α,β,γを互いに異なる複素数とし{α^2,β^2,γ^2}={α,β,γ}が成り立つとする.
(1)α,β,γのうちに虚数が存在することを示せ.
(2)α,β,γがすべて虚数のとき,α,β,γを極形式で表せ.ただし,0<argα<argβ<argγ<2πとする.
複素数苦手で困っています。どうやって解けばいいですか？
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No.79674 - 2021/11/29(Mon) 16:00:28
| ☆ Re: 複素数 / IT | | | (1)α,β,γがすべて実数だと仮定して矛盾を導くのだと思います。
α,β,γがすべて実数のときα^2,β^2,γ^2は0以上なので
0≦α＜β＜γとおいても一般性を失いません。
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No.79692 - 2021/11/29(Mon) 20:05:51 |
| ☆ Re: 複素数 / X | | | (2)
{α^2,β^2,γ^2}={α,β,γ} (A)
より
{|α^2|,|β^2|,|γ^2|}={|α|,|β|,|γ|}
∴{|α|^2,|β|^2,|γ|^2}={|α|,|β|,|γ|}
ここで|α|,|β|,|γ|の大小関係の並びと
|α|^2,|β|^2,|γ|^2の大小関係の並びで
α,β,γの順序が入れ替わることはないので
|α|^2=|α| (B)
|β|^2=|β| (C)
|γ|^2=|γ| (D)
α,β,γは互いに異なる虚数であることから
αβγ≠0
に注意すると、(B)(C)(D)から
|α|=|β|=|γ|=1
後は、α,β,γの偏角を求めていきます。
argα=x,argβ=y,argγ=z
と置くと、条件から
0＜x＜y＜z＜2π (E)
∴0＜2x＜2y＜2z＜4π (F)
更に
arg(α^2)=2x,arg(β^2)=2y,arg(γ^2)=2z
ゆえ、(E)(F)から題意を満たすためには
x,y,zについて次の(i)(ii)(iii)のいずれか
が成立する必要があります。
(i)
2x=x+2π
2y=y+2π
2z=z+2π
(ii)
2x=y (G)
2y=z (H)
2z=x+2π (I)
(iii)
2x=z (J)
2y=x+2π (K)
2z=y+2π (L)
(i)のとき
x=y=z=2π
∴α=β=γ=1となり不適。
(ii)のとき
(G)(H)(I)を連立で解き
(x,y,z)=(2π/7,4π/7,8π/7)
(iii)のとき
(J)(K)(L)を連立で解き
(x,y,z)=(6π/7,10π/7,12π/7)
∴
(α,β,γ)=(cos(2π/7)+isin(2π/7),cos(4π/7)+isin(4π/7),cos(8π/7)+isin(8π/7))
,(cos(6π/7)+isin(6π/7),cos(10π/7)+isin(10π/7),cos(12π/7)+isin(12π/7))
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No.79728 - 2021/12/01(Wed) 16:52:07 |
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