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平面図形の移動について / 平面図形
今学校で平面図形の移動をやっているのですが、直角二等辺三角形や正三角形が敷き詰められた図で、△ABCを〜移動して重なる図形を全て選べ。などの問題がありますよね。
平行移動や対象移動によって重なる図形は割とわかるのですが、回転移動して重なる図形か動画の判断が苦手です。
回転の中心がどこか分からない、何度回転したものなのかも分からないです…。
何かこういう状況なら回転の中心はここで、回転する角度はこれだけだ!と判断できるようなコツってありませんか?
お願いします

No.79816 - 2021/12/05(Sun) 19:52:45

Re: 平面図形の移動について / ヨッシー
ちょっとどんな問題か想像できません。
>直角二等辺三角形や正三角形が敷き詰められた図
とは、↓こんなのですよね?

これで、△ABCはどれですか?

ちなみに、合同な図形(裏返しになっているものは除く)であれば、
平行移動した位置関係でなければ、回転の中心は必ずあります。

No.79817 - 2021/12/05(Sun) 21:16:53

Re: 平面図形の移動について / 平面図形
すみません画像がスマホでもパソコンでも全く読み込めません…

最後の合同な図形(裏返しになっているものは除く)であれば、平行移動した位置関係でなければ関係の中心は必ずあります。
というの文の、( )無いのはどういう意味でしょう…?理解が乏しくて申し訳ありません

No.79818 - 2021/12/05(Sun) 23:23:57

Re: 平面図形の移動について / らすかる
たとえば「b」と「d」と「p」と「q」はすべて合同ですが、「b」を回転して重なるのは「q」だけであり、「d」と「p」は裏返しなので回転移動で一致することはありませんね。
No.79819 - 2021/12/06(Mon) 01:38:58

Re: 平面図形の移動について / ヨッシー
http://yosshy.sansu.org/junk/2021/heimen2.gif

http://yosshy.sansu.org/junk/2021/heimen1.gif

このリンク(またはURLのコピー)からでも、画像が見られないでしょうか?

No.79820 - 2021/12/06(Mon) 07:09:15
場合の数と確率 / YUKI
確率はどんなに大きくても1より大きくならない。

場合の数はどんなに小さくても1より小さくならない。

これは合ってますでしょうか?

もし間違っていましたら、ご指摘していただければ幸いです。

No.79811 - 2021/12/05(Sun) 00:49:53

Re: 場合の数と確率 / らすかる
場合の数は最小0です。
No.79812 - 2021/12/05(Sun) 01:03:08

Re: 場合の数と確率 / YUKI
ありがとうございます!
No.79813 - 2021/12/05(Sun) 01:04:52
(No Subject) / 白
この積分の解き方を教えてください。
答えはx/(a^2+x^2)+C (Cは積分定数)と書かれていました。

No.79803 - 2021/12/04(Sat) 16:13:57

Re: / X
(与式)=I
と置くと
I=-∫dx/(a^2+x^2)+(2a^2)∫dx/(a^2+x^2)^2
=-x/(a^2+x^2)-∫{(2x^2)/(a^2+x^2)^2}dx+(2a^2)∫dx/(a^2+x^2)^2
=-x/(a^2+x^2)+2I
∴I=x/(a^2+x^2)
∴積分定数を考えて
(与式)=x/(a^2+x^2)+C
(Cは積分定数)

No.79804 - 2021/12/04(Sat) 17:21:12

Re: / 白
2行目の-x/(a^2+x^2)+∫{(2x^2)/(a^2+x^2)^2}dxはどのようにして出てきたのでしょうか?
No.79805 - 2021/12/04(Sat) 18:00:42

Re: / X
部分積分を使ったのですが計算を間違えていますね。
(ごめんなさい。)
No.79804を直接修正しましたので再度ご覧下さい。

No.79809 - 2021/12/04(Sat) 18:58:17

Re: / 関数電卓
x=a・tanθ と置換するのが最も速いと思うのですが…
No.79810 - 2021/12/04(Sat) 22:59:44

Re: / IT
この程度の式は、試行錯誤で 1/(a^2+x^2)、x/(a^2+x^2) を微分してみる。というのはどうでしょうか?

#「試行錯誤」というほどでもないですが。

No.79815 - 2021/12/05(Sun) 16:13:32
(No Subject) / まみ
中学3年生です。平行四辺形の問題です。解答はあるのですが、解き方がわかりません。よろしくお願いします。
(1)6:5 (2)3:1 (3)9/176倍 です。

No.79799 - 2021/12/04(Sat) 11:41:38

Re: / ヨッシー
(1)
△BHEと△GHAは相似なので、
 BH:HG=BE:GA
ここで
 AD=BC=10
とすると
 BE=6、CE=4、AG=DG=5
であるので、
 BH:HG=BE:GA=6:5

(2)
AFとBCの交点をLとすると、
 △ADFと△LCFは相似で、相似比は2:1
よって、
 AD=2
とすると、
 CL=1、AG=DG=1
よって、
 BL=3 
△AGIと△LBIが相似であることから
 BI:IG=BL:AG=3:1

(3)
△AGIは平行四辺形ABCDに対して
 底辺 1/2 高さ 1/4
なので、面積は
 1/2×1/4×1/2=1/16(倍)
△AHGは平行四辺形ABCDに対して
 底辺 1/2 高さ 5/11
なので、面積は
 1/2×5/11×1/2=5/44(倍)
よって、△AHIは平行四辺形ABCDの
 5/44−1/16=9/176(倍)

No.79807 - 2021/12/04(Sat) 18:08:13

Re: / まみ
ヨッシー様

わかりやくす教えていただきありがとうございました!

No.79814 - 2021/12/05(Sun) 07:36:46
凸関数 / やまめ
画像の不等式が成り立つことが凸関数であることと同値であることを示したいのですが、やり方がわかりません。ヘッセ行列について調べてみたのですが、不等式にあるhihjをどうすればいいのかわかりません。教えていただけると幸いです。
No.79795 - 2021/12/04(Sat) 09:14:25

Re: 凸関数 / やまめ
fはC2級関数です
No.79796 - 2021/12/04(Sat) 09:18:13

Re: 凸関数 / ast
x や h_k (k=1,…,n) にももっとちゃんと設定 (少なくとも∀なのか∃なのか, さらに前者なら h_k∈R のような範囲, 後者ならどういう条件からきまるのか, など) があるはずなのに書かないのは, もしそのあたりを軽視してるからなのだとすると文脈を取り損なう危険が大きいと思います.
# あと「○○」という概念を定義したすぐ後くらいに「○○であること」と同値であることを示せという問題の場合,
# ○○であることの「定義」の仕方が質問者の読んでいる文献の定義の仕方だけとは限らず,
# たいていその問題で始めて与えられたほうの条件を定義として採用している他の文献がふつうにあるので,
# 質問の際には質問者 (の読んでいる資料) が採用している定義を併せて提示するべきだと思います.
## (はっきり述べなければ, (質問者の状況からは) おかしな回答が返ってくる蓋然性が高くなる)

それで, もし h_k が任意の実数値をとる変数で, x が (任意に選んだ値で) 固定されている (つまり a_{i,j}:=∂^2f(x)/∂x_i∂x_j はただの定数と思える) 状況であるならば, 与えられた不等式は「ヘッセ行列 Hess(f(x)):=(∂^2f(x)/∂x_i∂x_j)_{1≤i,j≤n} を係数行列とし h=(h_1,…,h_n) を変数とする二次形式 ?納i,j=1,…,n] a_{i,j}*h_i*h_jが (変数 h に関して) 常に非負」という意味ですから, これは「(固定された x における) ヘッセ行列 Hess(f(x)) が半正定値」ということを言う内容になっています.

また, もし固定された点 x からベクトル h 分だけ小さく変動した点 x+h の間の f の変化を考えるならば,
 f(x+h) ≈ f(x) + ?納k=1,…,n] (∂f(x)/∂x_k)h_k + ?納i,j=1,…,n] (∂^2f(x)/∂x_i∂x_j)h_i*h_j
    = f(x) + (∂f(x)/∂x, h) + (1/2)* thHess(f(x))h
は 2 次の (テーラー) 近似ということができます. 所期の不等式は, したがって, f の 2 次の挙動について規定するものであると認識できるはずです.
# 最後の式ですが, 1次の項はベクトルの内積, 2 次の項は行列の積として線型代数の言葉でまとめると,
# 1 変数のときのテイラー近似 f(x+h) ≈ f(x) + f'(x)h + f''(x)h^2/2 とほとんど変わらない形で書けている,
# というふうに見ることができると思います.

ここまでを踏まえたうえで本問については
 「任意の 2 点 a:=x, b:=x+h を結ぶ線分 (1-λ)ab=xh (0 < λ < 1) 上での f (の 2 次近似) の挙動が λ に関して凸になるかどうか」
をみれば所期の不等式と話が結びつくのでは.
# もしピンとこない場合などにきちんと話を追うには, 1 変数函数の凸性判定を復習するのがよいでしょう.
## おそらく多変数に手を出すより前に, 1 変数のときに 「函数を 2 次近似して凸性を判断する」とか
## 「函数 f が凸になることを二階微分 f'' (の符号) を使って特徴付ける」
## というようなことを扱っているはずなので, それを敷衍します.

No.79822 - 2021/12/06(Mon) 10:54:57

Re: 凸関数 / やまめ
丁寧な返信ありがとうございます。
任意のx,y∈R^nとt∈[0,1]の条件の下で
f((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x)+tf(y)が成り立つことと、任意のh∈R^nの条件の下で画像の不等式が成り立つことが同値であることを示せという問題でした。関数fはf''≧0のときに凸であるということは知っているのですが、その場合やはりhihjの正負がわからないと上手く出来ないと思います。おそらく、tの範囲からhについての条件がわかると思うのですが、どうしていいのかがわかりません。よろしければお教え下さい。

No.79827 - 2021/12/06(Mon) 18:59:04

Re: 凸関数 / ast
> おそらく、tの範囲からhについての条件がわかると思う
h は任意ですから条件は出ません (むしろ出たらその時点で任意にとれず何かがおかしい).
多変数函数が (考えている点の近傍で) 凸であるためには, (定義域に「垂直」な) 任意の平面で切った f のグラフの断面となる平面曲線 (を適当な変数に関する一変数の函数のグラフと見たもの) が凸でなければならないので, そのような観点で条件を見直してください.

> 関数fはf''≧0のときに凸であるということは知っているのですが、その場合やはりhihjの正負がわからないと
一変数の場合の "f″≥0" に相当するものは, この場合「ヘッセ行列 Hess(f(x)) が (考えている点の近傍で常に) 半正定値 (Hess(f(x)≥0)」なので, 個別の h_k や h_i*h_j の性質を考えるものではありません.
# わざわざ No.79822 で遠回りに二次近似の話をして踏まえろと言ったのは, 多変数・一変数間のアナロジーで
# 何が何に相当するかということをきちんと認識してもらうためです.

> 任意のx,y∈R^nとt∈[0,1]の条件の下で
> f((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x)+tf(y)が成り立つこと

については既に述べた通り, f 上の任意の二点 x, y を止めて, 始点 x からベクトル h:=yx 方向へ向かうときの挙動だけを考えればよいです (あとで h を任意に動かす).
# 一変数のときも, グラフ上の 2 点 (x,f(x)), (y,f(y)) を結ぶ割線分と f のグラフの上下関係を確認したはずです.
この線分 xy 上では実質的に一変数なので, 既知の方法でしらべられるはずです.

# 具体的な答案を想定してレスしていないので
# 「任意の x,yR^n と t∈[0,1] の条件の下でf((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x)+tf(y)が成り立つこと」
#  ⇔「任意の h∈R^n の条件の下で画像の不等式が成り立つこと」
# の⇐の話と⇒の話を明確に区別せずに説明を述べてしまっていて
# もしかしたら混乱させているかもしれませんので, 先に謝っておきます.

No.79830 - 2021/12/06(Mon) 19:44:50
大学受験の微分のところです! / T-岡田
高3です。(2)(3)が解き方が分かりません。
問題文の意味がわからず、どうしていいかわかりません。方針を教えていただけると幸いです。ちなみに答えの紙が無いです。

No.79783 - 2021/12/03(Fri) 18:57:13

Re: 大学受験の微分のところです! / IT
(1) は、どうやって、どうなりましたか?
No.79784 - 2021/12/03(Fri) 19:06:02

Re: 大学受験の微分のところです! / T-岡田
接線の公式にあてはめて、
f´(x)=3x²-(4/3)なので、
y=(3a²-4/3)x+(1/3)a³-3a²となりました。

No.79785 - 2021/12/03(Fri) 19:13:41

Re: 大学受験の微分のところです! / IT
計算がまちがっていると思います。再確認してください。
No.79786 - 2021/12/03(Fri) 20:10:16

Re: 大学受験の微分のところです! / T-岡田
間違えたところを書いて送信してしまっていました。
y=(a²-4/3)x-(2/3)a³でした。
合っているかは、分からないんですけど、これだと思いました。

No.79787 - 2021/12/03(Fri) 20:35:11

Re: 大学受験の微分のところです! / IT
> y=(a²-4/3)x-(2/3)a³でした。
合ってます。

(2)の問題の意味は、書いてあるとおりだと思います。もう一度問題文を良く読んでください。

「接線」は(1)で求めた直線です。
「曲線上の他の点B」とある「曲線」は、もちろんy=f(x) です。
言い換えるとB(b,f(b)) は、どんな点と言えますか?

No.79791 - 2021/12/03(Fri) 21:16:27

Re: 大学受験の微分のところです! / T-岡田
点Bは、(1)の接線と曲線との接点ということですか??
No.79792 - 2021/12/03(Fri) 22:22:37

Re: 大学受験の微分のところです! / IT
少し違います。「接点」とは限りません。(実は「接点」になることはないと思います。)
なぜ、点Bは、(1)の接線と曲線との「接点」といえますか?

No.79794 - 2021/12/04(Sat) 05:45:50

Re: 大学受験の微分のところです! / T-岡田
本当に馬鹿ですみません。
(1)の接戦上にある点Bってことで、
f(b)は、xをbに変えただけで表せられるということですか??

No.79801 - 2021/12/04(Sat) 14:22:32

Re: 大学受験の微分のところです! / IT
> f(b)は、xをbに変えただけで表せられるということですか??

どういうことか意味が良く分かりません。

点B(b,f(b)) は、(1)で求めた接線上の点であり、かつ、曲線y=f(x)上の点である。ただし、b ≠ a.
なので、連立方程式
 y=(a²-4/3)x-(2/3)a³
 y=f(x) 
を解くとよいと思います。なお、x=a,y=f(a)は解の一つとなります。

#教科書レベルの基本事項の習得が不十分のようなので、常に教科書を確認しながら、解説・解答が分かり易い、参考書・問題集をやられる方が効率的だと思います。

No.79806 - 2021/12/04(Sat) 18:02:13
大学受験レベルの問題です! / T-岡田
(3)の解き方が分からないので、教えていただきたいです、、。
ちなみにこれは答えの紙が無いです。

No.79779 - 2021/12/03(Fri) 18:31:55

Re: 大学受験レベルの問題です! / X
方針を。

問題の等式から
∫[0→2]2xf(x)dx+k∫[0→2]f(x)dx=8
条件から、これがkについての恒等式ですので
∫[0→2]2xf(x)dx=8 (A)
∫[0→2]f(x)dx=0 (B)
後は
f(x)=ax+b
と置いて(A)(B)に代入し、それぞれの
左辺の積分を計算することで、
a,bについての連立方程式を導きます。

No.79780 - 2021/12/03(Fri) 18:38:43

Re: 大学受験レベルの問題です! / T-岡田
高3です
No.79781 - 2021/12/03(Fri) 18:41:45

Re: 大学受験レベルの問題です! / T-岡田
教えていただきありがとうございます!
方針から答えを導くことができました!

No.79782 - 2021/12/03(Fri) 18:49:10
問3の解き方(中3です) / なっちゃん
写真の問題の解き方がわからないので、教えていただきたいです。
ちなみに答えは7分の1倍です。

No.79774 - 2021/12/03(Fri) 15:55:45

Re: 問3の解き方(中3です) / ヨッシー
本当は、図3またはそれ以前の図がないと解けないのですが、
有名問題なので。

図のように△PQRの辺と平行な直線を引くと。△PQRと
合同な三角形がいっぱい出来ます。
△ARCは、平行四辺形ARCSの半分であり、
平行四辺形ARCSは、△PQR4個分なので、
△ARCは、△PQR2個分。
(中略)
よって、△ABCは△PQR 7個分となります。
以上より、△PQRの面積は△ABCの面積の 1/7 倍。

No.79776 - 2021/12/03(Fri) 16:57:17

(No Subject) / なっちゃん
ありがとうございます!
No.79777 - 2021/12/03(Fri) 17:05:09
(No Subject) / アップルパイ
一辺の長さが1の正五角形OAPQBについて
OPの長さを求めよ

三角形OPQに着目すると角OPQ=角OQP=72°であるから点Oから辺OからPQに垂線を下しその垂線と辺PQの交点をCとすると
cos72=(1/2)÷OP
が成り立つ。
またcos72°は加法定理を用いて…てやっていったのですが…答え合いません。なぜうまくいかないのでしょうか。解説よろしくお願いします

No.79765 - 2021/12/03(Fri) 01:51:09

Re: / アップルパイ
(誤)点Oから辺OからPQに垂線を下し→(正)点Oから辺PQに垂線を下し
No.79766 - 2021/12/03(Fri) 01:53:03

Re: / ヨッシー

になりましたか?

No.79769 - 2021/12/03(Fri) 08:32:24

Re: / ヨッシー
中学生にやらせるなら、

△APOと△DOA の相似から
 x:1=1:(x−1)
から求めます。

No.79770 - 2021/12/03(Fri) 08:45:05
(No Subject) / 数学苦手
この問題の解き方が全く思いつきません。教えてください
No.79760 - 2021/12/02(Thu) 22:55:24

Re: / X
地球の半径をR[万m]とすると、求める距離は
2π(R+1)-2πR=2π[万m]
=6.28[万m]
≡62.8[km]
≒63[km]
ということで2.が正解です。

No.79761 - 2021/12/02(Thu) 23:04:50

Re: / 数学苦手
4万は使わないのですか!?
No.79764 - 2021/12/03(Fri) 01:04:56

Re: / X
使う必要はありません。
No.79768 - 2021/12/03(Fri) 06:16:32

Re: / 数学苦手
使わないと判断された理由など見極め方を教えてください!
No.79772 - 2021/12/03(Fri) 14:33:41

Re: / ヨッシー
見極める必要はありません。
4万kmを使って、
周囲が4万kmなので、直径は4万/3.14 km
航空機が1周したときの航路は円で、直径が 4万/3.14+10×2(km)
飛行距離は
 (4万/3.14+20)×3.14=4万+62.8(km)
よって、地球の周囲との差は
 4万+62.8−4万=62.8(km)
とやれば良いのです。
やるかやらないかです。

判断した理由は、X さんの書かれた解答のように、Rに関係ない一定の値になるから。
見極め方(見極められるようになる方法)は、こういう問題をいっぱい解くこと
です。

私どもは、こういう問題を腐るほど解いていますから、4万などには目もくれず、
 2×3.14
がすぐ浮かびます。

No.79773 - 2021/12/03(Fri) 15:41:18

Re: / 数学苦手
練習…ですよね…申し訳ないです。

Rに関係のない一定の値になる、、
2πr=4万kmではないのでしょうか。


円周は半径の2倍にπを掛けたものですよね。

直径を求める公式は円周÷円周率なんですね。調べました。

あと、申し訳ないですが+10×2の意味も分からないです。すみません。ちょっと私には難しすぎました汗
(4万/3.14+20)×3.14=4万+62.8となる部分で、4万÷3.14をしていないのは何故ですかね…

No.79793 - 2021/12/04(Sat) 00:32:14

Re: / GandB
> あと、申し訳ないですが+10×2の意味も分からないです。すみません。ちょっと私には難しすぎました汗
> (4万/3.14+20)×3.14=4万+62.8となる部分で、4万÷3.14をしていないのは何故ですかね…


 地球の周囲を4万km、半径を r とするとき、小学校で習う円の周囲の長さを求める公式
  2×円周率×半径
より
  2×3.14×r = 4万[km]
  ∴r = 2万/3.14[km]
 航空機が1周したときの航路は高度10[km] にあるのだから、その半径 R は地球の半径 r より 10[km]長い。したがって
  R = r + 10 = 2万 / 3.14 + 10 [km]
 半径 R の円周の長さは
  2×円周率×R = 2×3.14(2万 / 3.14 + 10)
              2万
         = 2×3.14──── + 2×3.14×10
              3.14
         = 4万 + 10×2×3.14
         = 4万 + 62.8[km]

No.79798 - 2021/12/04(Sat) 09:47:51

Re: / 数学苦手
先に()の中の計算、をやるものだと思っていたので、また間違えました汗
文字が別々ではなかったので。
xとかyとかなら、間違えなかったかもしれないですが…

No.79800 - 2021/12/04(Sat) 12:44:15

Re: / 数学苦手
3.14=πと捉えられるから、()の中を先に計算する必要はなく、+を境目の両項で計算するのでしょうか。
No.79802 - 2021/12/04(Sat) 15:57:22
座標平面上の軌跡と領域 / 長宗我部知親/高3
Oを原点とする平面上に、直線l:x=3、Oを中心とする円C1、lに接する円C2がある。2つの円C1、C2が次の条件(*)を満たしながら変化するとき、以下の問に答えよ。
(*){C1はC2に内接する。C1とC2の半径の比は1:2である。}
(1)C2の中心Pの軌跡Fの方程式を求めよ。
(2)C1とC2の接点Qの軌跡をGとする。Fで囲まれる領域とGで囲まれる領域の共通部分の面積を求めよ。

ご教授いただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

No.79758 - 2021/12/02(Thu) 22:29:25

Re: 座標平面上の軌跡と領域 / X
(1)
条件からPはC[1]上の点ですので、
C[1],C[2]の半径をそれぞれ
r[1],r[2]とすると
P(r[1]cost,r[1]sint)
(但しtは0≦t<2πなる定数)
r[2]=2r[1] (A)
一方、Pとlとの距離がr[2]となるので
r[2]=3-r[1]cost (B)
(A)(B)より
r[1]=3/(2+cost)
∴P(x,y)とすると
x=(3cost)/(2+cost) (C)
y=(3sint)/(2+cost) (D)
(C)(D)からtを消去します。
(C)^2+(D)^2より
x^2+y^2=9/(2+cost)^2 (E)
一方、(C)より
x(2+cost)=3cost
cost=2x/(3-x) (F)
(F)を(E)に代入すると
x^2+y^2=9/(2+2x/(3-x))^2
x^2+y^2=(1/4)(3-x)^2
4x^2+4y^2=(x-3)^2
3x^2-6x+4y^2=9
3(x-1)^2+4y^2=6
∴Fは楕円であり、Fの方程式は
{(x-1)^2}/2+(y^2)/(3/2)=1 (F)

(2)
途中まで。

Q(X,Y)とすると(1)の過程から
X=-x
Y=-y
これらを用いて(F)からx,yを消去すると
{(X+1)^2}/2+(Y^2)/(3/2)=1
∴Gの方程式は
{(x+1)^2}/2+(y^2)/(3/2)=1 (G)
(F)(G)それぞれで囲まれた領域の共通領域が
x,y軸に関して対称
であることに注意すると、求める面積は
(G)とy軸で囲まれた部分のうち、
第1象限に含まれる部分の面積の4倍
となります。
ここで(G)よりy≧0のとき
y=√{3/2-(3/4)(x+1)^2}
∴求める面積をSとすると
S=4∫[0→-1+√2]{√{3/2-(3/4)(x+1)^2}}dx
=(2√3)∫[0→-1+√2]{√{2-(x+1)^2}}dx
=…(x+1=(√2)cosθと置いて置換積分をします)

No.79762 - 2021/12/02(Thu) 23:30:44
わからないので教えてください! / ゆう
この画像で最後です。なにとぞよろしくお願いします。
No.79753 - 2021/12/02(Thu) 16:25:27
わからないので教えてください! / ゆう
画像が一つしかあげられなかったので送りますこれ合わせて2枚あります。
No.79752 - 2021/12/02(Thu) 16:24:05
わからないので教えてください! / ゆう
本当に一問もわからないので解答だけでもいいので教えて欲しいです!よろしくお願いします!
No.79751 - 2021/12/02(Thu) 16:22:50
(No Subject) / tom
1.以下の関数f(x,y)それぞれについて、問(a)、(b)に答えよ。
1)f(x,y)=x^2/3・y^1/3
2)f(x,y) =min(2x,3y)
a)(x,y)=(1,2)におけるf(x,y)の値を答えよ。
b)等高線f(x,y)=6を描け。
注意)(1)については等高線が通る格子点(すべての座標が整数であるような点)も図示せよ。(2)は、等高線が屈曲する点を図示せよ

解き方教えてほしいです よろしくお願いします

No.79750 - 2021/12/02(Thu) 14:45:17
数学的帰納法 / ぽ
貼り付けた写真の2問の解き方とその過程を教えていただきたいです。
No.79738 - 2021/12/01(Wed) 21:09:39

Re: 数学的帰納法 / ast
解き方はご自身でお書きのように「数学的帰納法」を用いればよいでしょう. とくに (2) は自明だからさすがに自力でやるべきです.

(1) はまあどう帰納法の仮定に帰着するか発想が求められるとは思いますので, 帰納ステップだけスケッチを述べておきます. 基本的には d^(k+1)(x^k f(1/x))/dx^(k+1) を d(d^k(x * x^(k-1) f(1/x))/dx^k)/dx と見ることができさえすれば, あとは計算するだけです (計算自体の説明はとくにしません).

d^k(x^(k-1)f(1/x))/dx^k = (-1)^k f^(k)(1/x)/x^(k+1) を仮定するとき:

u:=x, v:=x^(k-1) f(1/x) と置くとき, uv に対するライプニッツの法則 (積の高階微分公式) から
 d^k(x * x^(k-1) f(1/x))/dx^k
  = x*d^k(x^(k-1)f(1/x))/dx^k + k*d^(k-1)(x^(k-1)f(1/x))/dx^(k-1)
  = (-1)^k*f^(k)(1/x)/x^k + k*d^(k-1)(x^(k-1)f(1/x))/dx^(k-1)
となることに注意すれば
 d^(k+1)(x^k f(1/x))/dx^(k+1)
  = (-1)^k d(f^(k)(1/x)/x^k)/dx + k*d^k(x^(k-1)f(1/x))/dx^k
  = (-1)^k (f^(k+1)(1/x)*(-1/x^2)*x^k-f^(k)(1/x)k*x^(k-1))/x^(2k) + k*(-1)^k*f^(k)(1/x)/x^(k+1)
  = (-1)^(k+1) f^(k+1)(1/x)/x^(k+2).

# もし (高階の) ライプニッツの法則が既習でない場合には証明することになります (これも帰納法で).
## まあ一般の場合ではなくて, ここで必要になる x*F(x) の形に対する高階微分についてだけ
## 証明できれば十分ですが (無論, 一般の場合のライプニッツの法則が証明できるならしたほうがよい).

No.79742 - 2021/12/02(Thu) 07:41:37

Re: 数学的帰納法 / ぽ
となることに注意すれば、の次の行のdx^(k+1)って、dx^(k+2)ではないでしょうか?
No.79757 - 2021/12/02(Thu) 22:00:09

Re: 数学的帰納法 / ast
理由が書かれていないのでどうしてそう思うのかよくわかりません (所期の等式は, 「k-階微分 d^k/dx^k のときの成立を仮定したときの (k+1)-階微分 d^(k+1)/dx^(k+1) に対する成立を見る」のであって, (k+2)-階微分 d^(k+2)/dx^(k+2) ではないと私は思います) が, そう思う根拠は何かありますか?

# 当然ながら, もし根拠を以って誤りと判断したのであれば, 自分で修正してしまってよいと思います
# (そもそも, 課された問題は課された本人の手で自身の理解をもとに答案作成されるべきなので).
# 修正しきれないときは, 現状どうなっているか具体的にした質問ならば添削などで応対できるでしょう.
## なお, 私の回答は質問者による自力解答への助力が趣旨であり (答案作成代行ではない),
## 細かい正確性までは保証しない (質問者自身が検討の上で必要なだけ正確になるようすればいい)
## というスタンスです (もちろん, やり取りをする中でより正確性を求めることはありますが,
## それも自助努力があって質問者の考えや疑問点が具体化されていくことが前提ということです).

No.79763 - 2021/12/02(Thu) 23:43:18
(No Subject) / 円
問 円x^2+y^2+4x=0と円x^2+y^2-x+2y-3=0が2点A,Bで交わっている。円Cの中心は放物線y=x^2-4上にあり円CはA,Bを通っている。
Cの方程式を求めよ

上の問題で円Cの中心は点(-2,0)と点(1/2,-1)を結ぶ直線y=-2/5x-4/5上にあるのでy=x^2-4との交点の点(-2,0)もしくは点(8/5,44/25)が中心であることは分かったのですが半径が求められません。AとBの座標を計算するしかないのでしょうか。

No.79737 - 2021/12/01(Wed) 20:17:54

Re: / らすかる
円x^2+y^2+4x=0と円x^2+y^2-x+2y-3=0の2交点を通る円の方程式は
k(x^2+y^2+4x)+(1-k)(x^2+y^2-x+2y-3)=0と表されます。
整理して
{x+(5k-1)/2}^2+{y-(k-1)}^2=(29k^2-30k+17)/4 … (1)
この円の中心(-(5k-1)/2,k-1)がy=x^2-4上にあるので代入して
k-1={-(5k-1)/2}^2-4
これを解くと k=1,-11/25なので、円の方程式は(1)に代入して
k=1 → (x+2)^2+y^2=4

k=-11/25 → (x-8/5)^2+(y+36/25)^2=5596/625

# というわけで、Aの座標・Bの座標・半径はいずれも求める必要がありません。

No.79741 - 2021/12/01(Wed) 22:39:13
お願いします / nのために
解いてください
No.79727 - 2021/12/01(Wed) 16:02:17

Re: お願いします / ヨッシー
円の中心をOとすると、
∠BAC=46°より∠BOC=92°

BE=CEより ∠BOE=∠COE=(360°−92°)÷2=134°
よって、
 ∠BAE=∠BOE÷2=67°

No.79729 - 2021/12/01(Wed) 17:19:07

Re: お願いします / nのために
ありがとうございました😊
No.79730 - 2021/12/01(Wed) 17:24:59
トゥシャール多項式 / ニコ
トゥシャール多項式
??(k=1→n)S(n,k)x^k
が2項型の多項式であることをどう証明すればいいのか分かりません。
お願いします!!

No.79721 - 2021/12/01(Wed) 13:09:01
分数の計算について / ゆうき
矢印部分の=が理解出来ません、計算の仕方を
教えください

No.79715 - 2021/12/01(Wed) 12:17:40

Re: 分数の計算について / ヨッシー
 1+1/3=3/3+1/3=4/3 
とか、
 x+1/x=x^2/x+1/x=(1+x^2)/x
とか、
 y+y/x=xy/x+y/x=y(1+x)/x
というのと同じ、いわゆる「通分」です。

No.79716 - 2021/12/01(Wed) 12:30:21

Re: 分数の計算について / ゆうき
ご回答ありがとうございます
ですが通分しても同じ答えにどうしても
ならないのです。

No.79717 - 2021/12/01(Wed) 12:37:57

Re: 分数の計算について / ヨッシー
1 + 1/(1+x) は通分するとどうなりますか?
No.79719 - 2021/12/01(Wed) 12:48:42

Re: 分数の計算について / ゆうき
(1+x)/(1+x)+1/(1+x)です。
No.79720 - 2021/12/01(Wed) 13:07:20

Re: 分数の計算について / ヨッシー
そこまではOKです。

せっかく通分したのですから足しましょう。

No.79723 - 2021/12/01(Wed) 13:17:20

Re: 分数の計算について / ゆうき
ありがとうございます。解けました^_^
No.79724 - 2021/12/01(Wed) 13:25:16

Re: 分数の計算について / 関数電卓
質問者さんは (ωCR)^2 が無次元量であることがお分かりですか?
計算結果はさることながら,こちらの方が重要だと思われます。

No.79731 - 2021/12/01(Wed) 17:37:10
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