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★ (No Subject) / IF
現実世界の問題を関数に表した時にy=2xのような比例の関数になったとします。ただxは1枚2枚…のようにしか増えていかない制限のあるものだった時に、このこの事象の関数の式はy=2x (xは0以上の整数)のようなものになるのでしょうか？また、このカッコ内の文言はxの変域(定義域)と呼べるものなんでしょうか？
定義域などは基本的に連続してるイメージで2≦x≦5のようなものしか見た事がありません。
実際にこれをグラフにするとただの格子点のプロットになるので、この連続していない点に対してこれが変域と呼べるのかが疑問に思いました。
よろしくお願いします。
No.77266 - 2021/08/03(Tue) 13:54:17
☆ Re: / らすかる
定義域が連続している必要はありません。
「xは自然数」とか「xは3または5」なども定義域として有効です。
No.77267 - 2021/08/03(Tue) 14:10:35
☆ Re: / IF
> 定義域が連続している必要はありません。
> 「xは自然数」とか「xは3または5」なども定義域として有効です。

ありがとうございます。助かりました
No.77268 - 2021/08/03(Tue) 14:24:15
★ (No Subject) / kkk
x,y,zを正の実数とするとき
［(y+z)/x］+［(z+x)/y］+［(x+y)/z］の
とりうる値の範囲を求めよ。という問題において
写真の
次に、?Cの左辺で〜の解説がいまいち分かりません。
詳しく教えてほしいです。
No.77259 - 2021/08/03(Tue) 11:44:48
☆ Re: / ヨッシー
例えば、ｙ＝ｚ＝１ とすると、?Cの左辺は
　2/x＋(1+x)＋(x+1)
となり、ｘをどんどん大きくしていくと、
2/x は０に近づきますが、マイナスにはなりません。
一方、(1+x)や(x+1) は、いくらでも大きくなります。
よって、?Cの左辺に上限はなく、
　?Cの左辺≧６
という範囲となります。
No.77262 - 2021/08/03(Tue) 12:54:02
☆ Re: / kkk
丁寧で分かりやすいです。
ありがとうございました
No.77263 - 2021/08/03(Tue) 13:00:01
★ 積分 / 山﨑正視
添付の図の分母の積分がわかりません。教えていただけますでしょうか。
No.77255 - 2021/08/03(Tue) 11:03:54
☆ Re: 積分 / 山?ｱ正視
こちらでも良いです。サインカーブが無限に重なった時の現象が知りたいです。予想値は約2.3です。
No.77272 - 2021/08/03(Tue) 16:31:43
☆ Re: 積分 / 山?ｱ正視
> 添付の図の分母の積分がわかりません。教えていただけますでしょうか。
No.77273 - 2021/08/03(Tue) 16:33:26
☆ Re: 積分 / ast
n が自然数のとき
　(1/π)∫_[-π,π] (-x/2) sin(nx) dx = 1/n
とかに多分なるから, ∑_[n=1,…] sin(nx)/n は -x/2 のフーリエ展開で, 収束性とかをちゃんと調べる気が起きないけど, たぶん適当な範囲で　-x/2 と一致するんでしょう.
# わからんけど積分域とか -x/2 とか適当な平行移動しないといけないかもしれない.

でまあ, そういう厳密なところを度外視するなら, 積分値は π^2/4 (約2.47) なんじゃなかろうか.
No.77287 - 2021/08/03(Tue) 22:29:14
☆ Re: 積分 / IT
項別積分で計算しても　π^2/4　になりますね。

Σ(nは奇数){∫[0,π]sin(nx)/ndx}=Σ(nは奇数)(2/n^2)=π^2/4

（この無限和を求めるのにフーリエ級数を使うので本質的な計算方法ではないですね）
No.77288 - 2021/08/03(Tue) 23:00:06
☆ Re: 積分 / 山?ｱ正視
> 項別積分で計算しても　π^2/4　になりますね。
>
> Σ(nは奇数){∫[0,π]sin(nx)/ndx}=Σ(nは奇数)(2/n^2)=π^2/4
>
> （この無限和を求めるのにフーリエ級数を使うので本質的な計算方法ではないですね）

よくわかりました。ありがとうございました。
No.77295 - 2021/08/04(Wed) 05:56:58
★ 統計 / 大学一年
(2)のメディアンの答えが8.125なのですが、どうして8じゃなくて8.125になるのか教えてください。
No.77251 - 2021/08/03(Tue) 09:16:49
☆ Re: 統計 / 大学一年
追加なのですが、(3)の問題も自分で解くと8.32になるのですが、正解は8.23でした。電卓で計算しても8.32になるので計算ミスではなく、解き方を間違っているのだと思います。
平均を出すための正しい式を教えていただきたいです。
よろしくお願いします。
No.77252 - 2021/08/03(Tue) 09:21:47
☆ Re: 統計 / ヨッシー
連続型データというところがミソですね。

中央値は、図のように、左右の面積が等しくなるように切った時の
切り口の値と言えます。
７～９を９：７に内分する点として、
　(7×7＋9×9)/16＝8.125　・・・中央値

ちなみにモードはどういう答えだったのでしょう？
No.77257 - 2021/08/03(Tue) 11:29:49
☆ Re: 統計 / 大学一年
わかりやすい解説ありがとうございます。
モードは8でした。
No.77264 - 2021/08/03(Tue) 13:35:33
☆ Re: 統計 / 大学一年
連続型データだと平均値も(度数×階級値)/25では出せないんでしょうか？
No.77265 - 2021/08/03(Tue) 13:46:12
☆ Re: 統計 / ヨッシー
ヒストグラム（グラフがすべてｘ軸に平行）であれば、
その方法でもできます。
正解は 8.32 で、8.23 は誤植と思われます。
No.77296 - 2021/08/04(Wed) 06:18:19
☆ Re: 統計 / 大学一年
そうだったんですね。ありがとうございます。
No.77298 - 2021/08/04(Wed) 09:02:39
★ 積分 / 火
なぜ答えにm!がつくのか教えて欲しいです
No.77247 - 2021/08/03(Tue) 08:07:42
☆ Re: 積分 / GandB
> なぜ答えにm!がつくのか教えて欲しいです
　ベータ関数の積分公式を話題にしながら、階乗のことを質問するもんだから、きっと m! がビックリしたんだよw
No.77260 - 2021/08/03(Tue) 12:05:22
☆ Re: 積分 / ast
組合せの数の (階乗を使った) 明示公式と同じ理屈だから, 改めて教わらずとも実は既に知っていたということはないの?
# 同じ理屈というか, 1/m+nCn だから組合せの数そのものというべきか.
No.77261 - 2021/08/03(Tue) 12:39:21
☆ Re: 積分 / 火
返答ありがとうございます！！　あ、、、なるほどケアレスミスでした。たしかに、m+nからm+1までの掛け算は(m+n)!ではないですね。
No.77277 - 2021/08/03(Tue) 19:12:19
★ 座標平面 / 晴
次の問題を教えて下さい。
aを正の実数とし、Oを原点とする座標平面においてy軸上の点(0,a)をAとする。
Aを中心とし領域y≧|x|^3に含まれる最大の円がOを通らないようなaの値の範囲を求めよ。
よろしくお願いします。
No.77244 - 2021/08/03(Tue) 04:37:12
☆ Re: 座標平面 / 関数電卓
解析的には求まらないですね。
Excel で近似値を探ってみると，
　a＜0.8755
となるようです。
No.77282 - 2021/08/03(Tue) 20:32:36
☆ Re: 座標平面 / X
y軸に関する対称性からx≧0としても一般性を失いません。
このとき
y≧|x|^3
より
y≧x^3 (A)
問題の最大の円は(A)の境界である
曲線y=x^3 (A)'
に接することから、接点に関する条件を考えます。
(A)'から
y'=3x^2
∴問題の最大の円と(A)'との接点の座標を
(t,t^3) (t＞0)
とすると、この接点における(A)'の法線が
点Aを通るので
a=-{1/(3t^2)}(0-t)+t^3
これより
a=1/(3t)+t^3 (B)
一方、このとき最大の円は原点Oを
通らないので、半径に対し
t^2+(t^3-a)^2＜a^2 (C)
(C)より
t^2+t^6-2at^3＜0
(t^4-2at+1)t^2＜0
∴t^4-2at+1＜0 (C)'
(B)を(C)'に代入して
t^4-2{1/(3t)+t^3}t+1＜0
-t^4+1/3＜0
t^4-1/3＞0
∴1/3^(1/4)＜t (D)
(D)のときの(B)でのaの
取りうる値の範囲を求めます。

(B)より
da/dt=3t^2-1/(3t^2)
=(9t^4-1)/(3t^2)
1/√3＜1/3^(1/4)
に注意して(D)における(B)の増減表
を書くことにより
2/3^(3/4)＜a

ちなみに電卓で計算すると
2/3^(3/4)=0.8773…
となり、関数電卓さんの結果の境界値
に近い値になります。
No.77284 - 2021/08/03(Tue) 21:08:27
☆ Re: 座標平面 / N
関数電卓さん、Xさん、どうもありがとうございます！とてもよくわかりました！
No.77306 - 2021/08/04(Wed) 21:18:03
★ 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)
原点をOとする座標平面上において、点P(10,10)まで、以下の条件☆を満たしながら移動する時、経路の総数を求めなさい。

条件☆
Oを出発点とし、24回移動する。24回の移動において、1回の移動で、x座標またはy座標が1増加するように移動するが、2回だけx座標が1減少するように移動し、2回だけy座標が1減少するように移動する。ただし、第2象限と第4象限に移動してはならない

補足
階乗の計算やコンビネーションの計算はする必要はない

こちらも期末テストの問題でしたが、復習しようにも全然わからないですよろしくお願いします。
No.77227 - 2021/08/02(Mon) 22:29:55
☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる
経路の総数は0通りです。
24回中2回左(x座標が減少)、2回下(y座標が減少)ということは
2回の右と2回の上と相殺されて結局右と上の移動距離の合計が
16になりますので、(10,10)には到達できません。

# 到達できませんので、確かに階乗などの計算をする必要はないですね。
No.77231 - 2021/08/02(Mon) 22:53:31
☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)
回答ありがとうございます。こちらも理解できました。

しかし変な問題でしたね。
No.77233 - 2021/08/02(Mon) 22:58:10
★ 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)
原点をOとする座標平面上において、点P(m,m)まで、以下の条件☆を満たしながら移動する時、経路の総数を求めなさい。

条件☆
Oを出発点とし、まず(1,0)に移動し、それ以降は1回の移動で、x座標またはy座標が1増加するように移動し、かつ点Pに至るまで直線y=x上の点を通過してはならない。

期末テストの問題でしたが、復習しようにも全然わからないですよろしくお願いします。
No.77224 - 2021/08/02(Mon) 21:46:06
☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる
条件から(1,0)から(m,m-1)まで移動する場合の数を求めればいいですね。
単純に計算すると(2m-2)C(m-1)ですが、この中にはy=xである点を通るものも
含まれています。
そのようなパターンは、最初にy=xである点に到達した後の経路を
直線y=xに関して対称に移動すると、到達点が(m-1,m)になります。
(1,0)から(m-1,m)まで移動する場合の数は(2m-2)Cm通りであり、これが
全パターンのうちy=xである点を通るパターン数になります。
従って求める場合の数は(2m-2)C(m-1)-(2m-2)Cm通りです。
No.77226 - 2021/08/02(Mon) 22:28:10
☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)
回答ありがとうございます！

あまりにも鮮やかな解き方で感動しました！！

参考なまでにお聞きしたいのですが、わずかな時間でお解きになられておられますが、らすかる先生から見てこの問題は簡単でしたでしょうか？
No.77228 - 2021/08/02(Mon) 22:42:55
☆ Re: 経路の総数(場合の数) / らすかる
知らなければ気づくのは難しいと思います。
私は解き方を知っていただけです。
No.77229 - 2021/08/02(Mon) 22:48:13
☆ Re: 経路の総数(場合の数) / MIO(高1)
大変参考になりました。ありがとうございました。
No.77230 - 2021/08/02(Mon) 22:50:50
★ 微分 / あお
画像の微分は、ただのsで３階微分とは違うのですか？
sの３乗で微分する？
良く分かりません。
No.77222 - 2021/08/02(Mon) 20:30:15
☆ Re: 微分 / あお
普通にsで３階微分するという意味の表記ですかね
自己解決しました。
No.77223 - 2021/08/02(Mon) 20:38:20
★ ラプラス変換 / あお
t^3sinat
この関数のラプラス変換の仕方を教えてください。
No.77218 - 2021/08/02(Mon) 17:35:57
☆ Re: ラプラス変換 / X
sinatのラプラス変換をラプラス変換表を用いて
求めた後、ラプラス変換の性質を使います。
例えば、以下のURL
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
にある
片側ラプラス変換の性質（その 2）
なる表の上から4行目の性質ですね。
No.77220 - 2021/08/02(Mon) 18:03:29
★ 積分 / あお
この積分どうすればいいでしょうか？
No.77216 - 2021/08/02(Mon) 16:53:00
☆ Re: 積分 / X
{(sint)^2}costのラプラス変換ですね。
まずは次数を落とします。

{(sint)^2}cost=(1/2)(1-cos2t)cost (∵)半角の公式
=(1/2)cost-(1/2)cos2tcost
=(1/2)cost-(1/4)(cos3t+cost) (∵)積和の公式
=(1/4)cost-(1/4)cos3t

後はラプラス変換表を使って
cost,cos3t
のラプラス変換を求めます。
No.77219 - 2021/08/02(Mon) 17:59:08
★ 相関係数 / 統計学
なぜ(4)の式を変形したら(6)の式になるのか教えてください
No.77205 - 2021/08/02(Mon) 13:30:34
☆ Re: 相関係数 / ast
分母は (Sは分散の平方根なのでしょうから) 何も計算しませんし, 分子もバーが表しているのが x_i たち y_i たちそれぞれの相加平均なので x_i, y_i で表してから掛け算を計算した結果がその分子だ (もとの式の全体に掛かっている (1/n) は分子の計算に組み込みます), という式に見えますが, いかがですか?


# 個人的に計算はよく間違えるのでこちらからは計算過程を提示するつもりはありません.
No.77210 - 2021/08/02(Mon) 14:11:31
☆ Re: 相関係数 / 大学一年
分かりました。
ありがとうございます。
No.77214 - 2021/08/02(Mon) 14:55:36
★ (No Subject) / 統計学
写真の式がなぜ成り立つのか教えてください。
右辺の意味が分からないです。
よろしくお願いします。
No.77194 - 2021/08/02(Mon) 11:20:47
☆ Re: / ast
P(X=k) の確率で k^2 の値をとる確率変数 X^2 の期待値, だから右辺は左辺の (期待値の) 定義そのままだと思いますが……
No.77206 - 2021/08/02(Mon) 13:51:56
☆ Re: / 大学一年
あ、ホントですね......すみません、馬鹿なことをききました......。
No.77207 - 2021/08/02(Mon) 13:57:49
☆ Re: / ast
もう一個の質問は消されたのですね.
# 回答書きましたが, 投稿ボタンを押して戻った画面にはもう見当たりませんでした.
No.77209 - 2021/08/02(Mon) 14:01:08
☆ Re: / 大学一年
時間おいて考えたら理解できたので消しました。
回答書いていただいてたんですね。お時間使わせてしまってすみません。
No.77213 - 2021/08/02(Mon) 14:37:23
★ ドラム缶が何個入るか / おとな
10m x 10mの正方形の空間に直径1mのドラム缶を何個まで詰めることができるか。(缶の高さが不明です)
答え方はエルデシュの法則で、ということなのです。
よろしくおねがいします。
No.77191 - 2021/08/02(Mon) 10:53:33
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
高さはhでお願いできればと思います。

> 10m x 10mの正方形の空間に直径1mのドラム缶を何個まで詰めることができるか。(缶の高さが不明です)
> 答え方はエルデシュの法則で、ということなのです。
> よろしくおねがいします。
No.77195 - 2021/08/02(Mon) 11:29:30
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / らすかる
「エルデシュの法則」は検索しても見つかりませんので
どういう法則かわかりませんが、普通に考えると
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
.○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○
このように入れて106個になりそうな気がします。
平面的な詰め込み問題で、高さは関係ないと思います。
（空間の高さの条件がありませんので、ドラム缶の高さに意味がありません）
No.77197 - 2021/08/02(Mon) 11:39:55
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
早速ありがごうございます！
私もその法則は見つけられませんでした（涙
その数学者の方があまりにも沢山の偉業を成し遂げたらしく、膨大な情報が出てきてド素人にはなにがなにやら意味が分かりませんでした。

すみません、106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？


> 「エルデシュの法則」は検索しても見つかりませんので
> どういう法則かわかりませんが、普通に考えると
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> .○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> ○○○○○○○○○○
> このように入れて106個になりそうな気がします。
> 平面的な詰め込み問題で、高さは関係ないと思います。
> （空間の高さの条件がありませんので、ドラム缶の高さに意味がありません）
No.77198 - 2021/08/02(Mon) 11:56:43
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
あと、これが1m×1mの箱の中に直径10cmの缶を何個入れられるか、としても同じ考え方になりますか？

> 早速ありがごうございます！
> 私もその法則は見つけられませんでした（涙
> その数学者の方があまりにも沢山の偉業を成し遂げたらしく、膨大な情報が出てきてド素人にはなにがなにやら意味が分かりませんでした。
>
> すみません、106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？
>
>
> > 「エルデシュの法則」は検索しても見つかりませんので
> > どういう法則かわかりませんが、普通に考えると
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > .○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > ○○○○○○○○○○
> > このように入れて106個になりそうな気がします。
> > 平面的な詰め込み問題で、高さは関係ないと思います。
> > （空間の高さの条件がありませんので、ドラム缶の高さに意味がありません）
No.77199 - 2021/08/02(Mon) 12:00:13
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / らすかる
> 106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？
図を見て
10+9+10+9+10+9+10+9+10+10+10=106
です。

> これが1m×1mの箱の中に直径10cmの缶を何個入れられるか、としても同じ考え方になりますか？
はい、同じです。
No.77202 - 2021/08/02(Mon) 12:30:48
☆ Re: ドラム缶が何個入るか / おとな
ありがとうございました＾＾

> > 106を出すのに、計算式を書くとしたら、どのようになりますか？
> 図を見て
> 10+9+10+9+10+9+10+9+10+10+10=106
> です。
>
> > これが1m×1mの箱の中に直径10cmの缶を何個入れられるか、としても同じ考え方になりますか？
> はい、同じです。
No.77204 - 2021/08/02(Mon) 13:27:43
★ (No Subject) / kkk
連続してすみません。

(1)(201)^20の十億の位の数字を求めよ。
(2)(201)^20を4×(10)^7で割ったときの余りを求めよ。

自分でもやってみたのですが、二項定理を
使うのかな？と思うのですが分かりません。
解説をお願いします。
No.77190 - 2021/08/02(Mon) 09:45:05
☆ Re: / 関数電卓
> 二項定理を使うのかな？と思う
「思う」だけではなく，実行して下さい。すぐ出来ます。
No.77212 - 2021/08/02(Mon) 14:21:50
☆ Re: / kkk
計算が分かりません。教えていただきたいです。
No.77232 - 2021/08/02(Mon) 22:56:58
☆ Re: / 関数電卓
　201^20
＝(1＋200)^20
＝1^20＋20C11^19･200^1＋20C21^18･200^2＋20C31^17･200^3＋20C41^16･200^4＋…

はお分かりですよね？
コンビネーションの部分を数値に直し，各項の値を求めて下さい。
見えるものがあるはずです。
No.77236 - 2021/08/02(Mon) 23:22:35
☆ Re: / kkk
そこで詰まってるんですよね、、
No.77237 - 2021/08/02(Mon) 23:57:35
☆ Re: / GandB
>そこで詰まってるんですよね、、
　ほー・・・ということは、たとえば

　　20C3*1^17*200^3 = (20*19*18/3*2)8,000,000
　　　　　　　　　　= 1140*8,000,000
　　　　　　　　　　= 9,120,000,000

という計算すらわからないということかな？　コンビネーションの計算方法は高校で習い、掛け算と割り算は小学校で習っているはずだが。
No.77245 - 2021/08/03(Tue) 07:00:47
☆ Re: / kkk
これは全ての項を計算しますか？
No.77248 - 2021/08/03(Tue) 08:50:35
☆ Re: / 関数電卓
上記した５つの項を全てそれぞれ計算して下さい。
そこら中で立ち止まって眺めているのではなく，どんどん自分で前に進んで下さい。
No.77250 - 2021/08/03(Tue) 09:15:15
☆ Re: / kkk
ありがとうございます
No.77258 - 2021/08/03(Tue) 11:38:10
★ (No Subject) / kkk
以下の問題において
なぜ二回微分する必要があるのでしょうか？
詳しい理由などお願いしますを
No.77189 - 2021/08/02(Mon) 09:31:00
☆ Re: / 関数電卓
　f(x) が極大値をもつ ⇔ f’(x)＝0 が異なる３実解をもつ
は，お分かりですか？
No.77211 - 2021/08/02(Mon) 14:16:52
☆ Re: / kkk
f(x) が極大値をもつ ⇔f'(x)=0となるxの値の前後で符号が+から-へ変化する　イメージなんですが違いますか？
No.77234 - 2021/08/02(Mon) 22:58:55
☆ Re: / 関数電卓
> f(x) が極大値をもつ ⇔ f’(x)＝0となる x の値の前後で符号が＋から－へ変化する
その通りなのですが，
　f’(x)＝0となる x の値の前後で符号が＋から－へ変化する ⇔ f’(x)＝0 が異なる３実解をもつ
に繋がりますか？
f’(x) は３次式なので，x が十分小さければ f’(x)＜0 で，x が十分に大きければ f’(x)＞0 です。
No.77235 - 2021/08/02(Mon) 23:15:33
☆ Re: / kkk
⇔ f’(x)＝0 が異なる３実解をもつ
に繋がりますか？
f’(x) は３次式なので，x が十分小さければ f’(x)＜0 で，x が十分に大きければ f’(x)＞0 です。

ここの部分の詳しく解説とか聞けますか？
図などがあると嬉しいのですが
No.77239 - 2021/08/02(Mon) 23:59:03
☆ Re: / 関数電卓
質問者さんは，教科書にある「中間値の定理」の内容は理解しておられますか？ <否>であれば，教科書をそこからやり直さなければなりませんし，現時点では「本問は難しすぎる」と言うことになります。
No.77249 - 2021/08/03(Tue) 09:10:29
☆ Re: / kkk
分かりました。ありがとうございました。
No.77254 - 2021/08/03(Tue) 10:23:20
★ 極限 / N
高校3年生です。

数列{a[n]}は
a[1]≧1, a[n+1]=√(na[n]+2n+1) (n=1,2,3…)
を満たすとする。このとき、lim[n→∞]a[n]/nを求めよ。

この問題を教えて下さい。よろしくお願いします。
No.77184 - 2021/08/02(Mon) 00:04:03
☆ Re: 極限 / IT
難しいですね、出典は何ですか？

b[n]=a[n]/n とおくと、元の漸化式は
b[n+1]=√(2+((n/(n+1))^2)b[n]-(4n-2)/(n+1)^2) になるので
収束することが言えれば、lim[n→∞]a[n]/n＝2　になると思いますが。

計算がまちがってますね。まったく違う式を転記して考えていました。しばらく、残しておきますが無視してください。
No.77225 - 2021/08/02(Mon) 22:19:46
☆ Re: 極限 / N
昨年秋に実施された駿台の東大実戦の問題らしいのですが、全く手が出ませんでした(解答は持っていません)。
もう少し自分でも頑張って考えてみます！
No.77238 - 2021/08/02(Mon) 23:58:53
☆ Re: 極限 / 高校三年生
おおよそ、こんな感じでは？

b[n]=a[n]/n とおくと、与式は、

b[1]=a[1], b[n+1]=p√(b[n]+q)
p=n/(n+1)
q=(2n+1)/(n^2)

ここで、方程式

f(x)=p√(x+q)

を考えると、曲線 y=f(x) は、定点 (1,1)を通り、そこでの接線の傾きは、

f ’(1)=(1/2){n/(n+1)}^2 < 1/2

なので、x≧1の領域において、

√x≧f(x)　　　　?@

今、数列{c[n]}を

c[n+1]=√c[n]
c[1]=b[1]≧1

と定めると、?@より、

c[n]≧b[n] (n=1,2,3・・・)

あとは、「はさみ打ちの原理」で、

lim[n→∞]{b[n]}=1

を証明する。
みたいな・・・。
No.77256 - 2021/08/03(Tue) 11:17:43
☆ Re: 極限 / IT
高校三年生さんの方針でよさそうですね。

下から挟むのは、
a[1] が大きいほど　各a[n] も大きくてb[n]=a[n]/n も大きい。

a[1]=1 のとき　a[n]=n なので　b[n]=1
したがって任意のa[1]≧1について、１≦b[n] と下から挟めますね。
No.77294 - 2021/08/04(Wed) 02:15:19
☆ Re: 極限 / N
ITさん、高校三年生さん、どうもありがとうございました！
No.77305 - 2021/08/04(Wed) 21:16:21
★ 積分 / 火
I [0→1] √{x/(1+x)} dx を丸ごと置換するとしたら、どう解きますか？
あと、追加で、I [0→π/6] 1/(3sin^2 x +cos^2 x) dx を半角タンジェントの置換でするなら、どう解きますか？
最後に下の写真の答えにm!がなぜつくのか教えてください
No.77181 - 2021/08/01(Sun) 23:22:48
☆ Re: 積分 / GandB
計算がめんどいので

>I [0→1] √{x/(1+x)} dx を丸ごと置換するとしたら、どう解きますか？

の置換の部分だけを示す。
No.77215 - 2021/08/02(Mon) 15:44:15
☆ Re: 積分 / 火
t^2=x/(1+x)から逆数とってますが、t≠0ではないですよね。
何らかの理由があるのならば高校数学範囲で教えてください！！
No.77253 - 2021/08/03(Tue) 10:20:37
★ (No Subject) / 数学苦手
これはどのようにやればいいですか？
No.77175 - 2021/08/01(Sun) 19:48:10
☆ Re: / IT
前進　1,3,5 後退　-2,-4,-6　と書きます。

3つの数の和＝0（偶数）なので　偶数１個、奇数２個です。

偶数が-2のとき、-4のとき、-6のときに分けて、まず３つの数の組み合わせを調べます。

次に、それぞれ並び順が何通りあるか調べて合計します。
No.77177 - 2021/08/01(Sun) 20:06:45
☆ Re: / 数学苦手
最終的に0になるようにするのは無理なような、、
元の位置の数字が－2の場合、－4の場合、－6の場合でしょうか？
No.77183 - 2021/08/01(Sun) 23:38:18
☆ Re: / 数学苦手
元の数字、つまり最初に出る数字を偶数としてマイナスだけど、、そこに戻すようにするみたいな作業でしょうか？すみません。多分分かってません…
No.77185 - 2021/08/02(Mon) 00:55:02
☆ Re: / ヨッシー
>最初に出る数字を偶数
と言っている時点で、全然わかっていませんね。

{1,3,5} から２つ（ただし、同じものを２つ選んでもよい）
{-2,-4,-6} から１つ、合計３つの数字を選んで、
合計が０になる選び方を書き上げなさい。
という問題です。
　1, 3, -4
はその一例です。

ただし、ここに書いたことは、すべて IT さんの記事に書かれてますけどね。
No.77186 - 2021/08/02(Mon) 06:08:12
☆ Re: / IT
私の回答が分かってない。以前に、問題の意味が分かっておられないようです。

数学苦手さんは、「双六（すごろく）」など、サイコロを使ったゲームを見たりやったりしたことはないですか？

例えば、サイコロの目が順に１、２、３と出たときどう動くかを図示してください。
No.77187 - 2021/08/02(Mon) 07:16:43
☆ Re: / 数学苦手
偶数－2を使って、奇数2個を足して0にする方法が分からないです。
No.77192 - 2021/08/02(Mon) 11:06:35
☆ Re: / 数学苦手
元に戻す＝差をなくすから0ですか？
No.77193 - 2021/08/02(Mon) 11:12:38
☆ Re: / IT
＞偶数－2を使って、奇数2個を足して0にする方法が分からないです。
-2+1+1=0 です。

繰り返しになりますが、
まず、サイコロの目が順に（１、２、３）と出たときどう動くかを図示してください。

（２、１、１）　と出たときはどうですか？
No.77203 - 2021/08/02(Mon) 12:58:23
☆ Re: / 数学苦手
一応書いてみましたが自信がないです
No.77217 - 2021/08/02(Mon) 17:02:38
☆ Re: / IT
合っていると思います。
それを踏まえてもう一度私やヨッシーさんの最初の回答を読んでみてください。
No.77221 - 2021/08/02(Mon) 18:08:17
☆ Re: / 数学苦手
できました！が…解説はなんかよく分からない書き方でした、、
No.77240 - 2021/08/03(Tue) 01:02:15
☆ Re: / 数学苦手
なんかこんな漢字でした、、
No.77241 - 2021/08/03(Tue) 01:02:57
☆ Re: / 数学苦手
前に質問させてもらった問題で似たような解き方の問題…カードのような問題があった気がしましたが解けませんでした。すみません。
No.77242 - 2021/08/03(Tue) 01:04:05
☆ Re: / 数学苦手
あと、0も偶数に入るのでしたっけ…数学の定義において…
No.77243 - 2021/08/03(Tue) 01:30:20
☆ Re: / IT
0も偶数です。２で割ると商は０で余り0ですから。
No.77246 - 2021/08/03(Tue) 07:21:14
★ 関数と図形 / 海
4点O,A,B,C,を頂点とする平行四辺形OABCがあり、2点A,Bの座標はA(－2、4）Ｂ(６、10）点Cを通り、平行四辺形OABCの面積を二等分線の傾き？ 答えは、5分の１です。
解説お願いいたします。
No.77174 - 2021/08/01(Sun) 18:49:03
☆ Re: 関数と図形 / X
まず、O,A,B,Cの位置関係は
この順に時計回り
ではなくて
この順に反時計回り
となっていることに注意して下さい。

条件から対角線ACの傾きを求めれば
よいことになります。

ベクトルを使ってもよいのであれば以下の通りです。
条件から
↑AC=↑OC-↑OA
=↑AB-↑OA
=↑OB-2↑OA
=(6,10)-2(-2,4)
=(10,2)
よって求める傾きは
2/10=1/5
です。
No.77178 - 2021/08/01(Sun) 21:31:02
☆ Re: 関数と図形 / X
別解(の方針))
まず点Cの座標を求めることを考えます。
条件から、OA//BCですので
点B、Cを通る直線の方程式は
y={4/(-2)}(x-6)+10
∴y=-2x+22 (A)
又、OC//ABですので
点O,Cを通る直線の方程式は
y={(10-4)/{6-(-2)}}x
∴y=3x/4 (B)
(A)(B)を連立して解くと
(x,y)=(8,6)
∴C(8,6)
求める傾きは対角線ACの傾き
ですので
(6-4)/{8-(-2)}=1/5
No.77179 - 2021/08/01(Sun) 21:41:46
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