円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ（できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)
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No.78244 - 2021/09/17(Fri) 00:06:53
| ☆ Re: / 編入受験生 | | | > 円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ（できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)
一番簡単なやり方で解かせていただきます.
異なる半径の二つの円が共通接線を持つのは,
小さいほうの円が１点で大きい方の円に外接するときか内接するときのいずれかしかない.
外接するとき,二つの円の中心点間の距離が二つの円の半径の和に等しくなる。
問題の二つの円は中心点間の距離が√{(2√2)^2+1^2}=3,
半径の和が2+1=3で等しくなるからこの二つの円は外接の場合であることがわかる.
ゆえに,二つの円が接する点は,大きい方の円の中心(0,0)と小さい方の円の中心(2√2,1)を2:1に内分する点である.
これより, 接点の座標は(4√2/3,2/3)である.
次に,共通接線の方程式を求める.
円の接線は中心点を結ぶ直線に垂直だから,
垂直条件m×m'=-1を用いると,
m' = -/m = -2√2と接線は接点を通るから,
求める共通接線の方程式は,y = -2√2(x-4√2/3)+2/3
= -2√2x + 6.
おそらくこの方法は求められていないと思うのですが、
誰も解答していなかったの一応解答させていただきました。
少し計算は大変になるけれども、質問者さんが求められているような方程式を解くやり方はほかの方がしてくれるでしょう。
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No.78248 - 2021/09/17(Fri) 01:33:17 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 接点の座標を(a,b)とおくと接線はax+by=4でありa^2+b^2=4
2つ目の円の式を展開して両辺にa^2を掛け、ax=4-byによりxを消去して整理すると
(a^2+b^2)y^2+2{(2√2)ab-a^2-4b}y+8{a^2-(2√2)a+2}=0
接線であるためには判別式が0でなければならないので
D/4={(2√2)ab-a^2-4b}^2-8(a^2+b^2){a^2-(2√2)a+2}=0
整理して
{7a^2+(4√2)ab-(16√2)a-8b+16}a^2=0
a^2=0のときa=0、このときb=±2だがb=-2は不適
7a^2+(4√2)ab-(16√2)a-8b+16=0 … (1)
のとき
7a^2-8b+16=(4√2)(4-b)a
両辺を2乗し、a^2=4-b^2を代入してaを消去し整理すると
81b^4-144b^3-168b^2+320b-112=0
(b-2)(9b+14)(3b-2)^2=0
∴b=2,-14/9,2/3 … (2)
(1)から
7a^2-(16√2)a+16=4{2-(√2)a}b
両辺を2乗し、b^2=4-a^2を代入してbを消去し整理すると
81a^4-(288√2)a^3+672a^2-(256√2)a=0
a=c√2とおいて整理すると
81c^4-288c^3+336c^2-128c=0
c(9c-8)(3c-4)^2=0
c=0,8/9,4/3
∴a=0,8√2/9,4√2/3 … (3)
(2)(3)から
(a,b)=(0,2),(8√2/9,-14/9),(4√2/3,2/3)
これより共通接線の方程式は
y=2, y={(4√2)x-18}/7, y=(-2√2)x+6
の3本とわかる。
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No.78250 - 2021/09/17(Fri) 02:19:21 |
| ☆ Re: / 編入受験生 | | | > 円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ（できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)
ごめんなさい、共通接線の定義勘違いしていました。
私の解答は無視してください。
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No.78251 - 2021/09/17(Fri) 02:44:49 |
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