点A(1.0)を通る直線は円C X2+Y2＝4と異なる2点で交わる。C上の点Pに対してAを通る直線とCとの交点でPとは異なるものをQとする。PがC上を動く時線分PQの中点Mの軌跡はどのように表すことが出来るか。解答解説よろしくお願いします
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No.88032 - 2024/05/10(Fri) 15:05:30
| ☆ Re: / 黄桃 | | | あまり気は利かないけど誰でもできそうな解法を示します。
(1,0)を通る直線は、
(1) y軸に平行な直線 x=1
(2) 傾きtの直線 y=t(x-1)
に分けられます。
(1)の場合、Pは2点(1,±√3)のいずれかで、Qは(1,干√3)（複号同順） だから、いずれの場合も中点Mは(1,0)
(2)の場合、Pは y=t(x-1)とx^2+y^2=4 との交点だから、
交点のx座標は、連立して
(t^2+1)x^2-2t^2x+t^2-4=0
の解になります。Pでない方の交点がQだから、
P(px,py), Q(qx,qy)
とおけば、解と係数の関係から
px+qx=2t^2/(t^2+1) ...(3)
px*qx=(t^2-4)/(t^2+1)
です。
P,Qの中点Mの座標を(X,Y)とすれば、P,Qのx座標がどちらであっても、
X=(px+qx)/2
Y=(py+qy)/2=(t(px-1)+t(qy-1))/2=t(px+qy-2)/2
ですから、(3)を代入して整理すれば
X=t^2/(t^2+1)...(4)
Y=-t/(t^2+1) ...(5)
となります。
(4)より、0≦X<1 ...(6)
であり、したがって(X≠1だから)(4)より
t^2=X/(1-X)
t=±√(X/(1-X))...(7)
となります。
これを(5)に代入して整理すれば
Y=±√(X(1-X)) (ただし、X≠1)
となります。これより、X≠1の下で、
Y^2=X(1-X), つまり、
X^2-X+Y^2=0
(X-1/2)^2+Y^2=1/4 ...(8)
となります。
(X≠1の下で(7)によりtを決めれば(8)から順に上にたどっていって(4),(5)も言えるので)
以上から、
(2)の場合のMの軌跡は、(8)のうち、X=1の部分、つまり(1,0)を除いた部分です。
(1)の場合のMは(1,0)でしたから、両者を合わせて
Mの軌跡は中心が(1/2,0),半径1/2の円周上の点全体({(x,y)| (x-1/2)^2+y^2=1/4})である...答
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No.88045 - 2024/05/11(Sat) 17:14:10 |
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