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(No Subject) / nのために
直線上の点Pを通る垂線を作図しなさい。ただし、コンパスは1回だけしか使用してはいけないものとする。

中三までの知識を使えばできるようですが、私には全くわかりませんでした。
よろしくお願いします。

No.79558 - 2021/11/24(Wed) 17:22:34

Re: / ヨッシー

直線外の点Oを中心、点Pを通る円を描く。
もう一方の交点をQとし、直線OQと円の交点をRとすると、
RPが求める垂線。

No.79559 - 2021/11/24(Wed) 17:47:30

Re: / nのために
>
> 直線外の点Oを中心、点Pを通る円を描く。
> もう一方の交点をQとし、直線OQと円の交点をRとすると、
> RPが求める垂線。


なぜこうなるのか教えていただけませんか?

No.79561 - 2021/11/24(Wed) 18:39:01

Re: / nのために
すみません
わかりました😆

No.79562 - 2021/11/24(Wed) 18:41:24

Re: / ヨッシー
はい。
ターレスの定理です。

No.79564 - 2021/11/24(Wed) 19:05:32
前回の質問の件です / kumo
2021.6.30
No.76292

求める必要なクリアランスの式は
(5600/√65+W/2)/√3-{2(L+4900√65)/√3}(2800/√65+200-200√3)/(L+4900√65)
=(5600/√65+W/2)/√3-(2/√3)(2800/√65+200-200√3)
=(W-800+800√3)/(2√3)
=(W-800)(√3)/6+400 (D)

Wが800未満の場合はマイナスになりますが、その場合はどうすれば良いでしょうか?
今回、H=3000 W=600と150での物を流そうと思っています。
床からのクリアランスは実際に吊らないと確認できないので、反対にレールから吊り掛け品の底部までの長さが事前に分かれば、幅をいくら以内にすれば通過できるかの算出方法があればと思います。
よろしくお願いします。

No.79557 - 2021/11/24(Wed) 10:20:33
シーソー / √
教えてください。

同じ体重の大人■■(2人)
同じ体重の子供●●(2人) います。

シーソーの両端に

■●・・・・・●■
    ▲

上記のように乗った場合は▲の位置で
釣り合うと思いますが

■●・・・・・■●

このように乗った場合は中点で釣り合わないと
思います。

大人が子供を、負んぶ 又は 抱っこして中心から
同じ距離の位置に乗れば釣り合とおもいますが、
乗る順番が決められている場合は、
▲を、どの位置にすれば良いか教えてください。

例えば、大人60Kg 子供30Kg 等
例を挙げて教えて頂けると嬉しいです。

No.79547 - 2021/11/23(Tue) 20:57:51

Re: シーソー / らすかる
左右でそれぞれ「▲までの距離×重さ」の合計を求め、一致すれば釣り合います。
No.79548 - 2021/11/23(Tue) 22:13:41

Re: シーソー / √
らすかるさん、有難うございます。

■は■同士
●は●同士 で別々に計算して
その合計が一致するような点を見つければ
良いということですか?

No.79549 - 2021/11/23(Tue) 22:38:43

Re: シーソー / √
 ■● ■▲
・・・・・・・
   △



    ■
 ▲■ ● ●
・・・・・・・
   △



上記の2つが成り立つ時、


 ▲▲  この右側を■と●で表すと? 
・・・・・・・または、■のみ・●のみ
   △           で表しても良い。


これが大元の問題です。

No.79550 - 2021/11/23(Tue) 23:14:53

Re: シーソー / ヨッシー
人の乗る位置がどのように与えられているかはわかりませんが、
図において
支点より左の A・a+B・b と
支点より右の A・d+B・c とが
等しくなる位置でシーソーは釣り合います。

No.79551 - 2021/11/24(Wed) 00:02:04

Re: シーソー / √
ヨッシーさん、有難うございます。

> 支点より左の A・a+B・b と
> 支点より右の A・d+B・c とが
> 等しくなる位置でシーソーは釣り合います。


「・」は「掛け算」という意味でしょうか?

No.79552 - 2021/11/24(Wed) 00:27:53

Re: シーソー / √
ヨッシーさん、有難うございました。
どう考えても「・」は「掛け算」の意味ですね。

教えて頂いた公式、覚えておきます。、

No.79553 - 2021/11/24(Wed) 00:54:14

Re: シーソー / らすかる
2番目の図から
2▲+■=■+●+3●
2▲=4●
▲=2●
1番目の図から
2■+●=■+2▲
2■+●=■+4●
■=3●
問題の左辺は
2▲+▲=3▲=6●=2■
となりますので、
・▲▲△・■・
とすれば釣り合います。

No.79555 - 2021/11/24(Wed) 01:09:57

Re: シーソー / √
らすかるさん 有難うございました。

ヨッシーさんから教えて頂いた公式を
使って、やっと解けました。

この問題、このしくみ「公式」を知ってないと
解けなかったなぁ〜。

No.79556 - 2021/11/24(Wed) 02:02:31
(No Subject) / 内接
円に内接する四角形ABCDがAB=5,AD=1,角BDC=30°,cos角DAB=-3/5を満たすときCDの長さを求めよ

読みにくくてすみません。解説よろしくお願いします。

No.79540 - 2021/11/23(Tue) 12:25:08

Re: / ヨッシー
手順だけ。
1.△ABDにおける余弦定理よりBDを求める
2.sin∠DABを求め、正弦定理から円の半径を求める
3.円の中心をOとし、∠BOCを求め、BCを求める
4.△BCDにおける余弦定理よりCDを求める

No.79546 - 2021/11/23(Tue) 16:20:33
(No Subject) / 点
θが−πからπ/2まで変化するとき点A(2sinθ,cosθ)がちょうど2回通る点の集合を求めよ

解き方を教えて下さい

No.79539 - 2021/11/23(Tue) 11:53:50

Re: / IT
θが−πからπ/2まで変化するとき、点B(cosθ, sinθ)は、どんな曲線上をどこからどこへどう動くか分かりますか?

問題の写し間違いはないですか?(それだと、面白さのない問題のように思うので)

No.79542 - 2021/11/23(Tue) 13:21:51

Re: / 点
すいません。(2sinθ,cos2θ)でした。点Bは「半径1の円上の点(-1,0)から点(0,1)まで反時計回りに270°動く」でしょうか。
No.79543 - 2021/11/23(Tue) 14:16:02

Re: / IT
点Bはそれでいいと思いますが、点A(2sinθ,cos2θ)ならあまり関係ないですね。

倍角公式を使って、点Aのy座標をsinθだけの式で表して、
θが−πからπ/2まで変化するときのsinθの変化を考えればいいと思います。

No.79545 - 2021/11/23(Tue) 15:07:40
面積 / 数学
座標平面上の放物線 P:y=x^2の焦点をF,準線をlととする.Fを通る傾きkの直線mとPの2つの交点をQ,Rとするとき,次の問に答えよ.
(1)線分QRの長さをRで表せ.
(2)Pとmで囲まれる部分の面積Sをkで表せ.
(3)Q,Rからlへ垂線QQ',RR'を下ろし,台形QQ'R'R の面積をTとする. (2)のSとTの比S:Tを求めよ.

どのように解いたらいいですか?方針、解法を教えてください。

No.79538 - 2021/11/23(Tue) 11:40:45

Re: 面積 / ヨッシー
(1) は kで表せ でしょうね。
F(0, 1/4) なので、mの式は
 y=kx+1/4
これと y=x^2 を連立させて
 x^2−kx−1/4=0
Q,Rのx座標の差を d とすると、y座標の差は k・d なので、
 QR=d√(1+k^2)
ここで
 x^2−kx−1/4=0
の解をα、β(α<β)とすると、d=β−α であり
 (β−α)^2=(α+β)^2−4αβ
に、解と係数の関係を使えば、求められます。

(2)
 x^2−kx−1/4=0
をx=αからβまで積分したものが、求める面積の−1倍なので、
公式
 ∫[α〜β](x^2−kx−1/4)dx
 =∫[α〜β](x−α)(x−β)dx
 =(α−β)^3/6
面積は (β−α)^3/6 であり、β−α は(1) で求めています。

(3)
lはy=−1/4 なので、
 Q:(α, kα+1/4)、R:(β, kβ+1/4) (α<β)
とおくと、
 Q’:(α, −1/4)、R’:(β, −1/4)
であるので、
 T=(β−α)(kα+kβ+1)/2
となります。
 

No.79541 - 2021/11/23(Tue) 12:26:14

Re: 面積 / 数学
問題間違えて書き込んでしまい、すみませんでした。ご丁寧にありがとうございました。
No.79544 - 2021/11/23(Tue) 14:39:12
(No Subject) / 数学苦手
このような問題の場合、下りの速さもすれ違った時間も分からないのにどのようにすれば良いのでしょうか?
No.79534 - 2021/11/22(Mon) 19:23:36

Re: / 数学苦手
人で考えるしかないのでしょうか。
No.79535 - 2021/11/22(Mon) 20:04:49

Re: / ヨッシー
確かに迷いますが、下りも上りと同じ速さと考えるべきでしょう。
「上り、下りの電車はいつも同じ速さで」これだけでは弱いですが、
「等しい間隔をとって」で、上りと下りの前後の間隔が等しい=速度が等しいと
言っているように読めます。

上りと下りの速度が等しい根拠を問題文に求めると、この辺りかなと
言うだけでそれも確実ではないかもしれません。

一番大事なのは、「そうしないと問題として成り立たない」と言うことです。

No.79537 - 2021/11/22(Mon) 23:24:59

Re: / 数学苦手
成り立つかどうか…ですか。
No.79610 - 2021/11/26(Fri) 15:26:09
(No Subject) / アップルパイ
正十二面体は各面が合同な正五角形でできている正十二面体である。正十二面体の頂点の数は?

どう考えたらいいのでしょうか?

No.79524 - 2021/11/22(Mon) 15:44:45

Re: / X
正12面体のある1つの面と辺を共有する面は
全部で5つあります。
この合計6面(このグループをAとします)を
残りの6面(このグループをBとします)から
切り離して考えると、Aの頂点のうち
Bと共有しない頂点の数は、
最初に注目した面の頂点の数である
5個
Bと共有する頂点の数は
10/2+5=10[個]
ここでA,Bは合同ですので、求める頂点の個数は
5・2+10=20[個]
となります。
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

No.79528 - 2021/11/22(Mon) 16:48:02

Re: / ヨッシー
最初、12個の正五角形があるとすると、そこに存在する頂点は
 12×5=60(個)
これを組み立てると、頂点の部分に、3つの正五角形が集まります。
つまり、3つの頂点が1つになるので、
 60÷3=20(個)
となります。

No.79529 - 2021/11/22(Mon) 17:13:40

Re: / アップルパイ
これを組み立てると、頂点の部分に、3つの正五角形が集まります→これなんで3つってわかるの?
No.79530 - 2021/11/22(Mon) 17:25:46

Re: / ヨッシー

図を見たら一目瞭然ですが、
 正五角形の1つの内角は108°
 立体を作るには、1つの角に最低3つは必要
 4つ持ってくると、合計 432°で、360度を超える
以上から3つしかあり得ません。

ちなみに、正三角形は3個、4個、5個が可能です。

これは5個の場合。

No.79531 - 2021/11/22(Mon) 17:32:05
解析接続が良くわかりません / C3PO
この解答は理解できるのですが、

f0(z)はΣ((-1)^n/(2n+1)!) z^(2n+1) (Re(z)≧0)
とかけ、
f1(z)はΣ((-1)^n/(2n+1)!) z^(2n+1)は収束半径∞で、全複素平面上で正則かつRe(z)≧0においてf0(z)と一致しているので、f1(z)がf0(z)の解析接続になっている

という解答ではダメですか? こっちのほうがシンプル(?)な気がするのですが

No.79523 - 2021/11/22(Mon) 14:37:25

Re: 解析接続が良くわかりません / ast
> ダメですか?
別にそれでいいと思います.
# ただ, 文章作成者の意図が「そもそも "函数等式を用いた解析接続" の説明のための例題」だった, という可能性はわりとありそうだけど.

No.79533 - 2021/11/22(Mon) 18:11:22
三角関数 / アカギ
xy平面において,曲線cos(πx)=sin(πx²)(0≦x≦2,0≦y≦2)で囲まれた領域の面積を求めよ.

お願いします

No.79516 - 2021/11/22(Mon) 10:11:22

Re: 三角関数 / ヨッシー
式にyが出てきませんが。
No.79518 - 2021/11/22(Mon) 10:41:46

Re: 三角関数 / アカギ
左辺cos(πy)です!
No.79519 - 2021/11/22(Mon) 10:52:12

Re: 三角関数 / 関数電卓
例えば 0≦πx^2≦π/2 のときは
 cos(πy)=cos(π/2−πx^2)
となるから
 y=1/2−x^2
他の場合も地道に場合分けをすれば(符号が変わるだけ),虚仮威しの形に惑わされることなく,難しくはないでしょう。
……とは書いたものの「囲まれた」はどこを指すのだろう??

No.79521 - 2021/11/22(Mon) 13:27:28

Re: 三角関数 / らすかる
0≦x≦2かつ0≦y≦2の範囲内で「囲まれた領域」は
以下の4曲線で囲まれた一箇所しかないのでは?
y=x^2-1/2 (√6/2≦x≦√10/2)
y=-x^2+5/2 (√6/2≦x≦√10/2)
y=x^2-5/2 (√10/2≦x≦√14/2)
y=-x^2+9/2 (√10/2≦x≦√14/2)

No.79522 - 2021/11/22(Mon) 14:33:00

Re: 三角関数 / ast
これこれは一致してるという認識でOK?
No.79525 - 2021/11/22(Mon) 16:12:50

Re: 三角関数 / アカギ
領域を求める過程も教えて欲しいです
No.79527 - 2021/11/22(Mon) 16:37:11

Re: 三角関数 / ast
> 領域を求める過程
条件を書き換えずに問題の設定どおりにやるなら, 例えば以下のようなかんじで曲線を追跡できると思います:

s=sin(πx^2) (0≤x≤2) の増減は, x=0のときの0から単調に増加してπx^2=π/2のとき1, その後単調に減少してπx^2=3π/2のとき-1, その後単調増大でπx^2=5π/2のときふたたび1で, 単調減少してπx^2=7π/2のとき-1, 単調増大でx=2のとき0.

一方, -1≤s≤1 となる s に対して cos(θ)=s (θ=πy) は s=-1 のとき θ=π (y=1) がただ一つの解となることを除けば cos(θ)=s の解の一つを θ_1 (0≤θ_1≤π) と置けばもう一つの解 θ_2=2π-θ_1 を持つ (かつ問題の条件の範囲で他には解は無い) から, 曲線 cos(πy)=sin(πx^2)(0≤x≤2,0≤y≤2) は cos(θ_1)=s と cos(θ_2)=s の二本の曲線からなり, 両者は s=-1 となる πx^2=3π/2 と πx^2=7π/2 で接する以外には交点を持たない (ついでに言うと s=1 となるときに最も離れる) から, 求める領域は πx^2=3π/2 と πx^2=7π/2 の間.
# 面積は, その範囲で |θ_2/π - θ_1/π| = (2π-2θ_1)/π を積分すればいい.

(上は多分不正確ですが, まあ余興のようなものなので, 細かく間違い探しをするつもりもないです, 悪しからず.
まあこういう雑な説明よりは見たほうが早いとは思うが……)

No.79532 - 2021/11/22(Mon) 17:33:50

Re: 三角関数 / らすかる
> これとこれは一致してるという認識でOK?

√(3/2)≦x≦√(7/2)の範囲ではarccos(sin(πx^2))=|πx^2-5π/2|なので
∫[√(3/2)〜√(7/2)](2π-2arccos(sin(πx^2)))/π dx
=∫[√(3/2)〜√(7/2)](2π-2|πx^2-5π/2|)/π dx
=∫[√(3/2)〜√(7/2)]2-|2x^2-5|dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)]2-|2x^2-5|dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]2-|2x^2-5|dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)]2+(2x^2-5)dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]2-(2x^2-5)dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)]2x^2-3dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]-2x^2+7dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)](x^2-1/2)-(-x^2+5/2)dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]-(x^2-5/2)+(-x^2+9/2)dx
となり一致しますね。

No.79536 - 2021/11/22(Mon) 20:47:18
方程式 / 北斎
7時と8時の間で、時計の両針が一直線となる時刻を求めよ.
と言う問題で方程式を立てる時、長針が12時の位置からx分進んだとしたら短針が7時の位置からx/12分進むのがよくわかりません。

No.79515 - 2021/11/22(Mon) 09:58:46

Re: 方程式 / ヨッシー
x分進むというのが、とっつきにくいかもしれませんね。

長針は、60分で360°進みますから、1分間に6°進みます。
これを、1分進むと呼ぶことにします。
 (1分進む=6°進む)

短針は、60分で30°進みますから、1分間に 0.5°進みます。
これを、長針の進む角度 6°と比べると 1/12 倍になっています。つまり、
 0.5°進む=1/12分進む
であり、長針がx分=6x°進む間に短針は
 0.5x°=x/12分
進みます。

比で言うと、
 長針が60分進む : 短針が5分進む(例えば、7の位置から8の位置まで)
 長針が1分進む : 短針が 1/12分進む
 長針がx分進む : 短針が x/12分進む
となります。

No.79517 - 2021/11/22(Mon) 10:40:44

Re: 方程式 / 北斎
ありがとうございます!
No.79823 - 2021/12/06(Mon) 17:31:44
(No Subject) / 数学科の女
度々の質問失礼します。
四角で囲った部分はどのようにして導くことができるのでしょうか。

No.79510 - 2021/11/21(Sun) 22:45:07

Re: / ast
個別のスレッドにコメントしてもよかったのですが, いいタイミングだと思うので一連のやり取りに対してここで総括的にコメントすることにします.
# z の共軛複素数は面倒くさいので以下 z~ と書きます.

そもそも (2行目の式を導くまでの) 文脈は, 複素一変数 z の函数 f=f(z) を z=x+iy を通じて実二変数 x,y の函数 f=f(x,y) とみなすとき, ∂/∂x,∂/∂y に対して新たな作用素 ∂/∂z,∂/∂z~ (ウィルティンガーの微分) を適当な方法で定義するならば, f=f(x,y)=f(z,z~) に対する二つの意味での全微分 df(x,y) = (∂f(x,y)/∂x)dx+(∂f(x,y)/∂y)dy と df(z,z~) = (∂f(z,z~)/∂z)dz+(∂f(z,z~)/∂z~)dz~ が一致する (前者の意味での全微分 df(z) は形の上では z,z~ を変数と看做して後者で計算してよい) という話だと思われる (そういう意味でおそらく質問者が抜粋すべき箇所を見誤っている) ので, かなり最初のやり取り (X さんの No.79443 など) あたりからいろいろと齟齬があるのではないかと疑っています (例えば, X さんは f=f(z(t),z~(t)) に対して df/dt を計算すればよいとしか仰ってない (それ自体は形式的には間違ってない) が, 本来計算すべきは f=f(x(t),y(t)) に対する df/dt (を ∂/∂z,∂/∂z~ で表したもの) だとわかっていないと誤った理解に陥ると思います).
# 仮に文脈がそうなら, 2行目に疑問が無いのに, 5行目や8,9行目には疑問を持つというのは変です.
## なんとなれば, dz:=dx+idy などの代わりに dz(t)/dt:=dx(t)/dt+idy(t)/dt などを用いて
## 既に書かれているであろう2行目の導出と同様の過程をなぞれば5行目になるはず.
## 今回も, (∂/∂w や ∂/∂w~ の意味は適当に定めたうえで) 8,9行目の式は同様に導出できるでしょう.

資料によってはわりと黙って様々な記号の濫用をしてたりすることもある (このコメントでも f の変数を色々変えているが記号の濫用で f と書いている) ので, そのへんで詰まっているのかとも考えました (今回の画像への書き込みを見てもそこは分かってなさそうではある) が, ITさんの No.79508 に対する応答をみてそういう段階ではなさそうとも感じました.
# 「f(z(t)) が t に関して微分可能で (実際微分した式) が得られる」という文章を見て
# 左辺の f(t) に疑問を持たないとか右辺の引数 (z(t)) が何かわからないというのは
# 一体どういう資料の読み方をしてるのかというレベルなので.
## (にもかかわらず
## > 傍線部をdf/dt=(∂f/∂z)z'(t)+(∂f/∂z_)z_'(t)と導くことができた
## というのはさらに輪を掛けて意味不明ですし).

No.79511 - 2021/11/22(Mon) 02:06:58

Re: / IT
どう回答しようかと考えていたら、ast さんが詳しく回答しておられますね。

誤植や略記、方言があるテキスト(けっこうあり得る)を理解するのは力が必要ですね。

数学科なら、きちんと理解せず適当に進むわけにもいかないでしょうから、

誤植のほとんどないであろう定評のある複素関数の入門書を参考にしながら、先生のテキストを読み込むことをお勧めします。
(テキストによって記法が微妙に異なっているので注意が必要ですが)

例えば、サイエンス社 「複素関数概説」今吉洋一 は、スッキリして分かり易いと思います。

No.79514 - 2021/11/22(Mon) 07:13:00

Re: / ast
どうせこっちはもう見ないのだろうが, あっちの様子じゃやっぱり記号の濫用に気を付けるどころの話じゃないの確定っぽいから, 解答を書くだけ無駄なんだろうな.

∂f(z(w),z~(w))/∂w := (∂f(z(u,v))/∂u-i*∂f(z(u,v))/∂v)/2
= ( ∂f(z,z~)/∂z*∂z(u,v)/∂u+∂f(z,z~)/∂z~*∂z~(u,v)/∂u
 -i*(∂f(z,z~)/∂z*∂z(u,v)/∂v)/2+∂f(z,z~)/∂z~*∂z~(u,v)/∂v) )/2
= ∂f(z,z~)/∂z*(∂z(u,v)/∂u-i*∂z(u,v)/∂v)/2 + ∂f(z,z~)/∂z~*(∂z~(u,v)/∂u-i*∂z~(u,v)/∂v)/2
= ∂f(z,z~)/∂z*∂z(w,w~)/∂w+∂f(z,z~)/∂z~*∂z~(w,w~)/∂w

No.79667 - 2021/11/29(Mon) 04:52:05
全微分についてです / 数学科の女
傍線部をdf/dt=(∂f/∂z)z'(t)+(∂f/∂z_)z_'(t)と導くことができたのですが、(z(t))の部分はどこにかかるのでしょうか?どこから出てきたのですか?教えていただきたいです。
No.79507 - 2021/11/21(Sun) 18:54:15

Re: 全微分についてです / IT
(z(t))は、∂f/∂z などに掛かると思います。
例えば、(∂f/∂z)z(t0)は、z=z(t0)における∂f/∂zの値

なお、左辺は、df(z(t))/dt の誤植では?

No.79508 - 2021/11/21(Sun) 19:17:29

Re: 全微分についてです / 数学科の女
> (z(t))は、∂f/∂z などに掛かると思います。
> 例えば、(∂f/∂z)z(t0)は、z=z(t0)における∂f/∂zの値
>
> なお、左辺は、df(z(t))/dt の誤植では?


詳しくありがとうございます♪すっきりしました!

No.79509 - 2021/11/21(Sun) 20:18:46
質問 / 小林真由美
メールからのご相談申し訳ありません。[1]の(6)(7)と[3]の(20)の解法が調べてもなかなかわかりません。こちらの解き方を教えて頂けませんか。
No.79502 - 2021/11/21(Sun) 17:06:14

Re: 質問 / IT
[3]の(20) 
△AMDは、直角三角形ではありません。
COS(∠A) などが分かっているので余弦定理を使ってDMを求めます。

画像が逆さまだと、回答者が減りますよ。

No.79503 - 2021/11/21(Sun) 17:35:49

Re: 質問 / X
[1]
(vi)
sin120°+tan60°+cos30°=(√3)/2+√3+(√3)/2
=2√3

(vii)
前半)
問題のデータの要素数は偶数ですので
中央値は5,6番目の平均となり
(8+10)/2=9
後半)
四分位範囲については、例えば以下のURLをどうぞ。
https://mathwords.net/shibuni
答えは添付写真に書き込まれた値で正しいです。

[3]
(20)
条件から
cos∠A=AB/CA=2/3
∴△ADMについて余弦定理により
DM^2=AD^2+AM^2-2AM・ADcos∠A
=…

No.79504 - 2021/11/21(Sun) 17:35:55
微分 / う
この問題を解くに当たって方針がわかりません。
ロピタルの定理はまだ学習していないことから使用できません。
アドバイスの方よろしくお願いいたします。

No.79501 - 2021/11/21(Sun) 15:55:00

Re: 微分 / m
f(x) / tan (2x) = (1/2) * (2x/sin(2x)) * (cos(2x)f(x)/x)

と変形することで,あとは cos(2x)f(x)/x の極限を求めればいいです.

g(x) = cos(2x)f(x)
とおくと g(0)=0 であり,微分の定義から
g'(0) = lim [h \to 0] (g(h) - g(0)) / (h-0)
が成り立ちます.
整理すればこの右辺が求めたい極限になっています.

従って,g'(0)を求めれば極限が求まります.これは微分使って求まりますね.

[補足]
一般に F(0)=0 となる微分可能な関数に対して F(x)/x の x→0 の極限は F'(0) になります.
これはロピタルの定理の特別な場合です.

No.79505 - 2021/11/21(Sun) 17:55:32

Re: 微分 / X
横から失礼します。
mさんの回答に付け加える形で。

lim[x→0]cos2x=1
ですので
>> cos(2x)f(x)/x の極限
ではなくて
f(x)/xの極限
を求めると考えて
(与式)=(1/2)f'(0)
とした方が計算は簡単になります。
(とは言ってもf'(x)を求めるのもそこそこ煩雑ですが。)

No.79526 - 2021/11/22(Mon) 16:22:25
(No Subject) / タケダハルヤ
先日質問さえていただいたものです。丁寧なご回答ありがとうございました.大学1年生です。内部進学で、数学の知識が追い付いていない時があり(忘れてしまっているというか)、それはそれで悔しいので何とかして解きたいのです。

問題文を見直した時、「出かけようとして靴がないのは「平均して」何日めだろうか?」という平均してという文が抜けていました。ご回答いただいた n+1= までは自分で式を立てれるのですが、平均を求める段階で躓きました。
再度の質問で申し訳ないのですが、お力添えをお願いします。

No.79496 - 2021/11/20(Sat) 17:41:44

Re: / IT
元の方に、出来たとこまで書き込んでみてください。
(途中は、ポイントだけで)

No.79497 - 2021/11/20(Sat) 18:02:50
集合の問題 / naooo316
下記画像の40番の問題について質問です。

解答例では、それぞれの二次方程式を因数分解した後、
「P∩Q∩Rがただ一つの負の数からなることと、Q={1,b}から
P∩Q∩R={b}」
とあるのですが、なぜこの結論が導けるのでしょうか?

No.79492 - 2021/11/20(Sat) 13:10:09

Re: 集合の問題 / naooo316
以下、解答例の画像です。
No.79493 - 2021/11/20(Sat) 13:11:29

Re: 集合の問題 / IT
一般にP∩Q∩Rは、Q の部分集合です。これは分かりますか?
Q={1,b}  であることは分かりますか?

Q={1,b} の部分集合は、空集合、Qとそれ以外にどんな可能性がありますか?

No.79494 - 2021/11/20(Sat) 13:58:53

Re: 集合の問題 / naooo316
ITさん

お返事ありがとうございます。

> 一般にP∩Q∩Rは、Q の部分集合です。これは分かりますか?
> Q={1,b}  であることは分かりますか?


> Q={1,b} の部分集合は、空集合、Qとそれ以外にどんな可能性がありますか?

ここまでは理解できているように思います(以下、自分の理解の確認も含め自分で書いたベン図とQの部分集合について書いたメモを添付します)。

今理解できていないのは、問題文の「集合P∩Q∩Rがただ一つの負の数からなるとき」という部分です。

集合P(-3,aのうちa)の要素が解答の候補とならないのは、既にPが負数(=-3)を含んでいるから、という理解で合っているのでしょうか?
「集合P∩Q∩Rがただ一つの負の数からなるとき」という記載に限って言えば、集合Pそのものは全ての集合の共通部分とは切り分けて考えることができて、aも解答の候補となり得ると思ったのですが。

No.79499 - 2021/11/21(Sun) 12:04:07

Re: 集合の問題 / IT
「P∩Q∩Rがただ一つの負の数からなることと、Q={1,b}から
P∩Q∩R={b}」
をもう一度読み直して、この推論が正しいことを確認してください。
そのための、ヒントをこの前の回答では書いたつもりです。

(注)b=-3≠aかも知れませんし、b=a≠-3かも知れませんし、b=a=-3かも知れませんが、とりあえず、ここでは、Pのことは直接は考えていません。
問題を解くときには、ある部分に意識を集中して考えること、と 全体のつながりや構造を考えること の両方が必要です。

No.79500 - 2021/11/21(Sun) 12:16:31

Re: 集合の問題 / ast
蛇足だとは思いますが, 一応. 明らかに冗長ですが, Q ではなく P に注目して情報を整理するなら以下のようにできます.

(P={-3,a}, Q={1,b}, R={2a,5b} は既知として) P∩Q∩R がただ一つの負の数からなることと P={-3,a} から P∩Q∩R={-3}または[a<0 かつ P∩Q∩R={a}]でなければならない.
 [i] P∩Q∩R={-3} のとき:
  P∩Q∩R⊂Q から b=-3 が必要, かつ
  P∩Q∩R⊂R から [-3=2a または -3=5b] が必要.
  [i-1] -3=2a のとき P={-3,-3/2}, Q={1,-3}, R={-3,-15} となり確かに P∩Q∩R={-3} が成り立つ.
  [i-2] -3=5b のとき b=-3 に矛盾 (あるいは P={-3,a}, Q={1,-3/5}, R={2a,-3} となり P∩Q∩R=∅ (矛盾)).
 [ii] a<0 かつ P∩Q∩R={a} のとき:
  P∩Q∩R⊂Q から b=a が必要 (1 は負でないから 1=a はない), かつ
  P∩Q∩R⊂R から [a=2a または a=5b] が必要.
  [ii-1] a=2a のとき, a=0 となり a<0 という仮定に矛盾 (あるいは, したがって b=a=0 だから P={-3,0}, Q={1,0}, R={0,0} となり P∩Q∩R={0} (矛盾)).
  [ii-2] a=5b のとき, a=5b=5a から a=0. 上と同様に矛盾.
以上をまとめると, P∩Q∩R={-3} のとき b=-3 かつ a=-3/2 である場合のみ所期の条件を満たすに (必要かつ)十分である.[終]

## 明らかにほとんどの場面で P∩Q∩R⊂Q から得られる情報である P∩Q∩R={b} が決め手になっていますので,
## たぶん最初にこの解答を考えたとしても模範解答のように内容を組み直す人がほとんどじゃないかなあ.

No.79513 - 2021/11/22(Mon) 04:23:42

Re: 集合の問題 / naooo316
ITさん、astさん

お返事ありがとうございます。
a<0 かつ P∩Q∩R={a} のときを考えて、それが仮定と矛盾、という箇所で納得できました。

まだ自分の全体集合・部分集合についての理解が不足しているように思えますので、本問題と類似問題の解き直しで理解を深めていこうと思います。

今一度、ありがとうございました。

No.79520 - 2021/11/22(Mon) 11:20:43
解と係数の関係 / なこたろう
高校2年です。以下の問題がわからなくて困っているので、教えていただきたいです。

解と係数の関係が、
α[1]+β[1]=-1,α[1]β[1]=-4
となっているとき、β[1]をα[1]の式で表せ。

具体的なα[1]、β[1]の値は求められたのですが、その値を使うのですか?
解き方まで具体的に教えていただけたら嬉しいです。
※解答はまだないのでわからないです、すみません。

No.79487 - 2021/11/19(Fri) 22:20:19

Re: 解と係数の関係 / IT
問題は合っていますか?
α[1]+β[1]=-1 より β[1]=-1-α[1]
とか α[1]β[1]=-4 より β[1]=-4/α[1]
だと簡単すぎますね?

No.79488 - 2021/11/19(Fri) 22:54:17

Re: 解と係数の関係 / ast
FYI.

高校と大学に同時に通うとかすごい頑張りますね^^

No.79489 - 2021/11/19(Fri) 23:07:10

Re: 解と係数の関係 / IT
同じ質問者だとすると、あちこちでつまみ食いするより、最初に質問して回答があったところで、しっかり研究された方が良いと思います。

「解と係数の関係が・・」これだけでは意味不明です。
なお、本質的ではないですがα[1]、β[1]は、これしか出てこないならα、βと書けばいいです。

No.79491 - 2021/11/20(Sat) 07:41:32
(No Subject) / ぼんじくん
前回下記の質問をした者です。

この問題をよろしくお願いいたします。単純な問題では無いと思います。私にはさっぱり分かりません。

2つの自然数xとyの乗算は「xをy回加算する」ことで可能です。 これに対して、yの2進数表示を利用して「「加算」する演算に加えて「2倍する」演算も用いることで少ない演算回数でxとyの乗算を計算する方法」を考えてください。

ヨッシーさんの仰った、コンピューター的計算方法について、発想も含めて教えて頂きたいです。

No.79483 - 2021/11/19(Fri) 17:49:01

Re: / 関数電卓
例えば 13×7 の計算は縦に書くと <図1> のようになりますが,これを2進数で行えば,<図2> のようになります。見ればお分かりのように 10 進数の乗算と特に変わったことをしているわけではありません。図中に書いたように,
 2進数を左に1桁ずらすことは ×2 に相当
するので,
 A×7=A×(4+2+1)
をしています。ですので,
> コンピューター的計算方法について、発想も含めて教えて頂きたい
については,上記の通りで,特記することはありません。
そして,前回のスレッドに書きましたように,コンピュータ内では,この「桁ずらし」を極めて短時間に行うことが出来るということです。

No.79486 - 2021/11/19(Fri) 21:50:50
(No Subject) / 梨奈
R^2上で定義された2変数関数 f(x) = cos(xy + y^3 + π/6)を考える。

(1)曲面 z = f(x,y)に対して、点(-1,1)での接平面の方程式を求めよ。

(2)点(-1,1)でのfのテイラー展開を
f(x,y) = (x,yの2次多項式)+(剰余項)
の形で求めよ。
(剰余項は単にR3と書いて良い)

No.79482 - 2021/11/19(Fri) 17:35:53

Re: / ast
実質的に, (-1,1) における1次および2次の各偏微分係数をすべて求めよという単純計算の問題 (必要な計算ができたらあとは一般式に当てはめるだけ) なので, コメントがつかないのはそのせいかと愚考します.

# もし計算が上手く行かないというような趣旨なら, (できればやってみた内容を回答者が添削できるように
# 具体的に提示したうえで) 趣旨を明確にして質問するほうがコメントはつきやすいでしょう)
# もし一般式 (公式) が分からないという趣旨なら, 教科書を開いて該当箇所を探すよう促しますし,
# 式の意味がうまく読み取れないという趣旨なら, 該当箇所の内容を提示の上でより具体的な不明部分について問うべきです.
## 大学以上のレベルだと「問題」は「教科書を読むため」(資料の抽象的な記述を具体例を通じて
## ある程度具体化するため) に解くので, 教科書・資料は常に開いて傍らに置いておくべき
## (何度も繰り返し参照すべきもの) だと思います.

No.79512 - 2021/11/22(Mon) 02:58:45
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