x^11の虚数解の一つをhとする
h+h^3+h~4+h^5+h^9の値を求めよという問題が分かりません。
調べたらガウス和が関係しているようですが、高校生の私には理解はできませんでした。簡単な解き方などがあれば教えていただきたいです
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No.78260 - 2021/09/17(Fri) 17:30:32
| ☆ Re: / 高校太郎 | | | No.78261 - 2021/09/17(Fri) 17:31:24 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 「x^11の虚数解」が「x^11=1の虚数解」という意味の場合
a=h+h^3+h^4+h^5+h^9
b=h^2+h^6+h^7+h^8+h^10
とおくと
a+b=-1
ab=(h+h^3+h^4+h^5+h^9)(h^2+h^6+h^7+h^8+h^10)
=h^3+h^5+h^6+2h^7+h^8+2h^9+2h^10+5h^11+2h^12+2h^13+h^14+2h^15+h^16+h^17+h^19
=h^3+h^5+h^6+2h^7+h^8+2h^9+2h^10+5+2h+2h^2+h^3+2h^4+h^5+h^6+h^8
=2(h+h^2+h^3+h^4+h^5+h^6+h^7+h^8+h^9+h^10)+5
=3
よってa,bはt^2+t+3=0の2解すなわちt=(-1±i√11)/2
虚数部の正負を考えてa=(-1+i√11)/2,b=(-1-i√11)/2なので
h+h^3+h^4+h^5+h^9=(-1+i√11)/2
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No.78264 - 2021/09/17(Fri) 18:58:23 |
| ☆ Re: / IT | | | 横から失礼します。
らすかるさん
a+b=-1 は思いついても、ab を計算するのは思いつきませんでした！！
ところで「虚数部の正負を考えて」のところをもう少し詳しく教えていただけませんか？ どちらかに定まらない気がするのですが？
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No.78265 - 2021/09/17(Fri) 19:14:21 |
| ☆ Re: / らすかる | | | 失礼しました。定まらないですね。
頭の中で勝手にh=cos(2π/11)+isin(2π/11)と決めつけていました。
hがその共役複素数ならば当然虚数部が反転しますので、
(-1±i√11)/2の両方ともあり得ますね。
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No.78267 - 2021/09/17(Fri) 19:27:15 |
| ☆ Re: / 高校太郎 | | | こんなに早く回答が返ってくるとは思いませんでした。
皆様、ありがとうございます...
すごい発想力ですね、もう驚きしかないです。
おかげさまでよく理解ができました。
ガウス和もはやく理解できるように頑張ろうと思います！
改めて、回答ありがとうございました。
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No.78269 - 2021/09/17(Fri) 21:05:22 |
| ☆ Re: / 黄桃 | | | もう見てないでしょうが、せっかくガウス和のことを調べているようなので、参考までに、この例について書き下しておきます。
x[n]=0 (nが11で0), =1 (nが法11で0でない平方剰余), =-1 (nが法11の平方非剰余)
とおくと、整数a,bについて、
x[ab]=x[a]*x[b]
がいえます（ディリクレ指標の例）。
具体的には、
x[n]=1 ⇔ n≡1,3,4,5,9 mod 11
x[n]=-1 ⇔ n≡2,6,7,8,10 mod 11
となっています（x[ab]=x[a]x[b]を満たすことだけが必要なのでそれを確認してください）。
なお、x[-1]=x[10]=-1 です。
y=e^(2πi/11) とおき、h=z=y^r の場合を考えます。
S=x[1]z+x[2]z^2+...+x[10]z^10 とおけば、
S~=(x[1]z+x[2]z^2+...+x[10]z^10)~ (~は共役)
=(x[-10]z^(-10)+x[-9]z^(-9)+...+x[-1]z^(-1))~
=x[-10]*z^10+x[-9]*z^9+..+x[-1]*z (x[*]は実数, (z^(-k))~=z^k)
=x[-1](x[10]*z^10+...+x[1]*z) (x[-a]=x[-1]x[a])
=-S
したがって、Sは純虚数。
一般的な定理により |S|=√11 が言えます。今回の場合にその証明を書き下せば以下のようになります。
らすかるさんがabを計算している部分に対応すると思います。
SS~
=(x[1]z+...+x[10]z^10)(x[1]z^(-1)+...+x[10]z^(-10))
=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] y^(r(k1-k2))
ここで、rを1,2,...,10 に渡って動かして辺々加えると
10*SS~=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] Σ_[r=1,10] y^(r(k1-k2))
となります。さらに、r=0に相当する式すなわち、
0=(x[1]+x[2]+...+x[10])*(x[1]+...+x[10])
を加えてもいいから、
10*SS~=Σ_(k1,k2) x[k1]x[k2] Σ_[r=0,10] y^(r(k1-k2))
がいえます。
Σ_[r=0,10] y^(r(k1-k2))
の部分は k1=k2 の時だけ 11, そうでなければ(すべての1の11乗根の和で）0 になるので、
10*SS~=11*(x[1]^2+...+x[10]^2)=11*10
です。
したがって、S=i√11 または -i√11
求める和を X とし、Y=x[2]*z^2+x[6]*z^6+x[7]*z^7+x[8]*z^8+x[10]*z^10 とすれば、
(らすかるさんの記号で X=a, Y=-b)
S=X+Y =±i√11
X-Y=-1 だから、
X=(-1±i√11)/2
となります。
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No.78283 - 2021/09/18(Sat) 13:12:41 |
| ☆ Re: / 高校太郎 | | | 貴桃さん
丁寧な解説有難うございます。らすかる さんの解答を照らし合わせた解説、分かりやすかったです。なんとなく概念はつかめたような気がします(笑)。くどいですが、ありがとうございます
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No.78323 - 2021/09/20(Mon) 10:24:23 |
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