aを実数とする。点A(0,a)と曲線y=√(x^2+4)上を動く点Bの距離の最小値を求めよ
解説お願いします
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No.86977 - 2023/12/22(Fri) 13:06:11
| ☆ Re: / らすかる | | | a≦2のとき自明（最短はB(0,2)のときで距離は2-a）
a＞2の場合
y=√(x^2+4)からy'=x/√(x^2+4)
B(t,√(t^2+4))とすると点Bにおける法線の式は
y=-(√(t^2+4)/t)x+2√(t^2+4)
y軸との交点CはC(0,2√(t^2+4))
BC=√(2t^2+4)
√(2t^2+4)≧2だから
a≦4のとき最短距離a-2（B(0,2)のとき）
a＞4のときはa=2√(t^2+4)とすると(0,a)から
(t,√(t^2+4))=(±√(a^2-16)/2,a/2)までの距離が最短で、
その距離は√(2a^2-16)/2
∵a＞4のとき√(2a^2-16)/2＜a-2
従ってまとめると、ABの最短距離は
a≦4のとき |a-2|
a＞4のとき √(2a^2-16)/2
(参考)
無理矢理一つの式で表せば
√(3a^2-8a-(a-4)|a-4|)/2
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No.86981 - 2023/12/22(Fri) 17:54:25 |
| ☆ Re: / WIZ | | | 別解
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
tを実数として、x = 2sinh(t)と置けば、y = √(x^2+4) = √(4sinh(t)^2+4) = 2cosh(t)です。
点A(0, a)と点B(x, y) = (2sinh(t), 2cosh(t))の距離を|AB|で表すことにします。
|AB|^2 = (0-2sinh(t))^2+(a-2cosh(t)^2)
= 4sinh(t)^2+a^2-4a*cosh(t)+4cosh(t)^2
= a^2-4a*cosh(t)+4cosh(2t)
|AB|はtの関数となるので、導関数を求めます。
(d/dt)(|AB|^2) = -4a*sinh(t)+8sinh(2t)
= 8sinh(t){cosh(t)-a/2}
y = √(x^2+4)のグラフはy軸に対して線対称なので、x ≧ 0の部分、つまりt ≧ 0の部分を考えれば十分です。
cosh(t) ≧ 1かつsinh(t) ≧ 0ですから、a/2 ≦ 1のときは(d/dt)(|AB|^2) ≧ 0です。
つまり、|AB|は単調増加であり、t = 0で最小と言えます。、
|AB|^2 = (0-2sinh(0))^2+(a-2cosh(0))^2 = (0-2*0)^2+(a-2*1)^2より、|AB| = |a-2|が最小です。
a/2 > 1のときは、
1 ≦ cosh(t) < a/2なら、(d/dt)(|AB|^2) ≦ 0なので、|AB|^2は(単調)減少です。
cosh(t) = a/2なら、(d/dt)(|AB|^2) = 0なので、|AB|^2は極小となります。
a/2 < cosh(t)なら、(d/dt)(|AB|^2) > 0なので、|AB|^2は増加です。
cosh(t) = a/2とき、sinh(t) = √((a/2)^2-1) = (1/2)√(a^2-4)ですので、
|AB|^2 = (0-2*(1/2)√(a^2-4))^2+(a-2*a/2)^2 = a^2-4
よって、|AB| = √(a^2-4)が最小となります。
・・・と、らすかるさんと違う答えになりましたのて、多分私が何か勘違いしているか間違っているのでしょう。
ただ、らすかるさんの回答では点Bから最も近い点Aの候補を求めてるんじゃないかと思いますが、
何故、点Bの座標を表す媒介変数を用いて点Aの座標も表せるのかが私には分からないです。
勿論、らすかるさんのことだから何らかの根拠があってのことだとは思いますが・・・。
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No.86983 - 2023/12/23(Sat) 00:26:14 |
| ☆ Re: / らすかる | | | > WIZさん
ABが最短距離の場合、直線ABは問題の曲線の点Bにおける法線（接線と直交する直線）です（法線でないときに最短距離でないことの証明は簡単です）。
なので、「点Bから最も近い点Aの候補」を求めているのではなく、「点BがAから最も近い点になりうるようなAの候補」を求めています。
> |AB| = √(a^2-4)が最小
例えばa=3のとき、この式によると|AB|=√5となりますが、
a=3のときの点A(0,3)と曲線上の点B(0,2)の距離は1ですから、
|AB|=√5は最小ではないですね。
> -4a*sinh(t)+8sinh(2t)
> = 8sinh(t){cosh(t)-a/2}
sinh(2t)=2sinh(t)cosh(t)なので、この部分の計算が正しくないようです。
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No.86985 - 2023/12/23(Sat) 01:31:42 |
| ☆ Re: / ast | | | # とくに別解とかでもなく, 本質的にはほかの方の回答と同じ内容ではありますが…….
点 A(0,a) と曲線上の任意の点 B=B[t](t,√(t^2+4)) との間の距離 d(t):=AB[t]=√(t^2+(a-√(t^2+4))^2)=√((2t^2+4+a^2)-2a√(t^2+4)) の最小値を d=d[a] と書くことにすると:
函数 d(t) (あるいはその自乗 d(t)^2=(2t^2+4+a^2)-2a√(t^2+4)) を最小にする t を決めるために微分して
d'(t)=(2t(2-a/√(t^2+4)))/(2√(t^2+(a-√(t^2+4))^2))
(あるいは
((2t^2+4+a^2)-2a√(t^2+4))'=2t(2-a/√(t^2+4)))
となり, 極値を (a の値によって) t=0 または t=0, ±(√(a^2-16))/2 でとることはすぐに確かめられるので (必要なら増減表を書いて),
|a|<4 のとき B=B[0] において d[a]=|a-2|,
|a|≥4 のとき B=B[±(√(a^2-16))/2] で d[a]=(√(6a^2-4|a|a-16))/2.
# 参考: a を動かしたときの d=d[a] の様子
とする極値問題の定型通りの解答でいいはずだと愚考します (むろん, 質問者が平方根函数の微分はふつうに計算できるものと仮定しています).
# 定型通りに処理すればいいだけのはずの問題で, 質問者は何を困難と認識しているのか,
# 質問者が解けない理由を推測することが私にとっては本問の回答に際して最も難しい, といったところです.
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No.86987 - 2023/12/23(Sat) 04:25:33 |
| ☆ Re: / らすかる | | | > astさん
|a|＜4, |a|≧4という場合分けでaに絶対値を付けているのは、
何かの勘違いではないでしょうか。
aが負のときに極値をとるのはt=0のときだけだと思います。
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No.86988 - 2023/12/23(Sat) 05:17:37 |
| ☆ Re: / ast | | | > らすかるさん
おっしゃる通りですね, すみません.
# No.86987 の論旨は「たんに微分して増減表書けばいいのでは」というところだったので
# 具体的な式というのは「(微分は) 計算困難ではないはず」というのを確かめる以上の意味を
# 持たせるつもりがそもそもなかった, と言い訳しておきます.
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No.86989 - 2023/12/23(Sat) 05:42:54 |
| ☆ Re: / WIZ | | | > らすかるさん
> sinh(2t)=2sinh(t)cosh(t)なので、この部分の計算が正しくないようです。
ご指摘ありがとうございます。
(d/dt)(|AB|^2) = 16sinh(t){cosh(t)-a/4}だから、
a/4 ≦ 1なら、t = 0で最小値|AB| = |a-2|となります。
a/4 > 1なら、cosh(t) = a/4, sinh(t) = √(a^2/16-1) = (1/4)√(a^2-16)で極小(最小)となり、
|AB|^2 = (0-2*(1/4)√(a^2-16))^2+(a-2*a/4)^2 = (a^2-16)/4+a^2/4 = (2a^2-16)/4
⇒ |AB| = (1/2)√(2a^2-16)
となる訳ですね!
間違ったことを書いてしまいごめんなさい。 > 質問者さん
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No.86990 - 2023/12/23(Sat) 08:36:42 |
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