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★ 高3 微少量や近似の扱い方について / こう
高校数学の数三、体積を求める問題です。

答えが欲しいのではなく、微少量や近似の扱い方についての質問です。 僕の浅はかな知識では解決できないので、数学が得意な方にご教授いただけると、幸いです。

画像のなかのピンクのラインが引かれているところが自明ではないという指摘を受けました。（正確にはギャップがあるというふうに言われました）
さらに、大学入試でこの解答を提出しても、点数はもらえないとも言われました。
たしかに、PQの長さの微少量までは問題ないと思いますが、それを体積計算に入れてしまうところにギャップを感じるそうです。

よろしくお願いします。
No.75096 - 2021/05/28(Fri) 21:05:43
☆ Re: 高3 微少量や近似の扱い方について / 黄桃
悩ましい答案です。
私は物理が苦手なので、偏見があるかもしれませんが、考え方は合っているので、物理としてならいいんではないでしょうか。
ですが、数学の答案としては、「何を根拠にどうしてこういう式ができるのか」という説明が不十分だと思います。
この点を「ギャップがある」と表現されているのだと思います。

ただ、点数はもらえない、というのはどうでしょうか。
Δtを使った部分の説明は積分の本質をつかんでいて、高校数学の範囲なら、この説明でも許してもらえると思います。
ですが、全体として、きちんと理解したうえで舌足らずな説明をしているのか、理屈はわからないけどこんな感じでどうでしょう？と根拠あいまいで断定しているのか判断が難しいです。
なので、「こんなんじゃ説明にならん」と判断されれば0点かもしれませんが、「まあまあいっていることは分かる」と判断されればかなり点数はもらえそうです。採点基準次第でしょう。

どうすればいいかというと、「置換積分」であることを説明すればいいでしょう。

示された図で原点とHとの距離をu とすれば、最初にH(u,u)を決めて、それからPの座標(t,t^2-t)を決めることにすれば、t=f(u)と何らかの関数でかけることになります。
すると、PH^2=r(u)(=(u-t)^2+(u-(t^2-t))^2) とおけば、求める体積Vは
V=π∫[0,2√2] r(u) du
となるわけです。これを t=f(u)の逆関数 u=g(t)を使って、u=g(t) と置換積分して計算しよう、というのと同じことをこの答案はしています。
そのため g'(t)が必要で、これをΔtを使って計算し（この計算の根拠が弱いといわれるかもしれませんが）、r(u)の部分は点と直線の距離を使ってtの関数として表現し、最終的に
V=∫[0,2] r(u)*g'(t) dｔ
を計算しました。

このように（自分はちゃんと理解できていると）説明もきちんとできていれば、この考え方で問題ないと思います。
No.75120 - 2021/05/29(Sat) 11:58:11
★ やっぱり出来ん / aiko
やっぱり出来ません。
⑴も不可能です。
A=
ab
cd
とおいたとき、
01
00
や
00
10
とも可換にになりませんでした。

誰かヒントください。
No.75094 - 2021/05/28(Fri) 20:33:37
☆ Re: やっぱり出来ん / IT
0=c,a=d なら
｛{01},{00}} とは可換では？
No.75095 - 2021/05/28(Fri) 20:54:30
☆ Re: やっぱり出来ん / aiko
やってみます。お待ちを、
No.75098 - 2021/05/28(Fri) 23:45:12
☆ Re: やっぱり出来ん / aiko
⑵どーやって記述すればいいですかね？？

A=tEってことを示すのもアリかなって思ったんですけど、それやったら十分性だけになってしまうし、でも必要性でとっていったら無限に終わらないんですけど((
No.75117 - 2021/05/29(Sat) 11:15:40
☆ Re: やっぱり出来ん / IT
(1)はどうなりましたか？
No.75122 - 2021/05/29(Sat) 12:03:42
☆ Re: やっぱり出来ん / aiko
⑴は
a0
0a
で、単位行列のスカラー倍になりました。
No.75133 - 2021/05/29(Sat) 16:43:50
☆ Re: やっぱり出来ん / ヨッシー
(1) の答えはそれで良いですが、その過程が重要です。
おそらく

から、a=d, c=0 と、成分が一つ一つ明らかになるシーンが
あったと思います。

3×3 の場合も

から、d=f=g=0, a=e というようなシーンがあるはずです。
No.75135 - 2021/05/29(Sat) 17:13:56
☆ Re: やっぱり出来ん / IT
一般のｎ次正方行列についてきちんとやるには

Ａの各i,j 成分をa[i,j]とし
Ｂとして一つのk,L 成分b[k,L]=1,他は0であるものを考える。

このとき
ＡＢは、
　Ｌ列目に１行目からa[1,k],a[2,k],a[3,k],...a[n,k]が並び、他の成分は0。
　特にL列k行目は　a[k,k]

ＢＡは、
　k行目に１列目からa[L,1],a[L,2],a[L,3],...a[L,n]が並び、他の成分は0。
　特にk行L列目は　a[L,L]

したがって、ＡＢ=ＢＡ のとき
　a[k,k]=a[L,L]、a[i,k]=0(i≠k),a[L,j]=0(L≠j)

あとはk,L を適当に動かせば良いと思います。
No.75136 - 2021/05/29(Sat) 18:05:05
☆ Re: やっぱり出来ん / aiko
ヨッシーさん、ありがとうございます！

ITさん、美しい((((
綺麗な解答ありがとうございます！
No.75140 - 2021/05/29(Sat) 20:36:20
★ (No Subject) / キリンさん
問題2を以前α＝12までは確認させていただいてできたのですが続きが上手くできません。
No.75084 - 2021/05/28(Fri) 11:42:18
☆ Re: / 関数電卓
計算途中式の省略「…」はご自身で補って下さい。
(?@)
a[n＋1]−4＝4√(a[n]−3)−4＝…＝4(a[n]−4)/{(√(a[n]−3)＋1}
　↑から帰納法で a[n]≧4 …(1) を示す。
(?A)
12−a[n＋1]＝12−4√(a[n]−3)＝…＝4(12−a[n])/{3＋√(a[n]−3)}
　↑から帰納法で a[n]≦12 …(2) を示す。
(?B)
a[n＋1]−a[n]＝4√(a[n]−3)−a[n]
　　＝…＝(12−a[n])(a[n]−4)/{4√(a[n]−3)＋a[n]}≧0 (∵(1)(2))
よって，{a[n]} は単調増加。有界な単調数列は収束するから a[n]→a とすると････

この後はご自身で！
No.75091 - 2021/05/28(Fri) 16:51:06
☆ Re: / 関数電卓
下図でイメージがつかめますか？
No.75093 - 2021/05/28(Fri) 17:29:58
☆ Re: / キリンさん
> この後はご自身で！
で躓いてますorz
No.75097 - 2021/05/28(Fri) 22:36:57
☆ Re: / 関数電卓
躓くも何も，No.75051 でご自身でやっておられるでしょう。
α＝4 or 12 ですが，a[1]＝6 で {a[n]} が単調増加なのだから α＞6 で α＝12。
上のグラフからも「一目」でしょう。
理解されたら，最後に「分かった」と reaction を下さいね。
No.75101 - 2021/05/29(Sat) 05:31:07
☆ Re: / キリンさん
すみません解けました！ありがとうございました!!
No.75130 - 2021/05/29(Sat) 12:58:14
★ 連立方程式の解き方 / パイナップル星人
x^3-x+y=0, y^3-y+x=0の連立方程式の解き方を教えてください。
No.75083 - 2021/05/28(Fri) 09:36:56
☆ Re: 連立方程式の解き方 / IT
２式の和と差を計算し、それぞれ因数分解し

場合分けします。

複数個所で質問しておられ、解決したようですね。
No.75085 - 2021/05/28(Fri) 12:22:30
★ 二項係数 / しがない高校生
こちらの(3)を教えてください！
No.75081 - 2021/05/28(Fri) 08:06:28
☆ Re: 二項係数 / ヨッシー
(3)
(1) より
　(2n+1)Ｃ0＋(2n+1)Ｃ1＋…＋(2n+1)Ｃ(2n+1)＝2^(2n+1)
左辺を
　{(2n+1)Ｃ0＋…＋(2n+1)Ｃn}＋{(2n+1)Ｃ(n+1)＋…＋(2n+1)Ｃ(2n+1)}
のように分けると、
　(2n+1)Ｃ0＝(2n+1)Ｃ(2n+1)
　(2n+1)Ｃ1＝(2n+1)Ｃ(2n)
　　・・・
　(2n+1)Ｃn＝(2n+1)Ｃ(n+1)
から、左右の｛・・・｝の値は等しくなります。
よって、
　(2n+1)Ｃ0＋(2n+1)Ｃ1＋…＋(2n+1)Ｃn＝2^(2n+1)÷2＝2^(2n)
No.75082 - 2021/05/28(Fri) 08:15:19
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題についてです。
No.75075 - 2021/05/28(Fri) 00:38:14
☆ Re: / 数学苦手
頂点の部分は理解できました。ところで、この問題で対応っていうのは三角形PRSの線分ABが三角形P'R'Qの線分A◯と繋がるということですか？
No.75076 - 2021/05/28(Fri) 00:41:05
☆ Re: / ヨッシー
問題文の「対応する」は「一致する」という意味です。
No.75080 - 2021/05/28(Fri) 06:11:41
★ 行列 / 出水
1番下がの(x y)の求めかたと内積の求め方が分からないのですが、
どうやって解いたらいいですか？
No.75074 - 2021/05/28(Fri) 00:36:10
☆ Re: 行列 / IT
> 1番下がの(x y)の求めかたと内積の求め方が分からないのですが、
1番下がの(x y)の求め方とは？
No.75077 - 2021/05/28(Fri) 06:02:16
☆ Re: 行列 / ヨッシー
(x,y) は求めなくても良いですね。

ａ＝(x,y)、ｂ＝(X,Y) とおくと、
内積の公式
　ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|cosθ
より
　cosθ＝ａ・ｂ/|ａ||ｂ|
ここで、
　ａ・ｂ＝(x,y)・(xcosα−ysinα，xsinα＋ycosα)
　＝(x^2＋y^2)cosα
|ａ|と|ｂ|は既にわかっているので、
cosθが計算出来ます。
θは0≦θ≦π ですが、αはそうとは限らないので、
そこのところは注意しましょう。
No.75079 - 2021/05/28(Fri) 06:03:12
☆ Re: 行列 / 出水
ありがとうございます。
計算してみたところ、cosθ=cosαとなったのですがここでθ=αとしてしまったら変ですよね。
No.75086 - 2021/05/28(Fri) 13:54:42
☆ Re: 行列 / ヨッシー
それが、
>αはそうとは限らないので、
の部分ですね。

簡単に表すなら
　θ＝acos(cosα)
ですかね。
それとも、αは　0≦α＜2π に限ると逆に決めてしまって、
　θ＝π−|π−α|
とするかです。
No.75087 - 2021/05/28(Fri) 15:11:19
☆ Re: 行列 / 出水
参考になります。ところでθ＝acos(cosα)のaはなんですか？
No.75088 - 2021/05/28(Fri) 15:49:14
☆ Re: 行列 / ヨッシー
arccos（アークコサイン）をさらに略して acos で、
cos の逆関数、値域は 0以上π以下です。
例）acos(1/2)＝π/3,
　　acos(cos(7π/4))＝acos(1/√2)＝π/4
No.75089 - 2021/05/28(Fri) 15:58:05
☆ Re: 行列 / 出水
よく分かりました！ほんとうにありがとうございます。助かりました……！
No.75090 - 2021/05/28(Fri) 16:07:17
★ 解析 / 大学生
関数u(x,y) = e^x(xcosy-ysiny)が調和関数であることを調べたいのですがx、yそれぞれの2回微分のやり方がわかりません。
1回ずつ教えてください
No.75071 - 2021/05/27(Thu) 21:30:53
☆ Re: 解析 / 関数電卓
積の微分公式でコツコツ計算するだけですよ。添え字 x は１回偏微分。
　ux＝e^x(xcosy−ysiny)＋e^x･cosy
　uxx＝e^x(xcosy−ysiny)＋2e^x･cosy …(1)
　uy＝e^x(−xsiny−siny−ycosy)
　uyy＝e^x(−xcosy−cosy−cosy＋ysiny) …(2)
(1)＋(2)：uxx＋uyy＝0
よって，u(x,y) は調和関数である。　[証了]
No.75073 - 2021/05/27(Thu) 21:53:47
☆ Re: 解析 / 大学生
uyの先の微分がわかりませんm(_ _)m
どこをどう微分するかまだ書いていただけませんか？
No.75146 - 2021/05/29(Sat) 21:49:24
☆ Re: 解析 / 大学生
誤字すみません
積の微分です
No.75147 - 2021/05/29(Sat) 21:50:45
☆ Re: 解析 / 関数電卓
　uy＝e^x(−xsiny−siny−ycosy) の ( ) の中の
第1項を y で微分して，−xcosy
第2項を y で微分して，−cosy
第3項を y で微分して，−cosy＋ysiny
で(2)式になります。
No.75180 - 2021/05/30(Sun) 10:55:57
★ 数学B / パスタ
写真の赤で括ったところの式変換がわかりません！
No.75068 - 2021/05/27(Thu) 20:35:27
☆ Re: 数学B / IT
１行目は、初項１、公比３、項数ｎの等比数列の和の公式を使っています。教科書で確認してください。

１行目から２行目は、共通因子３^n で括っています。
No.75069 - 2021/05/27(Thu) 20:50:53
★ 解析学 / 大学生
画像の問題の解答解説を教えてください。
No.75067 - 2021/05/27(Thu) 20:22:03
☆ Re: 解析学 / 関数電卓
(1)
与式より iz＝(e^(iw)＋e^(−iw))/(e^(iw)−e^(−iw))＝(e^(2iw)−1)/(e^(2iw)＋1)
∴ iz(e^(2iw)＋1)＝(e^(2iw)−1)
∴ e^(2iw)(1−iz)＝1＋iz，e^(2iw)＝(1＋iz)/(1−iz)＝(i−z)/(i＋z)
∴ 2iw＝log((i−z)/(i＋z)
∴ w＝(−i/2)log((i−z)/(i＋z))＝(i/2)log((i＋z)/(i−z))＝tan-1z　[証了]
(2)
(1)より tan-1z＝(i/2)(log(i＋z)−log(i−z)) の両辺を z で微分し，
　(tan-1z))’＝(i/2)(1/(i＋z)＋1/(i−z))＝(i/2)(2i/(i＋z)(i−z))＝1/(1＋z^2)　[証了]
No.75072 - 2021/05/27(Thu) 21:32:45
★ (No Subject) / マーブル
高校数学です。解き方が分からないので、教えて欲しいです、、

f(x)は区間[a,b]で連続な関数とする。
f(a)>a^2 かつ f(b)<b^2 の時、曲線y=f(x)とy=x^2はa<x<ｂの範囲で必ず交わることを示せ。
No.75063 - 2021/05/27(Thu) 17:47:35
☆ Re: / X
g(x)=f(x)-x^2
と置くと条件から
g(a)＞0,g(b)＜0
∴中間値の定理により、区間[a,b]において
方程式g(x)=0は少なくとも一つの解を持つ
ので問題の命題は成立します。
No.75064 - 2021/05/27(Thu) 18:19:34
★ 合成関数の微分 / koseii
一変数関数w＝f(Z)とz＝x＾２＋y＾2の合成関数w＝f (x^2+y^2)について
(1)導関数Wx、Wyをf’＝df/dzを用いて表せ
(2)YWx-XWyを計算せよ
(3)Y^2Wxx-2XYWxy+X^2Wyyを計算せよ

この三問の説明解答お願いします
No.75062 - 2021/05/27(Thu) 17:25:14
☆ Re: 合成関数の微分 / X
(1)
Wx=f'(∂/∂x)(x^2+y^2)
=2xf'
Wy=f'(∂/∂y)(x^2+y^2)
=2yf'

(2)
(1)の結果より
yWx-xWy=0

(3)
(1)の結果から
Wxx=(∂/∂x)(2xf')=f'+2x(∂/∂x)f'
=f'+(4x^2)f"
同様にして
Wyy=f'+(4y^2)f"
又
Wxy=(∂/∂y)(2xf')=4xyf"
∴(与式)={f'+(4x^2)f"}y^2-2xy・4xyf"+{f'+(4y^2)f"}x^2
=(x^2+y^2)f'
No.75065 - 2021/05/27(Thu) 18:26:17
★ 至急 / 山本光世
至急、途中計算と解答を教えていただきたいです。
宜しくお願いいたします。
No.75060 - 2021/05/27(Thu) 16:49:42
★ 解き方を教えてください / うさまる
高校数学です。解き方がわからないので、教えて欲しいです。

f(x)=√(2x+3), g(x)=1/x 定義域はともに0<x<3/2とする。
?@不等式f(x)<g(x)を解け
　?Ah(x)=(g⚪︎f)(x)とする。h(x)の逆関数h^-1(x)およびその定義域と値域を求めよ
No.75059 - 2021/05/27(Thu) 16:26:47
☆ Re: 解き方を教えてください / X
?@
f(x),g(x)の定義域に注意すると、問題の不等式の
両辺を二乗しても大小関係は変わらず
2x+3＜1/x^2
2x^3+3x^2＜1
2x^3+3x^2-1＜0
x^3+x^3+(-1)^3-3・x・x・(-1)＜0
(x+x-1)(x^2+x^2+1+x+x-x^2)＜0
(2x-1)(x^2+2x+1)＜0
(2x-1)(x+1)^2＜0
これと定義域とを合わせて
0＜x＜1/2

?A
条件から
h(x)=√(2/x+3)
ここで
0＜x＜3/2 (A)
より
2/3＜1/x
2/3＜1/x+3
∴√(2/3)＜h(x) (B)
(A)においてh(x)は単調減少であることに
注意すると、(A)(B)から
h^(-1)(x)の定義域は
√(2/3)＜x
h^(-1)(x)の値域は
0＜h^(-1)(x)＜3/2
No.75061 - 2021/05/27(Thu) 17:12:22
★ 回路 / 可能であれば...
すみません、数学から若干離れてるのと考えてた末残り1時間ちょっとになってしまいましたので可能であれば教えていただけますか。
No.75057 - 2021/05/27(Thu) 15:32:43
☆ Re: 回路 / 可能であれば...
すみません、ぎりぎり解決しました。
No.75058 - 2021/05/27(Thu) 15:58:41
★ 因数分解について / アイス
高校生です。未熟な質問ですみません。

たとえばx^2-xを因数分解せよ。という問題で、(x-√x)(x+√x)を答えとするのはどのような事情から間違いとされるのでしょうか。

このような問題では「有理数同士の演算で許されるのと同様の操作しか文字xに対して行ってはいけない」というような暗黙の了解があるのでしょうか？

あるいは、文字については1乗を最小単位として考える(√xのような1乗より小さいものは考えない)のでしょうか？
No.75054 - 2021/05/27(Thu) 13:13:44
☆ Re: 因数分解について / IT
おおむね後者ですが、

数１の教科書の「数と式」の「因数分解」のところ（最初の方にあると思います）に書いてありますので確認してください。
No.75066 - 2021/05/27(Thu) 20:02:11
★ (No Subject) / aiko
模範解答を教えてください。
No.75053 - 2021/05/27(Thu) 13:07:03
☆ Re: / ヨッシー
△ＡＤＦと△ＥＣＦにおいて
　条件より　ＡＤ＝ＣＥ
　∠ＦＡＤ＝∠ＦＥＣ
　∠ＡＤＦ＝∠ＥＣＦ　（いずれも、平行線に交わる直線の錯角）
以上より
　△ＡＤＦ≡△ＥＣＦ
　ＣＦ＝ＤＦ
となり、点Ｆは辺ＣＤの中点となる。
No.75055 - 2021/05/27(Thu) 13:16:42
☆ Re: / aiko
あざす！！！ありがとうございます！
No.75092 - 2021/05/28(Fri) 17:21:35
★ 漸化式と極限 / キリンさん
α＝12で合ってますか？4は違いますよね？
No.75051 - 2021/05/27(Thu) 10:35:56
☆ Re: 漸化式と極限 / ヨッシー
６から始まって単調増加なら４は違いますね。
初期値が４より大きいと１２
４のときのみ４
４より小さいと√内が負になります。
No.75056 - 2021/05/27(Thu) 13:22:46
★ 連続性 / キリンさん
ごちゃごちゃして分かりません。よろしくお願いします*_ _)
No.75046 - 2021/05/27(Thu) 01:27:34
☆ Re: 連続性 / らすかる
x=0のときe^sinx=1＜2=2cosx
x=π/2のときe^sinx=e＞0=2cosx
なのでy=e^sinxのグラフとy=2cosxのグラフは(0,π/2)のどこかで交わる。
よって与式は実数解をもつ。
No.75047 - 2021/05/27(Thu) 05:37:34
☆ Re: 連続性 / キリンさん
らすかるさん、ありがとうございますっ。
No.75050 - 2021/05/27(Thu) 09:16:21
★ (No Subject) / 数学苦手
この問題についてです。
No.75041 - 2021/05/27(Thu) 00:34:15
☆ Re: / 数学苦手
このように解いてみましたが全くの間違いでしょうか？
No.75042 - 2021/05/27(Thu) 00:34:53
☆ Re: / ヨッシー
悪くないと思いますよ。
No.75045 - 2021/05/27(Thu) 00:44:40
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