ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 猛者よ、助けて下さい！ / あらはん

pを3以上の素数とする。このときn （n+p）が平方数となるような正の整数nをpを用いて表しなさい。

上手く解けません。どなたかご教授下さい。

No.86874 - 2023/12/02(Sat) 17:44:34

☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / ヨッシー

ｎが平方数とすると、ｎ＋ｐが平方数になれば、条件を満たします。

■□□□
■□□□
■□□□
■■■■
のように、素数ｐ＝７をＬの字に折り曲げて、平方数ｎ＝９を足してやると、
　ｎ＋ｐ　が平方数になります。
ｐ＝３だとｎ＝１^2
ｐ＝５だとｎ＝2^2
ｐ＝１１だとｎ＝5^2
となり、ｎ＝{(p-1)/2}^2 とすると、とりあえず、１つは見つかります。

他にあるかは、調べていません。

No.86876 - 2023/12/02(Sat) 18:14:51

☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / IT

n=s^2, n+p=t^2 (s,tは自然数でs<t)とおける
p=(t+s)(t-s)
pは素数なので t-s=1,t+s=p
よって s=(p-1)/2 , t=(p+1)/2

...

No.86879 - 2023/12/02(Sat) 19:03:11

☆ Re: 猛者よ、助けて下さい！ / 春一番

ありがとうございます！納得しました。

No.86880 - 2023/12/02(Sat) 19:32:23

★ 自然数 / えっとう

自然数についての定義を述べているのって、ペアノ定理だけですか？
たとえば楕円なら複数定義がありますよね。知ってるだけ教えてください！

No.86868 - 2023/12/01(Fri) 17:44:37

☆ Re: 自然数 / GandB

　そんなつまらんこと考えるよりも、「数」について詳細に解説した本で、まずは「ペアノの公理」による自然数の定義をきちんと理解したほうがいいんじゃないの。一般向け、少なくとも大学の数学科で数学を学んだ（学ぶ）ような人を読者としては想定してはいない（はずの）本としては、たとえば

　　「数の体系上・下」（彌永昌吉著：岩波新書）

という「恐るべき本」がある。著者の彌永昌吉と当時の岩波書店の編集部は、高校数学をだいたい理解していれば、読み進めることができるであろうと判断して、これを「新書」として出版したのだろう。いい本が廉価で手に入るのだから、質問者も大いに発奮して挑戦すればいい。

　なお、私はその昔、この本の上巻の前書きや冒頭の数ページに騙されて安直に手を出し、見事に挫折した。上巻は何とか通読したが、下巻は買ってから20年以上経過したにもかかわらず、今日に至るまで眺めただけであるwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww。

　私のように挫折しないためには
　　https://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/suuron.html
のようなところで勉強するのも悪くないと思う。

No.86873 - 2023/12/02(Sat) 08:45:40

★ (No Subject) / r

この問題の極限の解き方を教えてください。　答えでは1/e,3なのですが。

No.86861 - 2023/11/29(Wed) 21:06:51

☆ Re: / X

(3)
f(x)=logx
とすると
lim[x→1]log{x^{1/(x-1)}}=lim[x→1](logx)/(x-1)
=f'(1)=1
∴(与式)=e^1=e

(4)
(与式)=lim[x→∞]3・{1+(2/3)^x}^(1/x)
=lim[x→∞]3・[{1+(2/3)^x}^{1/(2/3)^x}]^{{(2/3)^x}/x}
=3・e^0
=3

No.86862 - 2023/11/29(Wed) 21:57:58

☆ Re: / WIZ

> Xさん
# 流石に間違い多過ぎない?
# (3)は質問者さんが答えは1/eと書いているのに、違う値になって疑問に思わないの?
# lim[x→1]{x^(1/(x-1))}じゃなくて、lim[x→1]{x^(1/(1-x))}を求めるんだよ?

(3)自然対数を取れば
lim[x→1]{log(x^(1/(1-x)))}
= lim[x→1]{log(x)/(1-x)}
= lim[x→1]{-(log(x)-log(1))/(x-1)}
= -log'(1) = -(1/1) = -1
# log'(x)なんて書き方はしないかもしれないが、
# これは自然対数関数の導関数で、log'(x) = 1/xです。

自然対数を外すと、
lim[x→1]{x^(1/(1-x))} = e^(-1) = 1/e

No.86863 - 2023/11/29(Wed) 23:44:17

☆ Re: / X

＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞rさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。

No.86866 - 2023/11/30(Thu) 07:42:05

☆ Re: / IT

s=1/(x-1)とおく方法もありますね
s=1/(x-1)とおくと　x=1+(1/s) なので
x^(1/(1-x))＝(1+(1/s))^(-s)
x→1+0 のときは　s→+∞で　自然対数の底ｅの定義から求める極限値が求まります。
x→1-0 のときは　s→-∞なので、１ステップ要ります。

lim(s→∞){1+1/s}^s が収束することも、どこかで証明が必要ですが。

No.86869 - 2023/12/01(Fri) 19:06:46

☆ Re: / ast

(3) は x:=1+h として h→0 の極限をとるだけなのでは……?
# まあ e の導入の仕方に依る話ではあるかもしれないが……,
# もし仮にダメな場合 No.86862 の (4) の証明もダメな可能性が.

No.86899 - 2023/12/09(Sat) 02:55:39

★ (No Subject) / むらりひょんのすけ

平面上に中心を共有する半径1の円と半径6の円がある。それぞれをC1,C2とする。C1上の点PとC2上の点Q,Rを頂点とする三角形PQRの面積の最大値を求めよ

とりあえず中心を(1,0),点Pを(0,0)に固定してみたのですが分かりません。

解説よろしくお願いします

No.86855 - 2023/11/28(Tue) 20:51:18

☆ Re: / らすかる

中心を原点として
Q(6cosθ,6sinθ), R(6cosθ,-6sinθ)　（0＜θ≦π/2）とおくと
面積が最大になるPの位置はθによらず明らかに(-1,0)
このとき△PQRの面積は6sinθ(6cosθ+1)
f(θ)=sinθ(6cosθ+1)
f'(θ)=cosθ(6cosθ+1)+sinθ(-6sinθ)
=6{(cosθ)^2-(sinθ)^2}+cosθ
=12(cosθ)^2+cosθ-6
f'(θ)=0を解くとcosθ=2/3（∵cosθ＞0）
このときsinθ=√(1-(2/3)^2)=√5/3（∵sinθ＞0）なので、
6sinθ(6cosθ+1)に代入して
△PQRの面積の最大値は10√5

No.86858 - 2023/11/28(Tue) 23:15:24

☆ Re: / むらりひょんのすけ

なぜQ,Rがx軸対称のときに最大となるのでしょうか。

No.86859 - 2023/11/28(Tue) 23:35:55

☆ Re: / らすかる

QとRの位置関係がどうであっても、回転すればx軸に関して対称になるように移動できます。
従って最初から対称と仮定してOKです。
でも、そのことを解答の最初で言及しておいた方がいいでしょうね。

No.86860 - 2023/11/28(Tue) 23:45:20

★ (No Subject) / 増田

0≦a<b≦1とする。原点をO,点A,B,C,D,E,Fの座標を(a,1-a^2),(b,1-b^2),(0,1-a^2),(a,1-b^2),(a,0),(b,0)とする。長方形COEAとDEFBの面積の和をSとする。a,bの値を共に変化させるとき、Sの最大値をMと置く。M^2を求め、Sが1/2より小さいことを示せ

No.86851 - 2023/11/28(Tue) 13:09:53

☆ Re: / らすかる

長方形COEA=OC×OE=(1-a^2)a
長方形DEFB=DE×EF=(1-b^2)(b-a)
和は -a^3+b-b^3+ab^2
aを固定して長方形DEFBの面積をf(b)とすると
f(b)=(1-b^2)(b-a)=-b^3+ab^2+b-a
f'(b)=-3b^2+2ab+1
これよりb={a+√(a^2+3)}/3のとき最大とわかる。
和の式-a^3+b-b^3+ab^2に代入して整理すると
-a^3+b-b^3+ab^2={-25a^3+9a+(2a^2+6)√(a^2+3)}/27
g(a)=-25a^3+9a+(2a^2+6)√(a^2+3)
とすると
g'(a)=-75a^2+9+6a√(a^2+3)
g'(a)=0を解くと、面積が最大となるaの適解は
a=√(621+138√3)/69とわかる。
b={a+√(a^2+3)}/3に代入して整理すると
b=9√(207+46√3)/207
これらを面積の式に代入して整理すると
-a^3+b-b^3+ab^2=2√(207+46√3)/69
従ってSはa=√(621+138√3)/69,b=9√(207+46√3)/207のとき
最大値M=2√(207+46√3)/69をとる。
M^2=(36+8√3)/207
M^2-1/4=(36+8√3)/207-1/4=(-63+32√3)/828
63^2=3969＞3072=(32√3)^2から-63+32√3＜0なので
M^2-1/4＜0
M^2＜1/4
∴M＜1/2なのでS＜1/2

No.86853 - 2023/11/28(Tue) 14:22:11

☆ Re: / WIZ

別解(と言う程違いはないかもしれない)

0 ≦ a < b ≦ 1だから、0 ≦ x < 1である実数xが存在してa = xbと置けます。

すると、
S = (1-a^2)a+(1-b^2)(b-a)
= (1-(x^2)(b^2))xb+(1-b^2)(1-x)b
= (xb-(x^3)(b^3))+(b-b^3-xb+x(b^3))
= b{1-(b^2)(x^3-x+1)}

上記を最大にする為には、f(x) = x^3-x+1を最小にすれば良いです。
f'(x) = 3x^2-1より、
0 ≦ x < 1/√3で、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。
x = 1/√3で、f'(x) = 0なので、f(x)は極小。f(1/√3) = (9-2√3)/9 = Gとおきます。
1/√3 ≦ x < 1で、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
# 尚、0 < G = (9-2√3)/9 < 1です。

S(b) = b-G(b^3)とおくと、S'(b) = 1-3G(b^2)より、
0 < b < 1/√(3G)で、S'(b) > 0なので、S(b)は増加。
b = 1/√(3G)で、S'(b) = 0なので、S(b)は極大。
1/√(3G) < b ≦ 1で、S'(b) < 0なので、S(b)は減少。
# 尚、0 < 1/√(3G) = (√3)/√(9-2√3) < 1です。

よって、
M = S(1/√(3G)) = (1/√(3G))(1-G/(3G)) = (2/3)/√(3G)
⇒ M^2 = (4/9)/(3G) = (4/27)(9/(9-2√3)) = (4/3)(9+2√3)/69 = (4/207)(9+2√3)
# らすかるさんと同じ結果になってめでたしめでたし!

また、√3 < 1.75より、
M^2 < (4/207)(9+3.5) = 50/207 < 1/4
⇒ 0 < Mより、S ≦ M < 1/2

No.86856 - 2023/11/28(Tue) 21:05:57

★ (No Subject) / りんご

nは自然数とし{2x+(1/2)}^nを展開した整式のx^kの係数をakとする

n=122とする。
a7k/a(7k+1)はk=?@?Aで最大値?B?Cをとる。

解答＆解説よろしくお願いします

No.86844 - 2023/11/27(Mon) 23:40:10

☆ Re: / りんご

(誤)a7k/a(7k+1)はk=?@?Aで最大値?B?Cをとる。
→(正)a7/a(7k+1)は[1][2]で最大値[3][4]をとる

No.86849 - 2023/11/28(Tue) 09:12:13

☆ Re: / X

条件から、二項定理により
a[k]=(nCk)(2^k)・(1/2)^(n-k)
=(nCk)・2^(2k-n)
∴
a[7k]/a[7k+1]=(nC(7k))・{2^(14k-n)}/{(nC(7k+1))・{2^(14k+2-n)}
={(7k+1)/(n-7k)}/4
={-1-(n+1)/(7k-n)}/4
となるので、n=122のとき
a[7k]/a[7k+1]={-1-122/(7k-121)}/4
ここで
121/7=17+2/7
∴横軸にk、縦軸にa[7k]/a[7k+1]を取った
グラフを考えることにより、
a[7k]/a[7k+1]はk=17のとき最大となり
最大値は
(-1+122/2)/4=15

No.86850 - 2023/11/28(Tue) 10:50:17

☆ Re: / WIZ

> Xさん (#決して嫌がらせじゃないよ!)

計算間違いをしています。
> ={-1-(n+1)/(7k-n)}/4
> となるので、n=122のとき
> a[7k]/a[7k+1]={-1-122/(7k-121)}/4

a[7k]/a[7k+1] = {-1-(122+1)/(7k-122)}/4 = {-1-123/(7k-122)}/4
ですね。

> ここで
> 121/7=17+2/7

122/7 = 17+3/7
ですね。

細かい事を言えば、0 ≦ 7k < 7k+1 ≦ 122であることが必要なので、
k = 17なら、7k = 119, 7k+1 = 120なのでOKと一言付け加えるべきかと。

> a[7k]/a[7k+1]はk=17のとき最大となり
> 最大値は
> (-1+122/2)/4=15

(-1+123/3)/4 = 10
ですね。

# 失礼しました!

以下、蛇足
122-7k > 0として、f(k) = (7k+1)/(122-7k)とおくと、
f'(k) = {7(122-7k)-(7k+1)(-7)}/{(122-7k)^2}
= 7{(122-7k)+(7k+1)}/{(122-7k)^2}
= 7*123/{(122-7k)^2} > 0
f(k)は単調増加なのと、7k+1 ≦ 122を満たす最大整数k = 17から、
a[7k]/a[7k+1]の最大値は、f(17)/4 = (7*17+1)/(122-7*17) = (120/3)/4 = 10

No.86852 - 2023/11/28(Tue) 13:40:53

☆ Re: / X

＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞りんごさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。
n=122
を代入するところを誤って、121を代入していました。

No.86854 - 2023/11/28(Tue) 17:44:38

★ ラッピング問題 / 浅野

1辺1mの包装紙を使って、プレゼント用の箱をラッピングする。

(1) 箱が直方体であるとき、この包装紙で完全に包める直方体の体積の最大値を求めなさい。ただし、包装紙ののりしろは考えなくてもよい。

(2) 箱の形を任意の立体とるとき、この包装紙で完全に包める立体の体積の最大値を求めなさい。

特に(2)が見当もつきません。

No.86833 - 2023/11/26(Sun) 20:28:52

☆ Re: ラッピング問題 / らすかる

自作問題ですか？
そうでない場合、１行目は元の問題文の通りですか？

No.86834 - 2023/11/27(Mon) 06:43:16

☆ Re: ラッピング問題 / 浅野

> 自作問題ですか？
> そうでない場合、１行目は元の問題文の通りですか？

自作問題です。

No.86904 - 2023/12/09(Sat) 14:00:13

★ ベクトルの問題です。 / ゆう

この写真の問題の（１）の解答解説にある４つの式の意味が分かりません。

(写真の上部が問題で、下部が解答解説です。)

よろしくお願いします。

No.86831 - 2023/11/26(Sun) 17:22:29

☆ Re: ベクトルの問題です。 / ポテトフライ

数式自体はわかるが、意味がわからない。というのにはとても納得ができる。(そもそも事実が使われてるように見えない)

事実を用いて証明するなら以下のような感じがよいと思う。

点Aを↑nの始点に、点Bを↑n上のAとは異なる点とする。このとき事実から点PがP=A、または∠BAP=90°をみたすならば、点P全体は平面となる。よって
↑n・↑AP=0
(これはP=AでもP≠Aでも成立)
これより
↑n・(↑OP-↑OA)=0
↑n・↑OP-↑n・↑OA=0
ここでPは平面上を動くので↑xとし、-↑n・↑OA=d(-↑n、↑OAは固定したので内積は一定値)と置けば、示すべきベクトル方程式となる。

No.86835 - 2023/11/27(Mon) 11:32:02

☆ Re: ベクトルの問題です。 / ゆう

こんばんは。

書いてくださった解答のお陰でこの問題の解答に必要な要素が分かりました。

ポテトフライさん丁寧な対応ありがとうございました。

No.86843 - 2023/11/27(Mon) 22:58:34

☆ Re: ベクトルの問題です。 / ast

# ベクトルは太字にします.
この解説だけだと不審な感じはします (そもそも「4つの式」を書く意味はおそらくまったく無いと感じる) が, これが本問だけがポツンとあるのではなくてたとえば「x と n の成す角を θ とすると x の n 方向への射影 |x|cos(θ)(n/|n|) は内積を使って = (n⋅x)n/|n|^2 と書ける」というようなことを学んでいる文脈に本問があったのだとすると, 結局言いたいことは一番下の図とその説明の内容であったのだと理解することはできるように思います.

つまり, 始点 O を固定して位置ベクトル x に対応する点 P(x) に対し, H_x((n⋅x)n/|n|^2) は x を O から n 方向へ向かう半直線 r へ射影した点なので, r 上の任意の点 B に対して ∠BH_xP=90° が成り立つ. いま A を O からの (向きも込めた符号付き) 距離が -d/|n| であるような r 上の点 A(-dn/|n|^2) とすると ∠BAP=90° を満たす点 P とは H_x=A となるような点 P(x) に他ならないので,
　(n⋅x)n/|n|^2 = -dn/|n|^2
　　⇔ (n⋅x)/|n| = -d/|n| ((同じ n-方向のベクトル同士なので) 大きさを比べた)
あるいは
　　⇔ n⋅x + d =0 (もっとも簡素な形で書いた)
が満たされる P(x) の全体は「事実」に基づいて平面を成すことになる.

No.86907 - 2023/12/09(Sat) 15:47:09

★ 確率です。 / アルファード

急いでいます。
誰か教えて下さい！

No.86829 - 2023/11/26(Sun) 11:18:50

☆ Re: 確率です。 / IT

(1)のヒントだけ

数字のカードだけを考えたとき、その並べ方は、全部で何通りありますか？

そのうち、条件を満たすのは、何通りか考えます。

kより大きな数字のカードの枚数は分かりますか？

kより左側に並べるカードの枚数毎に、条件を満たす並べ方の数を数えて合計します。

※分かりにくい場合は、k=1,2,3,4,5,6,7,8 それぞれについて順に調べて見ると良いかも知れません。

※(1)では、文字のカードについては、考えなくていいですね。

No.86830 - 2023/11/26(Sun) 12:08:28

☆ Re: 確率です。 / アルファード

もう少し詳しく教えてくれませんか？
よろしくお願いします！

No.86845 - 2023/11/27(Mon) 23:47:57

☆ Re: 確率です。 / IT

再々質問の方に解答案を書きました。
上記より、より簡明な考え方で計算しています。

No.86872 - 2023/12/02(Sat) 08:23:29

★ 記号？ / えっとう

どういう意味ですか？(下のやつ)

No.86825 - 2023/11/25(Sat) 15:22:27

☆ Re: 記号？ / えっとう

総乗？てΣで表せないのですか？

No.86826 - 2023/11/25(Sat) 15:30:05

☆ Re: 記号？ / Z

何のために、そうしたいのですか？　なぜ、そうできればいいとお考えですか？

逆に質問です、例えば、「×（掛け算）って＋（足し算）で表せないのですか？」という質問にはどう答えますか？

LOG（対数関数）や　指数関数は御存知ですか？

No.86827 - 2023/11/25(Sat) 23:44:10

☆ Re: 記号？ / えっとう

ぜひよかったらそれらについて教えていただけませんか

No.86836 - 2023/11/27(Mon) 17:50:15

☆ Re: 記号？ / Z

お教えするのは、私には無理のようです。
えっとうさんの目的と現状に合ったテキストを基に,数学を学習されることをお勧めします。
（どんなテキストが良いかは、私には分かりません。）

No.86838 - 2023/11/27(Mon) 19:56:21

☆ Re: 記号？ / らすかる

総乗の各項が正の実数ならばΣを使って表せます。
正の実数以外のものが含まれている場合は難しいと思います。
a_1～a_nが正の実数ならば
Π[k=1～n]a_k=exp(Σ[k=1～n]log(a_k))
です。

No.86841 - 2023/11/27(Mon) 21:22:09

★ 規則性 / えっとう

まずすべての実数n ∈N(自然数のこと)、I ∈i_1 , I ∈i_2 , I ∈i_3, I ∈i_4、でありこれらの文字はすべて自然数である。
N=1+1+1+1… (N個=I(すべてを示す)),,,?@
　=2+2+2+…(N/2個=i_1(偶数を示す)),,,?A
　=2＋2＋…1((N-1)/2 +1個=i_2(奇数を示す)),,,?B
?@は?Aまたは?Bで表せる。
また?Aの中でN=2^xであるものは
i_3個
?Aの中で N=2^ xでないものを
i_4個
このようにする。
{N_I }:1,2,3,4,5,6,…
{N_i_1}:2,4,6,8,…
{N_i_2}:1,3,5,7,9,…
{N_i_3 }:2,4,8,16,32…
{N_i_4}:6,10,18,20,22,24…
とする。
一般項はそれぞれ、
N_I =I
N_i_1=2i_1
N_i_2=2i_2-1
N_i_3=2^(i_3)
と表せられますが、
N_i_4はどのようにあらわせられますか？

No.86823 - 2023/11/25(Sat) 14:43:18

☆ Re: 規則性 / えっとう

2つ目
N_I の和(S_I)=Σ[κ=1,I]κ
N_i_1の和(S_i_1)=Σ[κ=1,i_1]2κ
N_i_2の和(S_i_2)= Σ[κ=1,i_2](2κ-1)
N_i_3の和(S_i_3)= Σ[κ=1,i_3]2^κ
N_i_4の和はどのように表せばいいのですか?

No.86824 - 2023/11/25(Sat) 15:02:24

☆ Re: 規則性 / らすかる

{N_i_4}:6,10,18,20,22,24…
と書かれていますが
{N_i_4}:6,10,12,14,18,20,22,24,…
ではないのですか？

あとこれは本質的なものではありませんが、
数式の記述方法は一般的に使われている書き方にした方がよいと思います。
a[n]は自然数の数列(昇順)
b[n]は正の偶数の数列(昇順)
c[n]は正の奇数の数列(昇順)
d[n]は2の自然数乗の数列(昇順)
a[n]=n
b[n]=2n
c[n]=2n-1
d[n]=2^n
など。（[n]としているのは掲示板上の都合で、本当は下付き文字のnです）
N_i_1と書くと、通常はN_IのIにi_1を代入したものという意味になりますので
N_I=IからN_i_1=i_1のようになってしまい、誤解の元です。

それから「I∈i_1, I∈i_2, I∈i_3, I∈i_4」も意味不明です。
∈は(集合の要素)∈(集合)のように使う記号であり、∈の右側に集合でないものを
書くと意味がわかりません。
というより、I,i_1,i_2などの意味が場所によって違う気がします。

No.86828 - 2023/11/26(Sun) 05:01:11

☆ Re: 規則性 / えっとう

すみません。いちようIとiたちは関連性があるもので最終的にこれらをIにまとめようと思っていたのでこのような書き方をしましたが、これだとそういう意味にはならないのですね。高校数学は独学で軽く勉強したぐらいなので訂正させてください。

まずすべてのN(自然数のこと)、これらの文字はすべて自然数である。
N=1+1+1+1… (N個=I(すべてを示す)),,,?@
　=2+2+2+…(N/2個=a(偶数を示す)),,,?A
　=2＋2＋…1((N-1)/2 +1個=b(奇数を示す)),,,?B
?@は?Aまたは?Bで表せる。
また?Aの中でN=2^xであるものは
c個
?Aの中で N=2^ xでないものを
d個
このようにする。
{N_I }:1,2,3,4,5,6,…
{N_b}:2,4,6,8,…
{N_a}:1,3,5,7,9,…
{N_c}:2,4,8,16,32…
{N_d}: 6,10,12,14,18,20,22,24,…
とする。
一般項はそれぞれ、
N_I =I
N_a =2a
N_b=2b_2-1
N_c=2^c
と表せられますが、
1:N_dはどのようにあらわせられますか？
2:n_dの積も教えてください。

No.86837 - 2023/11/27(Mon) 18:03:31

☆ Re: 規則性 / らすかる

書き方にだいぶ問題がありますので、書き直してから回答します。
# 例えばN_aとN_bは添え字が違うだけで「a」や「b」は意味を持たない仮変数と判断されます。
# よってN_a=2aならばN_b=2b, N_c=2cでなければおかしいです。
# 異なる数列を表すならば「N」の部分を変えないといけません。
N_kは自然数すなわちN_1=1, N_2=2, N_3=3, …, N_k=k, …
a_kは偶数すなわちa_1=2, a_2=4, a_3=6, …, a_k=2k, …
b_kは奇数すなわちb_1=1, b_2=3, b_3=5, …, b_k=2k-1, …
c_kは2の自然数乗すなわちc_1=2, c_2=4, c_3=8, …, c_k=2^k, …
そして
d_kはa_kからc_kに含まれる値を除いたもの
すなわちd_1=6, d_2=10, d_3=12, …
このときd_kは
d_k=2(k+1+[-W_{-1}(-(log2)/2^k)/log2-k])
と表されます。ただし[　]はガウス記号、W_{-1}(　)はランベルトのW関数の分岐-1です。
d_kのn項までの積も多分簡単な関数で表せないと思いますので、とりあえず
Π[k=1～n]d_k = (2^n)Π[k=1～n](k+1+[-W_{-1}(-(log2)/2^k)/log2-k])

No.86840 - 2023/11/27(Mon) 21:15:04