ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / kkk

この問題の場合分けが難しいです。
積分計算はイメージできそうです。
場合分けについて詳しく解説をお願いします。
分かるならば解説までお願いします。

No.77310 - 2021/08/05(Thu) 10:51:45

☆ Re: / ヨッシー

　g(x)＝x^2－(2a+2)x＋a^2＋2a
とおきます。
ａ＜０のとき
　F(a)＝∫[0～1](-g(x))dx
ａ≧０のとき
　F(a)＝∫[0～a]g(x)dx＋∫[a～1](-g(x))dx
であることが、グラフからわかります。

No.77318 - 2021/08/05(Thu) 17:58:09

☆ Re: / kkk

ありがとうございます。
-1≦a≦1のときどうなりそうですかね？

No.77319 - 2021/08/05(Thu) 18:49:51

☆ Re: / 関数電卓

ヨッシーさんが書いてくれた積分
　－1≦a＜0 のとき
　　F(a)＝∫[0～1]{－x^2＋(2a+2)x－a^2－2a}dx
　0≦a≦1 のとき
　　F(a)＝∫[0～a]{x^2－(2a＋2)x＋a^2＋2a}dx＋∫[a～1]{－x^2＋(2a＋2)x＋a^2＋2a}dx
をそれぞれ計算してご覧なさい。x での積分，a は定数ですよ。

No.77322 - 2021/08/05(Thu) 20:46:06

☆ Re: / kkk

関数電卓さん
-1≦a<0のときf(a)=-a^(2)-a+(2/3)
0≦a≦1のときf(a)=(2/3)a^(3)+a^(2)-a+(2/3)
となりましたが、
関数がそれぞれ違うので？最後の最小値は
どのように求めますか。
計算できましたか？

No.77323 - 2021/08/05(Thu) 21:37:21

☆ Re: / 関数電卓

－1≦a＜0 のとき f(a)＝－a^2－a＋2/3 　　　　…(1)
　0≦a≦1 のとき f(a)＝(2/3)a^3＋a^2－a＋2/3 …(2)
これで良いですね。
(1)はそのままグラフが描けますし，(2)は微分して増減を調べればグラフが描けますよね。

No.77325 - 2021/08/05(Thu) 21:52:22

☆ Re: / kkk

合体？させる必要はないですか？
やり方等あります？

No.77326 - 2021/08/05(Thu) 22:40:51

☆ Re: / 関数電卓

> 合体？させる必要はないですか？
何と何を合体させるのですか？
－1≦a＜0 のとき (1)
　0≦a≦1 のとき (2)
と言っているのですから，それぞれの最小値を求めて，より小さい方が求める答でしょ？

No.77327 - 2021/08/05(Thu) 22:56:55

☆ Re: / kkk

分かりました。り

No.77328 - 2021/08/05(Thu) 23:22:45

☆ Re: / ast

当たり前だけど
　F(a)= -a^2 - a + 2/3 (for -1≤a<0),
　　　　2a^3/3 + a^2 - a + 2/3 (for 0≤a≤1)
で定まる a の函数 F(a) はそもそも一つの連続函数です.

No.77329 - 2021/08/05(Thu) 23:25:24

☆ Re: / 関数電卓

老爺心ながら，求めるものは a＝(－1＋√3)/2 のときの (8－3√3)/6 ですよ。
下図は，x を a と読み替えて下さい。

No.77330 - 2021/08/05(Thu) 23:34:50

☆ Re: / kkk

ありがとうございます

No.77332 - 2021/08/06(Fri) 15:17:31

☆ Re: / 関数電卓

>> kkk さん
掲示板で質問をすることは決して悪いことではありませんが，一連の質問を見ておりますと，基礎的な理解が不足している部分が多く見られるようです。
難しい入試問題を解こうとするよりも，教科書にある <例題> が確実に解けるようになることが，実力養成に繋がり，将来的には大きな成果を生むと思われます。
余計なお世話ではありますが，老爺心ながら。

No.77337 - 2021/08/06(Fri) 19:13:45

☆ Re: / kkk

ありがとうございました

No.77359 - 2021/08/07(Sat) 13:49:16

★ (No Subject) / leo

お願いします。

kを実数の定数として、
f(x)=(logx)^2-logx-kx
g(x)=(2logx-1)/x
とおく。

(1)導関数f'(x),g(x)を求めよ
(2)g(x)の増減を調べて、y=g(x)のグラフをかけ
(3)f(x)が極大値と極小値を1つずつもつようなkの値の範囲を求めよ
(4)(3)のとき、f(x)が極小値-1をもつようなkの値と、そのときのf(x)の極大値を求めよ

(3)まではスムーズに解けましたが、(4)の極大値がどうしても出てきません。

No.77300 - 2021/08/04(Wed) 11:37:14

☆ Re: / IT

できたところまでを書き込まれた方が有効な回答が着きやすいと思います。

No.77301 - 2021/08/04(Wed) 18:14:44

☆ Re: / IT

f(α)が極小値で-１であるための必要条件は
　f'(α)＝0　→　kα-2log(α)+1=0
　かつ
　f(α）＝-1　→　log(α)^2-log(α)-kα=-1
２式を足すとk が消えて　(log(α))^2-3log(α)+2=0
log(α)=1,2 これから進められるのでは？

それともkの値は、既に求められているのでしょうか？

No.77302 - 2021/08/04(Wed) 18:40:09

☆ Re: / leo

できたところまでを書くと、
(1)
f'(x)=(2logx-1)/x-k
g'(x)=(3-2logx)/x^2
(2)
省略
(3)
(2)のグラフより0<k<2/e^(3/2)
(4)
極小値をとるときのxをaとする
f'(a)=0よりk=(2loga-1)/a
f(a)=-1より
(loga)^2-3loga+2=0
a=e,e^2
グラフよりa=e^2では極大値となるため不適
よって、極小値-1をとるときk=1/eとなる

↑
ここまでは解けたのですが、極大値を求めるようとしても、f'(x)=0となるもう片方のxが出てきません。
直接極大値をとるときのxを求めなくても済む解法が存在するのでしょうか？

No.77304 - 2021/08/04(Wed) 20:35:01

☆ Re: / IT

たしかに難しいですね。

No.77307 - 2021/08/04(Wed) 21:38:27

★ (No Subject) / テープ

問1.2どちらも分かりません1の方では最初にどこから1/3が出てきたのかが考えてみても分かりません　お願いします

No.77289 - 2021/08/03(Tue) 23:22:14

☆ Re: / テープ

横になってました　すいません

No.77290 - 2021/08/03(Tue) 23:23:55

☆ Re: / 関数電卓

> 1の方では最初にどこから1/3が出てきたのかが分かりません
下図で「３」が約分で消えると与式になります。

No.77291 - 2021/08/03(Tue) 23:38:30

☆ Re: / 関数電卓

(2)は「模範解答」の通りですが，どこが分からないのでしょうか？

No.77292 - 2021/08/03(Tue) 23:46:30

☆ Re: / ast

ここまで逐一書いてあると補足することもない気がしますが…….

> どこから1/3が出てきたのか
(1) はまず単純に変数分離して ∫dy/y = ∫x^2dx/(5+x^3) とすればいいです. ですがどうせ置換積分するんだから 3x^2dx (=d(x^3)) をひとまとめに扱いたいので 3を掛けて (かつ 3で割って帳尻併せて) あるということです.
# これは解き進めていった結果を読む人が読み易いように後から整理した結果と考えるべきです.
# ふつう, 考えていった順番・内容と答案として残る記述とは必ずしも一致しません.
# 「最初にどこから」というのは読み方 (読み取るべき順番) を間違えているといった方が近いかと.

No.77293 - 2021/08/03(Tue) 23:48:15

☆ Re: / テープ

問2は分かりました　1/3は置換積分で出てくるとおっしゃってくれているのに申し訳ないのですが　置換積分についてよくわかってないのですがこの式の場合はどうなるんですか

No.77297 - 2021/08/04(Wed) 08:53:10

☆ Re: / 関数電卓

x の積分 I＝∫(x^2/(5＋x^3)dx
5＋x^3＝u と置くと 3x^2dx＝du ∴ x^2dx＝(1/3)du
∴ I＝(1/3)∫(1/u)du＝(1/3)log|u|＋C1
　　＝(1/3)log|5＋x^3|＋C1 …(*)
逆に(*)を微分すると
　I’＝(1/3)(1/(5＋x^3))･3x^2＝x^2/(5＋x^3)
で元に戻ります。

No.77299 - 2021/08/04(Wed) 09:23:47

★ 連立方程式 / 結月ひより

中2です。
下の連立方程式の文章題の解き方を教えてください。

No.77271 - 2021/08/03(Tue) 16:03:01

☆ Re: 連立方程式 / りか

(1)A町から峠までの道のりをx mとすると、峠からB町までの道のりは(10-x)m。
　合計で3時間かかったので、x/3+(10-x)/4=3
(2)A町から峠までの道のりをy m、峠からB町までの道のりをz mとすると、
　 y/4+z/6=4/3,z/4+y/6=1
A町からB町までの道のりはy+z

No.77275 - 2021/08/03(Tue) 17:46:31

☆ Re: 連立方程式 / ヨッシー

連立方程式しばりなので (1) は、
　峠からB町までの道のりを y km。
として、ｘ＋ｙ＝１０　を入れます。
結局、10－x が出てきて、りかさんの書かれたのと同じになるのですけど。

No.77279 - 2021/08/03(Tue) 19:18:12

☆ Re: 連立方程式 / りか

申し訳ございません、見落としておりました。
ヨッシーさんの通りでお願いします。

No.77280 - 2021/08/03(Tue) 20:03:21

★ 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

前回、↓の問題を質問させていただきました。

原点をOとする座標平面上において、点P(10,10)まで、以下の条件☆を満たしながら移動する時、経路の総数を求めなさい。

条件☆
Oを出発点とし、24回移動する。24回の移動において、1回の移動で、x座標またはy座標が1増加するように移動するが、2回だけx座標が1減少するように移動し、2回だけy座標が1減少するように移動する。ただし、第2象限と第4象限に移動してはならない

補足
階乗の計算やコンビネーションの計算はする必要はない

らすかる先生に回答していただき、(10,10)には到達できない旨の説明をしていただきました。

らすかる先生の説明を先生に話しましたら、出題ミスだったそうで、本当は(10,10)ではなく(8,8)にすべきだったとのことでした。

問題を(10,10)から(8,8)に修正した場合で考えてみましたが、やっぱりわかりませんでした。この場合、どのように解けばよいでしょうか。

よろしくお願いします。

No.77270 - 2021/08/03(Tue) 15:55:41

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる

終点が(8,8)ならば解はありますね。
この場合は左右移動（x座標の増減）と上下移動（y座標の増減）に
分けて考えるのが簡単だと思います。
例えば第2象限に移動するパターンは左右移動の順番だけで決まり、
上下移動の順番とは関係ないですね。
第4象限に移動するパターンも上下移動の順番だけで決まりますので、別々に考えられます。
左右移動は
右右右右右右右右右右左左
の並べ替え(12C2通り)であり、このうち第2象限に移動してしまうものは
左左右右右右右右右右右右
左右左右右右右右右右右右
左右右左右右右右右右右右
左右右右左右右右右右右右
左右右右右左右右右右右右
左右右右右右左右右右右右
左右右右右右右左右右右右
左右右右右右右右左右右右
左右右右右右右右右左右右
左右右右右右右右右右左右
左右右右右右右右右右右左
右左左右右右右右右右右右
の12通りですから、第2象限に移動しないものは12C2-12通りです。
同様に上下移動で第4象限に移動しないものも12C2-12通りであり、
左右移動と上下移動の組合せ方は24C12通りですから、
条件を満たす経路の総数は
24C12・(12C2-12)^2通り
となります。

No.77278 - 2021/08/03(Tue) 19:13:56

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる

上記の回答は「x≧0かつy≧0の範囲外に出るものは除外」という考え方で
回答しましたが、
「ただし、第2象限と第4象限に移動してはならない」
という文言を正確に考えると少し違いますね。
例えば最初に左右下上のように動いた場合は第2象限にも第4象限にも行っておらず、
「x軸の負の部分」や「y軸の負の部分」に行っているだけですから
「第2象限と第4象限に移動」はしていません。
もし「x軸の負の部分」「y軸の負の部分」「第3象限」には移動してよいという
ことでしたら、もう少し面倒になりますね。

No.77285 - 2021/08/03(Tue) 21:46:45

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

回答ありがとうございます！

やはりとても分かりやすいし鮮やかな解き方ですね！！

＞もし「x軸の負の部分」「y軸の負の部分」「第3象限」には移動してよいという
ことでしたら、もう少し面倒になりますね。

明日もう一度先生に質問してみます。

No.77286 - 2021/08/03(Tue) 22:20:55

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

＞もし「x軸の負の部分」「y軸の負の部分」「第3象限」には移動してよいという
ことでしたら、もう少し面倒になりますね。

先生に質問しましたら、第2象限と第4象限以外はどこにでも移動してよいとのことで、x軸の負の部分、y軸の負の部分、第3象限にも移動してよいとのことでした。この場合、前回の解答とどのように変わりますでしょうか？

No.77303 - 2021/08/04(Wed) 19:00:23

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる

それは面倒ですね。
上で除外してしまったもののうち第2象限にも第4象限にも移動しないものを数え上げて加算する方法ぐらいしか思いつきませんが、数え上げるにしてはかなり多いと思いますのでとてもやる気が起きません。

No.77308 - 2021/08/04(Wed) 22:09:11

★ (No Subject) / IF

現実世界の問題を関数に表した時にy=2xのような比例の関数になったとします。ただxは1枚2枚…のようにしか増えていかない制限のあるものだった時に、このこの事象の関数の式はy=2x (xは0以上の整数)のようなものになるのでしょうか？また、このカッコ内の文言はxの変域(定義域)と呼べるものなんでしょうか？
定義域などは基本的に連続してるイメージで2≦x≦5のようなものしか見た事がありません。
実際にこれをグラフにするとただの格子点のプロットになるので、この連続していない点に対してこれが変域と呼べるのかが疑問に思いました。
よろしくお願いします。

No.77266 - 2021/08/03(Tue) 13:54:17

☆ Re: / らすかる

定義域が連続している必要はありません。
「xは自然数」とか「xは3または5」なども定義域として有効です。

No.77267 - 2021/08/03(Tue) 14:10:35

☆ Re: / IF

> 定義域が連続している必要はありません。
> 「xは自然数」とか「xは3または5」なども定義域として有効です。

ありがとうございます。助かりました

No.77268 - 2021/08/03(Tue) 14:24:15

★ 積分 / 山﨑正視

添付の図の分母の積分がわかりません。教えていただけますでしょうか。

No.77255 - 2021/08/03(Tue) 11:03:54

☆ Re: 積分 / 山?ｱ正視

こちらでも良いです。サインカーブが無限に重なった時の現象が知りたいです。予想値は約2.3です。

No.77272 - 2021/08/03(Tue) 16:31:43

☆ Re: 積分 / 山?ｱ正視

> 添付の図の分母の積分がわかりません。教えていただけますでしょうか。

No.77273 - 2021/08/03(Tue) 16:33:26

☆ Re: 積分 / ast

n が自然数のとき
　(1/π)∫_[-π,π] (-x/2) sin(nx) dx = 1/n
とかに多分なるから, ∑_[n=1,…] sin(nx)/n は -x/2 のフーリエ展開で, 収束性とかをちゃんと調べる気が起きないけど, たぶん適当な範囲で　-x/2 と一致するんでしょう.
# わからんけど積分域とか -x/2 とか適当な平行移動しないといけないかもしれない.

でまあ, そういう厳密なところを度外視するなら, 積分値は π^2/4 (約2.47) なんじゃなかろうか.

No.77287 - 2021/08/03(Tue) 22:29:14

☆ Re: 積分 / IT

項別積分で計算しても　π^2/4　になりますね。

Σ(nは奇数){∫[0,π]sin(nx)/ndx}=Σ(nは奇数)(2/n^2)=π^2/4

（この無限和を求めるのにフーリエ級数を使うので本質的な計算方法ではないですね）

No.77288 - 2021/08/03(Tue) 23:00:06

☆ Re: 積分 / 山?ｱ正視

> 項別積分で計算しても　π^2/4　になりますね。
>
> Σ(nは奇数){∫[0,π]sin(nx)/ndx}=Σ(nは奇数)(2/n^2)=π^2/4
>
> （この無限和を求めるのにフーリエ級数を使うので本質的な計算方法ではないですね）

よくわかりました。ありがとうございました。

No.77295 - 2021/08/04(Wed) 05:56:58

★ 統計 / 大学一年

(2)のメディアンの答えが8.125なのですが、どうして8じゃなくて8.125になるのか教えてください。

No.77251 - 2021/08/03(Tue) 09:16:49

☆ Re: 統計 / 大学一年

追加なのですが、(3)の問題も自分で解くと8.32になるのですが、正解は8.23でした。電卓で計算しても8.32になるので計算ミスではなく、解き方を間違っているのだと思います。
平均を出すための正しい式を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

No.77252 - 2021/08/03(Tue) 09:21:47

☆ Re: 統計 / ヨッシー

連続型データというところがミソですね。

中央値は、図のように、左右の面積が等しくなるように切った時の
切り口の値と言えます。
７～９を９：７に内分する点として、
　(7×7＋9×9)/16＝8.125　・・・中央値

ちなみにモードはどういう答えだったのでしょう？

No.77257 - 2021/08/03(Tue) 11:29:49

☆ Re: 統計 / 大学一年

わかりやすい解説ありがとうございます。
モードは8でした。

No.77264 - 2021/08/03(Tue) 13:35:33

☆ Re: 統計 / 大学一年

連続型データだと平均値も(度数×階級値)/25では出せないんでしょうか？

No.77265 - 2021/08/03(Tue) 13:46:12

☆ Re: 統計 / ヨッシー

ヒストグラム（グラフがすべてｘ軸に平行）であれば、
その方法でもできます。
正解は 8.32 で、8.23 は誤植と思われます。

No.77296 - 2021/08/04(Wed) 06:18:19

☆ Re: 統計 / 大学一年

そうだったんですね。ありがとうございます。

No.77298 - 2021/08/04(Wed) 09:02:39

★ 座標平面 / 晴

次の問題を教えて下さい。
aを正の実数とし、Oを原点とする座標平面においてy軸上の点(0,a)をAとする。
Aを中心とし領域y≧|x|^3に含まれる最大の円がOを通らないようなaの値の範囲を求めよ。
よろしくお願いします。

No.77244 - 2021/08/03(Tue) 04:37:12

☆ Re: 座標平面 / 関数電卓

解析的には求まらないですね。
Excel で近似値を探ってみると，
　a＜0.8755
となるようです。

No.77282 - 2021/08/03(Tue) 20:32:36

☆ Re: 座標平面 / X

y軸に関する対称性からx≧0としても一般性を失いません。
このとき
y≧|x|^3
より
y≧x^3 (A)
問題の最大の円は(A)の境界である
曲線y=x^3 (A)'
に接することから、接点に関する条件を考えます。
(A)'から
y'=3x^2
∴問題の最大の円と(A)'との接点の座標を
(t,t^3) (t＞0)
とすると、この接点における(A)'の法線が
点Aを通るので
a=-{1/(3t^2)}(0-t)+t^3
これより
a=1/(3t)+t^3 (B)
一方、このとき最大の円は原点Oを
通らないので、半径に対し
t^2+(t^3-a)^2＜a^2 (C)
(C)より
t^2+t^6-2at^3＜0
(t^4-2at+1)t^2＜0
∴t^4-2at+1＜0 (C)'
(B)を(C)'に代入して
t^4-2{1/(3t)+t^3}t+1＜0
-t^4+1/3＜0
t^4-1/3＞0
∴1/3^(1/4)＜t (D)
(D)のときの(B)でのaの
取りうる値の範囲を求めます。

(B)より
da/dt=3t^2-1/(3t^2)
=(9t^4-1)/(3t^2)
1/√3＜1/3^(1/4)
に注意して(D)における(B)の増減表
を書くことにより
2/3^(3/4)＜a

ちなみに電卓で計算すると
2/3^(3/4)=0.8773…
となり、関数電卓さんの結果の境界値
に近い値になります。

No.77284 - 2021/08/03(Tue) 21:08:27

☆ Re: 座標平面 / N

関数電卓さん、Xさん、どうもありがとうございます！とてもよくわかりました！

No.77306 - 2021/08/04(Wed) 21:18:03

★ 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

原点をOとする座標平面上において、点P(10,10)まで、以下の条件☆を満たしながら移動する時、経路の総数を求めなさい。

条件☆
Oを出発点とし、24回移動する。24回の移動において、1回の移動で、x座標またはy座標が1増加するように移動するが、2回だけx座標が1減少するように移動し、2回だけy座標が1減少するように移動する。ただし、第2象限と第4象限に移動してはならない

補足
階乗の計算やコンビネーションの計算はする必要はない

こちらも期末テストの問題でしたが、復習しようにも全然わからないですよろしくお願いします。

No.77227 - 2021/08/02(Mon) 22:29:55

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる

経路の総数は0通りです。
24回中2回左(x座標が減少)、2回下(y座標が減少)ということは
2回の右と2回の上と相殺されて結局右と上の移動距離の合計が
16になりますので、(10,10)には到達できません。

# 到達できませんので、確かに階乗などの計算をする必要はないですね。

No.77231 - 2021/08/02(Mon) 22:53:31

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

回答ありがとうございます。こちらも理解できました。

しかし変な問題でしたね。

No.77233 - 2021/08/02(Mon) 22:58:10

★ 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

原点をOとする座標平面上において、点P(m,m)まで、以下の条件☆を満たしながら移動する時、経路の総数を求めなさい。

条件☆
Oを出発点とし、まず(1,0)に移動し、それ以降は1回の移動で、x座標またはy座標が1増加するように移動し、かつ点Pに至るまで直線y=x上の点を通過してはならない。

期末テストの問題でしたが、復習しようにも全然わからないですよろしくお願いします。

No.77224 - 2021/08/02(Mon) 21:46:06

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる

条件から(1,0)から(m,m-1)まで移動する場合の数を求めればいいですね。
単純に計算すると(2m-2)C(m-1)ですが、この中にはy=xである点を通るものも
含まれています。
そのようなパターンは、最初にy=xである点に到達した後の経路を
直線y=xに関して対称に移動すると、到達点が(m-1,m)になります。
(1,0)から(m-1,m)まで移動する場合の数は(2m-2)Cm通りであり、これが
全パターンのうちy=xである点を通るパターン数になります。
従って求める場合の数は(2m-2)C(m-1)-(2m-2)Cm通りです。

No.77226 - 2021/08/02(Mon) 22:28:10

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

回答ありがとうございます！

あまりにも鮮やかな解き方で感動しました！！

参考なまでにお聞きしたいのですが、わずかな時間でお解きになられておられますが、らすかる先生から見てこの問題は簡単でしたでしょうか？

No.77228 - 2021/08/02(Mon) 22:42:55

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる

知らなければ気づくのは難しいと思います。
私は解き方を知っていただけです。

No.77229 - 2021/08/02(Mon) 22:48:13

☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)

大変参考になりました。ありがとうございました。

No.77230 - 2021/08/02(Mon) 22:50:50