問 f(x)がxの1次式で,∫[0→1]f(x)dx≧1ならば,不等式∫[0→1]{f(x)}^2dx＞∫[0→1]f(x)dxが成り立つことを証明せよ.
何から手をつければいいのか正直わかりません。お手数ですが、詳しい解説よろしくお願いします。
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No.78732 - 2021/10/09(Sat) 17:30:02
| ☆ Re: 数lll / IT | | | f(x)がxの1次式 を具体化してみるとどうですか？
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No.78733 - 2021/10/09(Sat) 17:33:23 |
| ☆ Re: 数lll / インテグラル | | | No.78736 - 2021/10/09(Sat) 17:50:20 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | No.78737 - 2021/10/09(Sat) 18:03:58 |
| ☆ Re: 数lll / インテグラル | | | ここまで、といてみたんですが、この先、どうすればいいのかわかりません。お手数ですが、教えていただきたいです。
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No.78750 - 2021/10/10(Sun) 16:39:59 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | 少し面倒そうですね。
別の解法として考えていたのを先に紹介します。
グラフを描いてx=1/2 を中心に考えると見通しが良いと思います。
f(x)＝ax+b,a≠0とおく、
h＝f(1/2) とおくと,∫[0→1]f(x)dx≧1からh≧1.よってh^2≧h
x＝1/2を基準に考えると f(1/2-x)＝h-ax,f(1/2+x)＝h+ax
∫[0,1](f(x))^2dx＝∫[0,1/2](f(x))^2dx+∫[1/2,1](f(x))^2dx
それぞれx＝1/2-t,x＝1/2+t とおくと
＝-∫[1/2,0](f(1/2-t))^2dt+∫[0,1/2](f(1/2+t))^2dt
＝∫[0,1/2]((f(1/2-t))^2+(f(1/2+t))^2)dt
＝∫[0,1/2]((h-at)^2+(h+at)^2)dt
＝・・・
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No.78752 - 2021/10/10(Sun) 18:33:53 |
| ☆ Re: 数lll / IT | | | あなたの最後の式＝((1/2)a+b)^2+(1/12)a^2-((1/2)a+b)
ここで (1/2)a+b ≧1なので((1/2)a+b)^2-((1/2)a+b)≧0.また、(1/12)a^2＞0
よって,あなたの最後の式＞0
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No.78753 - 2021/10/10(Sun) 18:49:16 |
| ☆ Re: 数lll / インテグラル | | | どうもご丁寧に解説していただきありがとうございました。本当に助かります。
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No.78768 - 2021/10/11(Mon) 17:24:30 |
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