aを定数とし、関数f(x)について次の条件を考える
f(x)=x∫(0→1){f(t)-a}^2dt
(1)a=4/3のとき、条件を満たす関数f(x)を全て求めよ。
(2)条件を満たす関数f(x)が存在するような定数aの値の範囲を求めよ。
(3)条件を満たす関数f(x)がただ1つ存在するような定数aの値と関数f(x)を求めよ。
(1)はf(x)=x+5/3と出ました
（2）以降お願いします。
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No.77006 - 2021/07/27(Tue) 09:58:54
| ☆ Re: 高3です / ast | | | # 方針: (1) が解けるなら a を未知定数のまま残しても (1) と同じ論法で f(x) は求まるはず.
条件式中の積分は x に関係しない定数 (ただし a には依存する) になるので, 定石どおりに m(a):=∫[0,1] (f(t)-a)^2 dt と置くと f(x)=m(a)x と書けるから m(a) が決まれば f(x) も決まり逆もまた然り.
またこのとき, もとの条件式は f(x) = x ∫[0,1] (m(a)t-a)^2 dt = x(a^2-a*m(a)+m(a)^2/3), したがって m(a)=a^2-a*m(a)+m(a)^2/3 だから m(a)= ((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2.
(1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2.
(2) √(-3a^2+18a+9) が実数であるような a の範囲 3-2√3 < a < 3+2√3 で f(x)= (((3a+3)±√(-3a^2+18a+9))/2)x は存在する.
(3) 同様に √(-3a^2+18a+9) が 0 となる a=3±2√3 で m(a) は一意, したがって f(x) も一意.
# あ, 質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」と一致しなかったので
# 何か思い違いしたかもしれないけど, チェックするの面倒なのでそのまま投稿しますね……
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No.77010 - 2021/07/27(Tue) 12:51:26 |
| ☆ Re: 高3です / IT | | | astさんの
＞(1) a=4/3 のとき m(4/3)= (7±√(83/3))/2
は、合っているようです。
＞質問者さんのコメントの「(1)はf(x)=x+5/3と出ました」
は、あり得ないですね。
f(x)=x×定数 でないとおかしいですね。
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No.77024 - 2021/07/27(Tue) 21:09:53 |
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