ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大学2年複素関数 / kawarisa

度々質問すみません、、、
手がつけられなくて困ってます、、、
宜しくお願いいたします。

No.88482 - 2024/07/28(Sun) 17:05:14

☆ Re: 大学2年複素関数 / ast

# これはまったく回答ではないのだけれど.
WolframAlpha に投げてみたところ (直接的な結果はうまく返ってこなかったが), (1) π/(2a^2b), (2) π/(2b) になるような気がする.

No.88487 - 2024/07/29(Mon) 03:00:44

☆ Re: 大学2年複素関数 / ポテトフライ

f(x)=(x^2-a^2)^2+b^2*x^2=(x^2+A^2)^2+B^2
ただしA＝・・・,B=・・・（a,bの式）
と変形できるので
∫1/f(x)dx
=∫1/{(x^2+A^2+iB)(x^2+A^2-iB)}dx
=1/(2iB)∫{1/(x^2+A^2-iB)+1/(x^2+A^2+iB)}dx
=arctanを用いた原始関数（ちょっとごり押し気味

∫x^2/f(x)dxについても同様

とするのが簡単なんじゃないかと思います。
途中の不定積分などは適当な置換をすればいます。

※タイトルから察するに、本当は留数定理を用いて計算してほしいのだと思うが、a,bの大小に関する場合分けなどが煩雑なので、避けた。（途中までやった感じ、積分路もf(x)＝0となる点をうまく避けるように指定する必要があるので非常に面倒だと感じた。
※留数定理を用いた計算をしたい場合は、例えば
一松信　函数論入門（1957）
などを参照してみてください。複素関数論の一歩踏み込んだ書籍でないと、複雑な積分路に関する留数解析が載っていません。

No.88488 - 2024/07/29(Mon) 11:21:57

☆ Re: 大学2年複素関数 / X

横から失礼します。
(1)(2)を複素積分を使って計算してみましたので
アップしておきます。

極の複素平面上の配置をa,bの値に対して場合分けして
調べてみましたが、複素平面上の実軸に関して上側
にあるものの値は、変わらないようです。

(1)
ｆ(x)は偶関数ゆえ
∫[x:0→∞]dx/f(x)=(1/2)∫[x:-∞→∞]dx/f(x) (A)
ここでxの方程式
f(x)=0
を解くと
(x^2-ibx-a^2)(x^2+ibx-a^2)=0
∴x=ib±√(4a^2-b^2),-ib±√(4a^2-b^2) (B)
(B)において
(i)4a^2-b^2≧0のとき
複素平面上で実軸に関して上半面にあるのは
x=ib±√(4a^2-b^2)
に対応する点。
(ii)4a^2-b^2＜0のとき
√(4a^2-b^2)=i√(b^2-4a^2)
∴複素平面上で実軸に関して上半面にあるのは
やはり
x=ib±√(4a^2-b^2)
に対応する点。

ここで
C'={z|z=t,t:-r→r}
C"={z|z=re^(iθ),θ:0→π}
C=C'∪C"
(但し、rはr＞0なる定数)
なる経路C',C",Cに対し
∫[C]dz/f(z)=∫[C']dz/f(z)+∫[C"]dz/f(z)
を考えると、
r→∞のとき
|∫[C"]dz/f(z)|→0(証明は省略します)
∴∫[C"]dz/f(z)→0
∫[C']dz/f(z)→∫[x:-∞→∞]dx/f(x)
又、(i)(ii)より、Cの内部に含まれる1/f(z)の極は
z=ib±√(4a^2-b^2)
になります。

よって、z=uを1/f(z)における極として
z=uにおける留数を
Res[1/f(z)|z=u]
と書くことにすると、(A)と留数定理により
∫[x:0→∞]dx/f(x)
=(1/2)・2πi{Res[1/f(z)|z=ib+√(4a^2-b^2)]+Res[1/f(z)|z=ib-√(4a^2-b^2)]}
=πilim[z→ib+√(4a^2-b^2)]{z-{ib+√(4a^2-b^2)}}/f(z)
+πilim[z→ib-√(4a^2-b^2)]{z-{ib-√(4a^2-b^2)}}/f(z)
=πi/f'(ib+√(4a^2-b^2))+πi/f'(ib-√(4a^2-b^2))

ここで
f'(z)=2(z^2-a^2)・2z+2zb^2
=2z(2z^2-2a^2+b^2)
で
α=ib+√(4a^2-b^2)
β=ib-√(4a^2-b^2)
と置くと、α、βはxの二次方程式
x^2-ibx-a^2=0 (C)
の解ゆえ、解と係数の関係から
α+β=ib
αβ=-a^2
又(C)より
α^2=ibα+a^2
∴f'(α)=2α(2α^2-2a^2+b^2)
=2α(2ibα+b^2)
=2b(2iα^2+bα)
=2b(-bα+2ia^2)
同様に
f'(β)=2b(-bβ+2ia^2)
以上から
∫[x:0→∞]dx/f(x)=πi/{2b(-bα+2ia^2)}+πi/{2b(-bβ+2ia^2)}
=(πi/2b){-b(α+β)+4ia^2}/{-4a^4-2i(α+β)ba^2+αβb^2}
=(πi/2b){-ib^2+4ia^2}/{-4a^4+2(ab)^2-(ab)^2}
=(π/2b)(b^2-4a^2)/{-4a^4+(ab)^2}
=π/(2ba^2)

No.88495 - 2024/07/30(Tue) 19:06:21

☆ Re: 大学2年複素関数 / X

(2)
これは(1)の過程を使います。
g(z)=f(z)/z^2={z-(a^2)/z}^2+b^2
と置くと、(1)の過程と同様にして
∫[x:0→∞]{(x^2)/f(x)}dx=πi/g'(α)+πi/g'(β)
ここで
g'(z)=2{z-(a^2)/z}{1+(a^2)/z^2}
=2(z^2-a^2)(z^2+a^2)/z^3
∴(1)と同様にして、次数落としでg'(α),g'(β)を求めると
g'(α)=2(ibα+a^2-a^2)(ibα+a^2+a^2)/{α(ibα+a^2)}
=2ibα(ibα+2a^2)/{α(ibα+a^2)}
=2ib(ibα+2a^2)/(ibα+a^2)
g'(β)=ib(ibβ+2a^2)/(ibβ+a^2)
∴∫[x:0→∞]{(x^2)/f(x)}dx={π/(2b)}{(ibα+a^2)/(ibα+2a^2)+(ibβ+a^2)/(ibβ+2a^2)}
={π/(2b)}{(ibα+a^2)(ibβ+2a^2)+(ibα+2a^2)(ibβ+a^2)}/{(ibα+2a^2)(ibβ+2a^2)}
={π/(2b)}{-2αβb^2+3(α+β)iba^2+4a^4}/{-αβb^2+2(α+β)iba^2+4a^4}
={π/(2b)}{2(ab)^2-3(ab)^2+4a^4}/{(ab)^2-2(ab)^2+4a^4}
={π/(2b)}{-(ab)^2+4a^4}/{-(ab)^2+4a^4}
=π/(2b)

No.88497 - 2024/07/30(Tue) 19:39:37

★ 大変！ / ホイホイ子

我が家の新築の豪邸に早速ゴキブリが出ました。ちょうどエクササイズ中だったので、フラフープをぶん投げました。
はなれたところから観察していると、ゴキブリは床に落ちたフラフープの上を激しく反時計回りに等速円運動しています。
ペットがおり殺虫スプレーが使えないので、フラフープめがけゴキブリが嫌がる香りのアロマオイル(高価)を一滴かけようと思います。
はなれたところからアロマオイルを一滴発射するので、狙うことはできません。フラフープの周上の一点に無作為にアロマオイルが付着します。
ゴキブリはアロマオイルの付着した箇所からその箇所におけるフラフープの接線へと進路を変更し、勢いを維持したまま接線上を直進して壁まで到達するものと予想されます。
そこで、あらかじめ壁に粘着テープを貼っておき、逃げてきたゴキブリを捕獲しようと思うのですが、ゴキブリを捕獲する確率を最も高めるには、粘着テープをどこに貼ればよいでしょうか？

なるべく正確に粘着テープを貼る位置を知りたいので、
フラフープをx^2+y^2=1、壁をx=a(≧1)、粘着テープの長さをd(>0)
として回答していただいてもかまいません。

No.88478 - 2024/07/28(Sun) 15:01:12

☆ Re: 大変！ / らすかる

アロマオイル点を(cosθ,sinθ) (π＜θ＜2π)とおくと
その点における接線はxcosθ+ysinθ=1
この接線と壁(x=a)の交点のy座標はy=(1-acosθ)/sinθ
これより
cosθ=2π-{a+y√(a^2+y^2-1)}/(a^2+y^2)
なので
f(t)=arccos({a+t√(a^2+t^2-1)}/(a^2+t^2))
-arccos({a+(t+d)√(a^2+(t+d)^2-1)}/(a^2+(t+d)^2))
とおいてf(t)が最大値をとるtを調べればよいことがわかります。
（t＜0の範囲に最大値が存在し、粘着テープの位置は(a,t)から(a,t+d)までとなります）
しかしf(t)の式を微分すると高次でとんでもなく長い式となり解けません。
従って具体的な数値に対して数値的に計算するしかないと思います。

No.88489 - 2024/07/29(Mon) 21:44:33

★ 大学2年複素関数 / kawarisa

コーシーリーマン関係式を使いそうだと思ったのですが、使っていくと式がめちゃくちゃになって詰んでしまいました、、、
宜しくお願いいたします。

No.88477 - 2024/07/28(Sun) 14:40:17

☆ Re: 大学2年複素関数 / ast

F(z)=:U(x,y)+i⋅V(x,y) に関するコーシー・リーマンの式: ∂U/∂x=∂V/∂y かつ ∂U/∂y=-∂V/∂x ……(*) を問題の指示に従って既知であるとして, 一方, F(z)(=z⋅f(z))= (x+iy)(u+iv) = (xu-yv) + i(xv+yu) だから具体的に U=xu-yv および V=xv+yu = (e^(-x)cos(y)). とくに V(x,y) について
　∂V/∂x = -cos(y)e^(-x) かつ ∂V/∂y = -e^(-x)sin(y),
したがって (*) を適用すれば U(x,y) に関し
　∂U/∂y = e^(-x)cos(y), ∂U/∂x = -e^(-x)sin(y). ∴U = e^(-x)sin(y).
つまり, F(z) = e^(-x)sin(y)+ie^(-x)cos(y) = i⋅e^(-x)(cos(-y)+isin(-y)) = i⋅e^(-z), ∴f(z)=(i⋅e^(-z))/z.

# コーシー・リーマンの適用で滅茶苦茶になりそうな要素をとくに感じないが, なにがあったのだろう……???
## 強いて言うなら最後 x,y を使わず z の式にまとめられるかあたりはそういう要素はあるかもしれない
## (が, おそらくはべつに x,y を用いた表示のままでもそこまで咎められたりはしなさそうだしな……).

No.88479 - 2024/07/28(Sun) 16:10:02

☆ Re: 大学2年複素関数 / kawarisa

astさん、ありがとうございます！ポカしてしまって間違えていました……
ほんとにありがとうございます！

No.88480 - 2024/07/28(Sun) 16:43:18

☆ Re: 大学2年複素関数 / kawarisa

質問させていただきたいのですが、f(z)は正則関数であるのに、z=0で正則でないのは大丈夫なのでしょうか？

No.88481 - 2024/07/28(Sun) 16:46:47

☆ Re: 大学2年複素関数 / IT

そもそもz=0では
　xv+yu = e^(-x)cos(y)　は、成り立たないのでは？

No.88483 - 2024/07/28(Sun) 18:10:36

★ 複素数 / Higasino

京都大学過去問複素数の問題からです。何卒よろしくお願いいたします。以下問題

No.88469 - 2024/07/28(Sun) 05:16:24

☆ Re: 複素数 / X

条件から
α=(r^2)(cos2θ+isin2θ)
(但しr＞0,0≦θ＜π)
と置くことができるので
β^2=α
に代入すると
β^2=(r^2)(cos2θ+isin2θ) (A)
ここで
cos2θ+isin2θ=(cosθ)^2-(sinθ)^2+2icosθsinθ
=(cosθ+isinθ)^2
∴(A)は
β^2={r(cosθ+isinθ)}^2
これより
{β-r(cosθ+isinθ)}{β+r(cosθ+isinθ)}=0
∴β=±r(cosθ+isinθ)
となるので、問題の命題は成立します。

No.88470 - 2024/07/28(Sun) 08:29:55

☆ Re: 複素数 / Higasino

(^^)
エック先生、こんにちは。ありがとうございます。ところでその方法ですと、
例えば－ 15 +8 I 平方根はどのように求めるのでしょうか？

No.88473 - 2024/07/28(Sun) 08:49:32

☆ Re: 複素数 / IT

1998年文系後期の出題のようです。
（出題当時は分かりませんが）文系なので数３で習う「極形式」は使わない解法が想定されているのだと思いますが、数学的に正しくて循環論法になっていなければ「極形式」を使った解答も正解ですね。

cosθ+isinθ≠0も一言断っておいた方が良いですね。

なお、数３で習う「ド・モアブルの定理」を使えば途中計算不要ですね。
（京大後期にしては文系といえども簡単すぎる？）

No.88475 - 2024/07/28(Sun) 11:08:23

☆ Re: 複素数 / IT

失礼しました。数学Bに「複素数平面（ド・モアブルの定理含む）」があったようです。
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/old-cs/1322525.htm
https://inupri.web.fc2.com/katei.html

No.88476 - 2024/07/28(Sun) 11:47:30

☆ Re: 複素数 / X

＞＞例えば－ 15 +8 I 平方根はどのように求めるのでしょうか？

No.88470の結果を使うという前提で
α=-15+8i
とすると
|α|=17
∴
r=√|α|=√17 (P)
cos2θ=-15/17 (Q)
sin2θ=8/17 (R)
(0≦θ＜π)
(Q)(R)をcosθ,sinθについての連立方程式として解きます。

(R)÷(Q)より
tan2θ=-8/15
2(tanθ)/{1-(tanθ)^2}=-8/15
4(tanθ)^2-15tanθ-4=0
(4tanθ+1)(tanθ-4)=0
ここで(Q)(R)より、θの値の範囲はさらに絞られて
π/4＜θ＜π/2 (S)
となることに注意すると、
1＜tanθ
∴tanθ=4 (T)
∴(cosθ)^2=1/{1+(tanθ)^2}
=1/17
∴(S)より
cosθ=1/√17
sinθ=4/√17
よって
β=±(1+4i)
つまり
β=1+4i,-1-4i
となります。

No.88484 - 2024/07/28(Sun) 20:48:11

☆ Re: 複素数 / Higasino

^_^返信が遅くなり大変申し訳ありません。局形まだ習っておりませんので、代数的にアプローチしました。なにとぞご意見よろしくお願いいたします。

No.88498 - 2024/07/31(Wed) 08:21:05

☆ Re: 複素数 / らすかる

88498の解答は正しくないと思います。
p=0,q=-2の場合にどうなるか計算してみて下さい。

No.88502 - 2024/07/31(Wed) 11:59:30

☆ Re: 複素数 / Higasino

^_^

ラスカル様、こんにちは。自分で答案を見直したところ、どこが間違っているのかわかりません。よかったらご指導願えませんでしょうか新たな追伸をいたしました。何卒よろしくお願いいたします。

No.88506 - 2024/07/31(Wed) 22:34:03

☆ Re: 複素数 / Higasino

申し訳ございません。東案に間違いがございました。改めます。
ex1. x<0
ex2. y<0
は、除いてください

No.88509 - 2024/07/31(Wed) 23:31:07

☆ Re: 複素数 / らすかる

p=0,q=-2のとき
「結果として・・・」の行の式に代入すると
±(1/√2)(√2+i√2)=1+i,-1-i
になりますので、その行の式は正しくないですね。

No.88510 - 2024/07/31(Wed) 23:52:25

☆ Re: 複素数 / Higasino

ラスカル様何度もすみません。答案が出来上がりました。自分の過ちもよくわかりました。不安不安ですのでご指導いただけると幸いです。以下当番です。

No.88512 - 2024/08/01(Thu) 09:53:07

☆ Re: 複素数 / らすかる

q/|q|とするとq=0の場合に使えませんが、
「q≠0」限定（つまり虚数限定）の公式とするならばそれで問題ないと思います。

No.88514 - 2024/08/01(Thu) 10:11:45

☆ Re: 複素数 / Higasino

ご回答くださいました。皆皆様本当にありがとうございました。今度もまたよろしくお願いいたします。

No.88516 - 2024/08/01(Thu) 10:49:35

★ 複素数 / Higasino

複素数からの出題です。よろしくお願いいたします。

No.88464 - 2024/07/28(Sun) 01:03:51

☆ Re: 複素数 / X

(1)
条件から
ω^2+ω+1=0 (A)
両辺にω-1をかけて
(ω-1)(ω^2+ω+1)=0
∴ω^3=1 (A)'
∴ω^2=1/ω,ω=1/ω^2 (B)
∴(証明すべき等式の左辺)=(x+1)(x+1/ω^2)(x+1/ω)
=(x+1)(1+ωx){1+(ω^2)x}/ω^3
=(証明すべき等式の右辺)

(2)
(A)'(B)よりkを自然数として
(i)k=3kのとき
ω^n=1
(ii)n=3k-1のとき
ω^n=1/ω=ω^2
(ii)n=3k-2のとき
ω^n=1/ω^2=ω

(3)
条件から、方程式x^2+x+1=0の二つの解は、ω、ω^2
∴x^2+x+1=(x-ω)(x-ω^2) (C)

ここで
f(x)=(x+1)^n-x^n-1
と置くと
f(ω)=(ω+1)^n-ω^n-1
={(-1)^n}ω^(2n)-ω^n-1 (∵)(A)より
=-{ω^(2n)+ω^n+1} (∵)nは奇数
f(ω^2)=(ω^2+1)^n-ω^(2n)-1
={(-1)^n}ω^n-ω^(2n)-1 (∵)(A)より
=-{ω^(2n)+ω^n+1} (∵)nは奇数

更にnは3の倍数ではないので、(2)の結果より
ω^n=ω,ω^2
ですが、
(i)ω^n=ωのとき
ω^(2n)+ω^n+1=ω^2+ω+1
=0 (∵)(A)より
(ii)ω^n=ω^2のとき
ω^(2n)+ω^n+1=ω^4+ω^2+1
=ω^2+ω+1 (∵)(A)'より
=0 (∵)(A)より

(i)(ii)より
f(ω)=f(ω^2)=0
∴(C)と因数定理により、f(x)はx^2+x+1で割り切れます。

No.88466 - 2024/07/28(Sun) 03:42:14

☆ Re: 複素数 / Higasino

x様、早速のご回答ありがとうございます。1つ疑問があるのですが、(1の誘導は何に使うのでしょうか？よろしければ教えてください。私の答案は後ほどアップします。

No.88467 - 2024/07/28(Sun) 05:06:12

☆ Re: 複素数 / X

私の解答では(1)の結果自体は(2)(3)には使いませんでした。

No.88471 - 2024/07/28(Sun) 08:31:43

☆ Re: 複素数 / Higasino

^_^ 私の回答です。よかったらご意見ください。何卒よろしくお願いいたします。以下答案

No.88472 - 2024/07/28(Sun) 08:36:11

☆ Re: 複素数 / X

その別解でも問題ないと思います。

No.88486 - 2024/07/28(Sun) 20:56:52

★ 不等式 / ぴーたろー

こんばんは。

(1)は理解できたのですが、(2)の言っていることがわかりません。もう少しわかりやすく説明していただけるとありがたいです。

よろしくお願いします！

No.88461 - 2024/07/26(Fri) 22:05:51

☆ Re: 不等式 / X

以下、区切って説明するので、分からない場合は
どこで分からなくなったのかレスを下さい。

まず
t=a^x (A)
と置くと、a＞1より(A)のtはxに対し単調増加
∴1≦x≦2のとき
a≦t≦a^2 〇2
となることはよろしいですか？

このとき、(A)のようにxをtに置き換えたときの
Y=f(x) (B)
のグラフは添付写真左側のようになります
(但し、解説では分かりやすくするため、
f(x)はg(t)に置き換えてありますが。)
が、(B)のグラフの直線Y=3の上側となっている部分の
tの値の範囲は〇1となることもよろしいですか？

よって条件を満たすためには、〇2が〇1に含まれれば
よいことになります。

ここで〇1は
0≦t≦α (C)
2≦t≦4 (D)
β≦t (E)
となりますので、(C)(D)(E)のいずれかの範囲に〇2が
含まれる条件を考えることになります。
以上を踏まえて、添付写真右下の部分の下から5行目
からをもう一度見て下さい。

No.88462 - 2024/07/27(Sat) 09:00:06

★ 複素数 / Higashino

複素数からの出題です。何卒よろしくお願いいたします。

No.88451 - 2024/07/25(Thu) 13:40:59

☆ Re: 複素数 / ヨッシー

ωは ω^2＋ω＋１＝０の解とします。
同時に　ω^3＝１を満たします。

条件より、
　f(x)＝(ｘ^2＋ｘ＋１)g(x)
と置けるので、
　f(1)＝3g(1)＝2
よって、g(1)＝2/3
　g(x)＝(x-1)h(x)＋ａ
と置くと、
　g(1)＝ａ＝2/3
なので、
　g(x)＝(x-1)h(x)＋2/3
と置けます。よって、
　f(x)＝(ｘ^2＋ｘ＋１){(x-1)h(x)＋2/3}
　　＝(x^3－1)h(x)＋(2/3)(ｘ^2＋ｘ＋１)
よって、求める余りは
　(2/3)(ｘ^2＋ｘ＋１)

No.88452 - 2024/07/25(Thu) 14:17:01

☆ Re: 複素数 / Higashino

ご回答ありがとうございます。次のように考えることもできるかもしれません。何卒よろしくお願いいたします。素晴らしい考え方を教えていただきありがとうございました。

No.88453 - 2024/07/25(Thu) 16:06:10

★ 置換積分 / ぴーたろー

こんばんは、たびたびすいません。

画像の積分をする際の積分区間を手書きのようにしてはいけないのは何故でしょうか。

教えてください。よろしくお願いします

No.88449 - 2024/07/24(Wed) 21:14:11

☆ Re: 置換積分 / ast

二つ問題があって, ひとつは「x と θ が一対一ではない」こと,
# "x-3=3sin(θ)" の両辺の増減などの挙動が一致しないといけない
## (つまり, x-3 が -3 から 0 に単調に増加するなら 3sin(θ) もそうでなければならないし,
## 3sin(θ) が -3 から 3 まで増加した後 0 まで減少するなら x-3 もそうなるようにしなければならない).
もうひとつは「dx や dθ に「向き」がある」こと.
# この「向き」は x や θ が増加する方向が「正」になる
## (言い換えれば dx/dθ > 0 となる区間上での積分は加え, dx/dθ < 0 となる区間上での積分は引く).

そういうわけで,
　∫_[0,3]√(6x-x^2)dx = ∫_[3π/2,π] 9cos(θ)^2 (-dθ),
　∫_[0,3]√(6x-x^2)dx = ∫_[3π/2,π/2] 9cos(θ)^2 (-dθ) + ∫_[π/2,0] 9cos(θ)^2 dθ,
　∫_[0,6]√(6x-x^2)dx + ∫_[6,3]√(6x-x^2)(-dx) = ∫_[3π/2,0] 9cos(x)^2 (-dθ)
などとするなら正当な結果をえるはずです.

No.88450 - 2024/07/25(Thu) 01:00:20

★ 不等式の領域　最大最小 / アルファ

点(x,y)が不等式(x-3)^2+(y-1)^2≦1の領域上を動く時次の式の最大値、最小値を求めよ
(1)y/x
(2)x^2+y^2
解き方教えてください

No.88441 - 2024/07/23(Tue) 19:03:25

☆ Re: 不等式の領域　最大最小 / X

(1)(2)共に座標平面上の図形を使って解く方針の
演習問題と思われますが、(1)については
二次不等式の解の存在条件を使っても
解くことができます。
ということでまずその方針で(1)から。

(1)
y/x=k
と置くと
y=kx
これを問題の不等式に代入すると
(x-3)^2+(kx-1)^2≦1
これより
(k^2+1)x^2-2(k+3)x+9≦0 (A)
ここで
k^2+1＞0
であることに注意して、(A)を満たす
実数xが存在する条件を考えればいいので、
xの二次方程式
(k^2+1)x^2-2(k+3)x+9=0
の解の判別式をDとすると
D/4=(k+3)^2-9(k^2+1)≧0
これより
8k^2-6k≦0
k(4k-3)≦0
∴0≦k≦3/4
よってy/xの最大値は3/4,最小値は0

(2)
条件から
x^2+y^2=r^2 (A)
(但しr＞0)
と置くことができ、(A)が
原点中心の半径rの円
の方程式であることに注意します。
さて、問題の不等式が示す領域は
点(3,1)を中心とする半径1の円の周及び内部
であり、(A)の中心とこの領域の中心の間の距離は
√10
∴(A)と問題の領域が共有点を持つためには
√10-1≦r≦√10+1
これより
11-2√10=(√10-1)^2≦r^2≦(√10+1)^2=11+2√10
よって、x^2+y^2の
最大値は11+2√10
最小値は11-2√10

No.88442 - 2024/07/23(Tue) 19:41:21

★ 不等式の領域 / アルファ

x,yが3つの不等式x+y-3≧0 2x-3y+4≧0 3x-2y-4≦0を同時に満たす時、4x+5yの最大値最小値を求めよ
不等式を図に表してみたのですが、そこからどう求めればいいのかわかりません。教えてください

No.88440 - 2024/07/23(Tue) 18:53:14

☆ Re: 不等式の領域 / X

方針を。

4x+5y=k
と置くと
y=-(4/5)x+k/5 (A)
(A)は
y切片がk/5,傾きが-4/5の直線
であることに注意して、問題の不等式が示す領域が
描かれた座標平面上にkの値を変化させて
(A)のグラフを描いてみます。
例えば
k=0のとき、(A)はy=-(4/5)x
k=5のとき、(A)はy=-(4/5)x+1
といった具合ですね。

ここでkの値の増加に従って、(A)のグラフは
y軸の正の向きに移動していくことから
k/5が最大、最小となるとき、(A)のグラフが
問題の領域のどこを通るのかを考えてみましょう。

ちなみにこれは数学Iの教科書か参考書のどこかに
似たような例題と解説が書かれています。
探してみて下さい。

No.88443 - 2024/07/23(Tue) 19:54:27

★ 関数 / Nishida

宜しくお願いいたします。

No.88428 - 2024/07/23(Tue) 09:15:44

☆ Re: 関数 / ヨッシー

グラフで考えると、ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2 は、原点から点(x,y,z) までの距離の２乗で、
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝７は１つの平面を表します。
原点からこの平面に垂線をおろしたときの交点がｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2 を最小にする点と言えます。

原点を通り、平面ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝７に垂直な直線は
　ｘ＝ｔ，ｙ＝２ｔ，ｚ＝３ｔ
で表せ、この直線と、平面ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝７との交点は、
　ｔ＋２・２ｔ＋３・３ｔ＝７
　ｔ＝1/2
よって、交点の座標は　(1/2, 1, 3/2) であり、このとき、
　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝(1/2)^2＋1^1＋(3/2)^2＝7/2　・・・答え

No.88429 - 2024/07/23(Tue) 09:23:10

☆ Re: 関数 / ヨッシー

別解
最小値だけ求めれば良いのなら、原点と平面までの距離の公式から、
　7/√(1+4+9)＝7/√14
これの２乗が求める最小値なので、
　49/14＝7/2　・・・答え

No.88431 - 2024/07/23(Tue) 11:09:13

☆ Re: 関数 / Nishida

丁寧な説明ありがとうございました。

No.88435 - 2024/07/23(Tue) 14:04:42

★ 複素数 / Higash

何卒宜しくお願いします

以下問題
ーーーーーーーーーーーーー

No.88417 - 2024/07/22(Mon) 13:56:21

☆ Re: 複素数 / Higash

問題です

何卒宜しく頼みます

No.88418 - 2024/07/22(Mon) 14:34:33

☆ Re: 複素数 / Higash

写真は同じ物です

No.88419 - 2024/07/22(Mon) 14:37:29

☆ Re: 複素数 / X

(1)
条件から求める余りは次数が高々1なので
az+b (A)
と置きます。
さて、zの二次方程式
z^2+z+1=0
の解をα、βとすると、解と係数の関係から
α+β=-1 (B)
αβ=1 (C)
又
α^3=1 (D)
β^3=1 (E)
(C)(E)より
α^2=1/β^2=β/β^3=β (F)
(C)(D)から
β^2=α (G)
(A)から
f(α)=aα+b (H)
f(β)=aβ+b (I)
(F)(G)より
f(α)=f(β)=α^n+β^n+1
となることに注意して(H)(I)をa,bについての連立方程式と見て解くと
(a,b)=(0,α^n+β^n+1)
よってkを自然数として
(i)n=3kのとき
(D)(E)より
b=3
(ii)n=3k-2のとき
(D)(E)より
b=α+β+1
(B)を代入して
b=0
(iii)n=3k-1のとき
(D)(E)より
b=α^2+β^2+1
(F)(G)を代入して
b=α+β+1
=0

よって求める余りは
nが3の倍数のとき3
nが3の倍数でないとき0

No.88426 - 2024/07/22(Mon) 22:37:32

☆ Re: 複素数 / Higash

ご回答ありがとうます😊

(2)も宜しくお願いします

No.88427 - 2024/07/23(Tue) 01:27:28

☆ Re: 複素数 / Higash

(1)別解です

何卒宜しくお願いします

No.88433 - 2024/07/23(Tue) 11:43:50

☆ Re: 複素数 / X

〇1で
x^4=x
とありますが、これは
x^4≡x
の誤記でしょうか。
その他については問題ないと思います。

No.88438 - 2024/07/23(Tue) 18:34:25

☆ Re: 複素数 / X

それとNo.88426に誤りがありました(ごめんなさい)ので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.88444 - 2024/07/23(Tue) 20:46:43

★ (No Subject) / 信濃川

いや元々解き方が分かる積分問題を変形や置換積分しまくっていたらこの形になったんです。なのでπ/4であることは間違いないです。だから解き方に関しても変形した手順を逆に辿れば解けないことは無いんですけど、ありえない発想がいるので、もっと自然な発想で解けないかなと思って質問しました。
誰か上手いこと解いてくれませんかね～？

No.88414 - 2024/07/22(Mon) 13:35:48

☆ Re: / らすかる

新規スレッドでは元の質問とのつながりがわかりませんので、
「返信」から書き込んだ方が良いと思います。

No.88420 - 2024/07/22(Mon) 15:22:09

☆ Re: / IT

「元々解き方が分かる積分問題」と「ありえない発想」を示されないとお望みの回答は得にくいと思います。

No.88422 - 2024/07/22(Mon) 19:02:47

☆ Re: / 有栖川

一応cos x = tan t/2 と置換すれば解けるようです。

https://artofproblemsolving.com/community/c7h3363329_hard_cos_integration

No.88430 - 2024/07/23(Tue) 10:50:36

☆ Re: / 有栖川

有名積分の√tanx の積分を色々置換して行った結果得られた問題なのでしょうか。この人はガンマ関数を考えていますが、0からpi/2 までの√tan x の広義積分をしても多分得られると思います。

No.88432 - 2024/07/23(Tue) 11:27:40

☆ Re: / らすかる

∫[0～π/2]√(tant) dt はy=√(tant)をt=π/4に関して反転しy=tに関して反転して
∫[0～π/2]√(tant) dt
=∫[0～π/2]√(1/tant) dt
=∫[0～∞]arctan(1/x^2) dx
=[xarctan(1/x^2)+log((x^2-(√2)x+1)/(x^2+(√2)x+1))/(2√2)
　　+(arctan(1+(√2)x)-arctan(1-(√2)x))/√2][0～∞]
={0+0+(π/2-(-π/2))/√2}-{0+0+(π/4-π/4)/√2}
=π/√2
のように求める方法もありますね。

No.88434 - 2024/07/23(Tue) 12:52:12

☆ Re: / ポテトフライ

最後まで計算を実行していないが留数定理を用いて以下のようにできる。（とても面倒で力尽きた

積分区間を[0,2π]にすると求める積分値の4倍になる。（適当な置換を行って容易に示せる
そこでI=∫[0,2π]√cosx/(1+cos^2x)dxに対してz=e^{ix}とおけば
√cosx/(1+cos^2x)dx=-2√2i * √(z^3+z)/(z^4+6z^2+1) dz
となり、これの極はz=±i(√2±1)（復号任意）で単位円周内部の極はz=±i(√2-1)なので、これらの留数を求めて留数定理に当てはめる。

おそらく計算を実行するとI=πになって、求める積分値はこれに1/4なのでπ/4ということなのだろう。

No.88446 - 2024/07/23(Tue) 23:42:46

★ 高一　二次関数 / 食パン

x,y の連立方程式
y=x^2+ax+1
x=y^2+ay+1 ‥＊

について考える。
(i) ＊を満たす実数x,y値の組（x,y）はいくつあるか。aの値で分類して答えよ。

(ii) 条件「（*）かつx≠y かつx+y=k」
を満たす実数の組（x,y）が存在するようなkの値の範囲を求めよ。

この問題の取りかかり方がわかりません。課題で答えがなく申し訳ないのですが、どなたか教えていただけたらうれしいです。

No.88410 - 2024/07/22(Mon) 09:00:58

☆ Re: 高一　二次関数 / ast

べつに (連立一次方程式のような) 何か一般論があるわけでもなし, 適当に
　y=x^2+ax+1……(1)
　x=y^2+ay+1……(2)
とでもしておくと, (1)-(2) から 0=(x+y+a+1)(x-y) ⇔ [x=y または x+y+a+1=0]
[α] x=y のとき: (1) ⇔ 0=x^2+(a-1)x+1 の解の個数を数える.
[β] x+y+a+1=0 のとき: x+y=-(a+1)……(3), また (1)+(2) から xy=a+2……(4). (3),(4) を満たす実数 x,y が存在するとき a は実数. 一方, f(t):=(t-x)(t-y)=t^2+(a+1)t+(a+2). f(t)=0 ⇔ t=x または t=y だから実数 a に対し方程式 f(t)=0 が二実解を持てばそれを x,y として (3),(4) が満たされるから, そのような x,y の組の数を数える.

最後に, a の値によって [α]または[β] の何れの場合も生じる可能性があること, また [α]かつ[β] を満たす x,y が存在しうること, などを考慮して a ごとに何個あったか慎重にまとめる.

のような話になるかと.
# これは論理を追える程度のざっくりとした内容で, 計算等は細かくやってはいないので,
# 齟齬がある可能性を考慮の上で話を追ってください.

No.88421 - 2024/07/22(Mon) 17:22:08

☆ Re: 高一　二次関数 / IT

いくつかの実数a について
y=x^2+ax+1
x=y^2+ay+1
y=x のグラフを描いて調べると、見通しが良いかも知れませんね。

astさんのアドバイスの途中にある　 x+y+a+1=0のグラフもです。

No.88424 - 2024/07/22(Mon) 20:39:31

☆ Re: 高一　二次関数 / 食パン

お二人ともありがとうございます。
[β]の解き進め方が理解できないのですが、教えていただくことはできますか？

＞(3),(4) を満たす実数 x,y が存在するとき a は実数. 一方, f(t):=(t-x)(t-y)=t^2+(a+1)t+(a+2). f(t)=0 ⇔ t=x または t=y だから実数 a に対し方程式 f(t)=0 が二実解を持てばそれを x,y として (3),(4) が満たされるから, そのような x,y の組の数を数える.

この部分が理解できません。
よろしくお願いします。

No.88436 - 2024/07/23(Tue) 17:13:56

☆ Re: 高一　二次関数 / ast

(3),(4) を満たす実数 x,y が存在するような実数 a のときだけを考えればよいが, そのような a は二次方程式 f(t)=0 が実数解を持つような a (で, x,y は f(t)=0 の二つの解) にほかならないから f(t)=0 の判別式および f(t)=0 の解 x,y (この x,y は a の式として表される) を調べればいい, ということ.
# ただし, [α] のときは x=y だったから x と y の組 (x,y) というのは (x の値が x=x_0 なら
# (x,y)=(x_0,x_0) の形をしているので) ちょうど方程式の解 x の数だけあったが,
# [β] のときは例えば (x,y)=(c,d) が条件を満たす組 (かつ c≠d) なら (x,y)=(d,c) も条件を満たす組
# というようなことなどが起きるので, 単に二次方程式 f(t)=0 の解の個数だけ知ればいいという話ではない
# ということは留意すべきところ.

No.88437 - 2024/07/23(Tue) 18:16:20

☆ Re: 高一　二次関数 / IT

横から失礼します。少し書き方を変えて説明します。
astさんの解説で理解されたら読み飛ばしてください。

x+y+a+1=0 のとき(x,y)が(1) を満たせば(2)も満たすことに注意。
y=-x-a-1 を(1)に代入して整理すると
　x^2+(a+1)x+a+2=0 ……(3) となります。
(3)が実数解xを持てば、それに対してyも一つ実数が決まり、この(x,y)は(1),(2)を満たします。

No.88445 - 2024/07/23(Tue) 20:50:49