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★ もうひとつベクトルの問題を解いてください！ / Nao
添付のベクトルの問題の答えを教えてください。
先程と同様、解法は不要で、答えだけで結構です。
次の数列の講座を受講するためにこの2問を正答する必要があり、どなたかわかる方、よろしくお願いいたします。
No.77556 - 2021/08/12(Thu) 00:28:22
☆ Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください！ / ヨッシー
(1)

図のように座標平面上に、Ａ(1,0)、Ｂ(0,1) をとり、
問題文の通りにＭ，Ｎ，Ｐをとります。
このときのＰの座標が（[1/2], [3/4]) になります。
(2)

図のように、ＯＡ＝１，ＯＢ＝３、∠ＡＯＢ＝60°とすると、
条件を満たします。その上で、問題文の通りにＭ，Ｎ，Ｐをとり
ＯＰの長さを求め２乗したものが[56]/16 になります。
No.77559 - 2021/08/12(Thu) 07:25:18
☆ Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください！ / ヨッシー
訂正
ＯＰの長さを求める前に、ＯＰ2 が求まりますので、
それがそのまま答えとなります。
No.77560 - 2021/08/12(Thu) 07:57:52
☆ Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください！ / Nao
ヨッシーさま

(1)は正答でき、(2)は43/16だと求まったのですが、一の位が誤答のようで、まだ解けていません。。
何度計算し直しても43になるのですが、、もう少し考えてみます。
No.77570 - 2021/08/12(Thu) 22:42:10
☆ Re: もうひとつベクトルの問題を解いてください！ / Nao
(2)も解けました！
ありがとうございました！！
No.77574 - 2021/08/12(Thu) 23:36:55
★ ベクトルの問題を教えてください！ / Nao
添付のベクトルの問題の答えを教えてください。
途中式などの解法は省略いただいて結構です。
ベクトルは未習のため、さっぱりわからないのですが、教材のシステム上、この問題を正答しないと次進めない仕組みになっていることから、答えだけで結構ですので、どなたか解いていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします！
No.77555 - 2021/08/12(Thu) 00:21:44
☆ Re: ベクトルの問題を教えてください！ / ヨッシー
以下、太字はベクトルを表します。
|ａ−ｂ| は、線分ＡＢの長さを表します。
その２乗が［１］です。

［２］
△ＯＡＢにおいて、
　ａ・ｂ＝ＯＡ・ＯＢ
　　＝(ＯＡ^2＋ＯＢ^2−ＡＢ^2)／２
で求められます。

［３］［４］も同様です。
No.77558 - 2021/08/12(Thu) 06:45:27
☆ Re: ベクトルの問題を教えてください！ / Nao
ヨッシーさま

解けました！
ありがとうございました！
No.77566 - 2021/08/12(Thu) 22:37:43
★ 高校化学 / シンカ
難易度は標準で、どう解いたのかと答えを書いていただけると幸いです。一応、答えはちゃんと書いてあります。
No.77554 - 2021/08/11(Wed) 23:54:02
☆ Re: 高校化学 / X
大気から水1.0[l]に溶けるC02の物質量を
x[mol]とすると、ヘンリーの法則により
x:0.033=(0.040/100)・1.0×10^5:1.0×10^5
∴x≒1.3×10^(-5)[mol]
となるので求める物質量は
2x≒2.6×10^(-5)[mol]
No.77561 - 2021/08/12(Thu) 08:17:15
☆ Re: 高校化学 / シンカ
どのように、co2の分圧を求めたのか知りたいです。答えは合っています。
No.77565 - 2021/08/12(Thu) 21:50:27
☆ Re: 高校化学 / X
問題文中の
大気はCO2を体積で0.040%含む
とは大気の体積がVのとき、
大気中の各元素を同温、同圧で、
Vの中のある体積だけ局在させた
という仮定の下での話です。
このことと気体の状態方程式から

大気の物質量に対するCO2の物質量比(つまりモル比)は0.040% (A)

となることが分かります。
ここまではよろしいですか？

さてここで視点を、
体積Vの大気中で各元素が遍満(局在ではなくて)している
という一般の場合に戻すと、CO2を含む大気中の各元素の
体積は全てVになりますので、気体の状態方程式と(A)から
大気圧に対するCO2の分圧比は0.040%
となります。よってCO2の分圧は
(0.040/100)・1.0×10^5[Pa]
となります。
No.77571 - 2021/08/12(Thu) 22:51:55
★ 不定方程式の解き方を教えて下さい / 歯科大進学希望者
「5X＋7Y＝1

この方程式の解となる整数X、Yの組の中で、Yの値が最小のものは何か？ちなみに、この時のXの値は負である。」

この問題では、ユークリッドの互除法を使うのではなく、勘であてはまる数を探せば良いのでしょうか？

あなたが最も良いと考える解法を教えて下さい。
No.77549 - 2021/08/11(Wed) 23:19:09
☆ Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / 歯科大進学希望者
問題文の訂正をします。

「Yの値が最小のものは何か？」とありますが、正しくは「Yの値が正で最小のものは何か？」です。
No.77550 - 2021/08/11(Wed) 23:21:52
☆ Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / らすかる
私ならこう解きます。
7×1-1は5の倍数ではない
7×2-1は5の倍数ではない
7×3-1は5の倍数
よってY=3
No.77551 - 2021/08/11(Wed) 23:28:41
☆ Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / ヨッシー
7Y の１の位が１か６になれば、X を適当に決めることにより
　5X＋7Y＝1
に出来ます。
いきなり最小値Ｙ＝３（Ｘ＝−４）を見つければ、それはそれで良いですが、
もし　Ｙ＝８（Ｘ＝-11)としてしまった場合、Ｙを５減らして
Ｘを７増やせば、値は１のままなので、Ｙ＝３、Ｘ＝−４ に
持って行くことが出来ます。
No.77552 - 2021/08/11(Wed) 23:29:07
☆ Re: 不定方程式の解き方を教えて下さい / 歯科大進学希望者
らすかるさんとヨッシーさん、

わかりやすい説明をありがとう。
No.77557 - 2021/08/12(Thu) 05:11:41
★ 等比×等差型の数列の和 / jasmine
S=Σ[k=1,n]{k･2^(k-1)}を求めよという問題で、公比をかけて引くやり方(S-2S)ではなく下のような解き方を見ました。1行目から2行目でkを2(k-1)-(k-2)と変形して解いていますが、どういった発想なのでしょうか？そこの考え方を教えてください
S=Σ[k=1,n]{k･2^(k-1)}
=Σ[k=1,n]{{2(k-1)-(k-2)}･2^(k-1)}
=Σ[k=1,n]{(k-1)･2^k-(k-2)･2^(k-1)}
=(n-1)2^n+1

No.77546 - 2021/08/11(Wed) 19:55:41
☆ Re: 等比×等差型の数列の和 / X
結論からさかのぼって考えています。
つまり
k・2^(k-1)=a[k+1]-a[k] (A)
なる{a[n]}が存在すると仮定すると
階差を考えることになるので
S=a[n]-a[1]
と求めることができる。

そこで(A)の左辺の形から
a[n]=(n-c)・2^(n-1) (B)
(cは定数)
なる形にならないか？と考えます。

(A)(B)から
k・2^(k-1)=(k+1-c)・2^k-(k-c)・2^(k-1)
={2(k+1-c)-(k-c)}・2^(k-1)
=(k+2-c)・2^(k-1)
∴2-c=0
つまり
c=2
とすれば、(A)を満たす(B)のようなa[n]を
作ることができる、といった流れです。
No.77547 - 2021/08/11(Wed) 21:08:29
☆ Re: 等比×等差型の数列の和 / jasmine
理解できました。ありがとうございます！
No.77548 - 2021/08/11(Wed) 21:57:53
★ 塁乗数の余り / 高校三年生
『ある自然数 n に対して、
　　
　3^m≡1 (mod 10^n)

　を満たすような自然数 m は存在するか？』

夏休みの宿題第３弾です。
フェルマーの小定理っぽいのですが、よく分からないです。
解法をご教示ください。m(_ _)m
No.77529 - 2021/08/11(Wed) 13:08:51
☆ Re: 塁乗数の余り / X
3^mの1の位をa[m]とすると、kを自然数として
a[m]=1(m=4kのとき)
a[m]=3(m=4k-3のとき)
a[m]=9(m=4k-2のとき)
a[m]=7(m=4k-1のとき)
∴m=4kのとき
3^m≡1(mod 10^1)
なので命題は成立します。
No.77532 - 2021/08/11(Wed) 13:23:36
☆ Re: 塁乗数の余り / 高校三年生
X さん、返信ありがとうございます。

なるほど。n=1の場合はそうなるのですね。
ちなみに、「ある自然数」の解釈ですが、
受験数学では、「任意の自然数」と同義で用いられることは無いのでしょうか？

「ある（特定の）自然数」
「ある（任意の）自然数」
「すべての自然数」

ここら辺の表現の認識があいまいです。
量子記号の導入が必要かも・・・。
No.77534 - 2021/08/11(Wed) 13:40:59
☆ Re: 塁乗数の余り / ast
ずっと気になってた (この方は過去質問でもいつも一貫して塁乗って書かれてる) んですが,
×塁 (土盛り, (野球の) ベース)
○累 (かさねる, 反復する)
で, (この場合の「乗」は掛け算という意味なので) 「累乗」という熟語の構成で「繰り返し掛ける, 重ね掛け」という意味になります.
No.77535 - 2021/08/11(Wed) 13:46:25
☆ Re: 塁乗数の余り / 高校三年生
すいません。漢字変換で気付きませんでした。m(_ _)m
手書きの時は、「累」を使います。あしからず。
No.77542 - 2021/08/11(Wed) 16:06:35
☆ Re: 塁乗数の余り / IT
たしかに、その問題の表現は、あいまいな気がします。

出題者の意図は、各自然数ｎ毎に判定せよ。ということかな、
言い換えれば
どのような自然数ｎのときに3^m≡1 (mod 10^n)

　を満たすような自然数 m は存在するか？』　ということではないでしょうか。
No.77543 - 2021/08/11(Wed) 16:17:10
☆ Re: 塁乗数の余り / 高校三年生
IT さん、返信ありがとうございます。

なるほど。もし、「任意の自然数」という意味なら、
「その値にかかわらず、どんな n でも」ってことですね。
No.77544 - 2021/08/11(Wed) 16:51:15
★ 整式 / ホホ
ωを入れてみたのですが上手くいきません
No.77523 - 2021/08/11(Wed) 10:58:01
☆ Re: 整式 / ヨッシー
　３ｘ^(3n+2)＝Q(x)(x^2+x+1)＋ａｘ＋ｂ
と置けたとします。ｘ＝ω を代入すると、
　３ω^(3n+2)＝ａω＋ｂ
ω^3＝１ より
　３ω^2＝ａω＋ｂ
　ω^2＝(a/3)ω＋(b/3)
ω^2＋ω＋１＝０　に代入して
　(a/3＋１)ω＋(b/3＋１)＝０
よって、ａ＝ｂ＝−３

どうしても、答えを得たいときは、答えがｎに関係ないことを利用して、
　３ｘ^5÷(x^2+x+1)
とか、いっそ
　３ｘ^2÷(x^2+x+1)
を実際にやってみるという力業もあります。
No.77526 - 2021/08/11(Wed) 11:44:34
☆ Re: 整式 / ホホ
ありがとうございます！
No.77527 - 2021/08/11(Wed) 11:47:45
★ ? / kk
正の有理数rに対してr+1とr/(r+1)を"有理数rの子ども"と呼ぶことにする。このとき、1以外のどのような正の有理数も1の子孫として、ただ一度現れることを示せ。

すみません。よろしくお願いします。
No.77519 - 2021/08/11(Wed) 07:27:54
☆ Re: ? / IT
元の kaiさんの方に回答しました。
黄桃さんの回答もついていますよ。
No.77540 - 2021/08/11(Wed) 15:34:00
★ ポンプと水槽の問題 / 唐揚げドンキー
市民プールには水を入れるのに　a,b 二本の管がある。a管だけ水を入れると、b管だけの場合よりも5時間早くプールを一杯にすることができ、二本の管を同時に使うと6時間で一杯になる。a管だけを使って満水にするには何時間かかるか求めよ。

出題ジャンルとしては、高1「二次関数」なので、中学受験的な解き方にならないようにして下さるとありがたいです。よろしくお願いします。
No.77513 - 2021/08/10(Tue) 20:06:45
☆ Re: ポンプと水槽の問題 / X
プールの容積をy,a,b間の1時間当たりの流量を
それぞれA,Bとすると条件から
y=6(A+B) (A)
y/A+5=y/B (B)
(A)(B)をA,Bについての連立方程式として解きます。
(A)より
A+B=y/6 (A)'
一方(B)より
By+5AB=Ay (B)'
(A)'を用いて(B)'からBを消去すると
(y/6-A)y+5A(y/6-A)=Ay
これより
5A^2+7yA/6-(1/6)y^2=0
30A^2+7yA-y^2=0
(10A-y)(3A+y)=0
条件からA＞0,y＞0ゆえ
10A=y
∴y/A=10なので
a管だけだと10時間かかります。
No.77514 - 2021/08/10(Tue) 20:30:53
★ 図形と方程式 / ほびほび
点Pにおける接線がX軸に垂直ではないというのは図を書いて判断するしかないのでしょうか？
No.77509 - 2021/08/10(Tue) 18:38:23
☆ Re: 図形と方程式 / ヨッシー
頭の中で、あるいは欄外で、と言うなら、そういうことになるでしょうね。
ｘ軸に垂直な接線は左右２つしかないので、それに該当するか
どうかを見れば、判断できます。
この問題の場合は、（６，２）と（−４，２）を接点とする接線が
ｘ軸に垂直になります。
No.77511 - 2021/08/10(Tue) 18:52:22
☆ Re: 図形と方程式 / 関数電卓
その上の [2] に
> 直線 CP の傾きは 4/3
とあります。
接線は半径と垂直ですから，ここから接線の傾きは −3/4。
ですから図を描かなくても，
> P における接線は x 軸に垂直でない
ことは分かります。ですが，図を描いて 視覚的に確認 することは理解を深めます。
問題がもっと複雑になったときのため，図を描く習慣をつけることをおすすめします。
No.77512 - 2021/08/10(Tue) 18:57:53
☆ Re: 図形と方程式 / ほびほび
なるほど、図が大事なのですね！お二人ともご丁寧にありがとうございました。
No.77520 - 2021/08/11(Wed) 08:33:27
★ 漸化式 / 高校数学
すみません。さっき思いっきり間違えて質問しました。
b(n+1)=5bn＋3・5^n
の解き方を教えてほしいです。
よろしくお願いします。
No.77497 - 2021/08/10(Tue) 16:05:27
☆ Re: 漸化式 / X
問題の漸化式の両辺を5^(n+1)で割った上で
b[n]/5^n=a[n]
と置くと
a[n+1]=a[n]+3/5
∴{a[n]}は公差3/5の等差数列ですので
a[n]=a[1]+(3/5)(n-1)
a[n]を元に戻して
b[n]/5^n=b[1]/5+(3/5)(n-1)
∴b[n]=(3n-3+b[1])・5^(n-1)
No.77500 - 2021/08/10(Tue) 16:12:48
☆ Re: 漸化式 / 高校数学
分かりやすい解説をありがとうございます。
No.77503 - 2021/08/10(Tue) 16:28:51
★ 高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / 徹夜ターボー
x^2＋2y^2=2と接して点（x.y)=(1.2)を通る直線を求めよ。

上の様な楕円の接線を求める問題の時、接点が不明だから求める接線をy=m(x-1)+2とおいて、傾きmを求める方針で解いてみたのですが、途中で判別式の重解の条件を考えると4次方程式が出てきて凄く面倒くさいです。計算が解答と合いません。考え方が間違えているのか、それとも途中計算においてうまい処理の仕方があるか分からない状態です。計算の途中経過を詳しく教えて下さい。お願いします。
答えは二本の接線が出てきてy=(-2+√7)(x-1)+2,y=(-2-√7)(x-2)+2となるようです。
No.77494 - 2021/08/10(Tue) 15:18:46
☆ Re: 高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / 徹夜ターボー
y=(-2-√7)(x-1)+2の間違いでした。
No.77495 - 2021/08/10(Tue) 15:20:53
☆ Re: 高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / ヨッシー
一瞬４次になりますが、相殺されて２次になります。

ｙ＝ｍ(ｘ−１)＋２ とおいて、ｘ^2＋２ｙ^2＝２ に代入して
　ｘ^2＋２{ｍ(ｘ−１)＋２}^2＝２
展開して
　ｘ^2＋２{ｍ^2(ｘ−１)^2＋４ｍ(ｘ−１)＋４}＝２
　ｘ^2＋２{ｍ^2(ｘ^2−２ｘ＋１)＋４ｍｘ−４ｍ＋４}＝２
　ｘ^2＋２{ｍ^2ｘ^2−２ｍ^2ｘ＋ｍ^2＋４ｍｘ−４ｍ＋４}＝２
　(２ｍ^2＋１)ｘ^2＋２(４ｍ−２ｍ^2)ｘ＋２ｍ^2−８ｍ＋６＝０
判別式を取って
　D/4＝(４ｍ−２ｍ^2)^2−(２ｍ^2＋１)(２ｍ^2−８ｍ＋６)
　　＝４ｍ^4−１６ｍ^3＋１６ｍ^2−４ｍ^4＋１６ｍ^3−１４ｍ^2＋８ｍ−６
　　＝２ｍ^2＋８ｍ−６＝０
ｍ^2＋４ｍ−３＝０　を解いて
　ｍ＝−２±√７
(以下略)
No.77499 - 2021/08/10(Tue) 16:07:06
☆ Re: 高校の基礎問題で、楕円の接線を求める問題 / 徹夜ターボー
丁寧な返信ありがとうございます。勉強頑張ります。
No.77506 - 2021/08/10(Tue) 17:18:06
★ 数列　漸化式 / 高校数学
b(n+1)=5bn=3・5^n
の解き方を教えてください。
No.77492 - 2021/08/10(Tue) 15:16:32
☆ Re: 数列　漸化式 / らすかる
5b[n]=3・5^nならば
b[n]=3・5^(n-1)です。
またこれはb[n+1]=3・5^nも満たしますので、
一般項はb[n]=3・5^(n-1)です。
No.77496 - 2021/08/10(Tue) 15:23:26
☆ Re: 数列　漸化式 / 高校数学
返信ありがとうございます。
大変申し訳ないのですが、式の=と＋を間違えており、正しい式でもう一度スレッドを作り直したので、そちらも教えていただけるとありがたいです。
No.77498 - 2021/08/10(Tue) 16:06:42
★ 極限 / 大学一年
写真の問題を教えてください。
高校数学の時と同じように分子のルートを外して計算していいんでしょうか？
No.77490 - 2021/08/10(Tue) 14:32:31
☆ Re: 極限 / X
分子を有理化します。
(与式)=lim[x→0]{(1+x^4)-(1-x^4)}/{(x^2){√(1+x^4)+√(1-x^4)}}
=lim[x→0](2x^2)/{√(1+x^4)+√(1-x^4)}
=0
No.77502 - 2021/08/10(Tue) 16:22:07
☆ Re: 極限 / 大学一年
ありがとうございます。
No.77504 - 2021/08/10(Tue) 16:29:41
★ (No Subject) / 大学一年
写真の問題が分かりません。
解き方を教えてほしいです。
よろしくお願いします。
No.77487 - 2021/08/10(Tue) 13:55:26
☆ Re: / 関数電卓
未定乗数法でやって欲しいのでしょうね。
(1)
f(x,y)＝x＋2y …(1), x^2＋y^2＝4 …(2)
　g(x,y)＝x＋2y−λx^2＋y^2) …(3)
と置くと
　∂g/∂x＝1−2λx＝0 より x＝1/(2λ) …(5)
　∂g/∂y＝2−2λy＝0 より y＝1/λ …(6)
(5)(6)を(2)に戻して，1/(4λ^2)＋1/λ^2＝4 …(7)
(7)を解いて，λ＝±√5/4 …(8)
(8)を(5)(6)に戻し，x＝±2/√5，y＝±4/√5 …(9)
(9)を(1)に戻し，
　±2√5/5±8/√5＝±10/√5＝±2√5
よって，求める 極大値は 2√5，極小値は −2√5 …(10)
逆に，(2)より −2≦x,y≦2 だから，(10)は求める極値である。

※ 本問は，大学で学ぶ未定乗数法でやるよりも，高校数学でやる方が楽なのです。
　x＋2y＝k と置くと
　x^2＋y^2−4＝(k−2y)^2＋y^2−4＝5y^2−4ky＋k^2−4＝0
上式で y は実数だから
　判別式 D/4＝(2k)^2−5(k^2−4)＝20−k^2≧0　∴ −2√5≦k≦2√5
No.77515 - 2021/08/10(Tue) 22:10:02
☆ Re: / 関数電卓
(2)
　f(x,y)＝x^2＋y^2 …<1>, x^3＋y^3＝1 …<2>
　g(x,y)＝x^2＋y^2−λ(x^3＋y^3) …<3>
と置くと
　∂g/∂x＝2x−3λx^2＝x(2−3λx)＝0 より x＝0 …<3> または x＝2/(3λ) …<4>
　∂g/∂y＝2y−3λy^2＝y(2−3λy)＝0 より y＝0 …<5> または y＝2/(3λ) …<6>
<3> x＝0 のとき<2>より y＝1
<5> y＝0 のとき<2>より x＝1
(x,y)＝(1,0),(0,1) のとき，<1>より f(x,y)＝1 …<7>
<4><6> x＝y のとき，<2>より x＝y＝2^(−1/3)
このとき f(x,y)＝2･2^(−2/3)＝2^(1/3) (＞1) …<8>
<2>より，x＜0 が十分小さくなると y＞0 は十分大きくなり，f(x,y) は十分大きくなる。
x＞0 が十分大きくなると y＜0 は十分小さくなり，f(x,y) は十分大きくなる。
以上より，
　f(1,0)＝f(0,1)＝1 が 極小値，f(2^(−1/3),2^(−1/3))＝2^(1/3) が 極大値。
No.77516 - 2021/08/10(Tue) 23:53:38
★ (No Subject) / ペシミズム
3つの素数a,b,cがありab-1,bc-1は平方数でca-1は素数の6乗である。a,b,cを求めよ

分かりません。お願いします
No.77485 - 2021/08/10(Tue) 13:50:46
☆ Re: / ヨッシー
(a,b,c)＝(5,2,13), (13,2,5)
がとりあえず見つかりました。
No.77489 - 2021/08/10(Tue) 14:25:22
☆ Re: / ペシミズム
りございます。考えてみます。
No.77493 - 2021/08/10(Tue) 15:18:11
☆ Re: / らすかる
ca-1=p^6
ca=p^6+1=(p^2+1)(p^4-p^2+1)
もしpが奇素数だとするとp^2+1は偶数になり
caが素因数を3つ以上持つことになり不適。
（∵2＜(p^2+1)/2＜p^4-p^2+1）
よってca-1=2^6なのでca=65。
aとcは素数なので(a,c)=(5,13),(13,5)
あとは5b-1と13b-1が両方とも平方数になるような素数bを見つければよい。
n^2≡0,1,4,9 (mod16)
5b-1≡0,1,4,9 (mod16)となるbはb≡1,2,10,13 (mod16)
13b-1≡0,1,4,9 (mod16)となるbはb≡2,5,9,10 (mod16)
従って5b-1と13b-1が両方とも平方数になるbはb≡2,10 (mod16)であり
bは素数なのでb=2となり、これは条件を満たす。
従って条件を満たす解は(a,b,c)=(5,2,13),(13,2,5)の2組。
No.77508 - 2021/08/10(Tue) 17:37:03
★ シグマ計算 / いちまる
1+(1+2)+(1+2+3)+…＋(1+2+3+…＋n)=
という問題なのですが、解答は下のようになっています。
No.77469 - 2021/08/10(Tue) 11:22:58
☆ シグマ計算 / いちまる
なぜ下の公式を使うのでしょうか？
No.77471 - 2021/08/10(Tue) 11:24:49
☆ シグマ計算 / いちまる
とんちんかんな質問になってしまってすみません。
No.77472 - 2021/08/10(Tue) 11:26:13
☆ Re: シグマ計算 / ヨッシー
　1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, ・・・
すべてこの公式で計算できるからです。
No.77473 - 2021/08/10(Tue) 11:30:34
☆ シグマ計算 / いちまる
ちなみにその(3)の問題とは、1・2＋2・3+3・4+…＋n(n+1)=
という問題で、解答が下となっています。
No.77477 - 2021/08/10(Tue) 11:48:43
☆ Re: シグマ計算 / いちまる
ヨッシーさん
シグマというのは、その項を表しているのか、そのｎ番目までの合計を表しているのかごっちゃになってしまいまして…
No.77478 - 2021/08/10(Tue) 11:51:38
☆ Re: シグマ計算 / ヨッシー
Σはあくまでも、(この場合)ｋで示された範囲の項の合計です。
上の式をΣで色んなふうに書くとこうなります。


No.77480 - 2021/08/10(Tue) 12:41:12
☆ Re: シグマ計算 / いちまる
なるほど
どうやってシグマの式を組み立てたらよいかがなかなかわからなくて…
数列の式を見たときに単純に足せばいいんじゃないかとか思ってしまうんですよね
No.77501 - 2021/08/10(Tue) 16:19:42
☆ Re: シグマ計算 / いちまる
1＋2＋3＋4＋5…の数列をシグマで計算する問題と、
1+(1+2)+(1+2+3)+…＋(1+2+3+…＋n)=　の問題との違いがあまりわからにです。
カッコつきの方は群数列なのでしょうか？
理解力がなくてすみません
No.77505 - 2021/08/10(Tue) 16:44:00
☆ Re: シグマ計算 / ヨッシー
>1＋2＋3＋4＋5…の数列をシグマで計算
について、
1＋2＋3＋4＋5＋…＋ｎを「１からｎまでのシグマ」と言うことにすると、
>1+(1+2)+(1+2+3)+…＋(1+2+3+…＋n)
は
「１から１までのシグマ」「１から２までのシグマ」「１から３までのシグマ」・・・「１からｎまでのシグマ」
を足したものです。
シグマの範囲が変化しながら足されていきます。
No.77507 - 2021/08/10(Tue) 17:22:29
★ (No Subject) / 大学一年
fxy(0, 0)≠ fyx(0, 0)であればC^1級関数でない　とある問題に書いてあったのですが、なぜfxy(0, 0)≠ fyx(0, 0)であればC^1級関数でないのか分かりません。
わかる方教えてください。よろしくお願いします。
No.77468 - 2021/08/10(Tue) 11:21:35
☆ Re: / 大学一年
この問題です。
No.77476 - 2021/08/10(Tue) 11:46:24
☆ Re: / ast
単に "C^2-級" の誤植だと思うけど.
No.77484 - 2021/08/10(Tue) 13:49:45
☆ Re: / 大学一年
なるほど。ありがとうございます。
No.77486 - 2021/08/10(Tue) 13:53:21
★ ? / kai
正の有理数に対してr+1とr/(r+1)を"有理数rの子ども"と呼ぶことにする。このとき、1以外のどのような正の有理数も1の子孫として、ただ一度現れることを示せ。


実験して何となくわかったんですが、論証が全く分かりません。教えてください。
No.77466 - 2021/08/10(Tue) 10:15:36
☆ Re: ? / 黄桃
これではわからないかもしれませんが、きちんと書くのは大変なので、ポイントだけにします。
連分数展開で検索してわかることは既知とします（https://manabitimes.jp/math/919　などを参考にしてください）。

(a) r+1 型の子供を繰り返すと、同じrに対して、r+n=n+r (nは1以上の整数）ができます。
(b) r/(r+1)型の子供を繰り返すと、同じrに対して r/(nr+1)=1/(n+1/r)　(nは1以上の整数)ができます。
(c) 1から始めて(a)を繰り返すと、2以上の整数ができます。
(d) 1から始めて(b)を繰り返すと、1/(n+1) (nは1以上の整数)の単位分数ができます。
以上から、この操作を行うことと、1以外の正の有理数の（正則）連分数展開とが1対1に対応します。
（連分数展開との対応例
　5 なら、(c)でできます。
0+1/3 なら、(d)でできます。
　5+1/2 なら、(d),(a)の組み合わせでできます(1/2を作り、r=1/2に(a)を適用)。
　3+1/(2+1/4) なら、(c),(b),(a)の組み合わせでできます(4を作り、1/(2+1/4)を作り、3+1/(2+1/4)を作る)。
0+1/(2+1/(4+1/5)) なら、(d),(b),(b)でできます。
1という連分数展開だけは表せませんが、1は1の子孫にならない、ということです）

有理数 p/q に対して、(正則)連分数展開の方法は一意的（p,qの互除法に対応）だから、 1以外のすべての正の有理数は1の子孫としてただ1度だけ現れることがわかります。
No.77521 - 2021/08/11(Wed) 08:35:50
☆ Re: ? / IT
（証明の前半部）
1以外のどのような正の有理数も1の子孫として、現れること。

a,bは正整数とする。
　正の有理数r=a/b の子供は　s=r+1=(a+b)/bと,t=r/(r+1)=a/(a+b)
　rからsを求める操作をS,rからtを求める操作をTとする。

正の有理数c/dについて

操作X：正整数の組(c,d)から下記の規則で正整数の組(a,b)を定める。
c/d=1 すなわちc=d のとき　停止。（a,b)=(c,d)
c/d>1すなわち　c>d のとき　a=c-d,b=d とおく。（操作S' とする）
　このとき、(a/b)+1=(a+b)/b=c/d なので　a/b に操作Sを行うとc/dになる。
c/d<1すなわち　c<d のとき a=c,b=d-c とおく。（操作T'とする）
　このときa/(a+b)=c/d なので　a/b に操作Tを行うとc/dになる。

c/d≠1 すなわちc≠d のとき
　操作Xを行うと分子、分母ともに正で、そのうち一方は変わらず一方は減少する。
したがって操作Xを繰り返すと、いつかは(n,n)となり停止する。（操作Xは、いわゆる「親」を決めています）

このとき出現したS',T'に対応してS、Tをおき(n,n)から逆向きに操作すると(c,d)にたどり着く。

すなわち､1以外のどのような正の有理数c/dも1の子孫として、現れる。

＃既約分数表現とした方がスッキリするかもしれません。
No.77538 - 2021/08/11(Wed) 14:27:30
☆ Re: ? / IT
（後半）
ただ一度現れることの証明

１以外の有理数rが２度現れたと仮定する。

途中の経路も含めてr[1],r[2] とする。
r[1]とr[2]の経路上では１以外に互いに等しい値の先祖はないものとする。
そのような先祖があれば、それをr[1],r[2] とすれば良い。

このときr[1]の値=r[2]の値であるが、
r/(r+1)<1<r+1 であり、r/(r+1)、r+1 は単射なので
r[1]の親の値とr[2]の親の値は等しい。
これは仮定に反する。

　
No.77539 - 2021/08/11(Wed) 15:32:15
★ 数列 / りほ
この問題が分かりません。どなたか教えていただけないでしょうか。
No.77464 - 2021/08/10(Tue) 10:00:19
☆ Re: 数列 / りほ
大問の6の(2)です。
ちなみに私の解答がこれです。答えはxn={2^(n+2)+(-1)^(n-1)}/3になります。
どこが間違っているのでしょうか…
No.77465 - 2021/08/10(Tue) 10:02:57
☆ Re: 数列 / ヨッシー
>答えはxn={2^(n+2)+(-1)^(n-1)}/3になります。
の方が間違っているのでは？

n=1,2,3 いくつか入れてみればわかります。
No.77467 - 2021/08/10(Tue) 10:43:16
☆ Re: 数列 / りほ
あっ、もしかしてこれ-1の累乗の手前の符号を+にするためにn-1にしてるんですかね？！
どっちも同じことを言っている気がしてきました…！
No.77474 - 2021/08/10(Tue) 11:36:46
☆ Re: 数列 / ヨッシー
あ、そうですね。同じですね。
−１ の指数をよく見てませんでした。
No.77479 - 2021/08/10(Tue) 12:22:38
☆ Re: 数列 / りほ
ありがとうございました、お騒がせ致しましたm(_ _)m
No.77481 - 2021/08/10(Tue) 12:49:30
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