xy平面上に, 楕円 E:(x-3)^2/5^2+y^2/4^2=1 とその内部に含まれる円 C: x^2 + y ^2= 1 がある.
Cの外部にある点P(p,q) から Cへ引いた2本の接線の接点を通る直線をlとして,次の問に答えよ.
(1) lの方程式を求めよ.
(2) P が E上を動くとき,どのも通らないような点の存在範囲を求めよ.
学校で数?Vと数?Uの融合問題でだされたんですけどまだ、高２で数?Vの授業やっていなくて、楕円の接線の公式だけヒントとして教えてもらったんですが、いまいち解き方がわかりません。どなたか詳しい解説よろしくお願いします。
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No.78662 - 2021/10/05(Tue) 17:52:38
| ☆ Re: 数lll / X | | | No.78667 - 2021/10/05(Tue) 18:32:34 |
| ☆ Re: 数lll / D | | | > (2)ですが問題文にタイプミスはありませんか？
申し訳ございませんでした。ご指摘ありがとうございます。正しくは
(2) P が E上を動くとき,どのㅣも通らないような点の存在範囲を求めよ.
です。どうか、よろしくお願いします。
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No.78669 - 2021/10/05(Tue) 19:21:46 |
| ☆ Re: 数lll / X | | | (1)
問題の2本の接線のCにおける接点の座標をそれぞれ
(x[1],y[1]),(x[2],y[2])
と置くと、2本の接線の方程式はそれぞれ
x[1]x+y[1]y=1 (A)
x[2]x+y[2]y=1 (B)
(A)(B)はいずれも点Pを通るので
x[1]p+y[1]q=1 (A)'
x[2]p+y[2]q=1 (B)'
∴
px[1]+qy[1]=1 (A)"
px[2]+qy[2]=1 (B)"
(A)"(B)"は2点(x[1],y[1]),(x[2],y[2])
を通る直線、つまりlの方程式の1つが
px+qy=1 (C)
であることを示しています。
異なる2定点を通る直線は1本しかありませんので
求める方程式は(C)となります。
(2)
条件から
{(p-3)/5}^2+(q/4)^2=1 (D)
∴
(p-3)/5=P
q/4=Q
と置くと、(C)は
x(5P+3)+4yQ=1
∴5xP+4yQ=1-3x (C)'
(D)は
P^2+Q^2=1 (D)'
(C)'(D)'をP,Qの連立方程式と見たときに
実数解の組を持つためには
PQ平面上で(C)'(D)'が交点を持てばよいので
円(D)'の中心である原点と直線(C)'との間の
距離を考えると、点と直線との間の距離の
公式により
|3x-1|/√(25x^2+16y^2)≦1
これより
(3x-1)^2≦25x^2+16y^2
∴(x+3/16)^2+y^2≧(5/16)^2
これがlの存在範囲ですので、
求める点の存在範囲は
(x+3/16)^2+y^2＜(5/16)^2
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No.78674 - 2021/10/05(Tue) 23:24:08 |
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