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★ 旧掲示板 / ヨッシー
旧掲示板ですが、
最終記事までのログが取れましたので、この掲示板からの
リンクは外しました。
旧掲示板自体は残りますが、書き込みは出来ません。

荒らしさえなければ、続けたのですが残念です。
No.336 - 2008/04/11(Fri) 13:03:40
★ 2次関数の問題です / ケイ
曲線 y=2lx^2-4x+3l+2 と、点(0,1) を通る直線が4点で交わる時の直線の傾きmの値を求めなさい。
という問題で、
y=2lx^2-4x+3l+2
=(x-1)(x-3)
(x-1)(x-3)>0より、x<1,x>3の時　y=2(x-2)^2
(x-1)(x-3)<0より、1<x<3の時　　y=-2(x-2)^2+4　　となる
点(0,1)を通る直線を y=mx+1 とおく
傾きの最小値は点(0,1)(1,2)を通る 2=x+1 だから m=1
傾きの最大値は 1<x<3 y=-2x^2+8x-4と接するから傾きは
　-2x^2+8x-4=mx+1 が1<x<3で重解を持つ時の値だから
　2x^2+(m-8)x+5=0 (m-8)^2-4・2・5=0
m^2-16m+24=0 m=8+2√10,8-2√10
という所までは解けるのですが m=8+2√10,8-2√10のどちらが1<x<3 で接する時の値なのかが分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.334 - 2008/04/11(Fri) 10:42:18
☆ Re: 2次関数の問題です / ヨッシー

グラフを描きましょう。

-2x^2+8x-4=mx+1 が、重解を持つときが２ヶ所あると言うことなので、
図のように、２つの傾きの接線が引けます。
１つは、１＜ｘ＜３ で接していて、１つは、ずっと右下の方で
接しています。
どちらの方が傾きが大きいかを考えると、m=8+2√10,8-2√10のどちらであるか
は、わかるでしょう。
No.335 - 2008/04/11(Fri) 11:28:09
★ 2次関数なですが… / すにふ
不等式　x2乗−(a＋1)x＋a＜0 を満たす整数がちょうど2個だけあるような実数aの値の範囲を求めなさい。
という問題が分かりません。
(x−a)(x−1)＜0 で、aが−1では駄目だって事は分かるのですが…。
よろしくお願いいたします。
No.330 - 2008/04/10(Thu) 02:52:22
☆ Re: 2次関数なですが… / hari
解の差の絶対値|a - 1|が2より大きく3以下であればよいですね。

解の差の絶対値というのは y = x^2 - (a + 1)x + aが切り取るx軸の長さです。
今回は端点を含まないので、この切り取られた長さが2より大きく3以下ならば必ずそこに整数が二つ含まれることになります。
No.331 - 2008/04/10(Thu) 04:54:20
☆ Re: 2次関数なですが… / すにふ
hariさん、どうもありがとうございました。
問題の意味が理解できました。
No.333 - 2008/04/11(Fri) 10:17:01
★ ベクトル、一次変換 / 康夫
?@ベクトルについて
去年の学校の補習で、２つのベクトルに垂直なベクトルの公式みたいなものを教えてもらったのですが、ノートをなくし、確認できなくなりました。その公式を教えてください。


?A一次変換に関する問題
直線y=mxに関して各点のその対称点に移す一次変換およびその行列はmにより決まるから、f(m)およびA(m)と表す。
（1）行列A(m)を求めよ。
（2）A(m)の逆行列を作れ。

一応解くことはできたのですが、（2）の解説でf(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)^-1であると書いていました。
どういてこのようなことが言えるのですか。教えてください。
No.328 - 2008/04/09(Wed) 23:33:07
☆ Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
(1)私のページの「ベクトルの外積」をご覧ください。

(2)
「f(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)である」でしょうね。
ある点Ａが y=mx に関して、対称に移動した点をＢとします。
点Ｂを、y=mx に関して対称に移動したものが点Ａですから、
　Ａ→Ｂ　も　Ｂ→Ａ　もf(m) であり、当然、Ｂ→Ａ　は
Ａ→Ｂの逆写像です。
No.329 - 2008/04/09(Wed) 23:57:27
☆ Re: ベクトル、一次変換 / 康夫
逆写像とかいう意味があまりわかりません。・・・
No.337 - 2008/04/11(Fri) 13:42:53
☆ Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
ある写像の逆の動きをするのが逆写像です。
たとえば、
　ｘ軸方向に３、ｙ軸方向に−２、移動する写像
の逆写像は
　ｘ軸方向に−３、ｙ軸方向に２、移動する写像
です。元の写像で点Ａ（２，４）は、点Ｂ（５，２） に移ります。
逆に、逆写像では、点Ｂが点Ａに移ります。

この例では、元の写像と、逆写像は別の動きをしますが、
対称移動では、逆写像も、同じ動きをする写像となります。
No.338 - 2008/04/11(Fri) 13:55:29
★ 順列組合せ / eois(高3)
1,1,1,2,2,3,3の7個の数字を一列に並べる。

このとき、どの数字も同じ数字は隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。


考え方がわかりません。どういう考え方で解いていけばよいのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.323 - 2008/04/09(Wed) 21:00:43
☆ Re: 順列組合せ / らすかる
1が隣り合わない並べ方は、2,2,3,3を並べて(4C2通り)、
間または端計5箇所中3箇所に1を入れれば良いので(5C3通り)、4C2×5C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、2が隣り合う並べ方は
2を一つと考えて同じように計算すれば良いので、3C1×4C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、3が隣り合う並べ方は同じく3C1×4C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、2も3も隣り合う並べ方は
2と3を両方とも一つと考えて同じように計算すれば良いので、2C1×3C3通り
よって求める並べ方は
4C2×5C3-3C1×4C3-3C1×4C3+2C1×3C3=38通り
No.324 - 2008/04/09(Wed) 22:40:03
★ 図形 / ピー
図のようにAB=AC底辺と高さを1とする△ABCと
、この三角形に合同な三角形を並べて作られた平行四辺形ABSTに対角線BTをひく。この平行四辺形ABSTについて

(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

答え
（１）【(9√5＋√85)/2】
(2) 5/2

考え方がわかりませんでした
よろしくおねがいします
No.315 - 2008/04/08(Tue) 22:12:33
☆ Re: 図形 / にょろ
その画像に新たに点を入れてみました。
（赤いやつです）
ペイントでやったので場所がずれてるとかいわないで下さい…。

まず
(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
一つ一つやっていったら面倒くさいです。

ですが、少し考えると求める長さLはこうなります。

L=AB+AC+CD+DG+GE+EH+HF+FS+ST+BT
（求める部分をなぞれば分かると思います）
更に、BT以外は全部合同の三角形かつAB=ACだと言っているのだから

L=9AB+BT

です。
更にTU=1(高さ)
BC=1なので

AC^2=1^2+(1/2)^2

です。
よってAC=√5/2

次、BTは
BT^2=TU^2+BU^2

=(9/2)^2+1^2

よってBT=√85/2

これより
L=9AB+BT
=(9√5+√85)/2

(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

これはまず問題を読み替えます

(2)'平行四辺形の中で「斜線のついた三角形」以外の部分の面積を求めなさい

要するに平行四辺形から斜線のついた三角形の面積を引けと言ってるんです。

ところで平行四辺形なのだから
△ABT≡△STBです。

つまり、どちらかの三角形だけ考えて後で２倍しましょう。
（斜線部分も同じ事ですし）

まず、△BCJ∽△BSTです。
そして相似比は1:4です。
つまり、面積比は1:16です。
更に△BST=(1/2)*1*4=2です。

と言うわけで、△BCJ=1/8
です。

TS=1とすると
次、相似なのだからJC=1/4です。
（実際の長さと違います）

更に、AB=1です。

でここにもう一つ相似な三角形
△ABI∽△CJIが出てきます。

と言うわけでBI:JI=4:1です。
同様に斜線の引いてある三角形は全て相似です。
相似比は青字で書いてあります。

ここで、高さを共有する三角形の面積の比は底辺の比なのですから

△BCI:△ICJ=4:1

よって△ICJ=(1/8)*(1/5)=1/40

さて、
△IJC∽△KLG∽△MNH∽△OTS

で、相似比は図の通りです。

よって斜線の面積sは以下の通りに表せます。
s=△IJC+△KLG+△MNH+△OTS
=(1+2^2+3^2+4^2)/40=30/40=3/4

(綺麗な数字でちょっとびっくり)
と言うわけで、
白い部分の面積Sは、
S=2(△STB-s)
=2(2-3/4)
=2(5/4)
=5/2
(二倍したのは上の説明よりです)

以上です。

【補足】

KJ:KL=3:2の理由

JC=1/4ですから
DJ=3/4

EL:GL=1:1だから
（△BGL≡△TEL）

EL=2/4

と言うわけで、
△KJDと△KLGの相似比は、
3:2になります。



と書いてみましたし答えもあったので多分あってると思いますが、間違ってたらゴメンナサイ
あと、実際のJCの長さはTS/4つまり√5/8です。
見やすくするためTS=tと置くなどを省き1としました。
No.317 - 2008/04/09(Wed) 01:01:56
☆ Re: 図形 / にょろ
一個書き忘れたので追加

この問題には不備があります。

三角形の底辺がBCだ何て何処にも書いていません。
要するにAB=AC=1と言う解釈でも間違っては居ないと思います。
（でも計算は面倒くさくなりますよ）
No.320 - 2008/04/09(Wed) 13:13:58
☆ Re: 図形 / ヨッシー
特に、面倒くさくはならないと思いましたが、
どうなんでしょう？
直感ですが。
No.321 - 2008/04/09(Wed) 15:28:23
☆ Re: 図形 / ピー
どうもありがとうございます。
添付が見えずくて左の部分がよく見えませんでした。
もう少し考えてみます
No.326 - 2008/04/09(Wed) 23:11:45
☆ Re: 図形 / にょろ
ヨッシーさん

実際に素でやり始めましたが問題解くのに要した時間は１０分なかったと思います。
No.327 - 2008/04/09(Wed) 23:15:35
★ (No Subject) / ピー
ヨッシーさんこんにちわ
おかげさまで?Aまで理解できました
(2)について教えてください
△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２になるのかがわかりませんでした。


1：２ではなくたとえば1：３でも可能ですか？
1:2は計算を楽にする為に表す方法なのでしょうか？
質問ばかりですいません

△ＡＥＱと△ＴＦＱが相似だとして、
対応する辺は　ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱになりました
No.308 - 2008/04/08(Tue) 09:51:13
☆ (No Subject) / ヨッシー

こんな感じですよね？
ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱ
の、６つの辺のうちで、長さが分かっているところを、
図に書き込んでみましょう。


たとえば、このようであれば、相似比は１：３で、
ＦＴ＝４×３＝１２ になりますね。
※これは、本問の数値とは関係ありません。
No.309 - 2008/04/08(Tue) 10:49:39
☆ Re: / ピー
図の添付ありがとうございます
1:3はどこか駄目なのかが分かりませんでした。

1:3にするとＡＥの長さが6なのに対して４になるか駄目なのでしょうか？
No.314 - 2008/04/08(Tue) 22:02:24
☆ (No Subject) / ヨッシー
※これは、本問の数値とは関係ありません。
と書いてあるように、下の方の図の数値は一例であり、
１：３がダメな理由でもありません。

まずは、ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱ
の、６つの辺のうちで、長さが分かっているところは、
どこですか？
No.316 - 2008/04/09(Wed) 00:26:14
☆ Re: / ピー
６つの辺のうちで、長さが分かっているところは
EQ=2 , AE=6 AQ=√40になりました。
No.325 - 2008/04/09(Wed) 22:47:24
☆ (No Subject) / ヨッシー
その3つは、△ＡＥＱの方ですね。
△ＴＦＱ の方で、どこか長さが分かりませんか？
そうすると、その辺と対応する△ＡＥＱとの間で、
辺比が出来ます。
No.332 - 2008/04/10(Thu) 07:43:59
★ 定積分の問題 / 999
はじめまして。
さっそくですが質問があります。
この定積分の問題のが解き方分かりません。
∫^∞_0 10^(x/10) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)) dx
よろしくお願いします。
No.306 - 2008/04/07(Mon) 23:26:22
★ ベクトル / 晴れ晴れ
点A(1,3,0)を通り↑a＝(−1,1,−1)に平行な直線をl,点B(−1,3,2)を通り↑b＝(−1,2,0)に平行な直線をmとする｡Pは直線l上の点,点Qは直線m上の点とする｡線分PQの長さの最小値を求めよ。
No.304 - 2008/04/07(Mon) 21:58:11
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
直線ｌ上の点は(1-s,3+s,-s)、直線ｍ上の点は(-1-t,3+2t,2) と書けます。(s,t は実数)
この２点の距離をｄとすると、
　ｄ2＝(2-s+t)2+(s-2t)2+(-s-2)2
　　＝3s2+5t2-6st+4t+8
　　＝3(s-t)2＋2(t+2)2＋６
よって、t=-2, s=t=-2 のとき、最小６
よって、ｄの最小値としては√6
No.305 - 2008/04/07(Mon) 22:47:33
★ (No Subject) / 新高専３年
x軸上に端点A,y軸上に端点Bを持つ長さ1ｍの線分がある。点Aが最初原点Oにあり、x軸の正の方向に4cm/secの速度で動いている。OA=60cmとなったときのBの速度,および加速度を求めよ。
この問題で速度は求めることは出来ましたが、加速度が求められません。よろしくお願いします。
No.303 - 2008/04/07(Mon) 21:54:22
☆ Re: (No Subject) / hari
速度を時間で微分すれば加速度です。


No.307 - 2008/04/08(Tue) 01:11:46
☆ Re: / 新高専３年
速度を求めたときの式をさらに微分しても答と合いませんでした。解説をお願いしたいです。
No.310 - 2008/04/08(Tue) 17:33:46
☆ (No Subject) / ヨッシー

よろしく。
No.311 - 2008/04/08(Tue) 17:38:57
☆ (No Subject) / ヨッシー
私の計算では
速度：成分は(2,-3/2) で、絶対値は 5/2(cm/sec)
加速度：成分は(0,-5/32) で、絶対値は 5/32(cm/sec2)
となりましたが、どうですか？
No.312 - 2008/04/08(Tue) 19:08:17
☆ Re: / 新高専３年
すいません。ちゃんと読むべきでした。
速度-3cm/sec,加速度-0.3125cm/sec
と解答にあります。
自分で解いたのを載せるので間違ってる箇所を教えて下さい。

x軸上の位置をx,y軸上の位置をyとして
x^2+y^2=1
これを時間tで微分して
2x*(dx/dt)+2y*(dy/dt)=0
よってy軸方向の速度は
dy/dt=-x/y*(dx/dt)=-60*4/80=-3cm/sec
と求めることが出来ました。
しかし加速度は、上式をtで微分しても
(d^2y/dt^2)=-(y-x)/y^2*(dx/dt)-x/y*(d^2x/dt^2)
=-(y-x)/y^2*(dx/dt)=1/80
となって答と合いませんでした。
No.313 - 2008/04/08(Tue) 19:41:36
☆ Re: / hari
ひとつのやり方として
x2 + y2 = 1002
x = 4t
から
16t2 + y2 = 1002
でこれを微分して
yy' + 16t = 0
これで速度が出ます。さらにもう一回微分して
16 + y'2 + yy"= 0
整理してt = 15のときのy = 60, y' = - 3を代入すれば答えを得ます。


分数の微分は複雑なので積の微分に持っていったほうが楽だと思いますよ。
No.318 - 2008/04/09(Wed) 04:08:24
☆ (No Subject) / ヨッシー
なぜか、ＡＢの中点の速度と加速度を求めてました。
私は、Ｂの座標を（0, 4√(625-t2)）として、
ｙ座標をｔで微分して、
　ｙ’＝-4t/√(625-t2)
　ｙ”＝-2500/(625-t2)3/2
に、t＝15 を代入して、
　ｙ’＝３，ｙ”＝5/16
としました。

また、新高専３年さんの方法を継承すると、
　dy/dt=-x(dx/dt)/y
　d2y/dt2＝{-(dx/dt)2-x(d2x/dt2)}/y + x(dx/dt)(dy/dt)}/y2
これに、x=60, x'=4, x"=0, y=80, y'=-3 を代入すると、
　d2y/dt2＝(-16)/80+60・4・(-3)/802
　＝-25/80＝-5/16
となります。
No.319 - 2008/04/09(Wed) 10:02:27
☆ Re: / 新高専３年
やっと理解できました。本当にありがとうございます
No.322 - 2008/04/09(Wed) 16:49:52
★ わかりません。 / あみ
(1)x＞1,y＞1のとき、xy+1とx+yの大小を
不等号で示せ。
(2)a＞0,b＞0のとき、次の不等式を
証明せよ。

(a+b)(1/a+1/b)≧4

お願いします！
No.296 - 2008/04/07(Mon) 17:53:26
☆ Re: わかりません。 / hari
(1)x＞1,y＞1のとき、xy+1とx+yの大小を不等号で示せ。

引き算をして、それが正か負かを考えてみましょう。
(xy + 1) - (x + y) = (x - 1)(y - 1)


(2)a＞0, b＞0のとき、次の不等式を証明せよ。

(a + b)(1/a + 1/b) = 2 + b/a + a/b
です。 b/a + a/bに相加相乗平均の関係を使ってみましょう。
No.298 - 2008/04/07(Mon) 18:27:00
☆ Re: わかりません。 / キャスパー
(1)
例えばa,bの大小を調べるときa-bを計算して、その結果が

もし、a-b>0　なら　a>b ということがわかります。
　　 (a-b<0　なら　a<b　です）

この問題についても
x＞1,y＞1のとき、xy+1-(x+y)が0より大きいか、
もしくは、0より小さいかを調べればOKですd(^▽^o)
No.299 - 2008/04/07(Mon) 18:28:47
☆ Re: わかりません。 / キャスパー
hariさん、かぶってしまってすみません。
No.300 - 2008/04/07(Mon) 18:30:56
★ 春休み課題 / 北
以下の問題（因数分解）の解法が分かりません。教えてください。
(1)x^2-y^2+4y-4
(2)4x^2-4y^2+4y-1
(3)4a^2-1/9(b-c)^2
(4)8x^3+6x^2+3x+1
(5)a^2b-bc-a^4c+2a^2c^2-c^3
No.288 - 2008/04/07(Mon) 12:05:11
☆ Re: 春休み課題 / ヨッシー
(1)x^2-(y^2-4y+4) として、(　)をまず因数分解。
(2)4x^2-(4y^2-4y+1) として、(　)をまず因数分解。
　4x^2 は、(2x)^2 とみなす。
(3)(2a)^2-{1/3(b-c)}^2 とみなす。
(4){(2x)^3+3(2x)^2+3・2x+1}−(6x^2+3x) とし、それぞれ因数分解。
(5)a^2＝Ａ とおくと、
　b(A-c)-c(A^2-2Ac+c^2)
となります。(A^2-2Ac+c^2) を因数分解。
No.292 - 2008/04/07(Mon) 13:18:07
★ 高次方程式 / リチャード（高2）
整式F(x)を(x+2)^3で割ったときの余りは4x^2+3x+5、x-1でわった時の余りは3である。このとき、

(1)F(x)を(x+2)(x-1)で割ったときの余りを求めよ。

(2)F(x)を(x+2)^2*(x-1)で割ったときの余りを求めよ。


この問題の(2)の方なのですが、微分したら解けるかなぁと思ったのですが、微分はまだ習ってない時点での問題なので使わなくても解けるはずなのですが、どうしても解き方がわかりません。なので説明お願いします。

ちなみに、解法は載ってなく、答えは(2)だけ載せると3x^2-x+1です。
No.287 - 2008/04/07(Mon) 11:39:05
☆ Re: 高次方程式 / ヨッシー
F(x) を (x+2)^3 で割った商を G(x) とすると、
　F(x)＝G(x)(x+2)^3＋(4x^2+3x+5)
と書けます。4x^2+3x+5＝4(x+2)^2−13x−11 より、
　F(x)＝G(x)(x+2)^3＋4(x+2)^2-13x-11
　　＝(x+2)^2{G(x)(x+2)+4}-13x-11
ここで、G(x)(x+2)+4＝H(x)(x-1)＋m とおくと、
　F(x)＝(x+2)^2{H(x)(x-1)＋m}-13x-11
F(1)＝3 より、
　F(1)＝3^2・m-24＝3
よって、ｍ＝３
これより、
　F(x)＝(x+2)^2(x-1)H(x)＋m(x+2)^2-13x-11
と書け、求めるあまりは、
　m(x+2)^2-13x-11＝3(x+2)^2-13x-11＝3x^2-x+1
となります。
No.289 - 2008/04/07(Mon) 12:53:34
☆ Re: 高次方程式 / リチャード（高2）
よくわかりました、ありがとうございます！
No.290 - 2008/04/07(Mon) 12:59:09
☆ Re: 高次方程式 / リチャード（高2）
といったものの、

G(x)(x+2)+4＝H(x)(x-1)＋m とおくと、

という操作がいまいちわかりません；
No.291 - 2008/04/07(Mon) 13:05:44
☆ Re: 高次方程式 / ヨッシー
一気に書くとわかりにくければ、
G(x)(x+2)+4 を、とりあえず J(x) などとおいて、
　F(x)＝(x+2)^2J(x)-13x-11
として、一旦落ち着きますか。
目標は、F(x)＝(x+2)^2(x-1)H(x)＋(求めるあまり)
の形にすることですから、J(x) から、(x-1) をくくり出します。
J(x) を x-1 で割ったあまりは、定数項のみですから、
　J(x)＝(x-1)H(x)＋ｍ
とおきます。
No.293 - 2008/04/07(Mon) 13:22:21
★ 数と式 / シエラ(高1)
2つの整式の

和が6x³+2x²-3x-4,
差が2x³-6x²+3x+12

であるとき、この2つの整式を求めよ。


Ａ,4x³-2x²+4,2x³+4x²-3x-8



です。解き方が分からないので説明お願いします。
No.285 - 2008/04/07(Mon) 10:16:18
☆ Re: 数と式 / ヨッシー
私のページの和算目録の和差算をご覧ください。

ただし、和はともかく、差はどう定義されるか曖昧ですね。
　２ｘ−３ｘ2　と　ｘ＋２ｘ2 の差は、
　ｘ−５ｘ2 か −ｘ＋５ｘ2
のどちらでしょう？

たぶん(計算結果の)最大次数の係数が正になるように引くんでしょうね。
(上の例では、−ｘ＋５ｘ2 の方)
No.286 - 2008/04/07(Mon) 10:51:18
★ ２次関数の解と係数の関係の問題 / Kay
２次関数の解と係数の関係の問題です。ｄ３の質問箱に質問した問題です。

解説の中に「α、βの少なくとも一方は正」というのは「α＜０またはβ＜０」ということ、とあったのですが、よく分からないので、詳しく教えてく下さい。

「α、βの少なくとも一方は正」というのは、「２解とも０以下」ではない、ということなので、これを（２解ともはダメだが）「１つの解は０以下でもよい」と考えれば「α、βの少なくとも一方は正」というのは「α≦０またはβ≦０」だと思うのですが。

なぜ、「α≦０またはβ≦０」ではなく、「α＜０またはβ＜０」と、不等号（≦）の等号がなくなって（＜）なってしまうのか教えてください。
No.271 - 2008/04/06(Sun) 20:27:53
☆ Re: ２次関数の解と係数の関係の問題 / ヨッシー
ｄ３の質問箱というのは、よく知りませんが、
普通に考えれば、「α、βの少なくとも一方は正」というのは、「α＞０ または β＞０」で、不等号の向きが逆です。
「『２解とも０以下』ではない」は、「α、βの少なくとも一方は正」と
同値ですが、それを書くなら、「『α≦０ かつ β≦０』ではない」
です。
これ以上のことは、ここでは言えません。
No.272 - 2008/04/06(Sun) 21:35:06
★ (No Subject) / 亜矢
直線y=kx+3k…?@（ｋは定数）と円x^2+y^2-6x=0…?Aについて
次の各問いに答えよ。

(1)直線?@はkの値にかかわらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。
答　（-3,0)
(2)直線?@が円?Aに接するときのｋの値を求めよ。
答　k=±1/√3
(3)?@と?Aが異なる２点P,Qで交わるとする。ｋが変化するとき、弦PQの中点Mの軌跡を表す図形の方程式を求めよ。
答　x^2+y^2=9(3/2＜x)

(3)がどうしても解けません・・・ (゜ー゜;A
よろしくお願いします。
No.270 - 2008/04/06(Sun) 20:23:54
☆ (No Subject) / ヨッシー
?@と?Aが異なる２点P,Qで交わるので、ｋの範囲は、
　-√3/3＜ｋ＜√3/3
です。
このとき、?@を?Aに代入した
　(1+k2)ｘ2＋(6k2-6)ｘ+9k2＝０
の解をα、βとすると、
　（(α+β)/2, k(α+β)/2+3k）
が、Ｍの座標になります。
解と係数の関係より
　α+β＝(6-6k2)/(1+k2)
より、Ｍの座標を(ｘ、ｙ)とすると、
　ｘ＝(3-3k2)/(1+k2)
　ｙ＝k(3-3k2)/(1+k2)+3k
ｙの式を変形して、
　ｙ＝{k(3-3k2)+3k(1+k2)}/(1+k2)
　　＝6k/(1+k2)
ここで、ｋ＝tanθ とおくと、-π/6＜θ＜π/6 であり、
　ｘ＝3cos2θ(1-tan^2θ)＝3cos2θ
　ｙ＝6cos2tanθ＝3sin2θ
よって、x2＋y^2＝32
ただし、ｘ＝3cos2θ において、-π/6＜θ＜π/6 なので、
　ｘ＞3/2
No.273 - 2008/04/06(Sun) 22:17:35
☆ Re: / XX
P,Qのx座標をα、βとするとα、βは?@?Aからyを消去してできるxの二次方程式
(k^2+1)x^2+6(k^2-1)x+9k^2=0 (A)
の解であることが分かります。よって解と係数の関係より
α+β=6(k^2-1)/(k^2+1) (B)
又、(A)の解の判別式をDとすると(A)は異なる二つの実数解を持つので
D/4=9(k^2-1)^2-(9k^2)(k^2+1)>0 (C)
このときM(X,Y)と置くと
X=(α+β)/2 (D)
更に点Mも?@の上にあるので
Y=kX+3k (E)
(B)(D)(E)よりk,α,βを消去してX,Yの関係式を求めます。
又、(A)(C)(D)よりk,α,βを消去してXについての不等式を求め
Xの範囲を求めます。
No.274 - 2008/04/06(Sun) 22:27:06
☆ Re: / X
>>ヨッシーさんへ
ごめんなさい。かぶりました。
ついでにハンドル名もXXと間違えました。
Xが正しいハンドル名です。
No.275 - 2008/04/06(Sun) 22:30:46
☆ Re: / 亜矢
ヨッシーさん、Ｘさん
詳しいご説明ありがとうございました！
No.278 - 2008/04/06(Sun) 23:17:08
★ 高２の進研過去問です / てる
α＝(√5-1)/2とする。
α^3+pα^2+qα-1=√5を満たす有理数p,qの値を求めよ。

答え　p=3,q=3

よろしくお願いします！
No.264 - 2008/04/06(Sun) 17:01:19
☆ Re: 高２の進研過去問です / angel
とりあえず、素直に計算してみましたか?
　α^2=(3-√5)/2
　α^3=√5-2
となりますから、代入して√5を含む項・含まない項で整理すると、
　1/2・(q-p)√5 + 1/2・(3p-q-6)=0
となります。
　(有理数)・(無理数) + (有理数) = 0
の形であれば、この2つの有理数は共に 0 となりますから、この問題の場合、
　q-p = 3p-q-6 = 0
ということで、p,q が割り出せます。
No.265 - 2008/04/06(Sun) 17:41:29
☆ 別解 / angel
α^2, α^3 を計算するのが面倒なため、次に挙げる解の方が楽ですが、別々の方法で解いてクロスチェックする ( 違う方法で解いても同じ答えになるなら、まず正解だろうと推測できる ) ためにも、先の方法はやった方が良いです。

別解としては、
α=(√5-1)/2 を、無理数の見えない形に整理するところから。
両辺を2倍して、-1 を移項すると、
　2α+1 = √5
さらに、両辺を平方すると、
　(2α+1)^2 = (√5)^2
これより、α^2+α-1=0 すなわち、α^2=1-α
さらに、α^3=α・α^2=α(1-α)=α-α^2=α-(1-α)=2α-1

これらを代入すれば、
　(2α-1)+p(1-α)+qα-1 = (2α+1)
これをαについてまとめてあげれば、αは無理数、その他は有理数なので、先ほどと同じ話になります。
No.266 - 2008/04/06(Sun) 17:48:09
☆ Re: 高２の進研過去問です / てる
なるほど〜。

よく分かりました。ありがとうございました！
No.269 - 2008/04/06(Sun) 19:09:16
★ 春休みの課題です / 桜和
はじめまして、桜和といいます。
早速質問なのですが、

図のように点Ｐからの２直線がＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄで円と交わり、ＣＰ＝１３、ＤＰ＝１２、ＡＤ＝ｘ、ＢＣ＝ｙ、∠ＡＢＰ＝９０°、⌒ＡＤ＝２⌒ＣＤである。
このとき、ｘ、ｙの値を求めよ。

答えｘ＝５√３　ｙ＝６０√３−２５／１３

という問題が分かりませんでした。
よろしく願いします。
No.262 - 2008/04/06(Sun) 14:04:13
☆ Re: 春休みの課題です / ヨッシー
∠ＡＢＣ＝90° なので、ＡＣはこの円の直径となり、
同時に∠ＡＤＣ＝90° であることも分かります。
すると、△ＣＤＰは、直角三角形で、三平方の定理より、
ＣＤ＝５　が分かります。

一方、、⌒ＡＤ＝２⌒ＣＤより、ＡＤ：ＤＣ＝√3：１ と分かります。
すると、ＡＤ＝5√3　・・・ｘ

△ＣＤＰと△ＡＢＰは相似（３辺が５：１２：１３）であり、
ＡＰ＝5√3＋12
ＢＰ＝(12/13)ＡＰ＝144/13＋60√3/13
よって、
ＢＣ＝ＢＰ−ＣＰ＝144/13＋60√3/13−13＝(60√3−25)/13　・・・ｙ
No.263 - 2008/04/06(Sun) 14:59:07
☆ Re: 春休みの課題です / 桜和
解かりました！！
ありがとうございます。
８日が課題テストなので頑張ります！
No.277 - 2008/04/06(Sun) 23:03:15
★ 春休みの宿題です / shuse
次の二つの関数f(x)=2|x^2-x-2|+x-4,g(x)=2x+kについて考える。
(1)y=f(x)のグラフを書け。
(2)y=f(x)とy=g(x)の二つのグラフが共有点を２つ持つ時のkの値の範囲を求めよ。また、共有点を４つ持つ時のkの値の範囲を求めよ。
(3)f(x)≦g(x)となるようなxの値の範囲をIとする。Iに整数が３こ含まれるときのkの値の範囲を求めよ。また、Iに整数が５個含まれる時のkの値の範囲を求めよ。

この問題の(3)の解き方が分からないので教えてください。

答えは
(2)2つ持つ時　-6<k<-3,1/8<k
　4つ持つ時　-3<k<1/8
(3)3こ含まれる時　-1≦k<0
　5個含まれる時　1≦k<6

です
No.257 - 2008/04/06(Sun) 09:58:28
☆ Re: 春休みの宿題です / ヨッシー

図を参照してください。

y=g(x) において、ｋ は、ｙ切片に現れます。
ｘ軸上の●が、f(x)≦g(x) を満たす、整数ｘを表します。
●の数が、整数の個数になります。
No.260 - 2008/04/06(Sun) 13:12:47
★ 図形 / ピー
問題です。
答え
(1)?@ 9 ?A　【11√5】/5
(2) 38/3

恥ずかしながら1問も分かりませんでした。
宜しくおねがしいます。(いつでも構いません）
No.250 - 2008/04/05(Sat) 13:37:58
☆ Re: 図形 / ヨッシー
平面の場合は解けますか？

１辺６の正方形ＡＢＣＤにおいて、ＢＰ＝３
の点を図のように取るとき、線分ＡＣ上の点Ｒに対して、
　ＢＲ＋ＲＰ
の最小値。
答えは、3√5
No.251 - 2008/04/05(Sat) 14:13:23
☆ Re: 図形 / ピー
平面の場合分かりませんでした。
どのように解くのか教えてください
No.252 - 2008/04/05(Sat) 14:57:49
☆ Re: 図形 / ヨッシー

図のように、ＡＣに対して、Ｐと対称な点Ｐ’を取ると、
ＲＰ＝ＲＰ’ なので、ＢＲ＋ＲＰ の代わりに、
ＢＲ＋ＲＰ’を最小にすることを考えます。
すると、ＢとＰ’を直線で結んだときが長さが最小なので、
ＢＰ’＝√(62＋32)＝3√5
となります。
立体の場合も、同じ方法が使えます。

(1)-2

図のように、ＡＰと垂直な平面を考えます。
この平面上に引いた直線は、必ずＡＰと垂直になります。
その平面が、ちょうど点Ｑを通るとき、ＡＰとの交点がＳに
なります。
下の方の図は、上の図を真上から見た図です。
ＡＰ＝3√5
ＡＱ＝２　に対して、ＡＳ＝ＡＱ×2/√5＝4/√5＝4√5/5
よって、ＰＳ＝ＡＰ−ＡＳ＝11√5/5

(2)
ＢＦをＦの方向へ１２延ばした点をＴとします。
ＡＰＱを通る平面は、必ず点Ｔを通り、
三角錐Ｔ−ＡＢＰ を形成します。

求める立体は、三角錐Ｔ−ＡＢＰ から、三角錐Ｔ−ＱＦＵ
（Ｕは、ＰＴとＦＧの交点）を引いたものです。
２つの三角錐は、相似で、相似比は、３：２ であるので、
体積比は、２７：８ です。つまり、求める立体の体積は、
三角錐Ｔ−ＡＢＰの、19/27 となります。
三角錐Ｔ−ＡＢＰの体積は、底面△ＡＢＰの面積が３ｘ、
高さが１８であるので、
　３ｘ×１８÷３＝１８ｘ
よって、求める立体の体積は、
　１８ｘ×19/27＝３８ｘ/３
となります。
No.253 - 2008/04/05(Sat) 16:31:12
☆ Re: 図形 / ピー
ヨッシーさんありがとうございます。
図凄いです。
どんなソフトを使っているんですか？
もしよかったら教えてください。

話が変わって
?@の問題で
立体のFR＋RPが分からないので教えてください。
平面はよっしさんのおかげで理解できましたが立体は難しいです
No.254 - 2008/04/05(Sat) 22:11:56
☆ Re: 図形 / ヨッシー
平面ＡＥＧＣに対して、点Ｐと対称な点は、
ＣＤの中点になります。この点をＰ’として、
ＦＰ’の直線距離を出します。

ＧＩＦアニメの作り方は、私のページにあります。
No.255 - 2008/04/05(Sat) 23:12:19
☆ Re: 図形 / ピー
ＦＰ’の直線距離の求めかたは三平方の定理を利用するのでしょうか？
立体の最短距離は難しいです。

図形を作るソフトはGIFという名前なんですね。
教えていただいてありがとうございます
No.256 - 2008/04/05(Sat) 23:29:44
☆ Re: 図形 / ピー
立体の最短距離の求めかたが分からなかったので教えてください
No.258 - 2008/04/06(Sun) 10:58:02
☆ Re: 図形 / ヨッシー
では、小手調べに、ＥＣの距離を求めてみてください。

高校までの範囲では、最短距離＝直線距離＝距離 です。
高２あたりで、空間座標を習って、すぐに出てくるはずです。
No.259 - 2008/04/06(Sun) 11:43:23
☆ Re: 図形 / ピー
参考書を見たのですがよく分からなかったのでもしよかったら教えていただけないでしょうか？
何度もすいません
No.268 - 2008/04/06(Sun) 18:51:35
☆ Re: 図形 / ヨッシー

図の、ＦＰ’が求める距離です。
　１．ＢＰ’の長さはいくらですか？
　２．四角形ＢＦＵＰ’は、どんな四角形ですか？
　３．ＦＰ’の長さはいくらですか？
No.276 - 2008/04/06(Sun) 22:47:35
☆ Re: 図形 / ピー
１．ＢＰ’の長さはいくらですか？
ＢＰ’＝(3＾2)＋（６＾2)
＝√45
=3√5

　２．四角形ＢＦＵＰ’は、どんな四角形ですか？

向かい合った2つ辺の長さが平行なので平行四辺形ですか？

　３．ＦＰ’の長さはいくらですか？
　　　【(3√5)＾2】＋36=9
図の添付ありがとうございました。
分かりやすかったです。
No.279 - 2008/04/06(Sun) 23:24:06
☆ Re: 図形 / ヨッシー
答えが出たようなので、良いのですが、
２．は、平行四辺形には違いないですが、正しくは長方形です。
そうでないと、３．の三平方が出来ないはずですからね。
No.280 - 2008/04/06(Sun) 23:29:12
☆ Re: 図形 / ピー
?@理解できました
どうもありがとうございます。
ＡＳ＝ＡＱ×2/√5＝4/√5＝4√5/5
の式が分かりませんでしたので教えてください
No.281 - 2008/04/07(Mon) 08:04:04
☆ Re: 図形 / ピー
引き続き質問をさせてください。
(2)について
ＢＦをＦの方向へ１２延ばした点をＴとします
どうして12増やすのかわからなかったです。

２つの三角錐は、相似条件を教えてください
∠Tとどこか共通なのでしょうか？
No.282 - 2008/04/07(Mon) 08:26:08
☆ Re: 図形 / ヨッシー
>ＡＳ＝ＡＱ×2/√5
△ＡＳＱは、1:2:√5 の直角三角形なので、そうなります。

ＡＱがＢＦと交わる点がＴです。
△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２の相似なので、
ＡＥ＝６に対して、ＦＴ＝１２　です。
No.283 - 2008/04/07(Mon) 08:37:03
☆ Re: 図形 / ピー
何度もすいません
△ＡＳＱは、1:2:√5 の直角三角形という比がどうして現われるのかが分かりませんでした

△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２の相似もどうしてなのか分かりませんでした

何度もすいません
No.284 - 2008/04/07(Mon) 09:37:13
☆ Re: 図形 / ピー
もう一度考えてみたのですが分からなかったので教えてください。
いつでも構いません
No.294 - 2008/04/07(Mon) 15:32:05
☆ Re: 図形 / ヨッシー
△ＡＳＱは、△ＡＢＰと相似ですので、1:2:√5 の直角三角形です。

△ＡＥＱと△ＴＦＱが相似だとして、
対応する辺を書いてみてください。
たとえば、△ＡＳＱと△ＡＢＰなら、
ＡＳとＡＢ、ＳＱとＢＰ、ＡＱとＡＰです。
それらの中で、既に長さの分かっているものがあります。
No.295 - 2008/04/07(Mon) 17:35:26
☆ Re: 図形 / ピー
△ＡＳＱは、△ＡＢＰと相似が分からなかったです。
∠Ａが共通で後はどこの角が等しいでしょうか？
No.297 - 2008/04/07(Mon) 17:57:39
☆ Re: 図形 / ヨッシー
「図のように、ＡＰと垂直な平面を考えます。」と書いてあるように、
ＡＰと垂直な平面を、その平面の方向(平面が直線に見える方向)
から見ると、∠ＡＳＱ＝90°です。
No.301 - 2008/04/07(Mon) 20:27:37
☆ Re: 図形 / ピー
?Aまで理解できました
ありがとうございます。
△ＡＥＱと△ＴＦＱは、１：２になるのかがわかりませんでした。

1：２ではなくたとえば1：３でも可能ですか？

△ＡＥＱと△ＴＦＱが相似だとして、
対応する辺は　ＥＱとＱＦ　ＡＥとＦＴ　ＡＱとＴＱになりました
No.302 - 2008/04/07(Mon) 21:16:38
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