sin(R)*cos^2(sin^-1(sin(R)/a))-cos^2(R)*sin(R)/(a*a)-cos(R)*b/a=0 （aとbは定数）
という複雑な式をRについて解きたいのですが、解けません。
教えてください。
計算機に数値計算させるので解自体はどんなに複雑でも構いません。
恥ずかしながら当方大学院生です。
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No.78090 - 2021/09/07(Tue) 04:38:52
| ☆ Re: / グーチョコランタン | | | お騒がせしました。
sin(R)=A,cos(R)=√(1-A*A)
と置くことで数値計算だけはできるようになりました。
ので、この式を解く必要はなくなりましたが、後学のため、Rこの形のまま、Rについて解ける方がいたら解法を教えてください。
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No.78091 - 2021/09/07(Tue) 05:19:58 |
| ☆ Re: / らすかる | | | cos(arcsin(x))=√(1-x^2)なので
(cos(arcsin(x)))^2=1-x^2
(cos(arcsin(sinR/a)))^2=1-(sinR/a)^2
sinR・(cos(arcsin(sinR/a)))^2=sinR-(sinR)^3/a^2
(cosR)^2・sinR/a^2=(1-(sinR)^2)・sinR/a^2=sinR/a^2-(sinR)^3/a^2
sinR・(cos(arcsin(sinR/a)))^2-(cosR)^2・sinR/a^2
=(sinR-(sinR)^3/a^2)-(sinR/a^2-(sinR)^3/a^2)=sinR-sinR/a^2
=sinR(1-1/a^2)
よって
(左辺)=(1-1/a^2)sinR-(b/a)cosR
=√(a^4+(b^2-2)a^2+1)/a^2・sin(R-θ)=0から
sin(R-θ)=0
∴R=θ+nπ
ただしθは
sinθ=ab/√(a^4+(b^2-2)a^2+1)
cosθ=(a^2-1)/√(a^4+(b^2-2)a^2+1)
を満たす値
従って
sinθ＜0すなわちab＜0のとき
R=nπ-arccos((a^2-1)/√(a^4+(b^2-2)a^2+1))
sinθ≧0すなわちab≧0のとき
R=nπ+arccos((a^2-1)/√(a^4+(b^2-2)a^2+1))
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No.78095 - 2021/09/07(Tue) 11:58:28 |
| ☆ Re: / ast | | | sin^2(R), cos^2(R) などは, 通例通り値の 2-乗 (つまり, (sin(R))^2, (cos(R))^2 など) の略記であると解釈しました.
# この場合, (cos(sin^(-1)(sin(R)/a)))^2 = 1-(sin(sin^(-1)(sin(R)/a)))^2=1-(sin(R)/a)^2 となり,
# 問題の式は逆正弦 sin^(-1) を使わずに書けます.
そうすると, 一見複雑に見えますが, ご質問の式は (sin(R)≠0 のとき)
tan(R)=ab/(a^2-1)
と同じなのではないでしょうか (追加の但し書きはあるかもしれない)
# これは両辺を sin(R) で割って, 出てきた第三項の 1/tan(R) を右辺に移項して残りを整理しただけです.
もし, ^2 が函数の合成 (つまり, cos^2(R)=cos(cos(R)) など) の意であれば当てはまりませんので放念ください.
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No.78096 - 2021/09/07(Tue) 12:23:10 |
| ☆ Re: / グーチョコランタン | | | お二人ともありがとうございます。
かなり式がすっきりしました。
cos(arcsin(x))
の整理の仕方は目からうろこです。
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No.78098 - 2021/09/07(Tue) 15:52:23 |
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