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★ 置換積分 / わんこ
t=√(tanx)と置換するときに、t^2=tanxの両辺をxで微分するとき、2tdt=1/{(cosx)^2} になぜ出来るのですか。d/dxを両辺にかけているのだから、片方は少なからず、xやtのみにならなくちゃいけないと思ってしまいます。t=x^2などでも、上記のように出来るのはわかりますが、納得できません。できる限り高校数学の範囲で教えていただけると幸いです。
No.76226 - 2021/06/28(Mon) 01:24:11
☆ Re: 置換積分 / ヨッシー
このご質問は、高校で習う合成関数の微分
　dy/dx＝(dy/du)(du/dx)
に納得出来るかというのと同義です。
その点はどうですか？

ちなみに、
　2t(dt/dx)=1/{(cosx)^2}
または
　2tdt=dx/{(cosx)^2}
です。
No.76227 - 2021/06/28(Mon) 06:14:08
☆ Re: 置換積分 / 黄桃
質問の趣旨がよくわかりませんが、置換積分ではなくて、陰関数の微分が理解できない、ということでしょうか。
一言でいえば、関数として等しければ微分しても等しい、ということです。
もう少しくわしく説明すると以下のようになります。

t^2=tan(x) というのは、xとtに関する方程式ですが、0≦t, x≦x<π/2 xとしておけば、
xを決めればtが決まり、また、tを決めれば、xが決まります。つまり、この方程式によりtはxの関数である、とも xはｔの関数である、ともいえるわけです。
このように方程式で表された関数を陰関数といいます。
なお、y=x^2 のようにxの関数yをy= の形で定義したものを陽関数といいます。
円の方程式 x^2+y^2=4 なども、yをxの関数とみれば、陰関数といえます（x1つにyが2つ決まるので、関数にするためにはy>0とか範囲を限定する必要がありますが)。
y-x^2=0 は微妙ですが、陰関数といってもいいのかもしれません。
　
それはともかく、どんな複雑な方程式でも話は同じなのですが、ここでは、簡単のため
y^2=g(x) (y>0, xはg(x)>0　の範囲だけを動き、x,yは1対1に対応する)
という方程式だけ考えます。さらに、y=√(g(x))　は微分可能としましょう（√は微分可能なので、g(x)が微分可能といってもいい）。
すると、この方程式で定まるyの関数x (x=g^(-1)(y^2)とでも書くのでしょうか）も微分可能です（(x,y)の各点で接線が引けるのですから）。
y^2=g(x)にy=√g(x)を代入すれば、g(x)=g(x)という関数として等しいという当たり前の式ですから、同じ関数であるy^2=g(x)の両辺をxで微分しても等しく、したがって、2y(dy/dx)=g’(x) といえるわけです。

なお、最後のy^2をxで微分するところは、(f(x))^2 をxで微分するのと同じことです(f(x)の代わりにyと書いているだけです）。
No.76257 - 2021/06/28(Mon) 21:47:32
★ 解析学 / sssaitana
以下の問題教えていただけると助かります、、

μ、vを可測空間(S,A)上のσ-有限測度で、v≪μなるものとする。RandonNicodymの定理より可測関数h:S→[0,∞]が存在して v = h dμが成り立つが、この時 h <+∞(μ-a.e)、h <+∞(v-a.e)であることを示せ。
No.76225 - 2021/06/28(Mon) 01:15:41
★ 定係数2階線形微分方程式 / きなこ
(1)の問題を解いたのですが，これであっているか不安なので，どなたかわかる方いましたら教えて頂けないでしょうか。
左上が問題，左下が解答，右側が自分の解答です。
よろしくお願いします。
No.76223 - 2021/06/28(Mon) 00:55:42
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / WIZ
「定数係数2階線形斉次方程式(7.1)」とか、定数のX ,Y, Z の条件を書いてくれないと確認しようがないよね?
問題7.1とか問題7.2の情報を前提とした問題7.3なんでしょ?
No.76234 - 2021/06/28(Mon) 14:20:21
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / きなこ
申し訳ありません。書き忘れていました。(7.1)式は
y''+Py'+Qy=0
です。
問題7.3は問題7.1,7.2と全く違う問題で，独立しています。
No.76243 - 2021/06/28(Mon) 16:27:59
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / WIZ
先ず、スレ主さんの手書き暗号(!)の私による解読は以下の通り。
> 第1階線形斉次方程式は
> y'+P(x)y = 0
> よって y を w に置き換えて
> w'+P(x)w = 0
# 特に1行目の「第1」の部分は解読に自信がない。

幾つか疑問がある。
(1)何故いきなり y'+P(x)y = 0 とか出てくるのか?
画像の本の(7.1)式の解説の前後で求められている式なのか?
(2)問題文で定係数と書いてあるのに、何故 P(x) ?
まあ定数関数も x の関数なんだ! と言われれば、そうなのかもしれないが。

それで、
y[1]''+Py[1]'+Qy[1] = 0 ・・・・・(A)
y[2]''+Py[2]'+Qy[2] = 0 ・・・・・(B)
w = y[1]y[2]'-y[1]'y[2] ・・・・・(C)
から、y[1] と y[2] 関連の情報を消去していく方針で計算する。

(C)より
w' = (y[1]'y[2]'+y[1]y[2]'')-(y[1]''y[2]+y[1]'y[2]') = y[1]y[2]''-y[1]''y[2] ・・・・・(D)

(D)に(A)(B)を適用して y[1]'' と y[2]'' を消去
w' = y[1](-Py[2]'-Qy[2])-(-Py[1]'-Qy[1])y[2]
= P(y[1]'y[2]-y[1]y[2]')+Q(y[1]y[2]-y[1]y[2])
= -Pw
No.76249 - 2021/06/28(Mon) 18:12:44
☆ Re: 定係数2階線形微分方程式 / きなこ
理解できました。解説ありがとうございます。
No.76261 - 2021/06/28(Mon) 23:39:40
★ (No Subject) / 数学苦手
この175番について質問です。
No.76219 - 2021/06/27(Sun) 23:20:22
☆ Re: / 数学苦手
こちらにある3.73という数値がどこから来たか分かりますか？
No.76220 - 2021/06/27(Sun) 23:21:13
☆ Re: / 数学苦手
あ、分かりました。ただの通分でした。
No.76221 - 2021/06/27(Sun) 23:48:11
★ 複素 / かい
この問題の解答解説をお願いします
No.76217 - 2021/06/27(Sun) 21:06:40
☆ Re: 複素 / GandB
　ハンドルをコロコロ変えて似たような質問を丸投げするのは
いかがなもんかね？
　この問題など複素積分の基本中の基本で、どんな関数論のテキストにも載っていると思うが。
No.76218 - 2021/06/27(Sun) 21:25:46
★ 情報解析学 / NNM
cos^4t を複素フーリエ級数で表す という問題が分かりません。
途中式含め教えて下さい。
No.76205 - 2021/06/27(Sun) 17:34:15
☆ Re: 情報解析学 / X
半角の公式を使うと
f(t)={(1+cos2t)/2}^2
=1/4+(1/2)cos2t+(1/4)(cos2t)^2
=1/4+(1/2)cos2t+(1/8)(1+cos4t)
=3/8+(1/2)cos2t+(1/8)cos4t
∴オイラーの公式により
f(t)=3/8+(1/4){e^(2it)+e^(-2it)}+(1/16){e^(4it)+e^(-4it)}
=(1/16)e^(-4it)+(1/4)e^(-2it)+3/8+(1/4)e^(2it)+(1/16)e^(4it)
No.76206 - 2021/06/27(Sun) 17:52:42
★ 不等式 / 阿蘇山
解答の、相加相乗平均の不等式を用いて〜上から抑える、以降の式のだし方がわかりません。

(4a^2+b^2+c^2）/6
はどこから出てきたのでしょうか。
a^(4/3)･b^(1/3)･c^(1/3)
から上の式へ変形して出てきたのでしょうか。
No.76204 - 2021/06/27(Sun) 17:15:26
☆ Re: 不等式 / X
模範解答では
{a^(4/3)}{b^(1/3)}{c^(1/3)}={a^(1/3)}{a^(1/3)}{a^(1/3)}{a^(1/3)}{b^(1/3)}{c^(1/3)} (A)
と見て、6項間の相加平均と相乗平均の関係を適用することを考えています。
そのために
(A)={〜}^(1/6)
の形にする必要があり、件の変形をしています。
No.76207 - 2021/06/27(Sun) 17:59:02
☆ Re: 不等式 / 阿蘇山
丁寧な解説、どうもありがとうございました。助かりました。
No.76230 - 2021/06/28(Mon) 12:16:28
★ 完全微分形(積分因子) / きなこ
この問題を解いたのですが，途中からどうやってy=の形にすればよいかわからなくなってしまったので，わかる方いたら教えて頂けないでしょうか。
左上が問題，左下が解答，右側が自分の解答になります。
よろしくお願いします。
No.76203 - 2021/06/27(Sun) 16:35:46
☆ Re: 完全微分形(積分因子) / WIZ
積分因子が R(x) = e^(∫Px(x)dx) ならば、
y'+Px(x)y = Qx(x)
⇒ R(x)y'+R(x)Px(x)y = {R(x)y}' = R(x)Qx(x)
⇒ R(x)y = ∫{R(x)Qx(x)}dx+C
⇒ y = {∫{R(x)Qx(x)}dx}/R(x)+C/R(x) = {∫{(e^(∫Px(x)dx))Qx(x)}dx}{e^(-∫Px(x)dx)}+C{e^(-∫Px(x)dx)}
・・・と解答と一致しますよ!

# 課題丸投げではなく、できる所までは計算して、
# 分からない点だけを質問しているのは好感が持てますが、
# 画像の手書き文字が薄くて、かつスレ主さんの達筆(!)のため、読み辛いです!
No.76210 - 2021/06/27(Sun) 18:43:00
☆ Re: 完全微分形(積分因子) / きなこ
WIZさん

理解できました。丁寧な解説誠にありがとうございます。
自分の字が汚いことは重々承知しているのですが，今後気を付けます。申し訳ありません。
No.76214 - 2021/06/27(Sun) 19:33:48
★ 状態方程式と運動方程式 / BC
こちらの問題が分かりません。分かる方解法をお願いします。
No.76191 - 2021/06/27(Sun) 15:49:34
★ 積分 / はあ
この問題の解答と解き方を教えてください
No.76184 - 2021/06/27(Sun) 14:52:26
☆ Re: 積分 / X
(1)
条件から
a=lim[z→i]{(3z+i)(z-i)/(z^2+1)}=2
b=lim[z→-i]{(3z+i)(z+i)/(z^2+1)}=1

(2)
(1)の結果と留数定理により
(与式)=2πia+2πib
=6πi
No.76190 - 2021/06/27(Sun) 15:47:59
★ 積分 / はあ
この問題の解答と解き方を教えてください。
No.76183 - 2021/06/27(Sun) 14:52:02
☆ Re: 積分 / X
問題の関数の１次の極は2,留数は1ですので
(1)
問題の関数の極は積分路の外部に存在するので
コーシーの積分定理により、積分の値は0
(2)
問題の関数の極は積分路の内部に存在するので
留数定理により積分の値は
2πi・1=2πi
No.76187 - 2021/06/27(Sun) 15:43:23
★ 三角関数 / 出水
この方程式の式変形の仕方は、なにか公式がありましたか？
No.76182 - 2021/06/27(Sun) 14:43:48
☆ Re: 三角関数 / らすかる
式変形が正しくありません。
正しくない変形の公式はありません。
No.76186 - 2021/06/27(Sun) 15:37:47
☆ Re: 三角関数 / 出水
どう解けば正しい答えが出るか教えてほしいです。
No.76188 - 2021/06/27(Sun) 15:45:00
☆ Re: 三角関数 / らすかる
tanx=tan((7/5)π)
=tan((7/5)π-π)
=tan((2/5)π)
∴x=(2/5)π
となります。
No.76192 - 2021/06/27(Sun) 15:50:15
☆ Re: 三角関数 / IT
まず、y=tan(x) のグラフ、単位円で

x[1]とx[2]がどういう関係のとき、　tan(x[1])=tan(x[2])となるかを確認されることをお勧めします。
No.76193 - 2021/06/27(Sun) 15:51:18
☆ Re: 三角関数 / 出水
ありがとうございます。
もう一度確認してみようと思います！
No.76195 - 2021/06/27(Sun) 15:56:47
★ 解析 / 高専
関数1/(z^2+9) について、次の曲線に沿う積分の値を求めよ。
原点を中心とする単位円の左半分に沿って-iからiに至る曲線。

この問題の答えと解説を教えてください
No.76181 - 2021/06/27(Sun) 14:41:18
☆ Re: 解析 / X
求める積分をI、
z=ti(t:1→-1)
なる積分路をLとすると、コーシーの積分定理により
I+∫[L]dz/(z^2+9)=0
∴I=-∫[L]dz/(z^2+9)
=-i∫[t:1→-1]dt/(-t^2+9)
=(i/6)∫[t:-1→1]{1/(t+3)-1/(t-3)}dt
=(i/6)[log(t+3)-log|t-3|][t:-1→1]
=(i/3)log2
No.76197 - 2021/06/27(Sun) 15:57:12
★ (No Subject) / あ
この問題の解答解説をお願いします。図などもあると嬉しいです。
No.76174 - 2021/06/27(Sun) 13:15:43
☆ Re: / 関数電卓
求める C の座標は，C(−3/5, 4/5, −2) です。
取りあえず図を。途中経過は，も少し整理した上で後ほど。
空間の図は，どこから眺めても，説得力があるものを描くのは難しいです。
No.76213 - 2021/06/27(Sun) 19:29:08
☆ Re: / 関数電卓
概略を書きます。計算はご自分で。
　OB＝OA＋ku …(1)
とし，B が球面上にあるように k を定めると，k＝1 で B(1,2,0)。
BA の延長と球面との交点を D とする。(1)同様
　OD＝OA＋ku …(2)
とし，D が球面上にあるように k を定めると，k＝−1 で D(1,0,2)。
反射光と球面との交点を C(x,y,z) とする。
反射の法則より，
　CD⊥OB ⇔ x−1＋2y＝0 …(3)
　CD の中点が OB 上にある ⇔ 2x−y＝−2, z＝−2 …(4)
(3)(4)を解いて，x＝−3/5, y＝4/5, z＝−2
No.76215 - 2021/06/27(Sun) 20:34:36
☆ Re: / あ
すみません。今確認しました。
ありがとうございます。
反射の法則とはなんでしょうか？
また、計算過程もお願いできないでしょうか？
No.76795 - 2021/07/19(Mon) 21:46:19
★ 整数問題 / simple is best
こんにちは。

よろしくお願い申し上げます。

問題　以下
No.76172 - 2021/06/27(Sun) 12:19:14
☆ Re: 整数問題 / WIZ
m, n, x は整数で、m ≧ 0, n ≧ 0, x ≧ 0 とする。

n = 0 とすると、x = 3m なので 3 の倍数は「表せる」。
つまり、x ≡ 0 (mod 3) であるなら「表せない」整数はない。

n = 1 とすると、x = 3m+5 なので 5 以上の 3 で割って 2 あまる整数は「表せる」。
x ≡ 2 (mod 3) である整数の内、x < 5 である x = 2 は「表せない」。

n = 2 とすると、x = 3m+10 なので 10 以上の 3 で割って 1 あまる整数は「表せる」。
x ≡ 1 (mod 3) である整数の内、x < 10 である x = 1, 4, 7 は「表せない」。

以上から、「表せない」のは x = 1, 2, 4, 7 のみ。
No.76179 - 2021/06/27(Sun) 13:51:51
☆ Re: 整数問題 / simple is best
WIZ様
ご返答ありがとうございます

以下私の答案です


ご指摘ください。
No.76212 - 2021/06/27(Sun) 19:13:12
☆ Re: 整数問題 / simple is best
ご返答ありがとうございます

ただ解せないのは、貴殿は合同式を折角使っているのにも関わらず、所々で３で割って余りが‥と議論を進めている所です

また、
貴殿は
n=0,1,2

の場合についてだけ議論されているのも腑に落ちません。

何卒宜しくお願い致します。
No.76331 - 2021/07/01(Thu) 10:14:53
★ 複素積分 / 大学生
この問題の解答解説を教えてください
何から始めたらいいかもわかりません
No.76168 - 2021/06/27(Sun) 11:05:04
☆ Re: 複素積分 / GandB
> 何から始めたらいいかもわかりません
　下の(2)(3)が自力で解けるようになった後「フレネル積分」で検索。
No.76175 - 2021/06/27(Sun) 13:20:35
☆ Re: 複素積分 / 大学生
わかりました。
下の問題について教えていただけませんか？
No.76180 - 2021/06/27(Sun) 14:00:15
★ 複素積分 / 大学生
(2)(3)の解答解説を教えてください
No.76167 - 2021/06/27(Sun) 11:04:18
☆ Re: 複素積分 / X
(2)
条件のとき
dz={ie^(iθ)}dθ
∴(与式)=i∫[θ:0→π]e^(5iθ)}dθ
=(1/5){e^(i5π)-1}
=-2/5

(3)
z=(1+i)t (t:0→1)をL[1]
z=t+i (t:1→0)をL[2]
z=ti (t:1→0)をL[3]
とすると
∫[C]Im[z]dz=∫[L[1]]Im[z]dz+∫[L[2]]Im[z]dz+∫[L[3]]Im[z]dz
=∫[t:0→1]t(1+i)dt+∫[t:1→0]dt+∫[t:1→0]tidt
=(1/2)(1+i)-1-i/2
=-1/2
No.76208 - 2021/06/27(Sun) 18:09:20
★ 数lll / K
(2)の解法が立式するところからわかりません。どなたか解法を教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
No.76162 - 2021/06/27(Sun) 10:18:50
☆ Re: 数lll / ヨッシー

曲線Ｃの座標は　(x,y)＝(θ−a・sinθ, １−a・cosθ)
求める面積Ｓは
　Ｓ＝∫[0〜2π](y−1＋a)dx
です。
これを、置換積分でθの積分にします。
　ｘ＝θ−a・sinθ
より
　dx/dθ＝1−ａ・cosθ＝ｙ
　dx＝ｙdθ
であり、積分区間は　0≦ｘ≦2π　⇒　0≦θ≦2π なので、
　Ｓ＝∫[0〜2π](y−1＋a)dx＝∫[0〜2π](y−1＋a)ｙdθ
　　＝∫[0〜2π](a−a・cosθ)(１−a・cosθ)dθ
　　＝ａ∫[0〜2π]{a・cos^2θ−(1+a)cosθ＋1}dθ
　　＝ａ∫[0〜2π]{(a/2)(cos2θ＋1)−(1+a)cosθ＋1}dθ
　　＝ａ[(a/2)(sin2θ＋θ)−(1+a)sinθ＋θ][0〜2π]
　　＝ａπ(ａ＋２)
No.76169 - 2021/06/27(Sun) 11:50:57
★ (No Subject) / かなまたはら
高校ベクトルです。よろしくお願いします。
No.76161 - 2021/06/27(Sun) 10:13:12
☆ Re: / ヨッシー
問題（図の右に書かれている比率の式）が間違っています。
まずは、それを見つけてください。
No.76165 - 2021/06/27(Sun) 11:01:06
★ 解析学 / kkmath
大学数学の解析学の課題です。解いていただけると大変助かります。。
No.76160 - 2021/06/27(Sun) 01:43:24
☆ Re: 解析学 / kkmath
問題はこちらです。
No.76185 - 2021/06/27(Sun) 14:58:12
☆ Re: 解析学 / ast
フビニの定理.
No.76222 - 2021/06/27(Sun) 23:59:40
☆ Re: 解析学 / taiyakimaru
ご回答ありがとうございます。大変恐縮ですが、過程を教えていただけると助かります、、、
No.76224 - 2021/06/28(Mon) 01:06:51
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