整数問題
何卒宜しくお願いします
以下問題
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No.87586 - 2024/03/02(Sat) 14:23:23
| ☆ Re: 整数問題０２整数問題 / WIZ | | | a = tan(A), b = tan(C), c = tan(C)とします。
0 < A < πより、a = tan(A) ≠ 0
0 < B < πより、b = tan(B) ≠ 0
0 < C < πより、c = tan(C) ≠ 0です。
但し、c < 0つまりC > π/2だと、A < π/2かつB < π/2なので、a > 0かつb > 0となります。
つまり、a, b, cの中で負になるものは高々1つです。
c = tan(C) = tan(π-A-B)
= {tan(π)+tan(-A-B)}/{1-tan(π)tan(-A-B)}
= {0-tan(A+B)}/{1+0*tan(A+B)}
= -tan(A+B)
= -{tan(A)+tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)}
= -{a+b}/{1-ab}
⇒ c*(1-ab) = -(a+b)
⇒ abc = a+b+c
(ア)a, b, cの3個とも正の場合
a ≦ b ≦ cと仮定しても一般性は失われません。
⇒ ab = a/c+b/c+c/c ≦ 1+1+1 = 3
よって、1 ≦ ab ≦ 3となります。
(ア-1)ab = 1の場合
abc = a+b+c ⇒ c = a+b+c ⇒ 0 = a+b
(a, b) = (1, 1)なので、上記は不可。
(ア-2)ab = 2の場合
abc = a+b+c ⇒ 2c = a+b+c ⇒ c = a+b
(a, b) = (1, 2)なので、c = 3。これは適。
(ア-3)ab = 3の場合
abc = a+b+c ⇒ 3c = a+b+c ⇒ 2c = a+b
(a, b) = (1, 3)なので、c = 2。
これはb ≦ cに反するので不適。
# (a, b, c) = (1, 3, 2)は解としては間違っていないが(ア-2)の並び替えなので捨てる。
(イ)a, b, cの内、2個が正で他の1個が負の場合
0 < a, 0 < b, c < 0としても一般性は失われません。
abc = a+b+c ⇒ c(ab-1) = a+b
ここで、ab-1 ≧ 0なので、c(ab-1) ≦ 0。
しかし、a+b > 0なので、これは不可。
以上から、(a, b, c) = (1, 2, 3)及び順序を入れ替えたもののみ。
# 計算間違いしていたらごめんなさい!
以下余談
a = tan(A) = 1はA = π/4, sin(A) = cos(A) = 1/√2
b = tan(B) = 2はsin(B) = 2/√5, cos(B) = 1/√5
c = tan(C) = 3はsin(C) = 3/√10, cos(C) = 1/√10
正弦定理より、
|BC|/sin(A) = |CA|/sin(B) = |AB|/sin(C)
⇒ |BC|√2 = |CA|(√5)/2 = |AB|(√10)/3
|CA| = |BC|*2√(2/5) = |BC|*(2/5)√10
|AB| = |BC|*3√(2/10) = |BC|*(3/5)√5
よって、3辺の長さの比は
1:(2/5)√10:(3/5)√5 = 5:2√10:3√5
余弦定理による検算
{25+40-45}/{2*10√10] = 1/√10
{25+45-40}/{2*15√5} = 1/√5
{40+45-25}/{2*6√50} = 1/√2
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No.87591 - 2024/03/02(Sat) 17:53:15 |
| ☆ Re: 整数問題０２整数問題 / Nishino (中学２年生) | | | WIZ先生、
こんばんは
ご回答頂きありがとうございました。
>⇒ abc = a+b+c
は、美しい定理ですよね。定理は知っていましたが、証明は考えた事がなく勉強になりました
私の答案です
ご指摘ご指導のほどよろしくお願いいたします。
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No.87593 - 2024/03/02(Sat) 22:59:43 |
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