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★ (No Subject) / 有栖川
これの大問2の解説お願いします。
No.88402 - 2024/07/21(Sun) 11:13:02
☆ Re: / X
(1)
(i)
y=arctanxと条件から
tany=x (A)
両辺をxで微分すると
(dy/dx)/(cosy)^2=1 (A)'
ここで
1+(tany)^2=1/(cosy)^2
∴(A)を代入すると
1/(cosy)^2=1+x^2 (B)
(A)'(B)より
dy/dx=1/(1+x^2)
(ii)
問題の積分に部分積分を適用すると
(i)の結果により
∫ydx=xy-∫x(dy/dx)dx
=xy-∫{x/(1+x^2)}dx
=xarctanx-(1/2)log(1+x^2)+C
(Cは積分定数)
No.88404 - 2024/07/21(Sun) 16:57:45
☆ Re: / X
(2)
条件から
f(x)=∫[0→1]t|arctant-x|dt (C)
ここで(i)の結果により、arctantは
0≦t≦1において、単調増加
かつ
0≦arctant≦π/4＜1
よって
(I)0≦x＜π/4のとき
(C)から
f(x)=-∫[0→tanx]t(arctant-x)dt+∫[tanx→1]t(arctant-x)dt
=-∫[0→tanx]t(arctant)dt+(1/2)x(tanx)^2+∫[tanx→1]t(arctant)dt-(1/2)x{1-(tanx)^2}
=-∫[0→tanx]t(arctant)dt+∫[tanx→1]t(arctant)dt-(1/2)x+x(tanx)^2 (D)
∴f'(x)=-{2/(cosx)^2}xtanx-1/2+(tanx)^2+(2xtanx)/(cosx)^2
=(tanx)^2-1/2
∴f(x)はx=arctan(1/√2)のときに極小となり
(D)より
f(arctan(1/√2))=-∫[0→1/√2]t(arctant)dt+∫[1/√2→1]t(arctant)dt
=-[(1/2)(t^2)arctant][0→1/√2]+(1/2)∫[0→1/√2]{(t^2)/(1+t^2)}dt
+[(1/2)(t^2)arctant][1/√2→1]-(1/2)∫[1/√2→1]{(t^2)/(1+t^2)}dt
=-(1/4)arctan(1/√2)+(1/2)∫[0→1/√2]{1-1/(1+t^2)}dt
+π/8-(1/4)arctan(1/√2)-(1/2)∫[1/√2→1]{1-1/(1+t^2)}dt
=(1/2){1/√2-arctan(1/√2)}
+π/8-(1/2)arctan(1/√2)-(1/2){1-1/√2-π/4+arctan(1/√2)}
={1/√2-arctan(1/√2)}+π/8-(1/2)arctan(1/√2)-1/2+π/8
=1/√2-(3/2)arctan(1/√2)+π/4-1/2
=(√2-1)/2-(3/2)arctan(1/√2)+π/4

又、(D)より
f(0)=∫[0→1]t(arctant)dt
=[(1/2)(t^2)arctant][0→1]-(1/2)∫[0→1]{(t^2)/(1+t^2)}dt
=π/8-(1/2)∫[0→1]{1-1/(1+t^2)}dt
=π/8-(1/2)(1-arctan1) (∵)(1)(i)の結果
=π/4-1/2
(II)π/4≦x≦1のとき
(C)から
f(x)=-∫[0→1]t(arctant-x)dt=-∫[0→1]tarctantdt+x/2
=x/2-π/4+1/2 (∵)f(0)の値の計算過程から
∴f(x)は単調増加であり、又
f(π/4)=1/2-π/8
f(1)=1-π/4

(I)(II)から
f(1)-f(0)=3/2-π/2=(3-π)/2＜0
∴f(1)＜f(0)
以上から
f(x)の最大値はπ/4-1/2(このときx=0)
f(x)の最小値は(√2-1)/2-(3/2)arctan(1/√2)+π/4(このときx=arctan(1/√2))

(途中で計算間違いがあるかもしれません。ありましたらごめんなさい。)
No.88405 - 2024/07/21(Sun) 17:19:11
☆ Re: / 有栖川
ありがとうございます！
> =-∫[0→tanx]t(arctant)dt+∫[tanx→1]t(arctant)dt-x(1-2tanx)(C)
>∴f'(x)=-{2/(cosx)^2}xtanx-x(1-2tanx)
ここの部分ですが
x(1-2tanx)はxで微分しなくて良いのでしょうか？
No.88412 - 2024/07/22(Mon) 10:29:58
☆ Re: / 有栖川
> ∫[0→tanx]t(arctant-x)dt
ここで-txを積分しますから-1/2 x(tanx)^2となりませんかね？
No.88413 - 2024/07/22(Mon) 10:35:48
☆ Re: / X
ごめんなさい。その通りですね。
No.88405を修正しましたので、再度ご覧下さい。
但し、修正前と比べて、極小値があまり綺麗な値に
なっていないので、まだ間違いがあるかもしれません。
No.88423 - 2024/07/22(Mon) 19:51:27
☆ Re: / 有栖川
二度も計算していただきありがとうございました！
同じ計算結果を得られました！
No.88425 - 2024/07/22(Mon) 22:06:57
★ 数2 虚数 / アルファ
x は実数とする　a =x-i/2+i についてaが純虚数となる時のxの値を求めよ　
答えが1／2になるそうですがどのように求めればいいのですか？
No.88393 - 2024/07/20(Sat) 20:45:12
☆ Re: 数2 虚数 / IT
a =(x-i)/(2+i) の実部=0かつa≠0であればいい。
aの実部の２倍=a+a~ を計算します。（a~はaの共役複素数)
a+a~の実部だけ計算すれば良いです。
No.88394 - 2024/07/20(Sat) 21:16:34
☆ Re: 数2 虚数 / IT
a=bi (b は0以外の実数）とおいて計算する方が分かり易いかも知れません。
No.88396 - 2024/07/20(Sat) 21:22:42
☆ Re: 数2 虚数 / アルファ
どうやって実部を計算すれば良いのですか？
No.88397 - 2024/07/20(Sat) 21:44:33
☆ Re: 数2 虚数 / IT
普通に　a+a~　を計算してみてください。 実はこれの虚部は必ず０になります。
No.88398 - 2024/07/20(Sat) 22:02:39
☆ Re: 数2 虚数 / IT
(x-i)/(2+i) の分母の共役複素数を分母と分子に掛けるのが早いかも。
No.88399 - 2024/07/20(Sat) 22:11:13
★ 接ベクトルについて / プレジョン1
写真は平面曲線(y＝f(x)で表せないグラフ)の接ベクトルと接線の方程式について述べたものなのですが、２つほどわからないことがあります。
?@写真の赤線部のように接ベクトルは媒介変数t0で表されたx=ψ1(t0),y=ψ2(t0)をそれぞれ微分したものの成分(つまりγ'(t0)=(ψ1'(t0),ψ2'(t0)))が接ベクトルということですが、これがなぜ接ベクトルになるのかがわからないです。
確かに写真のようにPPh→/|PPh→|のhを0に近づけたら(つまりPhをP0に近づける)赤丸の式のようにγ'(t0)が分子に出てきますが、これはPPh→/|PPh→|のときに出てくるのであってPPh→だけのときにhを0に近づけてもγ'(t0)にはならないと思いました。
(lim[h→0]PPh→= γ'(t0)は成り立たない)なぜ、γ'(t0)=(ψ1'(t0),ψ2'(t0))が接ベクトルになるのか解説おねがいします。

?A青線部は媒介変数t0における曲線の接線の方程式ですが、これは高校数学の数IIで習う直線の方程式と比べると単位接ベクトルが接線の傾きになっていると思うのですが、なぜ単位接ベクトルが接線の傾きになるのでしょうか？

以上の2点について回答おねがいします。

写真1枚目: https://d.kuku.lu/fnbhrrugd

写真2枚目: https://d.kuku.lu/5ap2jmg7m

写真1枚目と2枚目は繋がっています。
No.88391 - 2024/07/20(Sat) 12:24:01
★ (No Subject) / やり直しメン
AE=(1/2)×BE=3/2=1.5
これはなぜこのように計算できるのですか？
No.88390 - 2024/07/20(Sat) 11:41:52
☆ Re: / X
次回から、同じ問題に対する質問は、返信フォーム
(スレ右上の返信ボタンをクリック)からしましょう。

で、回答ですが
AE:EB=1:2
から
AE/EB=1/2
となりますので
AE=(1/2)×EB
となります。
No.88392 - 2024/07/20(Sat) 13:30:11
☆ Re: / やり直しメン
勉強不足で申し訳ありません。
どうしてもなぜ1/2で計算出来るのかが分かりませんでした。

(１)の結果からEBは２
三角形の部分から比が取れるのでfb:pf＝3:2

ebの違う比が2つあるので最小公倍数して６という計算でも大丈夫なのでしょうか。

ebの違う比が2つあるので最小公倍数して６ではないのでしょうか
No.88395 - 2024/07/20(Sat) 21:20:26
☆ Re: / X
＞＞三角形の部分から比が取れるのでfb:pf＝3:2
とありますが、これはどの三角形を指しているのですか？

No.88389で書いた通り、
CF=4[cm]となることから
FB=6[cm]-4[cm]=2[cm]
ですので、FBの方はcmという単位がありますが
PFの方はEBと同じく単位がありませんので
FB:PFは一つの比として計算できないと思うのですが。
No.88400 - 2024/07/20(Sat) 23:02:31
☆ Re: / X
それともう一点、よくわからない点があるのですが。

＞＞(１)の結果からEBは２
としていますが、この
＞＞(１)の結果
とは
AE:EB=1:2
を指しているのでしょうか？

もしそうであるなら
AEが1
となり、
AEはEBの1/2
となることも分かるはずなのですが。
No.88401 - 2024/07/20(Sat) 23:33:03
★ (No Subject) / やり直しメン
算数です。

問四の㈡についです。

解説のところの(１)からAE＝1.5,AB＝4.5以降が理解できません。

教えてください。
No.88387 - 2024/07/19(Fri) 21:17:23
☆ Re: / X
(1)の結果から
AE:EB=1:2
ですので、EB=3とすると
AE=(1/2)×BE=3/2=1.5
AB=(3/2)×BE=9/2=4.5
又、条件から
CF=4[cm]
(これはよろしいですか？図から∠DFC=90°のように見えるから、ではだめですよ。
△CDFの面積が台形ABCDの面積の半分であることから導けます。)
ですので△BCEと△CPFを比較すると
PF:EB=CF:BC=4:6=2:3
よって
PF=(2/3)×EB=2
後はよろしいですね。
No.88389 - 2024/07/20(Sat) 10:58:02
★ ロピタルの定理について / プレジョン1
写真の定理4-5の証明についてですが、なぜ赤線部のように0<x<1/a'と範囲を定めるのですか？
またa'＝max{a,1}の1というのはどこから出てきたのですか？
青線部にF,Gを定理4-4に適応したら定理4-5か示せるとのことですが、この途中式？がわからないです。
以上の2点について回答おねがいします。

写真: https://d.kuku.lu/we7czu5ke
No.88382 - 2024/07/19(Fri) 13:38:42
★ ロピタルの定理の証明について / プレジョン1
写真はロピタルの定理をε-δ論法を用いて証明したものについてですがらわからないことが3つあります。
?@なぜδをさらに小さくすると、青線のような不等式が成り立つのですか？
?Aどの部分の不等式を変形したら赤線の不等式が出てくるのですか？
?B赤線の不等式が成り立つときなぜ定理が証明されたことになるのですか？

写真: https://d.kuku.lu/gvn8zg6cm

以上の３つについて回答おねがいします。
No.88379 - 2024/07/19(Fri) 04:23:47
☆ Re: ロピタルの定理の証明について / IT
> ?@なぜδをさらに小さくすると、青線のような不等式が成り立つのですか？
出典は何ですか？　記述が不正確なように思いますが信頼できる書籍ですか？正誤表はありませんか？
「したがって」など接続詞の使い方も変ですね。

後ろの不等式は
δではなくて、必要ならδよりさらに0に近いδ'>0 を取ると
a<x<a+δ' について　0< f(a+δ)/g(x)< ε　とできる。

ということでは？

その他の質問については、細かくは確認していませんが、単純な式変形などと思いますので、
「したがって」以降をご自分で転記して確認してみてください。
No.88384 - 2024/07/19(Fri) 19:45:51
★ 体積 / くま
ふと疑問に思ったんですけど、なぜ柱の体積は底面×高さで、錐の体積は1/3×底面×高さなのでしょうか？
詳しく教えていただきたいです。
No.88372 - 2024/07/18(Thu) 22:38:52
☆ Re: 体積 / ヨッシー



特殊な場合として、上の図のように、立方体から四角錐が
３つ切り出せることから事実として理解することは出来ます。

その他の場合、なぜ 1/3 倍になるのかということについては、
高校数学の積分による説明となります。
No.88381 - 2024/07/19(Fri) 10:13:28
☆ Re: 体積 / らすかる
立方体を、重心を頂点、1面を底面とする6個の合同な正四角錐に分けるのもなかなかわかりやすくて良いかと思います。
No.88385 - 2024/07/19(Fri) 20:26:24
★ (No Subject) / やり直しマン
問6についてです。

算数です。

解説お願いします
No.88370 - 2024/07/18(Thu) 19:42:27
☆ Re: / ヨッシー
ＡＢとＥＦの交点をＧとし、△ＡＦＧを考えると、
△ＡＦＧの面積は正六角形ＡＢＣＤＥＦの面積の1/6 です。
ここで、△ＧＰＱを考えると、△ＡＦＧに対して
ＧＰはＧＡの 3/2 倍、ＧＱはＧＦの 8/5 倍なので、
△ＧＰＱは△ＡＦＧの 3/2×8/5＝12/5 倍であり、そこから
△ＡＦＧを除いた四角形ＡＰＱＦは 12/5−1＝7/5 (倍)、
正六角形ＡＢＣＤＥＦから見ると、
　7/5÷6＝7/30(倍)
となります。
No.88380 - 2024/07/19(Fri) 08:58:07
★ 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
置換しようとしても上手くxが消せませんでした。解説よろしくお願いします。
No.88369 - 2024/07/18(Thu) 15:40:20
☆ Re: 数III・導入付きの積分 / ast
> 置換しようとしても
誘導意図は置換積分ではなく部分積分でしょ. つまり, 例えば (sin(x)-xcos(x))^2/x^5 = (sin(x)-xcos(x))/(-2x^2sin(x)) (sin(x)^2/x^2)' だから f(x)=(sin(x)-xcos(x))/(-2x^2sin(x)), g(x)=sin(x)^2/x^2 とでも置くならば
　∫_[π/2,π] (sin(x)-xcos(x))^2/x^5 dx = f(π)g(π)-f(π/2)g(π/2) - ∫_[π/2,π]f'(x)g(x)dx.

まあこれでこの後も計算進めるのならその前に「(1') 函数 y=cos(2x)/x^4 を微分せよ.」あたりを追加したほうがいい気はするが.
No.88371 - 2024/07/18(Thu) 20:54:31
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
ありがとうございます。
f'(x)g(x)の積分はどう解くのですか？
No.88375 - 2024/07/18(Thu) 23:21:10
☆ Re: 数III・導入付きの積分 / ast
それは既に書いたつもりですが. 具体的に言えば, f'(x)g(x) の計算結果, および (1') の結果はどうなりましたか?
# 両者は一致はしませんがそれらの差は平易に積分できるものになっているはずです.
# ピンとこないのであればきっと計算間違いでもあるのでしょう.
No.88376 - 2024/07/19(Fri) 01:16:14
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / X
横から失礼します。

(1)は
y'={2(sinx)/x}(xcosx-sinx)/x^2
=2(sinx)(xcosx-sinx)/x^3
として、

(2)の別解)
(与式)=[-(1/5)(1/x^4)(xcosx-sinx)^2][π/2→π]
-(2/5)∫[π/2→π](1/x^4)(xcosx-sinx)・xsinxdx
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)-(1/5)∫[π/2→π]{(2sinx)(xcosx-sinx)/x^3}dx
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)-(1/5)[{(sinx)/x}^2][π/2→π] (∵)(1)の結果より
=(1/5)(16/π^4-1/π^2)+(1/5)(4/π^2)
=(1/5)(16/π^4+3/π^2)

＞＞astさんへ
そのf(x)の置き方だとf(π)の値は存在しないので、広義積分の扱いになって
高校数学の範囲を外れるのでは？
No.88377 - 2024/07/19(Fri) 02:05:48
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / ast
> f(π)の値は存在しない
f(x)g(x) の x=π における値 f(x)g(x)|_[x=π] を形式的に f(π)g(π) と書いているだけなので, 見かけ上の問題は実際には存在しませんし広義積分ではありません.
No.88378 - 2024/07/19(Fri) 03:39:47
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / X
＞＞astさんへ
失礼しました。その通りですね。
No.88383 - 2024/07/19(Fri) 18:24:15
☆ Re: 数?V・導入付きの積分 / パラジクロロ
なんとかそれっぽいものにはなりました。ありがとうございます。
No.88407 - 2024/07/21(Sun) 20:08:35
★ (No Subject) / 信濃川
この定積分を求めてください
No.88367 - 2024/07/18(Thu) 11:22:25
★ (No Subject) / 有栖川
三次方程式
x^3+ax^2+bx+c=0 が相異なる実数解を3つもち(重解を含む)その全ての解が-1<=x<=1の範囲に含まれる時、(a,b,c)の満たす条件を求めよ。

この問題の解説をお願いします。
No.88365 - 2024/07/17(Wed) 22:25:23
☆ Re: / らすかる
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおく
f'(x)=3x^2+2ax+b
全てが実数解であるためには
少なくともf'(x)=0が解を持つ必要があるので
D/4=a^2-3b≧0 … (1)
f'(x)=0の解はx={-a±√(a^2-3b)}/3
全てが実数解であるためには
f({-a-√(a^2-3b)}/3)≧0 … (2)
かつ
f({-a+√(a^2-3b)}/3)≦0 … (3)
f(x)=f'(x)(3x+a)/9-{2(a^2-3b)x+(ab-9c)}/9
を利用して(2)(3)を解き整理すると
(2a^3-9ab+27c)^2≦4(a^2-3b)^3 … (4)
(4)が成り立つとき(1)も成り立つから、(1)は不要
よって(4)はf(x)=0の解が全て実数であるための必要十分条件
そして全ての解が-1≦x≦1の範囲に含まれるためには
{-a-√(a^2-3b)}/3≧-1 かつ
{-a+√(a^2-3b)}/3≦1 かつ
f(-1)≦0 かつ
f(1)≧0
上2つから
|a|≦3 かつ 2|a|≦b+3
下2つから
|a+c|≦b+1
従って求める条件は
|a|≦3 かつ 2|a|≦b+3 かつ |a+c|≦b+1 かつ
(2a^3-9ab+27c)^2≦4(a^2-3b)^3

# 多分合っていると思いますが、計算はご確認下さい。
No.88366 - 2024/07/18(Thu) 01:05:29
☆ Re: / 有栖川
ありがとうございます！
No.88368 - 2024/07/18(Thu) 13:29:12
★ 数2 2項定理 / アルファ
x＞0のとき　(1+x)^2＞1＋nx+[(n(n-1))x^2)]/2 (nは3以上の自然数)
を2項定理を用いて証明せよ
解き方がわからないです。教えてください
No.88363 - 2024/07/17(Wed) 20:28:45
☆ Re: 数2 2項定理 / らすかる
例えばx=1、n=3のときその式は成り立ちません。
左辺の「^2」は「^n」の間違いではありませんか？
No.88364 - 2024/07/17(Wed) 21:48:44
☆ Re: 数2 2項定理 / アルファ
おっしゃる通り左辺間違えてました
^nでした
No.88386 - 2024/07/19(Fri) 20:55:25
☆ Re: 数2 2項定理 / らすかる
それならば左辺を二項定理で展開して
(1+x)^n=nC0・1^n・x^0+nC1・1^(n-1)・x^1+nC2・1^(n-2)・x^2+…
=1+nx+n(n-1)x^2/2+…
＞1+nx+n(n-1)x^2/2
となります。
No.88388 - 2024/07/20(Sat) 06:05:07
★ (No Subject) / やり直しマン
算数です
大きい2番についてです。

黄色のマークからなぜ分かるのですか？

点P,Qが何回目に回るのが分かるのですか？
No.88360 - 2024/07/16(Tue) 22:34:15
☆ Re: / やり直しマン
文書が変でした訂正します。

黄色のマークからなぜ点pが4週、点qが2週とわかるのですか？
No.88361 - 2024/07/16(Tue) 22:41:02
☆ Re: / ヨッシー
Ｑについては、Ａ→Ｄ→Ｃ→Ｂ→Ａ→Ｄ と
進んだ所からの動きを考えているので、当然２周目です。
Ｑが１周してさらにＤまで来るまでの時間が 39と1/3 秒であるのに対し、
Ｐが３周してＡに戻るまでの時間は
　(13と5/7)×3＝41と1/7
なので、Ｑが２回目にＤに来た 39と1/3 秒には、Ｐは３周出来ていません。
その後、２秒足らずで３周し、その後、ＡＢ上で、Ｑの真横に来ます。
No.88362 - 2024/07/17(Wed) 09:17:38
★ (No Subject) / cavy
実数の大小関係の基本性質を用いて，次のことが成り立つことを証明せよ。
a >0, b>0 ⇒ a+b>0


当たり前の事でこれをどう証明したらいいのかわかりません
No.88356 - 2024/07/16(Tue) 13:57:01
☆ Re: / ヨッシー
こちらの基本性質より
　a＞0
両辺に b を足して
　a＋b＞b
b＞0 より　
　a＋b＞b＞0
よって、
　a＋b＞0
No.88357 - 2024/07/16(Tue) 14:27:04
☆ ありがとうございます / cavy
なるほど。このように証明すれば良いんですね。ありがとうございました。
No.88358 - 2024/07/16(Tue) 15:02:54
★ 期待値 / ボブ
1から6までの整数が1つずつ書かれたカードが6枚ある。この中から3枚のカードを無作為に取り出して得られる3つの整数のうち最大のものをXとする。Xの期待値を求めよ。

解き方がわからないです。
No.88354 - 2024/07/15(Mon) 23:15:52
☆ Re: 期待値 / らすかる
6枚から3枚取り出す全20通りのうち
x=3であるものは1通り(1,2,3)
x=4であるものは3C2=3通り((1,2,4),(1,3,4),(2,3,4))
x=5であるものは4C2=6通り
((1,2,5),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5))
x=6であるものは5C2=10通り
((1,2,6),(1,3,6),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,6),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6))
なので、求める期待値は
(3×1+4×3+5×6+6×10)÷20=21/4
No.88355 - 2024/07/15(Mon) 23:42:59
☆ Re: 期待値 / ボブ
理解できました！ありがとうございました！
No.88359 - 2024/07/16(Tue) 22:33:29
★ 座標 / メロン
一辺の長さが8の正三角形を点線で切って移動させると正方形になります。

(1)OXの長さ
(2)Xの座標
(3)AX＋BY＝XYである。このときのXYの長さ
(4)Yの座標

この4つの解き方を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.88344 - 2024/07/14(Sun) 13:09:30
☆ Re: 座標 / らすかる
正三角形の面積は16√3なので
正方形の一辺の長さは4√√3
OXは正方形の一辺の長さに等しいのでOX=4√√3

Xの座標を(x,y)とすると
x^2+y^2=16√3
y=(-√3)x+4√3
これを解くとx=3-√(4√3-3), y=√3+√(12√3-9)なので
Xの座標は(3-√(4√3-3),√3+√(12√3-9))

AX+BY=XY
AX+XY+BY=8
の2式から
XY=4

Yの座標を(x,y)とすると
{3-√(4√3-3)-x}^2+{√3+√(12√3-9)-y}^2=16
y=(-√3)x+4√3
これを解くとx=5-√(4√3-3), y=-√3+√(12√3-9)なので
Yの座標は(5-√(4√3-3),-√3+√(12√3-9))
No.88349 - 2024/07/14(Sun) 16:38:47
☆ Re: 座標 / メロン
らすかる様
わかりやすい解説ありがとうございます。
一つ解説の中で分からない点があるのですが、どうしてOXも正方形一辺の長さと同じになるのでしょうか？
No.88350 - 2024/07/14(Sun) 18:03:07
☆ Re: 座標 / らすかる
正方形に組み立てる方法はわかっていますよね？
MからOXに下した垂線の足をP
YからOXに下した垂線の足をQ
とすると
四角形OPMCの辺OPと四角形OBYQの辺OQが一直線に並んで正方形の一辺になることから
OP+OQ=(正方形の一辺)
また四角形AMPXの辺PXと三角形QYXの辺QXが一直線に並んで正方形の一辺になることから
PX+QX=(正方形の一辺)
よって
(OP+OQ)+(PX+QX)=(正方形の一辺)×2
となりますが
(OP+OQ)+(PX+QX)=(OP+PX)+(OQ+QX)=OX+OX=2OX
ですから、OX=(正方形の一辺)となります。
No.88351 - 2024/07/14(Sun) 18:10:04
☆ Re: 座標 / メロン
そういうことだったんですね！
組み立て方は分かっていて実際に手元にパズルも印刷して作ったのですが、OXの考え方が思いつきませんでした…
丁寧な説明ありがとうございました！
No.88352 - 2024/07/14(Sun) 18:36:37
☆ Re: 座標 / らすかる
後で気づきましたが、四角形OYXMが平行四辺形であることに気づければ
Yの座標はX-Mで簡単に求められますね。
No.88353 - 2024/07/15(Mon) 22:11:49
☆ Re: 座標 / メロン
らすかる様
Y座標はX-Mでどのように求めれば良いのか具体的に教えていただけませんか？
考えてもわからなかったです…
No.88373 - 2024/07/18(Thu) 22:46:08
☆ Re: 座標 / メロン
もう一度考えたら解けました！
こちらの方が簡単でやりやすかったです！
ありがとうございました！
No.88374 - 2024/07/18(Thu) 23:12:03
★ (No Subject) / 勉強
ある工場では，内容量が １００ g と記載されたポッ
プコーンを製造している。のり子さんが，この工場
で製造されたポップコーン １ 袋を購入して調べたと
ころ，内容量は ９８ g であった。のり子さんは「記載
された内容量は誤っているのではないか」と考え
た。そこで，のり子さんは，この工場で製造された
ポップコーンを １００袋購入して調べたところ，標本平均は １０４g，標本の標準偏差は ２ g であった。
以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて 正規分布表を用いてもよい
ポップコーン １袋の内容量を確率変数 X で表すこととする。のり子さんの調査の結果をもとに，X は平均 １０４ g，標準偏差 ２ g の正規分布に従うものとする
のり子さんがポップコーンを購入した店では，この工場で製造されたポップコーン ２ 袋をテープでまとめて売っている。ポップコーンを入れる袋は １ 袋あたり ５ g であることがわかっている。テープでまとめられたポップコーン ２ 袋分の重さを確率変数 Y で表すとき，Y の平均をmY，標準偏差をvとおく。


mY，v をもとめるにあたりY＝（X＋５）２＝２ｘ＋１０から
mY＝２＊１０４＋１０＝２１８はわかります。
vのほうが解説にテープでまとめられた２袋をひとつの標本とすると、標本の大きさは２であるのでv=２/ルート２とあり、この部分がいまいち理解できません。標準偏差がσである母集団から、ランダムに大きさnの標本を取り出し、標本平均ｘをとする。このとき、σ（ｘ）＝σ/ルートnという公式をつかっていることはわかります。ｘを母集団として2個取り出すから大きさ2の標本を取り出すってこと？でも全体として何個取り出しているかわからないし大きさ2の標本と考えるのもよくわからないみたいな感じで頭がこんがらがっています。最初に思いついたのはσ（ｘ）＝＝２かつY＝２ｘ＋１０なのだからσ（y）＝絶対値２σ（ｘ）というものだったんですがこれが何でダメなのかよくわからず・・・参考書等もさらいなおしてみたんですが同系統の問題もなく途方に暮れています。
よろしくおねがいします
No.88339 - 2024/07/13(Sat) 23:44:49
☆ Re: / 勉強
記載に誤りがありました。v=２/ルート２ではなくテープでまとめられた2袋の内容量の平均を~xとすると~xの標準偏差＝2/ルート２=ルート２。ｖ＝絶対値２＊ルート２でした
No.88340 - 2024/07/13(Sat) 23:56:35
☆ Re: / 勉強
解説に読み逃していた部分があり自己解決しました。質問を取り下げます。申し訳ありません
No.88341 - 2024/07/14(Sun) 00:03:33
★ 三平方の定理 / ゆき
(1)は30度と分かったのですが、(2)が恐らく三平方の定理を使うと思うのですが、解き方がわからないです。
教えて下さい。
No.88326 - 2024/07/11(Thu) 23:03:30
☆ Re: 三平方の定理 / X
求める長さをx[cm]とすると、△APC,△BECにおいて
三平方の定理により
CP=√(x^2+4)[cm] (A)
CE=√(x^2+16)[cm] (B)
一方、(1)の結果から
CP:(CE/2)=2:√3 (C)
(A)(B)(C)から
√(x^2+4):(1/2)√(x^2+16)=2:√3
これをxの方程式として解きます。

こちらの計算では
x=√2
となりました。
No.88329 - 2024/07/12(Fri) 08:52:38
☆ Re: 三平方の定理 / ゆき
わかりやすい解説ありがとうございます！
おかげで理解することができました！
No.88332 - 2024/07/13(Sat) 16:11:51
★ 数珠順列 / カタ
白玉4個、黒玉2個、赤玉2個の合計8個の玉すべてに紐を通して輪を作る方法は何通りあるか。

という問題です。答えも解き方もわかっていません。裏返すと同じになるものの考え方が難しいです。よろしくお願いします。
No.88325 - 2024/07/11(Thu) 15:47:05
☆ Re: 数珠順列 / カタ
自分で考えてみました。

円順列として考えると7！/(4！2！)=105通り。
そのうち添付した画像の並べ方以外の104通りは全て裏返すと同じになるものがある。
だから(105-1)/2+1=53ということで
答えは53通り。

正しいでしょうか?
No.88327 - 2024/07/11(Thu) 23:56:18
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
まず円順列が違います。
一列に並べる方法は8!/(4!2!2!)=420通り
このうち180°回転対称であるものは
4!/(2!1!1!)=12通りなので
420-12=408通りは8重複、12通りは4重複となるから
円順列は408/8+12/4=54通り。

そして「裏返して自分自身と同じになるもの」は
対称軸が赤−赤かつ黒−黒
赤白黒白赤白黒白
対称軸が赤−赤
赤白白黒赤黒白白
対称軸が黒−黒
黒白白赤黒赤白白
対称軸が白−白
白白黒赤白赤黒白
白白赤黒白黒赤白
白黒白赤白赤白黒
対称軸が玉の隙間
白白黒赤赤黒白白
白白赤黒黒赤白白
白黒白赤赤白黒白
白赤白黒黒白赤白
白黒赤白白赤黒白
黒白白赤赤白白黒
の12通りですから、数珠順列は
(54-12)/2+12=33通り
となります。
No.88328 - 2024/07/12(Fri) 00:58:06
☆ Re: 数珠順列 / カタ
らすかる様
ご回答ありがとうございます。
理解することができました。
赤玉か黒玉のどちらかが1個だったら、その玉の目線になって円順列を考えられるけど、この問題の場合は8個の玉を１列に並べてみて、４回重複のもの、８回重複のものと分けて考えるのですね。
円順列から数珠順列に考え直すときも対称軸が何になるかで、整理して場合分けするのが重要ですね。
本当にありがとうございました。助かりました。
No.88345 - 2024/07/14(Sun) 13:55:23
☆ Re: 数珠順列 / カタ
８重複はこういうのですね
No.88346 - 2024/07/14(Sun) 13:56:44
☆ Re: 数珠順列 / カタ
裏返すと自分になるもの
No.88347 - 2024/07/14(Sun) 13:58:33
☆ Re: 数珠順列 / らすかる
私の図のない説明だけで理解して頂けたようで、良かったです。
図があるとわかりやすいですね。
No.88348 - 2024/07/14(Sun) 15:39:03
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