測度論的確率論の問題です.どなたか教えていただけませんでしょうか.
以下,（Ω,F）は可測空間とし, R を実数全体集合とする.
1, F1 ∩ F2 がσ集合体であることを証明せよ. (F1,F2 はシグマ集合体)
2, F1 ∪ F2 がσ集合体でない例を挙げよ. (F1,F2 はシグマ集合体)
3, Ω = {a,b,c,d} とするとき,{a,b}と{b,c,d} を含むΩ上の最小のσ集合体を求めよ.
よろしくお願いいたします.
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No.75422 - 2021/06/05(Sat) 01:34:15
| ☆ Re: σ集合体について / ast | | | > 以下,（Ω,F）は可測空間とし, R を実数全体集合とする.
どういうつもりでこの行を入れたかよくわからないですが, この条件は使ってませんね.
むしろ
> (F1,F2 はシグマ集合体)
は「(F1,F2 はΩ上のシグマ集合体)」と書くべきでは. そうするとこれは「(Ω,F_1), (Ω,F_2) はともに可測空間」と書くのと同義になります. この質問文だけだと問題が置かれた文脈が不明瞭なため,「Ω上の」と入れない場合ベースの集合が (Ω_1,F_1), (Ω_2,F_2) のように別々という場合も想定しないといけなくなります. (もっといえば「Ω_1 と Ω_2 をともに含むもっと広い集合 Ω がとれるとは限らず, そうであれば F_1 と F_2 に対する集合算が意味を為さない」ということも起こり得るので状況設定として真っ当でない.)
閑話休題.
1. はσ-algebraの定義要件を見るなぞるだけなので自明でしょう (定義にいう各々の集合算で閉じていることは "A∈F_1∩F_2 ⇔ ∀i=1,2: A∈F_i" の⇒いって←に戻るという作業をそれぞれの演算でやるだけですぐに言える)
2. は例えば 3. と同じ設定で Ω:={a,b,c,d}, F_1:={∅,{a,b},{c,d},Ω}, F_2:={∅,{a},{b,c,d},Ω} を考えた場合はどうでしょうか? (頭がボケてるのでそもそも F_i が σ-algebra になってないかもしれませんがその辺はご自身で修正してください (そもそも自分で弄って具体例を見つけること自体がテキストで抽象的に書かれている内容を本当に理解して読むという営みそのものなので, まあそういうことだということにして勘弁してください).
なので, 3. は説明しません. 新しい部分集合が出てこなくなるまで三種の集合算を再帰的に (これ重要) 繰り返し適用してください.
# 具体的に計算してみた内容をお書きになれば添削のお手伝いくらいはします.
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No.75448 - 2021/06/05(Sat) 17:24:38 |
| ☆ Re: σ集合体について / ねる | | | ご返信ありがとうございます.まず,最初の条件文に関してはこれ以降の問のために用意されていたものであったので,関係ありませんでした.失礼しました.また,Ω上のσ週五位タイについてでした.
1番について.∀E∈F1∩F2を取ると,E∈F1かつE∈F2となり,(a),F1とF2がΩ上のσ集合体であることより,E=Ωを選べてΩ∈F1かつΩ∈F2より,Ω∈F1∩F2.
(b), F1とF2がΩ上のσ集合体であることより,E^c∈F1かつE^c∈F2より,E^c∈F1∩F2.
(c)∀E_i∈F1∩F2 (i=1,2,3...)をとり,E_i∈F1かつE_1∈F2となり,F1とF2がΩ上のσ集合体であることより∪[i=1→∞]E_i∈F1かつ∪[i=1→∞]E_i∈F2,よって∪[i=1→∞]E_i∈F1∩F2, 以上より示せた.
となりました.
2番について,astさんに挙げていただいた例では,F1∪F2={∅,{a,b},{c,d},Ω,{a},{b,c,d}}となり,例えば{a,b}∩{b,c,d}={b}であるが,要素に含まれないのでσ集合体ではない.
3番について.
{φ,Ω,{a},{b},{a,b},{b,c,d},{c,d},{a,c,d}}が作れました.講義で先生で要素数は2^nになると言っていたので,今回８個なので漏れはないと思います.しかし,2^nという要素数がどこから来るのでしょうか.
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No.75461 - 2021/06/05(Sat) 19:39:50 |
| ☆ Re: σ集合体について / ast | | | ざっと見る限り特に問題はなさそうですね.
> 講義で先生で要素数は2^nになると言っていたので
というのはそんな定理みたいなのあったっけと思って調べたけどよくわからないですね. もしかして「n は Ω の要素数 (n=|Ω|) で, 冪集合代数 2^Ω (実際これも一つのσ-algebraになります) の要素数が |2^Ω|=2^|Ω|」とかいうような話と混同されてはないですか?
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No.75465 - 2021/06/05(Sat) 20:57:44 |
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