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★ (No Subject) / たこ
⑶と⑷お願いします
No.88286 - 2024/07/02(Tue) 23:56:04
★ 高一範囲 / たこ
方針だけでも良いのでお願いします
No.88285 - 2024/07/02(Tue) 23:55:00
☆ Re: 高一範囲 / らすかる
(x^2+2x+1)/(x^2-x+1)=kとおいて整理すると
(k-1)x^2-(k+2)x+(k-1)=0
k=1のときx=0
k≠1のときD=(k+2)^2-4(k-1)^2=-3k^2+12k=-3k(k-4)≧0を解くと
0≦k＜1,1＜k≦4
従って(与式)=kのとり得る範囲は0≦k≦4
No.88289 - 2024/07/03(Wed) 01:40:40
★ (No Subject) / 有栖川
三次方程式が３つの実数解をもち、その全ての解が有理数となるときの必要十分条件は何でしょうか？
No.88284 - 2024/07/02(Tue) 16:21:45
☆ Re: / らすかる
「3つの実数解」は「3つの異なる実数解」の意味と解釈して、
必要十分条件（の一つ）は
「三次方程式の全係数にある実数を乗ずることで
整数係数方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 となる」
かつ
「f(x)=x^3+bx^2+acx+a^2d, p[k](k=1〜n)はa^2dの約数(負も含む)として
Σ[k=1〜n][1/{(f(p[k]))^2+1}]=3」
ただし[1/{(f(p[k]))^2+1}]の[　]はガウス記号
No.88288 - 2024/07/03(Wed) 01:21:39
★ 高校数学 / まよいご
白玉ｎ個と赤玉ｒ個が袋に入っている。ただし、n≧０，ｒ≧１とする。この袋から無作為にｒ個の玉を同時に取り出すとき、赤玉がｒ個出る確率をP(n,r)とする。
⑴、P(n,r)を求めよ。n!r!/(n+r)!
⑵、Σ(n→∞)P(n,2) を求めよ。２
⑶、等式P(n,3)=aP(n,2)+bP(n+1,2)がすべてのnで成り立つように定数a,bの値を定めよ。　a=3/2 b=-3/2
⑷、Σ(n→∞)P(n,３) を求めよ。3/2

ここまでは求められたのですが、
⑸、r≧４のときΣ(n→∞)P(n,r) をrを用いて表せ。が分かりませんでした。　r/(r-1)
No.88280 - 2024/07/02(Tue) 11:29:38
☆ Re: 高校数学 / ast
# まず表記上の苦情.
# > Σ(n→∞)
# これでは n をいくつから足し始めるのかまったくわからん (正答からすると n=0 からのようだが).

(3) を利用して (4) が求まるのと同じ仕方で

　(3') 等式 P(n,r)=a⋅P(n,r-1)+b⋅P(n+1,r-1) が全ての n で成り立つように定数 a,b の値を定めよ (r を用いて表せ).

から (5) が求まります.
# 本問では a,b の関係からたまたま Σ_[n=0,1,…]P(n,r-1) の値を知る必要なく (5) は求まる
# (とくに r=3,r-1=2 の場合として, (2) が解けていなくとも (4) は出る) と思うが,
# 仮に値が必要だった場合には「値を予想して帰納法で証明」という手順がくるところ.
No.88281 - 2024/07/02(Tue) 14:15:58
☆ Re: 高校数学 / まよいご
あ、本当だ。 Σ(n→∞)　は、おっしゃるとおり０からでした。お手数をおかけしました。いただいたヒントを元にもう一回考えてみますね。どうもありがとうございました。
No.88282 - 2024/07/02(Tue) 15:05:43
★ 数2 高3 / ふつつく
⑵の解き方を教えてください、お願いします
No.88278 - 2024/06/30(Sun) 21:40:00
☆ Re: 数2 高3 / X
条件から
P[1](α,-α^2),P[2](β,-β^2)
と置くことができ、又、(1)の過程から
α、βはtの二次方程式
2t^2-3at-1=0
の解ですので、解と係数の関係から
α+β=3a/2 (A)
αβ=-1/2 (B)
∴線分P[1]P[2]の中点をQとすると
↑OQ=(↑OP[1]+↑OP[2])/2
=((α+β)/2,-(α^2+β^2)/2)
=…
No.88279 - 2024/06/30(Sun) 22:41:02
☆ Re: 数2 高3 / ふつつく
とても理解してできました、ありがとうございます
No.88290 - 2024/07/03(Wed) 09:44:04
★ (No Subject) / あばぬでい
式変形についてです。

解説の部分で、

(√2 -1)((√2 +1)^n　　　-1)　　/ √2

という分数が、

(√2 +1)^（n-1） - √2+1　　　/ √2

に、式変形されていました。
おそらく展開した時の結果をまとめているんだと思いますが、プロセスが明示されていないためどのような処理をしたのかが分からず、迷っています。

よろしくお願いいたします。
No.88276 - 2024/06/30(Sun) 17:20:15
☆ Re: / IT
分子の
(√2 -1)((√2 +1)^n　　　-1)　
＝(√2 +1)^（n-1） - √2+1　
を示せば良いですか？

(√2 -1)を(√2 +1)^n　と　-1 　それぞれに掛けるとどうですか？
(√2 -1)*(√2 +1)は計算できますか？


　
No.88277 - 2024/06/30(Sun) 17:52:21
★ (No Subject) / LL
ベクトルの問題です。
「O(0,0,0) A(6,0,-2) B(0,6,3) C(5,-1,6)を4つの頂点とする四面体の体積Vを次の手順で求めたい。
※↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OCベクトル=↑cとする」

2:点Cから平面OABにおろした垂線の足をHとする。↑CHを↑a、↑bを用いて表せ。
ヒント
・点Hは平面OAB上の点である。
・↑CHは平面OABと垂線なので↑aベクトル、bベクトルと垂線である。」
よろしくお願いいたします。
No.88270 - 2024/06/29(Sat) 13:37:30
☆ Re: / X
＞＞↑CHを↑a、↑bを用いて表せ。
を
↑CHを↑a、↑b↑、cを用いて表せ。
のタイプミスと見て、方針を。

点Hは平面OAB上の点なので
↑OH=x↑a+y↑b (A)
(x,yは定数)
と置くことができます。
又、↑CH⊥↑a,↑CH⊥↑bより
↑CH・↑a=0
↑CH・↑b=0
∴
(↑OH-↑c)・↑a=0 (B)
(↑OH-↑c)・↑b=0 (C)
(B)(C)に(A)を代入して整理をすると
x|↑a|^2+y↑a・↑b=↑c・↑a (B)'
y|↑b|^2+x↑a・↑b=↑b・↑c (C)'
ここで条件から
|↑a|^2=|↑OA|^2=40
|↑b|^2=|↑OB|^2=45
↑a・↑b=↑OA・↑OB=-6
↑b・↑c=↑OB・↑OC=12
↑c・↑a=↑OC・↑OA=18
∴(B)'(C)'は
40x-6y=12 (B)"
45y-6x=18 (C)"
(B)"(C)"を連立して解き、
(x,y)=…
∴↑CH=↑c-(x↑a+y↑b)
=…
No.88272 - 2024/06/30(Sun) 05:44:51
☆ Re: / LL
ありがとうございます。

問題では、「↑CHを↑a、↑bを用いて表せ。」
となっており、↑cが入っていないんですよね…
どうしても↑Cが入ってしまい、
↑Cをどのように消すのかが分からず
困っていまして…
No.88273 - 2024/06/30(Sun) 09:27:24
☆ Re: / X
条件から
↑CH⊥(平面OAB)
ですので、↑CHを↑a,↑bの二つのみの一次結合で
表すことはできません。
必ず、平面OABに含まれないベクトルが必要です。
恐らく問題文の誤植だと思います。

考えられる誤植としては、No.88272のように
↑cの記述が足りないか、或いは↑CHが↑OHの
誤植という場合もあり得ます。

確認ですが、ご質問の問題は高校数学の範囲での
問題ですか？
もしそうでないなら、外積を実際に使うための
(大学の)教科書レベルの練習問題、ということも
考えられますので。
No.88274 - 2024/06/30(Sun) 11:27:08
☆ Re: / LL
ありがとうございます。
問題は数C（高校3年）です。
学校の自作プリントでしたので
Xさんのおっしゃる通り誤植の可能性が考えられます。
おっしゃっていただいてなんだかスッキリしました。
No.88275 - 2024/06/30(Sun) 15:31:41
★ (No Subject) / 有栖川
aを正の定数として、x>0のとき
y=a^x+x^a
のグラフの概形は書けるのでしょうか？（グラフソフトなどではなく手でやる場合です）
No.88268 - 2024/06/27(Thu) 12:44:46
☆ Re: / らすかる
aが具体的に与えられていないのであれば
「正確なグラフ」は必要ないことになりますので、
aの値で適当に場合分けをして計算しやすいaの候補値を決めて
（例えばa=1/2,1,2などのように決めて計算しますが、
具体値は書かずにa＜1,a＝1,a＞1という場合分けだけ書きます）
主要な点だけ打って
手書きでグラフの雰囲気が伝わる曲線を
描くぐらいでよいと思います。
No.88269 - 2024/06/29(Sat) 13:06:28
☆ Re: / IT
a＜1 のときは、さらにいくつかの場合に分かれて、増減などが異なってきますね。
No.88271 - 2024/06/29(Sat) 15:51:37
☆ Re: / 有栖川
ありがとうございます！
No.88283 - 2024/07/02(Tue) 15:33:27
★ 方程式 / ぴーたろ
東京電機大学2016の大問3の一部分なんですが、
この方程式を変形してx=にしたいと思います。

答えはx=1/aであることはわかっていますが、変形の過程を教えてください。

よろしくお願いします。
No.88260 - 2024/06/26(Wed) 17:44:26
☆ Re: 方程式 / X
問題の方程式の実数解が
x=1/a
であることを示す問題であるなら、この方程式を
xについて解くという方針では解けません。

で、方針ですが以下の(i)(ii)の通りです。
問題の方程式を(A)として、
(i)(A)がx=1/aを解の一つとして持つことを示す。
(ii)(A)の実数解がx=1/a以外に存在しないことを示す。

(i)は既にできているので、(ii)について。
f(x)=e^(ax+a)-axe^(1+a)
と置くと
f'(x)=ae^(ax+a)-ae^(1+a)
=a{e^{(1+a)x}-e^(1+a)}
これを元にf(x)の増減表を書き
f(x)≧0 (不等号の下の等号はx=1/aに成立)
を示します。
No.88261 - 2024/06/26(Wed) 18:23:41
☆ Re: 方程式 / ぴーたろ
Xさんありがとうございます。

x=1/aが解であることは解説を見てわかったことであり、普通に問題を解いている過程ではわかっていない前提です。

ということは、x=の形に変形することは諦めて他の解法で解くということですよね。
No.88262 - 2024/06/26(Wed) 18:37:05
☆ Re: 方程式 / IT
問題全体を示されてから質問される方が有効な回答が得やすいと思います。
下記に問題があります。大問３の（２）のようですので、あまり手間を掛けずに答案を作成すれば良いのだと思います。


https://suugaku.jp/kako/tokyodenki/
No.88264 - 2024/06/26(Wed) 21:07:02
★ (No Subject) / 小学21年生
わかりません、⑷です。教えて下さい
No.88259 - 2024/06/26(Wed) 13:18:08
☆ Re: / 独ソ不可侵条約
一番外側の三角形の黒石の個数だけに注目すると、
2段目まで 0
3段目まで 1
4段目まで 3
5段目まで 5
6段目まで 7
7段目まで 9
☆段目まででは3段目の1に2つを(☆-3)回追加しているので、
1+2✕(☆-3)=1+2✕☆-6=2✕☆-5　2✕☆-5個になります。
2番目の黒三角について考えます。
7段目まで 1
8段目まで 3
9段目まで 5
さっきと同様に,
☆段目まででは7段目の1に2つを(☆-7)回追加しているので、
1+2✕(☆-7)=1+2✕☆-14=2✕☆-13　2✕☆-13個になります。

3個めの黒三角について考えます。
1つ目の三角のてっぺん 3段目
2つ目の三角のてっぺん 7段目
ときたら3つめのてっぺんは11,4つめは15,5つめは19となります。6つめの三角は23なので無視でOKです。

また、てっぺんが3段目のとき
「☆段目まででは3段目の1に2つを(☆-3)回追加している」という考え方で解けました。同じ考え方で3,4,5番目の三角形も考えると、
3つめの三角形 てっぺん 11
1+2✕(☆-11)=1+2✕☆-22=2✕☆-21
4つめの三角形 てっぺん 15
1+2✕(☆-15)=1+2✕☆-30=2✕☆-29
5つめの三角形 てっぺん 19
1+2✕(☆-19)=1+2✕☆-38=2✕☆-37

また、☆に入るのは「20段目」より20、だから
2✕20-5 + 2✕20-13 + 2✕20-21 + 2✕20-29 + 2✕20-37
= 35 + 27 + 19 + 11 + 3
= 62 + 30 + 3
=95
というわけで答えは95個になります。
No.88265 - 2024/06/26(Wed) 21:46:55
☆ Re: / 独ソ不可侵条約
＜補足＞
「3段目の1に2つを(☆-3)回追加しているので」について
4段目で1回、
5段目で2回、
6段目で3回足すことになるので、
☆段目では☆-3になります。
No.88266 - 2024/06/26(Wed) 21:48:42
★ (No Subject) / 曇り
2つの条件
<1>nの正の約数が4個以上存在する
<2>nの1とｎ以外の任意の2個の正の約数l,m(l≠m)について
｜ｌ−ｍ｜≦3が成り立つ

を満たす自然数nについて次の[1][2]に答えよ

[1]nが偶数であるとき＜1＞＜2＞を同時に満たすnの値は{1}個ありそのうちの最大値は{２}{3}である

[２]nが5の倍数であるとき<1>＜2＞を同時に満たす時nの値は{4}個ありそのうちの最大値は{5}{6}である

[1]nを素因数分解したとき因数として2のみしか出ない時
n=2^a(a≧3の時正の約数は4個以上になりかつその約数の中に2と4が含まれているので|2-4|=2<3になり条件を満たす

nを素因数分解したとき因数2が2が出でてくるとき
N=2^2・a・ｂ(因数2以外の素数が1個以上存在すれば正の約数は4以上になる)なおかつ約数の差の絶対値が3未満になるような組み合わせは
N=2^2・3(|2-3|=1)
N＝2^2・3・5(|5-3|=2)
…

条件を満たすNの最大値解答欄から考えると10以上99以下の値みたいだけどもっとそれ以上の値で<1><2>の両方を満たす値ってたくさんあると思うんですけど…
例えば
2^10=1024で2の倍数かつ正の約数は(1+10)=11個，また正の約数の任意の数2,4の差の絶対値は2<3

2^2・3^3・5=180の正の約数は3×4×2=24個あり180は2の倍数である。また180の正の約数の6と4の差の絶対値は2<3

2・3・5・7=210の正の約数の個数は2・2・2・2=16個あり210は2の倍数である。また210の正の約数の3と5の差の絶対値は2<3である。

いくらでも候補あるじゃん……(問1，問2)の解答解説よろしくお願いします
No.88257 - 2024/06/26(Wed) 11:16:26
☆ Re: / ヨッシー
任意の２個のというのは、
どの２個を選んでも
ということです。
No.88258 - 2024/06/26(Wed) 11:29:04
★ 数学B / posin
高2 数B

初項から第n項までの和がn²である数列において、第1項,第3項,第5項,......と順番に1つおきにとって新たに定められた数列の第n項を求めよ。

の解き方を教えていただきたいですよろしくお願いします🙇
No.88252 - 2024/06/25(Tue) 17:39:25
☆ Re: 数学B / ヨッシー
元の数列を a[n] とすると、
　a[1]＝S[1], a[n]＝S[n]−S[n-1]
より、
　a[n]＝2n-1　・・・奇数列
とわかるので、求める数列は、
　1, 5, 9, 13,・・・
という数列なので、　4n−3
No.88253 - 2024/06/25(Tue) 18:36:45
★ (No Subject) / poppin
高２

次の数列｛an｝の一般校を求めよ。
2,5,14,35,74,137,230,・・・・・・

の求め方を教えていただきたいですm(__)m
No.88251 - 2024/06/25(Tue) 17:29:25
☆ Re: / らすかる
2,5,14,35,74,137,230,・・・・・・
階差をとって
3,9,21,39,63,93,・・・・・・
階差をとって
6,12,18,24,30,・・・・・・
これの一般項は6nなので
一つ上は3+Σ[k=1〜n-1]6k=3n^2-3n+3（これは初項も成り立つ）
そして元の数列は
2+Σ[k=1〜n-1](3k^2-3k+3)=n^3-3n^2+5n-1（これも初項も成り立つ）
No.88254 - 2024/06/25(Tue) 18:52:37
★ (No Subject) / マコーレーカルキソ
連立方程式の問題です

3a+2b+c=0
12a+4b+c=0
a+b+c+d=6
8a+4b+2c+d=5

この時のa,b,c,dの値の求め方がわかりません。
ちなみに答えは
a=2,b=-9,c=12,d=1
です。
No.88248 - 2024/06/25(Tue) 00:32:40
☆ Re: / らすかる
3a+2b+c=0 … (1)
12a+4b+c=0 … (2)
a+b+c+d=6 … (3)
8a+4b+2c+d=5 … (4)

(4)-(3)から 7a+3b+c=-1 … (5)
(2)-(1)から 9a+2b=0 … (6)
(2)-(5)から 5a+b=1 … (7)
(7)×2-(6)から a=2
a=2を(7)に代入して b=-9
a=2,b=-9を(5)に代入して c=12
a=2,b=-9,c=12を(3)に代入して d=1
No.88249 - 2024/06/25(Tue) 00:58:53
★ (No Subject) / 算数
⑶です。


AR:AQ=三角形APR:三角形APQ
の三角形APQですが
なぜ1*1/2*4/(4+3)*4/(4+3)になるのですか？
No.88247 - 2024/06/24(Mon) 23:52:24
☆ Re: / X
平行四辺形ABCDの面積を1とすると
(△ADCの面積)=(平行四辺形ABCDの面積)×(1/2)=1×(1/2)
なので
(△ADQの面積)=(△ADCの面積)×(CQ/CD)
=(△ADCの面積)×{4/(4+3)}
=1×(1/2)×{4/(4+3)}
よって
(△APQの面積)=(△ADQの面積)×(AP/AD)
=(△ADQの面積)×{4/(4+3)}
=1×(1/2)×{4/(4+3)}×{4/(4+3)}
となります。
No.88306 - 2024/07/05(Fri) 22:51:18
★ (No Subject) / 算数
大問３の⑴についてです。

教えてください
No.88241 - 2024/06/23(Sun) 20:07:06
☆ Re: / X
添付写真では描いてから中途半端に消されている
補助線があるので、それに沿って回答を。

辺AQ,BCの延長線の交点をEとします
このとき
△ADQと△CEQは相似
であり、その相似比は
DQ:CQ=4:3
従って、対応する辺の比もこれと同じになり
AD:CE=4:3=1:(3/4) (1)
更に、このとき
△BERと△ARPも相似
よって、これの相似比と(1)と条件により
BR:RP=BE:AP=(BC+CE):{AD×(AP/AD)}
={AD+AD×(3/4)}:{AD×(4/7)}
=(7/4):(4/7)
=49:16
No.88243 - 2024/06/23(Sun) 20:53:06
☆ Re: / 小学21年生
返信ありがとうございます。

ad:CE=4:3は理解出来ましたがなぜ1:(3/4)になるのですか？
No.88245 - 2024/06/23(Sun) 22:23:59
☆ Re: / X
例えば
16:12は、16,12を同じ値4で割ることにより
16:12=4:3
とできることはよろしいですか？
同じように4,3を4で割ることを考えてみましょう。
No.88246 - 2024/06/23(Sun) 22:34:57
★ (No Subject) / 小学21年生
1番下の問題について分かりやすく解説お願いします。
No.88236 - 2024/06/23(Sun) 10:27:27
☆ Re: / X
問題の斜線の部分の図形
(条件から正方形となります)
の頂点を
辺AF,DEの交点から
時計回りにI,J,K,Lと置きます。

このとき、条件から
IJ=AI=JK=BJ
よって
(△ABJの面積)=(1/2)×(AI+IJ)×BJ
=(1/2)×(IJ+IJ)×BJ
=IJ×BJ
=(正方形IJKLの面積)
ここで条件から
△ABJと△BCK,△CDL,△DAIはいずれも合同
で、図を見てわかる通り、正方形ABCDは
△ABJ,△BCK,△CDL,△DAIと正方形IJKL
を組み合わせてできているので、
(求める面積)=(正方形ABCDの面積)×{1/(4+1)}
=10[cm]×10[cm]×(1/5)
=20[cm^2]
No.88240 - 2024/06/23(Sun) 15:11:01
★ (No Subject) / 有栖川
こちらの問題についてですが、以下のように考えて極限値2と出たのですが、あっているでしょうか？
No.88232 - 2024/06/23(Sun) 00:11:50
☆ Re: / 有栖川
(2)です。
No.88233 - 2024/06/23(Sun) 00:13:49
☆ Re: / ast
極限値は 1 ではないですか?
# なんらかの極限の交換定理が適用できるなら 1 なので.
# (まあ適用できるものがあるのかどうかすら私は何も検討していないが.)

ざっと見た限り解き方は問題なさそうなので, ケアレスミス (たぶん d((X^3+X)/2)/dX のところの 1/2 が抜けてる?) 程度のことかと.
No.88234 - 2024/06/23(Sun) 04:28:16
☆ Re: / 有栖川
本当ですね…まとめて計算していて気づきませんでした。ありがとうございます！
No.88237 - 2024/06/23(Sun) 12:09:10
★ 中学3テスト / メガネ
放物線y=x2乗+ax+3をx軸方向に1、y軸方向に2だけ平行移動した放物線の方程式は
y-2=(x-1)2乗+a(x-1)+3 と解説にかいてあるのですが、なぜy+2ではなくy-2なのかがわかりません。
わかりやすく教えてください。
No.88231 - 2024/06/22(Sat) 22:31:19
☆ Re: 中学3テスト / X
問題文では
＞＞y=x2乗+ax+3
をx軸方向に1だけ平行移動する
ありますが、このとき
＞＞y=x2乗+ax+3
のxにx-1を代入している理由は理解できていますか？
No.88235 - 2024/06/23(Sun) 09:17:17
☆ Re: 中学3テスト / IT
教科書や参考書などにグラフ付きで説明してあるのではないでしょうか？

さて、少し問題を簡単にして
「放物線y=x2乗+ax+3を、y軸方向に2だけ平行移動した放物線の方程式」を考えます。
それはy=(x2乗+ax+3)+2であることは分りますか？
2を移項（両辺から2を引く）と
y-2=x2乗+ax+3 となります。

x の方は、この方式では説明しにくいですが、理解の一助になればと思います。
No.88238 - 2024/06/23(Sun) 12:15:40
★ (No Subject) / 小学23年生
大きい2番の⑶について分かりやすく教えて下さい。

よろしくお願いします
No.88229 - 2024/06/21(Fri) 21:49:05
☆ Re: / ヨッシー
(3)
点Ｑが辺ＤＣ上にあるのは、
　7と1/3秒〜16秒
　39と1/3秒〜48秒
　71と1/3秒〜80秒
点ＰがＡＢ上にあるのは
　0秒〜3と5/7秒
　13と5/7秒〜17と3/7秒
　27と3/7秒〜31と1/7秒
　41と1/7秒〜44と6/7秒

１つ目の可能性は
　13と5/7秒〜16秒
13と5/7秒の時点で、
　点Ｐは点Ａ上にあり、
　点Ｑは点Ａから 41と1/7cm つまり、点Ｄから 19と1/7cm の位置にあります。　
この 19と1/7cm を毎秒4cm ずつ縮めると、4秒以上かかるので、16秒を過ぎてしまいます。

２つ目の可能性は
　41と1/7秒〜48️秒
41と1/7秒の時点で
　点Ｐは点Ａ上にあり、
　点Ｑは点Ａから 123と3/7cm つまり、点Ｄから 5と3/7 cm の位置にあります。
この 5と3/7cmを毎秒4cm縮めると、1と5/14 秒かかります。
つまり、最初に出発してから
　41と1/7＋1と5/14＝42.5（秒）　
No.88250 - 2024/06/25(Tue) 17:04:28
☆ Re: / GandB
　この問題、なかなかおもしろかったのですが、不定方程式による解法をどう説明すれば算数の答案になるのか、思案に暮れていました（笑）。
　しかし、難しいですね。
No.88256 - 2024/06/25(Tue) 19:37:19
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