ行列の固有値が正なら(tx)Ax>0となるのですか？
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No.101 - 2008/03/30(Sun) 21:30:09 |
| ☆ Re: 対角化 / Sy | | | 固有空間を求め 正規直交基底を 構築し 超易な 問題に；
{X, Y, Z}PATranspose[P].{X, Y, Z}
=(1 - a)*X^2 + (1 - a)*Y^2 + (1 + 2*a)*Z^2;
だからです。(係数達が正で偶数次)
----------------------------------------------------
R^3-{O)∋(X,Y,Z)---f--->下の一例 X^2/5 + Y^2/5 + (13*Z^2)/5
∈(0,∞) 正値
事例達；
Table[(1 - a)*X^2 + (1 - a)*Y^2 +
(1 + 2*a)*Z^2, {a, -2^(-1) + 1/5, 1 - 1/5, 1/10}]=
{(13*X^2)/10 + (13*Y^2)/10 + (2*Z^2)/5,
(6*X^2)/5 + (6*Y^2)/5 + (3*Z^2)/5,
(11*X^2)/10 + (11*Y^2)/10 + (4*Z^2)/5,
X^2 + Y^2 + Z^2, (9*X^2)/10 +
(9*Y^2)/10 + (6*Z^2)/5,
(4*X^2)/5 + (4*Y^2)/5 + (7*Z^2)/5,
(7*X^2)/10 + (7*Y^2)/10 + (8*Z^2)/5,
(3*X^2)/5 + (3*Y^2)/5 + (9*Z^2)/5,
X^2/2 + Y^2/2 + 2*Z^2, (2*X^2)/5 +
(2*Y^2)/5 + (11*Z^2)/5,
(3*X^2)/10 + (3*Y^2)/10 + (12*Z^2)/5,
X^2/5 + Y^2/5 + (13*Z^2)/5}
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No.103 - 2008/03/30(Sun) 22:19:28 |
| ☆ Re: 対角化 / Sy | | | 近くにあり気付いたのですが ↑ の
x^2 - x*y + y^2 = 1
についても 形式に付随するAの固有値問題をとき
ここより低次元の問題で
R^2=Ker(A-(1/2)I)+Ker(A-(3/2)I)
X^2/2 + (3*Y^2)/2 が正値形式が判明し =1 が 楕円
で 囲む 面積は 群O(2)不変で 即求まる.
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No.107 - 2008/03/30(Sun) 23:26:11 |
| ☆ Re: 対角化 / 我疑う故に存在する我 | | | ＞(2)なのですがなぜ行列の固有値が正なら(tx)Ax>0となるのですか？
高専３でこんな事（大学１年レベル）もやるんですか？
一般的定理です。教科書にありませんでしたか？
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No.109 - 2008/03/31(Mon) 00:51:12 |
| ☆ Re: / 新高専３年 | | | 返信送れて申し訳ないです。
授業では対角化と二次形式を少しだけやる程度でした。対角化も固有値が重解を持たないような簡単な問題だけです。教科書にはその定理は載っていませんが何とか解くことができました。ご解説感謝します
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No.193 - 2008/04/03(Thu) 01:14:52 |
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