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★ 関数 / 中3数学
写真の(3)がどうしても解説を見ても思考錯誤してみても分かりません。解説よろしくお願いいたします。
No.77740 - 2021/08/20(Fri) 22:33:59
☆ Re: 関数 / ヨッシー

図のように、△ＯＮＣ（△ＡＯＣの半分）の
頂点Ｎを、ｙ軸に平行に動かすと、△ＤＯＮの等積変形
（頂点を底辺に平行に動かす）になるので、
△ＤＯＮ＝△ＤＯＥ　となり、それに△ＤＯＣを加えた
△ＣＮＯと四角形ＣＤＥＯ　が等しくなります。
Ｅの座標がわかれば、直線ＤＥはすぐ出ますね。
No.77743 - 2021/08/20(Fri) 23:35:00
☆ Re: 関数 / 中3数学
>
> 図のように、△ＯＮＣ（△ＡＯＣの半分）の
> 頂点Ｎを、ｙ軸に平行に動かすと、△ＤＯＮの等積変形
> （頂点を底辺に平行に動かす）になるので、
> △ＤＯＮ＝△ＤＯＥ　となり、それに△ＤＯＣを加えた
> △ＣＮＯと四角形ＣＤＥＯ　が等しくなります。
> Ｅの座標がわかれば、直線ＤＥはすぐ出ますね。
図形でイメージすると分かりやすいですね！理解できましたありがとうございます😊
No.77746 - 2021/08/20(Fri) 23:40:16
★ 対数とその性質 / ほびほび
計算が合わないのですが、どこを間違えているのか教えていただきたいです。
No.77727 - 2021/08/20(Fri) 17:28:42
☆ Re: 対数とその性質 / ほびほび
解答です
No.77728 - 2021/08/20(Fri) 17:29:06
☆ Re: 対数とその性質 / ヨッシー
2log[3]2^2=(2×2)log[3]2
です。
No.77729 - 2021/08/20(Fri) 17:31:59
☆ Re: 対数とその性質 / ほびほび
ほんとですね…
ありがとうございました
No.77730 - 2021/08/20(Fri) 17:32:37
★ ゲームクリアまでの平均回数 / しんいち
サイコロを振って「6」が出たらクリアになるゲームがあります。
・サイコロを5回振って当たらなかったらコイントスを行い「表」が出たらクリア扱いになります。
・サイコロを10回目に振ったときは出目が何であれクリア扱いになります。

クリアするまでに平均何回サイコロを振る必要が有りますか？
No.77726 - 2021/08/20(Fri) 16:54:49
☆ Re: ゲームクリアまでの平均回数 / X
クリアまでにサイコロを振る回数を確率変数Xに取ると
P[X=n]=(1/6)(5/6)^(n-1) (n=1,…,5のとき)
P[X=6]=(1/6)(5/6)^5+(1/2)(5/6)^6
P[X=n]={(1/2)(5/6)^6}(1/6)(5/6)^(n-7)(n=7,8,9のとき)
P[X=10]=(1/2)(5/6)^9
後は上記を使い、Xの期待値である
E[X]=Σ[k=1〜10]kP[X=k]
を計算します。
No.77734 - 2021/08/20(Fri) 19:16:45
★ (No Subject) / msyzk
画像がアップされないので、記載します。
下記の積分の方法を教えて頂けますでしょうか。
integral[0 to π/2](log(tanx))^2 dx=(π^3)/8
No.77725 - 2021/08/20(Fri) 15:45:46
☆ Re: / ast
# まともに計算してませんが:
u := log(tan(x)) とおくと, dx = e^u du/(1+e^(2u)) で

　∫[0,π/2] log(tan(x))^2 dx = ∫[-∞,∞] u^2 e^u du/(1+e^(2u))

になる. 右辺は部分積分で解けそう.
No.77733 - 2021/08/20(Fri) 19:10:53
☆ Re: / msyzk
ありがとうございます。

# まともに計算してませんが:
> u := log(tan(x)) とおくと, dx = e^u du/(1+e^(2u)) で
>
> 　∫[0,π/2] log(tan(x))^2 dx = ∫[-∞,∞] u^2 e^u du/(1+e^(2u))
>
> になる. 右辺は部分積分で解けそう.
No.77736 - 2021/08/20(Fri) 20:10:53
☆ Re: / 関数電卓
> ∫[-∞,∞] u^2 e^u du/(1＋e^(2u))
> 部分積分で解けそう
素直に部分積分すると
　＝[u^2･tan-1(e^u)]-∞∞−2∫[-∞,∞]u･tan-1(e^u)du
となると思うのですが，両項ともこの先どうしましょう？
No.77738 - 2021/08/20(Fri) 21:45:15
☆ Re: / ast
単純にはいかないみたいですね.

参考: How to evaluate this integral ∫[0,π/2] (ln(tan 𝑥))^2 𝑑𝑥 ? (Stack Exchange)
No.77756 - 2021/08/21(Sat) 14:39:01
☆ Re: / 関数電卓
有り難うございます。
何らかの副変数が関わっていそう(？)とは思いましたが，これは出来ないですね（後者の解)!!
No.77758 - 2021/08/21(Sat) 16:53:54
★ 積分 / msyzk
画像の積分方法を教えて下さい。
No.77724 - 2021/08/20(Fri) 15:38:19
☆ Re: 積分 / msyzk
> 画像の積分方法を教えて下さい。
No.77731 - 2021/08/20(Fri) 18:30:07
★ x^m-p^n=1 / 大西
n：自然数、
m：2以上の自然数
x：2でない自然数
p：素数
のとき
x^m-p^n=1
を満たす（x,m,p,n）をすべて求めよ。
何から絞っていいのか分からないので解き方を教えてください

x^m-1=(x-1)(x^(m-1)+・・・+1)=p^n
で
x≡1(mod p)
x^(m-1)+・・・+1≡m(mod p)
までは分かりました。
No.77711 - 2021/08/20(Fri) 00:16:30
☆ Re: x^m-p^n=1 / IT
できてませんが。
x-1=p^k,x^(m-1)+・・・+1=p^(n-k) ,kはn/2より小さい自然数。

x=(p^k)+1≡1(mod　p) を　x^(m-1)+・・・+1=p^(n-k)≡0(mod　p) に入れるとどうですか？
見つけられた x^(m-1)+・・・+1≡m≡0 (mod p) ∴ m=sp

mod p^k での評価や
粗めの大きさでの評価も有効かもしれません。
x^(m-1)＜ x^(m-1)+・・・+1＜ x^m を使う。
　
No.77737 - 2021/08/20(Fri) 20:33:02
☆ Re: x^m-p^n=1 / 大西
代入しても特に範囲を絞ることができませんでした。

pが偶数だとxが奇数、pが奇数だとxが偶数で
p=2k-1として代入して二項定理を用いてもxの範囲をうまく絞れませんでした。
mも偶数奇数で分けてみましたが、pやnの範囲をうまく絞れませんでした。
mod 3やmod 4等を考えてもなかなかうまくいきませんでした。
手詰まりです。
No.77739 - 2021/08/20(Fri) 22:08:37
☆ Re: x^m-p^n=1 / IT
出典は何ですか？
カタラン予想（証明済み）に含まれるようですね。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%BF%E3%83%A9%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
No.77741 - 2021/08/20(Fri) 22:36:58
☆ Re: x^m-p^n=1 / IT
https://science-log.com/%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E6%9D%B1%E5%8C%97%E5%A4%A7%E5%AD%A62018%E5%B9%B4%E7%90%86%E7%B3%BB%E7%AC%AC%EF%BC%93%E5%95%8F/
の後ろの方をご覧ください。

それによれば「数学セミナー（2017年7月号）エレガントな解答を求む」に出題された問題と同じですね。
高校程度の知識でも解けるようですが、それなりに骨がある問題だと思います。
No.77742 - 2021/08/20(Fri) 22:53:42
☆ Re: x^m-p^n=1 / 大西
出典は知りませんでした。
解答は載っていないですね。
高校の知識でどう解けば良いのでしょうか？
No.77745 - 2021/08/20(Fri) 23:39:38
☆ Re: x^m-p^n=1 / IT
IT > 出典は何ですか？
大西さん> 出典は知りませんでした。
上で聞いている「出典」は、例えば「〇大学入試過去問」「学校・塾の宿題」、「友人からの出題」、「自作問題」など大西さんがこの問題を知ったときに分かった範囲の「ソース」のことです。

（ここに回答が付くかもしれませんが）
確実に解法を知りたい場合は、「数学セミナーの回答号（2017年10月号）」を図書館等でご覧になることだと思います。

自分で考え解くことに目的があるなら、もうしばらく試行錯誤してみられるしかないかも知れません。
No.77751 - 2021/08/21(Sat) 09:04:15
☆ Re: x^m-p^n=1 / 大西
出典という言葉は、文献または書籍に使われる言葉だと思っていました。勉強になりました。

これまで7時間55分ほど考えたのですがわかりませんでした。
図書館は緊急事態宣言明けに行ってみようと思います。
No.77753 - 2021/08/21(Sat) 11:20:18
☆ Re: x^m-p^n=1 / IT
> 出典という言葉は、文献または書籍に使われる言葉だと思っていました。勉強になりました。

普通は、それ「文献または書籍に使われる言葉」だと思います。「出所」というか、「どこからの出題ですか？」などというのが良かったかも知れません。
No.77754 - 2021/08/21(Sat) 11:33:07
☆ Re: x^m-p^n=1 / IT
x^m-1=(x-1)(x^(m-1)+・・・+1)=p^n
pは素数で、xは２でない自然数なので　x-1=p^l(lは自然数)
よってx≡1(mod p)　、x^(m-1)+・・・+1≡0 (mod p)
x^(m-1)+・・・+1≡m≡0 (mod p) ∴ m=sp(sは自然数)

y=x^s とおくと

(y^p)-(p^n)=1 …(1)
移項して
(y^p)-1=p^n …(2)
因数分解
(y-1)(y^(p-1)+...+y+1)=p^n…(3)
pは素数で、yは３以上の自然数なので
　y-1=p^k,(1≦k＜n/2)　すなわち2k+1≦n
y=(p^k)+1を(2)に代入し、((p^k)+1)^p-1=p^n …(4)
左辺を展開したときのうしろの2項：
　(p(p-1)/2)(p^k)^2+p(p^k)=(p(p-1)/2)(p^2k)+p^(k+1)
pが奇素数のとき
　(p(p-1)/2)(p^2k) はp^(2k+1) で割り切れる
　p^(k+1)はp^(2k+1) で割り切れない。
　これらより前の項はp^(2k+1)で割り切れる。
　よって左辺はp^(2k+1) で割り切れない。
　右辺のp^nはp^(2k+1)で割り切れるので不適。
よってｐは偶素数､すなわちp=２。
このとき(4)は、(2^2k)+(2^(k+1))=2^n
∴k=1,n=3,y=3
∴x=3,m=2
(3^2)-(2^3)=1。

ざっとやったので、論証が不十分だったり間違っているかも知れません。ご指摘をお願いします。
No.77759 - 2021/08/21(Sat) 17:01:18
☆ Re: x^m-p^n=1 / 大西
(4)でpが奇数だと左辺が偶数で右辺が奇数になるので不適として、pが偶数でp=2としても良いでしょうか？
No.77766 - 2021/08/21(Sat) 23:49:35
☆ Re: x^m-p^n=1 / IT
((p^k)+1)^p-1=p^n …(4)
> (4)でpが奇数だと左辺が偶数で右辺が奇数になるので不適として、pが偶数でp=2としても良いでしょうか？

pが奇数だと左辺が偶数 になりますか？　左辺奇数では？
（奇数+１）^p-1 = 偶数^p-1 = 偶数-1= 奇数
No.77767 - 2021/08/22(Sun) 03:19:43
☆ Re: x^m-p^n=1 / 大西
そうですね。勘違いしていました。
No.77770 - 2021/08/22(Sun) 08:25:30
★ 確立論 / レージズマ
以前このような投稿をしたのですが、返事が遅くなってしまい
流されてしまったので再度よろしくお願いします。
8/3になる理由についてです。

らすかる様この投稿ではありがとうございました。
皆様どうかよろしくお願いいたします。
No.77710 - 2021/08/20(Fri) 00:08:34
☆ Re: 確立論 / ヨッシー
8/3 ではなく、3/8 ですね。
これはたとえば、１，２，３，６，６，６のように、
６が他の数の３倍の面を占めるとか言うのではなく、
面は、１，２，３，４，５，６なのですが、なぜか６だけが
３倍出やすいサイコロなのです。
１から５の起こりやすさがそれぞれ１とすると、６の起こりやすさは３で、
合計８のうち、６が３なので　3/8 です。
No.77714 - 2021/08/20(Fri) 00:51:39
☆ Re: 確立論 / ast
6以外の目の出方が同様に確からしいとして, それぞれ x の確率で出るとすれば, 6の目は 3x の確率になるようにするという設定をした, ということになります.
このとき, 1 から 6 のどれかの目が出る確率は x+x+x+x+x+3x となりますが, 同時にそれは 1 に等しくなければなりません (1 から 6 の目のどれかが必ず出るので).

# 個人的には, 箱から玉を取り出す問題に準えて, "1 から 5 の玉が 1 つづつ, 6 の書かれた玉が 3 つ"
# という設定を想定する方が好みですね.
No.77715 - 2021/08/20(Fri) 01:32:02
☆ Re: 確立論 / レージズマ
ヨッシー様　ask様

非常に丁寧かつわかりやすい説明、誠にありがとうございます。私自身、知識を深められるよう頑張ります…
No.77755 - 2021/08/21(Sat) 11:47:23
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題について質問です。
No.77702 - 2021/08/19(Thu) 19:58:38
☆ Re: / 数学苦手
あ、切れてるところはa-2と書きました。√で答えが出そうなので、間違えている事はわかりましたがこのやり方では解けないのでしょうか。
No.77703 - 2021/08/19(Thu) 20:00:02
☆ Re: / X
＞＞√で答えが出そうなので、間違えている事はわかりましたが
添付写真2枚目を見る限り、そうは見えないのですが。
a=7
ではないのですか？
No.77704 - 2021/08/19(Thu) 20:27:04
☆ Re: / 数学苦手
あ、7でも0になりますね！()内の7-7で、0になり、()外のaにも7が入りますが掛けたら結局0ですね。間違えました。
No.77709 - 2021/08/19(Thu) 22:59:44
★ ダニエル電池 / 蟹
ダニエル電池の素焼き板を白金板にかえると電球は点灯しないというのが、正しいとあるのですが、何故ですか？
No.77700 - 2021/08/19(Thu) 18:38:03
☆ Re: ダニエル電池 / 関数電卓
例えば こちら などをご覧下さい。
負極で Zn がイオン化し ZnSO4 溶液に溶解していくと，溶液の電位は次第に上昇します。負極板に放出された電子は高電位の Cu 板に引かれて移動しますが，周りの溶液の電位が上がるとこちらにも引かれるため，Cu 板に移動しにくくなります。
ダニエル電池では，素焼き板を通して Zn(2+) と SO4(2-) の交換をすることで電位の上昇を防ぎます。素焼き板を白金板に変えるとこのイオン交換が出来なくなるため，負極の電位が上がり，電池としての機能を失います。
ただし，全く点灯しないのではなく，一時的には点灯するがすぐに消える が正しいと思います。
No.77705 - 2021/08/19(Thu) 21:34:03
☆ Re: ダニエル電池 / 蟹
こちらもそのように考えました。普通に文章が良くないですね。
No.77707 - 2021/08/19(Thu) 21:51:42
☆ Re: ダニエル電池 / 蟹
あと、追加で疑問なのですが、素焼き板の役割として二つの溶液が混ざるのを防ぐとありますが、素焼き板は半透膜と同じように、イオン程度の粒子は通すので、自分的には混ざっていると思うのですが、どのように解釈するのですか？
No.77712 - 2021/08/20(Fri) 00:31:07
☆ Re: ダニエル電池 / 蟹
あと、もう一つ質問なのですが、写真にあるように電気分解の図が描かれることがありますが、この場合、どこが正極負極になるのですか？
No.77716 - 2021/08/20(Fri) 02:48:24
☆ Re: ダニエル電池 / ヨッシー
「陽極 正極 違い」で検索すると色々出てきます。
No.77719 - 2021/08/20(Fri) 07:08:01
☆ Re: ダニエル電池 / ヨッシー
同じく「ダニエル電池 素焼き板」で検索すると色々出てきます。
No.77721 - 2021/08/20(Fri) 07:31:47
☆ Re: ダニエル電池 / 蟹
一応一通り調べたのですが目ぼしい文献がなかったので、回答できる方教えていただけると幸いです。
No.77722 - 2021/08/20(Fri) 09:09:08
☆ Re: ダニエル電池 / 関数電卓
> 目ぼしい文献がなかった
私も学術論文をきちんと読んでいるわけではありませんが…
例えば こちら あたりでメカニズムの概要を理解しているのですが，これではダメですか？
No.77735 - 2021/08/20(Fri) 19:28:55
☆ Re: ダニエル電池 / IT
> あと、追加で疑問なのですが、素焼き板の役割として二つの溶液が混ざるのを防ぐとありますが、素焼き板は半透膜と同じように、イオン程度の粒子は通すので、自分的には混ざっていると思うのですが、どのように解釈するのですか？

下記の４分50秒以降の説明が良いかも知れません。
素焼き板があると、２つの溶液は混ざるけれど、銅イオンが亜鉛板に近づく速度（確率・量）が抑えられる。　ということのようです。

https://chuugakurika.com/2020/08/21/%E4%B8%AD3%E5%8C%96%E5%AD%A6%E3%80%90%E3%83%80%E3%83%8B%E3%82%A8%E3%83%AB%E9%9B%BB%E6%B1%A0%E3%81%AE%E4%BB%95%E7%B5%84%E3%81%BF%E3%80%91/
No.77752 - 2021/08/21(Sat) 11:13:10
★ 行列 / コナン
これどうやって解くのですか？
No.77697 - 2021/08/19(Thu) 13:12:00
☆ Re: 行列 / コナン
解答はこんな感じになっています。
No.77698 - 2021/08/19(Thu) 13:12:47
☆ Re: 行列 / ヨッシー
ブロック行列の演算を使えば、

このような計算が出来、

これを用いて、数学的帰納法的に示せば、上のような解答になります。
No.77699 - 2021/08/19(Thu) 13:42:24
★ 天秤法 / アゲリシャス
高3生です。初めてなので書き方を間違えていたらすみません。チェバ、メネラウス、ベクトルなどたくさんの問題で天秤法が使えると思います。共通テストなどマークではいつも天秤法を使っているのですが、2次試験でも使いたいです。その場合急に書き出すのはダメだと思うのですが、証明を教えていただきたいです。
No.77696 - 2021/08/19(Thu) 13:09:50
☆ Re: 天秤法 / 関数電卓
> チェバ、メネラウス、ベクトルなどたくさんの問題で天秤法が使える
> 共通テストなどマークではいつも天秤法を使っている
寡聞にして全く存じ上げませんでした。
お手数ですが，この天秤法を使った解答例をひとつ見せていただけませんか。手書きのノートをスマホで写したもので構いません。
No.77706 - 2021/08/19(Thu) 21:41:54
☆ Re: 天秤法 / ヨッシー
こちらとかこちらですが、
試験中に証明込みで書くのは無謀では？
便利ですが、理屈で理解しにくいですね。
No.77713 - 2021/08/20(Fri) 00:47:25
☆ Re: 天秤法 / アゲリシャス
こんな感じです。
No.77717 - 2021/08/20(Fri) 06:39:06
☆ Re: 天秤法 / アゲリシャス
ヨッシーさんのおっしゃる通りやはり難しいですか？
No.77718 - 2021/08/20(Fri) 06:40:27
☆ Re: 天秤法 / ヨッシー
というか、「天秤法より」ってサラッと書いてしまって良いのでは？
No.77720 - 2021/08/20(Fri) 07:15:34
☆ Re: 天秤法 / アゲリシャス
教科書には書いてないものなので、証明なしに使ってはいけないと思ったのですが、大丈夫なのでしょうか。
No.77723 - 2021/08/20(Fri) 12:50:25
☆ Re: 天秤法 / 関数電卓
資料添付，有り難うございます。
そのようなある意味「便利な」解法を全く知らなかった身にとっては，驚いたり感心したりです。
ただし，記述答案の論理性の観点からすると,「如何なものか」が率直な感想です。
「メネより…」「チェバより…」(昔はこれを「メネる」「チェバる」と言った）ときちんと書いたところで，文言量はそんなに極端には増えないのではないですか？
記述試験の求めるところは，解を見つけることではなく，そこに至る論理ですから。
問題が複雑になれば尚更のことで，「天秤法」は検算に留めておくべきかと…。
No.77732 - 2021/08/20(Fri) 18:39:12
☆ Re: 天秤法 / アゲリシャス
やはりそうですよね…ありがとうございます。
メネラウスやチェバは一度に1つの比しか出せませんが、天秤法だと1分もかからず全ての比が出せるので2次で使えるかな、と思い質問させていただきました。共通などマークでは使って、2次試験はチェバやメネラウスができるように練習しておこうと思います。
No.77749 - 2021/08/21(Sat) 06:08:38
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題が分かりません。
No.77690 - 2021/08/18(Wed) 22:59:46
☆ Re: / 数学苦手
ここからどう進めればいいか分かりません。教えて貰えたら嬉しいです
No.77691 - 2021/08/18(Wed) 23:01:28
☆ Re: / ヨッシー
１から５までの整数の和を求めよ
という問題に対して
　１＋３＋４＋５＝１３
と答える人に、どうアドバイスすべきでしょうか？
単なるケアレスミスでない何かがあるような気がします。

ご質問ですが、まずは「とにかく足せ」です。
242 という上限がわかっているので、キリのない作業ではないはずです。
No.77692 - 2021/08/19(Thu) 06:11:21
☆ Re: / GandB
　等差数列の和の公式を使うなら
　　a[n] = 12n + 2（n = 0,1,2,3 ……）
とするより
　　a[n] = 12n - 10（n = 1,2,3 ……）
としたほうが少し扱いやすい。最終項の 242 は求めていることができているのだから
　　12n - 10 = 242. n = 21.
　したがって等差数列の和の公式を使えば
　　21(2+242)/2 = 2562
と簡単だが、高々21個の和を求めるだけだから

> ご質問ですが、まずは「とにかく足せ」です。

なのだ（笑）。

　　a[1] = 2
　　a[2] = 14
　　a[3] = 26
　　……
　　a[21] = 242

　　　2 +　14 +　26 +　38 +　50 +　62 +　74 +　86 +　98 + 110 + 122 = 682
　　134 + 146 + 158 + 170 + 182 + 194 + 206 + 218 + 230 + 242 = 1880
　　682 + 1880 = 2562
No.77693 - 2021/08/19(Thu) 07:55:50
☆ Re: / 数学苦手
ありがとうございます。それを使うのが思いつきませんでした。
No.77701 - 2021/08/19(Thu) 19:33:06
★ 図形と方程式 / ほびほび
線が引いてあるところが分かりません。よろしくお願いします
No.77688 - 2021/08/18(Wed) 13:41:36
☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー
　(k+2)x＋(2k-1)y−4k−3＝0
の k をいくら調整しても、x＋2y−4＝0 にならないということです。
?@の式は、2x−ｙ−3＝0 に、x＋2y−4＝0 をｋ倍して、加えたものです。
ｋ＝０　のときは、2x−ｙ−3＝0 となります。
ｋを思い切り大きく、またはマイナスで思い切り小さくすると、
x＋2y−4＝0 の影響が強くなって、x＋2y−4＝0 にかなり近づきますが、
2x−ｙ−3＝0 が少しは含まれるため、x＋2y−4＝0 にはならないのです。
x＋2y−4＝0 になる場合も含めたければ、
　k(x＋2y−4)＋m(2x−ｙ−3)＝0
と書いたりもしますが、大抵は、
　k(x＋2y−4)＋2x−ｙ−3＝0
で調べて、x＋2y−4＝0 は別途調べるほうが多いです。
（k と m の組み合わせによっては、違うk,m の値でも同じ直線を表すことがあるため）
No.77689 - 2021/08/18(Wed) 14:12:32
☆ Re: 図形と方程式 / ほびほび
分かりやすかったです、ありがとうございました！
No.77694 - 2021/08/19(Thu) 08:00:54
★ 関数不等式 / 高校三年生
『|x|>0 の範囲の実数 x で定義された関数 f(x) は、
　第三次導関数を持ち、常に、

　f(x) + f(-x) = 0
　0 < 2·{f ''(x)}^2 < f '(x)·f '''(x)

　を満たすとする。このとき、

　[?@]

　「関数 f(x) の極限において、

　　lim[x→±0]{f(x)} = f(0)

　　が成り立つとき、f(0) の値を求めよ。」

　次に、数列{a【n】}を

　a【n+1】= a【n】- f(a【n】)/f '(a【n】)　(n = 1,2,···)
　a【1】≠0

　と定義する。このとき、

　[?A]

　「[?@]の場合において、次の命題、

　　f(x)·f ''(x)≦M·{f '(x)}^2 ⇒ lim[n→∞]{a【n】}≠0

　　が正しくなるような定数 M が存在することを示し、
　　その範囲の M の最大値を求めよ。　　　　　　　　」』

夏休みの宿題第四弾です。
[?@]は、何とか解けましたが、[?A]は見当も付きません。
解法をご教示ください。よろしくお願いいたします。m(_ _)m
No.77686 - 2021/08/18(Wed) 10:50:22
★ 確率論 / レージズマ
六面体サイコロがある。6の目が出る確立が3倍大きいサイコロAと、普通のサイコロBである。サイコロAを3回投げ3回とも3が出る確率は、サイコロBを3回投げたとき3回とも3が出る確立の何倍であるか求めよ。
サイコロBはどれも等しい確立ででるとする。
No.77683 - 2021/08/18(Wed) 01:27:02
☆ Re: 確率論 / らすかる
6の目が出る確率が3倍大きいということは
6の目の確率が3/8、その他の目が1/8ということですから、
普通のサイコロと比べたら
{(1/8)/(1/6)}^3=27/64倍となります。
No.77685 - 2021/08/18(Wed) 03:56:53
☆ Re: 確率論 / レージズマ
解答感謝しております。
質問なのですが、6の目の確率が3/8とありましたが、詳しく解説お願いいたします。

お手数宜しくお願い致します。
No.77708 - 2021/08/19(Thu) 22:45:38
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題を解こうとしてましたが回答が間違えてました。字が汚いのですがどこが間違えているか教えて貰えたら嬉しいです。
No.77679 - 2021/08/17(Tue) 23:08:27
☆ Re: / 数学苦手
字が汚くて、字をなぞってしまい申し訳ないです
No.77680 - 2021/08/17(Tue) 23:10:07
☆ Re: / 数学苦手
自信がなかったので、途中で答えを見たら間違いでした
No.77681 - 2021/08/17(Tue) 23:11:11
☆ Re: / ヨッシー
明確にここが違うと言うところはないのですが、
スタート地点でグルグル回っていて、全然ゴールに近付かない感じですね。
夫をａ、息子をｃとして、妻が２歳上のときに
　ａ＋ｃ＝６１
ここまでは良い線です。ここまで来たら
　妻：ａ＋２＜５０
なので、ａは４７以下とわかり
　ａ＝４７のとき　(夫、妻、娘、息子)＝（４７，４９，１７，１４）
　ａ＝４６のとき　(夫、妻、娘、息子)＝（４６，４８，１８，１５）
　ａ＝４５のとき　(夫、妻、娘、息子)＝（４５，４７，１９，１６）
など候補があがり、この中で　妻−娘≧３１となるのを見つけます。
ここまでで答えは見つかりますが、念のため、妻が２歳下のときについても調べます。
No.77682 - 2021/08/18(Wed) 00:07:33
☆ Re: / 数学苦手
以前やった解説を思い出しながらやってみましたが流れは合ってました。でも、解説では妻をxとおいてました。だから、計算が合わなかったのですかね、、
No.77684 - 2021/08/18(Wed) 02:02:50
☆ Re: / 数学苦手
あ、書いてたやつでもできました。妻と夫がごっちゃになってました。
No.77687 - 2021/08/18(Wed) 11:17:03
★ 確率漸化式の問題 / 編入受験生
わかりません。
よろしくお願いします

自然数nに対して,小数M = 0.123456789101112,...,n-2,n-1,nを考えよう。
今, Mの小数部分を並び替えてできる数字の個数をS(n)とする.ただしMも含める.
例えば, n = 3のとき,M = 0.123だから,Mを並べ替えてできる数字は,
0.123,0.132,0.213,0.231,0.312,0.321の６個である.
以下の各問いに答えよ.

(1)
S(n)を求めよ.

(2)
以下, n >= 9とする.
Mの小数部分を並び替えてできる数字の小数部分の中に,123456789の並びがあるものの個数をA(n)とする.
n→∞のときのA(n)/S(n)の極限値を求めよ.
No.77678 - 2021/08/17(Tue) 12:57:27
★ (No Subject) / 赤身
y²＝xⁿ−x＋2を満たす自然数n,x,yの組を全て求めよ

お願いします。平方剰余を使おうと思ったのですが。。。
No.77676 - 2021/08/16(Mon) 23:02:44
☆ Re: / らすかる
nが奇数のときx^n≡x (mod 3)なので(右辺)≡2 (mod 3)となり解なし
nが偶数のとき
{x^(n/2)+y}{x^(n/2)-y}=x-2
x=1のとき|(右辺)|=1だがx^(n/2)+y≧2から|(左辺)|≠1なので解なし
x=2のときx^(n/2)-y=0すなわちy=2^(n/2)で両辺0となり条件を満たす
x≧3のときx^(n/2)-y≦0ならば(左辺)≦0＜(右辺)、x^(n/2)-y＞0ならば
(左辺)≧x^(n/2)+y≧x+y＞x-2=(右辺)となり解なし
従って条件を満たす自然数の組は
(n,x,y)=(2m,2,2^m)（mは任意の自然数）
No.77677 - 2021/08/16(Mon) 23:54:14
★ 数値計算 / あすか
画像の二階微分の離散化式をテイラー展開するとどういう答えになりますか？また、画像の式は何次精度でしょうか？よろしくお願いします。
No.77669 - 2021/08/16(Mon) 10:03:41
☆ Re: 数値計算 / ast
前半の要求がよくわからんが,
> 画像の式は何次精度でしょうか？
を目的として何らか変形させようという意図があるということであれば, 前半の本来意図した操作によって
　(右辺) = (左辺) + o(Δx^4)
のような形にしたい, という話か? もしそうであれば
> 離散化式をテイラー展開すると
というのはまず正確とは到底言えない (少なくとももとの問題があるならそんなふうには書いてないはずの) 言及であるように思える.
# おそらく, f(x_0±Δx) を x_0 を中心とするテイラー級数 (とくに, Δx を変数とする冪級数) の形に書き直せ,
# というようなことが求められている. (これら2つを右辺に代入するとほぼ d^2f/dx^2 という式になる)
No.77675 - 2021/08/16(Mon) 18:19:27
★ 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
∫(x＾3/x＾2−１)dx＝x＾2/2+log│2x-2│+log│2x+2│+cで計算あってるか教えてください。
No.77660 - 2021/08/15(Sun) 22:56:06
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / 関数電卓
あって います。
No.77661 - 2021/08/15(Sun) 23:12:05
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / らすかる
合っていないと思います。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28d%2Fdx%29%28x%5E2%2F2%2Blog%28abs%282x-2%29%29%2Blog%28abs%282x%2B2%29%29%29&lang=ja
No.77663 - 2021/08/16(Mon) 00:42:12
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
ごめんなさい。問題の記し方に誤りがありました。
正しくは∫{x＾3/(x＾2−１)}dx＝x＾2/2+log│2x-2│+log│2x+2│+cです。
出来ればどなたか手計算で解いて頂けないでしょうか？
No.77664 - 2021/08/16(Mon) 01:36:31
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / らすかる
∫x^3/(x^2-1) dx
=∫(x^3-x+x)/(x^2-1) dx
=∫x+x/(x^2-1) dx
=(1/2)∫2x+2x/(x^2-1) dx
=(1/2)∫{x^2}'+{log|x^2-1|}' dx
=(x^2+log|x^2-1|)/2+C
となります。

# 2行目と4行目と5行目は途中計算をわかりやすくするために書いたものです。
No.77665 - 2021/08/16(Mon) 01:44:47
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
丁寧な返信ありがとうございました。計算できました。

私の最初に質問した計算が変だったのは、最初に分子の次数下げを行ってそこから部分分数分解を行ったからだと思いました。
分子についてX＾3=(x＾2-1)(x+1/x)+1/xと置いたのが間違いだったのかな？と思いました。
No.77666 - 2021/08/16(Mon) 02:09:26
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / ast
> 最初に分子の次数下げを行ってそこから部分分数分解を行った
という方針で正しく解けると思います. (つまりこの方針自体は「計算が変だった」原因ではない)

まあ, x^3/(x^2-1)=x+(1/2){1/(x-1)+1/(x+1)} から
　∫x^3 dx/(x^2-1) = x^2/2 +(1/2){log|x-1|+log|x+1|}+C
が部分分数分解だと標準的な結果だと思いますが,
べつに, x^3/(x^2-1)=x+1/(2x-2)+1/(2x+2) から
　∫x^3 dx/(x^2-1) = x^2/2 +log|2x-2|/2+log|2x+2|/2+C
でも何も問題なく正答です. (積分定数除けば上と下は log(2) の差しかないので)

# 質問者の間違った答えと上の二つ目の解法の正しい式との違いを考えれば,
# できてない根本は十中八九置換積分だと思う.
## 端的には (ax+b)-型の置換積分は 1/a を掛けないといけない. (d(ax+b)=adx だから, dx=d(ax+b)/a)
## といったあたりのことかと.

むしろわからないのは,
> X＾3=(x＾2-1)(x+1/x)+1/xと置いた
のほうで, これ自体は (X は x に直すとして) 正しい式だと思いますが, これで次数下げやそのあとの部分分数分解にどうつながるのか分からない. (本来やるべき次数下げでは x^3 を x^2-1 で (整式の) 割り算することが必要であり, そこで 1/x とかは出てこない)
# とはいえ, そのあとどうにかして部分分数分解できるかたちにもっていけたのであれば問題ないので
# これも「計算が変だった」原因とは言い切れないということになります.
No.77667 - 2021/08/16(Mon) 02:32:47
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / 関数電卓
あっていませんでした。ぱっと見で判断してしまい，失礼致しました。
No.77668 - 2021/08/16(Mon) 08:54:41
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
丁寧なご対応ありがとうございます。
ご指摘の通り置換積分がよく理解していなかった事が急所であるのは間違いないと思います。

また、そもそもx^3をx^2‐1で割り算した結果をX＾3=(x＾2-1)(x+1/x)+1/xのようにしてしまったのが誤りだったと思います。

汚い字で恥ずかしいですが、昨日計算した画像を貼り付けます。
No.77670 - 2021/08/16(Mon) 14:11:40
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
よろしくお願いします。
No.77671 - 2021/08/16(Mon) 14:14:23
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
ごめんなさい横でした。
No.77672 - 2021/08/16(Mon) 14:17:09
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / らすかる
astさんも指摘されていますが、
1/(2x-2),1/(2x+2)の積分をlog|2x-2|,log|2x+2|としているところが誤りです。
log|2x-2|とlog|2x+2|を微分してみれば誤りであることがわかると思います。

# 不定積分の答えが合っているかどうかは、結果を微分すればわかります。
# 不安なら答えを微分しましょう。
No.77673 - 2021/08/16(Mon) 14:41:48
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / TAKA
ありがとうございます。助かりました。

∫f(1/x)dx＝log│x│とばかり考えていて、xに整式が来る場合は、合成関数のように考えて積分しないといけなかったんですね。腑に落ちました。
No.77674 - 2021/08/16(Mon) 15:20:11
☆ Re: 不定積分の計算　高校基礎レベル / 編入受験生
> ∫(x＾3/x＾2−１)dx＝x＾2/2+log│2x-2│+log│2x+2│+cで計算あってるか教えてください。

部分数分解を使うのではなく、
∫x^3dx/(x^2-1) = ∫(x(x^2-1) + x)dx/(x^2-1)
= ∫xdx + ∫xdx/(x^2-1) = x^2/2 + log|x^2-1|/2 + C
のように解いてください。
つまり、公式∫f(x){F(x)}^rdx = 1/(r+1){F(x)}^(r+1) + C
を使って解くべきです。rはxに依らない実数,F(x)はf(x)の原始関数。この公式は右辺を微分すればわかる。
部分数分解を用いた解き方は一般的に計算量が多くなるから、あまり使わないほうがいいと思う。
なるべく公式と式を工夫して解くようにしないと、
計算ミスが多くなると思う。
No.77695 - 2021/08/19(Thu) 08:18:18
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