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★ 数列極限 / Jin
lim(n→∞) n*(1-logn/n)^(n)の値。1になりそうではあるのですが、証明ができません。よろしくお願いします。
No.78413 - 2021/09/23(Thu) 19:12:46
☆ Re: 数列極限 / m
log をとって，log(1+x) = x + O(x^2) (x → 0) を使う．

log n + n * [log (1-(log n)/n)]
= log n + n * [-(log n)/n + O({(log n)/n}^2)]
= O((log n)^2/n)
→0 (n → ∞)

よって元の極限は 1
No.78414 - 2021/09/23(Thu) 19:45:59
☆ Re: 数列極限 / Jin
ありがとうございます。ここ最近「微分積分学」を進める上で本当に助かってます。
No.78415 - 2021/09/23(Thu) 20:48:22
★ 高校数学　不等式　高２ / みかん
(2)からがわかりません。よろしくお願いします
No.78411 - 2021/09/23(Thu) 12:53:06
☆ Re: 高校数学　不等式　高２ / m
(1) は左辺 = (x1 + x2 + x3 + x4)^2 になりましたか．

(2)
α = 1 + (α-1) を使って展開すると (1) が使える形になります．
式変形：https://r8.whiteboardfox.com/81626851-6152-9102
後は考えてみてください．
No.78417 - 2021/09/23(Thu) 21:16:58
☆ Re: 高校数学　不等式　高２ / みかん
ありがとうございます
やってみます
No.78421 - 2021/09/23(Thu) 21:53:22
★ 実数列の収束判定 / Jin
問い
0<aかつa!=1のとき、Σ(a^(1/n)-1)の収束判定ができません。
答えは「発散する」です。よろしくお願いします。
No.78409 - 2021/09/23(Thu) 10:30:24
☆ Re: 実数列の収束判定 / IT
a^x の漸近展開を使って評価するのでは？
（出題されているテキストの近くにいくつかの判定法が載っていると思います）

a!=1　という表記は一般的ではないと思います。（ａの階乗と勘違いされるかも知れません）
No.78410 - 2021/09/23(Thu) 11:39:32
☆ Re: 実数列の収束判定 / Jin
漸近展開したら~loga/nとできたので解けました。ありがとうございます。
No.78412 - 2021/09/23(Thu) 18:08:45
★ 高校数学 / 宅浪生
1以上n以下の整数(nは4以上の整数)x,y,zを使って書けるxyzという数の個数をg(n)としたときg(n)≦Knlognと抑えることのできる定数Kは存在しますでしょうか？またこれに変わる評価は可能ならヒントを教えてくださると嬉しいですのでおねがいします。
No.78407 - 2021/09/23(Thu) 07:30:57
☆ Re: 高校数学 / IT
xyzは３つの数の積ですか？

(x,y,z)の個数はn^3 で　それから重複を除くとg(n) なので、そのオーダーはnlognより大きいような気がしますが、未確認です。

元の問題はどんな問題ですか？
No.78408 - 2021/09/23(Thu) 07:50:32
★ 対数と不等式 / 時計
次の値を用いてlog[10]7の小数第三位まで求めよ。
7^{58}=1.037×10^{49}

私の解（対数は全て常用対数とします）
7^3<1037<7^4だから各辺10^{46}をかけて常用対数をとると
46+3log7<58log7<46+4log7
これより
46/55 < log7 < 46/54
46/55=0.8363…、46/54=0.8518…

これでは評価が甘くて小数点以下第一位までしかもとめられません。

同様に
7^0<1.037<7^1
という不等式から計算しても
49/58=0.8448…<log7<49/57=0.8596…
なので評価が甘いです。

どなたかご教授ください。
出典は福島大学2004年の問題です。
No.78394 - 2021/09/22(Wed) 21:15:29
☆ Re: 対数と不等式 / X
＞＞7^0<1.037<7^1
ではなくて
7^0<1.037<7^0.25
で評価してみては？
4＜7＜9
より
2＜7^0.5＜3
∴√2＜7^0.25＜√3
ですので上限をかなり1.037に近づけることができます。
No.78395 - 2021/09/22(Wed) 21:32:03
☆ Re: 対数と不等式 / 時計
ありがとうございます。

同様にやってみると
49<58log[10]7<49+(log[10]7)/4
で評価すると
49/58=0.8448<log[10]7<49/(57.75)=0.8484
でした。もう少し良い評価が必要です。

ちなみにwolframalphaだと
Log[10]7=0.84509…
だそうです。
No.78398 - 2021/09/22(Wed) 22:07:15
☆ Re: 対数と不等式 / IT
log(1.037) を　y=logx のグラフと　x=1,y=0 での接線のグラフを使って評価するとどうですか
No.78399 - 2021/09/22(Wed) 22:29:31
☆ Re: 対数と不等式 / IT
7^{58}=1.037×10^{49}
58log7=log1.037+49
log7=(log1.037)/58　+　49/58 なので

log1.037 を評価すれば良いのですよね

下からの評価は
1.037^n > 10 になるような適当なnをとって、そのことを二項展開によって示せばよさそうな気がします。
No.78402 - 2021/09/22(Wed) 22:57:16
☆ Re: 対数と不等式 / 時計
できたわけではないですが、進捗（？）を報告します。
.
1.037<1.07
と
log[10](1+x)<x
を用いて
7^{58}=1.037×10^{49}<1.07×10^{49}
の常用対数をとって
58log[10]7<log[10](1+0.07)+49<49.07
よって
log[10]7<49.07/58=0.8460…

もう少しきつい評価が必要のようです。
もう少し考えてみます。
No.78403 - 2021/09/22(Wed) 23:08:16
☆ Re: 対数と不等式 / IT
下からの評価
1.037^99>10 (これは二項展開で示す。）
常用対数をとって　99log1.037>1
∴　log1.037>1/99>0.0101

∴　log7=((log1.037)+　49)/58 >49.0101/58 =0.8450017...
No.78404 - 2021/09/22(Wed) 23:19:01
☆ Re: 対数と不等式 / IT
上からの評価

log1.037<0.037/log[e]10<0.037 なので　(証明は略）
log7=((log1.037)+　49)/58 <49.037/58 =0.8454655..
No.78405 - 2021/09/22(Wed) 23:22:09
☆ Re: 対数と不等式 / 時計
なるほど
ありがとうございます。
No.78406 - 2021/09/23(Thu) 00:01:13
★ 最大値と最小値 / 5７
ｘ≧０　ｙ≧０　ｘ＋ｙ≦１　のとき
f(x+y)＝x^2+xy+y^2−x−y　の最大値、最小値の値を求めよという問題が分かりません、教えてください
No.78391 - 2021/09/22(Wed) 20:32:24
☆ Re: 最大値と最小値 / X
x+y=u
xy=v
と置くと、解と係数の関係からx,yは
ｔの二次方程式
t^2-ut+v=0 (A)
の解ですので、(A)の解の判別式をDとすると
D=u^2-4v≧0
∴v≦(1/4)u^2 (B)
又、条件から
0≦u≦1 (C)
0≦v (D)
一方このとき
f(x,y)=u^2-u-v (E)
∴(B)(D)(E)から
u^2-u-(1/4)u^2≦f(x,y)≦u^2-u
(3/4)u^2-u≦f(x,y)≦u^2-u
(3/4)(u-2/3)^2-1/3≦f(x,y)≦(u-1/2)^2-1/4
これと(C)から
-1/3≦f(x,y)≦0
(左辺の等号は(u,v)=(2/3,1/9),右辺の等号は(u,v)=(0,0),(1,0)のとき成立)
よって問題の
最大値は0(このとき(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0))
最小値は-1/3(このとき(x,y)=(1/3,1/3))
No.78397 - 2021/09/22(Wed) 21:59:43
★ (2)がわかりません / あ
ａ,bは正の実数とする。曲線C;y=−ａ^2x^3+3b^2x上でy座標が極大の点をPとするとき、点Pを通りx軸に平行な直線とCが囲む部分の面積が27／4となる。
(1)ａをbを用いて表せ
(2)Pの軌跡を求めよ
No.78390 - 2021/09/22(Wed) 20:27:23
☆ Re: (2)がわかりません / X
P(x,y)とすると(1)の過程から
x=b/a (A)
y=(2b^3)/a (B)
一方(1)の結果から
a=b^4 (C)
(A)(B)をa,bについての連立方程式と見て解き
その結果を(C)に代入して整理をします。
但し(A)(B)から
x＞0,y＞0
の条件が付くことに注意します。
No.78396 - 2021/09/22(Wed) 21:45:39
★ 　２次方程式の利用 / dodo
?Aの問題自力で答えを出せないのでどなたか解説をお願いします。
No.78389 - 2021/09/22(Wed) 20:14:49
☆ Re: 　２次方程式の利用 / けんけんぱ
塩と水の量を分けて考える、というのが定番です。
No.78392 - 2021/09/22(Wed) 20:33:19
☆ Re: 　２次方程式の利用 / dodo
具体的なやり方を教えてもらえませんか。
No.78393 - 2021/09/22(Wed) 20:39:15
☆ Re: 　２次方程式の利用 / けんけんぱ
?@食塩水A,Bそれぞれ何gずつか、という問いなので、それぞれxg,ygとします。
食塩水Aは3%なので、塩の量は(3/100)xg、水の量は(97/100)xg
食塩水Bは10%なので、塩の量は(10/100)yg、水の量は(90/100)yg
食塩水6%の700gは、塩(6/100)700=42g、水(94/100)700=658g
塩だけで考えれば、(3/100)x+(10/100)y=42
水だけを考えれば、(97/100)x+(90/100)y=658
あとは連立方程式を解くことになります。
No.78400 - 2021/09/22(Wed) 22:49:51
☆ Re: 　２次方程式の利用 / けんけんぱ
?Aとありましたね。?@は必要なかったですね。
できれば?@を書いてほしかったです。

?A
Bの食塩水200gからxgを取り出す。
はじめは塩(10/100)200=20gあり、
取り出した塩の量は(10/100)x=(1/10)xgなので、
残るは20-(1/10)xg
xgの水を加えてxgを取り出す。
取り出した塩の量は、｛20-(1/10)x｝(x/200)gなので
残る塩は｛20-(1/10)x｝(1-x/200)g
全体で200gは変わらないから、濃度は
｛20-(1/10)x｝(1-x/200)/200 = 2.5/100
これを解く。
No.78401 - 2021/09/22(Wed) 22:52:02
★ 漸近展開 / Jin
(log(1+1/√x))^(1/2)のx→+∞での漸近展開がうまく出せません。
log(1+1/√x) = x^(-1/2)-x^(-1)/2+x^(-3/2)/3 +o(x^(-3/2))　は出てきますが、これを√でくくってもうまく出せません。方針をお願いします。
No.78383 - 2021/09/22(Wed) 16:14:50
☆ Re: 漸近展開 / Jin
自力で解けたのでもう大丈夫です。
No.78386 - 2021/09/22(Wed) 17:48:51
★ 数A / Admiral.K
これらの問題の解き方が全く分からないので、どなたか解説をお願いできないでしょうか。
No.78381 - 2021/09/22(Wed) 15:17:07
☆ Re: 数A / ヨッシー
まず左半分です。

(4)
相加相乗平均の関係より
　x＋4/x≧2√(x・4/x)＝4＞０　（等号は x＝4/x つまり ｘ＝２）
　y＋9/y≧2√(y・9/y)＝6＞０　（等号は y＝9/y つまり ｙ＝３）
大辺同士、小辺同士掛けて、
　(x＋4/x)(y＋9/y)≧4・6＝24　（等号はｘ−２，ｙ＝３のとき）

(5)
左辺を展開して
　（左辺）＝xy＋9/xy＋10
相加相乗平均の関係より
　（左辺）≧2√(xy・9/xy)＋10＝6＋10＝16
　等号は　xy=9/xy つまり xy＝3 のとき
２．
左辺を計算して
　（左辺）＝2ab/(a+b)
相加相乗平均の関係より
　a+b≧2√ab　等号はａ＝ｂのとき
　（左辺）≦2ab/2√ab＝√ab　等号はａ＝ｂのとき
３．
相加相乗平均の関係より
　ａ＋１/（ａ−１）≧2√a/(a-1)　
等号は　a＝1/(a-1)　のとき、つまり
　a^2−a−1＝0　、ａ＝(1±√5)/2
ａ＞１より　ａ＝(1＋√5)/2　のとき
このとき、
　ａ＋１/（ａ−１）＝２ａ＝１＋√５
No.78382 - 2021/09/22(Wed) 16:06:58
☆ Re: 数A / ヨッシー
右半分
ｘ座標がＡからＢまでａ＋ｂ増える間に、
ＡＤ＝ａからＢＣ＝ｂ まで、１次関数的に変化します。
ｘ軸上において、Ａを０，Ｂをａ＋ｂとし、
Ａからの距離ｔにおける、縦線（ｙ軸に平行な直線で台形を切ったときの切り口）の長さは
　(b-a)t/(a+b)＋a
Ｏはｔ＝(a+b)/2 なので、ＯＳ＝（ａ＋ｂ）／２
Ｐはｔ＝ａなので、ＰＲ＝2ab/(a+b)
△ＯＰＱにおいて、
　ＯＰ＝(a-b)/2、ＯＱ＝(a+b)/2
より、三平方の定理から
　ＰＱ^2＝{(a+b)^2＋(a-b)^2}/4
　　　＝(a^2＋b^2)/2
よって、
　ＰＱ＝√{(a^2＋b^2)/2}
No.78385 - 2021/09/22(Wed) 17:28:31
☆ Re: 数A / Admiral.K
ありがとうございます！
理解できました！
No.78388 - 2021/09/22(Wed) 18:42:58
★ 数A / 東大
どうしたら、赤線部のようになるのですか？そしてどうしたら黄線部のようになるのですか？どうか、教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.78379 - 2021/09/22(Wed) 08:56:41
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
★ 数A / 東大
どうしたら、赤線部のようになるのですか？そしてどうしたら黄線部のようになるのですか？どうか、教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.78379 - 2021/09/22(Wed) 08:56:41
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
★ 数A / 7
m,nは正の整数とする.
(1)7^mの一の位の数を求めよ.
(2)7の7^n乗の一の位の数を求めよ.

答えは解るんですけど、記述の仕方で迷ってます。どなたか記述例を教えてください。よろしくお願いします。
No.78372 - 2021/09/21(Tue) 19:34:04
☆ Re: 数A / IT
どんな答えをどうやって求めて、どんな記述をしようと迷っておられますか？
No.78373 - 2021/09/21(Tue) 19:47:04
☆ Re: 数A / 7
(1)7の累乗の1の位だけを書き並べると、7,9,3,1,7,9···よって、 4個の数字が繰り返すことを一般化して表したいです。
(2)7^7 = 823543≡ 3 (mod 10)
7^14 = (7^7)^2≡ 3^2=9 (mod 10)
7^21 = (7^7)^3≡ 3^3=27≡7 (mod 10)
7^28 = (7^7)^4≡ 3^4=81≡1 (mod 10)
7^35 = (7^7)^5≡ 3^5=243≡3 (mod 10)
7^42 = (7^7)^6≡ 3^6=729≡9 (mod 10)···
よって、こちらも4個の数字が繰り返すことを一般化して表したいです。
No.78376 - 2021/09/21(Tue) 23:15:50
☆ Re: 数A / X
横から失礼します。
＞＞7さんへ
(2)ですが、その計算は
7の7n乗
を計算しています。
7の7^n乗
ではないのですか？。
No.78377 - 2021/09/22(Wed) 06:08:14
☆ Re: 数A / 7
すみません間違っていました。とりあえず(2)はmodを使ってとこう考えています。
No.78378 - 2021/09/22(Wed) 08:48:16
☆ Re: 数A / IT
(1) 7^a=1 (mod 10) なる最小の自然数a を調べ（ておられる）
そのことを使って記述すれば良いのでは。

自然数mをa で割った商をq,余りをr とすると
7^m=7^(aq+r)=7^(aq)7^r = ((7^a)^q)7^r です。
No.78387 - 2021/09/22(Wed) 18:01:52
★ 数A / 素数
自然数nに対し,nと互いに素であってnを越えない自然数の個数をφ(n)で表す.a,bを自然数,p,qを異なる素数として,次の問に答えよ.
(1)φ(9)を求めよ.
(2)φ(p^a)を求めよ.
(3)φ(p^a q^b)=4p^a q^(b-1)

(1)は答えは5個だと思うんですけど、(2)以降がどうやって解けばいいのかわかりません。どなたか詳しい模範解答を教えてください。
No.78369 - 2021/09/21(Tue) 19:02:49
☆ Re: 数A / ヨッシー
(1) は、１，２，４，５，７，８ の６個。φ(9)＝６
(2) は １から p^a までの p^a 個の自然数のうち、
　p, 2p, 3p ・・・p^a の p^(a-1)個は該当しないので、
　φ(p^a)＝p^a−p^(a-1)＝(p-1)p^(a-1)
(3) はどういう問題ですか？
No.78370 - 2021/09/21(Tue) 19:16:30
☆ Re: 数A / 素数
(3)φ(p^a q^b)=4p^a q^(b-1)を満たすp,qをすべて求めよ.

でした。脱字があって申し訳ございません。
No.78371 - 2021/09/21(Tue) 19:28:05
☆ Re: 数A / ヨッシー
１から p^aq^b までの整数のうち、p でも q でも割り切れない数は
　p^aq^b×(p-1)/p×(q-1)/q 個
あります。
　p^aq^b×(p-1)/p×(q-1)/q＝p^(a-1)q^(b-1)×(p-1)×(q-1)＝4p^a q^(b-1)
よって、
　(p-1)×(q-1)＝4p
　pq−5p−q＋1＝0
　(p-1)(q-5)＝4
カッコ内がともに負ということはないので、
　(p-1, q-5)＝(1,4),(2,2),(4,1)
これより
　(p,q)＝(2,9),(3,7),(5,6)
この内 (3,7) のみ p,q が素数となり採用。
No.78374 - 2021/09/21(Tue) 19:50:47
☆ Re: 数A / 素数
迅速にご丁寧にありがとうございました。
No.78375 - 2021/09/21(Tue) 20:03:01
★ (No Subject) / 風上受験戦争
整式f(x),g(x)は全ての実数tにおいてf(sint)＝g(cost)が成り立つ.このとき、整式f(x)とg(x)はともに偶関数であり、次数が等しいことを示せ.

全く分かりません。お願いします
No.78361 - 2021/09/20(Mon) 21:45:35
☆ Re: / IT
f(sint)＝g(cost)　で検索すると、回答が見つかります。
（細かく検証はしてないですが、前半は sin(-t)=-sint,cos(-t)=cost であることを使っており、よさそうです。）
No.78365 - 2021/09/21(Tue) 04:52:26
★ (No Subject) / オット・リー
この続きが分かりません。
No.78358 - 2021/09/20(Mon) 19:34:23
☆ Re: / X
b=6-(2√2)a ?B
b=2-(2√2)a ?C
として、
(i)連立方程式?A?B
と
(ii)連立方程式?A?C
を解きます。
No.78359 - 2021/09/20(Mon) 20:22:52
★ 一様連続に関する証明問題 / Jin
前提知識は教養微積分学です。

f(x)はR上一様連続かつ有界とし、g(x)はR上連続で∫(-∞→∞)|g(x)|dx<+∞とする。
そのとき、F(x)=∫(-∞→∞)f(xt)g(t)dtはRにおいてxについて一様連続であることを示せ。

出典 : 「微分積分学(サイエンス社)」2章演習問題の32
No.78348 - 2021/09/20(Mon) 16:50:30
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / IT
やってませんが、
一様連続の定義にしたがって、示すべき命題を立式してみると方針が見えてくるのではないでしょうか？
No.78352 - 2021/09/20(Mon) 17:36:21
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / Jin
|xt-yt|の差がtの積分内で発散してしまいまい、うまく抑えられません。積分区間を区切ったり工夫してみても私はうまく抑えられませんんでした。
No.78353 - 2021/09/20(Mon) 17:41:21
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / IT
積分区間を３つに分けて考えるとどうですか？

部分的に書くのではなくて、式全体を書いて、それぞれをうまく評価すると良いのでは？

式（全体）を書いてみてください。
No.78354 - 2021/09/20(Mon) 18:22:30
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / m
> |xt-yt|の差がtの積分内で発散してしまいまい、うまく抑えられません。

ならば，t の動く範囲を有界な区間に制限すればよさそう．
その方針で証明：https://r9.whiteboardfox.com/91416119-4305-1072
No.78357 - 2021/09/20(Mon) 19:27:48
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / Jin
なるほど !
初め、似たような区間で分けたのですが、Rを|g(t)|<∞(有界)ととることしか思い浮かばず、∫(|t|>=R)|g(|t|)dt<εととれることが出てきませんでした。ありがとうございます。
No.78384 - 2021/09/22(Wed) 16:32:29
★ 数B / 数B
{a[n]}, {b[n]} をそれぞれ,公比 α, 公比 β (α > β) の等比数列とする.c[n] = a[n] +b[n] (n = 1, 2, 3, ...)によって定められる数列{c[n]}はc[1]=0,c[2]=1,c[3]=2,c[4]=6を満たしている。
(1)c[n+2]をc[n+1],c[n]を用いて表せ.
(2) a[n]に最も近い整数は c[n]であることを示せ.

(2)がどうすればいいのかよくわかりませんが、できれば(1),(2)の両方とも教えてほしいです。
No.78341 - 2021/09/20(Mon) 15:17:48
☆ Re: 数B / IT
a[n],b[n] を　a[1],b[1],α、βで表します。
c[1]=0,c[2]=1,c[3]=2,c[4]=6 からa[1],b[1],α、βの満たす条件を求めます。　
No.78344 - 2021/09/20(Mon) 15:45:41
★ 多変数関数の値域 / 高校三年生
「３つの非負実数 x,y,z が、方程式

　x+y+z = xy+yz+zx

　を満たすとき、x+y+z の値の範囲を求めよ。」

つべの動画では、x,y,z を自然数に限定した整数問題でしたが、
これらを実数まで拡張したら、解けなくなってしまいました。

どなたか、解法をご教示ください。m(_ _)m
No.78330 - 2021/09/20(Mon) 12:35:33
☆ Re: 多変数関数の値域 / らすかる
x+y+z=xy+yz+zxをyについて解くとy=(x+z-zx)/(x+z-1)なので
x+y+z=x+(x+z-zx)/(x+z-1)+z
=(x^2+zx+z^2)/(x+z-1)
（x+z-1=0は条件を満たしませんので分母が0になることはありません）
zを定数とみて
f(x)=(x^2+zx+z^2)/(x+z-1)として微分し増減を調べると
x＜-z+1-√(z^2-z+1)で増加
x=-z+1-√(z^2-z+1)で極大値
-z+1-√(z^2-z+1)＜x＜1-zで減少
1-z＜x＜-z+1+√(z^2-z+1)で減少
x=-z+1+√(z^2-z+1)で極小値
-z+1+√(z^2-z+1)＜xで増加
のようになり、
極大値はf(-z+1-√(z^2-z+1))=2-z-2√(z^2-z+1)
極小値はf(-z+1+√(z^2-z+1))=2-z+2√(z^2-z+1)
そしてg(z)=2-z-2√(z^2-z+1)とh(z)=2-z+2√(z^2-z+1)の増減を調べると
g(z)はz=0で極大値0、h(z)はz=1で極小値3をとりますので
x+y+zは0以下と3以上の任意の値をとることになります。
（0＜x+y+z＜3の範囲はとらず、それ以外の任意の値をとるということです）

実際、z=0のときy=x/(x-1),x+y+z=x^2/(x-1)となり0以下の任意の値をとり、
z=1のときy=1/x,x+y+z=x+1/x+1となり3以上の任意の値をとります。
No.78335 - 2021/09/20(Mon) 13:25:30
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
らすかるさん、返信ありがとうございます。

なるほど。
変数を定数とみなして絞っていくのですね。
ところで、３変数が非負実数だと上限が生じそうですが、
簡単に導出できるのでしょうか？
No.78337 - 2021/09/20(Mon) 14:14:26
☆ Re: 多変数関数の値域 / IT
> ところで、３変数が非負実数だと上限が生じそうですが、
> 簡単に導出できるのでしょうか？

元の条件と同じだと思いますが　書き間違いですか？
No.78340 - 2021/09/20(Mon) 15:16:13
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
ITさん、返信ありがとうございます。

>元の条件と同じだと思いますが　書き間違いですか？

はい。元の条件での解が知りたいです。
らすかるさん の解法は、３変数が実数全体の場合かと思ったので・・・。
No.78343 - 2021/09/20(Mon) 15:34:48
☆ Re: 多変数関数の値域 / IT
少なくとも上限はないですね。
らすかるさんの解答の最後
> z=1のときy=1/x,x+y+z=x+(1/x)+1となり3以上の任意の値をとります。

x,y,z ともに非負実数です。

0となることは明らかで、0<x+y+z<3 にならないこともらすかるさんが示されたとおりなので、元の問題の答えは出ていると思いますが。
No.78345 - 2021/09/20(Mon) 15:55:11
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
ITさん、返信ありがとうございます。

>元の問題の答えは出ていると思いますが。

思いっきり、勘違いしていました。m(_ _)m

らすかる さん、ご教示ありがとうございました。
No.78346 - 2021/09/20(Mon) 16:43:08
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
考えていた問題は、

「不定方程式

　x+y+z = xy+yz+zx

　を満たす任意の実数解の組(x,y,z)が、いずれも非負実数となる場合、
　x+y+z の値の範囲を求めよ。」

でした。
元の問題文だと、

「少なくとも一組の非負実数の解が存在する場合、
　x+y+z の値の範囲を求めよ。」

という意味になりますね。
日本語は難しい・・・。(-_-;)y-~
No.78351 - 2021/09/20(Mon) 17:01:51
☆ Re: 多変数関数の値域 / らすかる
> 不定方程式
> 　x+y+z = xy+yz+zx
> 　を満たす任意の実数解の組(x,y,z)が、いずれも非負実数となる

は成り立ちませんので、前者の問題は書き方が正しくないように思います。
もしかして
　実数範囲において、x+y+z=xy+yz+zx=kを満たすx,y,zが
　すべて非負実数となるようなkの範囲を求めよ。
という意味でしょうか。
もしそうなら、x+y+z＜0またはx+y+z＞4で少なくとも一つが負である実数解を持ちますので、
答えは0≦k≦4になると思います。
No.78362 - 2021/09/21(Tue) 00:02:01
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
らすかるさん、返信ありがとうございます。

>　実数範囲において、x+y+z=xy+yz+zx=kを満たすx,y,zが
>　すべて非負実数となるようなkの範囲を求めよ。
>という意味でしょうか。

その通りです！
もっと言えば、

「実数範囲において、x+y+z=xy+yz+zx=kを満たすx,y,zが、
　必ず存在し、それらすべてが非負実数となるような、
　kの範囲を求めよ。」

です。なので、らすかるさんの解法によれば、
答えは、k=0,3≦k≦4 になるような気がします。
No.78364 - 2021/09/21(Tue) 03:34:40
☆ Re: 多変数関数の値域 / らすかる
「解がすべて非負実数」だけなら0≦k≦4ですが、
「解が1組以上存在する」という条件も付ければ
おっしゃる通りでk=0,3≦k≦4になりますね。
No.78366 - 2021/09/21(Tue) 05:21:23
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
らすかるさん、返信ありがとうございます。

>「解が1組以上存在する」という条件も付ければ
>おっしゃる通りでk=0,3≦k≦4になりますね。

やはり、そうですか。
いろいろ、お手数をおかけしてすみませんでした。m(_ _)m
No.78367 - 2021/09/21(Tue) 11:10:44
★ (No Subject) / 数学苦手
この手の問題のときはPやCは使えますか？Cでは色まで、考えられないからCは多分使いませんよね、、
No.78329 - 2021/09/20(Mon) 12:18:03
☆ Re: / ヨッシー
普通は使う必要がないので使いません。

あえて使うなら
　5Ｃ0＋5Ｃ1＋5Ｃ2＋5Ｃ3＋5Ｃ4＋5Ｃ5
です。
No.78332 - 2021/09/20(Mon) 12:55:57
☆ Re: / 数学苦手
選ぶと書かれていたら、使うイメージでした
No.78347 - 2021/09/20(Mon) 16:46:35
☆ Re: / 数学苦手
今回の場合は色違いの5個と5個で計10個から、5個取り出して入れるから、それぞれ確率だと2分の1ですが場合の数なので合計を取り出す数で割って、2通りですかね、、？
例えば3色でこのような問題を計算することもありますか？
No.78350 - 2021/09/20(Mon) 16:58:23
☆ Re: / ヨッシー
前半はあいかわらず何が書いてあるかさっぱりわかりません。
なぜ確率と言う言葉を出す必要がありますか？

３色でも１０色でも計算できます。
ただし、横道にそれる前に、まずこの問題の答えを出しませんか？
No.78355 - 2021/09/20(Mon) 18:41:48
☆ Re: / 関数電卓
横から失礼します。
　１個目…赤か白かの２通り。
　２個目…赤か白かの２通り。
　　……………
　５個目…　　……
と考えるのが，最も単純ですよ。　
No.78356 - 2021/09/20(Mon) 18:53:35
☆ Re: / 数学苦手
そうですね。ヨッシーさんの書いたようにCで解くやり方もあるようですがそれはどちらか片方の色が何通り出るかみたいな作業でしたね。それは連続してない試行なので＋ですね。
No.78360 - 2021/09/20(Mon) 21:23:57
☆ Re: / 数学苦手
Cの右側に書かれた数字を赤玉とするならば残りの数が白玉となって、赤玉が0のときは白玉が5、赤玉が1のときは白玉が4…といったように赤玉が増えるに連れて、白玉が減るってことですね。
No.78368 - 2021/09/21(Tue) 16:21:58
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