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★ ドラム缶が何個入るか / おとな
10m x 10mの正方形の空間に直径1mのドラム缶を何個まで詰めることができるか。(缶の高さが不明です)
答え方はエルデシュの法則で、ということなのです。
よろしくおねがいします。
No.77191 - 2021/08/02(Mon) 10:53:33
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
高さはhでお願いできればと思います。

> 10m x 10mの正方形の空間に直径1mのドラム缶を何個まで詰めることができるか。(缶の高さが不明です)
> 答え方はエルデシュの法則で、ということなのです。
> よろしくおねがいします。
No.77195 - 2021/08/02(Mon) 11:29:30
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / らすかる
「エルデシュの法則」は検索しても見つかりませんので
どういう法則かわかりませんが、普通に考えると
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
このように入れて106個になりそうな気がします。
平面的な詰め込み問題で、高さは関係ないと思います。
（空間の高さの条件がありませんので、ドラム缶の高さに意味がありません）
No.77197 - 2021/08/02(Mon) 11:39:55
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
早速ありがごうございます！
私もその法則は見つけられませんでした（涙
その数学者の方があまりにも沢山の偉業を成し遂げたらしく、膨大な情報が出てきてド素人にはなにがなにやら意味が分かりませんでした。

すみません、106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？


> 「エルデシュの法則」は検索しても見つかりませんので
> どういう法則かわかりませんが、普通に考えると
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> このように入れて106個になりそうな気がします。
> 平面的な詰め込み問題で、高さは関係ないと思います。
> （空間の高さの条件がありませんので、ドラム缶の高さに意味がありません）
No.77198 - 2021/08/02(Mon) 11:56:43
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
あと、これが1m×1mの箱の中に直径10cmの缶を何個入れられるか、としても同じ考え方になりますか？

> 早速ありがごうございます！
> 私もその法則は見つけられませんでした（涙
> その数学者の方があまりにも沢山の偉業を成し遂げたらしく、膨大な情報が出てきてド素人にはなにがなにやら意味が分かりませんでした。
>
> すみません、106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？
>
>
> > 「エルデシュの法則」は検索しても見つかりませんので
> > どういう法則かわかりませんが、普通に考えると
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > このように入れて106個になりそうな気がします。
> > 平面的な詰め込み問題で、高さは関係ないと思います。
> > （空間の高さの条件がありませんので、ドラム缶の高さに意味がありません）
No.77199 - 2021/08/02(Mon) 12:00:13
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / らすかる
> 106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？
図を見て
10+9+10+9+10+9+10+9+10+10+10=106
です。

> これが1m×1mの箱の中に直径10cmの缶を何個入れられるか、としても同じ考え方になりますか？
はい、同じです。
No.77202 - 2021/08/02(Mon) 12:30:48
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
ありがとうございました＾＾

> > 106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？
> 図を見て
> 10+9+10+9+10+9+10+9+10+10+10=106
> です。
>
> > これが1m×1mの箱の中に直径10cmの缶を何個入れられるか、としても同じ考え方になりますか？
> はい、同じです。
No.77204 - 2021/08/02(Mon) 13:27:43
★ (No Subject) / kkk
連続してすみません。

(1)(201)^20の十億の位の数字を求めよ。
(2)(201)^20を4×(10)^7で割ったときの余りを求めよ。

自分でもやってみたのですが、二項定理を
使うのかな？と思うのですが分かりません。
解説をお願いします。
No.77190 - 2021/08/02(Mon) 09:45:05
☆ Re: / 関数電卓
> 二項定理を使うのかな？と思う
「思う」だけではなく，実行して下さい。すぐ出来ます。
No.77212 - 2021/08/02(Mon) 14:21:50
☆ Re: / kkk
計算が分かりません。教えていただきたいです。
No.77232 - 2021/08/02(Mon) 22:56:58
☆ Re: / 関数電卓
　201^20
＝(1＋200)^20
＝1^20＋20C11^19･200^1＋20C21^18･200^2＋20C31^17･200^3＋20C41^16･200^4＋…

はお分かりですよね？
コンビネーションの部分を数値に直し，各項の値を求めて下さい。
見えるものがあるはずです。
No.77236 - 2021/08/02(Mon) 23:22:35
☆ Re: / kkk
そこで詰まってるんですよね、、
No.77237 - 2021/08/02(Mon) 23:57:35
☆ Re: / GandB
>そこで詰まってるんですよね、、
　ほー・・・ということは、たとえば

　　20C3*1^17*200^3 = (20*19*18/3*2)8,000,000
　　　　　　　　　　= 1140*8,000,000
　　　　　　　　　　= 9,120,000,000

という計算すらわからないということかな？　コンビネーションの計算方法は高校で習い、掛け算と割り算は小学校で習っているはずだが。
No.77245 - 2021/08/03(Tue) 07:00:47
☆ Re: / kkk
これは全ての項を計算しますか？
No.77248 - 2021/08/03(Tue) 08:50:35
☆ Re: / 関数電卓
上記した５つの項を全てそれぞれ計算して下さい。
そこら中で立ち止まって眺めているのではなく，どんどん自分で前に進んで下さい。
No.77250 - 2021/08/03(Tue) 09:15:15
☆ Re: / kkk
ありがとうございます
No.77258 - 2021/08/03(Tue) 11:38:10
★ (No Subject) / kkk
以下の問題において
なぜ二回微分する必要があるのでしょうか？
詳しい理由などお願いしますを
No.77189 - 2021/08/02(Mon) 09:31:00
☆ Re: / 関数電卓
　f(x) が極大値をもつ ⇔ f’(x)＝0 が異なる３実解をもつ
は，お分かりですか？
No.77211 - 2021/08/02(Mon) 14:16:52
☆ Re: / kkk
f(x) が極大値をもつ ⇔f'(x)=0となるxの値の前後で符号が+から-へ変化する　イメージなんですが違いますか？
No.77234 - 2021/08/02(Mon) 22:58:55
☆ Re: / 関数電卓
> f(x) が極大値をもつ ⇔ f’(x)＝0となる x の値の前後で符号が＋から−へ変化する
その通りなのですが，
　f’(x)＝0となる x の値の前後で符号が＋から−へ変化する ⇔ f’(x)＝0 が異なる３実解をもつ
に繋がりますか？
f’(x) は３次式なので，x が十分小さければ f’(x)＜0 で，x が十分に大きければ f’(x)＞0 です。
No.77235 - 2021/08/02(Mon) 23:15:33
☆ Re: / kkk
⇔ f’(x)＝0 が異なる３実解をもつ
に繋がりますか？
f’(x) は３次式なので，x が十分小さければ f’(x)＜0 で，x が十分に大きければ f’(x)＞0 です。

ここの部分の詳しく解説とか聞けますか？
図などがあると嬉しいのですが
No.77239 - 2021/08/02(Mon) 23:59:03
☆ Re: / 関数電卓
質問者さんは，教科書にある「中間値の定理」の内容は理解しておられますか？ <否>であれば，教科書をそこからやり直さなければなりませんし，現時点では「本問は難しすぎる」と言うことになります。
No.77249 - 2021/08/03(Tue) 09:10:29
☆ Re: / kkk
分かりました。ありがとうございました。
No.77254 - 2021/08/03(Tue) 10:23:20
★ 極限 / N
高校3年生です。

数列{a[n]}は
a[1]≧1, a[n+1]=√(na[n]+2n+1) (n=1,2,3…)
を満たすとする。このとき、lim[n→∞]a[n]/nを求めよ。

この問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.77184 - 2021/08/02(Mon) 00:04:03
☆ Re: 極限 / IT
難しいですね、出典は何ですか？

b[n]=a[n]/n とおくと、元の漸化式は
b[n+1]=√(2+((n/(n+1))^2)b[n]-(4n-2)/(n+1)^2) になるので
収束することが言えれば、lim[n→∞]a[n]/n＝2　になると思いますが。

計算がまちがってますね。まったく違う式を転記して考えていました。しばらく、残しておきますが無視してください。
No.77225 - 2021/08/02(Mon) 22:19:46
☆ Re: 極限 / N
昨年秋に実施された駿台の東大実戦の問題らしいのですが、全く手が出ませんでした(解答は持っていません)。
もう少し自分でも頑張って考えてみます！
No.77238 - 2021/08/02(Mon) 23:58:53
☆ Re: 極限 / 高校三年生
おおよそ、こんな感じでは？

b[n]=a[n]/n とおくと、与式は、

b[1]=a[1], b[n+1]=p√(b[n]+q)
p=n/(n+1)
q=(2n+1)/(n^2)

ここで、方程式

f(x)=p√(x+q)

を考えると、曲線 y=f(x) は、定点 (1,1)を通り、そこでの接線の傾きは、

f ’(1)=(1/2){n/(n+1)}^2 < 1/2

なので、x≧1の領域において、

√x≧f(x)　　　　?@

今、数列{c[n]}を

c[n+1]=√c[n]
c[1]=b[1]≧1

と定めると、?@より、

c[n]≧b[n] (n=1,2,3・・・)

あとは、「はさみ打ちの原理」で、

lim[n→∞]{b[n]}=1

を証明する。
みたいな・・・。
No.77256 - 2021/08/03(Tue) 11:17:43
☆ Re: 極限 / IT
高校三年生さんの方針でよさそうですね。

下から挟むのは、
a[1] が大きいほど　各a[n] も大きくてb[n]=a[n]/n も大きい。

a[1]=1 のとき　a[n]=n なので　b[n]=1
したがって任意のa[1]≧1について、１≦b[n] と下から挟めますね。
No.77294 - 2021/08/04(Wed) 02:15:19
☆ Re: 極限 / N
ITさん、高校三年生さん、どうもありがとうございました！
No.77305 - 2021/08/04(Wed) 21:16:21
★ 積分 / 火
I [0→1] √{x/(1+x)} dx を丸ごと置換するとしたら、どう解きますか？
あと、追加で、I [0→π/6] 1/(3sin^2 x +cos^2 x) dx を半角タンジェントの置換でするなら、どう解きますか？
最後に下の写真の答えにm!がなぜつくのか教えてください
No.77181 - 2021/08/01(Sun) 23:22:48
☆ Re: 積分 / GandB
計算がめんどいので

>I [0→1] √{x/(1+x)} dx を丸ごと置換するとしたら、どう解きますか？

の置換の部分だけを示す。
No.77215 - 2021/08/02(Mon) 15:44:15
☆ Re: 積分 / 火
t^2=x/(1+x)から逆数とってますが、t≠0ではないですよね。
何らかの理由があるのならば高校数学範囲で教えてください！！
No.77253 - 2021/08/03(Tue) 10:20:37
★ (No Subject) / 数学苦手
これはどのようにやればいいですか？
No.77175 - 2021/08/01(Sun) 19:48:10
☆ Re: / IT
前進　1,3,5 後退　-2,-4,-6　と書きます。

3つの数の和＝0（偶数）なので　偶数１個、奇数２個です。

偶数が-2のとき、-4のとき、-6のときに分けて、まず３つの数の組み合わせを調べます。

次に、それぞれ並び順が何通りあるか調べて合計します。
No.77177 - 2021/08/01(Sun) 20:06:45
☆ Re: / 数学苦手
最終的に0になるようにするのは無理なような、、
元の位置の数字が−2の場合、−4の場合、−6の場合でしょうか？
No.77183 - 2021/08/01(Sun) 23:38:18
☆ Re: / 数学苦手
元の数字、つまり最初に出る数字を偶数としてマイナスだけど、、そこに戻すようにするみたいな作業でしょうか？すみません。多分分かってません…
No.77185 - 2021/08/02(Mon) 00:55:02
☆ Re: / ヨッシー
>最初に出る数字を偶数
と言っている時点で、全然わかっていませんね。

{1,3,5} から２つ（ただし、同じものを２つ選んでもよい）
{-2,-4,-6} から１つ、合計３つの数字を選んで、
合計が０になる選び方を書き上げなさい。
という問題です。
　1, 3, -4
はその一例です。

ただし、ここに書いたことは、すべて IT さんの記事に書かれてますけどね。
No.77186 - 2021/08/02(Mon) 06:08:12
☆ Re: / IT
私の回答が分かってない。以前に、問題の意味が分かっておられないようです。

数学苦手さんは、「双六（すごろく）」など、サイコロを使ったゲームを見たりやったりしたことはないですか？

例えば、サイコロの目が順に１、２、３と出たときどう動くかを図示してください。
No.77187 - 2021/08/02(Mon) 07:16:43
☆ Re: / 数学苦手
偶数−2を使って、奇数2個を足して0にする方法が分からないです。
No.77192 - 2021/08/02(Mon) 11:06:35
☆ Re: / 数学苦手
元に戻す＝差をなくすから0ですか？
No.77193 - 2021/08/02(Mon) 11:12:38
☆ Re: / IT
＞偶数−2を使って、奇数2個を足して0にする方法が分からないです。
-2+1+1=0 です。

繰り返しになりますが、
まず、サイコロの目が順に（１、２、３）と出たときどう動くかを図示してください。

（２、１、１）　と出たときはどうですか？
No.77203 - 2021/08/02(Mon) 12:58:23
☆ Re: / 数学苦手
一応書いてみましたが自信がないです
No.77217 - 2021/08/02(Mon) 17:02:38
☆ Re: / IT
合っていると思います。
それを踏まえてもう一度私やヨッシーさんの最初の回答を読んでみてください。
No.77221 - 2021/08/02(Mon) 18:08:17
☆ Re: / 数学苦手
できました！が…解説はなんかよく分からない書き方でした、、
No.77240 - 2021/08/03(Tue) 01:02:15
☆ Re: / 数学苦手
なんかこんな漢字でした、、
No.77241 - 2021/08/03(Tue) 01:02:57
☆ Re: / 数学苦手
前に質問させてもらった問題で似たような解き方の問題…カードのような問題があった気がしましたが解けませんでした。すみません。
No.77242 - 2021/08/03(Tue) 01:04:05
☆ Re: / 数学苦手
あと、0も偶数に入るのでしたっけ…数学の定義において…
No.77243 - 2021/08/03(Tue) 01:30:20
☆ Re: / IT
0も偶数です。２で割ると商は０で余り0ですから。
No.77246 - 2021/08/03(Tue) 07:21:14
★ 関数と図形 / 海
4点O,A,B,C,を頂点とする平行四辺形OABCがあり、2点A,Bの座標はA(−2、4）Ｂ(６、10）点Cを通り、平行四辺形OABCの面積を二等分線の傾き？ 答えは、5分の１です。
解説お願いいたします。
No.77174 - 2021/08/01(Sun) 18:49:03
☆ Re: 関数と図形 / X
まず、O,A,B,Cの位置関係は
この順に時計回り
ではなくて
この順に反時計回り
となっていることに注意して下さい。

条件から対角線ACの傾きを求めれば
よいことになります。

ベクトルを使ってもよいのであれば以下の通りです。
条件から
↑AC=↑OC-↑OA
=↑AB-↑OA
=↑OB-2↑OA
=(6,10)-2(-2,4)
=(10,2)
よって求める傾きは
2/10=1/5
です。
No.77178 - 2021/08/01(Sun) 21:31:02
☆ Re: 関数と図形 / X
別解(の方針))
まず点Cの座標を求めることを考えます。
条件から、OA//BCですので
点B、Cを通る直線の方程式は
y={4/(-2)}(x-6)+10
∴y=-2x+22 (A)
又、OC//ABですので
点O,Cを通る直線の方程式は
y={(10-4)/{6-(-2)}}x
∴y=3x/4 (B)
(A)(B)を連立して解くと
(x,y)=(8,6)
∴C(8,6)
求める傾きは対角線ACの傾き
ですので
(6-4)/{8-(-2)}=1/5
No.77179 - 2021/08/01(Sun) 21:41:46
★ 高校？ / gg
この連立方程式の解き方が分かりません。
答えは画像内の通りです。
No.77170 - 2021/08/01(Sun) 18:21:49
☆ Re: 高校？ / ヨッシー
その式だと明らかに、ａ＝ｂ＝ｃ＝０ ですが、
答えからすると、３式目は
　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝１
でしょうね。

ｃ＝−２ｂ を ２ａ−３ｂ＋６ｃ＝０ に代入して
　２ａ−３ｂ−１２ｂ＝０
　ａ＝7.5ｂ
これらを、ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝１ に代入して、
　(225/4＋1＋4)b^2＝1
　ｂ^2＝4/245
　ｂ＝±2/7√5
(以下略)
No.77172 - 2021/08/01(Sun) 18:42:31
★ (No Subject) / Suzumushi
図中の式変形でn_x = dy/ds, n_y = -dx/dsとなるのは何故でしょうか？
n_x,n_yはそれぞれ法線ベクトルのx成分とy成分、dsは線素です。

元サイトはこちらです↓
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/StreamFunction/
No.77168 - 2021/08/01(Sun) 17:50:16
☆ Re: / 関数電卓
曲線上の接近した２点 A(x,y), A'(x＋dx，y＋dy) の長さ ds は
　ds＝√(dx^2＋dy^2)
で，
　点 A での接線の傾きは dy/dx，
　接線 の方向ベクトルは (dx/ds, dy/ds) …(1)
　　（AA' を斜辺とする直角三角形を考えて下さい）
ですから，
　点 A での 法線 の方向ベクトルは，(dy/ds, −dx/ds) …(2)
です。
なぜなら，(1)と(2)の内積は 0 でなければならないから。
No.77182 - 2021/08/01(Sun) 23:34:46
★ (No Subject) / 黒
3つの直線が写真のような位置関係を満たすようなw1,w2,w0は存在しますか？
存在するならその例を教えてほしいです。
よろしくお願いします。
No.77160 - 2021/08/01(Sun) 16:56:18
☆ Re: / らすかる
例えば
w1=-2, w2=-1, w0=5
No.77166 - 2021/08/01(Sun) 17:47:42
★ (No Subject) / りか
次の証明が分からないので、教えていただきたいです。
No.77156 - 2021/08/01(Sun) 16:23:00
☆ Re: / りか
これです
No.77157 - 2021/08/01(Sun) 16:23:35
☆ Re: / X
大学数学の範囲であれば
以下のようになります。

(左辺)=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{e^(ikθ)-e^(-ikθ)}/{i2^(k+1)}
=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^k-1/{2e^(iθ)}^k}
=lim[n→∞]Σ[k=1〜n+1]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^(k-1)-1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
((∵)k+1を改めてkと置いた)
=lim[n→∞]{1/(2i)}{{1-{{e^(iθ)}/2}^(n+1)}/{1-e^(iθ)}/2}
-{1-1/{2e^(iθ)}}^(n+1)}/{1-1/{2e^(iθ)}}}
={1/(2i)}{1/{1-{e^(iθ)}/2}-1/{1-1/{2e^(iθ)}}}
=-i{1/{2-e^(iθ)}-1/{2-1/e^(iθ)}}
=-i{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/{{2-e^(iθ)}{2-1/e^(iθ)}}
=-i{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/{5-2{e^(iθ)+1/e^(iθ)}}}
=2{{e^(iθ)-1/e^(iθ)}/(2i)}/{5-4{e^(iθ)+1/e^(iθ)}/2}}
=(右辺)
No.77159 - 2021/08/01(Sun) 16:52:00
☆ Re: / りか
早速ありがとうございます。

=lim[n→∞]Σ[k=1〜n+1]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^(k-1)-1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
((∵)k+1を改めてkと置いた)
=lim[n→∞]{1/(2i)}{{1-{{e^(iθ)}/2}^(n+1)}/{1-e^(iθ)}/2}
-{1-1/{2e^(iθ)}}^(n+1)}/{1-1/{2e^(iθ)}}}

ここの部分がいまいちわからないのですが、どうすればいいのでしょうか
No.77167 - 2021/08/01(Sun) 17:49:15
☆ Re: / りか
追加ですいません。
2行目の
=lim[n→∞]Σ[k=0〜n]{1/(2i)}{{e^(iθ)}/2}^k-1/{2e^(iθ)}^k}
の{e^(iθ)}/2はe^(2iθ)ではないのですか。
合わせてお願いいたします。、
No.77169 - 2021/08/01(Sun) 18:01:06
☆ Re: / X
＞＞No.77167について
Σ{e^(iθ)}/2}^(k-1)
と
Σ{1/{2e^(iθ)}^(k-1)}
に対して、等比数列の和の公式を使っています。

＞＞No.77169について
{e^(iθ)}/2}^k
で正しいです。
オイラーの公式により
sin(kθ)={1/(2i)}{e^(ikθ)-e^(-ikθ)}
={1/(2i)}{{e^(iθ)}^k-{1/e^(iθ)}^k}
∴{sin(kθ)}/2^k={1/(2i)}[{{e^(iθ)}^k}/2^k-{{1/e^(iθ)}^k}/2^k]
={1/(2i)}[{{e^(iθ)}/2}^k-{1/{2e^(iθ)}}^k]
No.77180 - 2021/08/01(Sun) 22:22:41
☆ Re: / りか
大変理解できました。
ありがとうございました。
No.77196 - 2021/08/02(Mon) 11:29:43
★ 近似？ / 室井
これなにが行われているのですか？
No.77153 - 2021/08/01(Sun) 14:27:25
☆ Re: 近似？ / IT
分かり易くするために　固定されているt は無視して,yをxの一変数関数と考える
yをx で（偏）微分した結果をg(x) と書くと

その式は、g(x+Δx)=g(x)+g'(x)Δx+ Ｏ((Δx)^2) となります。
No.77155 - 2021/08/01(Sun) 14:43:22
☆ Re: 近似？ / 室井
漸近展開みたいなやつですか？
No.77158 - 2021/08/01(Sun) 16:25:47
☆ Re: 近似？ / ast
平均値の定理 (=1次のテイラー展開) ですね.
# なので, ランダウのO-記法で書かれてるということを除けば高校範囲の内容と言えます.
No.77165 - 2021/08/01(Sun) 17:35:12
☆ Re: 近似？ / 室井
なるほど！わかりました！
No.77188 - 2021/08/02(Mon) 09:16:38
★ 大学受験 / イトウ
添付ファイルの問題の解き方を教えてください
No.77152 - 2021/08/01(Sun) 14:14:25
☆ Re: 大学受験 / IT
けっこうめんどうですね。
Σの計算をすると,n|2m+2+(1/2)-n|≦a になる。
mが最大になるのは、|2m+2+(1/2)-n|＝1/2 のときのような気がしますが、まだできていません。
No.77162 - 2021/08/01(Sun) 17:02:42
☆ Re: 大学受験 / GM
−ａ≦（２ｍ＋５／２）ｎ−ｎ＾２≦ａより
ｎ／２−５／４−ａ／２ｎ≦ｍ≦ｎ／２−５／４+ａ／２ｎ
（ここでａ／２ｎはａ／（２ｎ）のこととします）

ｍは整数なので左右のａ／２ｎが適切な値でないといけません
あまり小さいと整数ｍが存在しません
またｎ／２−５／４は整数まで１／４足りないか大きすぎるのどちらかです
よってａ／２ｎ≧１／４でなければならず
２ａ≧ｎ≧１となりますがａは正の整数なのでこの式は成立します

ｍを大きくするにはｍの上限のｎ／２−５／４+ａ／２ｎを大きくすればいいですから
ｎ＝１のときの値とｎ＝２ａのときの値を比較して大きい方をとればよいです

ｎ＝１のときａ／２−３／４
ｎ＝２ａのときａ−１
ａ≧１に注意するとｎ＝２ａのときのａ−１の方が大きいのが分かります
No.77316 - 2021/08/05(Thu) 12:32:37
★ 素因数分解を使う？ / 中１女子　都内私立です
５６とある自然数ｎの最少公倍数が３９２のとき、このようなｎをすべて求めなさい。ただしｎ＜３９２とする。
（強引に数を調べ上げてならできるのですが、この問題が素因数分解の章にあります。標準的な正しい解き方を教えてください。）
No.77147 - 2021/08/01(Sun) 12:35:00
☆ Re: 素因数分解を使う？ / ヨッシー
素因数分解して、ｎが持つべき性質を言葉でまとめていきます。

56＝2^3×7
392＝2^3×7^2

よって、ｎは
・7 は 2乗が必須。3乗以上は不要。
・2 は 3乗までは任意。4乗以上は不要。
以上より
　7^2＝49
　2×7^2＝98
　2^2×7^2＝196
　2^3×7^2＝392
この４つ。
No.77149 - 2021/08/01(Sun) 12:53:37
☆ Re: 素因数分解を使う？ / 中１女子　都内私立です
ｎがどういう性質を持つか、素因数分解の結果によって考えていくということだと理解しました。
わかったと思います。もう一度解説をにらめっこしながら頭を整理します。
ありがとうございました。
（夏休みの宿題で唯一よくわからない問題でした。）
No.77151 - 2021/08/01(Sun) 13:27:51
★ 1=2の偽証 / 高校生
1=2の偽証です。
2式目から3式目で同値性が崩れているのは分かるのですが、どうして崩れてしまっているのでしょうか？
No.77142 - 2021/08/01(Sun) 04:36:17
☆ Re: 1=2の偽証 / X
＞＞1=x^3
＞＞よって
＞＞x=1
が誤りです。
x=1は?@の解ではありませんので
1=x^3
の解から
x=1
は除く必要があります。
No.77143 - 2021/08/01(Sun) 08:18:56
☆ Re: 1=2の偽証 / IT
スッキリ書くと
x^3-1=0
⇔(x-1)(x^2+x+1)=0
⇔(x-1)=0 または　 (x^2+x+1)=0
⇔x=1 または　x=(-1+i√3)/2 または　x=(-1-i√3)/2
No.77144 - 2021/08/01(Sun) 08:25:36
☆ Re: 1=2の偽証 / IT
代入で同値が崩れてますね。
(1/x)(x^2+x+1)=0…?Aもx^2+x+1=0…?@ も 元の式x^2+x+1=0…?@と同値です。

２つを引いた
((1/x)-1)(x^2+x+1)=0 すなわち　-x^2+(1/x)=0…?B は,元の式x^2+x+1=0…?@と同値ではありません。　
No.77150 - 2021/08/01(Sun) 13:08:02
★ 数3 / タノ
写真の2つの問題がわかりません。教えてください
No.77133 - 2021/07/31(Sat) 22:45:19
☆ Re: 数3 / ast
投稿前にプレビューをした場合はプレビュー画面で再度参照する画像ファイルを指定し直すようにしてください.
(個人的には, 画像を添付する際はプレビューしないことをお勧めします.)

なお, もし編集パスを設定してあるならサイトの一番下から記事編集を選んでファイルを添付し直せるはずです.
No.77136 - 2021/07/31(Sat) 22:53:21
★ 場合の数 / フジ
問題
0、1、2、3、4、5の数字を重複を許して使ってできる、4桁以下の自然数のうち、3000よりも小さい数はいくつあるか。

解答解説で千の位が0、1、2の3通り。その他の位が6通りだから、3×6³＝648(個)となっていました。0000の場合があるので-1して647個だと思うのですが、解説が間違ってませんか？
No.77128 - 2021/07/31(Sat) 21:59:16
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
０を自然数に含まない立場なら 647 でしょうね。

対象学年は何ですか？
No.77130 - 2021/07/31(Sat) 22:19:03
☆ Re: 場合の数 / フジ
高1の数Aの問題です
No.77131 - 2021/07/31(Sat) 22:26:55
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
では、647 とすべきでしょうね。

まさか、検定をちゃんと受けた教科書と言うことはありませんよね？
No.77134 - 2021/07/31(Sat) 22:49:36
★ (No Subject) / kkk
以下の問題の(2)が分かりません。
図などもあると嬉しいのですが、わかりますか？
No.77123 - 2021/07/31(Sat) 17:26:35
☆ Re: / X
まず円の位置関係ですが
円C[2]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[2]
x軸
に囲まれた領域に存在します。
同様に円C[n]は
円x^2+(y-1)^2=1
円C[n-1]
x軸
に存在します。
もう少し具体的に文章で書けば、
円C[1]の左下でかつx軸の上側にC[2]
円C[2]の左下でかつx軸の上側にC[3]
…
円C[n-1]の左下でかつx軸の上側にC[n]
が存在することになります。

ここで(1)の結果から、C[n]の中心をA[n]とすると
A[n](a[n],(1/4)a[n]^2)
∴C[n]の半径は(1/4)a[n]^2
このことから線分A[n]A[n+1]の長さについて
(a[n]-a[n+1])^2+{(1/4)a[n]^2-(1/4)a[n+1]^2}^2={(1/4)a[n]^2+(1/4)a[n+1]^2}^2
これより
(a[n]-a[n+1])^2=(1/4){a[n]a[n+1]}^2
(1/a[n]-1/a[n+1])^2=1/4
条件からa[n+1]＜a[n]ゆえ
1/a[n]-1/a[n+1]=-1/2
∴a[n+1]=2a[n]/(a[n]+2)
No.77125 - 2021/07/31(Sat) 20:00:21
☆ Re: / ヨッシー
X さん
(1) の結果は
　ｙ＝(1/4)ｘ^2
では？

私は、1/a[n] のように分母に持ってこずに、そのまま計算しました。

x^2＋(y−1)^2＝１　をＣ0 と呼ぶことにします。
また、Ｃn の中心のｙ座標を b[n] とします。

Ｃ0 と Ｃn の関係において、
　a[n]^2＋(b[n]−1)^2＝(b[n]＋1)^2
より、
　a[n]^2＝4b[n]　・・・(i)
これは、任意の自然数ｎについて成り立ちます。よって、
　a[n+1]^2＝4b[n+1]　・・・(ii)
も成り立ちます。 ※ここまでは(1) で求めたものです

Ｃn と Ｃn+1 の関係において、
　(a[n]−a[n+1])^2＋(b[n]−b[n+1])^2＝(b[n]＋b[n+1])^2
　(a[n]−a[n+1])^2＝４b[n]b[n+1]
４倍して、
　４(a[n]−a[n+1])^2＝４b[n]・４b[n+1]
(i)(ii)を代入して
　４(a[n]−a[n+1])^2＝a[n]^2・a[n+1]^2
図より、a[n]＞a[n+1] 、および、a[n]＞０，a[n+1]＞０より
　２(a[n]−a[n+1])＝a[n]a[n+1]
a[n+1] について解くと
　a[n+1]＝2a[n]/(a[n]＋2)　・・・答え
No.77126 - 2021/07/31(Sat) 20:33:27
☆ Re: / X
＞＞ヨッシーさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞＞kkkさんへ
ごめんなさい。ヨッシーさんの仰る通りです。
No.77125を直接修正しましたので再度ご覧下さい。
No.77127 - 2021/07/31(Sat) 20:49:03
☆ Re: / kkk
ありがとうございます。
また再度解き直しをしてみて
分からない所が有れば質問しますね。
No.77171 - 2021/08/01(Sun) 18:30:42
★ 積分 / 火
I [0→1] √{x/(1+x)} dx を丸ごと置換するとしたら、どう解きますか？
No.77111 - 2021/07/31(Sat) 12:05:39
☆ Re: 積分 / 火
返信よろしくお願いします。
No.77145 - 2021/08/01(Sun) 09:11:30
☆ Re: 積分 / 火
あと、追加で、I [0→π/6] 1/(3sin^2 x +cos^2 x) dx を半角タンジェントの置換でするなら、どう解きますか？
No.77146 - 2021/08/01(Sun) 10:23:54
★ 9点配置 / 大西
直径5の円の内部および周上に異なる9点を配置した時に
その中のどの2点間の距離をとっても2以上にするような
配置が存在することを示したいのですが、円をショートケーキの
ように8等分したりして考えても鳩ノ巣の原理を使おうとしても
うまくいかないです。教えてください、
No.77100 - 2021/07/31(Sat) 02:09:25
☆ Re: 9点配置 / らすかる
「存在しないこと」を示すのではなく、
「存在すること」を示すのですか？
存在することを示すとしたら鳩ノ巣原理とか使えない気がしますが。
No.77108 - 2021/07/31(Sat) 11:07:43
☆ Re: 9点配置 / 大西
鳩ノ巣の原理は使えないですね。
単純に一例を示さないといけないですね。
No.77109 - 2021/07/31(Sat) 11:22:10
☆ Re: 9点配置 / IT
詳しく確認してないですが、らすかるさんが不可能証明しておられるようです。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun59.htm
No.77113 - 2021/07/31(Sat) 12:34:46
☆ Re: 9点配置 / 大西
ご回答ありがとうございます。
すべてが納得できました。
さすがはらすかるさんですね。
ITさんの情報量も素晴らしいです。
ありがとうございました。
No.77115 - 2021/07/31(Sat) 13:06:17
☆ Re: 9点配置 / らすかる
自分で不可能証明していたことはすっかり忘れてました。
2004年なので17年も前ですね。
No.77176 - 2021/08/01(Sun) 20:05:54
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