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★ 数A / Admiral.K
これらの問題の解き方が全く分からないので、どなたか解説をお願いできないでしょうか。
No.78381 - 2021/09/22(Wed) 15:17:07
☆ Re: 数A / ヨッシー
まず左半分です。

(4)
相加相乗平均の関係より
　x＋4/x≧2√(x・4/x)＝4＞０　（等号は x＝4/x つまり ｘ＝２）
　y＋9/y≧2√(y・9/y)＝6＞０　（等号は y＝9/y つまり ｙ＝３）
大辺同士、小辺同士掛けて、
　(x＋4/x)(y＋9/y)≧4・6＝24　（等号はｘ−２，ｙ＝３のとき）

(5)
左辺を展開して
　（左辺）＝xy＋9/xy＋10
相加相乗平均の関係より
　（左辺）≧2√(xy・9/xy)＋10＝6＋10＝16
　等号は　xy=9/xy つまり xy＝3 のとき
２．
左辺を計算して
　（左辺）＝2ab/(a+b)
相加相乗平均の関係より
　a+b≧2√ab　等号はａ＝ｂのとき
　（左辺）≦2ab/2√ab＝√ab　等号はａ＝ｂのとき
３．
相加相乗平均の関係より
　ａ＋１/（ａ−１）≧2√a/(a-1)　
等号は　a＝1/(a-1)　のとき、つまり
　a^2−a−1＝0　、ａ＝(1±√5)/2
ａ＞１より　ａ＝(1＋√5)/2　のとき
このとき、
　ａ＋１/（ａ−１）＝２ａ＝１＋√５
No.78382 - 2021/09/22(Wed) 16:06:58
☆ Re: 数A / ヨッシー
右半分
ｘ座標がＡからＢまでａ＋ｂ増える間に、
ＡＤ＝ａからＢＣ＝ｂ まで、１次関数的に変化します。
ｘ軸上において、Ａを０，Ｂをａ＋ｂとし、
Ａからの距離ｔにおける、縦線（ｙ軸に平行な直線で台形を切ったときの切り口）の長さは
　(b-a)t/(a+b)＋a
Ｏはｔ＝(a+b)/2 なので、ＯＳ＝（ａ＋ｂ）／２
Ｐはｔ＝ａなので、ＰＲ＝2ab/(a+b)
△ＯＰＱにおいて、
　ＯＰ＝(a-b)/2、ＯＱ＝(a+b)/2
より、三平方の定理から
　ＰＱ^2＝{(a+b)^2＋(a-b)^2}/4
　　　＝(a^2＋b^2)/2
よって、
　ＰＱ＝√{(a^2＋b^2)/2}
No.78385 - 2021/09/22(Wed) 17:28:31
☆ Re: 数A / Admiral.K
ありがとうございます！
理解できました！
No.78388 - 2021/09/22(Wed) 18:42:58
★ 数A / 東大
どうしたら、赤線部のようになるのですか？そしてどうしたら黄線部のようになるのですか？どうか、教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.78379 - 2021/09/22(Wed) 08:56:41
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
★ 数A / 東大
どうしたら、赤線部のようになるのですか？そしてどうしたら黄線部のようになるのですか？どうか、教えていただきたいです。よろしくお願いします。
No.78379 - 2021/09/22(Wed) 08:56:41
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
☆ Re: 数A / m
?@が成り立つときについて考えているので，赤線部の中かっこ内は 0 です．
g(x), g(1), g'(1) は Σ と a_k を使って表されていた．それを代入整理すれば黄線部を得る．


せっかくなので十分性の別の方針も．
g(x) は (x-1)^2 で 割り切れ，g(x) = Σ[k=0, n] a_k x^k とする．
このとき，
h(x) = g(x) - Σ[k=2, n] a_k f_k (x)
とおけば h(x)は高々一次式である．
また，g(x), f_k(x) はどれも (x-1)^2 で割り切れるから，h(x) も (x-1)^2 で割り切れる．
よって (高々一次式のh(x)が二次式で割り切れるから) h(x)=0 である．
No.78380 - 2021/09/22(Wed) 11:17:07
★ 数A / 7
m,nは正の整数とする.
(1)7^mの一の位の数を求めよ.
(2)7の7^n乗の一の位の数を求めよ.

答えは解るんですけど、記述の仕方で迷ってます。どなたか記述例を教えてください。よろしくお願いします。
No.78372 - 2021/09/21(Tue) 19:34:04
☆ Re: 数A / IT
どんな答えをどうやって求めて、どんな記述をしようと迷っておられますか？
No.78373 - 2021/09/21(Tue) 19:47:04
☆ Re: 数A / 7
(1)7の累乗の1の位だけを書き並べると、7,9,3,1,7,9···よって、 4個の数字が繰り返すことを一般化して表したいです。
(2)7^7 = 823543≡ 3 (mod 10)
7^14 = (7^7)^2≡ 3^2=9 (mod 10)
7^21 = (7^7)^3≡ 3^3=27≡7 (mod 10)
7^28 = (7^7)^4≡ 3^4=81≡1 (mod 10)
7^35 = (7^7)^5≡ 3^5=243≡3 (mod 10)
7^42 = (7^7)^6≡ 3^6=729≡9 (mod 10)···
よって、こちらも4個の数字が繰り返すことを一般化して表したいです。
No.78376 - 2021/09/21(Tue) 23:15:50
☆ Re: 数A / X
横から失礼します。
＞＞7さんへ
(2)ですが、その計算は
7の7n乗
を計算しています。
7の7^n乗
ではないのですか？。
No.78377 - 2021/09/22(Wed) 06:08:14
☆ Re: 数A / 7
すみません間違っていました。とりあえず(2)はmodを使ってとこう考えています。
No.78378 - 2021/09/22(Wed) 08:48:16
☆ Re: 数A / IT
(1) 7^a=1 (mod 10) なる最小の自然数a を調べ（ておられる）
そのことを使って記述すれば良いのでは。

自然数mをa で割った商をq,余りをr とすると
7^m=7^(aq+r)=7^(aq)7^r = ((7^a)^q)7^r です。
No.78387 - 2021/09/22(Wed) 18:01:52
★ 数A / 素数
自然数nに対し,nと互いに素であってnを越えない自然数の個数をφ(n)で表す.a,bを自然数,p,qを異なる素数として,次の問に答えよ.
(1)φ(9)を求めよ.
(2)φ(p^a)を求めよ.
(3)φ(p^a q^b)=4p^a q^(b-1)

(1)は答えは5個だと思うんですけど、(2)以降がどうやって解けばいいのかわかりません。どなたか詳しい模範解答を教えてください。
No.78369 - 2021/09/21(Tue) 19:02:49
☆ Re: 数A / ヨッシー
(1) は、１，２，４，５，７，８ の６個。φ(9)＝６
(2) は １から p^a までの p^a 個の自然数のうち、
　p, 2p, 3p ・・・p^a の p^(a-1)個は該当しないので、
　φ(p^a)＝p^a−p^(a-1)＝(p-1)p^(a-1)
(3) はどういう問題ですか？
No.78370 - 2021/09/21(Tue) 19:16:30
☆ Re: 数A / 素数
(3)φ(p^a q^b)=4p^a q^(b-1)を満たすp,qをすべて求めよ.

でした。脱字があって申し訳ございません。
No.78371 - 2021/09/21(Tue) 19:28:05
☆ Re: 数A / ヨッシー
１から p^aq^b までの整数のうち、p でも q でも割り切れない数は
　p^aq^b×(p-1)/p×(q-1)/q 個
あります。
　p^aq^b×(p-1)/p×(q-1)/q＝p^(a-1)q^(b-1)×(p-1)×(q-1)＝4p^a q^(b-1)
よって、
　(p-1)×(q-1)＝4p
　pq−5p−q＋1＝0
　(p-1)(q-5)＝4
カッコ内がともに負ということはないので、
　(p-1, q-5)＝(1,4),(2,2),(4,1)
これより
　(p,q)＝(2,9),(3,7),(5,6)
この内 (3,7) のみ p,q が素数となり採用。
No.78374 - 2021/09/21(Tue) 19:50:47
☆ Re: 数A / 素数
迅速にご丁寧にありがとうございました。
No.78375 - 2021/09/21(Tue) 20:03:01
★ (No Subject) / 風上受験戦争
整式f(x),g(x)は全ての実数tにおいてf(sint)＝g(cost)が成り立つ.このとき、整式f(x)とg(x)はともに偶関数であり、次数が等しいことを示せ.

全く分かりません。お願いします
No.78361 - 2021/09/20(Mon) 21:45:35
☆ Re: / IT
f(sint)＝g(cost)　で検索すると、回答が見つかります。
（細かく検証はしてないですが、前半は sin(-t)=-sint,cos(-t)=cost であることを使っており、よさそうです。）
No.78365 - 2021/09/21(Tue) 04:52:26
★ (No Subject) / オット・リー
この続きが分かりません。
No.78358 - 2021/09/20(Mon) 19:34:23
☆ Re: / X
b=6-(2√2)a ?B
b=2-(2√2)a ?C
として、
(i)連立方程式?A?B
と
(ii)連立方程式?A?C
を解きます。
No.78359 - 2021/09/20(Mon) 20:22:52
★ 一様連続に関する証明問題 / Jin
前提知識は教養微積分学です。

f(x)はR上一様連続かつ有界とし、g(x)はR上連続で∫(-∞→∞)|g(x)|dx<+∞とする。
そのとき、F(x)=∫(-∞→∞)f(xt)g(t)dtはRにおいてxについて一様連続であることを示せ。

出典 : 「微分積分学(サイエンス社)」2章演習問題の32
No.78348 - 2021/09/20(Mon) 16:50:30
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / IT
やってませんが、
一様連続の定義にしたがって、示すべき命題を立式してみると方針が見えてくるのではないでしょうか？
No.78352 - 2021/09/20(Mon) 17:36:21
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / Jin
|xt-yt|の差がtの積分内で発散してしまいまい、うまく抑えられません。積分区間を区切ったり工夫してみても私はうまく抑えられませんんでした。
No.78353 - 2021/09/20(Mon) 17:41:21
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / IT
積分区間を３つに分けて考えるとどうですか？

部分的に書くのではなくて、式全体を書いて、それぞれをうまく評価すると良いのでは？

式（全体）を書いてみてください。
No.78354 - 2021/09/20(Mon) 18:22:30
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / m
> |xt-yt|の差がtの積分内で発散してしまいまい、うまく抑えられません。

ならば，t の動く範囲を有界な区間に制限すればよさそう．
その方針で証明：https://r9.whiteboardfox.com/91416119-4305-1072
No.78357 - 2021/09/20(Mon) 19:27:48
☆ Re: 一様連続に関する証明問題 / Jin
なるほど !
初め、似たような区間で分けたのですが、Rを|g(t)|<∞(有界)ととることしか思い浮かばず、∫(|t|>=R)|g(|t|)dt<εととれることが出てきませんでした。ありがとうございます。
No.78384 - 2021/09/22(Wed) 16:32:29
★ 数B / 数B
{a[n]}, {b[n]} をそれぞれ,公比 α, 公比 β (α > β) の等比数列とする.c[n] = a[n] +b[n] (n = 1, 2, 3, ...)によって定められる数列{c[n]}はc[1]=0,c[2]=1,c[3]=2,c[4]=6を満たしている。
(1)c[n+2]をc[n+1],c[n]を用いて表せ.
(2) a[n]に最も近い整数は c[n]であることを示せ.

(2)がどうすればいいのかよくわかりませんが、できれば(1),(2)の両方とも教えてほしいです。
No.78341 - 2021/09/20(Mon) 15:17:48
☆ Re: 数B / IT
a[n],b[n] を　a[1],b[1],α、βで表します。
c[1]=0,c[2]=1,c[3]=2,c[4]=6 からa[1],b[1],α、βの満たす条件を求めます。　
No.78344 - 2021/09/20(Mon) 15:45:41
★ 多変数関数の値域 / 高校三年生
「３つの非負実数 x,y,z が、方程式

　x+y+z = xy+yz+zx

　を満たすとき、x+y+z の値の範囲を求めよ。」

つべの動画では、x,y,z を自然数に限定した整数問題でしたが、
これらを実数まで拡張したら、解けなくなってしまいました。

どなたか、解法をご教示ください。m(_ _)m
No.78330 - 2021/09/20(Mon) 12:35:33
☆ Re: 多変数関数の値域 / らすかる
x+y+z=xy+yz+zxをyについて解くとy=(x+z-zx)/(x+z-1)なので
x+y+z=x+(x+z-zx)/(x+z-1)+z
=(x^2+zx+z^2)/(x+z-1)
（x+z-1=0は条件を満たしませんので分母が0になることはありません）
zを定数とみて
f(x)=(x^2+zx+z^2)/(x+z-1)として微分し増減を調べると
x＜-z+1-√(z^2-z+1)で増加
x=-z+1-√(z^2-z+1)で極大値
-z+1-√(z^2-z+1)＜x＜1-zで減少
1-z＜x＜-z+1+√(z^2-z+1)で減少
x=-z+1+√(z^2-z+1)で極小値
-z+1+√(z^2-z+1)＜xで増加
のようになり、
極大値はf(-z+1-√(z^2-z+1))=2-z-2√(z^2-z+1)
極小値はf(-z+1+√(z^2-z+1))=2-z+2√(z^2-z+1)
そしてg(z)=2-z-2√(z^2-z+1)とh(z)=2-z+2√(z^2-z+1)の増減を調べると
g(z)はz=0で極大値0、h(z)はz=1で極小値3をとりますので
x+y+zは0以下と3以上の任意の値をとることになります。
（0＜x+y+z＜3の範囲はとらず、それ以外の任意の値をとるということです）

実際、z=0のときy=x/(x-1),x+y+z=x^2/(x-1)となり0以下の任意の値をとり、
z=1のときy=1/x,x+y+z=x+1/x+1となり3以上の任意の値をとります。
No.78335 - 2021/09/20(Mon) 13:25:30
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
らすかるさん、返信ありがとうございます。

なるほど。
変数を定数とみなして絞っていくのですね。
ところで、３変数が非負実数だと上限が生じそうですが、
簡単に導出できるのでしょうか？
No.78337 - 2021/09/20(Mon) 14:14:26
☆ Re: 多変数関数の値域 / IT
> ところで、３変数が非負実数だと上限が生じそうですが、
> 簡単に導出できるのでしょうか？

元の条件と同じだと思いますが　書き間違いですか？
No.78340 - 2021/09/20(Mon) 15:16:13
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
ITさん、返信ありがとうございます。

>元の条件と同じだと思いますが　書き間違いですか？

はい。元の条件での解が知りたいです。
らすかるさん の解法は、３変数が実数全体の場合かと思ったので・・・。
No.78343 - 2021/09/20(Mon) 15:34:48
☆ Re: 多変数関数の値域 / IT
少なくとも上限はないですね。
らすかるさんの解答の最後
> z=1のときy=1/x,x+y+z=x+(1/x)+1となり3以上の任意の値をとります。

x,y,z ともに非負実数です。

0となることは明らかで、0<x+y+z<3 にならないこともらすかるさんが示されたとおりなので、元の問題の答えは出ていると思いますが。
No.78345 - 2021/09/20(Mon) 15:55:11
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
ITさん、返信ありがとうございます。

>元の問題の答えは出ていると思いますが。

思いっきり、勘違いしていました。m(_ _)m

らすかる さん、ご教示ありがとうございました。
No.78346 - 2021/09/20(Mon) 16:43:08
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
考えていた問題は、

「不定方程式

　x+y+z = xy+yz+zx

　を満たす任意の実数解の組(x,y,z)が、いずれも非負実数となる場合、
　x+y+z の値の範囲を求めよ。」

でした。
元の問題文だと、

「少なくとも一組の非負実数の解が存在する場合、
　x+y+z の値の範囲を求めよ。」

という意味になりますね。
日本語は難しい・・・。(-_-;)y-~
No.78351 - 2021/09/20(Mon) 17:01:51
☆ Re: 多変数関数の値域 / らすかる
> 不定方程式
> 　x+y+z = xy+yz+zx
> 　を満たす任意の実数解の組(x,y,z)が、いずれも非負実数となる

は成り立ちませんので、前者の問題は書き方が正しくないように思います。
もしかして
　実数範囲において、x+y+z=xy+yz+zx=kを満たすx,y,zが
　すべて非負実数となるようなkの範囲を求めよ。
という意味でしょうか。
もしそうなら、x+y+z＜0またはx+y+z＞4で少なくとも一つが負である実数解を持ちますので、
答えは0≦k≦4になると思います。
No.78362 - 2021/09/21(Tue) 00:02:01
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
らすかるさん、返信ありがとうございます。

>　実数範囲において、x+y+z=xy+yz+zx=kを満たすx,y,zが
>　すべて非負実数となるようなkの範囲を求めよ。
>という意味でしょうか。

その通りです！
もっと言えば、

「実数範囲において、x+y+z=xy+yz+zx=kを満たすx,y,zが、
　必ず存在し、それらすべてが非負実数となるような、
　kの範囲を求めよ。」

です。なので、らすかるさんの解法によれば、
答えは、k=0,3≦k≦4 になるような気がします。
No.78364 - 2021/09/21(Tue) 03:34:40
☆ Re: 多変数関数の値域 / らすかる
「解がすべて非負実数」だけなら0≦k≦4ですが、
「解が1組以上存在する」という条件も付ければ
おっしゃる通りでk=0,3≦k≦4になりますね。
No.78366 - 2021/09/21(Tue) 05:21:23
☆ Re: 多変数関数の値域 / 高校三年生
らすかるさん、返信ありがとうございます。

>「解が1組以上存在する」という条件も付ければ
>おっしゃる通りでk=0,3≦k≦4になりますね。

やはり、そうですか。
いろいろ、お手数をおかけしてすみませんでした。m(_ _)m
No.78367 - 2021/09/21(Tue) 11:10:44
★ (No Subject) / 数学苦手
この手の問題のときはPやCは使えますか？Cでは色まで、考えられないからCは多分使いませんよね、、
No.78329 - 2021/09/20(Mon) 12:18:03
☆ Re: / ヨッシー
普通は使う必要がないので使いません。

あえて使うなら
　5Ｃ0＋5Ｃ1＋5Ｃ2＋5Ｃ3＋5Ｃ4＋5Ｃ5
です。
No.78332 - 2021/09/20(Mon) 12:55:57
☆ Re: / 数学苦手
選ぶと書かれていたら、使うイメージでした
No.78347 - 2021/09/20(Mon) 16:46:35
☆ Re: / 数学苦手
今回の場合は色違いの5個と5個で計10個から、5個取り出して入れるから、それぞれ確率だと2分の1ですが場合の数なので合計を取り出す数で割って、2通りですかね、、？
例えば3色でこのような問題を計算することもありますか？
No.78350 - 2021/09/20(Mon) 16:58:23
☆ Re: / ヨッシー
前半はあいかわらず何が書いてあるかさっぱりわかりません。
なぜ確率と言う言葉を出す必要がありますか？

３色でも１０色でも計算できます。
ただし、横道にそれる前に、まずこの問題の答えを出しませんか？
No.78355 - 2021/09/20(Mon) 18:41:48
☆ Re: / 関数電卓
横から失礼します。
　１個目…赤か白かの２通り。
　２個目…赤か白かの２通り。
　　……………
　５個目…　　……
と考えるのが，最も単純ですよ。　
No.78356 - 2021/09/20(Mon) 18:53:35
☆ Re: / 数学苦手
そうですね。ヨッシーさんの書いたようにCで解くやり方もあるようですがそれはどちらか片方の色が何通り出るかみたいな作業でしたね。それは連続してない試行なので＋ですね。
No.78360 - 2021/09/20(Mon) 21:23:57
☆ Re: / 数学苦手
Cの右側に書かれた数字を赤玉とするならば残りの数が白玉となって、赤玉が0のときは白玉が5、赤玉が1のときは白玉が4…といったように赤玉が増えるに連れて、白玉が減るってことですね。
No.78368 - 2021/09/21(Tue) 16:21:58
★ (No Subject) / 橋本環奈
P: y>−x^2+(a−2)x+a−4 ⋀ y<x^2−(a−4)x+3

⑴∀x∊ℝ,∃y∊ℝ,P　が成り立つような実数aの範囲を求めよ
⑵∃y∊ℝ,∀x∊ℝ,P　が成り立つような実数aの範囲を求めよ

中学三年生です。記号の意味は分かるのですが、そこから先が混乱して解けません。解答よろしくお願いします。ちなみに参考書(解説ナシ）は
⑴−1<a<5
⑵(2−2√2)<a<2+2√2
と書いています。
No.78324 - 2021/09/20(Mon) 10:37:16
☆ Re: / IT
> 中学三年生です。記号の意味は分かるのですが、

問題（P,(1)(2)）で使われている論理記号による記述を日本語に書き下して書いてみてください。

（正しく理解しておられるかが分かるとと思いますので）
No.78325 - 2021/09/20(Mon) 11:03:06
☆ Re: / 橋本環奈
⑴　任意の実数ｘに対してある実数ｙが存在してPを成立させる
⑵　ある実数ｘでは、どの実数ｙについてもＰが成立する

間違っていたら恥ずかしい...
No.78326 - 2021/09/20(Mon) 11:20:07
☆ Re: / IT
>⑵　ある実数ｘでは、どの実数ｙについてもＰが成立する
は、間違っていると思います。（書き間違いかなと思いますが）

学校の授業より先のことを、独学で学習される場合は、解説のしっかりした参考書を使われた方が効率的だと思いますが。
（この問題に限って言えば、基本的な問題なので、定義などを正しく理解されていれば、解説なしでも正解に辿り着くということかも知れませんが）
No.78327 - 2021/09/20(Mon) 11:25:14
☆ Re: / 橋本環奈
実をいうと、この問題は学校の独自の教材の中の一問で、授業の飛ばした部分に含まれていました。もう少し勉強して理解できるようにします。ただ解答のおおまかな流れだけ説明していただけるとありがたいです
No.78328 - 2021/09/20(Mon) 12:07:30
☆ Re: / IT
Pの範囲をｘｙ平面上に描いてみます。
　ａによって　違ってきますが、例えば　a=0,a=6
その上で、
⑴∀x∊ℝ,∃y∊ℝ,P　が成り立つ

とは、どういうことか考えてみてください。

(2)∃y∊ℝ,∀x∊ℝ,P　の例は、その参考書に書いてないですか？

この手の記号を正しく使うと、日本語で書くより紛れなく表現できると思いますが、中途半端に教えるというのは、如何なものかと思います。
No.78333 - 2021/09/20(Mon) 13:02:31
☆ Re: / 橋本環奈
ありがとうございます。
No.78334 - 2021/09/20(Mon) 13:06:15
★ 数lll / ？？？
数列{s[n]} ( n ≧1) は、 1<a<2を満たす定数aを用いて,x は 0 < x <1-1/aを満たす与えられた定数かつ x[n+1] = ax[x] (1 - x[n]) (n = 1,2, 3, …)によって定義されている。
(1) 任意の自然数 n に対して0<x<1-(1/a)およびX[n]<X[n+l]が成り立つことを証明せよ.
(2) lim[x→∞]x[n]を求めよ.

広島大学の過去問らしいんですけど、模範解答がわかりません。どなたか解説していただきたいです。よろしくお願いします。
No.78320 - 2021/09/20(Mon) 09:06:25
☆ Re: 数lll / IT
いろいろ転記ミスがあるように思いますので、もう一度見直してください。
No.78321 - 2021/09/20(Mon) 09:20:48
☆ Re: 数lll / ？？？
数列{s[n]} ( n ≧1) は、 1<a<2を満たす定数aを用いて,x は 0 < x[1] <1-(1/a)を満たす与えられた定数かつ x[n+1] = ax[n] (1 - x[n]) (n = 1,2, 3, …)によって定義されている。
(1) 任意の自然数 n に対して0<x<1-(1/a)およびx[n]<x[n+l]が成り立つことを証明せよ.
(2) lim[x→∞]x[n]を求めよ.

この問題文が正しいです。申し訳ございません、
No.78338 - 2021/09/20(Mon) 15:03:17
☆ Re: 数lll / ？？？
> 数列{s[n]} ( n ≧1) は、 1<a<2を満たす定数aを用いて,x[1]は 0 < x[1] <1-(1/a)を満たす与えられた定数かつ x[n+1] = ax[n] (1 - x[n]) (n = 1,2, 3, …)によって定義されている。
> (1) 任意の自然数 n に対して0<x<1-(1/a)およびx[n]<x[n+l]が成り立つことを証明せよ.
> (2) lim[x→∞]x[n]を求めよ.
>
> この3つ目の問題文が本当に正しいです。申し訳ございません、
No.78339 - 2021/09/20(Mon) 15:10:14
☆ Re: 数lll / IT
まだ間違っていると思います。
> 数列{s[n]} ( n ≧1) は、
数列{s[n]} は、そのあと出て来ません。
>0<x<1-(1/a)　
x は何ですか？
>lim[x→∞]x[n]
とは何ですか？

いずれも推定可能ですが、問題を正しく記述し理解するのは、問題を解く上での最重要事項ですので、ご自分で修正してください。
No.78342 - 2021/09/20(Mon) 15:21:23
★ 高2、最大最小問題です。 / はる
解き方、解答ともわからないので、質問させていただきました。全部でなくてもいいので、教えていただけると助かります。よろしくお願いします。
No.78309 - 2021/09/19(Sun) 11:51:02
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?@
x+y=π/3
より
y=π/3-x (A)
これと
y≧0
により
π/3-x≧0
∴これとx≧0により
0≦x≦π/3 (B)
又(A)により
cosx+cosy=cosx+cos(π/3-x)
=2cos(π/6)cos(x-π/6) (∵)和積の公式
=(√3)cos(x-π/6)
ここで(B)より
-π/6≦x-π/6≦π/6
∴求める最大値は3/2(このとき(x.y)=(π/3,0),(0,π/3))
No.78310 - 2021/09/19(Sun) 12:58:54
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?A
0≦x≦1 (A)
0≦y≦1 (B)
とします
(B)より少なくとも
0≦y
ゆえ(A)から
-y^2≦(x^2)y-y^2≦y-y^2
-y^2≦(x^2)y-y^2≦-(y-1/2)^2+1/4
∴(B)より問題の関数の
最大値は-1(このとき(x,y)=(0,1))
最小値は1/4(このとき(x,y)=(1,1/2))
No.78311 - 2021/09/19(Sun) 13:03:24
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?E
x＞0,y＞0から
x=rcosθ
y=rsinθ
(0＜r,0＜θ＜π/2)
と置くことができるので
(x^2-xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=(1-sinθcosθ)/(1+sinθcosθ)
=(2-sin2θ)/(2+sin2θ)
=4/(2+sin2θ)-1
ここで
0＜θ＜π/2
により
0＜2θ＜π
∴問題の関数の最大値は存在しません。
No.78312 - 2021/09/19(Sun) 13:07:28
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?D
x+y+2z=1 (A)
x^2+y^2+4z^2=3 (B)
とします。
(B)より
(x+y+2z)^2-2(xy+2yz+2zx)=3
これに(A)を代入して
xy+2yz+2zx=-1 (C)
又
u=xyz
と置くと
2xyz=2u (D)
(A)(C)(D)と三次方程式の解と係数の関係
からx,y,2zはtの三次方程式
t^3-t^2-t-2u=0 (E)
の実数解。
∴(E)が実数解のみを持つ条件を求めます。
f(t)=t^3-t^2-t-2u (F)
と置くと
f'(t)=3t^2-2t-1
=(3t+1)(t-1)
∴f(t)が
極大値f(-1/3)=-11/27-2u
極小値f(1)=-1-2u
を取ることに注意して、
横軸にt、縦軸にf(t)を取った(F)のグラフ
を考えることにより
-11/27-2u≧0 (G)
-1-2u≦0 (H)
(G)(H)より
-1/2≦u≦-11/54
∴求める最大値、最小値はそれぞれ
-11/54,-1/2
No.78313 - 2021/09/19(Sun) 13:25:10
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?F
u^2-3≦v≦(1/4)u^2 (A)
とします。
v-2u=k (B)
(kは定数)
と置き,横軸にu,縦軸にvを取った座標平面上で
領域(A)と直線(B)が共有点を持つ条件を
考えます。
kが(B)のy切片であることに注意すると
(i)kが最大のとき
直線(B)は(A)(B)の境界線である
v=u^2-3
v=(1/4)u^2
の交点の一つである
点(-2,1)
を通るときで
k=5

(ii)kが最小のとき
直線(B)は(A)(B)の境界線である
v=u^2-3 (C)
と接しています。
さて(C)より
v'=2u
∴接点のu座標について
2u=2
∴u=1
これを(C)に代入することにより
接点の座標は
(1,-2)
∴このときのkの値は
k=-4

以上から
最大値は5,最小値は-4
No.78314 - 2021/09/19(Sun) 13:32:56
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / IT
?E　三角関数を使わない方法
x＞0、ｙ＞0のとき
与式＜1であり、
ｙ＝1のとき　
　与式＝(x^2-x+1)/(x^2+x+1)
　　　＝1-2x/(x^2+x+1)
　　　＝1-2/(x+1+(1/x)) →　1 (x→∞)
なので最大値を持たない。
No.78315 - 2021/09/19(Sun) 13:40:57
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?C
x^2+xy+y^2≦3 (A)
とします。
x+y=u
xy=v
と置くと、解と係数の関係から
x,yはtの二次方程式
t^2-ut+v=0 (B)
の実数解ですので(B)の解の判別式を
Dとすると
D=u^2-4v≧0 (C)
一方(A)より
u^2-v≦3 (D)
(C)(D)より
u^2-3≦v≦(1/4)u^2 (E)
一方
xy-2x-2y=v-2u
∴これは?Fと同じ問題に帰着します。
No.78316 - 2021/09/19(Sun) 13:46:35
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
?B
A＞0 (A)
B＞0 (B)
A+B＜π (C)
とします。
まずは前準備。
(A)(B)(C)から
0＜(A+B)/2＜π/2 (C)
又
A-B=k (D)
と置き、横軸にA,縦軸にBを取った
座標平面上で、領域(A)かつ(B)かつ(C)
と直線(D)との共有点を考えることにより
-π＜A-B＜π
∴-π/2＜(A-B)/2＜π/2 (E)
さて
sin(A/2)sin(B/2)cos{(A+B)/2}
=-(1/2){cos{(A+B)/2}-cos{(A-B)/2}}cos{(A+B)/2} (F)
∴
cos{(A+B)/2}=x
cos{(A-B)/2}=y
と置くと(C)(E)から
0＜x＜1 (C)'
0＜y＜1 (D)'
で
(F)=-(1/2)(x-y)x
=(1/2)xy-y^2
(C)'(D)より
-y^2＜(F)＜(1/2)y-y^2
∴求める最大値は存在しません。
No.78317 - 2021/09/19(Sun) 14:06:25
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / IT
?B は最大値があると思います。
（簡単のため）a=A/2,b=B/2 とおくと、a+b<π/2

与式=sin(a)sin(b)cos(a+b)＝(1/2)(cos(a-b)-cos(a+b))cos(a+b)
cos(a+b)> 0なので
a+bが一定のとき　
　与式はcos(a-b)=1 すなわち　a=b で
　最大 (1/2)(1-cos(2a))(cos(2a)) となる。
これは cos(2a)=1/2 ､すなわちa=b=π/6のとき 最大値　1/8 をとる。（このときa>0,b>0　a+b<π/2 を満たす）

Ｘさんの　、0＜y＜1 (D)'　はまちがいだと思います。
No.78318 - 2021/09/19(Sun) 22:23:12
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / はる
Xさん、ITさん、ありがとうございます。こんなにも早く返信していただけるとは思っていませんでしたので、返信遅くなってしまいすいません。本当にありがとうございます、また分からない事があったら質問させて下さい。よろしくお願いします。
No.78322 - 2021/09/20(Mon) 09:48:01
☆ Re: 高2、最大最小問題です。 / X
>>ITさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>はるさんへ
ごめんなさい。もう見ていないかもしれませんが
ITさんの仰る通りです。
No.78349 - 2021/09/20(Mon) 16:51:04
★ 数B / 数列
xy平面上の3点(n, 0), (0, n), (3n, 3n)を頂点とする三角形の周および内部に含まれる格子点の個数を a[n] とする.ただし, n は自然数であり,格子点とは x, y 座標がともに整数である点のことである。
(1) a[n] を n を用いて表せ.
(2) lim[n→∞] a[n]/n^2を求めよ.

学校で3点の内、ひとつが原点(0,0)を通る問題はやったんですけど、こちらの類題の解き方がわかりません。お手数ですが、解説していただけないでしょうか。
No.78288 - 2021/09/18(Sat) 16:41:54
☆ Re: 数B / Jin
この三角形を平行移動させて、一頂点を原点に持っていけば学校でやったという原点を通る問題に帰着できます。
No.78289 - 2021/09/18(Sat) 16:55:59
★ 該当する数学用語を教えてください / とあるprogrammer
例えば

AはBより大きい。
CはAより大きい。
最も大きいのは？

という問題があったとして「最も大きいのは？」は"質問文/question"と言えますよね？わからないのが「AはBより大きい。」や「CはAより大きい。」で、これらは数学用語で何と言いますか？"定義文"とかでしょうか？英語日本語の両方の言い方を教えてほしいです。 m(_ _)m
No.78279 - 2021/09/18(Sat) 09:43:11
★ 防衛医科大平成２７年度です / ぴーたろー
この３問がわかりません。よろしくお願いいたします。
No.78277 - 2021/09/18(Sat) 09:04:34
☆ Re: 防衛医科大平成２７年度です / X
問3
|x+1|＜a
より
-a＜x+1＜a
-a-1＜x＜a-1
∴A={x|-a-1＜x＜a-1}
となるので、条件のとき
(-a-1)+5+1=a-1
これより
a=3
ということで答えは(1)

問4
x^2-(2b+c)x+b^2+bc≦0
から
x^2-(2b+c)x+b(b+c)≦0
(x-b-c)(x-b)≦0
∴b≦x≦b+c
となるので
B={x|b≦x≦b+c}
よってBの要素の個数は
(b+c)-b+1=c+1
ということで答えは(3)

問5
問3の結果から、
A={x|-4＜x＜2}
∴Aの補集合を\Aと書くことにすると、
\A={x|x≦-4,2≦x}
一方、問4の結果からBの要素数が1のとき
c+1=1
∴c=0
となるのでBの要素数は2以上となります。
∴\A∩Bの要素数が1のとき
\A∩B={-4},{2}
(i)\A∩B={-4}のとき
b=-4
b+c=-3,-2,-1,0,1
∴(b,c)の組の個数は5個
(ii)\A∩B={2}のとき
b+c=2
b=-3,-2,-1,0,1
∴(b,c)の組の個数は5個

以上から求める要素数は10
ということで答えは(2)
No.78280 - 2021/09/18(Sat) 09:59:28
★ 教養微積分の本の定積分の問題 / 松野仁
大学教養微積分学の本の定積分が解けません。得意な方お願いします。
(1)∫(0→π)log(1+acosx)dx 条件(|a|<1)
(2)∫(0→2π)1/(1-2acosx+a^2) dx 条件(0<a<1)
No.78276 - 2021/09/18(Sat) 03:04:13
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / X
(2)だけ方針を。
これは被積分関数が三角関数を変数と見たときの
分数関数である典型的な問題です。
tan(x/2)=t
と置けばtの分数関数の積分として計算できます。
(解析学の教科書、又は参考書の積分の項目で
f(sinx,cosx)の形の関数の積分
等といった書かれた方をしている項目を調べて
見て下さい。
この説明で分からないようであれば、この積分を
計算するには学習が足りません。)
No.78284 - 2021/09/18(Sat) 14:01:23
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / 松野仁
(2)はできそうです。ありがとうございます。

(1)の方針を教えてくれる方も待っています。
No.78287 - 2021/09/18(Sat) 15:53:57
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
(1) 教養微積分 にしては、難しそうですね。転記ミスはないですか？　出典（本の名称・著者など）は何ですか？
No.78290 - 2021/09/18(Sat) 18:10:35
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / Jin
笠原 晧司さんの「微分積分学」(サイエンス社)。2章の演習問題15の(2)です。2章は、導関数、定積分、不定積分、広義積分の定義と基本定理の証明と例題で構成されていました。
No.78292 - 2021/09/18(Sat) 18:31:57
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
その本は私も持ってます。たしかに問題は合ってますね。（長年教科書として使われて本なので誤植はなさそうです）

答えは、πlog((1+√(1-a^2))/2) となってますね。
No.78293 - 2021/09/18(Sat) 19:28:52
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
2.7　パラメータを含む定積分の応用ですかね。
No.78294 - 2021/09/18(Sat) 19:36:46
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / m
https://r7.whiteboardfox.com/71391093-2897-2514

手書きで式変形だけ．
数学的な厳密さは必要なら後で考えます．

// あ，答えと合わないですね．数値計算でだいたい一致したかokだと思ったけど...
No.78295 - 2021/09/18(Sat) 19:40:07
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / m
上のリンク先修正できました．積分区間間違えてました．
No.78296 - 2021/09/18(Sat) 19:52:30
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / Jin
凄い!
数学的な厳密さですが、積分と微分の交換可能性はすぐわかる。
後は、aの範囲ですが、ワイトボードの表現ですとa=0では df/da が定義されないもののちゃんと0で収束するのでよさそうですね。分母分子に(1+(1-a^2)^(1/2))をかけてaを消した表現にするとa=0も含んだ表現になりました。通してみた結果大丈夫そうです。ありがとうございます。

積分求める際に、別の変数で微分してこのように求める方法ってメジャーなんですか？
No.78297 - 2021/09/18(Sat) 20:11:02
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / IT
この問題はないですが、同じ、笠原 晧司さんほか共著の「詳説演習微分積分学」（培風館）には、積分記号内微分の問題がいくつか載っています。
No.78299 - 2021/09/18(Sat) 20:25:00
☆ Re: 教養微積分の本の定積分の問題 / m
厳密さも検証されているようでよかったです．

// 本名前と単元から微分することを思いたちました．
// わざわざ数学書の演習問題になっているから，ひと癖ありそうというゲスな考えです笑
No.78300 - 2021/09/18(Sat) 22:05:07
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題について質問です
No.78274 - 2021/09/18(Sat) 00:50:52
☆ Re: / 数学苦手
これは普通に4x=5aで代入しないと解けませんか？
No.78275 - 2021/09/18(Sat) 00:52:20
☆ Re: / ヨッシー
殴り書きはダメって言われませんでしたっけ？
たとえば、下の右辺は何ですか？
　クムリ？
No.78282 - 2021/09/18(Sat) 12:19:10
☆ Re: / 数学苦手
44=7ayですね
No.78286 - 2021/09/18(Sat) 15:16:23
☆ Re: / ヨッシー
そこだけ判明しても、全部が読めるようになるわけではないのでねぇ。
No.78291 - 2021/09/18(Sat) 18:28:36
☆ Re: / 数学苦手
すいません。自分で結構考えてから、汚すぎたので、、書き直して綺麗とは言えませんが見える程度に書いたつもりですがうーん…ダメですか…たしかにこれも汚いのは汚いですが…
No.78301 - 2021/09/18(Sat) 22:30:33
☆ Re: / IT
横から失礼します。

「綺麗か汚いか」というよりも、後でその式だけを読んで、紛れなく読めるかが大切だと思います。

少なくとも、0やａは、閉じて＃いないと、0やａと読めないと思います。
ｘ（エックス）と×（掛ける）も、一部分かりません。（これはやむを得ないかも知れませんが）

＃「閉じている」という意味は分かりますよね？
No.78308 - 2021/09/19(Sun) 10:36:03
☆ Re: / 数学苦手
ちょっと今から私用なので、また後で、書き直します
No.78331 - 2021/09/20(Mon) 12:39:50
★ 数lll / たろう
(1)y={xcos(x)}/sin(x)は0<x<πの範囲で単調減
少となることを証明せよ.
(2)1/π<x<πにおいて,f(x)=sin(x)·sin(1/x)が極大となるxの値を求めよ.
この２問が宿題で予習してこいとだされたのですが、今一解き方がわかりません。恐縮ですが、解法、解答教えていただきたいです。
No.78271 - 2021/09/18(Sat) 00:03:53
☆ Re: 数lll / X
(1)
問題の関数から
y'={(cosx-xsinx)sinx-(xcosx)cosx}/(sinx)^2
={(1/2)sin2x-x}/(sinx)^2 (A)
ここで
g(x)=(1/2)sin2x-x
と置くと
g(0)=0 (B)
g'(x)=cos2x-1
∴0＜x＜πにおいてg'(x)＜0
となるので(B)より
0＜x＜πにおいてg(x)＜0
∴(A)から
0＜x＜πにおいてy'＜0
となるので問題の命題は成立します。
No.78272 - 2021/09/18(Sat) 00:35:21
☆ Re: 数lll / X
(2)
条件から
f(x)=f(1/x)
∴f'(x)=-(1/x^2)f'(1/x) (A)
(A)にx=1を代入して
f'(1)=0 (B)
ここで
1/x=X
と置くと
(A)から
f'(x)=-(1/x^2)f'(X) (A)'
で
1/π＜x＜1
のとき
1＜X＜π
(A)'から
f(x),f(X)が異符号、又は同時に0
に注意すると
1/π＜x＜1のときf'(x)＞0
を示せば
f(x)はx=1においてのみ極大
となることが分かります。

さて
f'(x)=cosxsin(1/x)-(1/x^2)sinxcos(1/x)
∴
(i)1/π＜x≦2/πのとき
(1/x^2)sinxcos(1/x)≦0かつcosxsin(1/x)＞0
∴f'(x)＞0
(ii)2/π＜x＜1のとき
1＜1/x＜π/2
となるので
f'(x)＞cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
=sin(x+1/x)+{(π/2)^2-1}sinxcos(1/x)
ここで
1＜x+1/x＜(π/2)^2+(2/π)^2
＜1.6^2+1/1.6^2＜2.56+1/2＜π
∴f'(x)＞0

ということでf(x)はx=1でのみ極大となります。
No.78278 - 2021/09/18(Sat) 09:35:42
☆ Re: 数lll / たろう
(2)の解説において
> f'(x)＞cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
=sin(x+1/x)+{(π/2)^2-1}sinxcos(1/x)
の式変形どのようにしたらこうなるのでしょうか。
お手数ですが教えていただきたいです。
No.78285 - 2021/09/18(Sat) 14:59:26
☆ Re: 数lll / IT
X さんから　回答が未だなので、代わりにヒントを

sin(x+(1/x))　に加法定理を適用するとどうなりますか？
No.78298 - 2021/09/18(Sat) 20:19:12
☆ Re: 数lll / X
＞＞たろうさんへ
ごめんなさい。
> f'(x)＞cosxsin(1/x)+{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
ですが、間違っていました。
1＜1/x＜π/2
より
-(π/2)^2＜-1/x^2＜-1
∴f'(x)＞cosxsin(1/x)-{(π/2)^2}sinxcos(1/x)
となります。
ですが、これでは
f'(x)＞0
の証明には使えません。

但し、ここまでの前段階の
1/π＜x＜1のときf'(x)＞0
が証明できれば、
f(x)がx=1でのみ極大
となることに変わりはありませんので
No.78278は参考として残しておきます。

ちなみに
y=sinxsin(1/x)(1/π≦x≦π)
のグラフは以下のリンク先にあります。
参考までに。
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=sinxsin%281%2Fx%29%281%2F%CF%80%E2%89%A6x%E2%89%A6%CF%80%29%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95%E3%82%92%E4%BD%9C%E6%88%90




＞＞ITさんへ
フォローして頂いて申し訳ないのですが
上記の通りですのでご容赦下さい。
No.78303 - 2021/09/18(Sat) 22:45:10
☆ Re: 数lll / IT
（１）が使えるようですね。
No.78305 - 2021/09/19(Sun) 08:49:13
☆ Re: 数lll / IT
f'(x)=cosxsin(1/x)-(1/x^2)sinxcos(1/x)

これにx/(sinxsin(1/x))(>0) を掛け、xcosx/sinx - (1/x)cos(1/x)/sin(1/x)=g(x) とおくと、
g(1)=0,

1<x<πで
　(1)よりxcosx/sinxは減少関数、(1/x)cos(1/x)/sin(1/x)は増加関数
　よってg(x)は減少関数
　∴g(x)<0,∴f'(x)<0
よってf(x)は減少関数.
No.78306 - 2021/09/19(Sun) 09:04:01
☆ Re: 数lll / IT
1/π<x< 1 について
　xが増加すると,
　　1/x は1<1/x<πであり 減少する。
　　f(x)=f(1/x)なので、前記より　f(x) は増加する。

したがって、1/π<x<πにおいてf(x) が極大となるのは　x=1 のときのみ。
No.78307 - 2021/09/19(Sun) 10:20:54
☆ Re: 数lll / たろう
XさんITさん、お二人とも本当に丁寧に対応していただき、ありがとうございます。本当に助かります。
No.78319 - 2021/09/20(Mon) 08:55:09
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