写真の問題が分かりません。 解き方を教えてほしいです。 よろしくお願いします。
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No.77487 - 2021/08/10(Tue) 13:55:26
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | 未定乗数法でやって欲しいのでしょうね。 (1) f(x,y)=x+2y …(1), x^2+y^2=4 …(2) g(x,y)=x+2y−λx^2+y^2) …(3) と置くと ∂g/∂x=1−2λx=0 より x=1/(2λ) …(5) ∂g/∂y=2−2λy=0 より y=1/λ …(6) (5)(6)を(2)に戻して,1/(4λ^2)+1/λ^2=4 …(7) (7)を解いて,λ=±√5/4 …(8) (8)を(5)(6)に戻し,x=±2/√5,y=±4/√5 …(9) (9)を(1)に戻し, ±2√5/5±8/√5=±10/√5=±2√5 よって,求める 極大値は 2√5,極小値は −2√5 …(10) 逆に,(2)より −2≦x,y≦2 だから,(10)は求める極値である。
※ 本問は,大学で学ぶ未定乗数法でやるよりも,高校数学でやる方が楽なのです。 x+2y=k と置くと x^2+y^2−4=(k−2y)^2+y^2−4=5y^2−4ky+k^2−4=0 上式で y は実数だから 判別式 D/4=(2k)^2−5(k^2−4)=20−k^2≧0 ∴ −2√5≦k≦2√5
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No.77515 - 2021/08/10(Tue) 22:10:02 |
| ☆ Re: / 関数電卓 | | | (2) f(x,y)=x^2+y^2 …<1>, x^3+y^3=1 …<2> g(x,y)=x^2+y^2−λ(x^3+y^3) …<3> と置くと ∂g/∂x=2x−3λx^2=x(2−3λx)=0 より x=0 …<3> または x=2/(3λ) …<4> ∂g/∂y=2y−3λy^2=y(2−3λy)=0 より y=0 …<5> または y=2/(3λ) …<6> <3> x=0 のとき<2>より y=1 <5> y=0 のとき<2>より x=1 (x,y)=(1,0),(0,1) のとき,<1>より f(x,y)=1 …<7> <4><6> x=y のとき,<2>より x=y=2^(−1/3) このとき f(x,y)=2・2^(−2/3)=2^(1/3) (>1) …<8> <2>より,x<0 が十分小さくなると y>0 は十分大きくなり,f(x,y) は十分大きくなる。 x>0 が十分大きくなると y<0 は十分小さくなり,f(x,y) は十分大きくなる。 以上より, f(1,0)=f(0,1)=1 が 極小値,f(2^(−1/3),2^(−1/3))=2^(1/3) が 極大値。
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No.77516 - 2021/08/10(Tue) 23:53:38 |
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