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★ (No Subject) / 算数
問よんについてです。


分かりません


分かりやすくお願いします。
No.86968 - 2023/12/18(Mon) 23:48:41
☆ Re: / らすかる
もし男子だけの平均点が70点で女子だけの平均点が75点だとすると
全体の平均は75点未満になりますので、男子だけの平均点は
70点より大きいことになります。
そして
男子だけの平均点が70点で女子だけの平均点が75点だとすると
全体の合計は70×4+75×6=730
ここから全員の点数が1点上がると
「男子だけの平均点が女子だけの平均点よりも5点低い」
というのが変わらないまま、全体の合計は10点増えます。
全体の平均が75点であることから全体の合計は75×10=750であり
男子平均70点女子平均75点時、全体の合計は730ですから
男子平均71点女子平均76点時、全体の合計は730+10=740
男子平均72点女子平均77点時、全体の合計は740+10=750
のようになり、男子だけの平均は72点であることがわかります。
No.86969 - 2023/12/19(Tue) 00:09:10
★ Re: 場合の数の問題 / ast
★ 場合の数の問題 No.86948 について, 漸化式の話です.
# もう一つのスレッドがあったので話が混線しなくて都合がいいやと思ってたら,
# 書いてる間に消えてた (まあそりゃ管理の都合上は消すのが正当よね) ので,
# 新規にスレッドを建てます (内容コピーしてて助かった^^;).

## 内容は完全ではありません (途中まではともかく後半は話が完結してない).
以下, x個のボールの「間」と言ったら便宜上ボールの並びの両端を含む x+1 箇所を指すこととします.
求める場合の数を a[n], 0≤m≤n に対し「ちょうど m 色のボールが隣り合う」場合の数を a^(m)[n] と書く (ただし, a^(0)[n]=a[n], また誤解の虞が無いならば a^(1)[n], a^(2)[n], … の代わりに a'[n], a''[n], … のように ' の個数で区別する記法でも構わない※もちろん微分ではない) ことにすれば,
　[*] Σ_[m=0,1,…n] a^(m)[n] = (2n)!/(2!)^n. (2n 個すべての並べ方)
　[0] a[n-1] 通りの各場合に 2(n-1)+1 個の「間」から n 色目を入れる2箇所を選ぶ: (2n-1)C2 * a[n-1] 通り,
　[1] a'[n-1] 通りの各場合に同色隣り合うところの間に n 色目を一つ入れて, 2(n-1)+1 個の並びにした後, もう一つはさっきの一個目の両隣を除く ((2(n-1)+1)+1)-2 個の「間」から1箇所選ぶ: (2n-2) a'[n-1] 通り,
　[2] a''[n-1] 通りの各場合について, n 色目はそれぞれ同色隣り合う2色のそれぞれの間に入れる一通り: a''[n-1] 通り.
が a[n] に寄与し, 3 色以上が同色隣り合っていたら a[n] へは寄与しないので,
　a[n]=(2n-1)(2n-2)a[n-1]/2+(2n-2) a'[n-1]+a''[n-1],
　a[n-1]+a'[n-1]+a''[n-1]+…+a^(n-1)[n-1]=(2(n-1))!/(2!)^(n-1).
となるはずです.
# 便宜的に a[0]=1, a[1]=0, a'[1]=1 および m>n のとき a^(m)[n]=0 とすると,
# この漸化式は n=1,2,3 までは解けて, a[2]=2, a[3]=30 となります.
# 実際に書きならべるとこれは正しいように思います.

n≥4 のときは条件が足りずに解けませんが, 例えば a'[n] も同様に, n 色並べたとき 1 色のみが隣り合う場合ということは
　[i] a[n-1] 通りの各場合に n 色目を同じ個所の「間」に2つ並べて入れる
　[ii] a'[n-1] 通りの各場合に, その同色隣り合う箇所を保ったまま n 色目を残りの「間」から2箇所それぞれ入れる
　[iii] a''[n-1] 通りの各場合に, 同色隣り合ううちの1色は潰すようにあいだに n 色目をひとつ入れて, 残りは同色隣り合うのを保つように「間」に入れる
　[iv] a'''[n-1] 通りの各場合は, n 色目は同色隣り合う3色のうち2色を潰すように入れる
　[v] n-1 色並べて4色以上が同色隣り合う場合は a'[n] に寄与しない
といったように, ほかの a^(m)[n-1] たちの情報も使えばわかるはずで, 二項間の連立漸化式が
　a^(0)[n]=(2n-1)(2n-2)a[n-1]/2+(2n-2) a'[n-1]+a''[n-1],
　a^(1)[n]= f[1,0](n)a[n-1]+f[1,1](n)a'[n-1]+f[1,2](n)a''[n-1]+f[1,3](n)a'''[n-1],
　…
　a^(m)[n]=f[m,m-1](n)a^(m-1)[n-1]+f[m,m](n)a^(m)[n-1]+f[m,m+1](n)a^(m+1)[n-1]+f[m,m+2](n)a^(m+2)[n-1],
　…
　a^(n-2)[n]=f[n-2,n-3](n)a^(n-3)[n-1]+f[n-2,n-2](n)a^(n-2)[n-1]+f[n-2,n-1](n)a^(n-1)[n-1],
　a^(n-1)[n]=f[n-1,n-2](n)a^(n-2)[n-1]+f[n-1,n-1](n)a^(n-1)[n-1].
　初期条件: a[n-1]+a'[n-1]+a''[n-1]+…+a^(n-1)[n-1]=(2n-2)!/(2!)^(n-1).
のような形で得られるはずです (係数となる n の式 f[i,j](n) は真面目に見れば具体的に組合せの数などを用いて書けると思いますが, 私はそこまで気力が無い).
# 上の [i]-[v] が正しい (かつ, それを a^(m)[n] についての記述に正しく読み替えた) ならば
# おそらく 0 になるであろう箇所は省きましたが, 上に出てこない f[i,j](n) が実際はあったならすみません.
これは小さい n に対して順番にということなら高校までの知識の範囲である程度までは計算できるでしょうし, 一般に解くには大学初年度級の「行列」の知識が要るものの理屈の上では解けるはずです (が, 私がそれを計算できるとかするとかという意味ではない).

{a'[n]},{a''[n]},… などを用いない {a[n]} 単独の高階漸化式がどうなるかは見ていませんが, a[n]を表すのに (a[0],a[1],) a[2],…,a[n-1] 全部必要な気がします.
No.86960 - 2023/12/17(Sun) 15:13:51
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
>ast様
ありがとうございました。
高校生の僕にはあまりに難しい内容ですが、親切に教えていただきまして本当に感謝します。
No.86962 - 2023/12/17(Sun) 16:30:26
☆ Re: 場合の数の問題 / ヨッシー
># 書いてる間に消えてた (まあそりゃ管理の都合上は消すのが正当よね) ので
こちらでは、消しておりませんです。
No.86972 - 2023/12/21(Thu) 09:01:38
★ コラッツ予想 / 成清　愼
http://dongram.6te.net/web/index.php?p=6
よろしくご査収の上ご批評賜りたくお願い申し上げます。
No.86957 - 2023/12/16(Sat) 21:39:57
★ コラッツ予想 / 成清愼
http://dongram.6te.net/web/index.php?p=6
よろしくご査収の上ご批評賜りたくお願い申し上げます。
No.86956 - 2023/12/16(Sat) 21:38:05
★ 場合の数の問題 / 高校１年生
次の問題を教えてください。
よろしくお願いします。

n色のボールがそれぞれ2個ずつあり、この2n個のボールを一列に並べる。同じ色のボールが隣り合わないような並べ方は何通りあるか。ただし、同じ色のボールは区別しないものとする.
No.86948 - 2023/12/16(Sat) 09:25:26
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
「包除原理」は、御存知ですか？
「包除原理」でやるしかないかも知れませんね。
No.86949 - 2023/12/16(Sat) 13:00:31
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
包除原理分かりません。
数列を習って日が浅いのですが、
漸化式を作ろうと思って挫折して困っています。
No.86950 - 2023/12/16(Sat) 14:20:43
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
出題されたのは、学校の授業ですか？（数Aとしては難しすぎるので出てこない気がしますが）

「包除原理」の解説は、検索されるといろいろ出てくると思いますが、
下記でも扱われています。
http://shochandas.xsrv.jp/number/number4.htm

https://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=pickup&no=86894
No.86951 - 2023/12/16(Sat) 14:53:53
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
この原理をどのように使うのか、どなたか教えてください。せめてピントを。

また漸化式の解法はないのでしょうか。
No.86952 - 2023/12/16(Sat) 18:03:19
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
http://shochandas.xsrv.jp/number/number4.htm
は見られましたか？

これの下の方に、
例として、　赤、青、黄の３色の球　を同色が隣り合わないように並べる場合の数を　「包除原理」を使って計算する方法が書いてあります。
この例では同色の球を大小で区別していますので少し違いますが原理は同じです。
No.86953 - 2023/12/16(Sat) 18:45:40
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
見ました。
ただ３色だから３つの円のベン図で済みますが、n色なのでよくわかりません。n個の円のベン図を考えることが僕はできません。
No.86955 - 2023/12/16(Sat) 20:03:28
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
nが4以上だと、ベン図で考えるのは難しいので式で考えるしかないと思います。
No.86958 - 2023/12/16(Sat) 22:09:09
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
Σ(-1)^k × nCk × (2n-k)!/2^(n-k)
でしょうか。
合っているとしてもこれをさらに計算は可能なのでしょうか。
No.86959 - 2023/12/17(Sun) 10:44:20
☆ Re: 場合の数の問題 / ast
シグマの添字は k=0,1,…, n の範囲でとるのであれば, 合っていると思います.
計算はそれ以上しなくてよいのでは (参考 (WolframAlpha)).

----
ITさんの示されたリンク先, 包除原理での計算は正しいと思いますし, それと一致している「普通」の方も正しいのだと思うのですが, 例えば
> その１通り、例えば　× ● × ● × ● × ●×　に対して、大小２個の黄球を×印に入れる場合の数は、　5Ｐ2＝５×４＝２０（通り）
のあたりで 黄青赤赤青黄 のような不適なものも数えているように思えてしまうので, なぜそれで計算が合うのかわたしはちょっとよくわかりません^^;;
# その前の段で同色隣あってもかまわない (最終的に隣にないようにできる) のはわかる
No.86961 - 2023/12/17(Sun) 16:06:33
☆ Re: 場合の数の問題 / IT
ast さん
> ----
> ITさんの示されたリンク先, 包除原理での計算は正しいと思いますし, それと一致している「普通」の方も正しいのだと思うのですが, 例えば
> > その１通り、例えば　× ● × ● × ● × ●×　に対して、大小２個の黄球を×印に入れる場合の数は、　5Ｐ2＝５×４＝２０（通り）
> のあたりで 黄青赤赤青黄 のような不適なものも数えているように思えてしまうので, なぜそれで計算が合うのかわたしはちょっとよくわかりません^^;;

たしかに、私が示したリンク先の普通の考え方はまちがっていますね。
「黄青赤赤青黄」 のような不適なものを数えている代わりに、
青の間には必ず赤がないといけなくなってますね。
つまり「青黄青赤黄赤」などを数えてないですね。
No.86963 - 2023/12/17(Sun) 16:48:53
☆ Re: 場合の数の問題 / らすかる
https://oeis.org/A114938
↑こちらによると、式は
Σ[k=0〜n](-1)^(n-k)*nCk*(n+k)!/2^k
と表されるようです。先頭の方の具体値は、n=2,3,4,…に対して
2, 30, 864, 39480, 2631600, 241133760,…
のようになります。また、漸化式は
a[n]=n(2n-1)a[n-1]+(n-1)na[n-2]
と表されるようです。
No.86964 - 2023/12/17(Sun) 17:09:13
☆ Re: 場合の数の問題 / ast
さすがOEIS, なんでもあるなぁ……

> 式は Σ[k=0〜n](-1)^(n-k)*nCk*(n+k)!/2^k と表されるようです。
については, すでに挙げられた
> Σ(-1)^k × nCk × (2n-k)!/2^(n-k) でしょうか。
で n-k を改めて k と置いた (逆向きに足した) ものに一致しますので齟齬はないですね.
# i.e. j=n-k とおくと k=n-j, nCk=nCj, 2n-k=n+j, k=0,…,n ↔ j=n,…,0 で
# Σ_[k=0,…,n] (-1)^k nCk (2n-k)!/2^(n-k) = Σ_[j=n,…,0] (-1)^(n-j) nCj (n+j)!/2^j.
No.86965 - 2023/12/17(Sun) 17:40:25
☆ Re: 場合の数の問題 / 高校１年生
＞皆様
　ありがとうございました。
　半分くらいしか理解できていませんが、とても助かりました。
No.86966 - 2023/12/17(Sun) 21:41:51
☆ Re: 場合の数の問題 / ast
まだ不完全 (ほとんど n=3 のときしか検討してない, 少なくとも n=4 くらいはちゃんとやらないといけないだろうが未検討) ですが.
# きちんと検討してから書けと言われそうではあるが, どう検討していいものやらよくわからないので……^^A;

漸化式は:
　a[n]/n! = (2n-1)a[n-1]/(n-1)! + a[n-2]/(n-2)!
と見ると, n! は塗る色の順番の数, a[n]/n! はどのボール対から順番に塗るかのパターン数と思えるから, a[n] は
　[i] n-2 色のパターンのあとに, n-1,n 番目の 2 色を交互に: 1 通り.
　[ii] n-1 色のパターンに対して 2(n-1)+1 個の「間」の k+1 番目と (k+n-1 mod 2n-1)+1 番目 (k=0,1,…,2n-2) に n 色目: 2n-1 通り.
というように解釈するのではないかと推測します.
ただし, [ii] はこれでいいのか, なぜ [i] と [ii](誤っていればその修正バージョン) でパターンを尽くせるのか etc., 全然見当つかないレベルで検討できていません.
# もしや [ii] は一方が 2n-1 箇所を一周するあいだに他方が n-1 周する位置とする必要があるか?
No.86967 - 2023/12/18(Mon) 12:43:13
★ 漸化式 / ncr
https://oeis.org/search?q=4%2C32%2C36%2C48&language=english&go=Search

↑のサイトに書いてあることなのですが…

n,kを2≦n<k≦2n-1を満たす自然数とします。
n個の自然数 1〜n を並べ替えた順列(p_1,p_2,…,p_n)のうち、
max(p_1+p_2, p_2+p_3,…,p_{n-1}+p_n)=k を満たすものの個数をT(n,k)とします。

このとき、
　kが偶数なら T(n,k) = (k-n)*T(n-1,k-1)
　kが奇数なら T(n,k) = (k-n-1)*T(n-1,k-1) + 2*sum(T(n-1,i) for i=n,…,k-2)

という漸化式がいえるらしいのですが、これはどう示せますか。

何の説明もなくドンと書いてあるので、もしかしたら明らかなのかもしれませんが
宜しくお願いします。
No.86947 - 2023/12/15(Fri) 21:55:12
★ 偏微分 / λ
f(x,y)はR^2上C^2級とし、任意のt>0に対しf(tx,ty)=t^2f(x,y)が成り立つとする。この時、
f_{xx}(x,y)x^2+2f_{xy}(x,y)xy+f_{yy}(x,y)y^2=2f(x,y)が成り立つことを示せ。

回答解説よろしくお願いします。
No.86935 - 2023/12/14(Thu) 11:25:39
☆ Re: 偏微分 / ast
証明: f(tx,ty)=t^2f(x,y) の両辺を "t で" 2回微分して t=1 と置けば所期の式. [/証明了]
No.86936 - 2023/12/14(Thu) 12:52:46
☆ Re: 偏微分 / λ
回答ありがとうございます。
1回微分したものと2回微分したものの式をそれぞれ途中式も含めて書いていただけませんか？
No.86937 - 2023/12/14(Thu) 13:26:03
☆ Re: 偏微分 / ast
そんなの私がやっても意味ないでしょう, 典型的な「添削くらいしてやるからお前の方が書け」案件だと思います.
No.86938 - 2023/12/14(Thu) 13:34:51
☆ Re: 偏微分 / λ
その通りですね。すみません
∂f(tx,ty)/∂t
={∂f(tx,ty)/∂(tx)}{∂(tx)/∂t}+{∂f(tx,ty)/∂(ty)}{∂(ty)/∂t}
ここまでしかわからないため、この後どのようにしていけばいいかご教授ください。
No.86939 - 2023/12/14(Thu) 14:30:14
☆ Re: 偏微分 / ast
∂(tx)/∂t=x, ∂(ty)/∂t=y (i.e. 比例の式の微分は比例定数) くらいはさすがに偏微分以前の問題のような…….
で, 2回目の微分は (一般には各項を「積の微分」していかないといけないが) 今の場合は (t に依存しないという意味での) 定数 x,y くらいしかかかっていないから, 各項がふたたび No.86939 と同様の形に微分できる(:微分は線型変換).
# 計算問題としていうなら計算量もほぼ無い初心者向けの超易問に入るといってよいと思います.
# 本問の趣旨としては「合成函数の微分公式をきちんとなぞれるか」だと思うので,
# 私なら No.86939 ができている時点で及第点とするとは思いますが.
No.86940 - 2023/12/14(Thu) 15:07:09
☆ Re: 偏微分 / λ
これで合ってますか？添削お願いします
No.86943 - 2023/12/14(Thu) 18:12:55
☆ Re: 偏微分 / ast
概ねそういうことですが, しかしあちこち t が抜けて特に後半めちゃくちゃになっているので全般的に見直してください. また, f(x,y) と f(tx,ty) は引数を省略したらどちらも f で区別がつかないので, 引数も省略すべきではありません (画像の最初の "F''(t)=" のところの2行とか).

最低限おさえておくべき内容は:
与えられた f(tx,ty) = t^2⋅f(x,y) の両辺 t で微分して f_x(tx,ty)⋅x+f_y(tx,ty)⋅y = 2t⋅f(x,y),
再度両辺微分して (f_{xx}(tx,ty)⋅x + f_{xy}(tx,ty)⋅y)⋅x + (f_{yx}(tx,ty)⋅x + f_{yy}(tx,ty)⋅y)⋅y = 2⋅f(x,y).
f_{xy}=f_{yx} (函数として等しい) に注意して,
t=1 とおくと f_{xx}(x,y)⋅x^2 + 2⋅f_{xy}(x,y)⋅xy + f_{yy}(x,y)⋅y^2 = 2⋅f(x,y).
# x,y を定数とし t の一変数函数同士の等式と見るなら, t=1 における2階微分係数が等しいという話.
です.

----
なお, とくに f(tx,ty) を微分して出てくる f_x および f_y ほかは, f(○,×) のそれぞれ第一引数 ○ および第二引数 × に関する偏微分(をしてから ○=tx,×=ty を代入) という意味の「記法の濫用」: f_x(u,v):=(∂f(x,y)/∂x)|_[x=u,y=v], f_y(u,v):=(∂f(x,y)/∂y)|_[x=u,y=v] (あるいはいまの場合: "•_x"=∂•/∂(tx), "•_y"=∂•/∂(ty) と思ってもよい), といったあたりあらかじめ解説すべき事項を失念していました, すみません.
# 「代入してから微分」と「微分してから代入」で記法が衝突しているという話で,
# 一般に x=x(t), y=y(t) (x,y が t の函数) のときの f(x,y)=f(x(t),y(t)) を t で微分する,
# といったようなときによく使う記法.
## いまたまたま x(t)=xt, y(t)=yt と書いてる (が, 左辺の x,y と右辺の x,y は別物で,
## さらに上で書いた f(x,y) の x,y とも意味が別) ということ.
# また例えば一変数の場合にも, df(u)/dx=f'(u)du/dx のような式にであったとき
# この f'(u) も二通り: df(u)/du or (df(x)/dx)(u) に解釈できる, という記法上同様の「問題」はある
# (が, やはりどちらに解釈しても実際は同じ式を指してるので, 解釈上はとくに問題でないはず).
No.86945 - 2023/12/14(Thu) 21:05:04
☆ Re: 偏微分 / λ
迅速で丁寧な回答解説ありがとうございました。お陰様で理解が深まりました。本当にありがとうございました。
No.86946 - 2023/12/14(Thu) 23:25:06
★ 合成関数の偏微分 / 助けてください
c≠0は定数とする。R^2上でC^2級の関数u(x,t)と、x=(r+s)/2,t=(r-s)/2cの合成関数をv(r,s)=u((r+s)/2,(r-s)/2c)で表す。u(x,t)がu{tt}=c^2u{xx}を満たすときv{rs}を求めよ
No.86926 - 2023/12/12(Tue) 16:32:18
☆ Re: 合成関数の偏微分 / X
条件から
u_r=(u_x)(∂x/∂r)+(u_t)(∂t/∂r)
=(1/2)u_x+{1/(2c)}u_t (A)
u_s=(u_x)(∂x/∂s)+(u_t)(∂t/∂s)
=(1/2)u_x-{1/(2c)}u_t (B)
∴(A)をsで偏微分して(B)を参考にすると
u_rs=(1/2){(1/2)u_xx+{1/(2c)}u_tx}-{1/(2c)}{(1/2)u_xt+{1/(2c)}u_tt}
=(1/4){u_xx-(1/c^2)u_tt} 注)uはC^2級ゆえu_tx=u_xt
これに条件式である
u_tt=(c^2)u_xx
を代入して
u_rs=0
∴v_rs=0
No.86928 - 2023/12/12(Tue) 20:25:46
☆ Re: 合成関数の偏微分 / 助けてください
> ∴(A)をrで偏微分して(B)を参考にすると
> u_rs=(1/2){(1/2)u_xx+{1/(2c)}u_tx}-{1/(2c)}{(1/2)u_xt+{1/(2c)}u_tt}
> =(1/4){u_xx-(1/c^2)u_tt} 注)uはC^2級ゆえ
回答ありがとうございます。
上の∴以降がよくわかりませんでした。教えていただけると幸いです。
No.86929 - 2023/12/12(Tue) 21:17:45
☆ Re: 合成関数の偏微分 / X
(B)と同様にして
u_rs=(u_r)_s
=(1/2)(u_r)_x-{1/(2c)}(u_r)_t
これに(A)を代入します。
No.86930 - 2023/12/12(Tue) 21:48:23
☆ Re: 合成関数の偏微分 / 助けてください
すみません、(A)をrで偏微分したものがどうなるのかよくわからないため教えてください。
No.86931 - 2023/12/12(Tue) 22:44:38
☆ Re: 合成関数の偏微分 / X
ごめんなさい。
＞＞∴(A)をrで偏微分して(B)を参考にすると
とありますが、sで偏微分して、の誤りです。
No.86932 - 2023/12/13(Wed) 06:28:01
☆ Re: 合成関数の偏微分 / 助けてください
度々質問失礼します。
u_rs=(u_r)_s
=(1/2)(u_r)_x-{1/(2c)}(u_r)_t になぜなるのか、そして(A)の代入の仕方を教えてください
No.86934 - 2023/12/14(Thu) 10:38:56
☆ Re: 合成関数の偏微分 / X
No.86928において、(A)(B)が指し示す式を修正しました。
再度ご覧の上、もう一度考えてみて下さい。
No.86942 - 2023/12/14(Thu) 18:09:13
☆ Re: 合成関数の偏微分 / 助けてください
理解できました。ありがとうございました。
No.86944 - 2023/12/14(Thu) 20:04:16
★ (No Subject) / 雪だるま
方程式7x(x+1)+8y=52を満たす自然数xと整数yの内xの値が最小になる時のx，yの値は?

解答解説よろしくお願いします
No.86921 - 2023/12/11(Mon) 23:43:28
☆ Re: / らすかる
7x(x+1)=52-8y=4(13-2y)は4で割り切れ8で割り切れない数なので、
xまたはx+1が4で割り切れ8で割り切れない数でなければならない。
これを満たす最小のxは3で
x=3のとき7x(x+1)=21×4=4(13-2y)からy=-4となるので
(x,y)=(3,-4)が条件を満たす解。
No.86922 - 2023/12/11(Mon) 23:54:09
★ (No Subject) / 柿
座標空間上の3点A(0,0,2),B(1,1,0),C(0.1.0)を通る円の中心の座標は?また半径は?

解答解説よろしくお願いします
No.86919 - 2023/12/11(Mon) 18:25:30
☆ Re: / らすかる
3点A,B,Cを通る平面をax+by+cz=dとおくと
2c=a+b=b=d
これを解いて
b=d,a=0,c=d/2
よって3点A,B,Cを含む平面は
dy+(d/2)z=d
すなわち
2y+z=2 … (1)
ACの垂直二等分面は
x^2+y^2+(z-2)^2=x^2+(y-1)^2+z^2
を整理して
2y-4z=-3 … (2)
BCの垂直二等分面は
(x-1)^2+(y-1)^2+z^2=x^2+(y-1)^2+z^2
を整理して
2x=1 … (3)
(1)(2)(3)から、円の中心は
(x,y,z)=(1/2,1/2,1)
半径は
√{(0-1/2)^2+(0-1/2)^2+(2-1)^2}=√(3/2)=√6/2
No.86920 - 2023/12/11(Mon) 23:13:23
☆ Re: / WIZ
別解

3点から等距離にある点の座標をD(x, y, z)とすると、
|DA|^2 = x^2+y^2+(z-2)^2
|DB|^2 = (x-1)^2+(y-1)^2+z^2
|DC|^2 = x^2+(y-1)^2+z^2

|DA| = |DB| = |DC|は3点が表面にある球の半径となります。

|DA|^2 = |DC|^2より、
x^2+y^2+(z-2)^2 = x^2+(y-1)^2+z^2
⇒ -4z+4 = -2y+1
⇒ 2y-4z+3 = 0
⇒ y = (4z-3)/2

|DB|^2 = |DC|^2より、
(x-1)^2+(y-1)^2+z^2 = x^2+(y-1)^2+z^2
⇒ -2x+1 = 0
⇒ x = 1/2

従って、3点を表面に含む球の中心は直線「x = 1/2かつ、2y-4z+3 = 0」の上にあることになります。
|DA| = |DB| = |DC|の値が最小になるときのDが3点を円周に含む円の中心となりますので、

|DA|^2 = (1/2)^2+((4z-3)/2)^2+(z-2)^2
= 1/4+(4z^2-6z+9/4)+(z^2-4z+4)
= 5z^2-10z+13/2
= 5(z-1)^2+3/2

よって、z = 1のとき、最小値|DA|^2 = 3/2となるので、
y = (4-3)/2 = 1/2、中心座標は(1/2, 1/2, 1)、半径は√(3/2) = (√6)/2となります。
No.86933 - 2023/12/13(Wed) 13:26:02
★ 実数解が存在しないと証明する方法 / SS(高２)
こんばんは。2t^2+5t+5において、実数解が存在しないと証明する方法は下記の通り3パターンで証明できると思うのですが、
?@平方完成で実数解が存在しないことを証明するためには、t=-5/4であるということを言えばいいのでしょうか？
?A平方完成のt=-5/4の値と複素数の値が異なるのはなぜなのでしょうか。
よろしくお願いいたします。
No.86916 - 2023/12/10(Sun) 21:47:41
☆ Re: 実数解が存在しないと証明する方法 / らすかる
> 平方完成で実数解が存在しないことを証明するためには、t=-5/4であるということを言えばいいのでしょうか？
○(t+5/4)^2+△の形に平方完成されるということは「t=-5/4のときに最小値（または最大値）をとる」
ということであって、「t=-5/4である」という言い方は間違いです。（t=-5/4は解ではありません）
平方完成で実数解が存在しないことを証明するためには、
○(t+5/4)^2+△の形で○と△の符号が等しいことを言えば（式の値が0にならないことになりますので）十分です。

> 平方完成のt=-5/4の値と複素数の値が異なるのはなぜなのでしょうか。
「平方完成でt=-5/4」と思っているのが間違いだからです。
No.86917 - 2023/12/11(Mon) 00:13:59
★ テスト / ヨッシー
丸数字のテスト
○１　　?@
○２　　?A
○３　　?B
・・・
○９　　?H
○10　　?I
No.86911 - 2023/12/10(Sun) 07:35:59
★ (No Subject) / りんご
平面上の点Oを中心とする半径１の円周Cがある。t>0に対して実数aおよびC上の2点A，Bは
(tanα)^2=t，0＜α＜π/2,∠AOB=2α

を満たす。またAにおけるCの接線とBにおけるCの接線の交点をDとする。さらに0＜s＜?@に対して線分AD上の点Pと線分BDの点Qを
→OP=→OA+s→AD
→OQ=→OB+{(1-s)/(1+st)}→BD
を満たすようにとれば直線PQはCに接する。

s=1/4,t=2の時内積→OP・→PQの値を求めよ

→OP＝→OA+1/4→AD=3/4→OA+1/4→OD
→OQ=→OB+1/2→BD=1/2→OB+1/2→OD

より
→OP・→OQ=(3/4→OA+1/4→OD)・(1/2→OB+1/2→OD)
=1/8→OD・→OB+1/8|→OD｜^2+3/8→OA・→OB+3/8→OA・→OD
=1/8(→OB+→BD)・→OB+1/8(1+t)+3/8cos2α+3/8→OA・(→OA+→AD）
=1/8+1/8(1+t)+3/8cos2α+3/8

1+(tanα)^2=1/(cosα)^2より
(cosα)^2=1/(1+(tanα)^2)=1/(1+t)
よってcos2α=2(cosα)^2-1に(cosα)^2=1/(1+t)を代入して
/8+1/8(1+t)+3/8cos2α+3/8をさらに整理していくと
5/8+(t/8)+3(1-t)/8(1+t)になりt=2を代入すると3/4…
答え-3/8なんですがどこが間違っているのでしょうか。解説よろしくお願いします
No.86910 - 2023/12/10(Sun) 00:54:57
☆ Re: / ヨッシー
問題が正しければ、3/4 で正しいです。

問題が間違っているか、答え-3/8 が間違っています。

一般化を意識されているのか、あるいは、前後の問題に一般化があるのか
分かりませんが、ｔをいつまでも残しておかないで、さっさと代入して、
　cos(2α)＝-1/3
にしてしまえば楽だと思います。
No.86912 - 2023/12/10(Sun) 08:02:07
☆ Re: / りんご
誤)0＜s＜?@→(正)0<s<1
誤)線分AD上の点Pと線分BDの点Q→(正)線分AD上の点Pと線分
BD上の点Qを

それ以外は問題文間違ってないはずなんですが…

この問題2023年の工学院のｓ日程の数学の[2]なんですが資料請求で来る問題集の答えも赤本に載ってる答えも-3/8なんですが…

問題集にのっているちょこっと解説によると
→ＯＡ・→ＢＤ=1-cos2α=4/3より→ＯＰ・→ＰＱ=(→ＯＡ+1/4→ＡＤ)・(3/4→ＡＤ-1/2→ＢＤ)=-3/8
になっていて実際計算してみると-3/8になるんですけど
(この問題の前に内積→ＡＤ・→ＢＤをtを用いて表せという問題があり答えは{t(t-1)}/(t+1)です
No.86913 - 2023/12/10(Sun) 09:07:32
☆ Re: / ヨッシー
→OP・→OQ　じゃなくて、
→OP・→PQ　を聞かれてるんですね。
確かに問題は正しいです。
No.86914 - 2023/12/10(Sun) 11:39:20
★ (No Subject) / 山田山
アンダーラインが引かれている場所が何故こうなるのか分かりません。解説を宜しくお願いします。
No.86902 - 2023/12/09(Sat) 11:38:22
☆ Re: / ast
書いてある通りの「正弦定理
　(i.e. (BC/sin∠CAB=)AB/sin∠ACB=AC/sin∠ABC=2R)
より」 (この「より」も, 分母を払うだけのこと) でしょう.
# いまは定理の式の BC/sin∠CAB の部分は要らないのと,
# 設定が外接円の半径 R=1, ∠ACB=∠ABC=(π/2)-(θ/2) (∠CAB=θ),
## とくに, 「いま要る」部分の分母が共通の値になるので, これらは「分母を払う」部分に利いている
# あと (そこで詰まっての質問ではないとは思うが為念) sin((π/2)-(θ/2))=cos(θ/2) は初歩的な公式.

仮にまだピンと来ていない場合:
　正弦定理は分かっていますか? (曖昧である場合はちゃんと教科書の正弦定理に関する記述を参照しながら解説を辿るようにしていますか?)
No.86905 - 2023/12/09(Sat) 14:03:33
☆ Re: / 山田山
正弦定理の理解が甘かったようです。ご回答ありがとうございました。
No.86918 - 2023/12/11(Mon) 14:21:52
★ 二次関数の共有点 / 谷
この場合、最小値とはどこのことを指しているのですか？共有点のy座標のことですか？

a=-1の時に、C1とC3はどちらも(-1,0) (2,0) でX軸と共有点を持っているのは理解できるのですが、最小値が、0になることがよく分かりません。教えて頂きたいです。
No.86901 - 2023/12/09(Sat) 09:00:03
☆ Re: 二次関数の共有点 / ast
> 最小値とはどこのことを指しているのですか？
「どこ」ではありません. 問われているのは "l の最小値" ("1重点の数の最少個数") です.
> 最小値が、0になることがよく分かりません。
a=-1 のとき 1重点 (, 2重点, 3重点それぞれ) は何個あるか分かりますか?
No.86903 - 2023/12/09(Sat) 13:50:21
☆ Re: 二次関数の共有点 / 谷
> > 最小値とはどこのことを指しているのですか？
> 「どこ」ではありません. 問われているのは "l の最小値" ("1重点の数の最少個数") です.
> > 最小値が、0になることがよく分かりません。
> a=-1 のとき 1重点 (, 2重点, 3重点それぞれ) は何個あるか分かりますか?

a=-1のときは、2重点2つのみだと思います。ということはa=-1のとき1重点は無いため、最小値の0になるということですか？
No.86908 - 2023/12/09(Sat) 18:26:01
☆ Re: 二次関数の共有点 / ast
> a=-1のときは、2重点2つのみだと思います。
そうですね, つまり a=-1 のとき "1重点 0 個, 2重点 2 個, 3重点 0 個" です. "a=-1 のとき l=0, m=2, n=0" がそれを述べた式ということです.
またたとえば a=1 のときは 1重点が 4 個, 2重点が 1 個, 3重点が 0 個 (たぶん……) なので, 式は l=4, m=1, n=0 です.
もとの (3) では l の値だけが訊かれているので m, n は調べなくてもいいですが, 同様にして他の a に関しても調べると, (aの値によって) l=0,2,4 の三通りの値しかとらないと思います (私が勘違いしていなければですが……. あまりきちんと書き出していませんので抜けがあるかもしれません). 本来はそうして l の取り得る値がはっきりした時点でやっと 0 が最小値であると確認できます. l=0,2,4 という l がとり得る 3 つの値の中で最小なのは l=0 だというのが (3) の「最小値」の意味だということです.
# とはいえ「個数を数える」というのは 0 以上の整数を割り当てることになるので, 0 個になることがあるならその時点で最小と短絡しても構わないと言えば構わないのかもしれないが.

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余談? (「ここまでの説明が伝わっている手ごたえがあまりないので, もっと原理的なところにさかのぼった話が必要とは思うけれど, 趣旨をハッキリさせようとすると長くなるので自分でもまとまりが悪いと感じる内容があったり, 読んでもらうにも質問者への負担を大きく掛けるものになってしまって, 書いても読んでもらえないと思っていて普段は避けているが, 根気よく読んでくれるならばと期待して書いておく」的なもの):
煩わしくなるのであまりしないとは思いますが, パラメータ a に依存して決まる対象すべてにパラメータ a を明示する形で問題文を
「a を実数の定数として 3 つの2次函数 f[a](x)=x^2-x-2, g[a](x)=2x^2-4ax+3a^2-2a+1, h[a](x)=-x^2-ax+a^2+1 を考える. y=f[a](x),y=g[a](x),y=h[a](x) のグラフをそれぞれ C[1,a], C[2,a], C[3,a] とし, x-軸上の任意の点 P に対して, C[1,a], C[2,a], C[3,a] のうちその点を通るものがちょうど i[a]-個であるものの個数を i[a]=1,2,3 のそれぞれに応じて l(a), m(a), n(a) とする.」と書き直したならば,
# ※1. f(x) は a を含まないけれど便宜上 (すべての a に対して f[a]=f という意味で) パラメータ a に依存するものとした
# ※2 原文に忠実に「その点 P を通るものがちょうど i[a] 個あるとき点P を i[a]-重点ということにする」と
# 　書き直しても結局 1重点, 2重点, 3重点と呼んだとき a は見えないので
#　　あとの小問でこの呼称を用いる部分が無いことも踏まえて, このあたりの表現は改変した.

ここで一番に気を付けることとして, a は任意の値と仮定してよいが最初にいちど値を任意にとった後はしばらく (上記の「」の中ではずっと) ひとつの値に止めたままの話であるということがあります. しかしひとまず a の値を決めるごとに定まる 3 つの数値 l(a),m(a),n(a) の値のきめ方 (決定アルゴリズム) が定まったならば, たとえば上記の文の後に加えて「a を任意の実数値にわたって変化させるとき, 3つの a の函数 l(a), m(a), n(a) について以下の問いに答えよ」のような文を挿入して a を変化させたときの l(a),m(a),n(a) の挙動を各小問で問うているという話に変わっています. なのでたとえば

　(0) 3つの函数 l=l(a), m=m(a), n=n(a) の値域 (取りうる値) を答えよ.
# 記号の濫用で l=l(a) のように書いているものは, たとえば y=l(a) とかでもいいがもとのグラフの y とは関係ないし不必要に使う文字を増やしたくなかったのでこう書いている.
とか
　(3') 3つの函数 l=l(a), m=m(a), n=n(a) について, l,m,n それぞれの最大値および最小値を答えよ (それぞれの値をとる a の値も明示せよ)
のような問題を設定できるということになります.
# もとの各小問も同様に書き直せますし, たぶん細かい意図はその方が説明しやすいこともあると思います.
## 例えば (4) は l(a)+m(a)+n(a) という同じ a に対する l,m,n の和の値について a を変化させる話であって
## l(a)+m(b)+n(c) (b,c は a の「コピー」だけど a と独立に値を決められるという意味で別のパラメータ) を考えたりすると
## 問われていることと違うものを考えたことになってしまう, とか.
No.86909 - 2023/12/09(Sat) 22:29:05
☆ Re: 二次関数の共有点 / 谷
とてもご丁寧な解説ありがとうございます。
お陰で疑問が解消され、理解が深まりました＾＾

本当にありがとうございました。
No.86915 - 2023/12/10(Sun) 16:47:50
★ 高3　包除原理 / ゆう
この問題の解き方が全く分かりません。
解説を知りたいです。
No.86894 - 2023/12/08(Fri) 20:53:49
☆ Re: 高3　包除原理 / ゆう
特に⚫の3つ目の分数の部分が全く理解出来ません。
No.86895 - 2023/12/08(Fri) 21:14:44
☆ Re: 高3　包除原理 / ヨッシー
国語に合格の集合をＡ、英語に合格の集合をＢ、数学に合格の集合をＣとします。
集合Ａの要素数を |Ａ| で表すことにすると、
１つめの●より
　|Ａ|＝279、|Ｂ|＝301、|Ｃ|＝232　・・・(1)
２つめの●より
　|Ａ∩Ｂ∩Ｃ|＝22　　・・・(2)
　|Ａ∪Ｂ∪Ｃ|＝ｘ−130　（ｘは全生徒数。以下同じ）　・・・(3)
３つめの●より
　|Ａ∪Ｂ|＝|Ａ|＋|Ｂ|−|Ａ∩Ｂ|＝3x/4　・・・(4)
　|Ａ∪Ｃ|＝|Ａ|＋|Ｃ|−|Ａ∩Ｃ|＝2x/3　・・・(5)
　|Ｂ∪Ｃ|＝|Ｂ|＋|Ｃ|−|Ｂ∩Ｃ|＝x/2　・・・(6)
(4)(5)(6)に(1) を代入しつつ変形すると
　|Ａ∩Ｂ|＝580−3x/4
　|Ａ∩Ｃ|＝511−2x/3
　|Ｂ∩Ｃ|＝533−x/2
これを、包除原理の式
　|Ａ∪Ｂ∪Ｃ|＝|Ａ|＋|Ｂ|＋|Ｃ|−|Ａ∩Ｂ|−|Ａ∩Ｃ|−|Ｂ∩Ｃ|＋|Ａ∩Ｂ∩Ｃ|
に代入すると
　ｘ−130＝279＋301＋232−(580−3x/4)−(511−2x/3)−(533−x/2)＋22
これを解いて
　11x/12＝660
　ｘ＝720(人)　・・・答え
No.86896 - 2023/12/09(Sat) 01:37:47
☆ Re: 高3　包除原理 / ast
ヴェン図を眺めると
　一つ目の●で 1科目のみ合格者が 1 回, ちょうど2科目合格者が 2 回, 3科目合格者が 3 回;
　三つ目の●で 1科目のみ合格者が 2 回, ちょうど2科目合格者が 3 回, 3科目合格者が 3 回,
それぞれ数えられているので (包除原理と同じ理屈で, 数える回数を調整して)
　x-130 = (3/4+2/3+1/2)x - (301+279+232) + 22
が導かれることになりますね (まあこの式自体は, ヨッシーさんの式と本質的に同じ式ですが).
# i.e. 279+301+232-580-511-533=-(301+279+232).

> 特に⚫の3つ目の分数の部分が全く理解出来ません。
それは割合の話が分からないという意味か, 割合なのは分かるが本問で活用できそうにないという意味か (あるいはもっと別の意味か) でだいぶ内容が異なると思いますが, どっち?
No.86897 - 2023/12/09(Sat) 02:40:45
★ 高3 整数 ユークリッド / 谷
x=7 y=18 なのですが、これをユークリッドの互除法出とく方法が知りたいです。
No.86890 - 2023/12/08(Fri) 14:46:50
☆ Re: 高3 整数 ユークリッド / ヨッシー
まず、最小かどうかわからないが、解を１つ見つけるのに、
31 と 12 で互除法を使います。
　31＝12×2＋7
　12＝7×1＋5
　7＝5×1＋2
　5＝2×2＋1
これを逆にたどると、
　1＝5−2×2　　2＝7−5×1 を代入して
　1＝5−(7−5×1)×2＝5×3−7×2　　5＝12−7×1 を代入して
　1＝(12−7×1)×3−7×2＝12×3−7×5　7＝31−12×2 を代入して
　1＝12×3−(31−12×2)×5＝12×13−31×5
ここまでで、
　ｘ＝−５、ｙ＝−１３
という解が見つかります。ｘに１２、ｙに３１ を足しても、
等式は成り立ったままですので、
　ｘ＝７、ｙ＝１８
が得られます。
No.86891 - 2023/12/08(Fri) 15:44:32
☆ Re: 高3 整数 ユークリッド / 谷
ご丁寧な解説ありがとうございます。
お陰で解けるようになりました＾＾
No.86892 - 2023/12/08(Fri) 18:13:47
★ 積分を含む関数 / ダガ−ネット
f(x)=1+∫[t=0→x](t^2+1)f(t)dtを満たす関数f(t)を求めよ。
という問題なのですが、部分積分していも簡単な形にならず行き詰ってしまいました。

f(x)=x+{(t^3/3+t)f(t) [t=0→x]}-∫[t=0→x](t^3/3+t)f'(t)dt
=x+(x^3/3+x)f(x)-∫[t=0→x](t^3/3+t)f'(t)dt

解き方を教えてください。
No.86889 - 2023/12/08(Fri) 12:21:16
☆ Re: 積分を含む関数 / X
元の等式を(A)とします。

(A)の両辺をxで微分すると
f'(x)=(x^2+1)f(x) (A)'
これより
f'(x)/f(x)=x^2+1
両辺xで積分すると
log|f(x)|=(1/3)x^3+x+C[1]
(C[1]は任意定数)
f(x)=±e^((1/3)x^3+x+C[1])
ここで更に
±e^C[1]=C
と置くと
f(x)=Ce^{(1/3)x^3+x}
これはC=0のときも成立するので
f(x)=Ce^{(1/3)x^3+x}
(Cは任意定数)

さて(A)にx=0を代入すると
f(0)=1
∴(B)から
C=1
よって
f(x)=e^{(1/3)x^3+x}
No.86893 - 2023/12/08(Fri) 18:59:25
☆ Re: 積分を含む関数 / ast
与えられた条件を "微分方程式の初期値問題 f(0)=1, f'(x)=(x^2+1)f(x)" と読んだのであれば,
> log|f(x)|=(1/3)x^3+x+C[1]
の時点で x=0 として C[1]=0 と決まるので
> ここで更に
> ±e^C[1]=C
> と置くと
> f(x)=Ce^{(1/3)x^3+x}
> これはC=0のときも成立するので
の部分はまるまる無意味な議論ではないですか?
# つまり, 本問において C[1] あるいは C は「任意」定数ではなく, 初期条件から決まる「特定の」定数.
No.86898 - 2023/12/09(Sat) 02:50:31
☆ Re: 積分を含む関数 / X
＞＞astさんへ
ダガ−ネットさんはこの問題を解くにあたり、微分方程式を解くという
考え方を全く知らないと見ましたので、(A)'を変数分離法を使って解く
に当たり、教科書通りのセオリーで
f(x)=…
の形の一般解を求めてから、f(0)=1を満たす解を求める方針を使いました。

ですが、簡単に解くのであれば確かにastさんの仰る通りですね。
No.86906 - 2023/12/09(Sat) 15:43:46
★ 数学A（場合の数） / ユミ
（問）〇または×を適当に合計８個並べるとき、５回以上〇が連続する並べ方は何通りあるか。

という問題についてですが、私は地道に場合分けして、
（ア）〇が８回連続するとき、１通り。
（イ）〇が７回連続するとき、２通り。
（ウ）〇が６回連続するとき、５通り。
（エ）〇が５回連続するとき、１２通り。
よって、全部で２０通り。

と、答えは合っていたのですが、
同じクラスの男子が、下のような解答をして、高校の先生から「よくこんな発想ができたね。」と褒められていました。

「合計n個の〇または×を並べたとき、５個以上の〇が連続しない並べ方をX(n)とすると、
X(1)＝２、X(2)＝４、X(3)＝８、X(4)＝１６、X(5)＝31
であるから、
X(6)＝２＋４＋８＋１６＋３１＝６１、
X(7)＝４＋８＋１６＋３１＋６１＝１２０、
X(8)＝８＋１６＋３１＋６１＋１２０＝２３６
よって、合計８回投げて５回以上連続する並べ方は、
２５６−２３６＝２０通り。」

おそらく、
漸化式 X(n+5)＝X(n)＋X(n+1)＋X(n+2)＋X(n+3)＋X(n+4)
を見出して計算していると思うのですが、私にはこの漸化式みたいなのがどう考えたのか、さっぱり分かりませんでした。
　でも、なんか応用性がありそうなので、理解したいと思い、質問させていただきます。
考え方が分かる方、御教授頂けると嬉しいです。
No.86885 - 2023/12/06(Wed) 16:44:21
☆ Re: 数学A（場合の数） / ヨッシー
X(n) の内訳を、右端に○がいくつ並んでいるかで
X(n)→(x0, x1, x2, x3, x4) と書くことにします。
x0：右端が×、x1：１個○がある・・・x4：４個○がある。

X(1)→(1, 1, 0, 0, 0)，X(1)=2
X(2)→(2, 1, 1, 0, 0)，X(2)＝4
X(3)→(4, 2, 1, 1, 0)，X(3)＝8
X(4)→(8, 4, 2, 1, 1)，X(4)＝16
X(5)→(16, 8, 4, 2, 1)，X(5)＝31
X(6)→(31, 16, 8, 4, 2)，X(6)＝61
のように、伝播していきます。

X(n) のすべての場合は、×を右につけることにより　X(n+1) の中の x0 になり、
X(n) の中の x0 は、○を右に付けることにより X(n+1) の中の x1 になり
x1 は x2 になり、x2 は x3 になり、x3 は x4 になり、x4 は外れていきます。
No.86886 - 2023/12/06(Wed) 17:46:35
☆ Re: 数学A（場合の数） / ユミ
ヨッシー様、御回答有難うございます。
隣に〇が何個あるか、という観点で5つの状態からの推移を考えたということですね。私には難しいですが、腑に落ちるまでもう一度考えてみたいと思います。
有難う御座いました。
No.86887 - 2023/12/08(Fri) 00:53:34
☆ Re: 数学A（場合の数） / ヨッシー
隣に、というより右端に○が何個連続しているか。
その右にさらに○か×を１つ加えたときの状態を考えています。
No.86888 - 2023/12/08(Fri) 06:30:48
★ どなたか教えていただきたいです。 / 安原遼
お願いします🙇‍♂️
No.86883 - 2023/12/04(Mon) 17:20:26
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