下から5行目のところなのですが、
mを消去して整理するのが上手くいきません、
計算過程を教えてもらうことは可能でしょうか。
また、何かコツとかあるのなら教えていただけますでしょうか。
宜しくお願い致します。
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No.77757 - 2021/08/21(Sat) 16:48:07
| ☆ Re: / 編入受験生 | | | x_3 = - 8m/(4m^2+1) ⇔ x_3^2 = 64m^2/(4m^2+1)^2...(1)
y_3 = 2/(4m^2+1)...(2)はy_3>0のもとで,(2)とy^2 = 4/(4m^2+1)^2...(3)は、同値である.
(1)の右辺をmについて部分数分解すると,
x_3^2 = {16(4m^2+1)-16}/(4m^2+1)^2 = 16/(4m^2+1) - 16/(4m^2+1)^2...(4)
(4)の右辺第一項目にy_3を第二項目にy_3^2を代入すると,
x_3^2 = 8y_3 - 4y_3^2..(5)
ただし,y_3の取りうる範囲は,(2)とm^2>3/4から,
(2)が減少関数であることに注意すると,
0 < y_3 < 2/(4(3/4)+1) = 1/2.
(5)の両辺を4で割って,右辺をy_3について平方完成して整理すると,
(5)⇔ x_3^2/4 = -(y_3-1)^2 + 1⇔ x_3^2/4 + (y_3-1)^2 = 1.
これより,点Rは楕円x_3^2/4 + (y_3-1)^2 = 1の0 < y_3 < 1/2部分の点の集合に等しい。
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No.77761 - 2021/08/21(Sat) 17:54:08 |
| ☆ Re: / 編入受験生 | | | mを消去して整理するというのは、mの媒介変数表示をx,yの陰関数あるいは陽関数に変えるということで、
そのやり方は教科書にも書いてあるはずです。
一番基本的なやり方（この問題に使えるか微妙）は、
mをxかyのどちらかの式として表して、もう一方の変数に代入する方法ー
つまり,(x,y) = (f(m),g(m))というmの媒介変数表示で与えられていた時,
方程式x - f(m) = 0をmについて解いて(xは定数とみる)、
m = h(x)を得てから,y - g(m) = y - g(h(x)) = 0と置けば、
それはx,yの陰関数に他ならない.
yについても解く場合も同様.
しかしこの方法をつかえる場合というのは限られていて（つかえたとしても一般的に計算が複雑）、
大抵の場合は、F(x,y) = 0となるように,xとyを足したりかけたりあるいは今回の問題のようにxとyの冪乗を取ったりする方法を使う。
コツは、ひたすら計算する・問題を解くことだと思う。
あと最後の〜の部分にあるっていう表現は、
まるで点Rの満たすべき条件（必要条件）を示しているみたいで、
あんまり好ましくないから、厳格に〜部分の点の集合に等しいとしたほうがいいと思う。
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No.77762 - 2021/08/21(Sat) 18:18:07 |
| ☆ Re: / 独学で数学III勉強中 | | | 編入受験生様、丁寧な解説ありがとうございます。
とても勉強になりました。
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No.77771 - 2021/08/22(Sun) 09:24:45 |
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