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★ 平面ベクトル / Nao
添付の(2)の5と6がわかりません。

(1)は、cosθ=2√2/3、S=√2
(2)は、2:1に外分
が正答です。

自分は(2)を、ベクトルでの解き方がわからず、中学数学の三平方の定理で解きました。
具体的には、△OCAと△OCBの共通の垂線OCをh、CA:CBをt:1-tとおき、△OCAと△OCBで三平方の式をそれぞれ立て、連立して解くと、t=7/2となり、答えは「7:5に外分」となったのですが。。。
No.78630 - 2021/10/04(Mon) 00:25:21
☆ Re: 平面ベクトル / X
ではベクトルを使った方針を。

条件からCは直線AB上の点ですので
↑OC=(1-t)↑OA+t↑OB (A)
と置くことができます。
ここで条件から
↑OC⊥↑AB
∴↑OC・↑AB=0
↑OC・(↑OB-↑OA)=0 (B)
(B)に(A)を代入して、左辺を展開し
|↑OA|=2√3
|↑OB|=√6
↑OA・↑OB=8
を代入してtの方程式を導き、解きます。
その結果を(A)に代入して、
内分点、外分点のベクトルによる公式
を使います。
No.78647 - 2021/10/04(Mon) 19:13:11
☆ Re: 平面ベクトル / Nao
Xさま

ありがとうございます！
自分でイチから計算して解けました！

知りたかったベクトルでの解法は理解できたのですが、中学数学の三平方の定理を用いた解き方だと何故異なる結果になるのかがわからないのですが、おわかりになればお教えいただけると助かります。
No.78671 - 2021/10/05(Tue) 20:41:02
☆ Re: 平面ベクトル / X
三平方の定理を使って解いても
t=7/2
とはなりません。

CA:CB=t:1-tと置き、△OAC,△OBCに辺OCに注目した
三平方の定理を使うと
OA^2-(tAB)^2=OB^2-{(1-t)AB}^2 (A)
ここで△OABにおいて余弦定理により
AB^2=OA^2+OB^2-2↑OA・↑OB
=2
∴(A)から
12-2t^2=6-2(1-t)^2
これより
6-t^2=3-(1-t)^2
∴t=2
となります。
No.78677 - 2021/10/06(Wed) 06:03:11
☆ Re: 平面ベクトル / Nao
Xさま

解説ありがとうございます！

以下の考え方のどこに誤りがあるのか教えていただけないでしょうか。

角Cが直角の△OACと△OBCにおいて、共通の垂線OCをh、AC=t、BC=1-tとおくと、
△OAC h^2=12-t^2
△OBC. h^2=6-(1-2t-t^2)
12-t^2= 6-(1-2t-t^2)
t=7/2
No.78683 - 2021/10/06(Wed) 21:11:52
☆ Re: 平面ベクトル / ヨッシー
・実際は外分なのに内分として扱っている
・比の値であるｔを辺の長さとして扱っている
の２点が主な誤りです。
No.78745 - 2021/10/10(Sun) 05:51:13
★ 数学の質問です！ / アリハラカノン
解き方がわからないです！
途中式まで書いて貰えると嬉しいです！！
No.78628 - 2021/10/03(Sun) 20:34:15
☆ Re: 数学の質問です！ / X
(1)
前半)
f(x)を平方完成しましょう。
後半)
前半の結果をkの二次関数と見て
平方完成しましょう。

(2)
前半)
条件から
((1)の前半の結果)＜0
これをkについての不等式として解きます。
後半)
(1)の前半の過程(平方完成)から
y=f(x)のグラフの軸の方程式は
x=k-1
∴題意を満たすためには
y=f(x)のグラフとx軸との位置関係から
0＜k-1＜10 (A)
f(0)＞0 (B)
f(10)＞0 (C)
(A)(B)(C)と前半の結果を
kの連立不等式として解きます。

(3)
k=-2のとき
f(x)=x^2+6x+2
∴-3＜f(x)＜-1のとき
-3＜x^2+6x+2 (A)
x^2+6x+2＜-1 (B)
(A)(B)を連立して解きます。
No.78629 - 2021/10/03(Sun) 21:37:10
☆ Re: 数学の質問です！ / X
ありがとうございました！！
No.78645 - 2021/10/04(Mon) 18:02:55
★ 数A / 確率
袋の中に赤い球が1つ, 青い球が1つ, 白い球が2つの合計4つの球が入っている.袋の中から球を1つ取り出し, 色を記録してからもとに戻す試行を繰り返す.n回目の試行が終了した時点で、 赤と青はいずれも記録されていない確率を pn, 赤と青については一方だけが記録されている確率を qnとする.
(1) pnを求めよ.また,qn+1を qnを用いて表せ.
(2) n回目の試行で初めて、記録された色に赤と青がそろう確率を求めよ.

宿題でだされたんですけど、qn+1を求めるところからわかりません。お手数ですが、詳しい解説よろしくお願いします。
No.78626 - 2021/10/03(Sun) 14:22:42
☆ Re: 数A / X
(1)
前半)
条件から
p[n]=(1/2)^n
後半)
n回目の試行までに
青が記録されず、赤が少なくとも1回記録される確率をr[n]
赤が記録されず、青が少なくとも1回記録される確率をb[n]
とすると
q[n]=r[n]+b[n] (A)

(i)n回目の試行までに赤青については一方だけ記録されている場合
n+1回目もやはり赤青については一方だけ記録されている確率は
(3/4)r[n]+(3/4)b[n]=(3/4)q[n]
((∵)3/4で括って(A)を代入)
(ii)n回目の試行までに赤青いずれも記録されていない場合
n+1回目に赤青については一方だけ記録されている確率は
前半の結果から
(1/2)(1/2)^n=(1/2)^(n+1)

(i)(ii)より
q[n+1]=(3/4)q[n]+(1/2)^(n+1)

(2)
(1)の後半で使ったr[n],b[n]を使うと、求める確率は
(1/4)r[n-1]+(1/4)b[n-1]=(1/4)q[n-1] (B)
ということで、q[n]を求めた上で(B)を使う
ことを考えます。

(1)の後半の結果において
q[n]・2^n=Q[n]
と置くと
Q[n+1]=(3/2)Q[n]+1
よって…
No.78627 - 2021/10/03(Sun) 17:41:43
☆ Re: 数A / 確率
ご丁寧に解説していただきありがとうございました。
No.78654 - 2021/10/05(Tue) 08:40:45
★ 級数の値 / Jin
m,r は自然数、m>=r>=2のとき、Σ(1→∞)n/(m+n)(m+n-1)...(m+n-r)を求めよ。
という問題です。

f(x) = Σ(1→∞){n/(m+n)(m+n-1)...(m+n-r)}*x^(m+n)とすると、|x|<1で
(d/dx)^(r+1)(f(x)) = x^(m-r)/(1-x)^2となることを利用して解こうかと思いましたが、(r+1)回の不定積分をうまく処理できませんでした。解き方よろしくお願いします。
No.78625 - 2021/10/03(Sun) 01:23:40
★ 積分と級数の計算2 / Jin

gx) = Σ(1→∞)1/{n^(4)+x^(2)}に対し、∫(0→∞)g(x)dxを求めよという問題がわかりません。
g(x)はx>=0で一様収束より
∫(0→M)g(x)dx = Σ(1→∞)∫(0→M)1/{n^(4)+x^(2)}dx
=Σ(0→∞)Arctan(M/n^(2))/n^(2)　としてM→∞の極限を求めようとしましたがうまくいきません。
No.78610 - 2021/10/02(Sat) 13:01:50
☆ Re: 積分と級数の計算2 / IT
lim(M→∞) Arctan(M/n^(2))/n^(2) の値を使えば良いのでは？
No.78620 - 2021/10/02(Sat) 19:25:10
☆ Re: 積分と級数の計算2 / Jin
極限と極限入れ替えていいのですか？
No.78624 - 2021/10/02(Sat) 22:35:48
★ 積分と級数の計算 / Jin
f(x) = Σ(1~∞)tan(x/2^(n))/2^(n)に対し、∫(π/6~π/2)f(x)dxを求めろという問題です。

優級数定理より、f(x)はπ/6~π/2で一様収束より、極限と積分の順を入れ替えて
=Σ(1~∞) log(cos(π/3*2^(n))/cos(π/2^(n)))　これをうまくまとめられません。
答えはlog(3/2)になるらしいです。解き方よろしくお願いします。
No.78607 - 2021/10/02(Sat) 12:39:41
☆ Re: 積分と級数の計算 / IT
詳説演習のｐ193にあるピエト・オイラーの公式
Π[n=1,,,∞]cos(θ/2^n)=(sinθ)/θ　を使えば良いのでは。
No.78621 - 2021/10/02(Sat) 19:58:59
☆ Re: 積分と級数の計算 / Jin
なるほど解答凄い綺麗ですね。総合問題の方までチェックしてませんでした。ありがとうございます。
No.78623 - 2021/10/02(Sat) 22:18:24
★ sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
sin75°を利用して三角形の辺と角を求める問題で質問があります。
教えて下さい。

《問題》
△ABCにおいて、b=2,c=1+√3，A=60°のとき，ａ，B,Cを求めよ。

《解答》
余弦定理より
a^2＝2＾2＋（1+√3）^2×2×（1+√3）×cos60°=6
a>0よりa＝√6

この後に、正弦定理から
a/sinA=c/sinCより
√6/(√3/2）＝（1+√3)/sinC
sinC＝（1+√3)/√6×(√3/2）＝（√6＋√2)/4
C=75°、C=105°

C＝75°のときB=45°　2<√6＜1＋√3、45°＜60°＜75だから条件を満たす。
C＝105°のときB=15°　2<√6＜1＋√3、45°＜60°＜75だから条件を満たす。


★★ここから質問です★★

教科書では
C＝105°のときB=15°がなかったのですが、なぜC＝105°のときB=15°が誤りですか。
教科書の解き方は理解していますので、私の解答で誤りを教えてください。よろしくお願いします。

（教科書ではa＝√6を求めた後に、sin75°の値は使わないで、
余弦定理でcosB＝1/√2からB=45°、C=180°ー（60°＋45°）＝75°でした）
No.78602 - 2021/10/02(Sat) 11:08:44
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / IT
> なぜC＝105°のときB=15°が誤りですか。

３辺の長さが決まると、三角形は１つに決まるので、２つの答えが出ることはないはずです。

また、三角形ABCを描いて見ると、誤りなのは一目瞭然だと思います。
（b=2,c=1+√3に反する）

なぜ、誤りが潜り込んでいるのかは、これからあなたの解答を読んでみます。
No.78603 - 2021/10/02(Sat) 11:59:26
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / X
横から失礼します。

辺と角の大小関係だけでは∠Cが鈍角であることを
排除できないことを考えていないのが誤りです。

仮に∠C=90°a=√6,b=2の直角三角形を
考えるとき、三平方の定理により
c=√10
よって件の問題の△ABCにおいて
b=2＜a=√6＜c=1+√3＜√10
により、∠Cは鋭角です。
No.78604 - 2021/10/02(Sat) 12:29:11
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / IT
a/sinA=c/sinC　は、問題の条件を満たすための必要条件でしかないですね。

sinC=sin(180°-C) ですから２つの角度Cが求まりますが、問題のすべての条件を満たす角度Cは１つだけのはずです。
No.78605 - 2021/10/02(Sat) 12:33:04
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
3辺の長さが決まると、三角形は１つに決まるので、２つの答えが出ることはないのは理解しています。

また、C＝105°のときB=15とすると、三角形ABCを描いて見ると、
点Cから辺ABに垂線を引いて、辺ABとの交点をHとすると、
AH＝√3、HB=1、HC=1だから、
△HBCで三平方の定理から
a=BC＝√（HB^2＋HC＾2）＝√（１^2＋１^2）＝√2
となりa=√6にならないのでC＝105°のときB=15は不適であるのもわかっています。


お尋ねしたいのは、

C＝105°のときB=15°（A=60°）　

「2<√6＜1＋√3、45°＜60°＜75だから条件を満たす。」を満たしている（b<a<cならばB<A＜C）のに
なぜ誤りになるのかを教えて下さい。

もちろん、1＋√3と√6の大小は、
（1＋√3）＾2−（√6）^2＝2（√6-1）>0より1＋√3＞√6
も理解しています。

よろしくお願いします。
No.78606 - 2021/10/02(Sat) 12:35:03
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
すみません。わかっていないので教えてください。


sinC=sin(180°-C) ですから２つの角度Cが求まりますが、
問題のすべての条件を満たす角度Cは１つだけのはずです。

これも理解していますが、なぜ
2<√6＜1＋√3、45°＜60°＜75だから条件を満たしてのいるのに
「C＝105°のときB=15」ではなくて、　
「C＝75°のときB=45°」なのかがわかりません。


辺と角の大小関係だけではB　←Cですか?
が鈍角であることを
排除できないことを考えていないのが誤りです。

仮に∠B=90°a=√6,c=2の直角三角形を考えるとき、三平方の定理によりb=√10
よって件の問題の△ABCにおいて
c=2＜b=√6＜a=1+√3＜√10により、
∠Aは鋭角です。←　なぜ∠Aは鋭角ですか？　ここからCが鋭角はどのように導くのですか？
　
No.78608 - 2021/10/02(Sat) 12:51:23
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / X
ごめんなさい。No.78604を訂正しましたので再度ご覧下さい。


＞＞お尋ねしたいのは、〜
b＜a＜cならばB＜A＜C (A)
というのは、

辺の長さの大小関係と、角の大小関係の対応関係
を表している「だけ」

であって、∠Cが鋭角か鈍角かは(A)では判定できない
ということです。

例え(A)を満たしていても、別の条件で
∠Cが鋭角
であることが分かれば、
∠C=105°
は解答から除かれます。
No.78611 - 2021/10/02(Sat) 13:03:30
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
例え(A)を満たしていても、別の条件で∠Cが鋭角
であることが分かれば、∠C=105°は解答から除かれます。
↑
別の条件で、どのようにして∠Cが鋭角であることを判断しますか。
やはり、cosC＝（（√6）^2＋2^2−（１＋√3）^2）/（2・2・√6）＝2(3-√3)/（2・2・√6）＝（√6−√2）/4>0
よってcosC>0だからc=105°は不適でC=75°を使うのですか？


もしこれを使うならば、最初から
余弦定理よりa＝√6を求めた後に、すぐ
cosC＝（（√6）^2＋2^2−（１＋√3）^2）/（2・2・√6）＝（√6−√2）/4
C=75°を使えばよいと思いました。

最初に書いた解答つまり
「余弦定理より
a＝√6のすぐ後に正弦定理√6/(√3/2）＝（1+√3)/sinCだから
sinC＝（1+√3)/√6×(√3/2）＝（√6＋√2)/4
C=75°、C=105°」
が無駄になりますか？
No.78612 - 2021/10/02(Sat) 14:12:37
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / X
修正したNo.78604はご覧になりましたか？
そこにcosCを計算しない方針で、∠Cが鋭角である証明を
書きましたが。
No.78613 - 2021/10/02(Sat) 14:21:23
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / IT
三角形の角Cの大きさを求めるには、cosCとsinC のどちらかといえば、cosC の方が有利ですね。
No.78614 - 2021/10/02(Sat) 15:00:56
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
もちろん、78604と修正したのも見ています。
三平方の定理を使っている確認しているのはわかったのですが、
ITさんが言われた「三角形ABCを描いて見ると、誤りなのは一目瞭然だと思います。
（b=2,c=1+√3に反する）」がわかりませんでした。
「誤りなのは一目瞭然」を教えてください。
No.78615 - 2021/10/02(Sat) 15:13:32
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / IT
角が60°15°105°の三角形（の概形）を描いて見られましたか？
A=60°B=30°C＝90°の場合でさえ　b=c/2 となりbが短か過ぎるので、まして　B=15°ならダメだと私は思ったのですが、

あなたが「一目瞭然」と思われないのであれば、「一目瞭然」とは言えないので、撤回します。
No.78616 - 2021/10/02(Sat) 15:26:51
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
Q１.
結局、sinCから角Cが2個ででてきたときは
a<b<cならばA<B<Cだけ利用しても判断できないことがあり
（問題によっては判断できることもある）
その場合は、別の条件（三平方の定理などを利用して、不適を示す）も考えて
２個のCから正しい角を見つけるということでよね。

「一般にa<b<cならばA<B<Cだけでは、Cが鋭角か鈍角かはわらない。」ということですよね。


Q2．　
ITさんが言われた「三角形ABCを描いて見ると、b=2,c=1+√3に反する」
はどのような理由からですか？
（私は78606のように点Cから辺ABに垂線を引いて、
「a=√6にならないのでC＝105°のときB=15は不適である」と判断しています）
No.78617 - 2021/10/02(Sat) 16:03:10
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
すみません。私のコメントの前にITさんがコメント届いていましたね。
Q2の質問はなしにしてください。

Q1だけの質問に答えて下さい。
No.78618 - 2021/10/02(Sat) 17:39:12
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / X
＞＞Q1について
その通りです。
No.78619 - 2021/10/02(Sat) 19:17:15
☆ Re: sin75°を利用して三角形の辺と角を求める / KEN
Xさん、ITさんの説明でよく理解できました。
たくさんのアドバイス本当にありがとうございました。
No.78622 - 2021/10/02(Sat) 20:20:01
★ (No Subject) / ddd
写真の条件においてt=cos2xとするとき、?Aを満たすxの値が全部で6個あるようなaの範囲が3/4<a<1となる理由を詳しく知りたいです。
No.78597 - 2021/10/01(Fri) 21:52:50
☆ Re: / X
条件のとき、半角の公式により
(cosx)^2=(1+t)/2
∴?Aは
1+t+t^2=a
t^2+t+1-a=0 (A)
ここで
0≦x＜3π/2
より
0≦2x＜3π
∴-1≦t≦1 (B)
であり
t≠1,-1のとき、tの値1つに対し、xの値が3個対応し
t=1,-1のとき、tの値1つに対し、xの値が2個対応する
ことに注意すると、求める条件は

tの二次方程式(A)が
-1＜t＜1 (B)'
において、異なる2つの実数解を持つ条件

となります。
後は
f(t)=t^2+t+1-a
と置き、
横軸にt,縦軸にf(t)を取ったグラフが
t軸と(B)'の範囲で2個交点を持つ条件
を求めることを考えます.
このグラフの軸が
t=-1/2
で(B)'の範囲内にあることに
注意すると、まず(A)の解の判別式
をDとして
D=1-4(1-a)＞0 (C)
次に
f(-1)=1-a＞0 (D)
f(1)=3-a＞0 (E)
(C)(D)(E)を連立して解き
3/4＜a＜1
となります。
No.78601 - 2021/10/02(Sat) 07:42:12
★ パラメータ付きの広義積分 / Jin
∫(0→∞)sinx/xを求める際に、アーベル和を利用して
f(a) = ∫(0→∞)e^(-ax)sinx/x
∫(0→∞)sinx/x = lim(a→+0)f(a)

....(中略)

f(a) = -arctan(a)+cまで出すところまでは理解できたのですが、この後教科書に
lim(a→∞)でf(a)→0より、c=π/2と書いてあるのですがlim(a→∞)f(a)=0をきちんと示して欲しいです。よろしくお願いします。
No.78595 - 2021/10/01(Fri) 21:03:54
☆ Re: パラメータ付きの広義積分 / IT
|e^(-ax)sinx/x|を　e^(-ax) で上から押さえて評価すれば良いのでは？
No.78596 - 2021/10/01(Fri) 21:47:50
☆ Re: パラメータ付きの広義積分 / Jin
あ、本当ですね。確かに自明でした。ありがとうございます。
No.78599 - 2021/10/01(Fri) 21:59:29
★ (No Subject) / ユウ
画像のような線型写像について、定義域と地域はどのように書けば良いのですか？x_1、x_2共に定義域は実数全体という風にすればいいのでしょうか。
No.78593 - 2021/10/01(Fri) 18:19:46
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題を0.36×52.5を概算してしまいました。ダメですよね
No.78586 - 2021/10/01(Fri) 12:27:21
☆ Re: / ヨッシー
掛けたら 18.9 ですね。
それで？
No.78588 - 2021/10/01(Fri) 13:05:05
☆ Re: / 数学苦手
あーそうじゃなくて、資料の問題みたいに何倍かしてしまったので、それぞれの数字を…
かっこがついて、その前に係数が小数点とかなら、そういうのもありかもですがこの場合はダメですね、、
No.78590 - 2021/10/01(Fri) 13:09:05
☆ Re: / ヨッシー
そもそも、何が 0.36 で、何が 52.5 かわからないので、
良いとも悪いとも言えません。

計算を簡便化したいのなら、

　12.6÷2＝6.3
です。
No.78591 - 2021/10/01(Fri) 13:30:05
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題は3分20秒を3．3分として、解いたらやっぱり解けないですか？
No.78584 - 2021/10/01(Fri) 12:24:12
☆ Re: / 数学苦手
この問題です。貼り忘れました。
No.78585 - 2021/10/01(Fri) 12:24:35
☆ Re: / ヨッシー
３分20秒は3.3分ではないのでダメでしょう。
No.78587 - 2021/10/01(Fri) 12:58:37
☆ Re: / 数学苦手
3.33333…分ですね。やっぱり違う単位のものは分数で計算しないとダメですね、、
No.78589 - 2021/10/01(Fri) 13:07:04
☆ Re: / 関数電卓
「3.3分」で計算しても，途中正しく計算しさえすれば，計算結果に最も近いものが正解ですね。
たまたま偶然ですが…
No.78592 - 2021/10/01(Fri) 13:43:24
★ 推測ゲーム / nyaa
次の「推測ゲーム」の問題を考える。

多数回の実験結果に基づく推測以外の，袋の中に入っている玉の色の組み合わせを推測する方法，すなわち抽出回数をできる限り少なくした推測方法を考え，それを具体的に説明しなさい。
大きくて不透明な袋と，白と黒の玉が多数入っている箱がある。教師は箱に手を伸ばし，決して見ることなく玉を5つ掴む。掴んだ玉の色を見ることなく手を袋に入れ，手を開く。袋には5つの玉が入っているが，白の玉と黒の玉がいくつ入っているかは誰も分からない。袋の中を見ることはできない。誰もが納得のいくように，袋の中に入っている玉の色の組み合わせを推定しなさい。ただし，袋から玉を一度に1つだけ取り出して色を確認することができるが，取り出した玉はすぐに袋の中に戻さなくてはならないこととする。

多数試行しか思いつかないんですが他になにかありますか？？？？
No.78580 - 2021/10/01(Fri) 03:29:58
★ 解析的な関数と合成関数 / Jin
aで解析的な関数fとb=f(a)で解析的な関数gについて、g・f(x)はaで解析的である。
この主張の証明がわかりません。お願いします。

微積分学(サイエンス社)をもっているなら、p146にこの証明があるのですが、
Σ |c[i]|*|x|^(i) <= Σ |b[m]|(Σ |a[n]|*|x|^(n))^(m)がどうして成り立つのかのちゃんとした証明をお願いしたいです。
No.78578 - 2021/10/01(Fri) 01:34:15
☆ Re: 解析的な関数と合成関数 / IT
p146 下から２行目の　Σ c[i]*x^(i) の定義を良く読めば分かるのでは？

どの段階で絶対値記号を付けると大きいかということで、簡単な例では

｜ab+cd| ≦|a||b|+|c||d| と同じ理窟です。

Σ c[i]*x^(i) の定義（c[i]とb[m],a[n]との関係）を書かれると、そのテキストを持ってない方からの回答も期待できますし、そうでないとテキストを持ってない方は、何のことかさっぱり分からないと思います。
No.78579 - 2021/10/01(Fri) 03:16:00
☆ Re: 解析的な関数と合成関数 / Jin
f(x)=Σ(0→∞)a[n]x^(n) (|x|<ρ)
g(y)=Σ(0→∞)b[n](y-f(0))^(n) (|y-f(0)|<δ)

とかけた時、
f(0)=a[0]より
g(f(x)) = Σ(0→∞)b[m](Σ(1→∞)a[n]x^(n))^(m)
この右辺を形式的に展開してxの昇べきの順に並べた整級数をΣc[i]*x^(i)とする。

これがΣc[i]*x^(i)の定義ですが、そもそもg(f(x))は形式的に単一パラメータの無限級数に展開できるものなんですか？
Σ(Σ())^(m)の形式が、単なる無限和Σ()の形で展開できるというのを自明に使ってるのが腑に落ちないです。
No.78583 - 2021/10/01(Fri) 08:39:22
☆ Re: 解析的な関数と合成関数 / IT
> これがΣc[i]*x^(i)の定義ですが、そもそもg(f(x))は形式的に単一パラメータの無限級数に展開できるものなんですか？
> Σ(Σ())^(m)の形式が、単なる無限和Σ()の形で展開できるというのを自明に使ってるのが腑に落ちないです。

確かに、その部分は、もっと丁寧な議論が必要な気がします。
No.78594 - 2021/10/01(Fri) 19:51:42
☆ Re: 解析的な関数と合成関数 / m
具体的にどのような議論をするのか．見通しが良くなりそうなことを書いてみます．

ある仮定（今回は a[0] = f(0)）の下で，各 c[i]^* は代数的に（極限や位相を使うことなく）定義できます．
c[i]^* は有限個の a[n], b[m] の積と和を使ってあらわせる．と言ってもいい．この議論は必要．
詳しくは 形式的べき級数 (wiki)．

この際，"形式的"べき級数 ?把[i]^* x^i が収束するかどうかは問題ではありません．
合成が解析関数になることを示すために後から収束半径を調べているはずです．
No.78600 - 2021/10/02(Sat) 04:21:43
★ (No Subject) / マックスバリュ
よろしくお願いします。
No.78572 - 2021/09/30(Thu) 20:49:41
☆ Re: / IT
α[n+1]=1/(2-α[n]) のn をk と書き換えただけです。
No.78573 - 2021/09/30(Thu) 20:54:08
☆ Re: / マックスバリュ
本当ですね。何かとんちんかんな勘違いをしていました。ありがとうございます。
No.78574 - 2021/09/30(Thu) 20:57:18
★ 漸化式 / マックスバリュ
分かりにくい質問ですが、よろしくお願いします。
No.78569 - 2021/09/30(Thu) 20:48:28
☆ Re: 漸化式 / マックスバリュ
質問を間違えました。すみません。この質問は解決済みです。
No.78571 - 2021/09/30(Thu) 20:49:08
★ 不定積分 / りな
不定積分∫√(x^2-1)の求め方がわかりません。よろしくお願いします。
No.78567 - 2021/09/30(Thu) 19:15:58
☆ Re: 不定積分 / 関数電卓
<解１> x＝(e^u＋e^(−u))/2 と置く。
<解２> x＋√(x^2−1)＝u と置く。
どちらも同じことなのですが，出来るところまでやってみて下さい。結果！
No.78568 - 2021/09/30(Thu) 20:30:31
★ ニュートンリングと回折格子 / Fg
?Dはなぜ解答解説のような経路を辿るのですか？本来図示されたものを見て解答するものではないでしょうか。もし、高校物理の範囲内でこの経路の導き方があれば教えてください
No.78564 - 2021/09/30(Thu) 15:59:01
☆ Re: ニュートンリングと回折格子 / Fg
2枚目です
No.78565 - 2021/09/30(Thu) 15:59:38
☆ Re: ニュートンリングと回折格子 / 関数電卓
> 高校物理の範囲内でこの経路の導き方
?D「下から見る」とは，上から下へ 透過してくる光を見る ということです。
この問題は「こう考えて解くもの」という経験をストックして下さい。
No.78566 - 2021/09/30(Thu) 17:56:07
☆ Re: ニュートンリングと回折格子 / Fg
なるほど！　　あと、質問し忘れていたのですが、なぜ回折格子は２つのスリット間の経路差だけ計算しているのですか？(そのように計算してなくても、そのような計算をしていると見えました。また、ヤングの実験との違いが分かりません)
No.78570 - 2021/09/30(Thu) 20:48:46
☆ Re: ニュートンリングと回折格子 / Fg
調べたらある程度わかりましたので、ありがとうございます。
No.78575 - 2021/09/30(Thu) 22:04:54
☆ Re: ニュートンリングと回折格子 / 関数電卓
（図を作っていて，回答が遅れました）
「ヤングの実験」とは，<図１>のような，複スリットによる２本 の光線の干渉のこと。（図は，極端に描いてあります）
「回折格子」とは，<図２>のように 大変多く (50本〜100本程度) の干渉で，干渉条件 dsinθ＝mλ を満たす方向の光 (青線) が 強く強め合い明点が非常にクリア です。
ただし，光線の数が増えると，図の赤･緑のような 干渉条件を満たさない方向の光が完全に打ち消される 理由の記述が，教科書や参考書に皆無なことが，誤解を生む原因になっています。
No.78576 - 2021/09/30(Thu) 23:05:45
★ 解析関数を用いて無限級数を求める / Jin
1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11-...を求めろという問題です。

出典:微分積分学(サイエンス社)p146の問1(2) or 詳説演習微分積分学p181練習問題4-31(3)

回答では、
1+(1/3-1/5)-(1/7-1/9)+.. = 1 + Σ[(-1)^(n-1)*2/{(4n-1)(4n+1)}]　として例題と同様にするとありましたが、どのようにするかわかりませんでした。説明お願いします。
No.78563 - 2021/09/30(Thu) 15:21:00
☆ Re: 解析関数を用いて無限級数を求める / m
まず，べき級数と項別積分を使って Σ[(-1)^(n-1)/{(4n-1)(4n+1)} x^(nの式)] の形を作ることはできますか？

次に難しいのは，実際に積分を計算するところだと思います．
今回は部分積分を使うとうまくいきます．
計算：https://r9.whiteboardfox.com/91428230-1813-7092

// あと，例題の方針くらいは書いてほしいと思ったり．
// 上のやり方は計算ゴリゴリで，その例題を使った簡単な解法があるかもしれない．
No.78581 - 2021/10/01(Fri) 06:32:54
☆ Re: 解析関数を用いて無限級数を求める / Jin
ありがとうございます。そうやって目的の関数を作るんですね。
例題は、1-1/2+1/3-1/4..をlog(1+x)を用いて、1-1/3+1/5-1/7..をarctanxを用いて..といった単純なものだったので解答を改善させるものではないと思いますが。
No.78582 - 2021/10/01(Fri) 08:06:46
★ ポイント還元サイトの運営で / あむウェイ
スマホアプリの運営をしようと思っています。
ガチャで当たった商品を運営が買取できる仕組みにします。また、お金に還元はできないとみなします。（法の問題はなしとしておいてください）
1P1円とします。
そこで質問です。
・ユーザーの全所持ポイントが30万P
・ガチャで回された全売上が50万P
・還元に回した総ポイントは15万P
・総入金額は40万円

（Pは仮定です。）
この場合の運営の利益はいくらでしょうか？
またこの場合どのような計算式としますか？
No.78554 - 2021/09/30(Thu) 06:23:28
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