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★ 最小値の求めかた / ピー
y=【e＾(-x)】cosx (0≦x≦2π)…?@とする。
問１ ?@の両辺をxで微分すると
(dy/dx)=【-e＾(-x)】*(sinx＋cosx)
加法定理より
-(√2)*(e＾(-x)) sin(x＋（π/4))

問2 ?@の最小値は□である。答え　-(1/√2)*e＾【-(3/4)x】

ｙ’＝０から-e＾-xを無視して
sin(x＋π/4)=0

(π/4)≦x＋(π/4)≦(9π/4)
sinが0になるのはπと2π

x＋(π/4)=π,2π
ｘ＝(3π/4) , (7π/4)


増減表のとき
　x=(3π/4)のときy'=0
x=(7π/4) のときy'=0
からどっちのyの値が最大値か最小値か分かりませんでした。
No.13 - 2008/03/25(Tue) 22:52:11
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
また、問題と解説がごっちゃになってます。

ｘ＝(3π/4) , (7π/4) で、ｙ’＝０ になることがわかったら、
その前後、つまり、
　0≦ｘ＜3π/4、3π/4＜ｘ＜7π/4、7π/4＜ｘ≦2π
の範囲で、ｙ’ が、正か負かを調べます。

また、「-e＾-xを無視して」ではなく、
「e^-x≠０ なので」です。
No.14 - 2008/03/25(Tue) 23:00:47
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
何度もすいません
グラフを書いてみた所
0≦ｘ＜3π/4　上
3π/4＜ｘ＜7π/4　下
うえ7π/4＜ｘ≦2π　上になりました

そうすると　　3π/4＜ｘ＜7π/4　が最小値ということですか？
説明と問題がごっちゃになってしまってすいません
No.15 - 2008/03/26(Wed) 09:09:12
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
グラフが描けるようなら、この問題は苦労しないのですが、
まずは、ｙ’の正負を調べて増減を見ます。
　ｙ’＝-√2e-xsin(x＋(π/4))
において、√2e-x＞０ なので
　0≦ｘ＜3π/4 のとき　ｙ’＜０　・・・単調減少
　3π/4＜ｘ＜7π/4 のとき　ｙ’＞０　・・・単調増加
　7π/4＜ｘ≦2π のとき　ｙ’＜０　・・・単調減少
であり、最小値の可能性のあるのは、ｘ＝3π/4 か ｘ＝2π の
いずれかです。
No.16 - 2008/03/26(Wed) 09:23:54
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
何度もすいません
グラフは

0≦ｘ＜3π/4　x軸より上
3π/4＜ｘ＜7π/4　ｘ軸より下
7π/4＜ｘ≦2π　x軸より上であってますか？
No.17 - 2008/03/26(Wed) 10:11:12
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
あっていません。
それ以前に、何のグラフですか？
ｙ＝ｅ-xcosｘ のグラフか
ｙ’＝-√2e-xsin(x＋(π/4)) のグラフか

3π/4 や 7π/4 というのは、どういう意味のある数値ですか？
No.18 - 2008/03/26(Wed) 10:16:05
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
sin(x＋(π/4))のグラフを考えてました。
ｙ＝ｅ-xcosｘ とｙ’＝-√2e-xsin(x＋(π/4)) のグラフの書き方は分かりませんでした。

3π/4 や 7π/4の現われ方は
sin(x＋(π/4)) のグラフがx軸上になるときπと2πなので
x＋(π/4)＝π
　　　　x=3π/4
x＋(π/4)＝2π
x=7π/4
と求めました
No.19 - 2008/03/26(Wed) 10:41:02
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
それなら、話はわかります。
sin(x＋(π/4)) の値は、
　0≦ｘ＜3π/4　のとき正x軸より上
　3π/4＜ｘ＜7π/4　のとき負ｘ軸より下
　7π/4＜ｘ≦2π　のとき正x軸より上
です。
では、何のために、sin(x＋(π/4)) の正負を調べるのか？
　ｙ’＝-√2e-xsin(x＋(π/4))
の正負を調べるためですね？
ではなぜ、ｙ’の正負を調べるのか？
　ｙ＝ｅ-xcosｘ
の増減を調べるためですね？
ではなぜ、ｙの増減を調べるのか？
ｙの最小値を求めるためです。・・・答え
このように、今やっている作業(計算)は、何のためで、
答えを出すのにどうつながるかを、考えないといけません。

以上を踏まえて、No.16 に戻ってください。
No.20 - 2008/03/26(Wed) 10:49:19
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
何度もすいません
No16を見たのですが混乱して分からなくなってしまいました；
sin(x＋(π/4))のグラフから
ｙ＝ｅ-xcosｘのグラフを比較？
どんな風に考えるのでしょうか？

cosやsinといった記号が出てくると難しくて分かりません
No.21 - 2008/03/26(Wed) 11:03:08
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
cos や sin が難しいのではなく、微分と関数の増減の関係が
理解されていないと思いますよ。
ヒマなときで良いので、
　ｙ＝３ｘ4−４ｘ3−１２ｘ2
の　−3≦ｘ≦3 における最小値を求めよ。
をやってみてください。

さて、今度は、逆から書いてみます。
最終目標は　ｙ＝ｅ-xcosｘ の最小値を求めることです。
ｙ＝ｅ-xcosｘ のグラフが簡単に描ければ良いですが、
そうはいかないので、ｙ’の正負を調べて、グラフの概形を調べます。
調べた結果、
　0≦ｘ＜3π/4 のとき　ｙ’＜０　なので、ｙはこの範囲で、単調減少(右下がり)します。
　3π/4＜ｘ＜7π/4 のとき　ｙ’＞０　なので、ｙはこの範囲で単調増加(右上がり)します。
　7π/4＜ｘ≦2π のとき　ｙ’＜０　なので、ｙはこの範囲で、単調減少(右下がり)します。
するとｙ＝ｅ-xcosｘ のグラフの増減は

このようになります。
最小値となるのは、○を付けたx=3π/4 のところか x=2π のところです。
どちらが小さいかは、実際に計算して求めます。
No.22 - 2008/03/26(Wed) 11:24:57
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
ｙ＝３(ｘ＾4)−４(ｘ＾3)−１２(ｘ＾2)の考えについて教えてください
sinやcosは未だによく分からないのでヨッシーさんが出題していただいた問題を考えようと思います

y'=12(x＾3)-12(x＾2)-24x
y''=36(x＾2)-24x-24

ココまでしかわかりませんでした
No.24 - 2008/03/26(Wed) 13:23:35
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
ｙの最小値を求めるので、ｙ’（グラフの増減）は必要ですが、
ｙ”（グラフの反り具合）は必要ありません。

ｙ’の正負によって、ｙの増減を調べます。
　ｙ’＝12x(x+1)(x-2)
なので、ｙ’＝０ となるのは　ｘ＝−１，０，２ のときで、
その前後では、
　ｘ＜−１　のとき　ｙ’＜０
　−１＜ｘ＜０　のとき　ｙ’＞０
　０＜ｘ＜２　のとき　ｙ’＜０
　２＜ｘ　のとき　ｙ’＞０
となり、ｙの増減がわかります。これにより
　ｙ＝３ｘ4−４ｘ3−１２ｘ2
のグラフの、おおまかな形がわかり、どの辺で最小になりそうかがわかります。
No.25 - 2008/03/26(Wed) 13:30:46
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
ヨッシーさん長々と付き合っていただいてとても感謝しています。
ありがとうございます
ｙ＝３(ｘ＾4)−４(ｘ＾3)−１２(ｘ＾2)は
　ｘ＜−１　のとき　ｙ’＜０と　０＜ｘ＜２　のとき　ｙ’＜０の辺りが最小値でしょうか？

元の問題に戻って
√2e-x＞０ なので
　ｙ’＝-sin(x＋(π/4))
のグラフを考えればいいということでしょうか？


sin(x＋(π/4)) の値は、
　0≦ｘ＜3π/4　のとき正上
　3π/4＜ｘ＜7π/4　のとき負
　7π/4＜ｘ≦2π　のとき正

でしたが
ｙ’＝-√2e-xsin(x＋(π/4))
より
それだとすると
-sin(x＋(π/4))のグラフは
0≦ｘ＜3π/4 のとき　ｙ’＜０　・・・単調減少
　3π/4＜ｘ＜7π/4 のとき　ｙ’＞０　・・・単調増加
　7π/4＜ｘ≦2π のとき　ｙ’＜０　・・・単調減少
になります。

マイナスを忘れてました。
考えはこの考えでいいですか？
No.28 - 2008/03/26(Wed) 16:52:48
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
どうやら、ｙ’が小さくなるあたりを見つけようとしているように見えますが、
求めるのは、ｙの最小値ですよ。
ｙ’は、そのためにｙがどのように変化するかを調べる道具です。
ｙ’自身が最小になってもしかたありません。

ですから、微分と関数の増減の関係が、理解されていないと。

後半は、およそ良いですが、このままでは、ｙの最小につながらないのでは？
No.29 - 2008/03/26(Wed) 18:05:38
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
途中まで合ってますか？
嬉しいです。
x=3π/4 と x=2π がグラフより最小値なので
y=y=【e＾(-x)】cosx
にxを代入して
y=-(1/√2)e＾(-3π/4)
と
cos2π=1だから
y=e＾(-3π/4)

y=-(1/√2)e＾(-3π/4)
が小さい値だから答え
ですか？
No.30 - 2008/03/26(Wed) 19:11:45
☆ Re: 最小値の求めかた / ヨッシー
まぁ、そういうことです。
ｙ＝f(x)＝ｅ-xcosｘ
に、ｘ＝3π/4、ｘ＝2π を代入して、
f(3π/4)＝-(1/√2)e-3π/4＜０
f(2π)＝ｅ-2π＞０
より、最小値は　-(1/√2)e-3π/4　という感じです。
No.31 - 2008/03/26(Wed) 19:24:45
☆ Re: 最小値の求めかた / ピー
どうもありがとうございました
No.33 - 2008/03/26(Wed) 20:31:15
★ 解と係数の関係 / ピー
ヨッシーさん掲示板を続けて頂いてありがとうございます。
毎回親切に解説をしていただいて感謝しています。

〇2次方程式(X＾2)-2X＋a=0が実数解をもち、その和が10である。
ａ＝□
答えａ＝-24

回答には|α|＋｜β|=10 …?@
　　　　α＋β＝2…?A
α,βが同符号のとき?@と?Aは同時に成立しないと書いてあるのですがよく分かりませんでした

〇2つの実数解をα,βとするとき(β/α),(α/β)を解にする2次方程式はK(X＾2)＋X＋12=0となる。
このときk=□
答えk=12

分からないので教えてください
No.1 - 2008/03/25(Tue) 13:14:12
☆ Re: 解と係数の関係 / ヨッシー
最初の問題は、「絶対値の和が」と書いていませんか？
だとすると、|α|＋｜β|=10 の式の意味が納得できます。
?@は、「解の絶対値の和が10」を表す式、
?Aは、解と係数の関係から導かれる式です。
αとβが同符号の時（?Aより、両方正しかないのですが）、
?@はα＋β＝10 と書けるので、?Aのα＋β＝2 と矛盾します。
よって、αとβは異符号です。
そこで、β＜０＜α とすると、?@は
　α−β＝10
と書け、?Aとともに、ａ＝６，ｂ＝−４ が得られます。
解と係数の関係より、ａ＝αβ＝−２４ です。

あとの問題も、解と係数の関係より
　(β/α)(α/β)＝12/K
一方、(β/α)(α/β)＝１ なので、12/K＝１ より K=12 です。
No.3 - 2008/03/25(Tue) 13:40:30
☆ Re: 解と係数の関係 / ピー
ごめんなさい
2次方程式(X＾2)-2X＋a=0が実数解をもち、その絶対値の和が10であると書いてありました
No.7 - 2008/03/25(Tue) 15:45:23
☆ Re: 解と係数の関係 / ピー
どうもありがとうございました
理解できました
No.8 - 2008/03/25(Tue) 16:02:04
★ 積分 / ピー
続けての連載すいません。

y=ax…?@、y=2(x＾3)-bx＋4…?Aがあり、?@と?Aが接している.
(a,b実数 )
〇A＋B=6
〇a:b=1:2とするとき?@と?Aの接点の座標は
a;b=1:2のときa=2, b=4になり2【(X-1)＾2】*(X＋2)=0
となり座標は(1,-2)

〇?@と?Aで囲まれる部分の面積Ｓとすると2s=□である。を求め方が分からないので教えてください　　
答え2s=27
?@と?Aより
2(X＾3)-4X＋4-2X=0
となり
因数分解すると
(X-1)(X＋2)(2X-2)=0
2【(X-1)＾2】*(X＋2)=0になりました

?@と?Aで囲まれる部分の面積Ｓを求めるにはどのように考えるのでしょうか？
y=2(x＾3)-bx＋4の増減表を考えたのでがよく分からなくなってしまったので教えてください
No.2 - 2008/03/25(Tue) 13:18:54
☆ Re: 積分 / ヨッシー
まず、大文字A,B,S,X と小文字a,b,s,x は、別の文字と見なすのが
普通です。そこを統一してください。
また、どこまでが問題文で、どこから解説かが、よくわかりません。
問題文を一旦、完結させてください。
No.4 - 2008/03/25(Tue) 14:48:15
☆ Re: 積分 / ピー
ごめんなさい
問題は
y=ax…?@、y=2(x＾3)-bx＋4…?Aがあり、?@と?Aが接している。(a,b実数)

問１
a＋b=□

問2
a:b=1:2とするとき?@と?Aの接点の座標は□である。

問３
問2のとき?@と?Aで囲まれる部分の面積をSとすると2S=□である。

問3を教えてください。
No.5 - 2008/03/25(Tue) 15:40:46
☆ Re: 積分 / ピー
問２は見えずらいのでもう一度
問2
a：b=1：2とするとき?@と?Aの接点の座標は□である
No.6 - 2008/03/25(Tue) 15:43:26
☆ Re: 積分 / ヨッシー
グラフは、図のようになります。

接点以外の交点を求めると、x=-2 の点なので、面積Ｓは、
　２Ｓ＝２∫-21{(2x3-4x＋4)-2x}dx
　　＝∫-21{4x3-12x＋8}dx
　　＝[x4-6x2＋8x]-21
　　＝(1−6＋8)−(16−24−16)＝3＋24＝27
No.9 - 2008/03/25(Tue) 16:17:24
☆ Re: 積分 / ピー
接点以外の交点を求めると、x=-2はどのように見つけるのか分からないので教えてください

増減表がつくれませんでした。
ｙ＝２（ｘ＾3)-4x＋4
ｙ’＝6(x＾2)-4

No.10 - 2008/03/25(Tue) 19:37:11
☆ Re: 積分 / ヨッシー
おや？
上に、(x-1)2(x+2)＝０ と因数分解した式がありますが、
それを使ったのですよ。

増減表は、
　ｙ＝2x3-4x+4
　ｙ'＝6x2-4
よって、y'＝０ となるのは、
　ｘ＝±√(2/3)
ｘ＝−√(2/3) で、極大値４＋(8/9)√6
ｘ＝√(2/3) で極小値４−(8/9)√6
No.11 - 2008/03/25(Tue) 20:03:07
☆ Re: 積分 / ピー
増減表教えていただいてありがとうございます。
因数分解は上であっているんですね。

解き方分かりました
いろいろと質問に答えていただいて感謝しています
ありがとうございました
No.12 - 2008/03/25(Tue) 22:33:03
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