[問]f(x)=x^2のフーリエ級数とParseval'sの等式を使ってΣ[n=1..∞]1/n^4の値を求
めよ。
[解]
f(x)(=x^2)=π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+
…
ここで正規直交関数系
{u_k(x)}={1/√(2π),cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}で級数
展開した形で考えると
=1/√(2π)2π・π^2/3-4√π・cosx/√π+0・sinx/√π-√π・cos/√π+0・sin(2x)/√π+… …?@
a_0=1/
√(2π),a_1=-4√π,a_2=0,a_3=-√π,a_4=0,…
よって?@の最右辺は
Σ[k=1..∞](a_k)^2=(a_1)^2+(a_3)^2+(a_5)^2+…
=16π+π+16π/81+…
=Σ[n=0..∞]16π/(n+1)^4
=16πΣ[k=1..∞]1/k^4 …?A
一方,‖f(x)‖^2=∫[-π..π]{f(x)}^2dx=∫[-π..π]x^4dx
=[π^5/5]^π_(-π)=2π^5/5 …?B
よって,
Parseval'sの等式‖f(x)‖^2=Σ[k=0..∞](a_k)^2に代入して
2π^5/5=16πΣ[n=1..∞]1/n^4
2π^5/5=16πΣ[n=0..∞]1/n^4
Σ[n=0..∞]1/n^4=π^4/40
となったのですが正解はπ^4/90となっています。
何処を勘違いしているでしょうか?
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No.466 - 2008/04/27(Sun) 05:56:02
| ☆ Re: f(x)=x^2のフーリエ級数とParseval'sの等式を使ってΣ[n=1..∞]1/n^4kの値を求めよ / X | | | まずa_0の値が誤っています。
(1)の第一項は
>>1/√(2π)2π・π^2/3
ではなく
{1/√(2π)}{√(2π)}(π^2)/3
ですので
a_0={√(2π)}(π^2)/3
又、Parsevalの等式ではa_0も考えなければなりませんので
>>2π^5/5=16πΣ[n=1..∞]1/n^4
ではなく
2π^5/5=a_0^2+16πΣ[n=1..∞]1/n^4
(∵)(2)にはa_0^2が含まれていません。
これより
2π^5/5=(2π^5)/9+16πΣ[n=1..∞]1/n^4
16πΣ[n=1..∞]1/n^4=(8π^5)/45
∴Σ[n=1..∞]1/n^4=(π^5)/90
となります。
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No.475 - 2008/04/27(Sun) 21:58:19 |
| ☆ Re: f(x)=x^2のフーリエ級数とParseval'sの等式を使ってΣ[n=1..∞]1/n^4kの値を求めよ / yuuka | | | どうもありがとうございます。
おかげ様解決できました。
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No.484 - 2008/04/28(Mon) 02:19:24 |
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