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★ 格子 / アーモンド



この問題がわかりません。






Oを原点とする座標平面上に2点A（6,0）、B（0,6）があり、座標平面上を動く点Pが初め原点にある。次の（操作）を6回繰り返し行う。
（操作）2枚の硬貨を投げ、表が2枚出ればPをx軸の正の向きに1だけ動かし、表と裏が1枚ずつ出ればPをy軸の正の向きに1だけ動かし、裏が2枚出ればPを動かさない。
（操作）を6回行った後のPの位置について、問に答えよ。

（問）Pが三角形OABの内部にあり、かつ、三角形PABの面積が6以下である確率を求めよ。
No.75309 - 2021/06/01(Tue) 12:46:21
☆ Re: 格子 / ヨッシー
辺上の点は内部と見なさないとしています。

６回操作したあとのＰの座標を(x, y) とすると、
　0≦ｘ, 0≦ｙ, ｘ＋ｙ≦６
であり、面積は
　△ＯＡＰ＝ＯＡ×ｙ÷２＝３ｙ
　△ＯＢＰ＝ＯＢ×ｘ÷２＝３ｘ
より
　△ＰＡＢ＝△ＯＡＢ−△ＯＡＰ−△ＯＢＰ＝18−3(x+y)
これが６以下であるためには、
　12≦3(x+y)
　4≦ｘ＋ｙ
よって、図の青い点が条件を満たす点となります。

つまり、Ｐの座標が
　(1, 3) (1, 4) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (4, 1)
のときで、以下、確率を求めます。

表表が出る事象をＲ，表裏が出る事象をＳ，裏裏が出る事象をＴとします。
一回あたりの確率は　Ｓが1/2、ＲとＴが1/4ずつです。
　(1, 3)：ＲＳＳＳＴＴの並び替えが　6Ｃ1×5Ｃ2＝60　確率が 1/512
　(1, 4)：ＲＳＳＳＳＴの並び替えが　6Ｃ1×5Ｃ1＝30　確率が 1/256
　(2, 2)：ＲＲＳＳＴＴの並び替えが　6Ｃ2×4Ｃ2＝90　確率が 1/1024
　(2, 3)：ＲＲＳＳＳＴの並び替えが　6Ｃ1×5Ｃ2＝60　確率が 1/512
　(3, 1)：ＲＲＲＳＴＴの並び替えが　6Ｃ1×5Ｃ2＝60　確率が 1/2048
　(3, 2)：ＲＲＲＳＳＴの並び替えが　6Ｃ1×5Ｃ2＝60　確率が 1/1024
　(4, 1)：ＲＲＲＲＳＴの並び替えが　6Ｃ1×5Ｃ1＝30　確率が 1/2048
よって、求める確率は
　60/512＋30/256＋90/1024＋60/512＋60/2048＋60/1024＋30/2048
　＝30/256＋120/512＋150/1024＋90/2048
　＝240/2048＋480/2048＋300/2048＋90/2048
　＝1110/2048
　＝555/1024
No.75312 - 2021/06/01(Tue) 14:21:32
☆ Re: 格子 / アーモンド
ありがとうございます。余事象を使わずに解く方法もあるのですね。
No.75313 - 2021/06/01(Tue) 14:31:18
☆ Re: 格子 / ヨッシー
あ、余事象の方が良いのかなぁ。
でも思いつかなかったので。

思いついたのが、いい方法。
私のモットーです。
No.75321 - 2021/06/01(Tue) 16:44:31
★ (1)の固有値を教えください / ネル
他の問題同様に解いたつもりが全然固有値が出ないので困ってます。
固有方程式→サラス→因数定理で出ると思っていたのですが自分の計算ミスなのか？それともやり方が間違えているのか？回答がない問題なため確認のつもりで質問しました。
No.75298 - 2021/06/01(Tue) 04:14:52
☆ Re: (1)の固有値を教えください / ヨッシー
固有値をｘとして、行列式を計算すると、このようになります。

因数分解すると
　−(x−1)2(x−3)
となります。

とりあえず固有値が求められたら、１つ先に進めるでしょう。
No.75299 - 2021/06/01(Tue) 05:53:16
☆ Re: (1)の固有値を教えください / ネル
ちゃんと固有値出せるまで計算出来ました！本当にありがとうございます。
立て続けに申し訳無いのですが、固有ベクトル解いて見たので見てもらえます？
No.75303 - 2021/06/01(Tue) 09:12:25
☆ Re: (1)の固有値を教えください / ヨッシー
良いと思います。
No.75304 - 2021/06/01(Tue) 10:14:23
☆ Re: (1)の固有値を教えください / 関数電卓
老爺心ながら…
(2) 最大固有値 3 に対応する固有ベクトルはお書きの (3,−2, 1) で OK ですが，(3)を解答するためには固有値 1 に対応する固有ベクトルを求める必要があります。
固有値 1 は固有方程式の重解ですので，固有ベクトルを求めるために一工夫必要です。
例えば ここ のP.170 例題１が参考になります。
結果のみが必要な場合には， こちら が強力な助っ人です。
No.75329 - 2021/06/01(Tue) 22:05:45
★ 数l / たろう
(2)の解法と答えを教えてください
No.75296 - 2021/06/01(Tue) 01:17:37
☆ Re: 数l / ヨッシー

p, q はそれぞれ
　ｐ：ａ＜１
　ｑ：ａ≧3/4
(1) ａ＜3/4 は ａ＜１であるための　○○条件
(2) ｐかつｑ とは 3/4≦ａ＜１ のことです。
　3/4≦ａ＜１　→　ｋ＜ａ＜ｋ＋１
ということは、3/4≦ａ＜１　が　ｋ＜ａ＜ｋ＋１　の
内部に完全に収まることなので(以下略)
No.75300 - 2021/06/01(Tue) 06:19:18
☆ Re: 数l / たろう
結構、解法があっさりしていて意外でした。どうもありがとうございました！
No.75330 - 2021/06/01(Tue) 23:40:16
★ 余剰定理 / One
余剰定理の問題の一貫したコツみたいなものを教えてください。一応、商を更に割るや、余りを更にに割る、微分するなどは聞いたことがあるのですが、計算が大変になるのはまだしも、解けないということがない様な解法を特に教えてください。
No.75295 - 2021/06/01(Tue) 00:35:40
☆ Re: 余剰定理 / One
あの、返信よろしくお願いします。
No.75335 - 2021/06/02(Wed) 02:45:19
★ (No Subject) / 数学苦手
これで合ってますか？
No.75294 - 2021/06/01(Tue) 00:24:05
☆ Re: / 数学苦手
すみません。焦って、返信のところに送信せずに投稿しました。失礼しました。
No.75297 - 2021/06/01(Tue) 01:46:18
★ (No Subject) / 数学苦手
この選択肢2番はベン図で表せないのでしょうか？
No.75293 - 2021/06/01(Tue) 00:21:21
☆ Re: / ヨッシー
上に描かれたので合ってます。
No.75301 - 2021/06/01(Tue) 06:40:43
☆ Re: / 数学苦手
こちらの問題では先に出てきたものに覆い被さるようにベン図を書かなくてはならなかったのですが多分ルールでしょうか？
No.75307 - 2021/06/01(Tue) 11:11:59
☆ Re: / ヨッシー
与えられた条件のとおりに描く。
これがルールです。

その結果「覆いかぶさるように描く」ことがあっても不思議ではありません。

ちなみに、先に出てきたものを先に描かないといけないというルールはありません。
No.75308 - 2021/06/01(Tue) 11:21:44
☆ Re: / 数学苦手
そうですよね。社会を大きく描いて、そのなかに理科の図を描くと社会は得意だけど理科は苦手な人のゾーンもできてしまいますものね。
No.75310 - 2021/06/01(Tue) 13:32:57
★ 数B / かるけどん
数Bの確率漸化式です。(1)からどうしたら良いのかわかりません。どなたか解答例を教えてください💦
No.75292 - 2021/05/31(Mon) 23:22:05
☆ Re: 数B / ヨッシー
とりあえず(2)まで

(1)
１からｎ回目まですべて、１，３，７ を取り出した場合なので、
　３^n 通り
(2)
以下、１，３，７しか取り出さないとします。
つまり、すべての場合の数は３^n 通りです。
　Ｚn＝３　となる取り出し方がｃn通り、
　Ｚn＝７　となる取り出し方がｄn通りあるとします。
Ｚn＝１であるａn通りの取り出し方は n+1 回目には　１，３，７ になります。
同様に、
　ｂn は、９，７，３　に
　ｃn は、３，９，１　に
　ｄn は、７，１，９　に
それぞれなります。
　ａ[n+1]＝ａn＋ｃn＋ｄn
　ｂ[n+1]＝ｂn＋ｃn＋ｄn
ここで　ｅn＝ｃn＋ｄn とおくと
　ａ[n+1]＝ａn＋ｅn
　ｂ[n+1]＝ｂn＋ｅn
ｅn＝３^n−ａn−ｂn
なので、
　ａ[n+1]＝ａn＋３^n−ａn−ｂn＝３^n−ｂn
　ｂ[n+1]＝ｂn＋３^n−ａn−ｂn＝３^n−ａn
No.75302 - 2021/06/01(Tue) 07:10:50
★ 数学です。 / ま
全く分かりません。よろしくお願いします。
No.75284 - 2021/05/31(Mon) 21:09:41
☆ Re: 数学です。 / ヨッシー
ＡＸ，ＢＸを計算する
と書いてあるのですから、まずそれをやりましょう。

(2) の結論は多分、「いかなるＸを掛けても積がＩになることはない」です。
No.75285 - 2021/05/31(Mon) 21:44:53
☆ Re: 数学です。 / ま
計算してそこからが全く分からないの計算式やなぜそうなるのかを詳しく教えていただけると助かります。
No.75287 - 2021/05/31(Mon) 22:24:55
☆ Re: 数学です。 / GandB
　まったくわからないのであればテキストに戻ったほうがいいと思うが。とりあえず(1)だけ示す。
No.75291 - 2021/05/31(Mon) 23:03:17
☆ Re: 数学です。 / ttt
横から失礼。
テキストを見ても分からないから聞きに来たんだと思うのだが…。ちょっと言い方冷たすぎるのでは？？
No.75311 - 2021/06/01(Tue) 14:20:41
☆ Re: 数学です。 / ヨッシー
それでも、(1) を解いて下さっているのですから、しっかり咀嚼してください。
"ま"さんも、tttさんも。
No.75315 - 2021/06/01(Tue) 14:42:52
★ 微積分学１A / キリンさん
問題1.13の2問とも解説を教えて欲しいですお願いします
(2)の答えはπ／4です
No.75275 - 2021/05/31(Mon) 17:42:53
☆ Re: 微積分学１A / ヨッシー
(1)
tanα＝1/(2n+1), tanβ＝1/2n^2 と置くと、tan の加法定理
　tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1−tanαtanβ)
より
　tan(α＋β)＝(1/(2n+1)＋1/2n^2)/(1−1/2(2n+1)n^2)
　　＝((2n+1)＋2n^2)/(2(2n+1)n^2−1)
　　＝(2n^2＋2n＋1)/(4n^3＋2n^2−1)
　　＝1/(2n−1)
よって、
　α＋β＝tan^(-1){1/(2n−1)}
となり、与式は成り立ちます。
(2)
　tan^(-1)(1/2n^2)＝tan^(-1){1/(2n−1)}−tan^(-1){1/(2n＋1)}
であるので、
　Σtan^(-1)(1/2n^2)＝tan^(-1)(1/1)−tan^(-1)(1/3)＋tan^(-1)(1/3)}−tan^(-1)(1/5)＋・・・
　＝lim[n→∞]{tan^(-1)(1/1)−tan^(-1)(1/(2n＋1))}
　＝π/4
No.75280 - 2021/05/31(Mon) 19:13:32
☆ Re: 微積分学１A / キリンさん
ありがとうございます！
No.75306 - 2021/06/01(Tue) 11:09:03
★ (No Subject) / 数学苦手
これってCはaの方向の側面から見たらどんなに見えるのか分かりますか？
No.75272 - 2021/05/31(Mon) 17:12:37
☆ Re: / 数学苦手
やっぱり後ろに行くにつれて狭くなってるからダメですよね？
No.75274 - 2021/05/31(Mon) 17:36:09
☆ Re: / 数学苦手
この線が端から端まで行ってないから、🟥のとこが同じ長さにはならないですね？
No.75279 - 2021/05/31(Mon) 19:04:46
★ (No Subject) / きゃぴたる
次の関数f(x) (xは実数)が確率密度関数であるとする。ただしkは正の実数である
f(x)= 0 (x＜-8)
　　 (k/2)x+4k (-8≦x≦0)
　　k(x-2)^2 (0≦x≦2)
　　 0 (2＜x)

(1)kの値を求めよ という問題で
?甜-∞〜∞]f(x) dx =1になれば良いので、

?甜-∞〜∞]f(x) dx = ?甜-8〜0](k/2+4k) dx + ?甜0〜2]k(x-2)^2 dx
を立てたのですが、積分の仕方を失念してしまい
計算が分かりません。
教えていただきたく思います。よろしくお願いします。
No.75270 - 2021/05/31(Mon) 16:56:30
☆ Re: / ヨッシー
?? ではなく ∫ を使ったほうが良いです。
あと、
　∫[-8〜0](k/2+4k) dx
ではなく
　∫[-8〜0]{(k/2)x+4k}dx
ですね。

積分がダメなら、微分はどうですか？
　f(x)＝x　の微分
　g(x)＝x^2　の微分
　h(x)＝x^3　の微分
No.75271 - 2021/05/31(Mon) 17:05:51
☆ Re: / きゃぴたる
ご返信ありがとうございます

xの微分は1/2x^2でしょうか？
No.75277 - 2021/05/31(Mon) 18:48:06
☆ Re: / ヨッシー
違います。

それが　(1/2)x^2 の意味だとすると、それは積分です。

とりあえず、ネットかテキストで微分公式、積分公式を調べましょう。
No.75278 - 2021/05/31(Mon) 18:50:47
☆ Re: / きゃぴたる
ごっちゃになってしまっていました
f(x)＝x　の微分　→ 1
g(x)＝x^2　の微分 → x
h(x)＝x^3　の微分　→ 2x^2
No.75281 - 2021/05/31(Mon) 19:19:34
☆ Re: / ヨッシー
まだ違いますよ。
　ｘの微分→１
は合っています。

で、ちゃんと書けたら、今度は
　微分して１になる関数は？→ｘ　・・・１の積分はｘ
　微分してｘになる関数は？→???　・・・ｘの積分は？？？
というふうに、逆に考えます。
No.75282 - 2021/05/31(Mon) 19:34:08
☆ Re: / きゃぴたる
?甜-∞〜∞]f(x) dx = ?甜-8〜0](k/2+4k) dx + ?甜0〜2]k(x-2)^2 dx

何度もすみません、ありがとうございます
上の先を積分したら、
(k/2)x+4k → (1/4)kx^2+4kx
(x-2)^2 → (1/3)x^3-2x^2+4x
であっていますか？
No.75283 - 2021/05/31(Mon) 20:19:04
☆ Re: / ヨッシー
はい、合ってます。

あとは、定積分を計算します。
No.75286 - 2021/05/31(Mon) 21:48:59
☆ Re: / きゃぴたる
> はい、合ってます。
>
> あとは、定積分を計算します。

ありがとうございます！
(56/3)kになりました
No.75288 - 2021/05/31(Mon) 22:34:16
☆ Re: / ヨッシー
はい。
そこまでは合っています。
No.75305 - 2021/06/01(Tue) 11:01:36
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題がよく分かりません。
No.75237 - 2021/05/30(Sun) 23:22:33
☆ Re: / ヨッシー
こちらの(3) と同じ考え方です。
　55×6＝330　２．が正解
No.75239 - 2021/05/30(Sun) 23:37:19
☆ Re: / 数学苦手
この解説の45+45のところは正面+側面ですね。
No.75240 - 2021/05/31(Mon) 01:06:44
☆ Re: / らすかる
違います。正面+「側面2つと底面」です。
No.75241 - 2021/05/31(Mon) 03:33:28
☆ Re: / 数学苦手
側面2つと底面も45はなぜ…
No.75242 - 2021/05/31(Mon) 09:33:51
☆ Re: / 数学苦手
この問題の図形を動かすのはありなのでしょうか。底面と側面が同じだから45＋45＋45にはならない…？
No.75246 - 2021/05/31(Mon) 10:17:36
☆ Re: / らすかる
> 側面2つと底面も45はなぜ…

その理由は上に書かれています。「この3つの面それぞれにおいて…」
の1文です。この「3つの面」に丸が付けてあって「側面2つと底面」と
自分で注意書きを書いていますが、内容は読まなかったのですか？
# 先にこれの説明がありますので、45+45は正確には
# 『正面+「側面2つと底面」』ではなく
# 『「側面2つと底面」+正面』ですね。

> この問題の図形を動かすのはありなのでしょうか。

立方体の位置関係が変わるように動かすのは「なし」です。
No.75248 - 2021/05/31(Mon) 10:40:39
☆ Re: / 数学苦手
正面から見た場合は底面は見えてないですよね？だから、正面＋側面2つだと考えてしまいました
No.75250 - 2021/05/31(Mon) 11:43:12
☆ Re: / らすかる
問題に「底面も含めて」と書かれていますから、
「持ち上げて下から覗く」ことも含まれています。
No.75252 - 2021/05/31(Mon) 11:54:20
☆ Re: / 数学苦手
なるほど…含めるのは分かってましたがどう見えたら含めるのか書いてないので分かりませんでした。それで、正面＋(側面+底面)となる理由が分かりません。底面と側面が同じって言うのが理解できないんですよね…
No.75255 - 2021/05/31(Mon) 12:25:01
☆ Re: / らすかる
立体図形の想像力を高めるために、
自分で立体を作って観察することを
強くお勧めします。
（作る作業自体も立体図形の想像力の強化になります）
No.75256 - 2021/05/31(Mon) 12:29:06
☆ Re: / 数学苦手
あー分かりました。この解説の上の図(側面2つ)と下の図の正面２面で45＋45ですね
No.75259 - 2021/05/31(Mon) 13:02:12
☆ Re: / 数学苦手
あ、正面は2面じゃないですね
No.75260 - 2021/05/31(Mon) 13:04:36
☆ Re: / 数学苦手
なんかこんな感じなんでしょうかね
No.75261 - 2021/05/31(Mon) 13:21:13
☆ Re: / らすかる
よくわかりませんが、多分「そんな感じ」ではないと思います。
底面の形は側面の形と全く同じです。
頭で考えてわからなければ実際に作って下さい。
百聞は一見に如かずです。
No.75262 - 2021/05/31(Mon) 14:32:41
☆ Re: / 数学苦手
傾けたら底面になるのかなと考えてしまいました
No.75264 - 2021/05/31(Mon) 16:02:52
☆ Re: / 数学苦手
こんな感じですかね
No.75265 - 2021/05/31(Mon) 16:04:26
☆ Re: / 数学苦手
きちんと数えてみたら分かりました。ありがとうございます？
No.75266 - 2021/05/31(Mon) 16:39:06
☆ Re: / 数学苦手
？はミスで打ちました。失礼しました。後ろ側から見た底面は少しガクガクしてて難しそうなのでやめました。
No.75267 - 2021/05/31(Mon) 16:40:45
★ 漸化式 / 出水
そもそも帰納法を用いて解くものなのか、そうだもしても2]の記述にまったく自信が無いので解説をお願いします……！
No.75227 - 2021/05/30(Sun) 21:45:42
☆ Re: 漸化式 / IT
>そもそも帰納法を用いて解くものなのか、
帰納法を用います。

>2]の記述にまったく自信が無いので解説をお願いします……！

a[k]< 2を仮定して、a[k+1]< 2 が言えてないように見えます。
下から２行目の右側の不等式は、なぜそうなりますか？
最後の不等式は、なぜ言えますか？
a[k+1]＜ 2 を示さないといけないのですが、そうなってないように見えますが？

不等式の羅列となっており、つながりが良く分かりません。
「・・・なので、・・・。…（ア）」とか
「仮定より・・・・。」とか
「よって、・・・・。」とか
「（ア）より・・・。」とか　明記して分かり安くする方が良いです。

aの添え字と添え字でない数字の区別が分かりにくいと思います。(a[k+1] を表しているのか、a[k]+1 を表しているのか)

ヒントのとおり、
　2-a[k+1] をa[k]で（できるだけ2-a[k]を使って）表したらどうですか？
No.75229 - 2021/05/30(Sun) 22:07:22
☆ Re: 漸化式 / 出水
やっぱりそうですよね。
粘ってみます、ありがとうございました……！
No.75253 - 2021/05/31(Mon) 11:55:56
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題の解き方分かりますか？全く分からないので、図解で教えて頂きたいです
No.75217 - 2021/05/30(Sun) 19:19:40
☆ Re: / ヨッシー
解き方も何も、見たままです。

No.75220 - 2021/05/30(Sun) 19:38:13
☆ Re: / 数学苦手
この出っぱりが気になりましたが選択肢にはないから気にしなくていいですかね
No.75222 - 2021/05/30(Sun) 20:32:41
☆ Re: / ヨッシー
その出っぱりを気にすると、上の５つの選択肢とは
別の側面図になると思いますか？

なんなら、描いてみてください。
間違いを指摘して差し上げます。
No.75224 - 2021/05/30(Sun) 20:47:54
☆ Re: / 数学苦手
うーん…書けと言われても…難しいです。すみません。
No.75232 - 2021/05/30(Sun) 22:24:01
☆ Re: / ヨッシー
では、上の５つの選択肢で十分だと言うことで良いですね？
出題者や私を含め、おおかたの人は異論がないはずですので。
No.75234 - 2021/05/30(Sun) 22:50:36
☆ Re: / 数学苦手
気にはなりますが大丈夫です
No.75235 - 2021/05/30(Sun) 23:19:57
☆ Re: / けんけんぱ
横から失礼します
質問をする/しないとは関係なく、腑に落ちないのであれば考え続けることをお勧めします。
No.75247 - 2021/05/31(Mon) 10:20:16
☆ Re: / 数学苦手
こんな感じになるのかなと考えてしまったのですがならないんですよね、、
No.75251 - 2021/05/31(Mon) 11:47:54
☆ Re: / らすかる
75220に描かれている図を見てもそのように思われるのでしたら、
立体を見たときの想像力を少しでも高めるために、
実際に立体を作って観察した方がいいと思います。
No.75254 - 2021/05/31(Mon) 12:01:07
☆ Re: / けんけんぱ
横から失礼します。
平面図(上から見た図)、正面図の２つの図がありますが、
それぞれに正面から見たときの方向、上から見たときの方向
の視線の矢印を書いてみてください。
そして、それぞれの図に右から見た時の方向矢印を書いてみてください。
（そこの認識が合っているかどうかの確認です。）
No.75268 - 2021/05/31(Mon) 16:45:44
☆ Re: / 数学苦手
そうですね。ヨッシーさんの図を見たら、赤丸の出っ張り部分は分かりました。正面から見たときは前に出っ張っている箇所があるのも平に描かれるところに注意ですね
No.75269 - 2021/05/31(Mon) 16:46:22
★ 数lll / タイタニック
(1)で傾きtan(θ+π/4)まで導出したんですが、それ以降の場合分けがわかりません。後、(2)もはじめからわからないので、どなたか解答例を教えていただけませんか。
No.75212 - 2021/05/30(Sun) 18:33:25
☆ Re: 数lll / タイタニック
問題です。
No.75213 - 2021/05/30(Sun) 18:34:16
☆ Re: 数lll / ヨッシー
(1)
傾きがtan(θ＋π/4) ということは、ｘ軸となす角が
θ＋π/4 ということです。
一方ＯＰとｘ軸のなす角はθなので、求めるなす角は
　π/4（一定）
となります。
場合分けするとしたら、θ＝π/4 のとき（接線がｙ軸と平行）でしょうか。

(2)

図のｘを求める問題となります。
No.75216 - 2021/05/30(Sun) 19:07:51
☆ Re: 数lll / タイタニック
曲線Lのグラフの概形っ増減表で調べる必要ありますか？もし必要なら、増減表の解答例教えていただけないでしょうか？
No.75244 - 2021/05/31(Mon) 09:50:51
☆ Re: 数lll / ヨッシー
増減表は必要ないと思います。
概形をとらえるときに
・始点は(1,0)
・原点からの距離が急激に増えつつ、ｘ軸との角度が増えていく
・終点は、ｙ軸上
程度を意識していれば書けると思います。
No.75258 - 2021/05/31(Mon) 12:57:28
☆ Re: 数lll / タイタニック
なるほど、ご丁寧にどうもありがとうございました！
No.75290 - 2021/05/31(Mon) 23:02:07
★ 偏導関数 / たくろう
この3問を教えていただきたいです。解答解説お願いします。
No.75211 - 2021/05/30(Sun) 18:28:53
★ 解答解説 / しょ
解答解説お願い致します！
No.75202 - 2021/05/30(Sun) 14:49:34
☆ Re: 解答解説 / IT
肝心の合成関数の微分公式の証明本体が載せてないので、直接の回答はできませんが、

下記など参考にされるといいかも知れません。
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1317-04.pdf
No.75223 - 2021/05/30(Sun) 20:37:39
☆ Re: 解答解説 / IT
こっちの方が良いかも知れません。

https://rms2005.org/subtext_data/pdf/0021_20181003/ms0021.pdf
No.75225 - 2021/05/30(Sun) 21:03:24
★ (No Subject) / きゃぴたる
次の関数f(x) (xは実数)が確率密度関数であるとする。ただしkは正の実数である

f(x)= 0 (x＜-8)
　　(k/2)x+4k (-8≦x≦0)
　　k(x-2)^2 (0≦x≦2)
　　0 (2＜x)

(1)kの値を求めよ
以下、kに(1)で得た値を用いて答えよ
(2)f(x)のグラフをかけ
(3)P (-5≦x≦1)を求めよ
(4)P(X≦x0)=3/となるx0を求めよ
(5)期待値と分散を求めよ
(6)このf(x)を確率密度関数とするような分散関数F(x)を求めよ
またF(x)のグラフをかけ

どなたかわかる方どうか解答お願い致します
No.75200 - 2021/05/30(Sun) 14:22:37
★ (No Subject) / 解説マン
連投すみません。(1)の解答解説をお願いします。
No.75198 - 2021/05/30(Sun) 14:07:27
☆ Re: / X
中間変数を何に選ぶかで式変形の難度が変わります。

OA=OB=OC=t
とし、△ABCを底面としたときの四面体OABCの高さをh
します。
このとき、四面体OABCの体積をVとすると
V=(1/3)・(1/2)x・{(x√3)/2}・h
=(1/12)(√3)hx^2 (A)
又、△ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理により
2R=x/sin(π/3)
∴R=x/√3
となるのでOA,R,hに対応する辺でできる直角三角形
において三平方の定理により
t^2=h^2+R^2
=h^2+(1/3)x^2 (B)

さて、△AOBの面積をSとすると、四面体OABCを
問題の半径1の内接球の中心を頂点とした
４つの四面体に分割することにより
V=(1/3)S・1・3+(1/3)・(1/2)x・{(x√3)/2}・1
=S+(1/12)(√3)(x^2) (C)
S=(1/2)x√{t^2-(1/4)x^2} (D)
(B)(D)より
S=(1/2)x√{h^2+(1/12)x^2}
これと(A)(C)により
(1/12)(√3)hx^2=(1/2)x√{h^2+(1/12)x^2}+(1/12)(√3)(x^2) (E)
(E)をhの方程式として解き、結果を(A)に代入する方針で解いていきます。
(E)より
(√3)hx^2=6x√{h^2+(1/12)x^2}+(√3)(x^2)
条件よりx＞0ゆえ、x≠0に注意すると、
(√3)hx=6√{h^2+(1/12)x^2}+(√3)x
(h-1)x√3=6√{h^2+(1/12)x^2}
3{(h-1)x}^2=36{h^2+(1/12)x^2}
{(h-1)x}^2=12h^2+x^2
(h^2-2h)x^2=12h^2
条件よりh＞0ゆえ、h≠0に注意すると、
(h-2)x^2=12h
∴h=(2x^2)/(x^2-12)
これを(A)に代入して
V=(1/6)(√3)(x^4)/(x^2-12)

注)
ちなみにtとxについての方程式を立ててtについて解く方針では
次数が上がり過ぎたので、途中で挫折しました。
(どこかで計算間違いをしていた可能性はありますが。)
No.75205 - 2021/05/30(Sun) 17:40:04
☆ Re: / 関数電卓
下の左図のように各点を定める。
L, M, N は AB, BC, CA の中点，P, Q, R, S は OL, OM, ON,CL と内接球の接点，D は球の中心である。
また，右図は，左図を底面上 △OLC の垂直方向から見たものである。
OP＝y, LS＝z とおくと，OD＝√(y^2＋1), OS＝√(y^2＋1)＋1
△OPD∽△OSL より，y：1＝√(y^2＋1)＋1：z　∴ yz＝√(y^2＋1)＋1
∴ (yz−1)^2＝y^2＋1，整理して y＝2z/(z^2−1)
∴√(y^2＋1)＝√{(2z/(z^2−1)^2＋1}＝(z^2＋1)/(z^2−1)
よって，高さ OS＝(Z^2＋1)/(z^2−1)＋1＝2z^2/(z^2−1)
LB＝x/2 のとき z＝LS＝(√3/6)x だから
高さ OS＝2((√3/2)x)^2/{(√3/2)x)^2−1}＝2x^2/(x^2−12)
体積 O-ABC＝(1/3)△ABC･OS＝(1/3)(√3/4)x^2･2x^2/(x^2−12)＝(√3/6)x^4/(x^2−12)
No.75226 - 2021/05/30(Sun) 21:38:49
☆ Re: / 関数電卓
(2)がカットされていますが，おそらく
「(2) 体積を最小にする x を求めよ。」
でしょう。
　V＝(√3/6)x^4/(x^2−12)＝(√3/6)(x^2＋12＋144/(x^2−12))
　 (√3/6)(x^2−12＋144/(x^2−12)＋24)
　 ≧(√3/6)(2√144＋24)＝8√3
等号は x^2−12＝144/(x^2−12) すなわち x＝2√6 のとき成立。
このとき，z＝√2, y＝2√2, OA＝2√6 となり，四面体が 正四面体 のときである。
No.75230 - 2021/05/30(Sun) 22:13:04
☆ Re: / 関数電卓
右側の図の LS のところが間違っていました。再掲します。
No.75233 - 2021/05/30(Sun) 22:44:21
★ (No Subject) / 解説マン
次の問題の(3)の解答解説をお願いします。
No.75197 - 2021/05/30(Sun) 14:06:41
☆ Re: / X
方針を。

(1)(2)の結果よりf(θ)をtの二次関数として表す
ことができます(これを(A)とします)。
又(1)の結果より、tの値の範囲も分かって
います。(これを(B)とします。)

そこで、横軸にt、縦軸にf(θ)を取った
(A)のグラフを(B)の範囲で描き、
最大値、最小値をkの式で表します。
((A)のグラフの軸と(B)との位置関係で
場合分けが必要になり、詰まるところ
kの値の範囲によって
f(θ)に最大値、最小値の組
は異なったものになります。)
ここまでが前準備です。

後は問題の最大値と最小値の差をg(k)として
kの値の範囲で場合分けをしてg(k)を計算し、
横軸にk、縦軸にg(k)を取ったグラフを描きます。
No.75206 - 2021/05/30(Sun) 17:51:24
☆ Re: / 解説マン
方針もありがたいのですが解答解説をお願いできますか？
No.75228 - 2021/05/30(Sun) 22:07:12
☆ Re: / X
(1)(2)の結果から
f(θ)=t^2-2kt+4 (A)
0≦t≦2 (B)
∴f(θ)の最大値と最小値の差をg(k)とし、
横軸にt、縦軸にf(θ)を取った
(A)のグラフを(B)の範囲で描くことを
考えると
(i)k＜0のとき
(A)の最大値は
-4k+8(このときt=2)
(A)の最小値は
4(このときt=0)
∴g(k)=-4k+4

(ii)0≦k＜1のとき
(A)の最大値は
-4k+8(このときt=2)
(A)の最小値は
-k^2+4(このときt=k)
∴g(k)=k^2-4k+4

(iii)1≦k≦2のとき
(A)の最大値は
4(このときt=0)
(A)の最小値は
-k^2+4(このときt=k)
∴g(k)=k^2

(iv)2＜kのとき
(A)の最大値は
4(このときt=0)
(A)の最小値は
-4k+8(このときt=2)
∴g(k)=4k-4

以上をまとめると
g(k)=-4k+4(k＜0のとき)
g(k)=k^2-4k+4(0≦k＜1のとき)
g(k)=k^2(1≦k≦2のとき)
g(k)=4k-4(2＜kのとき)
∴横軸にk,縦軸にg(k)を取ったグラフにより
求めるkはk=1
No.75273 - 2021/05/31(Mon) 17:35:33
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