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★ 扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / 寝屋川のポチャッコ
見えづらいと思うんですが、扇形がこのように傾いています。
扇形の高さを調べたい場合は、以前は半径-√半径の2乗-横の距離という風にご教授いただきましたが、傾いているのでそれは使えないのです。
傾くと横の距離まで傾いてしまうからです。
中心核とx軸に対する傾きが分かっているとするとき、個々の値の高さは計算不能でしょうか。
No.78166 - 2021/09/13(Mon) 17:21:17
☆ Re: 扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / 寝屋川のポチャッコ
すみません、ここの値の高さでは説明不足ですね。底辺からの高さ、つまりy値です。
No.78167 - 2021/09/13(Mon) 17:32:01
☆ Re: 扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / ヨッシー

図のＦのｙ座標と言うことで良いですか？
No.78168 - 2021/09/13(Mon) 17:37:54
☆ Re: 扇形について。知りたい点の高さが知りたい。 / ヨッシー
半径ｒとします。
△ＯＡＢにおいて、
　ＡＯ＝ｒcosφ
　ＢＯ＝ｒsinφ
△ＡＢＤにおいて、∠ＢＡＤ＝θ/2 より
　ＢＤ＝ｒtan(θ/2)
△ＢＤＥにおいて
　ＢＥ＝ＢＤcosφ＝ｒtan(θ/2)cosφ
よって、点Ｆのｘ座標は
　ｒsinφ＋ｒtan(θ/2)cosφ
中心Ａの座標は
　(０，ｒcosφ)
なので、この扇形の元の円の式は
　ｘ^2＋(ｙ−ｒcosφ)^2＝ｒ^2
これに　ｘ＝ｒsinφ＋ｒtan(θ/2)cosφ を代入して
ｙを求めたとき、小さい方がＦのｙ座標となります。
　(ｙ−ｒcosφ)^2＝ｒ^2−{ｒsinφ＋ｒtan(θ/2)cosφ}^2
　ｙ＝ｒcosφ−ｒ√[１−{sinφ＋tan(θ/2)cosφ}^2]
となります。
No.78169 - 2021/09/13(Mon) 17:50:15
★ 不明 / 冴
実数から実数への関数f(x)は次の二つの条件を満たす。

(1)任意の実数x、yに対して、|f(x)-f(y)|=|x-y|

(2)xが整数のとき、f(x)も整数

(1)f(x)はどの値も固定しない。すなわち、任意の実数xに対してf(x)はxと異なるとき、f(x)=x+n(nは0以外の整数)となることを示せ。

(2)f(x)が1点x_0のみを固定するとき、すなわちただ1つの実数x_0に対してf(x_0)=x_0となるとき、x_0をf(0)を用いて表せ。

(3)f(x)が2点以上の値を固定するとき、すなわち少なくとも2つの実数x_1、x_2(x_1≠x_2)に対してf(x_1)=x_1かつf(x_2)=x_2となるとき、任意の実数xに対してf(x)=xとなることを示せ。

(1)はy=0を代入すると、|f(x)-f(0)|=|x|なので、f(x)=x+f(0)またはf(x)=-x+f(0)となりますが、f(x)=-x+f(0)が不適な理由がわかりません。(2)と(3)は最初からわからないです。
No.78165 - 2021/09/13(Mon) 16:15:39
☆ Re: 不明 / IT
> (1)はy=0を代入すると、|f(x)-f(0)|=|x|なので、f(x)=x+f(0)またはf(x)=-x+f(0)となりますが、f(x)=-x+f(0)が不適な理由がわかりません。

「f(x)はどの値も固定しない。」という条件に反します。

y=xのグラフ…(ア) と　y=f(x)のグラフ…(イ) を考えると
　（ア）（イ）の共有点が固定点です。
　f(x)=-x+f(0)のとき
　（ア）（イ）が共有点（交点）を持つことが直観的に分かると思います。

式で確認するなら、
f(x)=-x+f(0)のとき
　f(x)=x⇔-x+f(0)=x⇔f(0)=2x
なのでx=f(0)/2 のときf(x)＝x となり　ダメ。
No.78170 - 2021/09/13(Mon) 18:06:47
☆ Re: 不明 / IT
解答があるのなら、その概要を示された方が、効率的に回答ができます。
No.78171 - 2021/09/13(Mon) 18:53:47
☆ Re: 不明 / 編入受験生
f(x) = xとなるようなxのことを不動点といいます。
この点はy=xとの交点です。
∴　どの値も固定しない⇔y=xとの交点がなし
　　k点で固定⇔y=xとの交点がk個 (k=1,2,3,...)
(1)からf(x) = +-x+k(kは任意の実数)
(1),(2)からf(x) = +-x + n (nは整数)
∴y=f(x)は傾き+1あるいは-1で,y切片nの直線Lとなる

[1]
(1),(2)のもとで,[1]の条件からy=f(x)とy=xの傾きは同じでかつ同じ直線となってはならない. ∴f(x) = x+n(n≠0)

[2]
傾き同じ直線同士ならば、交点は無限にあるかあるいは０個だが、傾きが異なっていれば常に交点は一つとなる.
∴ f(x) = -x + nだから,f(0) = n.
f(x_0) = -x_0 + n = x_0だからf(0)=nを用いてx_0で整理すれば,x_0 = f(0)/2.

[3]
二つの直線の交点が２個以上となるのは、まったく同じ直線のときすなわち傾きが等しくy切片も等しい場合
∴ f(x) = x

図をかけば一瞬でわかる問題。
図を描くようにしよう。
No.78174 - 2021/09/13(Mon) 20:02:19
☆ Re: 不明 / 冴
皆様ありがとうございました。
No.78247 - 2021/09/17(Fri) 00:27:00
★ 確率 / 冴
nを2以上の自然数とする。さいころをn回投げて、k回目に出た目の数をa_kとする。さらにx_0、x_1、…x_nを次の規則により定める。

規則
x_0=0、x_k=x_(k-1)+a_k(a_kが偶数のとき)、x_(k-1)・a_k(a_kが奇数のとき)

x_n=0、2、4となる確率をそれぞれ求めなさい。
No.78164 - 2021/09/13(Mon) 16:00:32
☆ Re: 確率 / GM
x_n=0となるのはｎ回奇数が出る場合のみなので（１／２）^n


x_n=2となるのはｋ回奇数が出て次に２が出て残りｎ−ｋ−１回１が出る場合なので
（１／２）^k・（１／６）・（１／６）^(n-k-1)をｋについて０からｎ−1まで和をとればよいです


x_n=4となるのは次の２つの場合です
ｋ回奇数が出て次に４が出て残りｎ−ｋ−１回１が出る場合・・・（ｉ）
ｋ回奇数が出て次に２が出て残りｎ−ｋ−１回のうち１回２が出てそれ以外は１が出る場合・・・（ｉｉ）

（ｉ）はx_n=2となる確率と等しいです
（ｉｉ）は（１／２）^k・（１／６）・（１／６）・（１／６）^(n-k-2)
に２回目の２が出る場所の選び方ｎ−ｋ−１をかけて
ｋについて０からｎ−２まで和をとればよいです
No.78336 - 2021/09/20(Mon) 13:27:26
★ (No Subject) / 松
xは実数全体を動く
(2x^2-3x)/x^2+4の値域を求めよ
No.78161 - 2021/09/13(Mon) 13:22:47
☆ Re: / らすかる
(2x^2-3x)/x^2+4
=(2x-3)/x+4
=2x/x-3/x+4
=2-3/x+4
=6-3/x
3/xは0以外の任意の値をとるので
6-3/xは6以外の任意の値をとる。
よってy=(2x^2-3x)/x^2+4の値域は
y＜6,6＜y
No.78162 - 2021/09/13(Mon) 13:52:53
☆ Re: / ヨッシー
たぶん、(2x^2-3x)/(x^2+4) と思われますが、これを f(x) と置きます。
　f'(x)＝{(4x-3)(x^2+4)−2x(2x^2-3x)}/(x^2+4)^2
　(分子)＝3x^2+16x-12x＝(3x-2)(x+6)
よって、
　f(-6)＝9/4　が極大値
　f(2/3)＝-1/4　が極小値
ｘ→±∞　で、f(x)→2 であるので、求める値域は
　-1/4≦f(x)≦9/4
No.78163 - 2021/09/13(Mon) 14:03:14
★ 対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya
対数方程式の真数の条件、底の条件について質問があります。
教えてください。
（問題1-2だけは私が勝手に作った問題と解答です。他は参考書を写しました）

[]は真数です。


＜問題1-1＞　log5[x]＝3を解け。

＜解答＞
対数の定義から，x＝5＾3＝125

Q1-1　なぜ「真数は正よりｘ＞0」は必要ないのですか。
x＝5＾3＝125＞0　あきらかにx>0だから「真数は正よりｘ＞0」は必要ないということですか。


＜問題1-2＞　logk[x]＝3を解け。

＜解答＞
底の条件からk>0，k≠1　←Q2　これは書く必要がありますか？
真数は正よりｘ＞0　←Q3　これも書く必要がありますか？
対数の定義から，x＝k＾3

（答え）x＝k＾3　（ただしk>0，k≠1）←Q4　これは書く必要がありますか？


＜問題2＞　log3[x-1]＝2を解け。

＜解答2＞

log3[x-1]＝2　より
log3[x-1]＝log3[3^2]
ｘ-1＝3^2
x-1=9
このとき　x-1=9＞0だから真数は正である。ゆえにx=10
　　　　　　　　　　　　　　↑
Q5　＜問題2＞は＜問題1-1＞と違って「真数は正である」を書いてあるのはなぜですか。


＜問題3＞

logx[9]＝-2を解け。

＜解答＞
底の条件より、x>0，x≠1　　
対数の定義から，x＾(-2)＝9
x^2＝1/9
x>0，x≠1より
x=1/3

Q6
定義から解いているので＜問題１-1＞のように真数の条件、底の条件は必要ないと思うのですが、
＜問題3＞は「底の条件x>0，x≠1」を書いているのはなぜですか。
No.78155 - 2021/09/12(Sun) 21:18:06
☆ Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / 編入受験生
解答者の気分じゃないですか。
全部書いたほうがいいと思うよ、過分で減点されることなんてないから。
少なくとも,与えられた変数の定義域は説明しないと減点される場合がある。
ただ、そんな基本的なところで減点する大学なんてないとは思うけどね。
もっと、論証しないといけない部分が山ほどあるからね。

一人の数学者の言葉を借りれば、
「数学のできる人間とは、不正確な文と図から正確な推論のできる人間のことである」。
No.78156 - 2021/09/13(Mon) 01:26:30
☆ Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya
私の理解不足でごめんなさい。
問題1では、対数の定義から答える場合、私が見たすべての教科書、参考書（15冊くらい）では、「真数は正よりｘ＞0」は書いていません。
解答者の気分以外に何か理由があると思いますので教えて下さい。
No.78159 - 2021/09/13(Mon) 06:26:06
☆ Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya


問題1-1では教科書の指導書（先生用）で、対数の定義から真数＞0の吟味は不要と書いてあります。他の教科書も同じです。なぜ定義だと真数＞0は不要ですか?
また、問題１−2のように、底が文字kがあっても真数＞0は不要ですか?

更に、問題1-2のように参考書で底が未知数xが入ると、定義から求めても、「底の条件より、x>0，x≠0」が書いてあります。問題1-1と違ってなぜこれを書く必要があるのですか?
No.78160 - 2021/09/13(Mon) 07:15:56
☆ Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / m
> 問題1-1では教科書の指導書（先生用）で、対数の定義から真数＞0の吟味は不要と書いてあります。他の教科書も同じです。なぜ定義だと真数＞0は不要ですか?

定義"だから"真数 >0 の吟味は不要です．
強いて理由を挙げるなら，log5[x] と書かれた時点で log の定義によって x は x>0 を動く変数ですし，log5[x] = 3 は x = 5^3 と同値です．x > 0 は定義によって保障されています．


> また、問題１−2のように、底が文字kがあっても真数＞0は不要ですか?

不要です．
この場合も logk[x] と書かれた時点で log の定義から文字 k, x の動ける範囲は k>0, k ≠ 1, x>0 に制限されます．また，解答に
> x＝k＾3　（ただしk>0，k≠1）
のように k についての条件をかく必要もない（と思う）．その条件は出題者が書くべきもの．書かれてない場合は暗黙の了解ということで，回答者にだけその条件を書かせるのは不合理．もちろん書いてもいい．


> 更に、問題1-2のように参考書で底が未知数xが入ると、定義から求めても、「底の条件より、x>0，x≠0」が書いてあります。問題1-1と違ってなぜこれを書く必要があるのですか?

問題３のことですよね．これは必要．ただ，底に未知数が入っているから条件を書くのではない．解答の途中で必要になったから書いている．

No.78155の問題３の解答の流れは，
logx[9]＝-2 を満たす x を見つけたい．
求める x は 少なくとも x^2 = 1/9 を満たす．（これを必要条件という．）
この二次方程式を解いて，logx[9]＝-2 の解の候補としてx = 1/3, -1/3 を得る．
しかし x = -1/3 に対して logx[9] は定義されないから除外．
残った x = 1/3 が logx[9]＝-2 の解である．

つまり，x = -1/3 を除外する理由を「底の条件より、x>0，x≠1」で説明しているのです．

// 一般に方程式を必要条件を使って解くと，余計な解が出てくることがある．適当な条件を使って解を絞っておくと議論しやすくなる．


以上は個人の感想です．他の方の意見も聞きたいです．
No.78172 - 2021/09/13(Mon) 19:20:42
☆ Re: 対数方程式の真数の条件、底の条件 / takuya
お忙しい中たくさん書いていただきありがとうございました。
真数の条件を書く必要がないことがよくわかりました。
底の条件を書くのは、未知数だからではではなく、必要になったときに書いていることもわかりました。
必要条件から判断するのもわかりやすいですね。
ありがとうございました。
No.78195 - 2021/09/14(Tue) 21:35:40
★ 宝くじの確率 / ぽっちゃま
宝くじの確率について考えてたら、
1等だけではなく2等以下のことも考える必要が出てきたので質問します。

僕が調べた宝くじは「ジャンボ宝くじ」と「100円big」という宝くじです。

ジャンボ宝くじの確率は、
・1等が1000万分の1で当選金額は3億円
・前後賞は500万分の1で1億円
・組違い賞は10万分の1で10万円

・2等は500万分の1で500万円
・3等は20万分の1で100万円
・4等は1万分の1で5万円
・5等は500分の1で1万円
・6等は100分の1で3千円
・7等は10分の1で300円


そして100円bigは
・1等は480万分の1で2億円
・2等は17万分の1で70万円
・3等は1万3千分の1で2万円
・4等は1600分の1で3千円
・5等は300分の1で800円


ジャンボ宝くじは1口300円です。
100円bigは1口100円です。

これで予算9万円でジャンボ宝くじを300口を買った場合と、
100円bigを900口買った場合の当選確率を知りたいです。


1回限りの確率なら100円bigのほうが当たるだろうという答えなのですが、
外れてしまって次も買い続けた場合の確率を知りたいです。

当たった金額は次回に持ち越すこととします。
2回目の購入予算も9万円で、そこに前回の当選金を足します。
これを3回目、4回目と続けていったときの確率です。

その場合、
ジャンボ宝くじを買い続けるパターンと、
100円bigを買い続けるパターンでどう変わってきますでしょうか？

漠然と考えた感じでは1回目は100円bigの方が当たりやすいけど、
上記の当選金を持ち越す方法だとジャンボの方が確率が上になるのでは・・・
と思ったのですが正しい式が思いつかず漠然としたままです。

ネイピア数とかも必要になってくると思います。

どうか、よろしくお願い致します。
No.78152 - 2021/09/12(Sun) 12:51:55
☆ Re: 宝くじの確率 / ヨッシー
ここでいう「確率」の定義は何ですか？

たとえば、１枚１００円で、１／２ の確率で１００円が当たるくじに
４００円つぎ込んだときの確率は何ですか？
No.78154 - 2021/09/12(Sun) 16:10:43
☆ Re: 宝くじの確率 / 編入受験生
仮定１：買うタイミングでのくじ売り場の当たりくじの確率分布も同じようになっている。
仮定２：ランダムに購入できる
仮定３：購入する場所のくじの枚数が十分多くて、３００口程度買ってもくじの確率分布の変化は無視できるほど小さい。

この仮定の下で、９００口分をジャンボ宝くじか１００円bigどちらのほうが買うほうがいいかを考える.

頻度主義確率の立場では、それは期待値の高いほう.

主観主義確率の立場では、それは１円でも利益のでる確率が大きい方と考えられる.

ちなみにですが、くじを買って期待される当選金は掛け金よりも必ず低くなるので、どっちにせよ買わないほうが利益が出ると頻度主義確率は考えます.
主観主義確率では、かけた金額よりも大きな当選金を得られる確率がたしかに0よりも大きいので,利益を得られうると考えることができると考えます。

また、何回買い続けても、１回の購入で期待できる当選金の大きいほうが必ず当選金額が大きくなると頻度主義確率は考えますので、この立場では何口でも常に100bigを買い続けるほうがいいということになります。
一方、主観主義確率では、必ずしもそうなるとは限りません。

ただ、そもそも宝くじはどの売り場でも同じように当たりくじが入っているわけではないので、当たりくじの分布は異なっている。
だから、まず購入する売り場で標本抽出（買った人のくじの結果を聞いて回るとか）を行って、その売り場で期待できる当選金（期待値）を推定することになります。
期待値は正規分布を用いた統計推定で一般的に求められる.
だから、地道にいろんなくじ売り場の標本抽出を行って、
くじ売り場の期待できる当選金額を調べまわれば、期待値が購入金額よりも大きくなるような売り場があるかもしれない。
ただし、売り場で売られている枚数は標本数に対して十分大きいものとする。
No.78157 - 2021/09/13(Mon) 03:04:30
☆ Re: 宝くじの確率 / 編入受験生
> ここでいう「確率」の定義は何ですか？
>
> たとえば、１枚１００円で、１／２ の確率で１００円が当たるくじに
> ４００円つぎ込んだときの確率は何ですか？

ー２００円。
No.78158 - 2021/09/13(Mon) 03:16:01
★ 数学A:場合の数 / 山田山
a~eまでの文字が書かれた球から3個取り出して円形に並べる場合の重複分は書き出すしか方法はないのでしょうか？
ご回答よろしくお願いします。
No.78149 - 2021/09/11(Sat) 23:55:09
☆ Re: 数学A:場合の数 / ヨッシー
同じ文字は２個以上入っていないとします。
　5Ｐ3÷3
で求められます。
３は、ＡＢＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢ のように円にすると同じになる並べ方です。

または、5Ｃ3 で、３個の球を順番関係なく選んで、これを円に並べるとき、
時計回りか反時計回りかの２通りあるので、
　5Ｃ3×2
としても良いです。

前者のＡＢＣ，ＢＣＡ，ＣＡＢを、書き出すと言えば、書き出すですね。
No.78150 - 2021/09/12(Sun) 00:02:11
☆ Re: 数学A:場合の数 / 山田山
返信ありがとうございます。
問題集は前者の解答でしたが、重複すると言うイメージがつかなかったので一例を挙げていただきよく分かりました。ありがとうございました。
No.78151 - 2021/09/12(Sun) 00:39:12
★ ヘロンの公式について / 寝屋川のポチャッコ
直角がない場合のヘロン（不当辺三角形）の高さは求められないでしょうか。
三角形の全部の角度と一つの辺が分かっている場合と、
二つの辺と一つの角度が分かっている場合、泣き寝入りになるしかないのでしょうか。
No.78144 - 2021/09/11(Sat) 16:25:37
☆ Re: ヘロンの公式について / 寝屋川のポチャッコ
すべての辺が直角より小さい場合です。
No.78145 - 2021/09/11(Sat) 16:32:33
☆ Re: ヘロンの公式について / 寝屋川のポチャッコ
> すべての辺が直角より小さい場合です。
ごめんなさい、角度のまちがいでした.
No.78146 - 2021/09/11(Sat) 16:34:43
☆ Re: ヘロンの公式について / X
ヘロンの高さ
の定義は何ですか？
No.78147 - 2021/09/11(Sat) 16:56:49
☆ Re: ヘロンの公式について / 関数電卓
こちら の中ほどにある ヨッシーさんの回答 No.77869 が参考になります。
No.78148 - 2021/09/11(Sat) 17:48:47
★ ？ / 。
本当にこうなるんですか？
8=√64=√2⁶=√(-2)⁶=√{(-2)³}²=(-2)³ =-8
No.78141 - 2021/09/10(Fri) 20:59:49
☆ Re: ？ / らすかる
なりません。
√{(-2)³}²=(-2)³が誤りです。
√(a^2)=|a|ですから、
√{(-2)³}²=|(-2)³|です。
No.78142 - 2021/09/10(Fri) 21:10:04
★ 数学B　数列 / りんごちゃん
2018年慶應大学の総合政策学部の入試問題です。

n桁(n=1,2,3,...)の自然数のうち、各々の位の数字が１または素数となっている数は5^n個あるが、このうち、３で割り切れる数の個数をa_n、３で割ると１余る数の個数をb_n、３で割ると２余る数の個数をc_nとすると
a_n+b_n+c_n=5^
である。
a_(n+1)をa_n,b_n,c_nであらわすと
a_(n+1)=〇a_n+△b_n+□c_n
となる。

〇，△，□の穴埋め問題です。
答えは〇=1、△=2、□=2です。

どのように手を付けて良いのかわからず困っております。
アドバイスお願い致します。
No.78135 - 2021/09/09(Thu) 16:14:45
☆ Re: 数学B　数列 / 高校三年生
3m≡30m≡0 (mod 3)
3m+1≡30m+10≡1 (mod 3)
3m+2≡30m+20≡2 (mod 3)

なので、一の位の候補の「1,2,3,5,7」をそれぞれ当てはめると、

30m≡30m+【3】≡0 (mod 3)
30m+10+【2,5】≡0 (mod 3)
30m+20+【1,7】≡0 (mod 3)

ですね。
No.78136 - 2021/09/09(Thu) 16:46:14
☆ Re: 数学B　数列 / りんごちゃん
ありがとうございました。
No.78143 - 2021/09/10(Fri) 21:52:19
★ 線形代数 対角化A^nの求め方 / あき
鉛筆の、まるで囲んである1/3がなぜ掛けるのか分かりません。その前の式まではわかるのですが…
ちなみに使用参考書は編入数学徹底研究(金子書房)です。
No.78132 - 2021/09/09(Thu) 13:43:49
☆ Re: 線形代数 対角化A^nの求め方 / らすかる
Pの逆行列が
(-2/3 1/3)
(　1/3 1/3)
=
(1/3)・
(-2 1)
(　1 1)
だからだと思います。
No.78133 - 2021/09/09(Thu) 14:02:47
★ 確率 / パンサーカス
サイコロをn回振るとき、出た目の最小公倍数が12になる確率をもとめたいのですが、場合分けが分かりません。お願いします。
No.78128 - 2021/09/09(Thu) 12:43:36
☆ Re: 確率 / ヨッシー
12＝3×2^2 なので、
５は出てはいけない。
４は最低１回は出ないといけない。
３か６のどちらかが最低１回は出ないといけない。

という条件から余事象をつかって求めます。
No.78129 - 2021/09/09(Thu) 12:53:07
☆ Re: 確率 / パンサーカス
余事象は5が必ず出て4が1度も出ない、5が必ず出て3と6は1度も出ない、を足したものでいいですかね？
No.78131 - 2021/09/09(Thu) 13:17:24
☆ Re: 確率 / らすかる
違います。
「5が出ず4が出て3か6が出る」
の余事象は
「5が出るか、4が出ないか、3も6も出ない」
＝
「5が出る」+「5が出ず、4が出ないかまたは3も6も出ない」
＝
(1-「5が出ない」)+「5も4も出ない」+「5も3も6も出ない」-「5が出ず、4も3も6も出ない」
となります。
少し複雑になると混乱しますので
３　４　５　６
×　×　×　×
×　×　×　○
×　×　○　×
×　×　○　○
×　○　×　×
×　○　×　○ → 最小公倍数が12
×　○　○　×
×　○　○　○
○　×　×　×
○　×　×　○
○　×　○　×
○　×　○　○
○　○　×　× → 最小公倍数が12
○　○　×　○ → 最小公倍数が12
○　○　○　×
○　○　○　○
のような全パターンの表を作って確認するとよいと思います。
No.78134 - 2021/09/09(Thu) 14:27:56
☆ Re: 確率 / 編入受験生
感覚的に解くのはやめた方がいいですね。
こういう複雑な場合分けはなるべく機械的に解くべきです。
今回の場合はドモルガンの法則:[A∧B]=[A]∨[B]を使うべきです。
ただし、[A]はAの余事象あるいは補集合を表すものとする.

サイコロから５の面を除いた特別なサイコロをn回振って出る目の最小公倍数が１２になるのは、事象:４が少なくとも１回以上でる∧（３が少なくとも１回以上∨６が少なくとも１回以上）の場合。
これの余事象は、ドモルガンの定理を用いると,
[４が少なくとも１回以上でる∧（３が少なくとも１回以上∨６が少なくとも１回以上）] = ４がでない∨[３が少なくとも１回以上∨６が少なくとも１回以上]
= ４がでない∨(３がでない∧６がでない)となる。
さらにこれに包除の原理を用いると,この余事象の場合の数は、
(4がでない場合の数)＋(３と６が出ない場合の数)-(４と３と６がでない場合の数)になる。
全事象の場合の数は５を除いているので,5^nであるから,
5^nから余事象の場合の数を引けば、求める事象の場合の数がわかる。これらを計算すれば、
求める確率は(5^n+2^n-3^n-4^n)/6^n.
No.78139 - 2021/09/09(Thu) 20:37:52
☆ Re: 確率 / パンサーカス
ド・モルガン分かりやすかったです！ありがとうございます
No.78140 - 2021/09/10(Fri) 10:50:04
★ (No Subject) / e
0≦θ≦π/4とする
sin^2θ+4sinθcosθ+9cos^2θの値域を求めよ
No.78127 - 2021/09/09(Thu) 10:06:36
☆ Re: / X
問題の関数をf(θ)とすると
f(θ)=(1-cos2θ)/2+2sin2θ+9(1+cos2θ)/2
=2sin2θ+4cos2θ+5
=(2√5)sin(2θ+α)+5
(但しαはtanα=2,π/3＜α＜π/2なる角)
ここで
0≦θ≦π/4
より
α≦2θ+α≦π/2+α＜π
で
α-{π-(π/2+α)}=2α-π/2
＞2・π/3-π/2=π/6＞0
∴π-(π/2+α)＜α
よって
f(π/2+α)≦f(θ)≦f(π/2)
これより
(2√5)sin(π+3α)+5≦f(θ)≦5+2√5 (A)
ここで
sin(π+3α)=-sin3α=4(sinα)^3-3sinα
=4sinα{1-(cosα)^2}-3sinα
={1-4(cosα)^2}sinα
={1-4/{1+(tanα)^2}}/√{1+1/(tanα)^2}
=(1-4/5)/√(1+1/4)
=2/(5√5)
これと(A)により求める値域は
29/5≦f(θ)≦5+2√5
No.78137 - 2021/09/09(Thu) 18:36:42
★ 縮図の利用の問題 / 渡辺
この問題のステップ2の問題全ての問題を教えて欲しいです💦
また式も出来れば教えて欲しいのですが…
是非よろしくお願いします。

(小学6年生)
No.78120 - 2021/09/08(Wed) 21:53:40
☆ Re: 縮図の利用の問題 / 関数電卓
60 m の 1/1000 は 6 cm です。分度器で 53°を計り，直角三角形 ABC を作図すると，縮図は↓のようになります。
?Cの問題文にあるように，縮図上の AC の長さを定規で計りましょう。
?Cの計測結果を 1000 倍し 100 で割ったものが m 単位の AC の長さです。
No.78124 - 2021/09/09(Thu) 00:16:31
★ 二項係数の計算 / 大西
ΣnC5k(k=0..n)の値を求めたいのですが、
zk=cos(2kπ/5)+isin(2kπ/5)(k=0,1,2,3,4)として、
(1+x)^nのxの値にzkを代入し、それらを加えると、
ΣnC5k(k=0..n)＝(2^n+(1+z1)^n+(1+z^2)^n+・・・+(1+z4)^n)/5
になったのですが、
ここから(2^n+2^xcos(nπ/5))/5の形にできません。
教えてください。
No.78111 - 2021/09/08(Wed) 17:45:54
☆ Re: 二項係数の計算 / X
＞＞ΣnC5k(k=0..n)の値を求めたいのですが、
問題が変です。
nC(5k)はn＜5kとなるような自然数kに対して
定義されていません。
No.78112 - 2021/09/08(Wed) 18:43:52
☆ Re: 二項係数の計算 / IT
> ΣnC5k(k=0..n)の値を求めたいのですが、
例えば、n=10のとき、(10C0)+(10C5)+(10C10) ということですか？（Xさんご指摘の定義されてないところを除いて）

何かの問題を解く途中で出てきたのなら、
その問題と分野・レベル、途中経過のポイントを書かれると有効な回答が付きやすいと思います。
No.78113 - 2021/09/08(Wed) 18:54:48
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
ご指摘ありがとうございます。
n<kのとき、nCk=0とします。
学校の二項係数の和を求める授業で、ΣnC3k(k=0..n)の値を求めたので、試しに ΣnC5k(k=0..n)でも同じようにできるのかやってみたら行き詰りました。(2^n+2^x*cos(nπ/5))/5の形になると予想しています。
ΣnC3kのときは、zk=cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)、1+z1=-z2^2、1+z2=-z1^2となるので複素数のn乗の公式から(2^n+2^ncos(nπ/3))/3と求まりました。
ΣnC5kも同様に求まると思ったのですが、
1+z1=-z2^2-z3^3-z4^4となるだけで求められませんでした。
No.78115 - 2021/09/08(Wed) 19:16:18
☆ Re: 二項係数の計算 / IT

> ΣnC3kのときは、zk=cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3)、1+z1=-z2^2、1+z2=-z1^2となるので複素数のn乗の公式から(2^n+2^ncos(nπ/3))/3と求まりました。

n=3 のときは、いくらですか？
No.78117 - 2021/09/08(Wed) 20:00:41
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
(2^n+2cos(nπ/3))/3ですね。

n=3のとき
3C0+3C3=1+1=2,
(2^3+2cos(nπ/3))/3=2
No.78118 - 2021/09/08(Wed) 20:08:44
☆ Re: 二項係数の計算 / 関数電卓
横から失礼します。
> ΣnC3k のときは、zk=cos(2kπ/3)＋isin(2kπ/3)、1＋z1＝−z2^2、1＋z2＝−z1^2 となるので…
　z1＝cos(2π/3)＋isin(2π/3)＝−1/2＋√3/2･i
　z1^2＝cos(4π/3)＋isin(4π/3)＝−1/2−√3/2･i
　z2＝cos(4π/3)＋isin(4π/3)＝−1/2−√3/2･i
　z2^2＝cos(8π/3)＋isin(8π/3)＝cos(2π/3)＋isin(2π/3)＝−1/2＋√3/2･i
ですので，
　1＋z1＋z2^2＝√3･i
　1＋z2＋z1^2＝−√3･i
となり，いずれも 0 にはなりません。
No.78121 - 2021/09/08(Wed) 22:11:31
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
1＋z1＝−z2、1＋z2＝−z1ですね。
失礼しました。
z1^2=z2,z2^2=z1
なので、1+z1+z1^2=0,1+z2+z2^2=0
ですね。
No.78122 - 2021/09/08(Wed) 23:31:07
☆ Re: 二項係数の計算 / 関数電卓
> 1＋z1＋z1^2＝0，1＋z2＋z2^2＝0
は良いとして，
> 複素数の n 乗の公式から (2^n＋2^ncos(nπ/3))/3 と求まりました。
の過程を書いて下さいませんか。
No.78123 - 2021/09/09(Thu) 00:06:52
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
No.78118の返信で訂正していますが、(2^n+2cos(nπ/3))/3です。


(1+x)^n=ΣnCkx^k(k=0..n)…?@
?@でx=1,x=z1,x=z2を代入したものを加えてすべて足すと、
1+z1+z2=0なのでkが3の倍数の時のみ残って
ΣnC3k=((1+1)^n+(1+z1)^n+(1+z2)^n)/3
になります。
1+z1=-z2=cos(π/3)+isin(π/3)、
1+z2=-z1=cos(π/3)-isin(π/3)
なので
ドモアブルの定理から
ΣnC3k=(2^n+2cos(nπ/3))/3
が得られます。
No.78125 - 2021/09/09(Thu) 00:39:46
☆ Re: 二項係数の計算 / IT
たしかに１の３乗根ωの場合は、1+ω=-ω^2 などを使ってきれいに整理できますが、
５乗根の場合は難しそうですね。

> (2^n+2^xcos(nπ/5))/5の形にできません。

nが５の倍数でないとき、cos(nπ/5)は無理数なので　その形にはなりませんね。
No.78126 - 2021/09/09(Thu) 02:15:54
☆ Re: 二項係数の計算 / 関数電卓
　(1＋cosθ＋isinθ)^n
　　＝(2(cos(θ/2))^2＋2isin(θ/2)cos(θ/2))^n
　　＝2^n･(cos(θ/2))^n･(cos(nθ/2)＋isin(nθ/2))
を使えば，
　z＝cos(2π/5)＋isin(2π/5)
に対し
　2^n＋(1＋z)^n＋(1＋z^2)^n＋(1＋z^3)^n＋(1＋z^4)^n
は整理できるようですが，決して使いやすい式ではないですね。
No.78130 - 2021/09/09(Thu) 12:57:44
☆ Re: 二項係数の計算 / 大西
ありがとうございました。
No.78138 - 2021/09/09(Thu) 18:44:40
★ (No Subject) / 曇り
0≦Θ1≦180，0≦Θ2≦180とする。また条件rをΘ1＜Θ２，条件t　sinΘ１＜sinΘ2とする

命題(rかつu)ならば条件tが真になるような条件uを求めろ
No.78109 - 2021/09/08(Wed) 12:52:22
☆ Re: / らすかる
rかつu⇒tが成り立てばよいだけなら、条件uは
「sinθ1＜sinθ2」とか「θ2≦90°」とか「θ2=30°」などで十分ですが、
おそらくそういう解答は期待されていないと思いますので、
0°≦θ1＜θ2≦180°のときに条件u⇔条件tとなるような条件uを問うことが
意図されているものと考えて回答します。

0°≦θ1≦90°かつ0°＜θ2≦90°ならばθ1＜θ2⇔sinθ1＜sinθ2ですね。
これより
0°≦θ1＜θ2≦90°ならばsinθ1＜sinθ2は成り立つ（ので他の条件は不要）
0°≦θ1＜90°＜θ2≦180°のとき
0°≦180°-θ2＜90°、sinθ2=sin(180°-θ2)なので
sinθ1＜sinθ2⇔sinθ1＜sin(180°-θ2)⇔θ1＜180°-θ2
∴θ1+θ2＜180° … (1)
90°≦θ1＜θ2≦180°のとき
0°＜180°-θ1≦90°、0°≦180°-θ2＜90°、
sinθ1=sin(180°-θ1)、sinθ2=sin(180°-θ2)なので
sinθ1＜sinθ2⇔sin(180°-θ1)＜sin(180°-θ2)⇔180°-θ1＜180°-θ2⇔θ1＞θ2
よって90°≦θ1＜θ2≦180°では常に成り立ちませんのでθ1＜90°が必要 … (2)
よって条件uとして必要なものは
(1)からθ1+θ2＜180° … (3)
条件rと(3)から2θ1=θ1+θ1＜θ1+θ2＜180°なのでθ1＜90°となり
条件rかつ(3)は(2)を含みます。
従って条件uに適切なものは θ1+θ2＜180°です。
No.78110 - 2021/09/08(Wed) 14:54:38
★ (No Subject) / ポテチ食べたい
すみません。展開するやり方が乗っていたのですが、どうして展開するのか、最初から分かりませんでした🙇‍♀️
No.78105 - 2021/09/08(Wed) 07:30:25
☆ Re: / ポテチ食べたい
返信できなかったああ
No.78106 - 2021/09/08(Wed) 07:32:14
☆ Re: / 関数電卓
>「"なぜ"、展開するのか」
この手の問題を解いたことがなければ，初見でこの方法を思いつく人は決して多くないと思います。恥じる必要はありません。
で，下のスレッドにヨッシーさんの解説があるように
　AEFD を通って F に行く方法が 9C3＝84 通り …(1)
　ABFG を通って F に行く方法が 9C3＝84 通り …(2)
(1)(2)のうち，C を通って F に至る 6C3＝20 通りは，立体上では１本道なので，(1)(2)でダブルカウントされている
と言うことです。
No.78116 - 2021/09/08(Wed) 19:57:38
★ 立方体の最短距離 / ポテチ食べたい
(3)が解説を読んでも分かりません。
教えてください！よろしくお願いします🙇‍♀️
No.78103 - 2021/09/08(Wed) 00:06:02
☆ Re: 立方体の最短距離 / IT
その解説を書かれ、どこが分からないか書かれないと、それより分かり易い解説をするのは難しいと思います。

その解説と同じことを書き込んでも、徒労になります。
No.78104 - 2021/09/08(Wed) 00:27:19
☆ Re: 立方体の最短距離 / ヨッシー
(2) で、面ABCD と面BEFC を通る行き方が　84通りと出たと思います。
面ABCD と面CFGD を通る行き方が同じく 84通り。
合わせて 168通りですが、この中には、両方で数えられている行き方があるので、それを引きます。

という解説かと思います。

違ったら、逆に知りたい。
No.78108 - 2021/09/08(Wed) 08:46:58
★ Σ計算 / マックスバリュ
よろしくお願いします
No.78101 - 2021/09/07(Tue) 18:51:14
☆ Re: Σ計算 / ヨッシー
こういう数列の和は大抵は、第１項から第ｎ項までの和が公式になっていますよね。

この問題は、第n+1項から第2n項までの和を聞いているので、
このままでは公式は使えません。

そこで、
　第１項から第2n項までの和　から
　第１項から第n項までの和　を引くと、
第n+1項から第2n項までの和が求められます。

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０　から
１＋２＋３＋４＋５　を引くと、
６＋７＋８＋９＋１０　が求められるのと同じです。
No.78102 - 2021/09/07(Tue) 19:00:38
☆ Re: Σ計算 / マックスバリュ
理解することができました。ありがとうございます。
No.78107 - 2021/09/08(Wed) 08:29:07
★ e^iπ+1=0 / 複素数が分からない氏
2.71828^3.14159+1=24.1405823262





0にならないのだが何故なんだぜ？？
No.78099 - 2021/09/07(Tue) 17:48:41
☆ Re: e^iπ+1=0 / 関数電卓
> 0 にならないのだが何故なんだぜ？？
　e^iπ
であって，e^π ではありません。
　e^iπ＝cos(π)＋isin(π)＝−1
で，標題の式が成り立ちます。
No.78100 - 2021/09/07(Tue) 18:33:59
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