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★ 代数 / たもつ
2,3,5,7,…,pは素数を小さい方から並べたものとする。
(1)q=2^2×3×5…(p-1)を4で割ったときの余りは3であることを示せ。またこのことを使って、qはpより大きい4m+3の形の素数を約数として持つことを示せ。
(2)(1)を使って、4n+3の形の素数は無限にあることを示せ。

という問題です。
けんとうもつかないのでよろしくお願いします。
No.369 - 2008/04/15(Tue) 16:43:48
☆ Re: 代数 / らすかる
q=2^2×3×5…(p-1) の省略部分はどうなっているのですか？
No.370 - 2008/04/15(Tue) 18:20:06
☆ Re: 代数 / rtz
q＝2*3*5*…*p＋1なら分かるのですが、
ちょっと解せませんね。
問題文の確認をお願いします。
No.371 - 2008/04/15(Tue) 18:49:43
☆ Re: 代数 / たもつ
分かりにくくて申し訳ありません。
問題では最初に書いてあるように書いてありました。
たぶん…の部分は７＊１１＊…と小さい方からpより小さいものまで掛けていくのだと思います
No.372 - 2008/04/15(Tue) 18:59:46
☆ Re: 代数 / ヨッシー
「最初に書いてあるように」ということは、
q=2^2×3×5…(p-1)
ですよね？
2^2 が付いている時点で、４で割り切れるんですが。

それに、p=13 だと、(p-1)自体４で割り切れますね。
No.374 - 2008/04/15(Tue) 19:16:57
☆ Re: 代数 / たもつ
すいませんでした。自分の見間違いでした。
q=2^2*3*5*7…p-1という問題でpまでかけて最後に1引くというものでした。すいません。
(1)は自力で分かったのですが、(2)の証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。
No.375 - 2008/04/15(Tue) 23:58:43
☆ Re: 代数 / 風あざみ
たぶん、この問題の「2^2×3×5…(p-1)は」、「2^2×3×5…×p-1」の誤りなんでしょう。
出題ミスだと思います。
No.376 - 2008/04/16(Wed) 00:00:41
☆ 2番 / 風あざみ
4n+3の形の素数が有限個と仮定します。
pを4n+3の形の素数のうち最大のものとします…※
(4n+3の形の素数が有限個なら、このようなpは必ず存在します)。

(1)より2^2×3×5…×p-1はpより大きな4n+3の形の素数p'を
素因数としてもちます。
明らかにこれは※に反します。

したがって、「4n+3の形の素数が有限個」という仮定は誤りで、4n+3の形の素数が無数にあることがわかります。
No.377 - 2008/04/16(Wed) 00:06:58
☆ Re: 代数 / たもつ
>風あざみさん

すいません自分のミスでした。
丁寧な解答ありがとうございました。
No.378 - 2008/04/16(Wed) 01:17:50
★ お願します。 / 帝丹
三角形ＡＢＣにおいて
cosA+cosB+cosC
のとり得る値の範囲を求めよ
という問題なのですが
どなたかヒント、アドバイス宜しくお願いします。
No.365 - 2008/04/15(Tue) 09:07:36
☆ Re: お願します。 / 豆
A+B+C=πから文字がひとつ消せます。
あとは、どちらかを定数、最後の文字を変数と考えて、
その文字で三角関数の合成をしてみる。
でいかがでしょうか？
No.368 - 2008/04/15(Tue) 15:14:39
★ 二次関数の問題 / DEBORAH
連続投稿となりますが、よろしくお願いします。高3です。

kを定数とし、二次関数y=x^2-2kx＋2k＋3のグラフをCとする。Cが次の条件を満たすようにkの値の範囲を求めよ。

(2) x軸の-2<x<4の部分と、異なる二点で交わる。
(3) x軸の-2<x<4の部分と、一点のみで交わる。ただし、Cがx軸と接する場合は考えない。

答えは、

(2) -7/6<k<-1、3<k<19/6
(3) k≦-7/6、19/6≦K

まず、何からはじめればよいのかもわかりません。
よろしくお願いします。
No.364 - 2008/04/15(Tue) 05:28:14
☆ Re: 二次関数の問題 / ヨッシー
まず何からと言うと、条件に合うような状態のグラフを描くことです。
　f(x)＝x^2-2kx＋2k＋3
と置いたとき、
１．判別式はどうあるべきか？
２．軸はどの位置にあるべきか？
３．頂点はどの位置にあるべきか？
４．境界上でのf(x) の値はどうあるべきか？
を、吟味し、ｋの範囲を決めていきます。
※境界上というのは、-2<x<4 なら、x=-2 と x=4 の所です。
No.367 - 2008/04/15(Tue) 10:51:09
☆ Re: 二次関数の問題 / DEBORAH
(2)は、理解でき、答えも導き出せましたが、（3）が、まだ解けません。一点のみで交わるというのは、二つの異なる実数解のうちの一つが、その範囲内でx軸と交わると言う意味ですか??
No.373 - 2008/04/15(Tue) 19:14:46
☆ Re: 二次関数の問題 / ヨッシー
そうですね。

図のような２通りが考えられます。
　４．境界上でのf(x) の値はどうあるべきか？
だけで解けます。
No.379 - 2008/04/16(Wed) 02:06:14
☆ Re: 二次関数の問題 / DEBORAH
やっと、理解できました。ありがとうございました。
No.392 - 2008/04/17(Thu) 06:03:16
★ 関数の最大最小 / DEBORAH
高校三年です。今回もよろしくお願いします。

0≦x≦2で定義された関数f(x)= x^2-2ax＋4について。
f(x)の最大値をaを用いてあらわせ。
また、f(x)の最大値が16のときaの値を求めよ。

ちなみに答えは、
a＜1のとき、-4a＋8
1≦aのとき、4
aの値は、a=-2

です。
No.363 - 2008/04/15(Tue) 05:20:31
☆ Re: 関数の最大最小 / ヨッシー
こちらなどが参考になると思います。

この問題も、
　f(x)＝(x-a)2−a2＋4
より、頂点が(a, 4−a2) と書けるので、
頂点が、0≦x≦2 に対して、どういう位置にあるかを場合分けすることになります。
No.366 - 2008/04/15(Tue) 10:45:41
☆ Re: 関数の最大最小 / DEBORAH
理解できました。ありがとうございました。
No.391 - 2008/04/17(Thu) 06:01:33
★ 微分の問題 / 新高３
3次方程式x^3-3x^2-9x+a=0が異なる2つの正の解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。
この問題が分からないので誰かよろしくお願いします。
No.359 - 2008/04/14(Mon) 17:37:54
☆ Re: 微分の問題 / ヨッシー
x^3-3x^2-9x+a=0 を、
　y=-x^3+3x^2+9x と y=a
の、連立したものと考えます。
　f(x)＝-x^3+3x^2+9x
とおくと、
　f'(x)＝-3x^2+6x+9＝-3(x+1)(x-3)
より、f(x) は、
　x=-1 で極小値 f(-1)＝-5、
　x=3 で極大値 f(3)＝27
を取ります。また、原点(0,0) を通ります。
それを踏まえて、y=f(x) のグラフを描くと、

図のように、y=a のグラフが、y=f(x) のグラフと交わる点の
ｘ座標が、x^3-3x^2-9x+a=0 の解です。
ｘ＞０ の部分で、交点が２個出来るａの範囲は０＜ａ＜２７ になります。
No.360 - 2008/04/14(Mon) 18:03:57
☆ Re: 微分の問題 / 新高３
なるほど！グラフまで描いて説明していただきありがとうございます！！
No.362 - 2008/04/15(Tue) 02:07:02
★ 宜しくお願いします / 帝丹
放物線 y=x^2 上に２点P,Qがある。　線分PQの中点のy座標をhとする。
(1)　線分PQの長さL と 傾きm でhを表せ。

(2)　Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。


(1)については
h={{L^2/(1+m^2)}+m^2}/4
と答えが出ました。

(2)について
(1)より
h={{L^2/(1+m^2)}+m^2}/4
={{L^2/(1+m^2)}+(m^2+1)-1}/4

相加相乗平均より

h≧(2L-1)/4
となり、
等号が成り立つとき
m^2+1=L/(m^2+1)

(m^2+1)^2=L

m^2+1=±L

m^2=±L-1

ここから
m^2=L-1････････(1)
と
m^2=-L-1･･･････(2)


m^2≧0から
(1)より
L-1≧0 ⇒　L≧1････(1)´

(2)より
-L-1≧0　⇒　L≦-1･････(2)´

またLは長さなのでL≧０により(1)´のときである。

よって、L≧1のとき最小値は(2L-1)/4となりました。


０≦L≦１のときの考え方がわかりません。
宜しくお願いします。


※数学問題集｢考える葦｣数学質問掲示板にも投稿しています。
No.357 - 2008/04/14(Mon) 10:40:48
☆ Re: 宜しくお願いします / 帝丹
すみません、解決しました。
No.358 - 2008/04/14(Mon) 11:37:19
★ 文章題 / なでしこ
中学一年生です。よろしくお願いします。
A、B、Cがそれぞれあめ玉を何個か持っています。AはBより１６個多く持っていました。３人はそれぞれが持っているあめ玉の半分を、AはBに、BはCに、CはAに渡したところ、Bの持っているあめ玉の個数は３２個、Cの持っているあめ玉の個数は、２２個になりました。Cが初めに持っていたあめ玉の個数は何個ですか。解き方を教えてください。
No.352 - 2008/04/13(Sun) 21:37:48
☆ Re: 文章題 / ヨッシー
飴の移動を逆にたどります。
ＣがＡに自分の半分を渡したら、Ｃが22個になった。
　→Ｃは渡す前に44個持っていて、Ａに22個上げた。
ＢがＣに自分の半分を渡したら、Ｂが32個になった。
　→Ｂは渡す前に64個持っていて、Ｃに32個上げた。
これだけで、Ｃの最初持っていた数はわかりますね。
No.353 - 2008/04/13(Sun) 21:46:45
☆ Re: 文章題 / なでしこ
そうですね!とてもよくわかりました。ありがとうございます。また、よろしくお願いします。
No.354 - 2008/04/13(Sun) 21:57:38
☆ Re: 文章題 / ヨッシー
うーむ。
どうも、「AはBに、BはCに、CはAに」順々に渡したわけではないようですね。
そうでないと、Ａ、Ｂの個数が整数で出ないです。

とすると、

図のような移動があったと考えられ、
Ｂの最初の数は　32−8＝24(個)
その半分がＣに行ったので、Ｃの最初の数の半分は
　22−12＝10
Ｃの最初の数は 10×2＝20(個)　となります。
No.355 - 2008/04/14(Mon) 08:47:18
☆ Re: 文章題 / なでしこ
確かめをしてみておかしかったので、やり直してみました。
どうもありがとうございます。
No.361 - 2008/04/14(Mon) 21:45:42
★ 相加相乗平均 / Kay
一般に、ａ≧０，ｂ≧０のとき、
ａ＋ｂ≧２√ａｂ・・・※
（等号成立条件：ａ＝ｂ）
と参考書に書いてあるのですが、
ａ＝ｂ＝０のときも成り立つので、※の条件としては、
ａ≧０，ｂ≧０ではなく、ａ＞０，Ｂ＞０の方が、
より正確だと思うのです。

どなたか、適切なアドバイスをお願いします。
No.349 - 2008/04/13(Sun) 09:40:15
☆ Re: 相加相乗平均 / ヨッシー
相加相乗平均の前提は、ａ＞０，ｂ＞０ であったはずです。
式の上では、ａ≧０，ｂ≧０ でも成り立つのでしょうが、
相乗平均（３数以上の場合を考えた場合）の性格上、０が
１つあったら、他の数に関係なく平均が０、というのは、平均としての
役割を果たさないと思います。

また、相加≧相乗の証明(３数以上)の際に、log を取ったりするのですが、
その際に、０を認めては証明に使えないです。
No.350 - 2008/04/13(Sun) 09:59:17
★ Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / yuuka
宜しくお願い致します。

Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))
という級数の収束・発散がどうしてもわかりません。

このような場合はどのようにして判定すればいいのでしょうか?
No.342 - 2008/04/12(Sat) 09:07:51
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / 我疑う故に存在する我
f (n) = n^2008/(log n)^(log n) と置き、 n を十分大なる実数として、 n = e^x と変換すると
f (e^x) = e^(2008*x)/x^x となり、 x が十分大の所で、単調に減少して 0 に収束する。
n → ∞　と e^x → ∞ は同等だから、元の級数はライプニッツの定理により収束。
（ついでに云うと絶対収束。）
No.345 - 2008/04/12(Sat) 17:05:34
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / yuuka
有難うございます。


> f (n) = n^2008/(log n)^(log n) と置き、 n を十分大なる実数として、 n =
> e^x と変換すると
> f (e^x) = e^(2008*x)/x^x となり、 x が十分大の所で、単調に減少し
> て 0 に収束する。
> n → ∞　と e^x → ∞ は同等だから、元の級数はライプニッツの定理
> により収束。
> （ついでに云うと絶対収束。）

ライプニッツの定理とは
「交項級数Σ[n=1..∞](-1)^na_nが|a_n|が単調減少且つlim[n→∞]|a_n|=0ならばΣ[n=1..∞](-1)^na_nは収束」
なるものですね。おかげ様で納得致しました。
No.348 - 2008/04/13(Sun) 03:10:23
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / 我疑う故に存在する我
「絶対収束」は取り消しておきます。

注意書き
http://yosshy.sansu.org/shitsumon.htm
に、大学生の方は、自分で解いてください。
と有ります。
No.351 - 2008/04/13(Sun) 11:01:56
☆ Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / ヨッシー
まぁ、質問していただくのは構いませんが、しばしば答えかねる場合があります。
No.356 - 2008/04/14(Mon) 08:50:03
★ (No Subject) / ラディン.ms
２点A(-√3,0),B(√3,0)があり，
さらに動点P(p1,p2)とHを次のように定める。
?@）P≠AかつP≠Bのとき　∠APB＝60°であり
　　HはBから∠APBの二等分線に下ろした垂線の足である
?A）P=Aのとき　H(√3/2,-3/2)
?B）P=Bのとき　H=B

（１）p1=0,p2>0のとき　Hの座標を求めよ。
（２）p2>0のとき　PHとy軸の交点Rの座標を求めよ。
（３）p2≧0のとき　Hは中心[ア]，半径[イ]の円上を動く。空欄ア，イを埋めよ。
（４）p1≧0,p2≧0のとき　Hが描く線の長さを求めよ。
（５）p2≧0のとき　Hが描く線の長さを求めよ。

よろしくお願いします。
No.339 - 2008/04/11(Fri) 19:33:28
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
∠ＡＰＢの二等分線をＡＴとすると
(1) ｐ1＝0 のとき ∠ＡＰＴ＝∠ＢＰＴ＝30°であり、ＡＴはｙ軸の(0,3)より下の部分になります。
よって、ＢからのＡＴへの垂線の足Ｈは原点にきます。すなわち　Ｈの座標は(0,0)

(2) ｐ2＞0のとき、点(0,3)をＣとすると△ＡＣＢの外接円の弧ＡＣＢ上をＰは動きます。
ＰＴとこの円の交点をＤとすると、∠ＡＰＤ＝∠ＢＰＤ＝30°よりＤは弧ＡＤ＝弧ＢＤ となり、Ｄはｙ軸上の点となります。（ＤとＲとが一致する）
よって ∠ＢＲＯ＝(1/2)∠ＡＲＢ＝60°となるので、ＯＲ＝1
したがって、Ｒの座標は（0、-1）

(3) ＰＴは常に定点Ｒ(0,-1)を通るので、∠ＢＨＰ＝90°になるので、ＨはＢＲを直径とする円周上を動きます。
[ア]＝(√3/2,-1/2)、[イ]＝1

(4) ＨはＢＲを直径とする円の弧ＢＯ上を動くので・・・

(5) (√3/2,-3/2)をＥとすると
ＨはＢＲを直径とする円の弧ＢＯＥ上を動くので・・・
No.341 - 2008/04/11(Fri) 23:46:51
☆ Re: / ラディン.ms
解答ありがとうございます。

図を描いて考えてみたのですが，（２）の２行目からよくわかりませんでした。
No.343 - 2008/04/12(Sat) 16:57:04
☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
∠ＡＰＢの２等分線と外接円の交点をＤとすると、円周角が等しければそれに対するこの長さが等しいので
弧ＡＤ＝弧ＢＤ　です。
この円はｙ軸に関して対称だから、Ｄはｙ軸上の点、すなわちＲと一致します。(以降ＤをＲと書きます)
∠ＡＲＢ＝180°−∠ＡＰＢ＝120°
∴∠ＢＲＯ＝60°
また　ＢＯ＝√3　だから ＯＲ＝1
したがって、Ｒの座標は（0,-1）となります。
No.346 - 2008/04/12(Sat) 17:32:23
☆ Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。
No.347 - 2008/04/12(Sat) 18:19:33
★ 旧掲示板 / ヨッシー
旧掲示板ですが、
最終記事までのログが取れましたので、この掲示板からの
リンクは外しました。
旧掲示板自体は残りますが、書き込みは出来ません。

荒らしさえなければ、続けたのですが残念です。
No.336 - 2008/04/11(Fri) 13:03:40
★ 2次関数の問題です / ケイ
曲線 y=2lx^2-4x+3l+2 と、点(0,1) を通る直線が4点で交わる時の直線の傾きmの値を求めなさい。
という問題で、
y=2lx^2-4x+3l+2
=(x-1)(x-3)
(x-1)(x-3)>0より、x<1,x>3の時　y=2(x-2)^2
(x-1)(x-3)<0より、1<x<3の時　　y=-2(x-2)^2+4　　となる
点(0,1)を通る直線を y=mx+1 とおく
傾きの最小値は点(0,1)(1,2)を通る 2=x+1 だから m=1
傾きの最大値は 1<x<3 y=-2x^2+8x-4と接するから傾きは
　-2x^2+8x-4=mx+1 が1<x<3で重解を持つ時の値だから
　2x^2+(m-8)x+5=0 (m-8)^2-4・2・5=0
m^2-16m+24=0 m=8+2√10,8-2√10
という所までは解けるのですが m=8+2√10,8-2√10のどちらが1<x<3 で接する時の値なのかが分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.334 - 2008/04/11(Fri) 10:42:18
☆ Re: 2次関数の問題です / ヨッシー

グラフを描きましょう。

-2x^2+8x-4=mx+1 が、重解を持つときが２ヶ所あると言うことなので、
図のように、２つの傾きの接線が引けます。
１つは、１＜ｘ＜３ で接していて、１つは、ずっと右下の方で
接しています。
どちらの方が傾きが大きいかを考えると、m=8+2√10,8-2√10のどちらであるか
は、わかるでしょう。
No.335 - 2008/04/11(Fri) 11:28:09
★ 2次関数なですが… / すにふ
不等式　x2乗−(a＋1)x＋a＜0 を満たす整数がちょうど2個だけあるような実数aの値の範囲を求めなさい。
という問題が分かりません。
(x−a)(x−1)＜0 で、aが−1では駄目だって事は分かるのですが…。
よろしくお願いいたします。
No.330 - 2008/04/10(Thu) 02:52:22
☆ Re: 2次関数なですが… / hari
解の差の絶対値|a - 1|が2より大きく3以下であればよいですね。

解の差の絶対値というのは y = x^2 - (a + 1)x + aが切り取るx軸の長さです。
今回は端点を含まないので、この切り取られた長さが2より大きく3以下ならば必ずそこに整数が二つ含まれることになります。
No.331 - 2008/04/10(Thu) 04:54:20
☆ Re: 2次関数なですが… / すにふ
hariさん、どうもありがとうございました。
問題の意味が理解できました。
No.333 - 2008/04/11(Fri) 10:17:01
★ ベクトル、一次変換 / 康夫
?@ベクトルについて
去年の学校の補習で、２つのベクトルに垂直なベクトルの公式みたいなものを教えてもらったのですが、ノートをなくし、確認できなくなりました。その公式を教えてください。


?A一次変換に関する問題
直線y=mxに関して各点のその対称点に移す一次変換およびその行列はmにより決まるから、f(m)およびA(m)と表す。
（1）行列A(m)を求めよ。
（2）A(m)の逆行列を作れ。

一応解くことはできたのですが、（2）の解説でf(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)^-1であると書いていました。
どういてこのようなことが言えるのですか。教えてください。
No.328 - 2008/04/09(Wed) 23:33:07
☆ Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
(1)私のページの「ベクトルの外積」をご覧ください。

(2)
「f(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)である」でしょうね。
ある点Ａが y=mx に関して、対称に移動した点をＢとします。
点Ｂを、y=mx に関して対称に移動したものが点Ａですから、
　Ａ→Ｂ　も　Ｂ→Ａ　もf(m) であり、当然、Ｂ→Ａ　は
Ａ→Ｂの逆写像です。
No.329 - 2008/04/09(Wed) 23:57:27
☆ Re: ベクトル、一次変換 / 康夫
逆写像とかいう意味があまりわかりません。・・・
No.337 - 2008/04/11(Fri) 13:42:53
☆ Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
ある写像の逆の動きをするのが逆写像です。
たとえば、
　ｘ軸方向に３、ｙ軸方向に−２、移動する写像
の逆写像は
　ｘ軸方向に−３、ｙ軸方向に２、移動する写像
です。元の写像で点Ａ（２，４）は、点Ｂ（５，２） に移ります。
逆に、逆写像では、点Ｂが点Ａに移ります。

この例では、元の写像と、逆写像は別の動きをしますが、
対称移動では、逆写像も、同じ動きをする写像となります。
No.338 - 2008/04/11(Fri) 13:55:29
★ 順列組合せ / eois(高3)
1,1,1,2,2,3,3の7個の数字を一列に並べる。

このとき、どの数字も同じ数字は隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。


考え方がわかりません。どういう考え方で解いていけばよいのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.323 - 2008/04/09(Wed) 21:00:43
☆ Re: 順列組合せ / らすかる
1が隣り合わない並べ方は、2,2,3,3を並べて(4C2通り)、
間または端計5箇所中3箇所に1を入れれば良いので(5C3通り)、4C2×5C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、2が隣り合う並べ方は
2を一つと考えて同じように計算すれば良いので、3C1×4C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、3が隣り合う並べ方は同じく3C1×4C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、2も3も隣り合う並べ方は
2と3を両方とも一つと考えて同じように計算すれば良いので、2C1×3C3通り
よって求める並べ方は
4C2×5C3-3C1×4C3-3C1×4C3+2C1×3C3=38通り
No.324 - 2008/04/09(Wed) 22:40:03
★ 図形 / ピー
図のようにAB=AC底辺と高さを1とする△ABCと
、この三角形に合同な三角形を並べて作られた平行四辺形ABSTに対角線BTをひく。この平行四辺形ABSTについて

(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

答え
（１）【(9√5＋√85)/2】
(2) 5/2

考え方がわかりませんでした
よろしくおねがいします
No.315 - 2008/04/08(Tue) 22:12:33
☆ Re: 図形 / にょろ
その画像に新たに点を入れてみました。
（赤いやつです）
ペイントでやったので場所がずれてるとかいわないで下さい…。

まず
(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
一つ一つやっていったら面倒くさいです。

ですが、少し考えると求める長さLはこうなります。

L=AB+AC+CD+DG+GE+EH+HF+FS+ST+BT
（求める部分をなぞれば分かると思います）
更に、BT以外は全部合同の三角形かつAB=ACだと言っているのだから

L=9AB+BT

です。
更にTU=1(高さ)
BC=1なので

AC^2=1^2+(1/2)^2

です。
よってAC=√5/2

次、BTは
BT^2=TU^2+BU^2

=(9/2)^2+1^2

よってBT=√85/2

これより
L=9AB+BT
=(9√5+√85)/2

(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

これはまず問題を読み替えます

(2)'平行四辺形の中で「斜線のついた三角形」以外の部分の面積を求めなさい

要するに平行四辺形から斜線のついた三角形の面積を引けと言ってるんです。

ところで平行四辺形なのだから
△ABT≡△STBです。

つまり、どちらかの三角形だけ考えて後で２倍しましょう。
（斜線部分も同じ事ですし）

まず、△BCJ∽△BSTです。
そして相似比は1:4です。
つまり、面積比は1:16です。
更に△BST=(1/2)*1*4=2です。

と言うわけで、△BCJ=1/8
です。

TS=1とすると
次、相似なのだからJC=1/4です。
（実際の長さと違います）

更に、AB=1です。

でここにもう一つ相似な三角形
△ABI∽△CJIが出てきます。

と言うわけでBI:JI=4:1です。
同様に斜線の引いてある三角形は全て相似です。
相似比は青字で書いてあります。

ここで、高さを共有する三角形の面積の比は底辺の比なのですから

△BCI:△ICJ=4:1

よって△ICJ=(1/8)*(1/5)=1/40

さて、
△IJC∽△KLG∽△MNH∽△OTS

で、相似比は図の通りです。

よって斜線の面積sは以下の通りに表せます。
s=△IJC+△KLG+△MNH+△OTS
=(1+2^2+3^2+4^2)/40=30/40=3/4

(綺麗な数字でちょっとびっくり)
と言うわけで、
白い部分の面積Sは、
S=2(△STB-s)
=2(2-3/4)
=2(5/4)
=5/2
(二倍したのは上の説明よりです)

以上です。

【補足】

KJ:KL=3:2の理由

JC=1/4ですから
DJ=3/4

EL:GL=1:1だから
（△BGL≡△TEL）

EL=2/4

と言うわけで、
△KJDと△KLGの相似比は、
3:2になります。



と書いてみましたし答えもあったので多分あってると思いますが、間違ってたらゴメンナサイ
あと、実際のJCの長さはTS/4つまり√5/8です。
見やすくするためTS=tと置くなどを省き1としました。
No.317 - 2008/04/09(Wed) 01:01:56
☆ Re: 図形 / にょろ
一個書き忘れたので追加

この問題には不備があります。

三角形の底辺がBCだ何て何処にも書いていません。
要するにAB=AC=1と言う解釈でも間違っては居ないと思います。
（でも計算は面倒くさくなりますよ）
No.320 - 2008/04/09(Wed) 13:13:58
☆ Re: 図形 / ヨッシー
特に、面倒くさくはならないと思いましたが、
どうなんでしょう？
直感ですが。
No.321 - 2008/04/09(Wed) 15:28:23
☆ Re: 図形 / ピー
どうもありがとうございます。
添付が見えずくて左の部分がよく見えませんでした。
もう少し考えてみます
No.326 - 2008/04/09(Wed) 23:11:45
☆ Re: 図形 / にょろ
ヨッシーさん

実際に素でやり始めましたが問題解くのに要した時間は１０分なかったと思います。
No.327 - 2008/04/09(Wed) 23:15:35
★ (No Subject) / ピー
ヨッシーさんこんにちわ
おかげさまで?Aまで理解できました
(2)について教えてください
△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２になるのかがわかりませんでした。


1：２ではなくたとえば1：３でも可能ですか？
1:2は計算を楽にする為に表す方法なのでしょうか？
質問ばかりですいません

△ＡＥＱと△ＴＦＱが相似だとして、
対応する辺は　ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱになりました
No.308 - 2008/04/08(Tue) 09:51:13
☆ (No Subject) / ヨッシー

こんな感じですよね？
ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱ
の、６つの辺のうちで、長さが分かっているところを、
図に書き込んでみましょう。


たとえば、このようであれば、相似比は１：３で、
ＦＴ＝４×３＝１２ になりますね。
※これは、本問の数値とは関係ありません。
No.309 - 2008/04/08(Tue) 10:49:39
☆ Re: / ピー
図の添付ありがとうございます
1:3はどこか駄目なのかが分かりませんでした。

1:3にするとＡＥの長さが6なのに対して４になるか駄目なのでしょうか？
No.314 - 2008/04/08(Tue) 22:02:24
☆ (No Subject) / ヨッシー
※これは、本問の数値とは関係ありません。
と書いてあるように、下の方の図の数値は一例であり、
１：３がダメな理由でもありません。

まずは、ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱ
の、６つの辺のうちで、長さが分かっているところは、
どこですか？
No.316 - 2008/04/09(Wed) 00:26:14
☆ Re: / ピー
６つの辺のうちで、長さが分かっているところは
EQ=2 , AE=6 AQ=√40になりました。
No.325 - 2008/04/09(Wed) 22:47:24
☆ (No Subject) / ヨッシー
その3つは、△ＡＥＱの方ですね。
△ＴＦＱ の方で、どこか長さが分かりませんか？
そうすると、その辺と対応する△ＡＥＱとの間で、
辺比が出来ます。
No.332 - 2008/04/10(Thu) 07:43:59
★ 定積分の問題 / 999
はじめまして。
さっそくですが質問があります。
この定積分の問題のが解き方分かりません。
∫^∞_0 10^(x/10) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)) dx
よろしくお願いします。
No.306 - 2008/04/07(Mon) 23:26:22
★ ベクトル / 晴れ晴れ
点A(1,3,0)を通り↑a＝(−1,1,−1)に平行な直線をl,点B(−1,3,2)を通り↑b＝(−1,2,0)に平行な直線をmとする｡Pは直線l上の点,点Qは直線m上の点とする｡線分PQの長さの最小値を求めよ。
No.304 - 2008/04/07(Mon) 21:58:11
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
直線ｌ上の点は(1-s,3+s,-s)、直線ｍ上の点は(-1-t,3+2t,2) と書けます。(s,t は実数)
この２点の距離をｄとすると、
　ｄ2＝(2-s+t)2+(s-2t)2+(-s-2)2
　　＝3s2+5t2-6st+4t+8
　　＝3(s-t)2＋2(t+2)2＋６
よって、t=-2, s=t=-2 のとき、最小６
よって、ｄの最小値としては√6
No.305 - 2008/04/07(Mon) 22:47:33
★ (No Subject) / 新高専３年
x軸上に端点A,y軸上に端点Bを持つ長さ1ｍの線分がある。点Aが最初原点Oにあり、x軸の正の方向に4cm/secの速度で動いている。OA=60cmとなったときのBの速度,および加速度を求めよ。
この問題で速度は求めることは出来ましたが、加速度が求められません。よろしくお願いします。
No.303 - 2008/04/07(Mon) 21:54:22
☆ Re: (No Subject) / hari
速度を時間で微分すれば加速度です。


No.307 - 2008/04/08(Tue) 01:11:46
☆ Re: / 新高専３年
速度を求めたときの式をさらに微分しても答と合いませんでした。解説をお願いしたいです。
No.310 - 2008/04/08(Tue) 17:33:46
☆ (No Subject) / ヨッシー

よろしく。
No.311 - 2008/04/08(Tue) 17:38:57
☆ (No Subject) / ヨッシー
私の計算では
速度：成分は(2,-3/2) で、絶対値は 5/2(cm/sec)
加速度：成分は(0,-5/32) で、絶対値は 5/32(cm/sec2)
となりましたが、どうですか？
No.312 - 2008/04/08(Tue) 19:08:17
☆ Re: / 新高専３年
すいません。ちゃんと読むべきでした。
速度-3cm/sec,加速度-0.3125cm/sec
と解答にあります。
自分で解いたのを載せるので間違ってる箇所を教えて下さい。

x軸上の位置をx,y軸上の位置をyとして
x^2+y^2=1
これを時間tで微分して
2x*(dx/dt)+2y*(dy/dt)=0
よってy軸方向の速度は
dy/dt=-x/y*(dx/dt)=-60*4/80=-3cm/sec
と求めることが出来ました。
しかし加速度は、上式をtで微分しても
(d^2y/dt^2)=-(y-x)/y^2*(dx/dt)-x/y*(d^2x/dt^2)
=-(y-x)/y^2*(dx/dt)=1/80
となって答と合いませんでした。
No.313 - 2008/04/08(Tue) 19:41:36
☆ Re: / hari
ひとつのやり方として
x2 + y2 = 1002
x = 4t
から
16t2 + y2 = 1002
でこれを微分して
yy' + 16t = 0
これで速度が出ます。さらにもう一回微分して
16 + y'2 + yy"= 0
整理してt = 15のときのy = 60, y' = - 3を代入すれば答えを得ます。


分数の微分は複雑なので積の微分に持っていったほうが楽だと思いますよ。
No.318 - 2008/04/09(Wed) 04:08:24
☆ (No Subject) / ヨッシー
なぜか、ＡＢの中点の速度と加速度を求めてました。
私は、Ｂの座標を（0, 4√(625-t2)）として、
ｙ座標をｔで微分して、
　ｙ’＝-4t/√(625-t2)
　ｙ”＝-2500/(625-t2)3/2
に、t＝15 を代入して、
　ｙ’＝３，ｙ”＝5/16
としました。

また、新高専３年さんの方法を継承すると、
　dy/dt=-x(dx/dt)/y
　d2y/dt2＝{-(dx/dt)2-x(d2x/dt2)}/y + x(dx/dt)(dy/dt)}/y2
これに、x=60, x'=4, x"=0, y=80, y'=-3 を代入すると、
　d2y/dt2＝(-16)/80+60・4・(-3)/802
　＝-25/80＝-5/16
となります。
No.319 - 2008/04/09(Wed) 10:02:27
☆ Re: / 新高専３年
やっと理解できました。本当にありがとうございます
No.322 - 2008/04/09(Wed) 16:49:52
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