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(No Subject) / As
この問題教えてください!
No.85579 - 2023/06/14(Wed) 18:04:42

Re: / ヨッシー
まず、頂点を求め、それが例えば、(s, t) であったなら、
 y=a(x−s)^2+t
が、(0, 7) を通るように、aを決めます。

No.85581 - 2023/06/14(Wed) 18:59:46
(No Subject) / As
最大値が±1になるのはなぜですか?
No.85578 - 2023/06/14(Wed) 18:03:20

Re: / ヨッシー
最大値ではなく、最大値を与えるxの値が、ですよね?
x=−1、x=1 それぞれ、
 y=−2(x^2−1)^2+5
に代入してみましょう。

No.85580 - 2023/06/14(Wed) 18:57:35
(No Subject) / ラベンダー
カードが10枚ある。カードには0から9までの異なる整数が一つ書かれている。このカードに花子さん,太郎君は引いたカードの数の和の1の位で競うゲームを行うことにした。ゲームの詳細は以下のとおりである。ただし一度引いたカードは戻さない

1初めに花子さん,太郎君の順でそれぞれ1枚カードを引く
2次に花子さん,太郎君の順でそれぞれもう一枚カードを引く
3花子さんは次の手順で得点を確定する
(i)自分がその時までに引いた全てのカードに書かれた数の合計の1の位の値を自分の持ち点とする
(ii)持ち点によって以下の操作を行う
〇持ち点が4以上9以下ンお時その時の持ち点を得点とする
〇持ち点が3以下の時追加で1枚カードを引き(1)に戻る。ただし残りのカードがない場合はその時の持ち点を得点とする

4花子さんの得点が確定した後太郎君が3(i)(ii)の手順を実施し得点を確定する
5両者の得点が確定した時点でゲームを終了する

(1)2人とも2枚カードを引いて得点が確定した。花子さんが引いたのは1枚目は3,2枚目には5が書かれたカードだった。この時太郎君がゲームに勝つ確率を求めよ
(2)初めに花子さんが3が書かれたカードを太郎君は5が書かれたカードを引いた。この時次に花子さん,太郎君がともに1枚カードを引いて得点が確定し太郎君がゲームに勝つ確率を求めよ
(3)初めに花子さんは7が書かれたカードを太郎君が5が書かれたカードを引いた。次に花子さんは0が書かれたカードを引いてその後太郎君がカードを引き追加のカードを1枚引いて得点が確定した。この時太郎君がゲームに勝つ確率は?


(1)条件1  二人とも2枚カードを引いて得点が確定した
条件2  花子さんが引いたのは1枚目は3,2枚目には5が書かれたカードだった
条件1かつ条件2が必ず起こるという前提で太郎君がゲームに勝つための場合の数を求める
条件1かつ条件2を満たす状況は
太郎君が取り出したカードの数字を
(1回目の数字,2回目の数字)=(a,b)とすると
取り出したカードの枚数が2枚になるのは
1≦a+b≦17かつ4≦a+b≦9かつ14≦a+b≦17である(ただしa≠3,5,b≠3,5)
この条件を満たす(a,b)=(0.4)(4,0)(0,6)(2,4)(4,2),(6,0),(0,7)(1,6)(6,1)(7,0)(0,8)(1,7)(2,6)(6,2)(7,1)(8,0)(0,9)(1,8)(2,7)(7,2)(8,1)(9,0)(8,6)(6,8)(8,6)(8,7)(7,8)(6,9)(9,7)(7,9)(9,8)(8,9)の34通り
(花子さんは3+5=8なので必ず取り出すカードは2枚で済む)
このうち太郎君の得点が花子さんより高くなるのは9の時のみなので
(a,b)= 0,9)(1,8)(2,7)(7,2)(8,1)(9,0)の6通り
よって6/34=3/17…合わない…

(2)初めに花子さんが3,太郎君が5を取るという条件の下で(必ず100%生じる事象)
<1>花子さん,太郎君が共に1枚カードを引いて得点を確定
<2>太郎君がゲームに勝つ
<1>と<2>の両方を満たす確率は
<1>2人の取り出すカードが2枚になる条件
花子さんの2回目のカードの数字をa,太郎君の2回目のカードの数字をbとすると
3≦3+a≦12
また取り出すカードが2枚で済む条件は
4≦3+a≦9 よって1≦a≦6(ただしa≠3,5よりa=1.2.4,6)

5≦5+b≦14
太郎君の取り出すカードが2枚で済む条件は
5≦5+b≦9 5+b=14
0≦b≦4,b=9
このうちb≠3,5なので(b=0,1,2,4,5,9)
よって2回目に取り出す花子さん,太郎君の数字の組み合わせは
(a,b)=(1,0)(1,2)(1,4)(1,9)(2,0)(2,1)(2,4)(2,9)(4,0)(4,1)(4,2)(4,9)(6,0)(6,1)(6,2)(6,4)(6,9)の17通り

よって2人がカードを2枚だけ引くだけで済む確率は17/(8×7)=17/56
(8×7=花子さんが2回目に引く数字の場合の数×太郎君が2回目に引くカードの場合の数)

<2><1>のうち太郎君が勝つ事象は
(花子さんの1回目,2回目)、(太郎君の1回目,2回目)
=(3,1)(5,0)
(3,1)(5,2)
(3,1)(5,4)
(3,2)(5,1)
(3,2)(5,4)
の5通り

よって
17/56)×(5/17)=5/56(答えと一致)

(4)条件1 初めに花子さんは7が書かれたカードを太郎君が5が書かれたカードを引いた
条件2 花子さんは0が書かれたカードを引いてその後太郎君がカードを引き追加のカードを1枚引いて得点が確定した

条件1かつ条件2が起こるという前提で太郎君が花子さんに勝つ確率は
まず条件1と条件2が起こる場合の数を数える
太郎君が2枚目に引くカードの数字をbとすると
太郎君が3枚目を引く条件は
5≦5+b≦14かつ11≦5+b≦13
よってb=6,7,8であるがb≠0,5,7よりb=6,8
3回目で引く数字をcとすると
B=6の時11+c(c≠0,5,6,7)
11+c=12,13,14,15,19,,20で得点はそれぞれ2,3,4,5,9,0でこのうち条件(3回目で得点決定)を満たすのは得点が4,5,9になる3通り

B=8の時13+c(c≠0,5,7,8)
13+c=14,15,16,17,18,21でそれぞれ得点は4,5,6,7,8,1で3回目で得点が決まるのはこの時の得点が4,5,6,7,8になる5通り
このうち花子さんより得点が高くなるのは
B=6,c=8
B=8 c=6の2通りである
よって条件1かつ条件2を満たす場合の数は(b,c)=(6,3)(6,4)(6,8)(8,1)(8、2)(8,3)(8,4)(8,6)(8,9)の8通りであることから
2/8=1/4(答えと一致)

(1)が合わない。(2)(3)はやり方あってますか(たまたま答えがあった可能性もあるので)
またもっと簡単なやり方あるのならそれも教えてください。よろしくお願いします

No.85574 - 2023/06/13(Tue) 15:48:24

Re: / ヨッシー
(1) は (1,4)(4,1) が母数から抜けています。
また、(8,6) が2つありますが、一方は (9,6) と思われるので、総数に影響はありません。

No.85577 - 2023/06/13(Tue) 18:56:24
立教大の問題 / みみ(高校生)
この問題の解き方が分かりません・・・!

誰か教えてください。

No.85569 - 2023/06/12(Mon) 21:23:42

Re: 立教大の問題 / IT
0°<θ<90°なので cosθ>0
(cosθ)^2+(sinθ)^2=1
(cosθ)^2で割ると 1+( )^2/( )^2=1/( )^2
ここで tanθ=1/2 を代入する。
cosθが求まります。これを使えば求める式の値が計算できます。

計算方法はいろいろありますが、求める式の分母と分子をcosθで割っておくと良いかも知れません。

No.85570 - 2023/06/12(Mon) 22:32:43

Re: 立教大の問題 / GandB
> 立教大の問題
 立教大学の入試問題なのか?
 tanθ=1/2 の直角三角形を書けばすぐ解ける問題が、大学の入試に出るとは信じ難い。

No.85573 - 2023/06/13(Tue) 14:20:53
京大の問題 / 山城
昔の京大の問題でtan1°は有理数かって問題があって

tan1°は有理数と仮定すると

加法定理からtan2°も有理数

tan3°も有理数・・ってやって

tan30°=√3/2で無理数だからtan1°も無理数ってやるけど

この原理ならtan45°までやればtan45°=1だから有理数じゃね?

No.85565 - 2023/06/12(Mon) 14:33:33

Re: 京大の問題 / ヨッシー
有理数は(0で割ること以外の)四則演算について閉じている。
というのがこの原理の根本です。

四則演算をして有理数になる2つ以上の数は、全て有理数である、
というような原理はありません。

No.85566 - 2023/06/12(Mon) 14:55:00

Re: 京大の問題 / けんけんぱ
ご質問の内容から、ヨッシーさんの回答は高等なので理解できているか不安になりましたので、私なりの回答を追加させていただきます。

x^2=2
2は有理数だからxも有理数ではないか、
と質問者さんは言っているようなものです。
これが間違いだということはご理解いただけますね。

No.85571 - 2023/06/13(Tue) 10:45:31

Re: 京大の問題 / けんけんぱ
すみません。
投稿後不安になりましたので、追加です。
掛け算の例ではなく、足し算の例でないと適切ではないかもしれませんね。

x+y=2
という場合、x,yはともに有理数である、とは言えないことは理解できるでしょうか。

No.85572 - 2023/06/13(Tue) 10:49:14
(No Subject) / あじさい
[X]をxを越えない最大の整数とする

1個のサイコロを3回投げで出た目の数を順にa,b,cとする

[a/2]≧[b/2]≧[c/2]となる確率を求めよ

[6/2]=[3]=3
[5/2]=[2.5]=2
[4/2]=[2]=2
[3/2]=[1.5]=1
[2/2]=[1]=1
[1/2]=[0.5]=0

[a/2]≧[b/2]≧[c/2]…?@になる確率と[a/2]≦[b/2]≦[c/2]…?Aになる確率は等しいかつ?@,?A以外の事象として考えられるのは
[a/2]>[b/2]<[c/2]…?B
[a/2]<[b/2]>[c/2]…?C

?Bの場合[b/2]=0の時1≦[a/2]≦3,1≦[c/2]≦3を満たす時より5×1×5=25(2≦a≦6の5通り×b=1の1通り×2≦c≦6の5通り)

[b/2]=1の時2≦[a/2]≦3,2≦[c/2]≦3を満たす時より3×2×3=18(4≦a≦6の3通り×b=2or3の2通り×4≦c≦6の3通り)

[b/2]=2の時条件を満たすのは1×2×1=2

よって?Bの条件を満たす場合の数は2+18+25=45

?Cの条件を満たす確率は
[b/2]=3の時1≦a≦5,1≦c≦5より
5×1×5=25
以下同様に計算していくと?Cを満たす事象の場合の総数は
25+18+2=45

よって求める確率は{1-(45/6^3)}÷2…
答えが合いません。解説よろしくお願いします

No.85563 - 2023/06/11(Sun) 19:32:23

Re: / IT
[a/2]≧[b/2]≧[c/2]…?@になる
[a/2]≦[b/2]≦[c/2]…?Aになる
を同時に満たす場合の考慮漏れです。

すなわち、3つの値ががすべて等しくなる場合が18通りあります。

また、45/6^3は、何の確率ですか?

単に条件を満たす場合の
3,3,(3〜0)
3,2,(2〜0)
・・・
0,0,0
を数え上げた方が分かり易いかも知れませんね。

No.85564 - 2023/06/11(Sun) 21:19:45

Re: / あじさい
(誤)45/6^3→(正)(45×2)/6^3

もしも全ての場合を数え上げないとしたら(計算で解くとしたら)

[a/2]>[b/2]>[c/2]または[a/2]>[b/2]=[c/2]または[a/2]=[b/2]>[c/2]になる事象Aの確率をP(X)とすると

[a/2]<[b/2]<[c/2]または[a/2]<[b/2]=[c/2]または[a/2]=[b/2]<[c/2]になる事象Bの確率はP(X)と等しい

また事象A,事象B以外に起こりうる事象は
事象C [a/2]=[b/2]=[c/2] (確率18/6^3)
事象D [a/2]>[b/2]<[c/2] (確率45/6^3)
事象E [a/2]<[b/2]>[c/2] (確率45/6^3)
であり
求めたい確率は事象Aまたは事象Cなので
事象Aが起こる確率は
{1-(18-45×2)/6^3}÷2=1/4

よって(1/4)+(18/6^3)=1/3
でいいと思いますか

No.85567 - 2023/06/12(Mon) 16:04:11

Re: / IT
>事象Aが起こる確率は
> {1-(18-45×2)/6^3}÷2=1/4

入力ミスでは?

直せば合っていると思います。

これも 余事象の数え上げが必要なので、一方の解法が「数え上げ」で、他方が「計算」ということではないと思います。

No.85568 - 2023/06/12(Mon) 18:50:41
固有ベクトル / 大学生
固有値から固有ベクトルを求める問題です。
画像の黄色矢印の変換はどのようにしてますか?
詳しく書いていただけるとありがたいです

No.85558 - 2023/06/09(Fri) 03:39:47

Re: 固有ベクトル / ast
(定数倍の違いを除いて決まるから) x_1=1 なものをとっただけでは.
No.85559 - 2023/06/09(Fri) 08:49:06

Re: 固有ベクトル / ヨッシー
1つ目の丸は、左辺の行列を計算して、
両辺2で割ったものです。

2つ目の丸は、
 x2=ix1
 −x1=ix2
は、変数2つ、式2つですが、独立でないため、値は定まらず、
この2式を満たす1つの例として、
 (x1, x2)=(1, i)
があります。
 (i, −1) などでもOkです。

No.85560 - 2023/06/09(Fri) 08:50:18
平面ベクトル / 山田山
別解のアンダーラインを引いた部分が分かりません。解説お願いします。
No.85556 - 2023/06/08(Thu) 15:30:38

Re: 平面ベクトル / ヨッシー
APAM=AP・AMcos∠MAP
 AMcos∠MAP=AP なので、
APAM=AP^2 となります。

No.85557 - 2023/06/08(Thu) 17:00:07

Re: 平面ベクトル / 山田山
回答ありがとうございます。
No.85561 - 2023/06/10(Sat) 01:34:43
積分論 / 1…
積分論(測度論)に関する問題を教えてください。よろしくお願いします。
大問1はわかったので、2.3を教えてください。

No.85553 - 2023/06/08(Thu) 09:43:12

Re: 積分論 / IT
2 (1) 「有限加法族」の定義にしたがって確認すれば容易では?
No.85562 - 2023/06/11(Sun) 15:42:50
二項係数の積の和 part2 / ncr 高校三年生




m,nはとし
m,nは自然数として、

 C[m+k,n]*C[n+1,k]*(-1)^k
のk=0 から n までの和は
 C[m+n+1,n]*(-1)^n

になるらしいのですが、
これはどのように計算されるのでしょうか。

No.85550 - 2023/06/07(Wed) 23:33:22
部分積分 / 春から大学生
部分積分がこの形になるらしいのですが合っていますか?
どういう成り立ちですか?

No.85549 - 2023/06/07(Wed) 23:25:08

Re: 部分積分 / ヨッシー
合っています。

e^|(1/3)x^3} を微分すると、
 x2^・e^|(1/3)x^3}
なので、
 (左辺)=∫x[e^|(1/3)x^3}]’dx=・・・=(右辺)
となります。

No.85552 - 2023/06/08(Thu) 09:23:29
積分に関して / ラミッ
画像より、
n≧-1の時、
a(n)=(1/(2πi)?点[C]{g(z)}dzと
a(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k} 【※f(z)=tan(z)はk=1でり、res(g(z),π/2)なので、a(n)=(1/n+1!)lim_{z→c}(d/dz)^(n+1){g(z)}】
の二つの式のg(z)に関して、

z≠π/2の時g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)と定義できてもg(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)を含むa(n)の式の積分はできないと言われたのですが、なぜ積分出来ないのでしょうか?

No.85542 - 2023/06/07(Wed) 18:44:49

Re: 積分に関して / ラミッ
こちらは画像です。
No.85543 - 2023/06/07(Wed) 18:45:05

Re: 積分に関して / ラミッ
こちらが画像です。
No.85544 - 2023/06/07(Wed) 18:45:34

Re: 積分に関して / ラミッ
載せられていませんでした。
こちらが画像です。

No.85545 - 2023/06/07(Wed) 18:50:48
微分方程式 / 春から大学生
微分方程式を同次形で解くために画像のような変形をしました。
この後どのように解けばいいですか?
1番基本的な解き方がありがたいです。
詳しく教えてください。

No.85541 - 2023/06/07(Wed) 18:44:41

Re: 微分方程式 / X
ネットなどで検索していただければ分かりますが、
問題の微分方程式は同次形ではありません。
(添付写真二段目の式の右辺が
f(y/x)の形になっていません。)

No.85546 - 2023/06/07(Wed) 18:51:55

Re: 微分方程式 / 春から大学生
ほんとですね…
ありがとうございます。

No.85547 - 2023/06/07(Wed) 20:42:54

Re: 微分方程式 / 春から大学生
> ネットなどで検索していただければ分かりますが、
> 問題の微分方程式は同次形ではありません。
> (添付写真二段目の式の右辺が
> f(y/x)の形になっていません。)


これってなに形ですか?

No.85548 - 2023/06/07(Wed) 22:22:10

Re: 微分方程式 / GandB
非同次1階線形微分方程式。
 P(x)とQ(x) が既知の関数であるとき
  y' + P(x)y = Q(x)
で表せるタイプ。必ず解けるので
  y = e^(-∫P(x)dx)*( ∫e^(∫P(x)dx)*Q(x)dx + C )
という一般解の公式がある。
 微分方程式の参考書には定数変化法による解法が載っているはず。

No.85551 - 2023/06/08(Thu) 05:16:43

Re: 微分方程式 / 春から大学生
解けました。
いつもありがとうございます。

No.85554 - 2023/06/08(Thu) 11:18:21
比の計算の問題 / ラミッ
画像の計算のどこが間違っているかわかりません。

どうかどこが間違っているのかをわかりやすく教えて下さい。

No.85536 - 2023/06/07(Wed) 16:59:10

Re: 比の計算の問題 / X
280から80を引くのが間違っています。
1320に足した80も20%にしなければならないので
280から引くのは
80×20/100=16
です。

No.85538 - 2023/06/07(Wed) 17:15:59

Re: 比の計算の問題 / ラミッ
ありがとうございます。

80×20/100=16
です。
から1056を導くまでの過程の計算を教えていただけないでしょうか?良いでしょうか?

No.85539 - 2023/06/07(Wed) 18:40:35

Re: 比の計算の問題 / ヨッシー
一番下の行の
 280から80を引いて200
の 80 の部分を 16 に変えて、続きを書いてみましょう。

No.85540 - 2023/06/07(Wed) 18:43:04

Re: 比の計算の問題 / ラミッ
なるほど!
1320に足した80も20%にする必要があったのですね。

「280から80を引いて200」を
「280から16を引いて264」に修正。

1320を1400として、全体1400の20%は280であり、1320に足した80自体も20%にする。

80×20/100=16

全体1400の20%の280...?@と
全体に加えた80の20%の16...?Aより
計算しやするために付け足した?@,?Aのように計算した部分を取り除くために
80を付け足して作った全体1400から得た280
から全体1400に足した80の20%の16を引いて
280-16=264となる。


この264は全体に80を足した1400や
全体に足した80自体の?@,?Aの計算の要素を取り除いた数値である。
なので、全体に80を足す前の1320から264を引くと1056と導ける。

とわかりました。

ありがとうございます。

No.85555 - 2023/06/08(Thu) 14:03:52
複素解析 / マゼンタ
?@log e^(5+ (iπ/6))
?Ae^log(5+ (iπ/6))
?@の答えは5+i(π/6 +2nπ) (nは整数)
?Aの答えは5+ (iπ/6)
とのことでしたが、特に?Aが分かりませんでした。2nπはどうして要らないのでしょうか。?@,?Aそれぞれの解法をご教授ください。

No.85533 - 2023/06/06(Tue) 20:26:43

Re: 複素解析 / マゼンタ
文字化けする可能性のある文字で書いてしまったので、念のため再送。
1.log e^(5+ (iπ/6))
2.e^log(5+ (iπ/6))
1.の答えは5+i(π/6 +2nπ) (nは整数)
2.の答えは5+ (iπ/6)
とのことでしたが、特に1.が分かりませんでした。2nπはどうして要らないのでしょうか。1,2 それぞれの解法をご教授ください

No.85534 - 2023/06/06(Tue) 20:28:16

Re: 複素解析 / X
一般に複素数z≠0に対し
logz=log|z|+i{Arg[z]+2nπ}
(nは任意の整数,0≦Arg[z]<2π)
∴e^(logz)=|z|{e^{iArg[z]}}e^(i2nπ)
=|z|{e^{iArg[z]}}・1
=|z|{e^{iArg[z]}}

という理由で2.ではi2nπが消えています。

No.85537 - 2023/06/07(Wed) 17:12:53
(No Subject) / Aaron
こちらの積分計算お願いします。
No.85531 - 2023/06/05(Mon) 14:22:35

Re: / X
方針を。

(1)(2)
部分分数分解ですね。

(1)
(3x^2-8x-12)/{(3x+2)(x+2)^2}
=a/(x+2)+b/(x+2)^2+c/(3x+2)
と部分分数分解できるとして
定数a,b,cを決定しましょう。

(2)
(3x^2-4x+4)/{(x^2-4x+6)(x+1)}
=a(x-2)/(x^2-4x+6)+b/(x^2-4x+6)+c/(x+1)
と部分分数分解できるとして
定数a,b,cを決定しましょう。

(3)
ネットなどで次のキーワードを調べましょう。
二項積分

(4)
tan(x/2)=t
と置いて置換積分をする典型的な問題です。
解析学の教科書のどこかに例題が載っているはずですので
調べてみて下さい。

No.85532 - 2023/06/05(Mon) 19:00:12
線形代数 / 大学2年生
なぜこの問題のkは任意の実数なのですか?
任意定数でない理由を教えてください。
サイトによっては任意定数で示している場合もあります。

No.85528 - 2023/06/05(Mon) 11:18:11

Re: 線形代数 / ヨッシー
例えば、傾き2の直線を
 y=2x+k
と置くときこのkは定数です。
kを一旦固定しておいて、xを変化させ、yとの関係を見ます。
kが色々変わったのでは直線になりません。

点(1,2,3)を通り、ベクトル(1,3,−2)に平行な直線の式を
 x=k+1、y=3k+2、z=−2k+3
この場合は、kが色々変わることによって、直線を表すので、
定数ではありません。

ご質問の問題は、後者に近いですね。

No.85530 - 2023/06/05(Mon) 13:11:11
平面ベクトル / 山田山
(2)の意図が全く分かりません。なぜDEをBAで表しているのか、そしてなぜ四角のような範囲が取れるのか。
本来(1)をcを基点として図形を表しましたが(2)で詰まりました(単に数学力が無いからです)。出来ればなぜ(1)でB あるいはAを基数に取るのか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

No.85526 - 2023/06/04(Sun) 23:00:58

Re: 平面ベクトル / ヨッシー
点Bを起点にすることと、点Aを起点にすることには、優劣はありません。
点Aを起点にしても、同じように解けるはずです。
一方、点Cを起点にすると、右辺が k() のようになり、
厄介になるため、あまり良くありません。

(1) の解にあるように、点Dを通り、AB方向にABの長さの
(1+k)/6 倍進んだのがPですから、Pが△ABCの内部にあるということは、
Pが線分DE上(両端点は除く)にあるということです。
(1+k)/6=0のとき、点Pは点D上にあり、
(1+k)/6=1/2 のとき、点Pは点E上にあるので、
線分DE上なるのは、その間で、
 0<(1+k)/6<1/2
のときとなります。

No.85529 - 2023/06/05(Mon) 13:05:00
二項係数の積の和/高校3年 / ncr
m≦nを自然数として、二項係数の積
 C[n+i,n]*C[i,m]
の i=m から n までの和が
 C[2n+1,n+m+1]*C[n+m,m]

になりそうと予測したのですが、

これは正しいですか、またどのように示せますか。
「畳み込み」とかが使えそうでイマイチうまくいかないです。

No.85522 - 2023/06/03(Sat) 19:53:11

Re: 二項係数の積の和/高校3年 / m
正しい.

計算すれば m≦n に対して
C[n+i, n] * C[i, m] = C[n+i, n+m] * C[n+m, m]
がわかる.(興味があるなら多項係数とか:
n+i 人を n 人,m 人,i-m 人の 3 グループにに分ける方法として,
最初に n 人選んで残りから m 人選ぶ方法と,
最初に n+m 人を選んでその中からさらに m 人選ぶ方法がある.
これらの選び方の総数は一致するはずで,上の等式はその通りになってる.)

よって
Σ[i=m, ..., n] C[n+i, n+m] = C[2n+1, n+m+1]
を示せばよい.帰納法で示せると思う.今回は直接変形してみる.

C[p, p] = 1 なので
左辺 = 1 + {C[n+m+1, n+m] + C[n+m+2, n+m] + ... + C[2n, n+m]}
= C[n+m+1, n+m+1] + {C[n+m+1, n+m] + C[n+m+2, n+m] + ... + C[2n, n+m]}
= {C[n+m+1, n+m+1] + C[n+m+1, n+m]} + {C[n+m+2, n+m] + ... + C[2n, n+m]}
(公式 C[p, q+1] + C[p, q] = C[p+1, q+1] より)
左辺 = C[n+m+2, n+m+1] + {C[n+m+2, n+m] + ... + C[2n, n+m]}
繰り返して
左辺 = C[2n+1, n+m+1]
を得る.

No.85524 - 2023/06/04(Sun) 10:53:56

Re: 二項係数の積の和/高校3年 / ncr
mさま。ありがとうございます。
とても勉強になりました。

>C[n+i, n] * C[i, m] = C[n+i, n+m] * C[n+m, m]
の変形が大きなポイントでした。

ありがとうございました。

No.85525 - 2023/06/04(Sun) 15:01:50
線形代数 / 大学2年生
大学の線形代数ですが全く何をやっているかわかりません。
A2/A3、A1/A3をなぜ求めたのか、どのように求めたのか。
最後の答えはどのように求まったのか。
詳しい方教えてください。

No.85514 - 2023/06/02(Fri) 19:52:58

Re: 線形代数 / IT
私にもまったく何のために何をやっているのか分かりません。
問題と途中の式も書かれないと、回答しようがないと思います。
(何となく推測はできても)

No.85518 - 2023/06/03(Sat) 10:30:14
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