文系の大学生です。何が何だかさっぱりわからないので丁寧に教えてもらえると助かります。是非ともよろしくお願いします。どなたか助けてください。
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No.75500 - 2021/06/07(Mon) 15:07:59
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / ヨッシー  | | | (1)
点(1/√3, 1/√3, 1/√3) を通り、ベクトル(1/√3, 1/√3, 1/√3)に垂直な平面
(2)
ｃ＝√(1−a^2−b^2) とおくと、
点(a,b,c) を通り、ベクトル(a,b,c) に垂直な平面
と書いて、平面の式がスッと立てられるようなら説明は楽ですが、どうでしょうか？
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No.75503 - 2021/06/07(Mon) 17:07:28 |
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / 関数電卓 | | | (1)の図です。
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No.75516 - 2021/06/07(Mon) 18:57:44 |
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / 大学数学むずい | | | できれば途中式と答えまで書いてくださると有り難いです。何卒よろしかお願いします。
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No.75518 - 2021/06/07(Mon) 19:00:22 |
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / 関数電卓 | | | 2 次元で
円 x^2＋y^2＝1
上の点 (p, q) における接線の方程式は
px＋qy＝1
です。
3 次元で
球 x^2＋y^2＋z^2＝1
上の点 (p, q, r) における接平面の方程式は
px＋qy＋rz＝1 …(*)
です。
本問では (p, q, r)＝(1/√3, 1/√3, 1/√3) ですから(*)に代入して，
1/√3･x＋1/√3･y＋1/√3･z＝1
よって，求める接平面の方程式は
x＋y＋z＝√3
となります。上の図中に書きました。
(*)式まで導くのは，かなり大変です。お手持ちのテキストに書いてあるはずです。
ところで，
理解されたら，最後に返信を下さいね。
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No.75524 - 2021/06/07(Mon) 19:41:27 |
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / 大学数学むずい | | | そんな公式みたいなものがあるのですね！ありがとうございます。知らなかったです…テキストというかダウンロードした資料には記載がなかったです。(＊)の式の使い方は理解しました。
(2)では、求める接平面の式は ax+by+cz=1になるということで合っていますかね？
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No.75545 - 2021/06/08(Tue) 00:22:20 |
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / GandB | | | > そんな公式みたいなものがあるのですね！ありがとうございます。
> 知らなかったです…テキストというかダウンロードした資料には記載がなかったです。
> (＊)の式の使い方は理解しました。
うーん。どうもねえ。本人が理解したと納得しているのなら、それでいいのだが、(＊)の式とその使い方を丸暗記したところで、応用が利かない。
No.75503 のヒントを参考にして高校数学の範囲（と思われる）で(1)を解く。
点 A(x0, y0, z0) を通りn↑= (a, b, c) に垂直な平面上の点 P(x,y,z) は
AP↑・n↑ = 0
なので、
AP↑= OP↑- OA↑= (x-x0, y-y0, z-z0).
AP↑・n↑ = (x-x0, y-y0, z-z0)・(a, b, c)
= a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0. ･････(#)
これが3次元空間における一般的な平面の方程式。問題の(1)は
x^2 + y^2 + z^2 = 1
の点 A(1/√3, 1/√3, 1/√3) における接平面の方程式を求めるわけだが、A は球面との接点なのだから法線ベクトルも
n↑= OA↑= (1/√3, 1/√3, 1/√3)
となる。したがって(#)より
1/√3(x-1/√3) + 1/√3(y-1/√3) + 1/√3(z-1/√3) = 0.
(1/√3)x - 1/3 + (1/√3)y - 1/3 + (1/√3)z -1/3 = 0.
(1/√3)x + (1/√3)y + (1/√3)z = 1.
∴x + y + z = √3.
しかし、問題文では2変数関数
z = √(1-x^2-y^2)
と明記されているし、「大学数学むずい」のハンドルを考慮して（笑）、曲面 z = f(x,y) 上の点 A(x0, y0, z0) における接平面の方程式
z - z0 = (∂f/∂x)(x-x0) + (∂f/∂y)(y-y0) ･････(##)
を使った解答も示しておく。
z = f(x,y) = √(1-x^2-y^2)
∂f/∂x = -x/√(1-x^2-y^2). ∂f(1/√3,1/√3)/∂x = -1.
∂f/∂y = -y/√(1-x^2-y^2). ∂f(1/√3,1/√3)/∂y = -1.
点 A(1/√3, 1/√3, 1/√3) における接平面の方程式は、この結果を(##)に代入して
z - 1/√3 = -(x-1/√3) - (y-1/√3)
= - x - y + 2/√3
∴x + y + z = 3/√3 = √3
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No.75556 - 2021/06/08(Tue) 12:14:22 |
| ☆ Re: 教えてくださいお願いします / 関数電卓 | | | GandB さんの解説の前半部分を説明する図です。
青い円 は，点 A を通り x 軸に垂直な平面と球面の交線，緑の円 は，点 A を通り y 軸に垂直な平面と球面の交線で，A 点から下に伸びる矢印 AP↑, AP'↑は，A 点でのそれぞれの円への接線ベクトルです。AP↑, AP’↑はともに OA↑に垂直 で，AP↑とAP’↑が張る平面（＝OA↑＋αAP↑＋βAP’↑ で表される点が作る平面）が接平面 となります。
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No.75571 - 2021/06/08(Tue) 22:17:05 |
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