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★ 無限積の値 / Jin
0<a<1とする。Q1=Π(1~∞)(1+a^(2n)), Q2=Π(1~∞)(1+a^(2n-1)), Q3=Π(1~∞)(1-a^(2n-1))とおくとき Q1*Q2*Q3 = 1を示せ。

という問題がわかりません。解き方を教えてください。

出典:「微積分学(サイエンス社)」3章演習問題25
No.78444 - 2021/09/25(Sat) 02:03:07
☆ Re: 無限積の値 / IT
「詳説演習微分積分学」笠原先生（元京大教授）他共著（培風館）に載っています。お使いのテキストの演習問題などの解答がかなり載っているので手に入れられると良いかも知れません。

結構面倒です。自分で思いつくには、相当の時間を要するのではないでしょうか。

（概略）積の範囲(1~∞)は省略します。
積の順番を自由に変えていい。
Π(1+x^(2^n))=1/(1-x),(|x|<1) を示し使う。
Q[1]Q[2]=Π(1+a^n), これに(1-a) を掛けると　1+a^(2^n) の積が消える。

同様に(1-a)(1-a^3)...(1-a^(2n-1))を掛け、残った部分を表記し、上からおさえる。
No.78450 - 2021/09/25(Sat) 08:18:42
☆ Re: 無限積の値 / Jin
概略ありがとうございます。

詳説演習微積分学、凄い詳しそうでこの本を進めるに限らず利用できそうなので買います。
No.78451 - 2021/09/25(Sat) 09:06:49
★ 中学生の並列と直列回路の問題 / たら
問2.3を教えてください。
また、問4の答えは、0.05Wでよろしいですか？
No.78442 - 2021/09/24(Fri) 23:39:32
☆ Re: 中学生の並列と直列回路の問題 / ヨッシー
問２
端子２から端子４に至るまでに
端子２→端子１→端子４
端子２→端子５→端子４
という２つの経路があるため、並列回路です
。
問３
図３の端子２と端子４の間の部分は、１０Ωの抵抗器と
置き換えることが出来ます。
これに、Ｃの部分の抵抗器を直列につないだのが図４（抵抗値５０Ω）なので、
Ｃの部分に４０Ωの抵抗器がつながれているとわかります。

問４
端子３と端子２の間の抵抗が４０Ω、端子２と端子４の間の抵抗が１０Ωなので、
その間の電圧はそれぞれ　４Ｖ，１Ｖ　です。
端子２と端子５の間の抵抗器には、１Ｖの電圧がかかり、電流は
　１÷２０＝0.05（Ａ）
なので、消費電力は
　１×0.05＝0.05（Ｗ）
です。
No.78447 - 2021/09/25(Sat) 06:30:33
★ 素朴な疑問 / Mnr
とあるサイトに
「142+382×567=765×283+241」
という、左右が対称になっている式の書き込みがありました。
素朴な疑問ですが、これを見つけた人はどうやってこんなものを見つけたのでしょうか？
No.78439 - 2021/09/24(Fri) 21:33:27
☆ Re: 素朴な疑問 / らすかる
その式を見つけた人がどうやったのかはわかりませんが、
簡単なプログラムを作ればすぐに見つかります。
152＋483×769＝967×384＋251
173＋482×569＝965×284＋371
182＋459×763＝367×954＋281
275＋369×481＝184×963＋572
374＋289×561＝165×982＋473
436＋291×578＝875×192＋634
578＋329×461＝164×923＋875
647＋291×385＝583×192＋746
738＋241×569＝965×142＋837
739＋248×561＝165×842＋937
798＋245×361＝163×542＋897
869＋271×345＝543×172＋968
879＋245×361＝163×542＋978
（しかもこれらはすべて各辺で1〜9を重複なく使っています）
No.78440 - 2021/09/24(Fri) 22:55:26
★ 中学数学 / 神ちゃん
どのように計算するのかが分からないので、手順を教えてください。
お願いします！
No.78438 - 2021/09/24(Fri) 21:28:37
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
「計算する」とはどういうことを言っていますか？
たとえば、３／５　のような簡単な数になることを期待しているのか、
それとも、0.609 のように、大体の値を知りたいのかどちらでしょう。
もっとも、前者はほぼ期待できません。
No.78448 - 2021/09/25(Sat) 06:36:42
☆ Re: 中学数学 / らすかる
もし粗い概算で良ければ
a=[4]√(100/97.60)とおきます。明らかにa≒1です。
(a-1)(a+1)=a^2-1
(a^2-1)(a^2+1)=a^4-1
なので
a^4-1=(a^2+1)(a^2-1)=(a^2+1)(a+1)(a-1)
よって
a-1=(a^4-1)/{(a^2+1)(a+1)}
≒(100/97.60-1)/(2×2)
={(100-97.6)/97.6}/4
=(2.4/97.6)/4
=0.6/97.6
≒0.6/100
∴100(a-1)≒0.6
No.78453 - 2021/09/25(Sat) 11:28:51
★ ベクトルの相等 / Ars
先程質問させていただいたのですが、（3）が全然わからないので、解説をして欲しいです。
No.78430 - 2021/09/24(Fri) 10:46:50
☆ Re: ベクトルの相等 / ヨッシー
(1)(2) はどうなりましたか？
No.78431 - 2021/09/24(Fri) 10:50:35
☆ Re: ベクトルの相等 / Ars
1と2は左辺と右辺を同じ数にすると教わって、出来たのですが、3の計算がどうやって同じにするのか分からないです。
No.78432 - 2021/09/24(Fri) 11:40:57
☆ Re: ベクトルの相等 / ヨッシー
(1) だと、
　ａに注目して　２＝ｔ
　ｂに注目して　ｓ＝−１
ですよね？
(3) だと、
　ａに注目して　ｓ＝ｔ−２
　・・・
つづきは？
No.78433 - 2021/09/24(Fri) 12:20:33
☆ Re: ベクトルの相等 / Ars
1−s＝ｔで合ってますか？
No.78434 - 2021/09/24(Fri) 17:37:42
☆ Re: ベクトルの相等 / ヨッシー
そうですね。

では、
ｓ＝ｔ−２　も
１−ｓ＝ｔ　も
満たすようなｓ、ｔを求めましょう。
No.78435 - 2021/09/24(Fri) 19:44:19
☆ Re: ベクトルの相等 / Ars
ｓ＝ｔ−２　　１−ｓ＝ｔ

s＝1−2 1−２＝ｔ
ｔ に１を入れると、s＝1−2 になりました。
s に− 2を入れると 1−２＝ｔになりました。
No.78437 - 2021/09/24(Fri) 20:46:58
☆ Re: ベクトルの相等 / ヨッシー
あれれ？
ベクトルだから高校ですよね？
連立方程式は、中学のはずですが。
No.78441 - 2021/09/24(Fri) 23:06:12
☆ Re: ベクトルの相等 / Ars
連立方程式を使えば良いのですね！
ｔ＝３／2
s＝１／2
出会ってますか？
No.78443 - 2021/09/25(Sat) 00:04:18
☆ Re: ベクトルの相等 / ヨッシー
出会ってません。

５０点
No.78446 - 2021/09/25(Sat) 06:10:21
☆ Re: ベクトルの相等 / Ars
ｔ＝３／2
s＝−１／2
で合ってますか？
No.78452 - 2021/09/25(Sat) 11:13:00
☆ Re: ベクトルの相等 / ヨッシー
はい。
正解です。
No.78454 - 2021/09/25(Sat) 12:45:37
☆ Re: ベクトルの相等 / Ars
やっと出来ましたw
長い時間を自分にくれてありがとうございました！！
No.78455 - 2021/09/25(Sat) 12:53:47
★ ベクトルの相等 / Ars
SとTの値の求め方が分かりません。教えていただけると幸いです。
No.78427 - 2021/09/24(Fri) 09:32:08
☆ Re: ベクトルの相等 / ヨッシー
教科書３８ページの例題１５に、やり方があるそうですよ。

２ｘ＋ｓｙ＝ｔｘ−ｙ
が、どんなｘ，ｙについても成り立つようにするには、
ｓ，ｔをいくつにすれば良いですか？
もっというなら、左辺と右辺が同じ式になるには、
ｓ，ｔをいくつにすれば良いですか？
と同じです。
No.78428 - 2021/09/24(Fri) 09:40:52
☆ Re: ベクトルの相等 / Ars
返信ありがとうございました。
教科書を忘れてしまって見れませんでしたw
とても分かりやすかったです。ありがとうございました😊
No.78429 - 2021/09/24(Fri) 09:57:39
★ 高校数学 / 宅浪生
以前質問させていただいた者です。写真の問題のヒントが欲しいです。おねがいします。
No.78423 - 2021/09/23(Thu) 23:42:02
☆ Re: 高校数学 / IT
「大学への数学」の宿題ですね。
「締め切り前ならここでは質問できない決まりになっています。」と思いましたが、注意書きには書いてないですね。
書いてないですが当然のマナーということでしょうか。

画像が逆さまのせいもありますが、問題の意味を理解すること自体が難しい問題だと思います。

まずは、小さなｎでどうなるのかを調べてみるのでしょうか？　私が示せるヒントはこのぐらいです。
No.78425 - 2021/09/24(Fri) 01:32:35
☆ Re: 高校数学 / 宅浪生
ありがとうございました。
No.78426 - 2021/09/24(Fri) 07:49:15
★ (No Subject) / 透明心
aは実数
sin2θ+a(sinθ+cosθ)+2a=0が0≦θ≦π/2の範囲にもつ解の個数を求めよ

sinθ+cosθ=kとして解いてほしいです
No.78422 - 2021/09/23(Thu) 21:55:26
☆ Re: / 編入受験生
> aは実数
> sin2θ+a(sinθ+cosθ)+2a=0が0≦θ≦π/2の範囲にもつ解の個数を求めよ
>
> sinθ+cosθ=kとして解いてほしいです
概略だけ
まずxとyの対照式はx+yとxyの多項式としてあたえることができる。
つぎにx=cost，y=sintのときは、
cos^2t+sin^2t=1から,(cost+sint)^2=1+2costsintとなるから、
xyはx+yの多項式で与えられる。
つまりcostとsintの対象式はcost+sintの多項式つまりkの多項式で与えられる。
これを用いると、問題の式はkの二次関数に置き換えられるから、二次関数の判別式などを用いて解の個数を調べれば良い。
No.78424 - 2021/09/24(Fri) 00:01:11
★ (No Subject) / 虎
aは実数
放物線y=x^2+ax-2aと直線y＝2axー1がx＞0の範囲で共有点を持つようなaの値の範囲を求めよ

解説よろしくお願いします
No.78419 - 2021/09/23(Thu) 21:46:36
☆ Re: / X
与えられた放物線と直線の共有点のx座標について
x^2+ax-2a=2ax-1
∴x^2-ax-2a+1=0 (A)
条件を満たすためには、
(A)がx＞0の範囲で少なくとも１つ解を
持てばよいことになります。

そこで
(A)がx＞0の範囲の解の持たない場合、
つまり
(i)(A)がx≦0の範囲の実数解のみを持つ
(ii)(A)が実数解を持たない
場合を考えます。

準備として(A)の解の判別式をDとすると
D=a^2-4(-2a+1)=a^2+8a-4

(i)のとき
D≧0より
a^2+8a-4≧0 (B)
又、解と係数の関係から、
(A)の左辺の係数と定数項について
a≦0 (C)
-2a+1≧0 (D)
(B)(C)(D)を連立で解き
a≦-4-2√5

(ii)のとき
D＜0より
a^2+8a-4＜0
∴-4-2√5＜a＜-4+2√5

求める条件は
(i)の否定かつ(ii)の否定
∴-4+2√5≦a
No.78436 - 2021/09/24(Fri) 19:48:53
★ (No Subject) / イ右
A+B+C=πのとき

cosA+cosB-cosC=4cos(A/2)cos(B/2)sin(C/2)-1を証明せよ
No.78418 - 2021/09/23(Thu) 21:42:32
★ 実数列の収束性 / Jin
Σ((2n-1)!!/(2n)!!)^(p)の収束性を調べる問題です。
p>2で収束。p<=2で発散らしいのですが解き方がわかりません。

m!!=m(m-2)(m-4)......2(または1)
No.78416 - 2021/09/23(Thu) 20:50:10
☆ Re: 実数列の収束性 / m
ガウスの判定法 (wiki) というものが使えます．
No.78420 - 2021/09/23(Thu) 21:47:08
★ 数列極限 / Jin
lim(n→∞) n*(1-logn/n)^(n)の値。1になりそうではあるのですが、証明ができません。よろしくお願いします。
No.78413 - 2021/09/23(Thu) 19:12:46
☆ Re: 数列極限 / m
log をとって，log(1+x) = x + O(x^2) (x → 0) を使う．

log n + n * [log (1-(log n)/n)]
= log n + n * [-(log n)/n + O({(log n)/n}^2)]
= O((log n)^2/n)
→0 (n → ∞)

よって元の極限は 1
No.78414 - 2021/09/23(Thu) 19:45:59
☆ Re: 数列極限 / Jin
ありがとうございます。ここ最近「微分積分学」を進める上で本当に助かってます。
No.78415 - 2021/09/23(Thu) 20:48:22
★ 高校数学　不等式　高２ / みかん
(2)からがわかりません。よろしくお願いします
No.78411 - 2021/09/23(Thu) 12:53:06
☆ Re: 高校数学　不等式　高２ / m
(1) は左辺 = (x1 + x2 + x3 + x4)^2 になりましたか．

(2)
α = 1 + (α-1) を使って展開すると (1) が使える形になります．
式変形：https://r8.whiteboardfox.com/81626851-6152-9102
後は考えてみてください．
No.78417 - 2021/09/23(Thu) 21:16:58
☆ Re: 高校数学　不等式　高２ / みかん
ありがとうございます
やってみます
No.78421 - 2021/09/23(Thu) 21:53:22
★ 実数列の収束判定 / Jin
問い
0<aかつa!=1のとき、Σ(a^(1/n)-1)の収束判定ができません。
答えは「発散する」です。よろしくお願いします。
No.78409 - 2021/09/23(Thu) 10:30:24
☆ Re: 実数列の収束判定 / IT
a^x の漸近展開を使って評価するのでは？
（出題されているテキストの近くにいくつかの判定法が載っていると思います）

a!=1　という表記は一般的ではないと思います。（ａの階乗と勘違いされるかも知れません）
No.78410 - 2021/09/23(Thu) 11:39:32
☆ Re: 実数列の収束判定 / Jin
漸近展開したら~loga/nとできたので解けました。ありがとうございます。
No.78412 - 2021/09/23(Thu) 18:08:45
★ 高校数学 / 宅浪生
1以上n以下の整数(nは4以上の整数)x,y,zを使って書けるxyzという数の個数をg(n)としたときg(n)≦Knlognと抑えることのできる定数Kは存在しますでしょうか？またこれに変わる評価は可能ならヒントを教えてくださると嬉しいですのでおねがいします。
No.78407 - 2021/09/23(Thu) 07:30:57
☆ Re: 高校数学 / IT
xyzは３つの数の積ですか？

(x,y,z)の個数はn^3 で　それから重複を除くとg(n) なので、そのオーダーはnlognより大きいような気がしますが、未確認です。

元の問題はどんな問題ですか？
No.78408 - 2021/09/23(Thu) 07:50:32
★ 対数と不等式 / 時計
次の値を用いてlog[10]7の小数第三位まで求めよ。
7^{58}=1.037×10^{49}

私の解（対数は全て常用対数とします）
7^3<1037<7^4だから各辺10^{46}をかけて常用対数をとると
46+3log7<58log7<46+4log7
これより
46/55 < log7 < 46/54
46/55=0.8363…、46/54=0.8518…

これでは評価が甘くて小数点以下第一位までしかもとめられません。

同様に
7^0<1.037<7^1
という不等式から計算しても
49/58=0.8448…<log7<49/57=0.8596…
なので評価が甘いです。

どなたかご教授ください。
出典は福島大学2004年の問題です。
No.78394 - 2021/09/22(Wed) 21:15:29
☆ Re: 対数と不等式 / X
＞＞7^0<1.037<7^1
ではなくて
7^0<1.037<7^0.25
で評価してみては？
4＜7＜9
より
2＜7^0.5＜3
∴√2＜7^0.25＜√3
ですので上限をかなり1.037に近づけることができます。
No.78395 - 2021/09/22(Wed) 21:32:03
☆ Re: 対数と不等式 / 時計
ありがとうございます。

同様にやってみると
49<58log[10]7<49+(log[10]7)/4
で評価すると
49/58=0.8448<log[10]7<49/(57.75)=0.8484
でした。もう少し良い評価が必要です。

ちなみにwolframalphaだと
Log[10]7=0.84509…
だそうです。
No.78398 - 2021/09/22(Wed) 22:07:15
☆ Re: 対数と不等式 / IT
log(1.037) を　y=logx のグラフと　x=1,y=0 での接線のグラフを使って評価するとどうですか
No.78399 - 2021/09/22(Wed) 22:29:31
☆ Re: 対数と不等式 / IT
7^{58}=1.037×10^{49}
58log7=log1.037+49
log7=(log1.037)/58　+　49/58 なので

log1.037 を評価すれば良いのですよね

下からの評価は
1.037^n > 10 になるような適当なnをとって、そのことを二項展開によって示せばよさそうな気がします。
No.78402 - 2021/09/22(Wed) 22:57:16
☆ Re: 対数と不等式 / 時計
できたわけではないですが、進捗（？）を報告します。
.
1.037<1.07
と
log[10](1+x)<x
を用いて
7^{58}=1.037×10^{49}<1.07×10^{49}
の常用対数をとって
58log[10]7<log[10](1+0.07)+49<49.07
よって
log[10]7<49.07/58=0.8460…

もう少しきつい評価が必要のようです。
もう少し考えてみます。
No.78403 - 2021/09/22(Wed) 23:08:16
☆ Re: 対数と不等式 / IT
下からの評価
1.037^99>10 (これは二項展開で示す。）
常用対数をとって　99log1.037>1
∴　log1.037>1/99>0.0101

∴　log7=((log1.037)+　49)/58 >49.0101/58 =0.8450017...
No.78404 - 2021/09/22(Wed) 23:19:01
☆ Re: 対数と不等式 / IT
上からの評価

log1.037<0.037/log[e]10<0.037 なので　(証明は略）
log7=((log1.037)+　49)/58 <49.037/58 =0.8454655..
No.78405 - 2021/09/22(Wed) 23:22:09
☆ Re: 対数と不等式 / 時計
なるほど
ありがとうございます。
No.78406 - 2021/09/23(Thu) 00:01:13
★ 最大値と最小値 / 5７
ｘ≧０　ｙ≧０　ｘ＋ｙ≦１　のとき
f(x+y)＝x^2+xy+y^2−x−y　の最大値、最小値の値を求めよという問題が分かりません、教えてください
No.78391 - 2021/09/22(Wed) 20:32:24
☆ Re: 最大値と最小値 / X
x+y=u
xy=v
と置くと、解と係数の関係からx,yは
ｔの二次方程式
t^2-ut+v=0 (A)
の解ですので、(A)の解の判別式をDとすると
D=u^2-4v≧0
∴v≦(1/4)u^2 (B)
又、条件から
0≦u≦1 (C)
0≦v (D)
一方このとき
f(x,y)=u^2-u-v (E)
∴(B)(D)(E)から
u^2-u-(1/4)u^2≦f(x,y)≦u^2-u
(3/4)u^2-u≦f(x,y)≦u^2-u
(3/4)(u-2/3)^2-1/3≦f(x,y)≦(u-1/2)^2-1/4
これと(C)から
-1/3≦f(x,y)≦0
(左辺の等号は(u,v)=(2/3,1/9),右辺の等号は(u,v)=(0,0),(1,0)のとき成立)
よって問題の
最大値は0(このとき(x,y)=(0,0),(0,1),(1,0))
最小値は-1/3(このとき(x,y)=(1/3,1/3))
No.78397 - 2021/09/22(Wed) 21:59:43
★ (2)がわかりません / あ
ａ,bは正の実数とする。曲線C;y=−ａ^2x^3+3b^2x上でy座標が極大の点をPとするとき、点Pを通りx軸に平行な直線とCが囲む部分の面積が27／4となる。
(1)ａをbを用いて表せ
(2)Pの軌跡を求めよ
No.78390 - 2021/09/22(Wed) 20:27:23
☆ Re: (2)がわかりません / X
P(x,y)とすると(1)の過程から
x=b/a (A)
y=(2b^3)/a (B)
一方(1)の結果から
a=b^4 (C)
(A)(B)をa,bについての連立方程式と見て解き
その結果を(C)に代入して整理をします。
但し(A)(B)から
x＞0,y＞0
の条件が付くことに注意します。
No.78396 - 2021/09/22(Wed) 21:45:39
★ 　２次方程式の利用 / dodo
?Aの問題自力で答えを出せないのでどなたか解説をお願いします。
No.78389 - 2021/09/22(Wed) 20:14:49
☆ Re: 　２次方程式の利用 / けんけんぱ
塩と水の量を分けて考える、というのが定番です。
No.78392 - 2021/09/22(Wed) 20:33:19
☆ Re: 　２次方程式の利用 / dodo
具体的なやり方を教えてもらえませんか。
No.78393 - 2021/09/22(Wed) 20:39:15
☆ Re: 　２次方程式の利用 / けんけんぱ
?@食塩水A,Bそれぞれ何gずつか、という問いなので、それぞれxg,ygとします。
食塩水Aは3%なので、塩の量は(3/100)xg、水の量は(97/100)xg
食塩水Bは10%なので、塩の量は(10/100)yg、水の量は(90/100)yg
食塩水6%の700gは、塩(6/100)700=42g、水(94/100)700=658g
塩だけで考えれば、(3/100)x+(10/100)y=42
水だけを考えれば、(97/100)x+(90/100)y=658
あとは連立方程式を解くことになります。
No.78400 - 2021/09/22(Wed) 22:49:51
☆ Re: 　２次方程式の利用 / けんけんぱ
?Aとありましたね。?@は必要なかったですね。
できれば?@を書いてほしかったです。

?A
Bの食塩水200gからxgを取り出す。
はじめは塩(10/100)200=20gあり、
取り出した塩の量は(10/100)x=(1/10)xgなので、
残るは20-(1/10)xg
xgの水を加えてxgを取り出す。
取り出した塩の量は、｛20-(1/10)x｝(x/200)gなので
残る塩は｛20-(1/10)x｝(1-x/200)g
全体で200gは変わらないから、濃度は
｛20-(1/10)x｝(1-x/200)/200 = 2.5/100
これを解く。
No.78401 - 2021/09/22(Wed) 22:52:02
★ 漸近展開 / Jin
(log(1+1/√x))^(1/2)のx→+∞での漸近展開がうまく出せません。
log(1+1/√x) = x^(-1/2)-x^(-1)/2+x^(-3/2)/3 +o(x^(-3/2))　は出てきますが、これを√でくくってもうまく出せません。方針をお願いします。
No.78383 - 2021/09/22(Wed) 16:14:50
☆ Re: 漸近展開 / Jin
自力で解けたのでもう大丈夫です。
No.78386 - 2021/09/22(Wed) 17:48:51
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