ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学中3 / そら

解いてくださいませんか？

No.86742 - 2023/11/19(Sun) 13:30:33

☆ Re: 数学中3 / X

(1)
○1,○2をx,yについての連立方程式として解くと
(x,y)=(2,8),(-1,2)
となるので
A(-1,2),B(2,8)

(2)
直線○2とy軸との交点をDとすると、条件から
点Cは線分ODの中点となります、
ここで条件から
D(0,4)
よって
C(0,2)

(3)
これは(2)で使っている方針がヒントになっています。
(2)の場合はODの中点の座標としてCを求めていますが
今度は点Oが点Dに対して、線分の中点となるように、
y軸上の点の座標を求めれば、点P,Qのうちの
片方の座標は求められます。
ではもう片方のy軸上の点の座標はどう求めればよいか？
そのことを頭の片隅において、以下の方針を
ご覧下さい。

(2)の過程から、
点Qは
切片が4-4×2=-4(これが点Oを中点とする場合です)
である傾き2の直線(これを(M)とします)
とx軸との交点

であり、点Pは
切片が4+4×2=12
である傾き2の直線(これを(L)とします)
とx軸との交点
となります。

ここで直線(L)の方程式は
y=2x+12
ゆえ、点Pのx座標について
2x+12=0
これより
x=-6
なので、P(-6,0)

一方、直線(M)の方程式は
y=2x-4
ゆえ、点Qのx座標について
2x-4=0
これより
x=2
なので、Q(2,0)

(4)
(1)(3)の結果から点Qは点Bからx軸に下した
垂線の足になっていることに注意して、
求める体積をVとすると
V=(1/3)(πBQ^2)×PQ
=(1/3)π×(8^2)×{2-(-6)}
=512π/3

No.86745 - 2023/11/19(Sun) 16:21:50

☆ Re: 数学中3 / WIZ

>Xさん

(2)は△CABの面積が△OABの面積の2倍だから、
OD = 4に対して、DC = 4*2 = 8となるy > 0である点がCです。
よって、C(12, 0)となると思います。

(3)は精査していませんが、点Pと点Qをx軸上の点として計算されていますが、
問題文では放物線上の点となっているため、
P(-6, 0)とQ(2, 0)は間違っていると思います。

方針としては、点Cを通り直線〇2と平行な直線を〇3とすると、
この〇3と放物線〇2の交点がPとQとなると思うので、
〇3: y = 2x+12から、P(3, 18), Q(-2, 8)となるのではないかと思います。
# (2)は上記の直線のy切片を求める為の誘導ですね。

(4)も精査していませんが、(3)の結果を前提としているので違うと思います。

# もし私の勘違いだったらごめんなさい!

No.86751 - 2023/11/19(Sun) 18:05:46

☆ Re: 数学中3 / X

＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞そらさんへ
ごめんなさい。(2)(3)については、WIZさんの仰る通り
問題文の読み間違いです。
(2)(3)の方針については、WIZさんのそれで
問題ないと思います。

No.86758 - 2023/11/19(Sun) 19:34:37

☆ Re: 数学中3 / X

(4)については改めて回答を。

(4)
点Pからy軸に下した垂線の足をH、
直線BQとy軸との交点をIとして

点Oを頂点とし、点Hを底面の中心、
PHを底面の半径とする円錐の体積をP、

点Oを頂点とし、点Iを底面の中心、
BIを底面の半径とする円錐の体積をQ、

点Cを頂点とし、点Hを底面の中心、
PHを底面の半径とする円錐の体積をR、

求める体積をVとすると

V=P-Q-R
=(1/3)(πPH^2)×OH-(1/3)(πBI^2)×OI-(1/3)(πPH^2)×CH
=(1/3)π×(3^2)×18-(1/3)π×(2^2)×8-(1/3)π×(3^2)×(18-12)
=(1/3)π×9×12-(1/3)π×4×8
=76π/3

No.86759 - 2023/11/19(Sun) 20:05:11

★ グラフの問題 / hj

グラフの定義域と値域、切片を求める。

また、X軸、Y軸、または原点に関する対称性を見つける。

答えは、
定義域 (－𝜋, 𝜋)
値域　(-1, 1)
(0,0)→y切片 0
(－𝜋,0), (－𝜋/2,0), (𝜋/2,0), (𝜋,0)→x切片－𝜋, －𝜋/2, 0, 𝜋/2, 𝜋

グラフは原点とX軸に対して対称である。

でいいですか？

No.86740 - 2023/11/19(Sun) 07:00:47

☆ Re: グラフの問題 / らすかる

「x軸に関して対称」とは「x軸で折ると上下のグラフがピッタリ重なる」という意味ですから、「x軸に関して対称」ではありません。

No.86741 - 2023/11/19(Sun) 13:02:57

☆ Re: グラフの問題 / hj

返信ありがとうございます。
yに対して対称でしょうか？
もしよろしければ、答えをご教授していただきたいです。

No.86744 - 2023/11/19(Sun) 15:06:04

☆ Re: グラフの問題 / らすかる

「y軸に関して対称」は「y軸で折ると左右のグラフがピッタリ重なる」という意味ですから、「y軸に関して対称」でもありません。原点に関して180°回転して元のグラフと同じになれば「原点に関して対称」ですから、このグラフは「原点に関して対称」だけ成り立ちます。

No.86755 - 2023/11/19(Sun) 19:19:24

★ (No Subject) / ありす

y=x^3-xを考える。座標平面上の任意の点Pについて、この曲線と相異なる交点を3つもつような点Pを通る直線Lが存在することを示せ。
という問題なのですが、

https://math.nakaken88.com/problem/tokyo-u-r-2022-4/
ここにあるように、結論としてはP(a, b)として直線Lの傾きをkとおけば、kを十分大きく取ったときに成立する
というような感じなんですが、これはつまりk→∞ということはLはx=aの直線ということですよね？この直線がy=x^3-xと交点を3つもつ気がしないのですが、どういう事なのでしょうか？

No.86734 - 2023/11/18(Sat) 18:13:29

☆ Re: / IT

kを十分大きく取ったときに成立する
のkは有限な値です。　
Pの位置によって１かも知れませんし1000かも知れませんが。

No.86735 - 2023/11/18(Sat) 18:37:21

☆ Re: / ありす

kが仮に有限値だったとしても、Pは任意の点だからa, b が十分大きいときはｋ->∞でとらないとだめじゃないですか？
あと、(10, -10)とかでも相異なる三点で交わるようなｋが思いつかないんですけど。。。どんな値になりますか？

No.86736 - 2023/11/19(Sun) 00:35:24

☆ Re: / らすかる

Pが(10,-10)の場合は、例えば直線Lをy=799x-8000とすれば
(-10-10√5,-15990-7990√5)
(-10+10√5,-15990+7990√5)
(20,7980)
の3点で交わりますね。

> Pは任意の点だからa, b が十分大きいときはｋ->∞でとらないとだめじゃないですか？
kはa,bの値に依存してとればよい値ですから、k→∞と考えるのは正しくありません。つまり「任意のa,bに対して成り立つkを考える」のではなく、「どんなa,bをとってもそれに対してあるkをとれば条件を満たす」という考え方です。
上記の例の(10,-10)の場合はkを799やもっと大きい定数にすれば3点で交わりますので、「∞」にする必要はありません。

No.86737 - 2023/11/19(Sun) 00:56:40

☆ Re: / ありす

なるほど、、、
では(a,b) = (∞、∞)というような点PだとどんなKを取ればいいんでしょうか？

No.86753 - 2023/11/19(Sun) 18:58:11

☆ Re: / らすかる

∞という数はありませんので、そのような点Pはとれません。
つまり、「座標平面上の任意の点P」に(∞,∞)のようなものは含まれません。

No.86756 - 2023/11/19(Sun) 19:20:17

☆ Re: / ありす

ある実数aに対して、aよりも大きいa'は実数になりますから、a'についても成立することを示さないといけませんよね？
任意の点P(a, b)についてということは、P'(a', b') (a < a', b < b') となるような点P'についても成り立つことを言わなければいけなくて、という事を繰り返していけば（∞、∞）を実質的に考えなければならない事になりませんか？

No.86762 - 2023/11/19(Sun) 21:27:59

☆ Re: / らすかる

なりません。「任意の大きな数」と「∞」は意味が全く異なります。おそらく具体的にkをaとbの式で表せると思いますので、それで証明は終わります。

No.86765 - 2023/11/19(Sun) 22:55:09

★ 反比例 / えっとう

比例は比例定数、二乗に比例する関数なら(p<x<q)のときは(p+q)aで変化の割合がもとめられますが、反比例、二次関数、三次関数、ではそのような公式は存在するのですか。もしぞんざいするなら、その式にいたるまでの過程も教えてください。お願いします。

No.86724 - 2023/11/15(Wed) 20:43:39

☆ Re: 反比例 / ヨッシー

１次関数：ｙ＝ａｘ＋ｂ
　２点(p, ap+b), (q, aq+b) の変化の割合
　{(aq+b)－(ap+b)}/(q-p)＝ａ
　比例の場合も含みます。
２次関数：ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ
　２点(p, ap^2+bp+c), (q, aq^2+bq+c) の変化の割合
　{(aq^2+bq+c)－(ap^2+bp+c)}/(q-p)＝ａ(p+q)＋b
　２乗に比例の場合はｂ＝ｃ＝０とする。
３次関数：ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ
　２点(p, ap^^3+bp^2+cx+d), (q, aq^3+bq^2+cq+d) の変化の割合
　{(aq^3+bq^2+cq+d)－(ap^^3+bp^2+cx+d)}/(q-p)＝ａ(p^2+pq+q^2)＋b(p+q)+c
　q^3－p^3＝(q-p)(q^2+pq+p^2) を利用
反比例：ｙ＝ａ／ｘ
　２点(p, a/p), (q, a/q) の変化の割合
　(a/q－a/p)/(q-p)＝-a/pq

ちなみに、それぞれにおいて、q を p に近づけていった結果
３次関数の場合だと　ａ(p^2+pp+p^2)＋b(p+p)+c＝3ap^2＋2bp＋c
を、ｘ＝ｐにおける微分係数と言います。

No.86729 - 2023/11/16(Thu) 09:33:49

★ 円周上の点と直線の最長、最短距離について / あかあお

円周と直線(問題でいうPQ)の最小値についてですが、赤枠に書かれている条件を満たすときに距離が最小値となるのは当然のことだと思いますが、もしよろしければ、赤枠のことを理論的な説明？
や証明をおねがいします。
「この直線を円と接するように平行移動したら、確かに成り立つ」や「補助線や垂線を引っ張ってみると明らかにそう」などというのは思いついたのですが、これらは全て「視覚的にそうだよね」と示しているだけだと思います。僕的には三平方や三角比、ベクトルなどを使って数値や式的に成り立つことを示したいと思ったのですが、どうやれば示せるかわかりませんでした

No.86721 - 2023/11/15(Wed) 10:45:01

☆ Re: 円周上の点と直線の最長、最短距離について / ヨッシー

「この直線を円と接するように平行移動したら」からでも、ちゃんとした証明になると思いますけど。

直線Ｌと円Ｃ1 は最初は離れているものとする。
直線Ｌを円Ｃ1に接するまで平行移動したときの直線をＭ、接点をＱ、
ＬとＭの間隔をｄとします。
ＱからＭまでの距離は０であるので、ＱからＬまでの距離（＝ＰＱ）はｄであるが、
円Ｃ1上のＱ以外の点ＳとＭは離れており、その距離をｅ（＞０）とすると、
ＳからＬまでの距離はｄ＋ｅ（＞ｄ＝ＰＱ）　となり、
Ｑが直線Ｌから最も近い点と言える。

No.86723 - 2023/11/15(Wed) 14:28:33

★ ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野

一辺が10mの正方形の部屋の中に、n人の人間がいる。
このn人が、互いにできる限り距離をとろうとしているとき、
n人の最善の配置を考え、その距離を答えなさい。

n=2,3,4までは簡単なのですが、5以上がさっぱりです。

No.86718 - 2023/11/14(Tue) 22:15:37

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / IT

最善の配置かどうかは、どうやって評価するのですか？
最短距離が最大とか？

n=5 のときは、一辺が5mの正方形４つに分割して考えれば良いのでは？

No.86719 - 2023/11/14(Tue) 22:25:17

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる

n=3はどうなりましたか？

No.86720 - 2023/11/15(Wed) 00:41:26

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野

> 最善の配置かどうかは、どうやって評価するのですか？
> 最短距離が最大とか？
>
> n=5 のときは、一辺が5mの正方形４つに分割して考えれば良いのでは？
「最善の配置」は、おっしゃる通り、人間同士の距離の最短距離の最大値で考えています。

No.86725 - 2023/11/15(Wed) 22:20:27

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野

> n=3はどうなりましたか？

n=3のときは、正方形をO(0,0),A(10,0),B(10,10),C(0,10)としたとき、1人をOに固定し、後の2人をAB上とBC上に置き、正三角形ができる配置を最大と考えました。

No.86726 - 2023/11/15(Wed) 22:23:19

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる

回答ありがとうございます。
で、n=5の場合はITさんのヒントでわかりましたか？

No.86727 - 2023/11/15(Wed) 22:56:01

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野

わかりました。
(0,0),(10,0),(10,10),(0,10),(5,5)に
配置すればいいんですね。
n=6以上が難しそうですね。

一般化なんて夢のまた夢です

No.86730 - 2023/11/16(Thu) 19:26:44

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる

n=6の場合は
(0,0),(10,0),(5,10/3),(0,20/3),(10,20/3),(5,10)
のように配置するのが良いようです。
n=20ぐらいまでの解はわかりますが、一般化は無理だと思います。

No.86731 - 2023/11/16(Thu) 21:27:41

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野

n=6のときは、n=3のときの正三角形の各辺から垂直二等分線を引いて、それと外郭の正方形との交点が最適な位置になると思っていましたが、違いますか？

n=20まですぐ出るなんて。すごいです。
何かコツがありますか？

No.86732 - 2023/11/18(Sat) 00:03:48

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる

> n=6のときは、n=3のときの正三角形の各辺から垂直二等分線を引いて、それと外郭の正方形との交点が最適な位置になると思っていましたが、違いますか？
違います。それだと最短距離が5(√6-√2)≒5.176になりますよね。
私が書いた座標にすると最短距離が5√13/3≒6.009となり、より長くなります。

> 何かコツがありますか？
いろいろネット検索して正解を見つけるのがコツです。

No.86733 - 2023/11/18(Sat) 01:32:30

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / 浅野

＞いろいろネット検索して正解を見つけるのがコツです。
ネットに同じような問題があるんですか？
私も検索はしてみたんですが、見つからず、知りませんでした。
どんなワードで検索されたんですか？

No.86757 - 2023/11/19(Sun) 19:33:50

☆ Re: ソーシャル・ディスタンス問題 / らすかる

「点を配置する」ものがあるかどうかはわかりませんが、正方形を大きくすれば
「円を正方形に詰め込む」問題と同様になります。
「詰め込み」はpacking、「円」はcircle、「正方形」はsquareなので
例えば「packing circle in square」のように検索すると
↓このページが見つかります。
https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_square
ここにn=20までの図があり、表のdnの値を10倍したものが
今回の問題の答えになります。
この図を見るとわかるように、例えばn=10などは一見きれいに見える図ですが
上の2個と右の3個を除いたサイコロの目のような配置の5個は上の2個のy座標が微妙に
異なるなど、かなり複雑な配置になっています。（n=10のdnの値は
18次方程式の解らしいです。）ここらへんが「一般化は無理」と思う理由です。

No.86761 - 2023/11/19(Sun) 20:36:10

★ 関数 / アヤ

大学入試の過去問です。解答は公表しておらず自力でなんとか解きました。不備や気になる点などがありましたら、ご指摘いただけたら助かります。

※うまく縦に画像を設定できなくて申し訳ないです。

No.86705 - 2023/11/12(Sun) 15:51:08

☆ Re: 関数 / IT

(1) 少し書きすぎかなというくらい丁寧な答案ですが、
極値の判定記述は、増減表の後に書くか、増減表そのものに書いた方が良いと思います。

No.86707 - 2023/11/12(Sun) 16:31:15

☆ Re: 関数 / アヤ

ご回答ありがとうございます。
以後、ご指摘の通りにします

No.86708 - 2023/11/12(Sun) 16:38:00

☆ Re: 関数 / IT

(2) 曲線y=x^3+x^2-x+2 と直線y=x+2 の交点のx座標を求めるところを書くべきと思います。

「グラフで・・・面積を求める」や「xの変域が」の記述は不要だと思います。

「故にs1=」なども　最初に　「S1=∫・・・」と書けば済みます。

最後は　「よって、求める面積＝S1+S2=8/3+5/12＝37/12 //」とかですかね。

No.86709 - 2023/11/12(Sun) 17:06:19

☆ Re: 関数 / アヤ

ありがとうございます。
x^3+x^2-x+2＝x+2
x^3+x^2-2x＝0
x(x^2+x-2)=0
x(x+2)(x-1)=0
よって　x＝-2,0,1

これを書くべきでした。
失礼しました。

No.86710 - 2023/11/12(Sun) 17:55:01

☆ Re: 関数 / IT

(1) のグラフ　極小値のところが　折れ点のように見えますね、できれば、滑らかな曲線にみえると良いと思います。

No.86711 - 2023/11/12(Sun) 18:39:49

☆ Re: 関数 / アヤ

度々ありがとうございます。
IT様の指摘の通りです。

No.86712 - 2023/11/12(Sun) 18:42:46

★ 確率の問題 / あおい

画像の問題が解けません。最初の2問は何となく答えを出しましたが、最後の答えが1を超えてしまって、最初の2問もあってる自信がありません、よろしくお願いいたします。

No.86695 - 2023/11/09(Thu) 20:36:33

☆ Re: 確率の問題 / IT

ご自分の解答を書き込まれた方が、回答も付きやすいですし、どこを間違えているか分かって勉強になると思いますよ。

No.86696 - 2023/11/10(Fri) 02:36:03

☆ Re: 確率の問題 / 位相空間を中和

（１）試合はA-B,A-C,B-Cの3回行われます。
2つのチームが2勝することはありません。(どうあがいてもどっちも勝ち状態が生まれる)
Aが2勝0敗で優勝する確率を求めることは、各々のチームにある2つの試合で両方勝つことと同じ、Bに勝つ確率は0.6,Cに勝つ確率は0.4で両方が起こる確率は0.24ではないでしょうか？
同様に考えると、B=0.28,C=0.18でいずれかだから足して0.6になりました。
（２）Y,Z戦では、必ずBとCが戦います。
Bが勝つ確率は0.7→決勝でAが勝つ確率は0.6だからBと戦って優勝する確率が0.42
Cが勝つ確率は0.3→決勝でAが勝つ確率は0.4だからCと戦って優勝する確率が0.12
答えは、足して0.54
（３）
(２)より、Aが1/3の確率でXに入ったとき、優勝の確率は0.54
Yに入ったとき、Zに入るのがBだったら0.6の確率で決勝へ、Cと対戦して優勝する確率は0.24,
ZがCだったら同様に考えて0.24
それぞれ、X,Y,Zに振り分けられる確率は1/3だから、それぞれに1/3をかけて足す。(全部足してから1/3をかけてもいい)
0.34となりました。
おそらく、最後の1/3をかけ忘れ、1.02とかになったのではないですか？青いさんの回答も教えていただけると幸いです。

No.86700 - 2023/11/11(Sat) 16:40:10

★ (No Subject) / レット—サー

この国際信州学院大学の問題の解説が見つからなかったので解説願いします

No.86685 - 2023/11/08(Wed) 21:54:56

☆ Re: / レット—サー

ごめんなさい
添付画像間違えました

No.86686 - 2023/11/08(Wed) 21:55:55

☆ Re: / IT

国際信州学院大学は、実在の大学ですか？

なんとなく正しい不等式のような気がしますが、高校レベルで１、２時間で解けるとは思えません。

No.86713 - 2023/11/12(Sun) 22:26:25

☆ Re: / 黄桃

検索すればわかりますが、この大学はweb上だけで存在するジョーク大学です。
だから問題自体もユーモアにあふれています。ただ残念ながら2020である必然性は乏しいようです。
なので、どうしようかと思いましたが、一応書いておきます。

左側の不等式は、式の意味が分かれば簡単ですが、右側はすこしきちんと評価しないと出てこないようです。
高校数学の範囲で解けますが、四則演算ができる電卓が使えればともかく、そうでなければ、
1.55<log[2](3)<1.6
くらいは与えてほしいところです(2^8>3^5、2^14<3^9から言えますが面倒で退屈な計算です）。

＃問題自体もジョークでしょうから与えない方がいいのでしょう。

入試問題として適切かどうかはおいておくと、解法の１つは 1+1/2+1/3+... =∞ を示す方法の１つ(2^n 毎に区切って区切った部分の和が1/2より大きいことを使う）を応用するだけなので、この手法を知っていれば、多少の試行錯誤と計算力（と根気）は必要ですが、1時間あれば解けると思います。

一番左の式は、ルートを外していけば、
1^(1/2+1/4+...+1/2^1989)*2^(1/2^2+...+1/2^1989)*...*1988^(1/2^1988+1/2^1989)*1989^(1/2^1989)
=1^(1-2^1989)*2^(1/2-2^1989)*3^(1/2^2-2/1989)*...*1988^(1/2^1987-1/2^1989)*1989^(1/2^1988-1/2^1989)
になり、真ん中の式は
1*2^(1/2)*3^(1/2^2)*4^(1/2^3)*...*2021^(1/2^2020)
であり、
a>1, x>y>0 なら a^x>1および a^x>a^y に注意すれば、左側の不等式は明らか。

右側の不等式は、もっといい方法がありそうですが、2を底とする対数をとれば(以下、logの底の2は略します）、以下のようにlog(3)より小さいといえます。
1.55<log(3)<1.6は最初に示しておきます（以下で使います）。
log(真ん中の式)
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
(1/2^4)log(5)+(1/2^5)log(6)+(1/2^6)log(7)+(1/2^7)log(8)+
(1/2^8)log(9)+....+(1/2^15)log(15)+
(1/2^16)log(17)+...+(1/2^31)log(32)+
...
(1/2^1024)*log(1025)+...(1/2^2020)*log(2021)
<(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
(1/2^4)log(8)+(1/2^5)log(8)+(1/2^6)log(8)+(1/2^7)log(8)+
(1/2^8)log(16)+....+(1/2^15)log(16)+
(1/2^16)log(32)+...+(1/2^31)log(32)+
...
(1/2^1024)*log(2048)+...+(1/2^2020)*log(2048)+...+(1/2^2047)*log(2048)
(log(2^k)=k で括って等比級数の和を計算)
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
3(1/2^3-1/2^7)+
4(1/2^7-1/2^15)+
5(1/2^15-1/2^31)+
...
11(1/2^1023-1/2^2047)
（ななめに同類項が現れるのに注意）
=(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+
3/2^3
+1/2^7
+1/2^15
...
+1/2^1023-11/2^2047
<(1/2)+(1/4)log(3)+1/4+3/8+1/2^7+1/2^7
=(9/8)+(1/4)log(3)+1/2^6 (log(3)<1.6だから)
<(9/8)+(1/4)(16/10)+1/50
=1.125+0.4+0.02=1.545
<1.55<log(3) (1.55<log(3)だった)

＃最初は対数の底を3にして失敗し、2にして精度を上げて何とか出した、というのが舞台裏。
＃普通の入試問題とはやっぱり違って面倒です。

No.86728 - 2023/11/15(Wed) 23:32:44

★ 三角形 / えっとう

二つの三角形においてそれぞれの三角形の二辺の長さとその間の角が等しければ合同がなりたつことが知られていますが、ならば、それらがわかれば他の2角の大きさともう一つの長さってわかりますか？教えてください。

No.86684 - 2023/11/08(Wed) 21:47:55

☆ Re: 三角形 / らすかる

わかります。
ただし、角度が有名角でない場合は三角関数が必要になります。

No.86687 - 2023/11/09(Thu) 01:58:52

☆ Re: 三角形 / えっとう

1、その導出の仕方を教えてください。ある程度、三角比の知識はあります。
2、なぜですか？有名角を基準に円の性質(三平方と円の方程式)を利用し、あともう一つ、三角形(場合わけする)の一つの角の大きさとその大きさ具合と対辺(一つの角が一番上にきた時の底辺)のひらき具合の関係を式で示せればグラフ上で考えてわかるのではないのですか？
マニヤックな質問ですみませんお願いします。

No.86691 - 2023/11/09(Thu) 16:56:46

☆ Re: 三角形 / ヨッシー

１．
三角形の３つの頂点、およびその角の大きさをＡ，Ｂ，Ｃで表し、
辺の長さをａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢとします。

２辺ａ，ｂと間の角Ｃがわかっているとき、
余弦定理
　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2－２ａｂcosＣ
からｃが分かり、正弦定理
　ａ/sinＡ＝ｂ/sinＢ＝ｃ/sinＣ
から、角Ａ，角Ｂが分かります。

２．
どのようなグラフか、わかりかねますが、
グラフの式を求めたりする時に、三角関数が要ると思います。
有名角だと、ｙ＝√3ｘのように書けますが。

No.86692 - 2023/11/09(Thu) 18:46:08

☆ Re: 三角形 / ヨッシー

角Ａ，角Ｂが分かります。→角Ａ，角Ｂのsin値が分かります。

No.86693 - 2023/11/09(Thu) 18:47:49

★ 因数分解 / 因数分解

x^6-21x^4+35x^2-7を有理数の範囲で因数分解してください

No.86674 - 2023/11/06(Mon) 12:21:51

☆ Re: 因数分解 / WIZ

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。

アイゼンシュタインの既約判定法のWikiによれば、
題意の整式は有理数係数の範囲では既約ですので、
有理数係数の範囲では因数分解できないようです。

No.86675 - 2023/11/06(Mon) 14:13:24

☆ Re: 因数分解 / らすかる

x^6-21x^4+35x^2-7 は有理数範囲で因数分解できません。
x^6-21x^4+35x^2+6 とか
x^6-21x^4+35x^2-15 ならば因数分解できます。

No.86676 - 2023/11/06(Mon) 22:01:10

☆ Re: 因数分解 / 因数分解

申し訳ございません、有理数の範囲ではなく、実数の範囲でした。

No.86677 - 2023/11/07(Tue) 08:35:24

☆ Re: 因数分解 / らすかる

x^2=tとおくとt^3-21t^2+35t-7
t^3-21t^2+35t-7=0を解くと解は
t={21+(8√21)cos(arccos(3√21/14)/3)}/3,
{21-(8√21)cos(arccos(-3√21/14)/3)}/3,
{21-(8√21)sin(arcsin(3√21/14)/3)}/3
の3つの正の実数となるので、元の式を実数範囲で因数分解すると
x^6-21x^4+35x^2-7=
(x+√{{21+(8√21)cos(arccos(3√21/14)/3)}/3})
(x-√{{21+(8√21)cos(arccos(3√21/14)/3)}/3})
(x+√{{21-(8√21)cos(arccos(-3√21/14)/3)}/3})
(x-√{{21-(8√21)cos(arccos(-3√21/14)/3)}/3})
(x+√{{21-(8√21)sin(arcsin(3√21/14)/3)}/3})
(x-√{{21-(8√21)sin(arcsin(3√21/14)/3)}/3})
となります。

No.86678 - 2023/11/07(Tue) 11:07:01

☆ Re: 因数分解 / 因数分解

t^3-21t^2+35t-7=0を解くと〜の部分ですが、どのように解いたのですか？

No.86679 - 2023/11/07(Tue) 17:11:01

☆ Re: 因数分解 / らすかる

http://www10.plala.or.jp/rascalhp/math.htm#7
↑ここにある公式に代入して答えを導きました。
公式を使わずに求めようとすると結構面倒ですが、
そこらへんも自分で計算して出したいということでしたら
↓こちらをご覧下さい。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

No.86680 - 2023/11/07(Tue) 17:52:52

☆ Re: 因数分解 / WIZ

x^5の係数が0であることから、以下の様におけます。
x^6-21x^4+35x^2-7 = (x^3+Ax^2+Bx+C)(x^3-Ax^2+Dx+E)
上記から、A, B, C, D, Eを求めると、B = DとかCE = -7などから、
以下の様に変形できることが分かりました。

x^6-21x^4+35x^2-7
= (x^6-14x^4+49x^2)-7x^4-14x^2-7
= (x^3-7x)^2-7(x^2+1)^2
= (x^3-7x)^2-{(√7)(x^2+1)}^2
= (x^3+(√7)x^2-7x+(√7))(x^3-(√7)x^2-7x-(√7))

No.86688 - 2023/11/09(Thu) 10:16:43

☆ Re: 因数分解 / らすかる

WIZさんの変形を使って因数分解すると
(x+(4cos(arccos(13/14)/3)+1)√7/3)
(x-(4cos(arccos(13/14)/3)+1)√7/3)
(x+(4sin(arcsin(13/14)/3)-1)√7/3)
(x-(4sin(arcsin(13/14)/3)-1)√7/3)
(x+(4cos(arccos(-13/14)/3)-1)√7/3)
(x-(4cos(arccos(-13/14)/3)-1)√7/3)
となり、全体の√も取れて結構すっきりした解になりますね。
（解の順は上の因数分解と合わせてあります）

No.86689 - 2023/11/09(Thu) 13:19:32

☆ Re: 因数分解 / らすかる

「正解」がわかりました。
x^6-21x^4+35x^2-7=0
x=tanθ（-π/2＜θ＜π/2）とおくと
(tanθ)^6-21(tanθ)^4+35(tanθ)^2-7=0
tanの7倍角の公式から
tan7θ=((tanθ)^6-21(tanθ)^4+35(tanθ)^2-7)tanθ/(7(tanθ)^6-35(tanθ)^4+21(tanθ)^2-1)=0
x=0は解ではないのでtanθ=0は解ではない。
よってx^6-21x^4+35x^2-7=0の解はx=tan(2nπ/7)（n=1～6）なので、
x^6-21x^4+35x^2-7
=(x-tan(2π/7))(x-tan(4π/7))(x-tan(6π/7))(x-tan(8π/7))(x-tan(10π/7))(x-tan(12π/7))

No.86694 - 2023/11/09(Thu) 19:07:03