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★ 確率 / パンサーカス
サイコロをn回振るとき、出た目の最小公倍数が12になる確率をもとめたいのですが、場合分けが分かりません。お願いします。
No.78128 - 2021/09/09(Thu) 12:43:36
☆ Re: 確率 / ヨッシー
12＝3×2^2 なので、
５は出てはいけない。
４は最低１回は出ないといけない。
３か６のどちらかが最低１回は出ないといけない。

という条件から余事象をつかって求めます。
No.78129 - 2021/09/09(Thu) 12:53:07
☆ Re: 確率 / パンサーカス
余事象は5が必ず出て4が1度も出ない、5が必ず出て3と6は1度も出ない、を足したものでいいですかね？
No.78131 - 2021/09/09(Thu) 13:17:24
☆ Re: 確率 / らすかる
違います。
「5が出ず4が出て3か6が出る」
の余事象は
「5が出るか、4が出ないか、3も6も出ない」
＝
「5が出る」+「5が出ず、4が出ないかまたは3も6も出ない」
＝
(1-「5が出ない」)+「5も4も出ない」+「5も3も6も出ない」-「5が出ず、4も3も6も出ない」
となります。
少し複雑になると混乱しますので
３　４　５　６
×　×　×　×
×　×　×　○
×　×　○　×
×　×　○　○
×　○　×　×
×　○　×　○ → 最小公倍数が12
×　○　○　×
×　○　○　○
○　×　×　×
○　×　×　○
○　×　○　×
○　×　○　○
○　○　×　× → 最小公倍数が12
○　○　×　○ → 最小公倍数が12
○　○　○　×
○　○　○　○
のような全パターンの表を作って確認するとよいと思います。
No.78134 - 2021/09/09(Thu) 14:27:56
☆ Re: 確率 / 編入受験生
感覚的に解くのはやめた方がいいですね。
こういう複雑な場合分けはなるべく機械的に解くべきです。
今回の場合はドモルガンの法則:[A∧B]=[A]∨[B]を使うべきです。
ただし、[A]はAの余事象あるいは補集合を表すものとする.

サイコロから５の面を除いた特別なサイコロをn回振って出る目の最小公倍数が１２になるのは、事象:４が少なくとも１回以上でる∧（３が少なくとも１回以上∨６が少なくとも１回以上）の場合。
これの余事象は、ドモルガンの定理を用いると,
[４が少なくとも１回以上でる∧（３が少なくとも１回以上∨６が少なくとも１回以上）] = ４がでない∨[３が少なくとも１回以上∨６が少なくとも１回以上]
= ４がでない∨(３がでない∧６がでない)となる。
さらにこれに包除の原理を用いると,この余事象の場合の数は、
(4がでない場合の数)＋(３と６が出ない場合の数)-(４と３と６がでない場合の数)になる。
全事象の場合の数は５を除いているので,5^nであるから,
5^nから余事象の場合の数を引けば、求める事象の場合の数がわかる。これらを計算すれば、
求める確率は(5^n+2^n-3^n-4^n)/6^n.
No.78139 - 2021/09/09(Thu) 20:37:52
☆ Re: 確率 / パンサーカス
ド・モルガン分かりやすかったです！ありがとうございます
No.78140 - 2021/09/10(Fri) 10:50:04
★ (No Subject) / e
0≦θ≦π/4とする
sin^2θ+4sinθcosθ+9cos^2θの値域を求めよ
No.78127 - 2021/09/09(Thu) 10:06:36
☆ Re: / X
問題の関数をf(θ)とすると
f(θ)=(1-cos2θ)/2+2sin2θ+9(1+cos2θ)/2
=2sin2θ+4cos2θ+5
=(2√5)sin(2θ+α)+5
(但しαはtanα=2,π/3＜α＜π/2なる角)
ここで
0≦θ≦π/4
より
α≦2θ+α≦π/2+α＜π
で
α-{π-(π/2+α)}=2α-π/2
＞2・π/3-π/2=π/6＞0
∴π-(π/2+α)＜α
よって
f(π/2+α)≦f(θ)≦f(π/2)
これより
(2√5)sin(π+3α)+5≦f(θ)≦5+2√5 (A)
ここで
sin(π+3α)=-sin3α=4(sinα)^3-3sinα
=4sinα{1-(cosα)^2}-3sinα
={1-4(cosα)^2}sinα
={1-4/{1+(tanα)^2}}/√{1+1/(tanα)^2}
=(1-4/5)/√(1+1/4)
=2/(5√5)
これと(A)により求める値域は
29/5≦f(θ)≦5+2√5
No.78137 - 2021/09/09(Thu) 18:36:42
★ 縮図の利用の問題 / 渡辺
この問題のステップ2の問題全ての問題を教えて欲しいです💦
また式も出来れば教えて欲しいのですが…
是非よろしくお願いします。

(小学6年生)
No.78120 - 2021/09/08(Wed) 21:53:40
☆ Re: 縮図の利用の問題 / 関数電卓
60 m の 1/1000 は 6 cm です。分度器で 53°を計り，直角三角形 ABC を作図すると，縮図は↓のようになります。
?Cの問題文にあるように，縮図上の AC の長さを定規で計りましょう。
?Cの計測結果を 1000 倍し 100 で割ったものが m 単位の AC の長さです。
No.78124 - 2021/09/09(Thu) 00:16:31
★ 二項係数の計算 / 大西
ΣnC5k(k=0..n)の値を求めたいのですが、
zk=cos(2kπ/5)+isin(2kπ/5)(k=0,1,2,3,4)として、
(1+x)^nのxの値にzkを代入し、それらを加えると、
ΣnC5k(k=0..n)＝(2^n+(1+z1)^n+(1+z^2)^n+・・・+(1+z4)^n)/5
になったのですが、
ここから(2^n+2^xcos(nπ/5))/5の形にできません。
教えてください。
No.78111 - 2021/09/08(Wed) 17:45:54
☆ Re: 二項係数の計算 / X
＞＞ΣnC5k(k=0..n)の値を求めたいのですが、
問題が変です。
nC(5k)はn＜5kとなるような自然数kに対して
定義されていません。
No.78112 - 2021/09/08(Wed) 18:43:52
☆ Re: 二項係数の計算 / IT
> ΣnC5k(k=0..n)の値を求めたいのですが、
例えば、n=10のとき、(10C0)+(10C5)+(10C10) ということですか？（Xさんご指摘の定義されてないところを除いて）

何かの問題を解く途中で出てきたのなら、
その問題と分野・レベル、途中経過のポイントを書かれると有効な回答が付きやすいと思います。
No.78113 - 2021/09/08(Wed) 18:54:48
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
ご指摘ありがとうございます。
n<kのとき、nCk=0とします。
学校の二項係数の和を求める授業で、ΣnC3k(k=0..n)の値を求めたので、試しに ΣnC5k(k=0..n)でも同じようにできるのかやってみたら行き詰りました。(2^n+2^x*cos(nπ/5))/5の形になると予想しています。
ΣnC3kのときは、zk=cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)、1+z1=-z2^2、1+z2=-z1^2となるので複素数のn乗の公式から(2^n+2^ncos(nπ/3))/3と求まりました。
ΣnC5kも同様に求まると思ったのですが、
1+z1=-z2^2-z3^3-z4^4となるだけで求められませんでした。
No.78115 - 2021/09/08(Wed) 19:16:18
☆ Re: 二項係数の計算 / IT

> ΣnC3kのときは、zk=cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)、1+z1=-z2^2、1+z2=-z1^2となるので複素数のn乗の公式から(2^n+2^ncos(nπ/3))/3と求まりました。

n=3 のときは、いくらですか？
No.78117 - 2021/09/08(Wed) 20:00:41
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
(2^n+2cos(nπ/3))/3ですね。

n=3のとき
3C0+3C3=1+1=2,
(2^3+2cos(nπ/3))/3=2
No.78118 - 2021/09/08(Wed) 20:08:44
☆ Re: 二項係数の計算 / 関数電卓
横から失礼します。
> ΣnC3k のときは、zk=cos(2kπ/3)＋isin(2kπ/3)、1＋z1＝−z2^2、1＋z2＝−z1^2 となるので…
　z1＝cos(2π/3)＋isin(2π/3)＝−1/2＋√3/2･i
　z1^2＝cos(4π/3)＋isin(4π/3)＝−1/2−√3/2･i
　z2＝cos(4π/3)＋isin(4π/3)＝−1/2−√3/2･i
　z2^2＝cos(8π/3)＋isin(8π/3)＝cos(2π/3)＋isin(2π/3)＝−1/2＋√3/2･i
ですので，
　1＋z1＋z2^2＝√3･i
　1＋z2＋z1^2＝−√3･i
となり，いずれも 0 にはなりません。
No.78121 - 2021/09/08(Wed) 22:11:31
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
1＋z1＝−z2、1＋z2＝−z1ですね。
失礼しました。
z1^2=z2,z2^2=z1
なので、1+z1+z1^2=0,1+z2+z2^2=0
ですね。
No.78122 - 2021/09/08(Wed) 23:31:07
☆ Re: 二項係数の計算 / 関数電卓
> 1＋z1＋z1^2＝0，1＋z2＋z2^2＝0
は良いとして，
> 複素数の n 乗の公式から (2^n＋2^ncos(nπ/3))/3 と求まりました。
の過程を書いて下さいませんか。
No.78123 - 2021/09/09(Thu) 00:06:52
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
No.78118の返信で訂正していますが、(2^n+2cos(nπ/3))/3です。


(1+x)^n=ΣnCkx^k(k=0..n)…?@
?@でx=1,x=z1,x=z2を代入したものを加えてすべて足すと、
1+z1+z2=0なのでkが3の倍数の時のみ残って
ΣnC3k=((1+1)^n+(1+z1)^n+(1+z2)^n)/3
になります。
1+z1=-z2=cos(π/3)+isin(π/3)、
1+z2=-z1=cos(π/3)-isin(π/3)
なので
ドモアブルの定理から
ΣnC3k=(2^n+2cos(nπ/3))/3
が得られます。
No.78125 - 2021/09/09(Thu) 00:39:46
☆ Re: 二項係数の計算 / IT
たしかに１の３乗根ωの場合は、1+ω=-ω^2 などを使ってきれいに整理できますが、
５乗根の場合は難しそうですね。

> (2^n+2^xcos(nπ/5))/5の形にできません。

nが５の倍数でないとき、cos(nπ/5)は無理数なので　その形にはなりませんね。
No.78126 - 2021/09/09(Thu) 02:15:54
☆ Re: 二項係数の計算 / 関数電卓
　(1＋cosθ＋isinθ)^n
　　＝(2(cos(θ/2))^2＋2isin(θ/2)cos(θ/2))^n
　　＝2^n･(cos(θ/2))^n･(cos(nθ/2)＋isin(nθ/2))
を使えば，
　z＝cos(2π/5)＋isin(2π/5)
に対し
　2^n＋(1＋z)^n＋(1＋z^2)^n＋(1＋z^3)^n＋(1＋z^4)^n
は整理できるようですが，決して使いやすい式ではないですね。
No.78130 - 2021/09/09(Thu) 12:57:44
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
ありがとうございました。
No.78138 - 2021/09/09(Thu) 18:44:40
★ (No Subject) / 曇り
0≦Θ1≦180，0≦Θ2≦180とする。また条件rをΘ1＜Θ２，条件t　sinΘ１＜sinΘ2とする

命題(rかつu)ならば条件tが真になるような条件uを求めろ
No.78109 - 2021/09/08(Wed) 12:52:22
☆ Re: / らすかる
rかつu⇒tが成り立てばよいだけなら、条件uは
「sinθ1＜sinθ2」とか「θ2≦90°」とか「θ2=30°」などで十分ですが、
おそらくそういう解答は期待されていないと思いますので、
0°≦θ1＜θ2≦180°のときに条件u⇔条件tとなるような条件uを問うことが
意図されているものと考えて回答します。

0°≦θ1≦90°かつ0°＜θ2≦90°ならばθ1＜θ2⇔sinθ1＜sinθ2ですね。
これより
0°≦θ1＜θ2≦90°ならばsinθ1＜sinθ2は成り立つ（ので他の条件は不要）
0°≦θ1＜90°＜θ2≦180°のとき
0°≦180°-θ2＜90°、sinθ2=sin(180°-θ2)なので
sinθ1＜sinθ2⇔sinθ1＜sin(180°-θ2)⇔θ1＜180°-θ2
∴θ1+θ2＜180° … (1)
90°≦θ1＜θ2≦180°のとき
0°＜180°-θ1≦90°、0°≦180°-θ2＜90°、
sinθ1=sin(180°-θ1)、sinθ2=sin(180°-θ2)なので
sinθ1＜sinθ2⇔sin(180°-θ1)＜sin(180°-θ2)⇔180°-θ1＜180°-θ2⇔θ1＞θ2
よって90°≦θ1＜θ2≦180°では常に成り立ちませんのでθ1＜90°が必要 … (2)
よって条件uとして必要なものは
(1)からθ1+θ2＜180° … (3)
条件rと(3)から2θ1=θ1+θ1＜θ1+θ2＜180°なのでθ1＜90°となり
条件rかつ(3)は(2)を含みます。
従って条件uに適切なものは θ1+θ2＜180°です。
No.78110 - 2021/09/08(Wed) 14:54:38
★ (No Subject) / ポテチ食べたい
すみません。展開するやり方が乗っていたのですが、どうして展開するのか、最初から分かりませんでした🙇‍♀️
No.78105 - 2021/09/08(Wed) 07:30:25
☆ Re: / ポテチ食べたい
返信できなかったああ
No.78106 - 2021/09/08(Wed) 07:32:14
☆ Re: / 関数電卓
>「"なぜ"、展開するのか」
この手の問題を解いたことがなければ，初見でこの方法を思いつく人は決して多くないと思います。恥じる必要はありません。
で，下のスレッドにヨッシーさんの解説があるように
　AEFD を通って F に行く方法が 9C3＝84 通り …(1)
　ABFG を通って F に行く方法が 9C3＝84 通り …(2)
(1)(2)のうち，C を通って F に至る 6C3＝20 通りは，立体上では１本道なので，(1)(2)でダブルカウントされている
と言うことです。
No.78116 - 2021/09/08(Wed) 19:57:38
★ 立方体の最短距離 / ポテチ食べたい
(3)が解説を読んでも分かりません。
教えてください！よろしくお願いします🙇‍♀️
No.78103 - 2021/09/08(Wed) 00:06:02
☆ Re: 立方体の最短距離 / IT
その解説を書かれ、どこが分からないか書かれないと、それより分かり易い解説をするのは難しいと思います。

その解説と同じことを書き込んでも、徒労になります。
No.78104 - 2021/09/08(Wed) 00:27:19
☆ Re: 立方体の最短距離 / ヨッシー
(2) で、面ABCD と面BEFC を通る行き方が　84通りと出たと思います。
面ABCD と面CFGD を通る行き方が同じく 84通り。
合わせて 168通りですが、この中には、両方で数えられている行き方があるので、それを引きます。

という解説かと思います。

違ったら、逆に知りたい。
No.78108 - 2021/09/08(Wed) 08:46:58
★ Σ計算 / マックスバリュ
よろしくお願いします
No.78101 - 2021/09/07(Tue) 18:51:14
☆ Re: Σ計算 / ヨッシー
こういう数列の和は大抵は、第１項から第ｎ項までの和が公式になっていますよね。

この問題は、第n+1項から第2n項までの和を聞いているので、
このままでは公式は使えません。

そこで、
　第１項から第2n項までの和　から
　第１項から第n項までの和　を引くと、
第n+1項から第2n項までの和が求められます。

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０　から
１＋２＋３＋４＋５　を引くと、
６＋７＋８＋９＋１０　が求められるのと同じです。
No.78102 - 2021/09/07(Tue) 19:00:38
☆ Re: Σ計算 / マックスバリュ
理解することができました。ありがとうございます。
No.78107 - 2021/09/08(Wed) 08:29:07
★ e^iπ+1=0 / 複素数が分からない氏
2.71828^3.14159+1=24.1405823262





0にならないのだが何故なんだぜ？？
No.78099 - 2021/09/07(Tue) 17:48:41
☆ Re: e^iπ+1=0 / 関数電卓
> 0 にならないのだが何故なんだぜ？？
　e^iπ
であって，e^π ではありません。
　e^iπ＝cos(π)＋isin(π)＝−1
で，標題の式が成り立ちます。
No.78100 - 2021/09/07(Tue) 18:33:59
★ (No Subject) / ミュウ
aは実数、x、y、zは正の実数とする
a√(x+y+z)≧√x+√y+√zが成立するaの値の最小値を求めよ
No.78094 - 2021/09/07(Tue) 10:12:15
☆ Re: / 関数電卓
　a√(x＋y＋z)≧√x+√y＋√z …(*)
　k＝(√x+√y＋√z)/√(x＋y＋z)
と置く。両辺を平方し
　k^2＝1＋(2√xy＋2√yz＋2√zx)/(x＋y＋z)
　　 ＝1＋(2√xy＋2√yz＋2√zx)/(1/2)((x＋y)＋(y＋z)＋(z ＋x))
　　 ≦1＋(2√xy＋2√yz＋2√zx)/(1/2)(2√xy＋2√yz＋2√zx)
　　 ＝3 (等号は x＝y＝z のとき成立)
よって，k≦√3
以上より，(*)を満たす a の最小値は √3
No.78097 - 2021/09/07(Tue) 14:11:53
★ (No Subject) / グーチョコランタン
sin(R)*cos^2(sin^-1(sin(R)/a))-cos^2(R)*sin(R)/(a*a)-cos(R)*b/a=0　　　　（aとbは定数）

という複雑な式をRについて解きたいのですが、解けません。
教えてください。
計算機に数値計算させるので解自体はどんなに複雑でも構いません。
恥ずかしながら当方大学院生です。
No.78090 - 2021/09/07(Tue) 04:38:52
☆ Re: / グーチョコランタン
お騒がせしました。
sin(R)=A,cos(R)=√(1-A*A)
と置くことで数値計算だけはできるようになりました。
ので、この式を解く必要はなくなりましたが、後学のため、Rこの形のまま、Rについて解ける方がいたら解法を教えてください。
No.78091 - 2021/09/07(Tue) 05:19:58
☆ Re: / らすかる
cos(arcsin(x))=√(1-x^2)なので
(cos(arcsin(x)))^2=1-x^2
(cos(arcsin(sinR/a)))^2=1-(sinR/a)^2
sinR・(cos(arcsin(sinR/a)))^2=sinR-(sinR)^3/a^2
(cosR)^2・sinR/a^2=(1-(sinR)^2)・sinR/a^2=sinR/a^2-(sinR)^3/a^2
sinR・(cos(arcsin(sinR/a)))^2-(cosR)^2・sinR/a^2
=(sinR-(sinR)^3/a^2)-(sinR/a^2-(sinR)^3/a^2)=sinR-sinR/a^2
=sinR(1-1/a^2)
よって
(左辺)=(1-1/a^2)sinR-(b/a)cosR
=√(a^4+(b^2-2)a^2+1)/a^2・sin(R-θ)=0から
sin(R-θ)=0
∴R=θ+nπ
ただしθは
sinθ=ab/√(a^4+(b^2-2)a^2+1)
cosθ=(a^2-1)/√(a^4+(b^2-2)a^2+1)
を満たす値
従って
sinθ＜0すなわちab＜0のとき
R=nπ-arccos((a^2-1)/√(a^4+(b^2-2)a^2+1))
sinθ≧0すなわちab≧0のとき
R=nπ+arccos((a^2-1)/√(a^4+(b^2-2)a^2+1))
No.78095 - 2021/09/07(Tue) 11:58:28
☆ Re: / ast
sin^2(R), cos^2(R) などは, 通例通り値の 2-乗 (つまり, (sin(R))^2, (cos(R))^2 など) の略記であると解釈しました.
# この場合, (cos(sin^(-1)(sin(R)/a)))^2 = 1-(sin(sin^(-1)(sin(R)/a)))^2=1-(sin(R)/a)^2 となり,
# 問題の式は逆正弦 sin^(-1) を使わずに書けます.

そうすると, 一見複雑に見えますが, ご質問の式は (sin(R)≠0 のとき)
　tan(R)=ab/(a^2-1)

と同じなのではないでしょうか (追加の但し書きはあるかもしれない)
# これは両辺を sin(R) で割って, 出てきた第三項の 1/tan(R) を右辺に移項して残りを整理しただけです.

もし, ^2 が函数の合成 (つまり, cos^2(R)=cos(cos(R)) など) の意であれば当てはまりませんので放念ください.
No.78096 - 2021/09/07(Tue) 12:23:10
☆ Re: / グーチョコランタン
お二人ともありがとうございます。
かなり式がすっきりしました。
cos(arcsin(x))
の整理の仕方は目からうろこです。
No.78098 - 2021/09/07(Tue) 15:52:23
★ (No Subject) / z
どちらの表記の方が一般的、あるいは、良いでしょうか？

100(x-y)/x

あるいは、

100(x-y/x)
No.78082 - 2021/09/06(Mon) 22:44:49
☆ Re: / らすかる
前者は100にx-yを掛けてxで割ったもの
後者は100(x-y/x)=100(x^2-y)/xなので
100にx^2-yを掛けてxで割ったもの
ということで異なる式ですから、一般的も何もないと思います。
No.78083 - 2021/09/06(Mon) 23:23:45
☆ Re: / z
100(x-y/x)=100(x^2-y)/x が分かりません。

文字でなく、数で表現すると、例えば、

100(5-3)/5

と

100(5-3/5)

では、結果は同じではないでしょうか？
No.78085 - 2021/09/06(Mon) 23:33:07
☆ Re: / z
済みません。
画像を見てください。
イコールは成り立ちますか？
No.78086 - 2021/09/06(Mon) 23:41:29
☆ Re: / ヨッシー
これは、分数式の書き方の問題です。
ｚさんの思っている方法で、下の２つの式を打ち込んでみてください。

No.78087 - 2021/09/07(Tue) 00:22:33
☆ Re: / ヨッシー
ちなみに、手書きで書かれた２つの式は
どちらが一般的と言うことはありません。
左辺の方は、カッコを付け忘れることはないと思いますが、
右辺は、カッコがなくてもいけそうだと思って、カッコを取ると、
帯分数と見なされる可能性があるので、左辺の方が無難と言えば無難でしょうか。
表記方法の差と言うより、ポカよけとして。
No.78088 - 2021/09/07(Tue) 00:26:15
☆ Re: / z
確かに右辺の式は掛け算の演算記号を省略可能にするためのカッコであって、カッコを取ったら訳が分からなくなります。
学校の教科書でよく目にするのは左辺の式のような気がしたので質問させていただきました。
No.78089 - 2021/09/07(Tue) 00:38:30
☆ Re: / ヨッシー
>100(x-y/x)=100(x^2-y)/x が分かりません。
は解決したのでしょうか？
No.78092 - 2021/09/07(Tue) 05:34:54
☆ Re: / z
番号78087で回答していただいた前者の分数式に100を掛けたものということですよね？
No.78093 - 2021/09/07(Tue) 08:11:20
★ lim(1+t)^1/t=eとなるのは何故でしょうか [t→0] / としあき
質問してみました
No.78081 - 2021/09/06(Mon) 21:58:16
☆ Re: lim(1+t)^1/t=eとなるのは何故でしょうか [t→0] / 関数電卓
学校でお使いの数?Vの教科書に書いてありませんか？
ネット内ならば， こちら と こちら 等をじっくりお読み下さい。
No.78084 - 2021/09/06(Mon) 23:26:49
★ (No Subject) / きっとhat
aを実数とする。θの方程式　sin2θ+a(sinθ+cosθ)+2a=0
は0≦θ≦π/2の範囲に何個の解を持つか
No.78076 - 2021/09/06(Mon) 16:16:09
☆ Re: / 関数電卓
θ を x と書きました。
　sin2x＋a(sinx＋cosx＋2)＝0 …(1)
　y＝−sin2x/(sinx＋cosx＋2) …(2)
と置き，微分して増減を調べると↓のグラフになります。
よって，求める解は
　a＜1−√2/2 のとき 0 個（解なし）
　a＝1−√2/2 のとき 1 個
　1−√2/2≦a≦0 のとき 2 個
　0＜a のとき 0 個（解なし）
No.78079 - 2021/09/06(Mon) 18:34:49
★ (No Subject) / potato
実数a,bが　a+b≦1
a≧0
b≧0 を満たしながら動くとき
放物線y=x~2+ax+bが動く範囲を図示せよ
No.78075 - 2021/09/06(Mon) 16:10:45
☆ Re: / 編入受験生
図示できないので概略だけ。
(a,b)平面上で上記の条件を満たす実数a,bの取りうる領域Dは,
a,bが第一象限にあってb=-a+1より下側にある場合。
ただし境界は含む。

今、領域Dは閉じていて領域D上の各a,bに対してyは連続であるから、x=kのときのy(a,b)の最大値・最小値が存在し、その範囲のすべての値をyは取る。
実際,y(a_1,b_1)で最大、y(a_2,b_2)で最小を取るとき,
点(a_1,b_1)と点(a_2,b_2)を通る曲線Cを領域Dに含まれるように取ると,中間地の定理からC上の各点のyはy(a_1,b_1)とy(a_2,b_2)の範囲にありかつその範囲のすべての値を取る.

よってx=kのときのyの最小値と最大値を求めればよい.
aを固定したときのy(a,b)の最大値・最小値を求めると,
y=k^2+ka+bから明らかにy=k^2+ka+1-a=k^2+(k-1)a+1が最大,
y=k^2+ka+0が最小となる.
次にaを動かしたときの最大・最小を求める.
k>=1のとき,(k-1)は正だからy=k^2+k-1+1=k^2+kが最大,
k<=1のとき,y=k^2+1が最大となる.
一方,k>=0のときkは正だから,y=k^2が最小.
k<=0のときkは負だから,y=k^2+kが最小.
これよりkをxに読み替えて,

x>=1のとき,y=x^2+xとy=x^2の間を動き、
0<=x<=1のとき,y=x^2+1とy=x^2の間を動き,
x<=0のとき,y=x^2+1とy=x^2+xの間を動く.
全て境界を含む.
No.78080 - 2021/09/06(Mon) 18:35:52
★ (No Subject) / 君に叱られた
f(x)をx＋2で割ったとき余りは-10、f(x)をx^2-5x+7で割ったとき余りは-4x+3である。このときf(x)を(x+2)(x^2-5x+7)で割ったときの余りを求めよ
No.78073 - 2021/09/06(Mon) 13:26:41
☆ Re: / ヨッシー
求める余りは２次以下なので、
　f(x)＝(x+2)(x^2−5x＋7)g(x)＋(ax^2＋bx＋c)
と置きます。
f(x) を x^2−5x＋7 で割った余りは、ax^2＋bx＋c を
x^2−5x＋7 で割った余りと等しいので、
　ax^2＋bx＋c＝a(x^2−5x＋7)−4x＋3
と置けます。つまり
　f(x)＝(x+2)(x^2−5x＋7)g(x)＋a(x^2−5x＋7)−4x＋3
f(x) を x+2 で割った余りが -10 であることから、
　f(-2)＝21a＋11＝-10
よって
　a＝-1
求める余りは
　−(x^2−5x＋7)−4x＋3＝−x^2＋x−4
となります。
No.78077 - 2021/09/06(Mon) 18:16:04
★ (No Subject) / 編入受験生
0以上の整数nに対して,点(x_n,y_n)は以下の式を満たしている.
(i) (x_0,y_0) = (0,0),(x_1,y_1) = (1,0)
(ii) (x_{n+1}-x_n)^2+(y_{n+1}-y_n)^2 = 1/2^(2n)
(iii) (x_{n+1}-x_{n-1})^2+(y_{n+1}-y_{n-1})^2 = 1/2^(2n-2)
以下の問いに答えよ.
(1)
x_{n+1}-x_{n} = X_{n+1},y_{n+1}-y_{n} = Y_{n+1}とおくと,X_{n+1}X_n+Y_{n+1}Y_n = -1/2^(2n+1)となることを示せ.

(2)
複素数ZをZ_{n+1}=X_{n+1}+iY_{n+1}と定義する.Zの極表示をZ_{n+1} = 1/2^n{cos(θ_{n+1})+isin(θ_{n+1})}とおくとき,
θ_{n+1}-θ_n = +-a (ただしcos(a)=-1/4を満たす)となることを示せ.

(3)
以降,θ_{偶数}=a,θ_{奇数}=0とする.
点(x_n,y_n)をnの式で表せ.

(4)
lim_{n→∞}(x_n,y_n)を求めよ.
No.78070 - 2021/09/06(Mon) 04:16:13
☆ Re: / 編入受験生
問題文を訂正

0以上の整数nに対して,点(x_n,y_n)は以下の式を満たしている.
(i) (x_0,y_0) = (0,0),(x_1,y_1) = (1,0)
(ii) (x_{n+1}-x_n)^2+(y_{n+1}-y_n)^2 = 1/2^(2n)
(iii) (x_{n+1}-x_{n-1})^2+(y_{n+1}-y_{n-1})^2 = 1/2^(2n-2)
以下の問いに答えよ.
(1)
x_{n+1}-x_{n} = X_{n+1},y_{n+1}-y_{n} = Y_{n+1}とおくと,X_{n+1}X_n+Y_{n+1}Y_n = -1/2^(2n+1)となることを示せ.

(2)
複素数ZをZ_{n+1}=X_{n+1}+iY_{n+1}と定義する.Zの極表示をZ_{n+1} = 1/2^n{cos(θ_{n+1})+isin(θ_{n+1})}とおくとき,
cos(θ_{n+1}-θ_n) = -1/4となることを示せ.

(3)
以降,θ_{偶数}=a,θ_{奇数}=0とする.
ただし,0<a<πであってcos(a)=-1/4を満たす.
点(x_n,y_n)をnの式で表せ.

(4)
lim_{n→∞}(x_n,y_n)を求めよ.
No.78071 - 2021/09/06(Mon) 04:28:46
★ モンティホール問題 / 高校三年生
「一つだけ景品の入った三つの扉があり、来賓者がいずれか一つを選ぶ。
　司会者は残りの二つのうち、ハズレの扉を開けて、再び来賓者に選択させる。
　来賓者は、選ぶべき扉を変更すべきか？」

これは、有名な問題ですが、もし、司会者が無作為に選んだ扉が偶然ハズレだった場合も、
やはり、来賓者は扉を変更した方がよいのでしょうか？
No.78066 - 2021/09/05(Sun) 22:24:08
☆ Re: モンティホール問題 / けんけんぱ
来賓者が景品の入った扉を選ぶ確率は、1/3
このとき、司会者が残った扉からハズレを選ぶ確率は、1
したがって、全体としては1/3

来賓者がハズレの扉を選ぶ確率は、2/3
このとき、司会者が残った扉からハズレを選ぶ確率は、1/2
したがって、全体としては(2/3)(1/2)=1/3
以上から、どちらの場合も、司会者がハズレを引く確率は同じだから、
扉を変えても変えなくても同じ確率。

(と、もっともらしく書きましたが、果たして本当かどうか。次の回答者によって明らかになります)
No.78067 - 2021/09/05(Sun) 22:40:30
☆ Re: モンティホール問題 / 高校三年生
けんけんぱ さん、返信ありがとうございます。

なるほど。
同じ事象でも、試行内容が違えば、確率が変動するわけですね。
仮に、司会者が事前にハズレの扉の情報を知り得たとしても、
指運で「無作為」に選んでしまえば、結果が同じでも、確率は変化してしまう。

司会者の感情が「要因」として絡むという、まさに驚愕の確率論ですね。
No.78068 - 2021/09/05(Sun) 23:23:57
★ 不等式 / 数学雑魚
解き方を教えていただきたい問題が２つあります。

?@ある動物園の入場料は１人400円であるが、10人以上の団体だと、9人を越えた人数分について、１人あたり120円の値引きになる。ある団体が入場して、１人あたりの入場料を計算したところ350円未満であったという。
(1)この団体の人数をx人として、不等式をつくれ。
(2)この団体の人数は何人以上か。


?Aある２桁の正の整数があり、十の位の数字と一の位の数字の和ら6である。また、十の位と一の位の数字を入れかえると、もとの整数より小さい２桁の整数になる。このとき、もとの２桁の整数はいくつか。あてはまるもの全て求めよ。

どちらかだけでも大丈夫です。
宜しくお願い致します。
No.78057 - 2021/09/05(Sun) 20:19:08
☆ Re: 不等式 / IT
?A　十の位の数字=x,一の位の数字=y とおいて、
問題文の各条件をｘ、ｙの式にします。
No.78059 - 2021/09/05(Sun) 20:43:29
☆ Re: 不等式 / ヨッシー
?@人数をｘ人とすると
　９人は４００円で入り、ｘ−９人は２８０円で入った
　払った金額は（人数）×３５０円未満だった。
これで不等式を作ります。
No.78060 - 2021/09/05(Sun) 20:46:59
☆ Re: 不等式 / 編入受験生
(1)
x>=9かつ(400×9 + (x-9)280)/x < 350
(2)
(1)の不等式を変形するとx>=9かつ(120×9<70x)⇔(108/7=15+3/7<x)より,16人以上.

ある二桁の整数をN、a,bを自然数とすると,
N = 10a+bかつa+b=6であり,10b+a<10a+b.
b = 6-aより,aは1,2,3,4,5のいずれか。
これを不等式に代入して整理すると,
10(6-a)+a<10a+6-a ⇔ 3<aより,a=4,5のときで２個、
42と51の二つ。
No.78063 - 2021/09/05(Sun) 21:02:56
☆ Re: 不等式 / 数学雑魚
ITさん、ヨッシーさん、編入受験生さん

遅くなりましたが、教えてくださりありがとうございます！
No.78119 - 2021/09/08(Wed) 20:52:02
★ 定積分の問題を教えてください。 / na
[-1→1]|x|e^(-x^2)dx

x>0のとき
[0→1]xe^(-x^2)dx
x≦0のとき
[-1→0]-xe^(-x^2)dx
x^2=tとおくと
2xdx=dt

x>0の場合 xが0→1より tは0→1
x≦0の場合 xが-1→0より tは1→0
から結果的に
[0→1]e^(-t)･1/2dtの2倍を求めるという形にしましたが合っていますでしょうか

最終解答は
-(1/e+1)
になりました。
No.78047 - 2021/09/04(Sat) 17:35:11
☆ Re: 定積分の問題を教えてください。 / ヨッシー
[-1→1]だけだと積分の意味はないので、
　∫[-1→1]|x|e^(-x^2)dx
と書きましょう。また、積分範囲が[0→1]なら、ｘ≧０ と
決まっているので、x≧0のとき などはなくても良いです。

さて、問題ですが、考え方は合っていますが、答えが違いますね。
負にならない関数を積分しているのに、答えが負というのはおかしいです。

さらに、いっそ　−x^2＝t とおいた方が、置換後の積分がちょっとだけ楽かなと。

また、
　(ｅ^(-x^2))’＝−2xｅ^(-x^2)
を使えば、置換も必要なくなります。
No.78049 - 2021/09/04(Sat) 17:59:39
☆ Re: 定積分の問題を教えてください。 / na
返信ありがとうございます。
計算しなおしてみたところ
2*(1 - 1/e)
となりました。
No.78050 - 2021/09/04(Sat) 18:21:07
☆ Re: 定積分の問題を教えてください。 / ヨッシー
あ、それならまだ最初の答えの方が近いです。

ところで、元の問題ですが、
|x|ｅ^(-x^2) が偶関数であることに気付けば、
半分の区間を２倍すれば良いことは明らかでしたね。
No.78051 - 2021/09/04(Sat) 18:52:42
☆ Re: 定積分の問題を教えてください。 / na
-1/e+1になりました。
No.78052 - 2021/09/04(Sat) 21:21:10
☆ Re: 定積分の問題を教えてください。 / ヨッシー
正解です。
No.78053 - 2021/09/04(Sat) 22:53:13
☆ Re: 定積分の問題を教えてください。 / na
> 正解です。

ありがとうございました。
No.78054 - 2021/09/05(Sun) 03:48:47
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