条件に漏れのない解答が見てみたいです。もしお時間あればお願いします。。
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No.78824 - 2021/10/14(Thu) 22:45:54
| ☆ Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / けんけんぱ | | | １．
Σ[i=1→n]g[i]=1 と問題にありますが、手書き部分は必要なんですか？
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No.78825 - 2021/10/14(Thu) 23:50:36 |
| ☆ Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 数学 | | | > １．
> Σ[i=1→n]g[i]=1 と問題にありますが、手書き部分は必要なんですか？
正の実数aiについて定義し直してるだけかと思います。
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No.78826 - 2021/10/15(Fri) 00:00:51 |
| ☆ Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓 | | | ２.(1)
任意の実数 t と，f の周期α(＞0) に対し，t/α を超えない最大の整数を n とすると，
n≦t/α＜n＋1 ∴ nα≦t＜(n＋1)α …<1>
が成り立つ。このとき，
∫[t,t＋α]f(θ)dθ ←以下，f(θ)dθ を省略します。
＝∫[t,(n＋1)α]＋∫[(n＋1)α,t＋α] （∵<1>)
＝∫[t,(n＋1)α]＋∫[nα,t] （∵周期性)
＝∫[nα,(n＋1)α]
＝∫[0,α]f(θ)dθ [証了]
(2)
acosθ＋bsinθ＝√(a^2＋b^2)cos(θ－β) …<2> (ただし tanβ＝b/a)
∫[0,2π]g(acosθ＋bsinθ)dθ
＝∫[0,2π]g(√(a^2＋b^2)cos(θ－β))dθ (∵<2>)
＝∫[β,2π＋β]g(√(a^2＋b^2)cosψ)dψ (θ－β＝ψ と置いた）
＝∫[0,2π]g(√(a^2＋b^2)cosθ)dθ (∵(1)の結果) [証了]
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No.78835 - 2021/10/15(Fri) 18:42:38 |
| ☆ Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓 | | | ２.(3) p，q のなす角をφとすると
p･q＝acosθ＋bsinθ＝√(a^2＋b^2)･1･cosφ
∴ t(θ)＝cosφ＝(acosθ＋bsinθ)/√(a^2＋b^2)＝cos(θ－β) (ただし tanβ＝b/a)
∴ I＝∫[0,π]|t(θ)|dθ
＝(1/2)∫[0,2π]|cos(θ－β)|dθ
＝(1/2)∫[0,2π]|cosθ|dθ (∵(2)の結果)
＝2
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No.78842 - 2021/10/15(Fri) 21:01:51 |
| ☆ Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓 | | | １.(1)
f(x)＝x－1－log(x)
と置くと，
f’(x)＝1－1/x
0＜x＜1 のとき f’(x)＜0，1≦x のとき f’(x)≧0
であるから，f(x) は x＝1 で最小値 f(1)＝0 をとる。
よって，f(x)≧0 ∴ log(x)≦x－1 [証了]
(2)
I＝Σp[i]log(p[i])，J＝Σp[i]log(q[i])
と置くと，
J－I＝Σp[i]{log(q[i])－log(p[i])}
＝Σp[i]log(q[i]/p[i])
≦Σp[i](q[i]/p[i]－1) (∵(1)の結果)
＝Σ(q[i]－p[i])
＝Σq[i]－Σp[i]
＝1－1
＝0
∴ I≧J，Σp[i]log(p[i])≧Σp[i]log(q[i])
(等号は 1≦i≦n のすべての i について p[i]＝q[i] のとき成立） [証了]
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No.78844 - 2021/10/15(Fri) 23:31:22 |
| ☆ Re: 完全な解答を作成して欲しいです。 / 関数電卓 | | | １.(3)
1≦i≦n のすべての i について q[i]＝1/n とおくと，Σq[i]＝1 だから(2)の結果より
Σp[i]log(p[i])≧Σp[i]log(q[i])
＝Σp[i]log(1/n)
＝－log(n)Σp[i]
＝－log(n)
以上より，F＝Σp[i]log(p[i]) の最小値は －log(n)。(p[i]＝1/n (i＝1,…,n) のとき）
(4)
Σa[i]＝A，p[i]＝a[i]/A (i＝1,…,n) とおくと，Σp[i]＝1 で
(3)の結果から，Σp[i]log(p[i])≧－log(n)
よって，
Σ(a[i]/A)log(a[i]/A)
＝(1/A)Σa[i](log(a[i])－log(A))
＝(1/A)Σa[i]log(a[i])－{log(A)/A}Σa[i]
＝(1/A)Σa[i]log(a[i])－log(A)
≧－log(n)
∴ Σa[i]log(a[i])≧A(log(A)－log(n))
以上より，
G＝a[i]log(a[i]) の最小値は (Σa[i])(log(Σa[i])－log(n))。(a[1]＝…＝a[n] のとき）
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No.78849 - 2021/10/16(Sat) 09:53:28 |
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