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(No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です
No.78274 - 2021/09/18(Sat) 00:50:52

Re: / 数学苦手
これは普通に4x=5aで代入しないと解けませんか?
No.78275 - 2021/09/18(Sat) 00:52:20

Re: / ヨッシー
殴り書きはダメって言われませんでしたっけ?
たとえば、下の右辺は何ですか?
 クムリ?

No.78282 - 2021/09/18(Sat) 12:19:10

Re: / 数学苦手
44=7ayですね
No.78286 - 2021/09/18(Sat) 15:16:23

Re: / ヨッシー
そこだけ判明しても、全部が読めるようになるわけではないのでねぇ。
No.78291 - 2021/09/18(Sat) 18:28:36

Re: / 数学苦手
すいません。自分で結構考えてから、汚すぎたので、、書き直して綺麗とは言えませんが見える程度に書いたつもりですがうーん…ダメですか…たしかにこれも汚いのは汚いですが…
No.78301 - 2021/09/18(Sat) 22:30:33

Re: / IT
横から失礼します。

「綺麗か汚いか」というよりも、後でその式だけを読んで、紛れなく読めるかが大切だと思います。

少なくとも、0やaは、閉じて#いないと、0やaと読めないと思います。
x(エックス)と×(掛ける)も、一部分かりません。(これはやむを得ないかも知れませんが)

#「閉じている」という意味は分かりますよね?

No.78308 - 2021/09/19(Sun) 10:36:03

Re: / 数学苦手
ちょっと今から私用なので、また後で、書き直します
No.78331 - 2021/09/20(Mon) 12:39:50
数lll / たろう
(1)y={xcos(x)}/sin(x)は0<x<πの範囲で単調減
少となることを証明せよ.
(2)1/π<x<πにおいて,f(x)=sin(x)·sin(1/x)が極大となるxの値を求めよ.
この2問が宿題で予習してこいとだされたのですが、今一解き方がわかりません。恐縮ですが、解法、解答教えていただきたいです。

No.78271 - 2021/09/18(Sat) 00:03:53

Re: 数lll / X
(1)
問題の関数から
y'={(cosx-xsinx)sinx-(xcosx)cosx}/(sinx)^2
={(1/2)sin2x-x}/(sinx)^2 (A)
ここで
g(x)=(1/2)sin2x-x
と置くと
g(0)=0 (B)
g'(x)=cos2x-1
∴0<x<πにおいてg'(x)<0
となるので(B)より
0<x<πにおいてg(x)<0
∴(A)から
0<x<πにおいてy'<0
となるので問題の命題は成立します。

No.78272 - 2021/09/18(Sat) 00:35:21

Re: 数lll / X
(2)
条件から
f(x)=f(1/x)
∴f'(x)=-(1/x^2)f'(1/x) (A)
(A)にx=1を代入して
f'(1)=0 (B)
ここで
1/x=X
と置くと
(A)から
f'(x)=-(1/x^2)f'(X) (A)'

1/π<x<1
のとき
1<X<π
(A)'から
f(x),f(X)が異符号、又は同時に0
に注意すると
1/π<x<1のときf'(x)>0
を示せば
f(x)はx=1においてのみ極大
となることが分かります。

さて
f'(x)=cosxsin(1/x)-(1/x^2)sinxcos(1/x)

(i)1/π<x≦2/πのとき
(1/x^2)sinxcos(1/x)≦0かつcosxsin(1/x)>0
∴f'(x)>0
(ii)2/π<x<1のとき
1<1/x<π/2
となるので
f'(x)>cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
=sin(x+1/x)+{(π/2)^2-1}sinxcos(1/x)
ここで
1<x+1/x<(π/2)^2+(2/π)^2
<1.6^2+1/1.6^2<2.56+1/2<π
∴f'(x)>0

ということでf(x)はx=1でのみ極大となります。

No.78278 - 2021/09/18(Sat) 09:35:42

Re: 数lll / たろう
(2)の解説において
> f'(x)>cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
=sin(x+1/x)+{(π/2)^2-1}sinxcos(1/x)
の式変形どのようにしたらこうなるのでしょうか。
お手数ですが教えていただきたいです。

No.78285 - 2021/09/18(Sat) 14:59:26

Re: 数lll / IT
X さんから 回答が未だなので、代わりにヒントを

sin(x+(1/x)) に加法定理を適用するとどうなりますか?

No.78298 - 2021/09/18(Sat) 20:19:12

Re: 数lll / X
>>たろうさんへ
ごめんなさい。
> f'(x)>cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
ですが、間違っていました。
1<1/x<π/2
より
-(π/2)^2<-1/x^2<-1
∴f'(x)>cosxsin(1/x)-{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
となります。
ですが、これでは
f'(x)>0
の証明には使えません。

但し、ここまでの前段階の
1/π<x<1のときf'(x)>0
が証明できれば、
f(x)がx=1でのみ極大
となることに変わりはありませんので
No.78278は参考として残しておきます。

ちなみに
y=sinxsin(1/x)(1/π≦x≦π)
のグラフは以下のリンク先にあります。
参考までに。
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=sinxsin%281%2Fx%29%281%2F%CF%80%E2%89%A6x%E2%89%A6%CF%80%29%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E3%82%92%E4%BD%9C%E6%88%90




>>ITさんへ
フォローして頂いて申し訳ないのですが
上記の通りですのでご容赦下さい。

No.78303 - 2021/09/18(Sat) 22:45:10

Re: 数lll / IT
(1)が使えるようですね。
No.78305 - 2021/09/19(Sun) 08:49:13

Re: 数lll / IT
f'(x)=cosxsin(1/x)-(1/x^2)sinxcos(1/x)

これにx/(sinxsin(1/x))(>0) を掛け、xcosx/sinx - (1/x)cos(1/x)/sin(1/x)=g(x) とおくと、
g(1)=0,

1<x<πで
 (1)よりxcosx/sinxは減少関数、(1/x)cos(1/x)/sin(1/x)は増加関数
 よってg(x)は減少関数
 ∴g(x)<0,∴f'(x)<0
よってf(x)は減少関数.

No.78306 - 2021/09/19(Sun) 09:04:01

Re: 数lll / IT
1/π<x< 1 について
 xが増加すると,
  1/x は1<1/x<πであり 減少する。
  f(x)=f(1/x)なので、前記より f(x) は増加する。

したがって、1/π<x<πにおいてf(x) が極大となるのは x=1 のときのみ。

No.78307 - 2021/09/19(Sun) 10:20:54

Re: 数lll / たろう
XさんITさん、お二人とも本当に丁寧に対応していただき、ありがとうございます。本当に助かります。
No.78319 - 2021/09/20(Mon) 08:55:09
(No Subject) / 高校太郎
x^11の虚数解の一つをhとする
h+h^3+h~4+h^5+h^9の値を求めよという問題が分かりません。
調べたらガウス和が関係しているようですが、高校生の私には理解はできませんでした。簡単な解き方などがあれば教えていただきたいです

No.78260 - 2021/09/17(Fri) 17:30:32

Re: / 高校太郎
誤字がありました h^4です
No.78261 - 2021/09/17(Fri) 17:31:24

Re: / らすかる
「x^11の虚数解」が「x^11=1の虚数解」という意味の場合
a=h+h^3+h^4+h^5+h^9
b=h^2+h^6+h^7+h^8+h^10
とおくと
a+b=-1
ab=(h+h^3+h^4+h^5+h^9)(h^2+h^6+h^7+h^8+h^10)
=h^3+h^5+h^6+2h^7+h^8+2h^9+2h^10+5h^11+2h^12+2h^13+h^14+2h^15+h^16+h^17+h^19
=h^3+h^5+h^6+2h^7+h^8+2h^9+2h^10+5+2h+2h^2+h^3+2h^4+h^5+h^6+h^8
=2(h+h^2+h^3+h^4+h^5+h^6+h^7+h^8+h^9+h^10)+5
=3
よってa,bはt^2+t+3=0の2解すなわちt=(-1±i√11)/2
虚数部の正負を考えてa=(-1+i√11)/2,b=(-1-i√11)/2なので
h+h^3+h^4+h^5+h^9=(-1+i√11)/2

No.78264 - 2021/09/17(Fri) 18:58:23

Re: / IT
横から失礼します。
らすかるさん

a+b=-1 は思いついても、ab を計算するのは思いつきませんでした!!

ところで「虚数部の正負を考えて」のところをもう少し詳しく教えていただけませんか? どちらかに定まらない気がするのですが?

No.78265 - 2021/09/17(Fri) 19:14:21

Re: / らすかる
失礼しました。定まらないですね。
頭の中で勝手にh=cos(2π/11)+isin(2π/11)と決めつけていました。
hがその共役複素数ならば当然虚数部が反転しますので、
(-1±i√11)/2の両方ともあり得ますね。

No.78267 - 2021/09/17(Fri) 19:27:15

Re: / 高校太郎
こんなに早く回答が返ってくるとは思いませんでした。
皆様、ありがとうございます...

すごい発想力ですね、もう驚きしかないです。
おかげさまでよく理解ができました。
ガウス和もはやく理解できるように頑張ろうと思います!
改めて、回答ありがとうございました。

No.78269 - 2021/09/17(Fri) 21:05:22

Re: / 黄桃
もう見てないでしょうが、せっかくガウス和のことを調べているようなので、参考までに、この例について書き下しておきます。

x[n]=0 (nが11で0), =1 (nが法11で0でない平方剰余), =-1 (nが法11の平方非剰余) 
とおくと、整数a,bについて、
x[ab]=x[a]*x[b]
がいえます(ディリクレ指標の例)。
具体的には、
x[n]=1 ⇔ n≡1,3,4,5,9 mod 11
x[n]=-1 ⇔ n≡2,6,7,8,10 mod 11
となっています(x[ab]=x[a]x[b]を満たすことだけが必要なのでそれを確認してください)。
なお、x[-1]=x[10]=-1 です。

y=e^(2πi/11) とおき、h=z=y^r の場合を考えます。

S=x[1]z+x[2]z^2+...+x[10]z^10 とおけば、
S~=(x[1]z+x[2]z^2+...+x[10]z^10)~ (~は共役)
=(x[-10]z^(-10)+x[-9]z^(-9)+...+x[-1]z^(-1))~
=x[-10]*z^10+x[-9]*z^9+..+x[-1]*z (x[*]は実数, (z^(-k))~=z^k)
=x[-1](x[10]*z^10+...+x[1]*z) (x[-a]=x[-1]x[a])
=-S

したがって、Sは純虚数。

一般的な定理により |S|=√11 が言えます。今回の場合にその証明を書き下せば以下のようになります。
らすかるさんがabを計算している部分に対応すると思います。

SS~
=(x[1]z+...+x[10]z^10)(x[1]z^(-1)+...+x[10]z^(-10))
=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] y^(r(k1-k2))
ここで、rを1,2,...,10 に渡って動かして辺々加えると
10*SS~=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] Σ_[r=1,10] y^(r(k1-k2))
となります。さらに、r=0に相当する式すなわち、
0=(x[1]+x[2]+...+x[10])*(x[1]+...+x[10])
を加えてもいいから、
10*SS~=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] Σ_[r=0,10] y^(r(k1-k2))
がいえます。
Σ_[r=0,10] y^(r(k1-k2))
の部分は k1=k2 の時だけ 11, そうでなければ(すべての1の11乗根の和で)0 になるので、
10*SS~=11*(x[1]^2+...+x[10]^2)=11*10
です。

したがって、S=i√11 または -i√11

求める和を X とし、Y=x[2]*z^2+x[6]*z^6+x[7]*z^7+x[8]*z^8+x[10]*z^10 とすれば、
(らすかるさんの記号で X=a, Y=-b)
S=X+Y =±i√11
X-Y=-1 だから、
X=(-1±i√11)/2

となります。

No.78283 - 2021/09/18(Sat) 13:12:41

Re: / 高校太郎
貴桃さん

丁寧な解説有難うございます。らすかる さんの解答を照らし合わせた解説、分かりやすかったです。なんとなく概念はつかめたような気がします(笑)。くどいですが、ありがとうございます

No.78323 - 2021/09/20(Mon) 10:24:23
複素数の軌跡 / せりあ
w=(1+z)/(1+z^2)とする。複素数zが複素数平面上の単位円のうち虚部が正の部分(z≠i)を動くとき、wの描く軌跡をもとめよ。

初手が分かりませんでした。zを極形式θで表すのもzについて解くのも行き詰まってしまって...
どのように進めると良いのでしょうか?よろしくお願いします。

No.78249 - 2021/09/17(Fri) 01:41:33

Re: 複素数の軌跡 / m
z = cosθ + i sinθ と表して w=(1+z)/(1+z^2) に代入.
w の実部を x, 虚部を y として x, y を θで表す.

整理すると
x = 1/2 + 1/(2cosθ), y = -(tanθ)/2
となる.

// この式からθを削除し,x と y の関係を見つけたい.
// cos と tan を関係づける式は?

1/(cosθ)^2 - (tanθ)^2 = 1 だから x, y は
(2x-1)^2 - (2y)^2 = 1
を満たす.よって,求める軌跡はこの双曲線の一部である.

双曲線を図示した後で,θの動く範囲 0<θ<π/2, π/2<θ<π それぞれについて 1/cosθ と tanθの動く範囲(特に符号)に注意してwの軌跡を決定する.

答え確認用の図実線部が求めるもの

No.78252 - 2021/09/17(Fri) 04:21:54

Re: 複素数の軌跡 / せりあ
双曲線が頭の中から抜けてました...
ありがとうございます!

No.78268 - 2021/09/17(Fri) 21:03:02
(No Subject) / コスモス
1からmまでの異なる数字の書かれたm枚のカードをn組に分ける方法をfn(m)通りとする。ただしm≧n≧1とし各組には少なくとも1枚のカードが含まれてるとする。

(1)m≧2を満たすすべての自然数mについてf2(m)={ウ^(m-1)}−エが成り立つ。これよりf2(m)≧2021となる最小のmはオカである。

(2)m≧3を満たすすべての自然数mについて
f3(m)=コ/サ[シ^(m-1)−(ス^m)+1]が成り立つ。これよりf3(m)≧2021となる最小のmはセである。

全然わかりません。模範解答よろしくお願いします

No.78246 - 2021/09/17(Fri) 00:24:09

Re: / けんけんぱ
f2(m)はどういうものか、言葉で説明してみてください。
No.78258 - 2021/09/17(Fri) 13:40:43
非等速円運動 / わをん
先程質問した者ですが、束縛条件はもしかしてこの問題にはないですが、非等速運動するなどがその例ですが?
もし、そうでなければ何故等速円運動と分かるのですか?
非等速運動じゃないと実際、力•エ•保も成り立たないので、せめて、Cまで非等速運動したなど書いたらいいのに

No.78245 - 2021/09/17(Fri) 00:20:29

Re: 非等速円運動 / 関数電卓
> 束縛条件はもしかしてこの問題にはないですが、
「小球が円周上を動く」が 束縛 です。
> 力•エ•保
“力学的エネルギー保存則” のことですね。小球には重力の他に円弧面からの垂直抗力(拘束力)もはたらくのですが,なぜ “エネ保存” が成り立つのか説明できますか?
> せめて、Cまで非等速運動したなど書いたらいいのに
“エネ保存” 下での鉛直面内での運動なので,「非等速」が自明だからでしょう。

No.78255 - 2021/09/17(Fri) 12:33:25

Re: 非等速円運動 / わをん
すみません、質問の仕方が下手なのか、よくわかりませんでした。
例えば、θ=30°の所を普通の斜面を駆け上がる物体と見るのか、非等速円運動と見るのかで、垂直抗力の大きさは変わりませんか?
他の問題集でも、円運動する的なことはあまり書かれていた覚えがないので、どうして円運動しているとわかるのか教えてください。

No.78259 - 2021/09/17(Fri) 16:10:53

Re: 非等速円運動 / 関数電卓
> どうして円運動しているとわかるのか
問題文に
「B から C までは点 O を中心とする半径 R の滑らかな円弧であり…」
とある以上,
 小球が(少なくとも O の高さまでは)円弧上に束縛されている
ことは,暗黙の了解ごとです。そう言うものだと思って下さい。O の高さの上どこまで円運動するかは,v0 によって定まります。
この問題も図の下に小問があって,それを求めさせるようになっていませんか?
> θ=30°の所を普通の斜面を駆け上がる物体と見るのか、非等速円運動と見るのかで、垂直抗力の大きさは変わりませんか?
その通りですが,この問題では 紛れなく円運動 です。

No.78262 - 2021/09/17(Fri) 17:35:27
(No Subject) / 共通接線
円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ(できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)
No.78244 - 2021/09/17(Fri) 00:06:53

Re: / 編入受験生
> 円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ(できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)

一番簡単なやり方で解かせていただきます.
異なる半径の二つの円が共通接線を持つのは,
小さいほうの円が1点で大きい方の円に外接するときか内接するときのいずれかしかない.
外接するとき,二つの円の中心点間の距離が二つの円の半径の和に等しくなる。
問題の二つの円は中心点間の距離が√{(2√2)^2+1^2}=3,
半径の和が2+1=3で等しくなるからこの二つの円は外接の場合であることがわかる.
ゆえに,二つの円が接する点は,大きい方の円の中心(0,0)と小さい方の円の中心(2√2,1)を2:1に内分する点である.
これより, 接点の座標は(4√2/3,2/3)である.
次に,共通接線の方程式を求める.
円の接線は中心点を結ぶ直線に垂直だから,
垂直条件m×m'=-1を用いると,
m' = -/m = -2√2と接線は接点を通るから,
求める共通接線の方程式は,y = -2√2(x-4√2/3)+2/3
= -2√2x + 6.

おそらくこの方法は求められていないと思うのですが、
誰も解答していなかったの一応解答させていただきました。
少し計算は大変になるけれども、質問者さんが求められているような方程式を解くやり方はほかの方がしてくれるでしょう。

No.78248 - 2021/09/17(Fri) 01:33:17

Re: / らすかる
接点の座標を(a,b)とおくと接線はax+by=4でありa^2+b^2=4
2つ目の円の式を展開して両辺にa^2を掛け、ax=4-byによりxを消去して整理すると
(a^2+b^2)y^2+2{(2√2)ab-a^2-4b}y+8{a^2-(2√2)a+2}=0
接線であるためには判別式が0でなければならないので
D/4={(2√2)ab-a^2-4b}^2-8(a^2+b^2){a^2-(2√2)a+2}=0
整理して
{7a^2+(4√2)ab-(16√2)a-8b+16}a^2=0
a^2=0のときa=0、このときb=±2だがb=-2は不適
7a^2+(4√2)ab-(16√2)a-8b+16=0 … (1)
のとき
7a^2-8b+16=(4√2)(4-b)a
両辺を2乗し、a^2=4-b^2を代入してaを消去し整理すると
81b^4-144b^3-168b^2+320b-112=0
(b-2)(9b+14)(3b-2)^2=0
∴b=2,-14/9,2/3 … (2)
(1)から
7a^2-(16√2)a+16=4{2-(√2)a}b
両辺を2乗し、b^2=4-a^2を代入してbを消去し整理すると
81a^4-(288√2)a^3+672a^2-(256√2)a=0
a=c√2とおいて整理すると
81c^4-288c^3+336c^2-128c=0
c(9c-8)(3c-4)^2=0
c=0,8/9,4/3
∴a=0,8√2/9,4√2/3 … (3)
(2)(3)から
(a,b)=(0,2),(8√2/9,-14/9),(4√2/3,2/3)
これより共通接線の方程式は
y=2, y={(4√2)x-18}/7, y=(-2√2)x+6
の3本とわかる。

No.78250 - 2021/09/17(Fri) 02:19:21

Re: / 編入受験生
> 円x^2+y^2=4と円(x-2√2)^2+(y-1)^2=1の共通接線の方程式を求めよ(できれば円x^2+y^2=4の接線と円x^2+y^2=4との接点の座標を(a,b)とおく方法でお願いします)

ごめんなさい、共通接線の定義勘違いしていました。
私の解答は無視してください。

No.78251 - 2021/09/17(Fri) 02:44:49
化学 / Po
1mol/Lの水ってありますか?
No.78241 - 2021/09/16(Thu) 20:25:46
分数漸化式の質問 / ちびすけ
以下のような分数漸化式の解き方を教えてください。

分数型の漸化式は勉強しましたが、自分ではこの漸化式を解ける形に変形できませんでした。

No.78234 - 2021/09/16(Thu) 18:29:38

Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
冒頭の漸化式には,何か自然現象もしくは社会現象に由来する背景があるのでしょうか?
与式のままでは余りに一般的すぎて,私にはとても一般項は求められませんが,定数(β等)が数値で与えられ,初期値が与えられれば,(収束するならば)極限を探るヒントなどお伝え出来るかもしれません。

No.78254 - 2021/09/17(Fri) 11:50:15

Re: 分数漸化式の質問 / ちびすけ
返信ありがとうございます。

これは経済学からのインフレーションを説明するモデルの一つなんです。

取り合えず自分で色々理解しようと図解した物と、Desmosで実際に数値を入力したやつを張り付けておきます。
リンク↓
https://www.desmos.com/calculator/hn8gkj3dti

使っている記号が経済学的な物になっているので、混乱させてしまうかもしてません。
一応画像内に大体の説明は入れてみました。

よろしくお願いいたします

No.78256 - 2021/09/17(Fri) 12:53:12

Re: 分数漸化式の質問 / ちびすけ
解きたい式・元々投稿した式を、経済学的に書き直すと以下のようになります。

これをtの式にしたいんです。

お手数をおかけします。

No.78257 - 2021/09/17(Fri) 13:13:28

Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
リンク先は拝見しました。が,門外漢に理解できるものではありません。
(私に出来る範囲で)
与式 …(1) は
 a[n]−ε=b[n]
と置くと
 b[n+1]=pb[n]+q/b[n]+r …(2)
の形に変形できます。p,q,r は β〜ε からなる面倒なものです。時間がありましたらご確認下さい。
(2)式の方が,b[n] の振る舞いの本質に迫りやすい形です。
以降「迫る」方法を明日夜に書きますので,その間お気づきのことがありましたらお書き下さい。

No.78270 - 2021/09/17(Fri) 23:54:46

Re: 分数漸化式の質問 / 関数電卓
上で(2)のように書きましたが,私がグラフ作成に用いているソフト grapes の仕様に合わせて,改めて

与式 …(1) は
 a[n+1]=a(a[n]−d)+b/(a[n]−d)+c …(2)
の形に変形できます。a,b,c,d は β〜εにより定まる定数です。(2)に対し
 y=a(x−d)+b/(x−d)+c …(3)
を定め,一例として図中のように a〜d を定めると(3)のグラフは図のようになります。
初期値 a[1] を図のように定めると,漸化式(2)で定まる後々の値は,図のように(3)と y=x の間を階段状に変化していきます。
これは各項の値の変化を2次元的にイメージする方法ですが,数値だけで良ければ,Excel で計算するだけで済みます。ただ,パラメータ a〜d を微妙に変化させたときの(3)の変化をすぐ見ることは大変有効かと思い,書かせていただきました。お役に立たなかった場合には,悪しからず。
 

No.78302 - 2021/09/18(Sat) 22:35:53
ガウスの法則 高校物理 / がざみ
一枚目はなぜ電気力線が導線の両端からは出ないのか?導体であるから、帯電していたら、電荷は表面上にあり、なので、面積は円柱上ではなくはなく半径rの球を二等分したものの中心を両端につけた錠剤のカプセル型だと思いました。

二枚目はE={8πk(0)Q}/Sに何故ならないのか?極板Aからも極板Bからも4πk(0)Q本の電気力線が出ているので、極板間は計8πk(0)Q本の電気力線が存在すると思いました。

なるべくわかりやすくお願いします!!

No.78232 - 2021/09/16(Thu) 18:26:10

Re: ガウスの法則 高校物理 / がざみ
2枚目です。
No.78233 - 2021/09/16(Thu) 18:28:06

Re: ガウスの法則 高校物理 / X
一つ目の質問)
問題文の冒頭の部分をもう一度読んでみてください。

真空中〜伸びた「十分に長い」導線を〜

とありますよね。
問題は「」で囲んだ部分です。
これは
導線の長さはこれが無限の場合と同じ性質であるとする
=導線の両端については考えないことにする
という意味です。

No.78237 - 2021/09/16(Thu) 18:45:46

Re: ガウスの法則 高校物理 / X
二つ目の質問)
極板Aの電荷から出た電気力線が極板Bの電荷に吸い込まれるわけ
ですので、電気力線の本数は片方(例えば極板A)から出ている
4πk[0]Q
で正解です。

No.78238 - 2021/09/16(Thu) 18:48:31

Re: ガウスの法則 高校物理 / 編入受験生
一つ目の問いについての解答。
電気力線はもちろん両端からもでます.
仮に十分に長いまっすぐ伸びた導線の長さをLとします.
導線上のすべての点の電場の向きは、クーロンの法則から
導線の方向を向いている.
だから導線の端点にもし微小な正電荷をおけば、その端点からは電気力線が導線を延長するように出ている。


しかし,例えば10kmの導線の中点+-数ミリの間の電場を考えるときに,銅線の長さはどのようにいえるでしょうか?
10kmの導線から考えれば、中点も中点+数ミリも同じ位置にあるといえるほど僅かな差でしかありません。だからそのような状況では、導線は無限に長くて電場を考えるときは,その点の垂線は導線の中点で交わると考えてよい。
この仮定はすなわち、考える点よりも上側の導線が作る電場と下側の導線が作る電場の導線方向の電場は向きが逆で大きさが同じになるということです。それは、クーロンの法則から実際に計算してみればわかります.
だから、足しわせると相殺されて導線方向には電場は存在しません.そのために円柱面で導線を覆えば,電場は必ず底面に平行になって,その部分での電気力線の本数は0になります.
電気力線の本数は∫E・dSで求められることは習いましたか?
ここで、Eは電場でdSは面に対して垂直なベクトルです.
・は内積を表し,つまりEが面に平行ならばEとdSは垂直になるので,E・dS=0となって電気力戦の本数は0になります.
したがって、底面は無視して側面だけの電気力戦の本数を数えればいいことになるのです.

現実には実際の導線はすべて有限の長さですから,どのくらいの誤差を許容できるかという議論を踏まえたうえで、適応できる差(中点からどのくらいの長さまで許容できるか)を考えることになります。
そしてそのような状況でしかガウスの法則は適用できないことがわかっています。
ですから、導線の端まで考えてガウスの法則から電場を求めることはできません(対称性がなく上記のような議論ができないから)。
また、ガウスの法則は閉じた曲面を貫く電気力戦の本数がその閉曲面の内部の電荷の総和に等しいということを言っているだけで、閉曲面の形はなんでもいいので、円柱でもカプセル型でも、自分のわかりやすいようにすればいいと思う。
ただし上記の議論ではカプセル型の曲面では求められない.

最後に、物理を理解する上で心がけるべきこととして、
物理学で学ぶ理論は現実には適用できない理想化された場合が多い。現実にはありえないいろんな仮定を設けて現象を簡単にして理論的に説明しようとする。
それが物理学の根幹であって、どのような仮定をおいてどのような理想化された状況を考えているのかを読み解かないと、答えを出すことはできない。

No.78240 - 2021/09/16(Thu) 20:06:25

Re: ガウスの法則 高校物理 / がさみ
一枚目は分かりました。解釈が大事なのですね。ありがとうございます。2枚目はもうそう解釈するしかないと言う奴ですね。
No.78242 - 2021/09/16(Thu) 20:43:06

Re: ガウスの法則 高校物理 / 編入受験生
> 一枚目は分かりました。解釈が大事なのですね。ありがとうございます。2枚目はもうそう解釈するしかないと言う奴ですね。

すみません、気分で1枚目しか答えませんでした。
2枚目についての解答。

電気力線っていうのはごまかしてるにすぎません。
そうやって考えると都合がいいというだけで、
電気力線ですべてを説明できるわけではないということをまず言っておきます。
そのうえで、電気力線の定義は電場のある空間に電荷量1の点電荷をおいて、その電荷に外力を加えてゆっくり動かしたときの軌跡です。
電場中に電荷をおけばもちろん電場から力を受けるから、動きます。しかし、何かしら力を加えるなりして加速度が極めて小さくなるように補正して、電荷を動かすとその電荷の軌道が電気力線になるということです。
つまり、簡単に言えば電気力線とは電場ベクトルを各点で足し合わせたものです。
ここで、がさみさんが誤解していることは、
電気力戦の本数は、単に電荷をもった各々の物体が作り出す電気力戦の本数の和ではないということです。
なぜなら、空間に作られる電場は必ず一つしかありません。
それぞれの物体が作り出す電場があるからといって、それぞれの電場が空間にあるわけではないです。それらは足しあわされて一つの電場として空間に存在します。
ですから、そもそも極板Aが作る電気力線の本数+極板Bが作る電気力戦の本数のような単純な足し合わせはできません。
では、どうやって求めるのかというとガウスの法則に忠実に求めればいい。
実はガウスの法則から、ある閉じた曲面上を貫く電気力線の本数はその閉曲面内部の電荷量のみに依存するということがわかる。
外部にどれだけ、電荷があってもそれらは無意味です。

実際に、電場Eをガウスの法則から求めてみます。
まず極板Aと同じ面積Sをもつ長方体で極板Aを含み板Bを含まないように囲むとき,
電場の向きは常に板に垂直だから側面の電気力線の本数は0,
板Aと板Bの間にない方の面(上面)は、電場がそもそも存在しないので、板Aと板Bの間の電場をEとすると、その底面での電気力線の本数は定義からE×Sで、長方体内部には板Aの電荷量4πkQがあるから、これらはガウスの法則より等しいので,
E = 4πkQ/Sとなる.
∴ 板Aと板Bの間の電場は板Bに向かう向きで大きさは4πkQ/S.
少し補足すると,Eが極板Aに垂直になるということと
板Aより上側の部分で電場が0になるということはガウスの法則からは求めることができません。
それは実際にクーロンの法則から電場を計算しなければわからないことです。
そして、また極板間の距離は面積Sに比べると極めて小さいという仮定もなければ上記は成り立ちません。
結論からいうと、極板の面の中心付近であって面積に対して十分小さい高さの位置にある電場は面に垂直で高さによらないということは、クーロンの法則から計算して初めてわかり、そしてそれを用いなければ厳密な意味でガウスの法則から電場を導出することはできないということです。
ですから、ガウスの法則だけを用いて電場を導出することはほとんどの場合で不可能だと思ってください。
だからこそ、教科書だと上のようなごまかした表現になってしまいます。
ただし、極板によって生じる電場は極板間の間だけで、
また板の面に対して垂直になるということをわかっていれば、ガウスの法則から求めることはできます。
あと、この教科書の説明には極板間の距離が面積Sに対して十分小さいという仮定が与えられていないので、よろしくないです。
最後に、蛇足ですが物理は理解しようと思うとどうしても微分積分の知識が必要になってくる、もっと欲を言えばベクトル解析。しかし、それだと時間がかかるのでやはり参考書の解法を暗記しまくるほうがいいとも思います。
教科書レベルの理解だと、何十枚もの極板が作る電場とかに対応できないはずです。難関大はそのレベルの問題は出してきますので。以上、蛇足でした。

No.78273 - 2021/09/18(Sat) 00:41:05
二次放物線の弧の長さについて / 寝屋川のポチャッコ
二次放物線のy=ax^2の弧の長さについてn>=x>=mについての計算方法を教えてください。
積分を使うそうなので、積分した後の数値を教えてください。
できれば、数学特有の特殊記号を使わない形式に指揮を変形できませんか。

No.78231 - 2021/09/16(Thu) 18:26:05

Re: 二次放物線の弧の長さについて / ヨッシー
こちらの中ほどにある Lp,a は、
y=px^2 の 0≦x≦a の範囲の長さです。
その下に、1≦x≦2 の出し方もあるので、それを応用すれば
m≦x≦n の場合も求められます。

でも、√ や log は、数学特有の特殊記号なのでダメですね。

No.78235 - 2021/09/16(Thu) 18:38:27

Re: 二次放物線の弧の長さについて / 寝屋川のポチャッコ
少し質問と違うのですが、別に√やlogぐらいでしたらかまいません。
Excelで計算できたらいいのです。

No.78236 - 2021/09/16(Thu) 18:41:24
四面体の体積 / 生ハム受験生
O(0,0,0)A(6,0,2)B(6,0,-3)P(5,√5,0)の立体の体積の簡単な求め方を教えてください
No.78227 - 2021/09/16(Thu) 10:23:46

Re: 四面体の体積 / ヨッシー
頂点の座標が、O,A,B,Pである、四面体の体積
ですね。

O,A,Bともにy座標が0なので、△OABはzx平面上にあります。
よって、これを底面として面積を求めます。
Pまでの距離(高さ)は√5なので、
 △OABの面積に√5を掛けて3で割ります。

No.78228 - 2021/09/16(Thu) 10:33:47

Re: 四面体の体積 / 生ハム受験生
5√5になりました!
No.78229 - 2021/09/16(Thu) 11:03:22

Re: 四面体の体積 / ヨッシー
正解です。
No.78230 - 2021/09/16(Thu) 11:20:47
分からない / nya
(1)〜(4)まで全てお願いします。
No.78220 - 2021/09/15(Wed) 22:57:24

Re: 分からない / X
(1)
条件から求める道のりは
2x-(12+11+10)×(20/60)
=2x-11[km]

(2)
まずAのゴールまでにかかった時間は
x/12+x/10=11x/60[時間]
次にBのゴールまでにかかった時間は
(1)の結果から
(2x-11)/9+(20/60)×3
=(2x-2)/9[時間]

(3)
(2)の結果からxについて
11x/60=(2x-2)/9
これを解いて
x=40/7

(4)
スタートしてからt時間後にBがAを追い越したとします。
条件からBはコースを一周する前に速度が落ちますので
BがAを抜かすときのA,Bの速さはそれぞれ
10[km/時]、11[km/時]
このことに注意すると
まずAが走る距離は(3)の結果から
40/7+10{t-(40/7)/12}[km] (A)
次にBが走る距離は
12×(20/60)+11(t-20/60)[km] (B)
(A)(B)が等しいので
40/7+10{t-(40/7)/12}=12×(20/60)+11(t-20/60) (C)
これを解きます。
(C)より
40/7+10(t-10/21)=4+11(t-1/3)
t=40/7-100/21-4+11/3
=97/21-4
=13/21 (D)
ということで13/21時間後となります。

ちなみにAが最初の1周をするまでにかかる時間は
(3)の結果から
(40/7)/12=10/21[時間]
ですので(D)より小さい値となり、題意を満たします。

No.78239 - 2021/09/16(Thu) 19:48:51

Re: 分からない / nya
ありがとうございます😭
分かりました!
丁寧にありがとうございました

No.78243 - 2021/09/16(Thu) 23:31:00
(No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です
No.78217 - 2021/09/15(Wed) 22:45:05

Re: / 数学苦手
このようにkmをmに直して頑張ってみましたがここから先、どのように解けば良いか分からなくなりました。
No.78219 - 2021/09/15(Wed) 22:47:10

Re: / 関数電卓
問題文に「コースを 往復するのに」とあるので,A, B の速さはお書きのものの2倍です。
追いつくまでの時間 52.5 分は OK です。
このとき,追いつくまでに B が走った距離は
 360(m/分)×52.5(分)=18,900(m)=18.9(km)
それは,折り返し地点より…

No.78221 - 2021/09/15(Wed) 23:20:36

Re: / 数学苦手
18.9-12.6でしょうか?
No.78223 - 2021/09/16(Thu) 00:25:44

Re: / 数学苦手
9450っていうのが頭から離れなくて分かりませんでした
No.78224 - 2021/09/16(Thu) 00:30:04
数学B 漸化式 / 高2
a(n+1)=a(n)^2-2 a(1)=2 a(n)の一般項を求めよ

という問題をYouTube で見つけたのですが、そこではいきなり

a(n)=β^(2^n)+β^(2^n) ・・・?@

とおいたら、 a(n+1)=a(n)^2-2 が成り立つと説明していたのですが、一体どういった思考を経て?@の式が思いつくのでしょうか。

No.78214 - 2021/09/15(Wed) 22:30:44

Re: 数学B 漸化式 / 高2
すみません、

a(n)=β^(2^n)+1/β^(2^n)

の誤りです。

No.78215 - 2021/09/15(Wed) 22:33:30

Re: 数学B 漸化式 / IT
a(n+1)=a(n)^2-2、 a(1)=2 なら
a(2)=a(1)^2-2=2=a(1) なので、任意の自然数nについて a(n)=a(1)=2 では?

漸化式が違いますか?

No.78222 - 2021/09/15(Wed) 23:25:58

Re: 数学B 漸化式 / 高2
すいません、a(1)=3です。
度々すいません。

No.78225 - 2021/09/16(Thu) 01:31:48

Re: 数学B 漸化式 / IT
a(n+1)=a(n)^2 なら a(n)=α^(2^n) の形なので

この問題の場合は、a(n)=α^(2^n)+b(n) とおくと

a(n+1)=α^(2^(n+1))+b(n+1) =a(n)^2-2= (α^(2^n)+b(n) )^2 - 2
=α^(2^(n+1))+2(α^(2^n))b(n)+b(n)^2-2

∴ b(n+1)=b(n)^2+2(α^(2^n))b(n)-2
 ここで (α^(2^n))b(n)=1 とすれば、b(n+1)=b(n)^2
 ちょうどうまくいく。

No.78226 - 2021/09/16(Thu) 02:09:35
数3 1の5乗根について / 浪人生
「1の5乗根を1,α1,α2,α3,α4とするとき
R=1/(1-α1)+1/(1-α1)+1/(1-α1)+1/(1-α1)
の値を求めよ.」

P=(2-α1)(2-α2)(2-α3)(2-α4)=31
Q=(1-α1)(1-α2)(1-α3)(1-α4)=5
を使いそうなのですが,どのようにRを求めたらいいのかがわかりません.Rの式を通分すると分母にQが来ることはわかるのですが,分子をどのように処理したらいいかわかりません.よろしくお願いします.

No.78203 - 2021/09/15(Wed) 17:10:27

Re: 数3 1の5乗根について / ヨッシー
R=1/(1-α1)+1/(1-α2)+1/(1-α3)+1/(1-α4)
の誤りでしょうね。コピペしっぱなし?

さて、簡単のために
 R=1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)+1/(1-d)
と書いて、通分してゴリゴリ計算すると
 R={(1-a)(1-b)(1-c)+(1-b)(1-c)(1-d)+(1-c)(1-d)(1-a)+(1-d)(1-a)(1-b)}/Q
 ={(1-a-b-c+ab+bc+ca-abc)+(1-b-c-d+bc+cd+db-bcd)+(1-c-d-a+cd+da+ac-cda)+(1-d-a-b+da+ab+bd-dab)}/Q
 ={4-3(a+b+c+d)+2(ab+bc+cd+da+ac+bd)-(abc+bcd+cda+dab)}/Q ・・・(i)
ここで、1,a,b,c,d は x^5=1 の解であり、
 x^5−1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
なので、
 (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=x^4+x^3+x^2+x+1  ・・・(ii)
解と係数の関係より(左辺を展開して係数比較してもよい)
 a+b+c+d=-1, ab+bc+cd+da+ac+bd=1, abc+bcd+cda+dab=-1
また、(ii) に x=1 を代入すると確かに Q=5 となります。
これらを(i) に代入して、
 R=(4+3+2+1)/5 = 2
となります。

No.78205 - 2021/09/15(Wed) 17:32:58

Re: 数3 1の5乗根について / 浪人生
解と係数の関係を使う発想が出ませんでした... ありがとうございます、助かりました! 
No.78206 - 2021/09/15(Wed) 17:53:28

Re: 数3 1の5乗根について / らすかる
x^5-1=0の解がα1〜α5なので
(1-x)^5-1=0の解が1-α1〜1-α5
(1-1/x)^5-1=0の解が1/(1-α1)〜1/(1-α5)
(1-1/x)^5-1=0の両辺にx^5を掛けて展開し整理すると
x^4-2x^3+2x^2-x+1/5=0
解と係数の関係から3次の係数が-(解の和)なので、Rは2

No.78216 - 2021/09/15(Wed) 22:33:45
高校物理 力学 / わをん
滑り出す時(滑り始める時)と傾き出す時(傾き始める時)はどう言った状態なんですか?
なるべく多くの方に回答してもらいたい!

No.78191 - 2021/09/14(Tue) 19:22:22

Re: 高校物理 力学 / わをん
また、__( )の__と( )が同義でしょうか?
No.78192 - 2021/09/14(Tue) 19:25:16

Re: 高校物理 力学 / 高校三年生
物理的には、外力の釣り合いが取れていない物体の重心速度と自転角速度が0の瞬間じゃないかと・・・。
「滑る」と「傾く」は同義ではないと思うけど。
前者は併進運動に限る現象で、後者は回転運動も伴う現象かと。

No.78193 - 2021/09/14(Tue) 21:26:49

Re: 高校物理 力学 / 関数電卓
> 滑り出す時(滑り始める時)と傾き出す時(傾き始める時)はどう言った状態なんですか?
下図のように直方体物体の左上に を加えたとき,細線の状態が 太線 の状態になったとすると,
 左側 (A) が 滑り出す
 右側 (B) が 傾き出す
です。
> __( )の__と( )が同義でしょうか?
「出す」と「始める」は同義です。

No.78194 - 2021/09/14(Tue) 21:34:08

Re: 高校物理 力学 / わをん
高校物理に限らず、物理は 問題設定あっての特有の問い があるので、抽象的な質問はどうかと思いましたが、〜し出すや〜し始めるは〜している状態なのですね。ありがとうございます♪
No.78196 - 2021/09/14(Tue) 21:54:26

Re: 高校物理 力学 / わをん
すいません、追加で質問なのですが、
滑らかな床に斜面上が滑らかな三角形の物体を置き、その物体の斜面の上から、物体を滑らせようとする
このような場面設定で、必ず前者の物体と後者の物体は逆方向に移動しませんか?よくわかりませんが、束縛条件やら云々が何故つくのでしょうか? 剛体として見る?とちゃんと滑るのでしょうか?

あと、写真の水平方向で運動量保存則がなりたつのはなぜですか?(台は質量M、Pは質量m、床、斜面 摩擦なし)結果的に外力がないと取れるのはなんとなくわかりますが、明らかに曲面の接線方向にmg×?があまり、外力がないと取れないと思いました。
ただ、mgを分解しないで鉛直方向と捉え、水平方向は外力がないと取れると考えるだけですか?

No.78198 - 2021/09/15(Wed) 01:02:14

Re: 高校物理 力学 / IT
> 滑らかな床に斜面上が滑らかな三角形の物体を置き、その物体の斜面の上から、物体を滑らせようとする

「滑らか」→摩擦はなし。ということでしょうか?
「置き」→そっと(あいまいですが)置くということでしょうか?
「滑らせようとする」→重力(とお互いの抗力)以外の力は、働かない(例えば置いた手を放すだけ)のでしょうか? あるいは、斜め下に重力以外の力を加え続けるのでしょう
か?

図を描いて、2つの物体それぞれに働く力を考えれば良いのでは?

No.78199 - 2021/09/15(Wed) 07:34:11

Re: 高校物理 力学 / 関数電卓
> 必ず前者の物体と後者の物体は逆方向に移動しませんか?
その通りです。
> 束縛条件やら云々が何故つくのでしょうか?
前者の物体を「台」,後者の物体を「小物体」と呼ぶことにします。小物体は台上を動くので,台に 束縛(拘束)されています。
台の水平右向きの加速度を A とします。台とともに加速度運動をする観測者からみると,小物体には,水平方向左向きに 慣性力 mA がはたらきます。これと重力の斜面方向の成分とから,小物体の斜面方向の加速度 a が求まります。

No.78200 - 2021/09/15(Wed) 09:45:34

Re: 高校物理 力学 / 関数電卓
(後半)
> 結果的に外力がないと取れるのはなんとなくわかりますが、
台から小物体への,小物体から台への,それぞれの力 (垂直抗力) のやり取り (作用・反作用) はもちろんあります(これが 拘束)。しかし,これらは物体系の 内力 であって,この物体系にはたらく 外力 は鉛直下向きの重力のみです。
水平方向には 外力 がはたらかないので,運動量の(和の)水平成分が保存される のです。
幸い,A 点にある小物体がもつ運動量は,水平成分だけですので。

No.78201 - 2021/09/15(Wed) 10:07:33
(No Subject) / 数学苦手
また質問すみません。この問題なのですがこのように式を建てるので、合ってると思うのですが、、
No.78186 - 2021/09/14(Tue) 15:46:30

Re: / 数学苦手
https://rikeilabo.com/formula-list-of-arithmetic-progression
ここの?Aのような式はどのような時に使うのでしょうか?
今回の写真の問題のような式を文字で表していますか?

No.78187 - 2021/09/14(Tue) 15:47:36

Re: / 数学苦手
> https://rikeilabo.com/formula-list-of-arithmetic-progression
> ここの?Aのような式はどのような時に使うのでしょうか?
> 今回の写真の問題のような式を文字で表していますか?


あ、和の公式だからですね

No.78188 - 2021/09/14(Tue) 16:20:55

Re: / 数学苦手
理解できました
No.78189 - 2021/09/14(Tue) 16:21:22
漸化式 / マックスバリュ
よろしくお願いします。
No.78182 - 2021/09/14(Tue) 14:27:23

Re: 漸化式 / ヨッシー
「=」が4つありますが、左から順に
 1.与えられた漸化式
 2.a[k]=k/(k+1) を代入
 3.分子分母にk+1(≠0)を掛けて整理
 4.カッコを外し整理
です。

No.78183 - 2021/09/14(Tue) 14:57:55

Re: 漸化式 / マックスバリュ
すみません。質問が抽象的過ぎました。下の式n=k+1はどこに代入すれば出てくるのでしょうか。紛らわしくてすみません。
No.78184 - 2021/09/14(Tue) 15:29:59

Re: 漸化式 / マックスバリュ
> すみません。質問が抽象的過ぎました。下の式n=k+1はどこに代入すれば出てくるのでしょうか。紛らわしくてすみません。
打ち間違えました。n=k+1をどこに代入すれば出てくるのでしょうか?

No.78185 - 2021/09/14(Tue) 15:31:33

Re: 漸化式 / ヨッシー
n=k+1 のときに、?@が成り立つかを調べるために、
問題で与えられた漸化式にn=k を代入する。
ですね。

No.78190 - 2021/09/14(Tue) 17:47:25
(No Subject) / パンサーカス
0≦θ≦π/2 C;y=x²-2xcosθ+cos2θのときCの通りうる範囲を図示したいのですがどうすればいいですか?
No.78180 - 2021/09/14(Tue) 13:01:30

Re: / 関数電卓
cosθ=u と置くと
 与式 ⇔ 2u^2−2xu+x^2−y−1=0 …(*)
u についての2次方程式(*)が 0≦u≦1 の実数解をもつ (x,y) の条件を求める。

No.78181 - 2021/09/14(Tue) 14:04:51

Re: / 編入受験生
> cosθ=u と置くと
>  与式 ⇔ 2u^2−2xu+x^2−y−1=0 …(*)
> u についての2次方程式(*)が 0≦u≦1 の実数解をもつ (x,y) の条件を求める。


そのやり方で,yの範囲をどうやって出すのですか。
0<=u<=1のもとで2次方程式(*)が解を持つような条件を考えると,yが不等式の中に現れますが,そのyはθによって定まるので,循環論法です.

この問題は、文字固定で解きます.
つまり,xを固定して,yをθの関数と見立て,
yの最小値と最大値をだす.
このやり方で解きます.
パンサーカスさん、自分で考えてみてください.

No.78197 - 2021/09/15(Wed) 00:44:54

Re: / 関数電卓
 C:y=x^2−2xcosθ+2(cosθ)^2−1 (0≦θ≦π/2) …(1)
cosθ=u と置くと,0≦u≦1 かつ
 (1) ⇔ 2u^2−2xu+x^2−y−1=0 …(2)
(2)が実数解をもつことから
 D/4=x^2−2(x^2−y−1)=−x^2+2y+2≧0 ∴ y≧(1/2)x−1 …(3)
また,
 z=f(u)=2u^2−2xu+x^2−y−1 …(4)
と置くと,
 (2)が 0≦u≦1 の解をもつ ⇔ Z=f(u) が 0≦u≦1 で u 軸と交わる
であり,(3)のとき z=f(u) はどこかで必ず u 軸と交わるのだから,下 図1の場合のみを除けば良い。このとき
 f(0)=x^2−y−1<0 ∴ y>x^2−1 …(5)
 f(1)=2−2x+x^2−y−1=(x−1)^2−y<0 ∴ y>(x−1)^2 …(6)
以上より,(3)から(5)(6)を除くと,求める (x,y) 存在する範囲,すなわち(1)が通る領域は 図2 の着色部分。ただし,境界線上の点を含む。

No.78202 - 2021/09/15(Wed) 13:05:42

Re: / m
関数電卓さんの方針がやりやすいと思いますが,場合分けが足りていないので補足します.
答え確認用の図

u の二次方程式 f(u)=2u^2−2xu+x^2−y−1=0 が 0≦u≦1 に解をもつための条件を考えていた.
まず,実数解をもつから D≧0 である.

解の存在する場所に注目して除くべき場合は次の3つ.

A1. u<0 と u>1 にそれぞれ解を持つとき.f(0)<0 かつ f(1)<0.

A2. u<0 に(重解を含む)二つの解をもつとき.放物線の軸(u = x/2)<0 かつ f(0)>0.

A3. u>1 に(重解を含む)二つの解をもつとき.放物線の軸(u = x/2)>1 かつ f(1)>0.



別の方法として,0≦u≦1 に解を持たない場合を考えてそれを除くのではなく,直接的に解をもつ条件を考えることもできる.
0≦u≦1 に解を持つとき,次の三つのうち少なくとも一つを満たす.

B1. 0≦u≦1 に(重解を含む)二つの解をもつ.つまり D≧0 かつ 0<放物線の軸(u = x/2)<1 かつ f(0)>0 かつ f(1)>0.

B2. 0≦u≦1 と 1≦u にそれぞれ(u=1の重解を含む)解をもつ.つまり f(0)≧0 かつ f(1)≦0.

B3. 0≦u≦1 と u≦0 にそれぞれ(u=0の重解を含む)解をもつ.つまり f(0)≦0 かつ f(1)≧0.

このB2, B3 は合わせて f(0)f(1)≦0 とすることもできます.(f(0)とf(1)の符号が違えば,0から1の間のどこかでグラフと横軸が交わる.)

No.78207 - 2021/09/15(Wed) 18:33:04

Re: / 編入受験生
関数電卓さんのやり方は、非常に技巧的で二次関数の性質をうまく利用していて素晴らしいと思います。
私は循環論法に見えたので。
しかし、結局のところそのようなやり方だと、論証がとても大変になってしまうと思います。

以下文字固定の方法で示します。


0<=u<=1のもとで,yをuの関数f(u)=と見立てると,
xを固定する限り,y = f(u)は最大値f(u_1)と最小値f(u_0)が必ず存在する.ただし,u=u_1で最大,u=u_0で最小となるものとする.
また,f(u)はuの二次関数であるから連続であるので,
中間値の定理よりy=f(u)はf(u_0)からf(u_1)の間の全ての値を取る.
よって,y=f(u)の最小値と最大値を求めればよい.
f(u)をuで微分すると,f'(u) = -2x+4uより,
極値の候補はf'(u) = 0となる点だから,
u = x/2のとき.
これを0<=u<=1に代入すると,
0<=x<=2となるから,その場合のみf(u)は極値の候補をもつ.
また,f'(u)は傾き正の一次関数だから,常に増加するので,
f'(u)はu = x/2を境に負から正へと変わる.
∴0<=x<=2のもとで,u = x/2のとき最小値を取るすなわち
f(x/2)= x^2/2 - x^2 + x^2 - 1 = x^2/2 - 1は最小値.
あとは,最小値・最大値の候補は端点しかないから,
f(0)とf(1)を比較すればよい.
f(0) = x^2-1 >= f(1) = x^2 -2x + 1 = (x-1)^2とおいて,
同値変形するとx>=1となるから,
f(0)<=f(1)となるのは,x<=1のとき.

これより,
曲線Cは以下の範囲を動く.

x<=0のとき, x^2-1<=y<=(x-1)^2の間を動き,
0<=x<=1のとき, x^2/2-1<=y<=(x-1)^2の間を動き,
1<=x<=2のとき,x^2/2-1<=y<=x^2-1の間を動き,
2<=xのとき,(x-1)^2<=y<=x^2-1の間を動く.

あと、二次関数にならない問題には適用できないので、
応用の観点からでも文字固定の方法で解いたほうがいいです。

No.78208 - 2021/09/15(Wed) 18:41:42

Re: / 関数電卓
mさん,ご指摘有り難うございます。
 ご指摘の A2 が x<0,A3 が 2<x
なので,修正図を再掲します。

No.78210 - 2021/09/15(Wed) 19:34:58

Re: / 編入受験生
グラフはこんな感じになります。
No.78211 - 2021/09/15(Wed) 19:45:05

Re: / 編入受験生
> mさん,ご指摘有り難うございます。
>  ご指摘の A2 が x<0,A3 が 2<x
> なので,修正図を再掲します。


(5)かつ(6)ですよ。
(5)の場合でも、0<=u<=1の範囲でf(u)が解を持ちますから.
あまり適当なことをいうと、誤解しますからわからないなら解答しないほうがいいと思います.
そもそも、その方法で答案書く受験生の気持ちになるべきだと思います.

No.78212 - 2021/09/15(Wed) 19:49:36

Re: / 編入受験生
> 0≦θ≦π/2 C;y=x²-2xcosθ+cos2θのときCの通りうる範囲を図示したいのですがどうすればいいですか?

東大狙っているなら、文字固定で解くべき。
東大は領域問題頻出で、このやり方じゃないと時間絶対に間に合わない。
面積を求めるときもこのやり方が有利。

mさんは、二次関数のほうがやりやすいといってますが、
それは少ない知識でも解ける方法といっているだけで、
論証が簡単なのは文字固定です。
そういう意味でも、難関大受験生は早い時期に数3を終わらせているのだと思うよ。
まあ、これだけ言ってもわからないのであればおすきにどうぞという感じですが。

No.78213 - 2021/09/15(Wed) 20:20:47

Re: / 関数電卓
皆さん,有り難うございました。
今更ながらの板汚しですが,自分で蒔いた種は修正しておきますね。

mさんの A1 → 私の No.78202 の (5) かつ (6) かつ 0≦x≦2 …(7)
mさんの A2 → x<0 かつ y<x^2−1 …(8)
mさんの A3 → 2<x かつ y<(x−1)^2 …(9)
(3)から(7)(8)(9)を除き,求める領域は下図の通り。

(mさんの B 方式の方が無難でした。)

No.78218 - 2021/09/15(Wed) 22:46:12
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