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★ (No Subject) / ゆき
nＣ₀＋nＣ₁＋nＣ₂＋…＋nＣn-₁＋nＣn

＝nＣ₀・1ⁿ・1⁰＋nＣ₁・1ⁿ⁻¹・1¹＋nＣ₂・1ⁿ⁻²・1²＋…
　＋nＣn-₁・1¹・1ⁿ⁻¹＋nＣn・1⁰・1ⁿ
＝(1＋1）ⁿ＝2ⁿ

という問題なのですが、
nＣ₀・1ⁿ・1⁰とnＣn・1⁰・1ⁿは1⁰によって１になるのはようやく理解出来ました。しかし、それ以外の計算の部分の方法がわからず、どうすれば、（1+1)ⁿになるのかがやっぱり分からないです。よろしく。お願いします。
No.76679 - 2021/07/14(Wed) 22:42:32
☆ Re: / けんけんぱ
（1+1)ⁿ
これを二項定理で展開した式がわからないということですか？
No.76680 - 2021/07/14(Wed) 22:49:23
☆ Re: / ゆき
うーんと私説明が下手というかわかってないのでちょっとあれなんですが……
Ｃ₀＋nＣ₁＋nＣ₂＋…＋nＣn-₁＋nＣn

＝nＣ₀・1ⁿ・1⁰＋nＣ₁・1ⁿ⁻¹・1¹＋nＣ₂・1ⁿ⁻²・1²＋…
　＋nＣn-₁・1¹・1ⁿ⁻¹＋nＣn・1⁰・1ⁿ
＝(1＋1）ⁿ＝2ⁿ
この式で最後なぜ（1＋1）ⁿ＝2になるのかがわからないのでこの式の一つ一つを説明していただけたら嬉しいです。
No.76686 - 2021/07/15(Thu) 14:46:13
☆ Re: / ヨッシー
まず、二項定理
　(ｘ＋ｙ)^n＝nＣ0ｘ0ｙn＋nＣ1ｘ1ｙn-1＋・・・＋nＣkｘkｙn-k＋・・・＋nＣnｘnｙ0
が理解できているかどうかです。

理解できている→上の式にｘ＝１，ｙ＝１ を代入してみましょう。
理解できていない→この問題に取り組むのは早すぎます。
No.76687 - 2021/07/15(Thu) 14:56:49
☆ Re: / IT
> うーんと私説明が下手というかわかってないのでちょっと
> ＝nＣ₀・1ⁿ・1⁰＋nＣ₁・1ⁿ⁻¹・1¹＋nＣ₂・1ⁿ⁻²・1²＋…
> 　＋nＣn-₁・1¹・1ⁿ⁻¹＋nＣn・1⁰・1ⁿ
> ＝(1＋1）ⁿ＝2ⁿ
> この式で最後なぜ（1＋1）ⁿ＝2になるのかがわからないので

分からないのは、その前の＝(1＋1）ⁿ　ではないですか？
前にも回答しましたが、下から上へ考える方が分かり易いと思います。
（いろいろなサイトで同じ質問をされているようですが、どこか１か所でしっかり質疑応答・再質問された方が良いと思います。）
No.76688 - 2021/07/15(Thu) 18:18:04
☆ Re: / ゆき
> > うーんと私説明が下手というかわかってないのでちょっと
> > ＝nＣ₀・1ⁿ・1⁰＋nＣ₁・1ⁿ⁻¹・1¹＋nＣ₂・1ⁿ⁻²・1²＋…
> > 　＋nＣn-₁・1¹・1ⁿ⁻¹＋nＣn・1⁰・1ⁿ
> > ＝(1＋1）ⁿ＝2ⁿ
> > この式で最後なぜ（1＋1）ⁿ＝2になるのかがわからないので
>
> 分からないのは、その前の＝(1＋1）ⁿ　ではないですか？
> 前にも回答しましたが、下から上へ考える方が分かり易いと思います。
> （いろいろなサイトで同じ質問をされているようですが、どこか１か所でしっかり質疑応答・再質問された方が良いと思います。）

分かりました。ありがとうございます。
No.76690 - 2021/07/15(Thu) 18:45:07
★ 三角関数の最大 / あり
(sinx+2siny)/(cosx+2cosy+5) の最大値を求めよという問題で、「問題の点の可動範囲は、(5, 0) を中心とする半径 1 の円と半径 3 の円とに挟まれたドーナツ状の範囲になる。その範囲の中で原点と結んだ直線の傾きが最大になるのは、外側の半径 3 の円の外側と接する点(y座標が正の方)になる。」らしいのですが何故そうなるのかが分かりません。ご教授頂けると有難いです。
No.76677 - 2021/07/14(Wed) 21:12:20
☆ Re: 三角関数の最大 / X
＞＞問題の点の可動範囲
を
X=cosx+2cosy+5 (A)
Y=sinx+2siny (B)
と置いたときの点(X,Y)の可動範囲
という意味だと解釈して回答を。

(A)(B)のようにX,Yを置き、更に
(sinx+2siny)/(cosx+2cosy+5)=k
と置くと
Y=kX (C)
よって、横軸にX,縦軸にYを取った座標平面で
点(X,Y)の存在範囲となる領域を考えると、
問題となるkの値は、
直線(C)が、この領域内の点を通るという
条件の下での傾き
となります。
ここまではよろしいですか？

ということで点(X,Y)が示す領域を
求めます。
(A)より
X-5=cosx+2cosy (A)'
∴(A)'^2+(B)^2より
(X-5)^2+Y^2=5+4cos(x-y) (∵)加法定理
ここで
-1≦cos(x-y)≦1
∴
5-4≦(X-5)^2+Y^2≦5+4
1≦(X-5)^2+Y^2≦9 (D)
この(D)が示す領域が
＞＞(5, 0)〜挟まれたドーナツ状の範囲
です。

この領域(D)内を直線(C)が通るとき、
kの値、つまり直線(C)の傾き
が最大となるのは、(D)内の
どの点を通るときでしょうか？
そのことを考えてもう一度、件の文章を
読み直してみて下さい。
No.76678 - 2021/07/14(Wed) 21:40:44
★ 二項定理 / ゆき
nＣ₀＋nＣ₁＋nＣ₂＋…＋nＣn-₁＋nＣn

＝nＣ₀・1ⁿ・1⁰＋nＣ₁・1ⁿ⁻¹・1¹＋nＣ₂・1ⁿ⁻²・1²＋…
　＋nＣn-₁・1¹・1ⁿ⁻¹＋nＣn・1⁰・1ⁿ
＝(1＋1）ⁿ＝2ⁿ

という問題なのですが、
nＣ₀・1ⁿ・1⁰とnＣn・1⁰・1ⁿは1⁰によって０になるのは分かります。また、nＣ₁・1ⁿ⁻¹・1¹と、nＣ₂・1ⁿ⁻²・1²もそれぞれ１ⁿと1ⁿになるのも理解できました。
しかし、nＣn-₁・1¹・1ⁿ⁻¹は、どのように計算すればよいのでしょうか？
No.76675 - 2021/07/14(Wed) 19:13:06
☆ Re: 二項定理 / IT
各nＣ₂　などを計算せずに　二項展開の意味から、その等式を示すのがポイントです。

　どちらかというと2^n=(1+1)^n= .... 　という方向です。　
No.76676 - 2021/07/14(Wed) 19:34:30
★ (No Subject) / そうた
3次元のベクトル空間において、どのような２つの一次独立なベクトルについても、さらに1つ加え３つにしても一次独立であるベクトルがある。
これはどのようにして示せるのでしょうか。
No.76663 - 2021/07/13(Tue) 20:55:04
☆ Re: / IT
3次元のベクトル空間ですから３つの一次独立なベクトルa[1],a[2],a[3] がとれます。

与えられた２つの一次独立なベクトルをb[1],b[2] とします。
b[1],b[2],a[1]の３つのベクトル
b[1],b[2],a[2]の３つのベクトル
b[1],b[2],a[3]の３つのベクトル
のうち少なくとも1組は一次独立になることを背理法で示せばよいと思います。

基底の取り換え定理（の論法）を使っても言えると思いますが、
No.76665 - 2021/07/13(Tue) 23:23:44
★ (No Subject) / 算数苦手
前、質問した問題について考えたのですが、、こんな解釈で良いですか？
No.76661 - 2021/07/13(Tue) 20:51:25
☆ Re: / 算数苦手
こんな感じで…
No.76662 - 2021/07/13(Tue) 20:51:51
☆ Re: / ヨッシー
たぶん良いと思いますが、点Ｐが正方形に付くすべての位置に
円（と点Ｐ）を描けばもっと伝わると思います。
No.76664 - 2021/07/13(Tue) 22:47:37
☆ Re: / 数学苦手
3つπr、半円周がある中の2辺のうちの1辺だから割ってるつもりですが違いますかね？
No.76666 - 2021/07/13(Tue) 23:30:40
☆ Re: / ヨッシー
誰かが違うと言ったんでしょうか？

辺の上にπｒとか書いてあるので、たぶんやるべきことは
わかっていると思うが、肝心の円と点Ｐが描かれていないので
本当にわかっているかはわからない。ということです。

あと
「半円周がある中の2辺のうちの1辺」
１０回読んでみて、他人に伝わる内容か吟味してください。
念のために言っておきますが、「吟味してください」という
お願いではなく「意味不明の文章だ」という指摘です。
No.76671 - 2021/07/14(Wed) 07:02:38
☆ Re: / 数学苦手
正方形の2辺が3つ分のΠrに分かれていて、3Πr=2分の3Πr+2分の3Πrになって、円はΠrごとに正方形にくっつくかと考えたら違いました、、
No.76672 - 2021/07/14(Wed) 14:47:53
☆ Re: / 数学苦手
あ、そこからまた一周分したらだから2Πrで最右下の正方形の4つの角の下にPがくるんですかね
No.76673 - 2021/07/14(Wed) 15:25:12
☆ Re: / 数学苦手
半分回った状態がΠrでそれにもうΠrを足したら2Πrなので！
No.76674 - 2021/07/14(Wed) 15:26:40
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題について質問です。やり方あってますかね？あと、裏面から、正面又は正面から裏面に行く時に反転？してるのですか？ミラーリング？
No.76657 - 2021/07/13(Tue) 17:07:48
☆ Re: / 数学苦手
こんな感じにやりました
No.76658 - 2021/07/13(Tue) 17:08:08
☆ Re: / ヨッシー
やり方は良いです。
あとは、どの番号を選ぶかですね。

反転するかどうかは、見えない面をどのように見える位置に持ってくるかによります。
以前この図で説明しましたね。

No.76659 - 2021/07/13(Tue) 17:21:35
★ 場合の数　硬貨 / さすけ
どうしてこの解き方だと解けないのでしょうか‥？
教えて頂けると嬉しいです。
No.76653 - 2021/07/13(Tue) 16:28:17
☆ Re: 場合の数　硬貨 / ヨッシー
100円5枚を500円にしてしまうことは、
テープでグルグル巻きにして、バラで使えなくしてしまうことです。
実際は、300 とか 400 も作れるのに、これだと、
0, 100, 500, 600, 1000, 1100, 1500, 1600
しか作れなくなっています。
No.76655 - 2021/07/13(Tue) 16:40:02
★ 集合論 / ご機嫌
写真の問題教えていただきたいです
No.76647 - 2021/07/13(Tue) 14:11:15
☆ Re: 集合論 / ast
# いつものごとく"コメントがつかない10の理由"的なものに当てはまりまくってるのどうにかならんのかなあ……

とりあえず subdifferential 劣微分 あたりのキーワードでググって出てくるサイト見たほうが親切で早いとおもいますよ.
# まあ凸でない函数の場合は自明すぎて大抵の場合は説明すらないでしょうけど.
No.76700 - 2021/07/16(Fri) 16:15:34
★ 固有値　固有空間 / みゆみゆ
この問題の解き方を教えてください
No.76644 - 2021/07/13(Tue) 11:52:03
☆ Re: 固有値　固有空間 / ヨッシー
手始めに

これは解けますか？
または、左辺をλの整式にできますか？
No.76645 - 2021/07/13(Tue) 13:19:34
☆ Re: 固有値　固有空間 / みゆみゆ
> 手始めに
>
> これは解けますか？
> または、左辺をλの整式にできますか？

固有値は求められました
No.76648 - 2021/07/13(Tue) 14:40:45
☆ Re: 固有値　固有空間 / ヨッシー
固有値の１つに λ＝２ があると思いますが、これを代入した

この式を成り立たせる０でないベクトルを求めましょう。

他の固有値についても求めます。
No.76649 - 2021/07/13(Tue) 15:15:52
★ 確率の問題の式の変換についてです。 / 田中賢介
画像の一行目から二行目に、なぜ変形できるのかよく分かりません。分母の3の階乗と分子の2の階上はどこから出てきたのでしょうか...？よろしくお願いします。
No.76631 - 2021/07/12(Mon) 23:08:16
☆ Re: 確率の問題の式の変換についてです。 / IT
例えば、分子の４・５・・・・(n+2) を (n+2)! にするには　1・２・３＝3! が不足しています。

　４・５・・・・(n+2)＝ (n+2)!/3! です。
No.76633 - 2021/07/12(Mon) 23:36:22
☆ Re: 確率の問題の式の変換についてです。 / 田中賢介
そう言うことだったんですね！ありがとうございます。理解できました。
No.76638 - 2021/07/13(Tue) 01:53:33
★ 和の計算について / あお
画像の下の段の(n+1)πの部分が分かりません。
どう計算したらこうなりますか？
そもそもΣの中にkが無いのですが・・・
No.76628 - 2021/07/12(Mon) 22:58:55
☆ Re: 和の計算について / あお
すみません間違えて２回投稿してしまいました。
No.76629 - 2021/07/12(Mon) 22:59:53
☆ Re: 和の計算について / ヨッシー
ｋ＝０　のとき　π
ｋ＝１　のとき　π
ｋ＝２　のとき　π
　　・・・
ｋ＝ｎ　のとき　π
なので、全部足すとπがｎ＋１個なので
　(ｎ＋１)π
です。
No.76630 - 2021/07/12(Mon) 23:03:44
☆ Re: 和の計算について / あお
なるほど！意外と簡単でした。ありがとうございます。
No.76632 - 2021/07/12(Mon) 23:11:53
★ 逆三角関数 / 出水
arcsin(1-2^x)の定義域を求めたいです。
arcsinxの定義域(-1≦x≦1)から色々いじって導くのはなんとなく分かるのですが、、
No.76622 - 2021/07/12(Mon) 21:19:05
☆ Re: 逆三角関数 / X
arcsinxの定義域から
arcsin(1-2^x)
の定義域について
-1≦1-2^x≦1
これより
-2≦-2^x≦0
0≦2^x≦2
∴定義域はx≦1
No.76623 - 2021/07/12(Mon) 22:01:59
☆ Re: 逆三角関数 / 出水
おなじ答えになりました。ありがとうございます！
No.76625 - 2021/07/12(Mon) 22:47:16
★ (No Subject) / 算数不得意
この問題が分かりません
No.76616 - 2021/07/12(Mon) 19:32:17
☆ Re: / 算数不得意
こんな感じではダメですか？
No.76617 - 2021/07/12(Mon) 19:33:43
☆ Re: / 算数不得意
A＝◯、B＝◯、C=◯といったようにするべきですか？
No.76618 - 2021/07/12(Mon) 19:35:58
☆ Re: / 算数苦手
1番見えてる箇所が多い右下のサイコロから考えるのでしょうか
No.76621 - 2021/07/12(Mon) 21:04:28
☆ Re: / 小此木
これ、どこまで問われているんでしょうか。

「Cが2で、AとBのどちらかが1でもう一方が2」
のときA+B+Cが最も小さくなるのは明らかですから、これが実際に実現できるかどうかを考えることになります。

実際、Cが2、Aが1、Bが2のとき、他の条件も矛盾しないようにサイコロを組み合わせることができるので和の5が答え、となるのですが。

//（以下余談です）

一般的なサイコロというのは、相対する面の数の和が7となるものでしょうが、そのもとでの目の並び方のスタンダードというものが、私が知らないだけであったりするんでしょうか（右手系と左手系とでもいうのか）

加えて、2,3,6の目の図柄については、90°回転すると違う図形になるので、この向きにもやはりスタンダードはあるのか、ということになります。問題の図に6の目が出ていなければこれは考えなくてもよかったのですが。

で、これらに決まりは特にない、というのであれば、それらが異なるサイコロを混在させてもよいものだろうか、ということにもなります。

というとこまでとりあえず考えました。面倒ですね。
実際の試験を知らないので、この問は何分で考えて答えを出すのかは分かりませんが、おそらくはそんなに熟考するべき問題でもないでしょう（そもそもその辺は考慮して問題が作られているんだろうか）。私だったら、上記のとおり答えの数値が確かめられた時点でもう次の問題に移ります。

一応、相対する面の数の和が7という以外の制約はなく、6の目の向きは考慮し、しかしそれらがすべて同様に揃ったサイコロ4つを使う（混在させない）というような、そこそこ妥当であろう設定で考えてみますと、展開図にして


+−+
|３|
+−+−+−+−+
|６|５|１|２|
+−+−+−+−+
|４|
+−+

（ただし6の目は、上記の向きで

・・
・・
・・

と並ぶ。）

と表せるようなサイコロ4つを使うと問題の図に矛盾せずA+B+C=5となるかと思います。
No.76626 - 2021/07/12(Mon) 22:51:35
☆ Re: / らすかる
> 右手系と左手系とでもいうのか

「雄サイ（または雄サイコロ）」「雌サイ（または雌サイコロ）」と言います。
こちらが詳しいです。
「ほぼ雌サイコロと決まっている」ようですから、それに従うと右下のサイコロの上面は自動的に３になりますね。
また６の目の向きを考えると左下のサイコロの天地は２と５のはずですから、上が５ですね。

# 小此木さんの展開図は多分私が書いたことと同じものを意図していると
# 思いますが、残念ながら２と１の面が重なってしまいます。
No.76635 - 2021/07/13(Tue) 00:29:32
☆ Re: / 小此木
らすかるさん：

なるほど、サイコロにはそのような区別やスタンダードがあるんですね。舟になぞらえた面の向きの表し方も面白いですね。博打由来かな。

この向きであると最初から認めるとなると、あまり考えることもなくなりますね。

＞残念ながら２と１の面が重なってしまいます。

お恥ずかしい。等幅フォントが上手く再現されない環境のためにレイアウトを工夫したつもりが、変ないじり方をしてしまいました。修正しておきます。ありがとうございます。
No.76637 - 2021/07/13(Tue) 01:04:00
☆ Re: / 数学苦手
皆さんありがとうございます。ちょっと今、別のことで忙しいので後で参考にして、自分でやってみます
No.76650 - 2021/07/13(Tue) 15:56:45
☆ Re: / 数学苦手
そうですね。考えるべき問題ではないですがバカ故に考えてしまってます。
No.76651 - 2021/07/13(Tue) 16:08:55
☆ Re: / 数学苦手
とりあえずABCに数値を当て嵌めてみるやり方？と雌サイコロ、雄サイコロの考え方でやってみます！
No.76652 - 2021/07/13(Tue) 16:09:48
☆ Re: / 数学苦手
下の段のサイコロ2つに関しては上の段の底面と接していますが考えなくてもいいのでしょうか。
No.76654 - 2021/07/13(Tue) 16:32:58
☆ Re: / 数学苦手
解説はこんなかんじで側面を入れ替えていて、簡単なのかもしれませんが分かりませんでした
No.76656 - 2021/07/13(Tue) 16:43:13
☆ Re: / 小此木
＞下の段のサイコロ2つに関しては上の段の底面と接していますが考えなくてもいいのでしょうか。

なぜ「考えなくてもいい」という可能性に至りましたか？
その解説のページではきちんと考えているようですし、私も（わざわざ書いていませんが）もちろん考えました。

＞解説はこんなかんじで側面を入れ替えていて

特に入れ替えている様子は無いようですが。

両矢印が描かれているのを見て「入れ替えている」と判断しているのであれば、ひとまず解説をきちんと読むべきです。確かに、内容を入れ替えるときに両矢印の記号を使うことはありますが、この状況でそんなことをするのはあまりに突拍子もないことなので、その意味で使っていると判断するのは無理があります。
No.76669 - 2021/07/14(Wed) 06:13:09
★ (No Subject) / みくに
教えていただきたいです。
No.76615 - 2021/07/12(Mon) 19:29:03
★ 楕円の周長の下限 / 高校三年生
『長軸 2a 、短軸 2b (0<b<a) の楕円の周長を L とすると、

　L > (a+b)π

　が成り立つことを示せ。』

夏休みの宿題です。有名問題らしいのですが、
参考書や問題集を漁っても、見つかりませんでした。

ぜひ、解法をご教示ください。
よろしくお願いいたします。 m(_ _)m
No.76606 - 2021/07/12(Mon) 12:39:40
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
> 夏休みの宿題
「いろいろ調べ学習をしてみなさい」という意図なのでしょうが，高三生が太刀打ち出来る易しい問題ではなさそう…
ここ とか ここ の下の方にある Gauss-Kummer の公式によるのでしょうが，導出過程は，私もぱっと見でナルホドと思うものではありません。
No.76607 - 2021/07/12(Mon) 13:39:10
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
関数電卓さん、返信ありがとうございます。

数学の先生曰く、入試の過去問に類似問題があるそうで、
高校数学の範囲で、証明可能との事でした。

どうやるんだろうか・・・。
No.76608 - 2021/07/12(Mon) 13:49:51
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
> 入試の過去問に類似問題があるそう
わかったら大学名（できたら実施年）を教えて下さい。
No.76612 - 2021/07/12(Mon) 16:17:31
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
>わかったら大学名（できたら実施年）を教えて下さい。

了解しました。
No.76613 - 2021/07/12(Mon) 16:21:33
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
こんな方針でどうでしょうか？

簡単のため、b=1 として考える。
L＝4∫[t=0,π/2]√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)dt：この公式は既知とします。

裏返して足すテクニックを使う。
∫[t=0,π/2](√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)dt
=-∫[s=π/2,0](√((a^2)(cos(π/2-s))^2+(sin(π/2-s))^2)ds
=∫[s=0,π/2](√((a^2)(sin(s))^2+(cos(s))^2)ds なので

L＝2∫[t=0,π/2]{√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)+√((a^2)(sint)^2+(cost)^2)}dt

ここで、被積分関数　√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)+√((a^2)(sint)^2+(cost)^2)≧a+1であり、等号が成り立たないtもある。を示せば良い。
両辺を２乗して比較する。・・・　

（これで証明できることを手書き計算で確認しました。夏休みの宿題とのことなので、残りは自分で完成させてください。）
No.76624 - 2021/07/12(Mon) 22:20:14
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
IT さん
最後まで詰めてはいませんが，ご提示の方法で行けそうですね。
No.76634 - 2021/07/13(Tue) 00:09:40
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
IT さん、返信ありがとうございます。

>この公式は既知とします。

曲線の長さの「媒介変数表示」と「離心近点角」とのコンボですか・・・。

>裏返して足すテクニックを使う。

周期関数にはこの技が利くんですね。類題探して身に付けます。

>両辺を２乗して比較する。・・・　

最後は、「相加・相乗平均の不等式」でバッチリ決まりますね。

積分問題なのに、微分すら不要とは・・・。
いやはや、感嘆しかないです。

ご教示いただき、誠に、ありがとうございました。m(_ _)m
No.76639 - 2021/07/13(Tue) 05:58:45
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
種あかしをすると、グラフ作成ソフト（grapes) で y=√((acosx)^2+(sinx)^2),y=1,y=a,y=(a+1)/2を表示して、ずらしたりしてみました。学校や入試本番では使えませんが、いろいろ調べるには便利です。

https://www.grapes.jp/
No.76640 - 2021/07/13(Tue) 06:25:25
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
(grapesのグラフ途中）
No.76641 - 2021/07/13(Tue) 06:37:51
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
>種あかしをすると、・・・

何と！そんな便利なソフトがあったんですか・・・。
今度、使ってみます。
No.76642 - 2021/07/13(Tue) 06:46:00
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
　> 最後は、「相加・相乗平均の不等式」でバッチリ決まりますね。

どんなふうになりましたか？

私は、ごりごり計算して(cost)^2 の２次関数の範囲内最小値の評価によりました。
No.76643 - 2021/07/13(Tue) 11:35:28
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
>どんなふうになりましたか？

√((a^2)(cost)^2+(sint)^2)+√((a^2)(sint)^2+(cost)^2)≧a+1
両辺を2乗して整理すると、

√{(a^2)(cost)^2+(sint)^2}・√{(a^2)(sint)^2+(cost)^2} ≧ a
さらに、両辺を2乗して、

{(a^2)(cost)^2+(sint)^2}・{(a^2)(sint)^2+(cost)^2} ≧ a^2
となるので、これをめざす。

【左辺】 = (a^4+1)・(cost)^2・(sint)^2 + (a^2)・{(sint)^4+(cost)^4}
　　　　　= (a^4+1)・(cost)^2・(sint)^2 + (a^2)・{1- 2・(sint)^2・(cost)^2}
　　　　　= (a^2-1)^2・(cost)^2・(sint)^2 + (a^2)
　　　　　≧ a^2

こんな感じですが。・・・すいません。
「相加・相乗平均の不等式」は関係なかったです。
No.76646 - 2021/07/13(Tue) 14:07:28
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
なるほど、それなら分かりました。
No.76660 - 2021/07/13(Tue) 20:11:54
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 関数電卓
√ の近似
　x が小さいとき　√(1＋x)≧1＋(1/2)x
を用いるので，高校数学の範囲外ではありますが，以下のような方法も可能です。ワープロを打つのが大変だったため，手書きで済みません。
高校三年生さん，ご参考まで。
No.76667 - 2021/07/13(Tue) 23:57:39
☆ Re: 楕円の周長の下限 / IT
楕円の周長などで検索すると下記のような記事が見つかりました。精度（？）は確認してないですが参考までにお知らせします。

関孝和の楕円周を求める近似式
http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/analysis/seki/seki.pdf

楕円の周長を求める公式を考える
https://note.com/tetsuo123/n/n4c2b8dfb8328

関孝和の楕円の研究について(京大数理解析研究所講究録)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1064-6.pdf
No.76668 - 2021/07/14(Wed) 01:43:52
☆ Re: 楕円の周長の下限 / 高校三年生
関数電卓 さん

>以下のような方法も可能です。

なるほど。
マクローリン級数への展開を利用するわけですか・・・。
参考になります。m(_ _)m

IT さん

>精度（？）は確認してないですが参考までにお知らせします。

いろいろ研究がなされているんですね。
拝読いたします。m(_ _)m
No.76670 - 2021/07/14(Wed) 06:23:48
★ (No Subject) / 編入受験生
直線L_1,L_2,L_3,...L_n (nは正の整数)が、
一点で交わっているとする。その点を原点とおく。
ここで、以下の条件を考える。
(i): 任意の直線に隣り合う直線とのなす角は常に2π/nである。
以下の問いに答えよ。

(1) ある直線L_kとL_m (k,m = 1,2,3,..,n)をそれぞれ中心軸とする半径aの円柱の共通部分の体積V_(k,m)を求めよ。

(2) L_1,L_2,L_3,...,L_nをそれぞれ中心軸とする半径aの円柱の共通部分の領域をDとする。
Dの不連続点と極値をすべて求めよ。

(3) 領域Dの体積を求めよ。

わからないです、教えてください。
No.76602 - 2021/07/12(Mon) 10:16:08
☆ Re: / 編入受験生
直線はすべて同一平面上です、かき忘れてました。
No.76603 - 2021/07/12(Mon) 10:17:06
☆ Re: / 高校三年生
各直線に垂直な直線を含む平面で切った断面が、円から楕円へ、
そしてまた、楕円から円へと周期的に変化する立体になりそうですね。
どうやって体積を導出するんだろう？
No.76609 - 2021/07/12(Mon) 14:23:16
☆ Re: / ヨッシー

確認ですが、ｎ＝３、ｎ＝４ の時の図は上の通りでいいでしょうか？
ｎ＝３のときは、隣り合う直線とのなす角は π/3 になりません。
ｎ＝４のときは、Ｌ_1とＬ_3、Ｌ_2とＬ_4 は重なります。
角度は2π/4＝π/2 となり条件は満たします。

ｎが偶数とか奇数とかの制限はありませんか？
もしくは、上の解釈が違っているか。
No.76610 - 2021/07/12(Mon) 14:43:59
☆ Re: / 編入受験生
>
> 確認ですが、ｎ＝３、ｎ＝４ の時の図は上の通りでいいでしょうか？
> ｎ＝３のときは、隣り合う直線とのなす角は π/3 になりません。
> ｎ＝４のときは、Ｌ_1とＬ_3、Ｌ_2とＬ_4 は重なります。
> 角度は2π/4＝π/2 となり条件は満たします。
>
> ｎが偶数とか奇数とかの制限はありませんか？
> もしくは、上の解釈が違っているか。

すみません、なす角はπ/nです。
間違えてました。
No.76611 - 2021/07/12(Mon) 15:58:24
☆ Re: / 関数電卓
こちら の問題を追求しておられるのですね。
前回は軸に垂直な断面で切って give up しましたが，軸がある平面に平行に切断する方法もありそうです。根気が続くところまでやってみます。
No.76614 - 2021/07/12(Mon) 18:34:32
☆ Re: / 黄桃
(2)は置いときます。
細かい計算は苦手なので方針だけ。ガードナーの数学ゲームにあった解法です。

直線がある平面と平行な平面で切った時、求める図形の切断面と、共通部分の内接球（=半径aの球）の断面（=円)との比は一定なので、（カバリエリの原理より面積比は内接球との体積比と等しいので）積分計算せずに体積が求まりそうです。

(3)の方が対称性があるので計算は楽そうです。(3)の答は半径1の円に外接する正n角形の面積をS[n]とすれば、(4/3)*S[n]*a^3 となるのでしょう。
No.76636 - 2021/07/13(Tue) 00:59:07
★ どこの段階で論理が破綻してるか教えてください。 / N
a(q√2+r√3)^3+c(q√2+r√3)=0
を満たす0でない有理数q,rが存在するような有理数acを全て求めよ。ただし、√6は無理数と認めて良い。
答えはa=c=0です。
解答は、展開して、有理数と√6の係数が共に0の連立方程式を立てた後、2aq^2+9ar^2+c=0かつ6aq^2+3ar^2+c=0ー?@からcを消去して、a≠0と仮定して、6r^2=4q^2から√6=+-2q/rで矛盾を示しています。

自分の解答は、?@までは同じですが、そこから?@⇆8aq^2+c=0かつ12ar^2+c=0ー?Aから、a=0のとき?A⇆c=0
a≠0のとき?A⇆q^2=-c/8aかつr^2=-c/12a
よって(a>0かつc<0)または(a<0かつc>0)
以上から(a=0かつc=0)または(a>0かつc<0)または(a<0かつc>0)

どこで間違っているのでしょうか？
No.76601 - 2021/07/12(Mon) 09:56:36
☆ Re: どこの段階で論理が破綻してるか教えてください。 / 編入受験生
a≠0のとき?A⇆q^2=-c/8aかつr^2=-c/12a
よって(a>0かつc<0)または(a<0かつc>0)

破綻しているのはこの部分です。

どうして、ある数の自乗が有理数だったら、ある数もまた有理数になるのですか？
もっというと、ある数の自乗が有理数であることとある数が有理数であることは同値ではありません。
惜しいところまで言ってます。
?Aの式から考えなければならない条件は、
-c/8a = X^2, -c/12a = Y^2 （X,Yは有理数）で、
-c/12a = (2/3)X^2 = Y^2となるから、両辺の平方根を取ると、Y^2 = X√(2/3) = (√6)(X/3) =無理数×有理数となって、これはYが有理数であることに反するから、
a≠0のときは有理数q,rは存在しない。
No.76604 - 2021/07/12(Mon) 10:43:18
★ 一次不等式 / みやゆう
次のXに関する不等式や連立不等式を解け。ただしaは定数とする。
ｘ−a≦3
2x＋1＞a
　この問題の解説なのですが、　　

?@　A+3＞A-1/2の時　　　➁a+3≦a-1/2の時

の二つに場合分けが解説で書かれているのですが、なぜこの二つの場合分けになるのでしょうか？
ちなみに/は分数を表しています。
No.76598 - 2021/07/11(Sun) 19:00:05
☆ Re: 一次不等式 / IT
解答・解説を見ても分からないということなので、より簡単な問題を解いて、なぜそうなるのかを理解されるのが良いかと思います。下記の類題（基本問題）(1)〜(4)を解いてみてください。
数直線を描いてみるのも有効だと思います。

次のxに関する連立不等式を解け。ただしb,cは定数とする。
(1) x≦2 かつ x＞1
(2) x≦2 かつ x＞2
(3) x≦2 かつ x＞3
(4) x≦b かつ x＞c
No.76599 - 2021/07/11(Sun) 19:37:19
★ 複素 / けいくん
複素解析コーシーの積分表示の積分値を求める問題です
この問題の解答と解説を教えてください。
答えがなく、答えを見て理解したいのでよろしくお願いします。
No.76597 - 2021/07/11(Sun) 17:45:57
★ 複素解析 / けいくん
この問題の解答と解説を教えてください。
答えがなく、答えを見て理解したいのでよろしくお願いします。
No.76596 - 2021/07/11(Sun) 17:43:48
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