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★ (No Subject) / ロピタルの定理
宜しくお願いします。

「(x→a)」を「as x→a」と書きます.f(x)=xsin2xとおく．o(x^6)as x→0の項まで，f(x)の漸近展開を書きなさい．
No.80181 - 2022/01/03(Mon) 01:06:17
★ 極限 / yorion
次の解答が誤りである理由を述べてください
lim(n→∞)(2+4+6+8+･･･+2n)/n² を計算せよ.
(与式)
=lim(n→∞){(2/n²)+(4/n²)+(6/n²)+(8/n²)+･･･(2/n)
=0
No.80180 - 2022/01/03(Mon) 00:32:17
☆ Re: 極限 / IT
> =lim(n→∞){(2/n²)+(4/n²)+(6/n²)+(8/n²)+･･･(2/n)
> =0

逆に質問です。
なぜlim(n→∞){(2/n²)+(4/n²)+(6/n²)+(8/n²)+･･･(2/n)} =0　ですか？

＃あなたが、上記のような解答をしたら、誤りだと言われたが、納得できない。ので、誤りであることを納得させて欲しい。ということでしょうか？
それとも、問題自体に上記のような解答が記載してあって、誤りである理由を説明せよ。という出題で直観的には誤りだと思うが、どう説明すれば良いか分からないということなのでしょうか？

lim(n→∞){(1/n)+.(全部でn個）..+(1/n)}＝0　は、誤りなのは分かりますよね？
No.80182 - 2022/01/03(Mon) 03:57:04
☆ Re: 極限 / yorion
私が解答したものです。
全ての項それぞれが0に向かうので、全体として0に向かうとしか今の私では思えません。分派分子を最高次数の文字で割って0に向かわせるという解法が万能すぎるというか、(通用してない場合は変な答えになりますが)何でもそれすればいいじゃんとなってしまったのです。誤解を解いて欲しくて質問させていただきました。
No.80183 - 2022/01/03(Mon) 12:23:42
☆ Re: 極限 / IT
> 私が解答したものです。
> 全ての項それぞれが0に向かうので、全体として0に向かうとしか今の私では思えません。

lim(n→∞)a[n]＝α（有限値）、lim(n→∞)b[n]＝β（有限値）のときは、
　lim(n→∞){a[n]+b[n]}=α+β　は正しいですから、
有限個の項の和だと、それぞれの項の極限値が有限のとき
項の和の極限値は、それぞれの極限値の和に等しいですが、
無限個（ｎによって項数が増加する）だと必ずしもそうは言えません。

例えば、
lim(n→∞){(1/n)+.(全部でn個）..+(1/n)}＝0　は、誤りなのは分かりませんか？
No.80186 - 2022/01/03(Mon) 12:58:17
★ (No Subject) / c3
点A(3,1)を中心に点B(6,2)を60°だけ回転させる点を点C(p,q)とする時、以下の式で求められる理由を詳しく教えてほしいです。お願いします。
No.80173 - 2022/01/02(Sun) 17:34:43
☆ Re: / ヨッシー
手順としては
１．点Ａ(3, 1)が原点に一致するように、座標全体を移動すると、
　　点Ｂ(6, 2)は、点Ｄ(6-3, 2-1) に移動する
２．点Ｄを原点中心に60°回転する。これが右辺。
３．この点を１．で動かした分、元に戻すと点Ｃ(p, q)となる。
　　つまり、(右辺)＋(3, 1)＝(p, q)
　よって、
　　(p-3, q-1)＝(右辺)
No.80174 - 2022/01/02(Sun) 18:28:08
☆ Re: / c3
ありがとうございます。
No.80179 - 2022/01/02(Sun) 22:08:13
★ (No Subject) / ロピタルの定理
(2)計算過程と結果を教えて欲しいです。
No.80172 - 2022/01/02(Sun) 17:27:50
☆ Re: / X
lim[x→1/2](2x-1)(2x+3)^2=0
lim[x→1/2](π-4arctan2x)=0
となるのでロピタルの定理を適用でき
(与式)=lim[x→1/2]{{(2x-1)(2x+3)^2}'/(π-4arctan2x)'}
=lim[x→1/2]{{2(2x+3)^2+4(2x-1)(2x+3)}/{-8/(1+4x~2)}}
={2(4+3)^2}/{-8/(1+4/4)}
=-49/2
No.80177 - 2022/01/02(Sun) 21:26:52
★ (No Subject) / c3
この問題の解説をお願いします。
スタンダードな解法などがあれば助言をお願いします。
No.80171 - 2022/01/02(Sun) 17:24:14
☆ Re: / X
C[2]が直線であることから
(点Pを固定したときの線分PQの長さの最小値)
=(点PとC[2]との間の距離) (A)
(A)を求めた上で点Pを動かして、(A)の最小値を求めます。

条件から
P(cosθ,asinθ)
(0≦θ＜2π)
と置き、点PとC[2]との距離を
f(θ)と置くと、点と直線との間の
距離の公式により
f(θ)=|3acosθ-4a-asinθ|/√(9a^2+1)
=a|sinθ-3cosθ+4|/√(9a^2+1)
=a|(√10)sin(θ-α)+4|/√(9a^2+1)
(但し、αはtanα=3,0＜α＜π/2なる角)
≧a|-√10+4|/√(9a^2+1)=a(4-√10)/√(9a^2+1)
∴求める最小値は
a(4-√10)/√(9a^2+1)
No.80178 - 2022/01/02(Sun) 21:34:01
☆ Re: / c3
ありがとうございます
No.80185 - 2022/01/03(Mon) 12:49:43
★ (No Subject) / えり
xy平面における直角双曲線xy=aを、媒介変数で表すとどのように表すことができるでしょうか？
漸近線が座標軸に平行でない形ならcosとtanで表したり、-1<t<1なる実数tで表したりといろいろ方法はあるのですが、漸近線が座標軸に平行な場合も似たような形に表現できるのでしょうか？
No.80163 - 2022/01/02(Sun) 02:06:46
☆ Re: / らすかる
何でもよければ
x=a tanθ, y=cotθ　(-π/2＜θ＜π/2,θ≠0)
とか
x=a(1-sinθ)/cosθ, y=(1+sinθ)/cosθ　(0≦θ＜2π,θ≠π/2,3π/2)
とか。
No.80165 - 2022/01/02(Sun) 03:24:20
★ 大学数学　重積分 / あき
（1）がわかりません。この問題の解答は下に載せます。x+y=u、y=vと置くところまではわかるのですが、u^2+v^2<=1の積分領域からの解説をしていただけると幸いです。
No.80160 - 2022/01/01(Sat) 22:54:34
☆ Re: 大学数学　重積分 / X
問題がどこにもアップされていません。
No.80166 - 2022/01/02(Sun) 07:49:31
★ 微分 / 微分
微分の問題です。途中式と説明もお願い致します。

(問)f(x)=xsin2xとおく．x^4の項が剰余項となるf(x)の有限マクローリン展開を書きなさい．またθの説明を書きなさい．
No.80157 - 2021/12/31(Fri) 20:52:39
★ 大晦日 / √
今日は大晦日

ヨッシーさん　お誕生日
おめでとうございます。

来年も、よろしくお願い致します。
No.80154 - 2021/12/31(Fri) 08:24:33
☆ Re: 大晦日 / ヨッシー
ありがとうございます。

家族含め、初おめでとうです。

こちらこそ、よろしくお願いします。
No.80155 - 2021/12/31(Fri) 08:33:31
★ 絶対値とガウス記号について。 / YUKI
絶対値ではこれらの不等式が成り立ちますが、

|x＋y|≦|x|＋|y|
|x−y|≦|x|＋|y|
|x＋y|≧|x|−|y|
|x−y|≧|x|−|y|

ガウス記号では不等号の向きが絶対値の時と逆になる事に気が付きました。これは合っていますか？

[x＋y]≧[x]＋[y]
[x−y]≧[x]＋[y]
[x＋y]≦[x]−[y]
[x−y]≦[x]−[y]
No.80150 - 2021/12/30(Thu) 21:37:37
☆ Re: 絶対値とガウス記号について。 / IT
ぱっと見て２つめ３つめは、まちがいでは？
例えば、x＝y＝1 のとき
No.80151 - 2021/12/30(Thu) 21:47:01
☆ Re: 絶対値とガウス記号について。 / IT
１つめ４つめはよさそうです。
s=x-[x],t=y-[y] とおくと　0≦s＜1,0≦t＜1
[x+y]=[[x]+s+[y]+t]=[x]+[y]+[s+t] などとすると分かり易いのでは？[s+t]=0,1 です。

４つめは１つめを移項しても言えますね。
No.80152 - 2021/12/30(Thu) 21:56:21
☆ Re: 絶対値とガウス記号について。 / YUKI
ありがとうございます、２つめ３つめは再度確認してみたら容易に反例が見つかりました(;^_^A アセアセ・・・

4つめは反例が見つからなかったです。

IT様　ありがとうございましたm(_ _"m)
No.80153 - 2021/12/30(Thu) 22:07:14
☆ Re: 絶対値とガウス記号について。 / IT
> 4つめは反例が見つからなかったです。
証明しないとダメですね。
No.80158 - 2022/01/01(Sat) 17:43:37
☆ Re: 絶対値とガウス記号について。 / YUKI
色々調べておりましたら、簡潔な証明が見つかりましたので、ご報告いたします。

n:整数　[x-n]＝[x]-nと、y≧[y]から　[x-y]≦[x-[y]]=[x]-[y]
No.80159 - 2022/01/01(Sat) 20:47:11
☆ Re: 絶対値とガウス記号について。 / IT
1も
[x]≦x,[y]≦y ∴ [x]+[y]≦x+y
ガウス記号は順序を逆転させないので[[x]+[y]]≦[x+y]
[x]+[y]は整数なので、[x]+[y]≦[x+y]　などとしても良かったですね。
No.80161 - 2022/01/01(Sat) 23:33:20
☆ Re: 絶対値とガウス記号について。 / YUKI
勉強になります、ありがとうございます。
No.80162 - 2022/01/01(Sat) 23:46:24
★ (No Subject) / c3
この問題のV_2は2と求める事が出来たのですが、
V_1が難しいです。解説をお願いします。
No.80135 - 2021/12/30(Thu) 16:19:30
☆ Re: / m
三角形 ABC を二つの四面体の底面だとみれば，体積比 V_1:V_2 は高さの比になります．
従って高さの比を求めればいいです．


ヒント：
まずは，Q を三角形 ABC と直線 OP の交点としたとき PQ:OQ が何になるか考えてください．
No.80145 - 2021/12/30(Thu) 17:31:59
☆ Re: / c3
ヒントのイメージは分かりましたが、具体的に答えを求める式としてはどうなりますか？
No.80170 - 2022/01/02(Sun) 16:53:17
☆ Re: / ヨッシー
まず、基礎知識として、３点ＡＢＣで決まる平面上の点の
位置ベクトルは
　ｓａ＋ｔｂ＋ｕｃ　(ｓ＋ｔ＋ｕ＝１)
と表される、ということを押さえておきます。
ＯＰと△ＡＢＣの交点をＱとすると、
　ＯＱ＝ｋＯＰ＝k(3ａ＋4ｂ＋5ｃ)
上記基礎知識より、
　3k＋4k＋5k＝1
　k＝1/12
よって、ＯＱ：ＯＰ＝１：１２
　Ｖ1：Ｖ2＝ＯＱ；ＱＰ＝１１：１
(以下略)
No.80175 - 2022/01/02(Sun) 19:43:33
☆ Re: / c3
ありがとうございます。

よって、ＯＱ：ＯＰ＝１：１２
　Ｖ1：Ｖ2＝ＯＱ；ＱＰ＝１１：１

↑ここの部分のイメージを図示化することは可能ですか
No.80187 - 2022/01/03(Mon) 13:15:14
☆ Re: / m
空間でイメージがつかめないときは平面で考えてみるといいです．

下の図で
ＯＱ：ＯＰ＝１：１２
のとき，三角形 ABP と 三角形 ABO の面積比は １１：１ になります．

これが分かれば，同じことを空間でやるだけです．
（絵は描きにくいけれど）イメージできますか？
No.80192 - 2022/01/03(Mon) 21:10:11
★ (No Subject) / k2
複素数の不等式の証明に関する問題です.(2)の解き方を教えて頂きたいです.
No.80130 - 2021/12/30(Thu) 15:05:50
☆ Re: / IT
両辺の２乗を比較してはどうですか？
No.80136 - 2021/12/30(Thu) 16:29:29
☆ Re: / IT
簡単のため,複素数をz,w 実数をa,b と表します。
左辺^2　を計算してみます。
＝(a^2+b^2-ab(zw~+z~w))(1+1/(a^2b^2)-(zw~+z~w)/(ab))
＝((a/b)+(b/a)-(zw~+z~w))(ab+1/(ab)-(zw~+z~w))≧(2-(zw~+z~w))^2

（最後の≧の理由）
(a/b)+(b/a)≧2、ab+1/(ab)≧2（∵相加相乗平均）
|z|＝|w|＝1より zw~+z~w≦2
No.80138 - 2021/12/30(Thu) 16:43:23
☆ Re: / k2
> 両辺の２乗を比較してはどうですか？
その方法だと明らかに計算が煩雑になってしまうため,(1)で示した不等式を利用して解くのだと思うのですが,どう利用すれば示せるのかが分からないので考えてみていただけると幸いです...
No.80139 - 2021/12/30(Thu) 16:44:48
☆ Re: / k2
> 簡単のため,複素数をz,w 実数をa,b と表します。
> 左辺^2　を計算してみます。
> ＝(a^2+b^2-ab(zw~+z~w))(1+1/(a^2b^2)-(zw~+z~w)/(ab))
> ＝((a/b)+(b/a)-(zw~+z~w))(ab+1/(ab)-(zw~+z~w))≧(2-(zw~+z~w))^2
>
> (a/b)+(b/a)≧2、ab+1/(ab)≧2（∵相加相乗平均）
> |z|＝|w|＝1より zw~+z~w≦2
ちょうどコメントを書いているときに解き方を送ってくださっていたので気づかずに送ってしまいました、すみません,今から読みます.
No.80140 - 2021/12/30(Thu) 16:48:08
☆ Re: / k2
理解できました,素直に2乗を計算して比較すれば解けたのですね...((1)の不等式を利用することばかり考えていたので肩透かしを食らった気分です.(1)は関係無かったのかなぁ...?)

解説していただきありがとうございました.
No.80142 - 2021/12/30(Thu) 17:02:16
☆ Re: / m
(1)をつかうなら √(r1r2) を分配するとよさそうです．
手書きで汚いですが：
https://jamboard.google.com/d/1ZJwhlqN4Nm9ZzrJfhXk2NurFiTGwLe_c-zdUaOiIrns/edit?usp=sharing
No.80144 - 2021/12/30(Thu) 17:27:59
☆ Re: / k2
> (1)をつかうなら √(r1r2) を分配するとよさそうです．
> 手書きで汚いですが：
> https://jamboard.google.com/d/1ZJwhlqN4Nm9ZzrJfhXk2NurFiTGwLe_c-zdUaOiIrns/edit?usp=sharing

凄いですね!!自分には思い付きませんでした...
解いて下さりありがとうございました.
No.80146 - 2021/12/30(Thu) 17:58:39
★ (No Subject) / c3
5つの領域を4色を塗る問題です。
隣り合う部分が異なる4色で塗り、回転して一致する塗り方は同じとするとき、塗り方の総数は写真の用になるかと思いますが、『Bは三通り、CとDは回転させると同じなので一通り』っていうところがイメージしづらいです。図などで解説をお願いします。
No.80127 - 2021/12/30(Thu) 10:08:02
☆ Re: / X
図ではCの領域は左側、Dの領域が右側となっていますが
これがCの領域が右側、Dの領域が左側になっても同じ
塗分け方だ、ということです。

Aの領域を回転軸として180°回転させれば
元の図と同じ図ですので。
塗分ける領域に向きが指定されているわけではないので
回転させて塗分け方が同じになれば、それは重複している
と見なします。
円順列を考えるときと同じ考え方です。

このこととBがA以外の色であるということを
合わせて考えてみて下さい。
No.80129 - 2021/12/30(Thu) 10:27:17
☆ Re: / c3
なんとなくは分かりましたが具体的な図など作れたりしますか？
No.80131 - 2021/12/30(Thu) 15:49:30
☆ Re: / X
こんな感じです。この図の上下の二つを同じ塗分けと見なす
ということです。
No.80147 - 2021/12/30(Thu) 18:04:40
☆ Re: / c3
ありがとうございます。
No.80169 - 2022/01/02(Sun) 16:49:55
★ (No Subject) / c3
この問題の共通範囲を求めるとき数直線で表したらどのようになりますか。
No.80124 - 2021/12/29(Wed) 22:09:06
☆ Re: / IT
まず、それぞれの不等式を解くとどうなりましたか？
それらを数直線上に落とせばよいです。

１つめの方はｔによって動くので、先に２つめの方の範囲を描いて範囲内の整数を調べます。

「・・・満たす整数が２個存在するとき」というのは、あいまいな表現ですね、３個以上存在するときが含まれるのか不明確です、出典は何ですか？
No.80125 - 2021/12/29(Wed) 22:57:44
☆ Re: / c3
不等式を解くとx<t-3,t+3<xと3≦x≦6になるかと思いますがそれを数直線に表して考えるとどうなりますか。

出典はいただいたプリントなのでわかりません。
No.80126 - 2021/12/30(Thu) 10:03:02
☆ Re: / IT
先に書いた通り、まず、　3≦x≦6を数直線に表して考えてください。（書き込んでください）


x<t-3,t+3<x　は、別の数直線を描いて、そこに表してもいいかも知れません。

ーー0ー1ー2ー3ー4ー5ー6ー7ー8ーーーーーー x

ーーーーーーーーtーーーーーーーーー----ー x
No.80128 - 2021/12/30(Thu) 10:18:44
☆ Re: / c3
この２つを合体させるイメージが難しいです。
回答をお願いします。
No.80132 - 2021/12/30(Thu) 15:54:09
☆ Re: / IT
> この２つを合体させるイメージが難しいです。

上下の数直線のサイズは、同じにしないとイメージがつかみにくいと思います。

３と６の間の整数は、記載した方が良いです。
No.80133 - 2021/12/30(Thu) 16:08:47
☆ Re: / c3
数直線のサイズとはどういう事でしょうか
No.80134 - 2021/12/30(Thu) 16:18:08
☆ Re: / IT
３と６の差は3です。
t-3とt+3 の差は6です。

描かれた数直線では、広さが逆になっています。
No.80137 - 2021/12/30(Thu) 16:33:24
☆ Re: / c3
同じにするにはどうしたらいいですか？
No.80141 - 2021/12/30(Thu) 16:49:33
☆ Re: / IT
上の図を狭めて、下の図を広げる。（一方だけでも良いです）
No.80143 - 2021/12/30(Thu) 17:08:39
☆ Re: / IT
数直線を描いて考えると

x<t-3　に、３，４，５，６のうち、（ちょうど？）２個が含まれるか
t+3<x　に、３，４，５，６のうち、（ちょうど？）２個が含まれるか
のいずれかです。
それぞれの場合に分けて考えると分かり易いと思います。
No.80149 - 2021/12/30(Thu) 19:13:33
☆ Re: / c3
式としてはどう解けばいいでしょうか？
No.80168 - 2022/01/02(Sun) 16:48:29
☆ Re: / IT
x<t-3　に、３，４，５，６のうち、ちょうど２個が含まれるとき

(t-3)と　3,4,5,6　の大小関係はどうなりますか？
No.80176 - 2022/01/02(Sun) 20:09:34
☆ Re: / c3
そこが難しい所です。教えてもらえませんか。
No.80188 - 2022/01/03(Mon) 13:18:36
☆ Re: / IT
言い換えます。
x<t-3の範囲に、３，４，５，６のうち、ちょうど２個が含まれるとき

　(t-3)と、　３,４,５,６　を大きさの順に並べると、(t-3)はどこに来ますか？(どれかと等しくなる場合もあるので注意）

　３，４，５，６のうちx<t-3の範囲にあるのはどれらですか？
No.80202 - 2022/01/04(Tue) 16:03:40
★ (No Subject) / 正誤
以下の問に対して、写真の回答の正誤を判定していだだきたく思います。
(問)次の関数f(x)のf'(x)とf''(x)とf'''(x)を計算し、増減表・凸性の表を別々に書いて下さい。なおグラフy=f(x)にx軸・y軸との交点または極大または極小または変曲点がある場合は、x軸・y軸との交点、極小値、極大値、変曲点の座標を計算し、グラフを書きそれぞれをグラフに入れて下さい。

f(x)=(x^2-1)e^(2x)
No.80122 - 2021/12/29(Wed) 20:48:26
★ 正誤 / 正誤
以下の問に対して、写真の回答の正誤を判定していだだきたく思います。よろしくお願い致します。
(問)次の関数f(x)のf'(x)とf''(x)とf'''(x)を計算し、3次のマクローリン展開(x^3の項が剰余項)を求めて下さい。
f(x)=xcos{2x+(π/6)}
No.80121 - 2021/12/29(Wed) 18:59:08
★ 正誤 / 正誤
以下の問に対して、写真の回答の正誤を判定していだだきたく思います。
(d^n/dx^n)f(x) を f^(n)(x) と書きます。
また、lim［x→∞］f(x)=aを、f(x)→a as x→∞と書きます。よろしくお願い致します。
(問)次の関数f(x)のf^(k)(x) (k=1,2,3)を計算し、o(x^3) as x→0の項までの漸近展開を求めて下さい。

f(x)=(x^2+1)sin{2x+(π/3)}
No.80120 - 2021/12/29(Wed) 18:55:37
★ (No Subject) / c3
正三角形ABCを辺DEを折り目として折り曲げた図である。このとき、点Aは点A'に移動している。xの値は71°になるようなのですが解説をお願いします。
No.80114 - 2021/12/29(Wed) 17:20:13
☆ Re: / ヨッシー

図の●、■の順に明らかになります。
　
No.80115 - 2021/12/29(Wed) 17:31:42
☆ Re: / c3
xの上の部分の角もx°になりますか？
No.80116 - 2021/12/29(Wed) 17:49:12
☆ Re: / ヨッシー
折ったのを戻して、ｘと書かれている角と重なる部分のことですか？
No.80117 - 2021/12/29(Wed) 17:55:59
☆ Re: / c3
はい
No.80118 - 2021/12/29(Wed) 18:14:02
☆ Re: / ヨッシー
折ったのを戻して、ｘと書かれている角と重なるのでｘです。

ｘ（エックス）と×（バツ）が紛らわしいので、図と文を書き換えました。

質問されたのは、ｘ（エックス）の方ですよね？
No.80119 - 2021/12/29(Wed) 18:28:00
☆ Re: / c3
エックスです
No.80123 - 2021/12/29(Wed) 21:53:39
★ (No Subject) / オジョギリダー
この解き方は順像法だと思うんですが、この問題を逆像法で解くのは無理ですか？可能なら解いていただきたいです。
No.80113 - 2021/12/29(Wed) 14:31:16
★ 間違い / 間違い
以下の問に対して、写真の回答では間違いとのことです。どこが間違いか教えていだだきたく思います。よろしくお願い致します。 (問)解答の複素数はa+biの形にして下さい．ただし，aとbは実数です．z^2=√3+√6iをみたす複素数z（2つあります）を求めて下さい．
No.80106 - 2021/12/28(Tue) 15:54:38
☆ Re: 間違い / ヨッシー
マル３ の式から、ｉが抜けています。
というような、些末なことはさておき、
ｘ^2 を求めていたのが、いつの間にか ｘ になっています。
No.80108 - 2021/12/28(Tue) 18:25:39
☆ Re: 間違い / 正誤
ありがとうございます。
赤枠内を修正したのですが、正解となりますでしょうか？
No.80148 - 2021/12/30(Thu) 18:48:46
☆ Re: 間違い / ヨッシー
良いと思います。
No.80156 - 2021/12/31(Fri) 16:25:14
☆ Re: 間違い / 間違い
ありがとうございます！
No.80194 - 2022/01/04(Tue) 03:42:35
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