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★ 数ll / ともや
t>0とする。曲線y=x^2+1上に異なる3点A(0,1),P(t,t^2+1),Q(3t,9t^2+1)をとり,角PAQ=θとおく。
(1)tanθをtを用いて表せ。
(2)θの最大値と,そのときのtの値を求めよ。

(1)でtanθ=-(12t^3+4t)/(6t^4+10t^2+1)がて出てしまいました。とても答えとは思えないので、どなたか模範解答を教えてください。
No.73853 - 2021/04/20(Tue) 20:12:13
☆ Re: 数ll / X
(1)
直線AP,AQとx軸の正の向きとのなす角をそれぞれ
α、βとすると、条件から
tanα={(t^2+1)-1}/t=t
tanβ={(9t^2+1)-1}/(3t)=3t
∴tanθ=tan(β-α)
=(tanβ-tanα)/(1+tanαtanβ)
=2t/(3t^2+1)

(2)
(1)の結果を
tanθ=2/(3t+1/t)
と変形し、右辺の分母に相加平均と
相乗平均の関係を使います。
No.73855 - 2021/04/20(Tue) 20:28:30
☆ Re: 数ll / IT
ともやさんの解答もどこか直して正解になるかもしれません。
途中を書き込んで間違いを見つけるのは有効だと思います。
No.73856 - 2021/04/20(Tue) 20:56:13
★ 写像 / ばさ
大学一年です。大学の授業で出された問題がわからないので教えてください。
問題は以下の通りです。

次を満たす写像f:N→Nを具体的に構成せよ。
(1)単射であるが、全射でない。
(2)全射であるが、単射でない。
(3)全射でも単射でもない。
(4)恒等写像以外で、全単射となる。

自然数の集合のN書き方がわからないのでNでの表記ですがすみません。
(1)はf(x)=2xかな？って思うのですが合ってますでしょうか？
他の2、3、4はさっぱりわからないです。
No.73849 - 2021/04/20(Tue) 18:20:51
☆ Re: 写像 / IT
(1) いろいろありますが、それも正解です。
(2)(3)(4) 無数にあると思いますので自分で考えてください
簡単な例は、f(x)=x を基に考えるといいかも知れません。
(2)　f(x)=x を少しずらしてf(x)=1 となる　xが２個になるようにする。
(3)　これもf(x)=x を一部変えてみる。
　あるいは任意の自然数xについて　f(x)=1 とする。
(4)　f(x)=x のどこかを入れ替える。

N →　N　の　図（左右の〇の中に自然数をいくつか書いて、→で結ぶ）を　描いて考えてみるといいかも知れません。
No.73851 - 2021/04/20(Tue) 19:00:23
★ 積分 / Tuji
??(sinx)^3/(cosx)^2 dx は置換積分しなくとも、部分積分でできませんか？　計算過程も含めてお願いします。
No.73844 - 2021/04/20(Tue) 16:47:34
☆ Re: 積分 / X
部分積分により
(与式)={(sinx)^3}tanx-∫{3{(sinx)^2}cosxtanxdx
={(sinx)^3}tanx-3∫{(sinx)^3}dx
={(sinx)^3}tanx-3∫{1-(cosx)^2}sinxdx
={(sinx)^3}tanx-3∫{1-(1+cos2x)/2}sinxdx
={(sinx)^3}tanx-(3/2)∫(1-cos2x)sinxdx
=…
(第二項の被積分関数を展開し、積和の公式を使います。)
No.73845 - 2021/04/20(Tue) 17:33:38
☆ Re: 積分 / IT
(sinx)^3/(cosx)^2 ＝(1-(cosx)^2)sinx/(cosx)^2=sinx/(cosx)^2-sinx
＝(sinx)(tanx)'-sinx なので
∫((sinx)^3/(cosx)^2)dx=∫(sinx)(tanx)'dx+cosx

∫(sinx)(tanx)'dx を部分積分で計算する。
No.73858 - 2021/04/20(Tue) 21:47:20
★ 数l / たくや
円Oに内接する四角形ABCDにおいて、AB=4,AD=2,BC=3,CD=2ABとする。
(1)辺ABの長さを求めよ。
(2)sin角ABCの値、および円Oの半径を求めよ。
(3)四角形ABCDの面積を求めよ。

(1)からわかりません、解法と模範解答教えてください！
No.73839 - 2021/04/20(Tue) 15:09:49
☆ Re: 数l / ヨッシー
問題に AB=4 とあるので、
(1) 4
なのでは？

多分どれかが誤植なのでしょうけれども。
AC＝4 とか。
No.73840 - 2021/04/20(Tue) 15:23:02
☆ Re: 数l / ヨッシー
AC＝4 であるとして。

ＡＢ＝ａ、ＣＤ＝2a、∠ＡＢＣ＝θ とおきます。
△ＡＢＣおよび△ＡＣＤにおける余弦定理より
　16＝a^2＋9−6acosθ
　16＝4a^2＋4＋8acosθ
移項して
　7＝a^2−6a・cosθ　　・・・(i)
　12＝4a^2＋8a・cosθ　　・・・(ii)　
(i)×4−(ii) より
　16＝−32a・cosθ
　a・cosθ＝−1/2　　・・・(iii)
(i) に代入して、
　a^2＝4
よって、a＞0 より
　a＝2　・・・答え(1)

このとき、(iii) より
　cosθ＝−1/4
0＜θ＜180°より　sinθ＞0
よって、
　sinθ＝√15/4　　・・・答え(2)の前半
求める半径をRとすると、正弦定理より、
　2R＝AC/sinθ＝4/(√15/4)＝16/√15
　Ｒ＝8/√15＝8√15/15　・・・答え(2)の後半

sin∠ＡＢＣ＝sin∠ＡＤＣ＝√15/4　より
　△ＡＢＣ＝(1/2)2・3sin∠ＡＢＣ＝3√15/4
　△ＡＣＤ＝(1/2)2・4sin∠ＡＤＣ＝4√15/4
よって、
　四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝7√15/4
No.73842 - 2021/04/20(Tue) 16:18:07
☆ Re: 数l / たくや
すみません、AC=4でした。本当にありがとうございます！
No.73852 - 2021/04/20(Tue) 19:28:39
★ 実数が無限にあること / aiko
「0以上4以下の有理数は無限にあることを証明せよ」

と言う問題で、背理法で示したいので、0以上4以下の有理数を有限個(Nこ）として、これらを小さい順に0=q1<q2<………<qn=4としたのですが、この続きがわかりません、
答えを教えてください
No.73827 - 2021/04/20(Tue) 10:18:54
☆ Re: 実数が無限にあること / ヨッシー
例えば、(q1＋q2)/2 を考えると．．．
No.73828 - 2021/04/20(Tue) 10:26:00
☆ Re: 実数が無限にあること / aiko
どーやってq1より小さいってしますんですか？？
No.73829 - 2021/04/20(Tue) 11:08:29
☆ Re: 実数が無限にあること / ヨッシー
q1 よりは小さくないです。
q1 と q2 の間です。
　q1＜(q1＋q2)/2＜q2
を自明としてもいいですし、
　d＝q2−q1＞０
とおいて、
　(q1＋q2)/2＝q1＋d/2＞q1
　(q1＋q2)/2＝q2−d/2＜q2
としても、示せます。
　
No.73830 - 2021/04/20(Tue) 11:21:34
☆ Re: 実数が無限にあること / aiko
> q1 よりは小さくないです。
> q1 と q2 の間です。
> 　q1＜(q1＋q2)/2＜q2
> を自明としてもいいですし、
> 　d＝q2−q1＞０
> とおいて、
> 　(q1＋q2)/2＝q1＋d/2＞q1
> 　(q1＋q2)/2＝q2−d/2＜q2
> としても、示せます。
> 　


(q1+q2)/2が実数ってことはどーやってしめしたらいいですか？？
No.73843 - 2021/04/20(Tue) 16:19:07
☆ Re: 実数が無限にあること / ヨッシー
有理数ですよね？
q1=s/t, q2=u/v などとおいて、分子分母整数の分数になることを示せば良いでしょう。
No.73847 - 2021/04/20(Tue) 18:02:29
★ (No Subject) / 数学苦手
Aのグループが16番目に揃うそうですが何故そうなるか式、表の見方を教えてください
No.73821 - 2021/04/20(Tue) 00:47:00
☆ Re: / ヨッシー
Ｂの方は、１から８までの入れ方が、９から１６でもう一度繰り返されます。
１７から２４も同様と予想されます。よって、８個ずつの繰り返し(周期は８)です。

Ａの方は、１から８まで入れた後、９からは右から始まって
別の入れ方となり、１７からようやく１と同じ入れ方になります。
（その後、１から１６と同じ入れ方になると予想されます）
よって、Ａは周期１６であり、
　１，１７，３３，４９・・・はすべて１と同じグループ
　２，１８，３４，５０・・・はすべて２と同じグループ
のようになります。５５０は１６で割ると
　５５０÷１６＝３４あまり６
なので、６と同じグループになります。
No.73822 - 2021/04/20(Tue) 04:28:02
☆ Re: / 数学苦手
Bについて、アは1から4から7まで3ずつ増えています。イは2から5から8まで3ずつ、ウは7から8まで1増えてます。あ、でも縦に見るとアは1と9で8差、4と12で8差、7と15で8差、イは2と10で8差、5と13で8差、8と16で8差、ウは3と11で8差、6と14で8差？ということでしょうか？
でも、Aの方は同じように見ても違いますね、、
すいません。頭が悪くて…
No.73831 - 2021/04/20(Tue) 11:50:06
☆ Re: / ヨッシー
マスの中の数字がどう変わっているかよりも、
１，２，３の数字をア、イ、ウのどこに置くかを見たほうが良いでしょう。

Ａは
アアアイイイウウウウイイイアアア
の繰り返し、Ｂは
アイウアイウアイ
の繰り返しです。
厳密にやるなら、アの中でも、左か中か右かの区別も出来ますが、
そこまでは必要ないでしょう。
No.73832 - 2021/04/20(Tue) 12:13:09
☆ Re: / 数学苦手
Aの場合はアの左から、ウの右。ウの右からアの左。それで振り出し、最初の状態に戻り、15増加。それに最初の1も足して15足す1で16ですか。Bの場合もア、イ、ウとそれぞれ123456、最後はアイで78。そしてアの9から振り出しに戻るから7足す1で8ですかね。
No.73833 - 2021/04/20(Tue) 12:47:14
☆ Re: / 数学苦手
周期と聞かれたら最初の数字も足すのでしょうか。
No.73834 - 2021/04/20(Tue) 12:54:39
☆ Re: / ヨッシー
うーむ。
なぜ、目の前に見えている１６や８を出すのに、式が必要ですか？
１６まで数えて、１７から次のターンに入るので、
　１ターンは１６
で良いのではないですか？
No.73835 - 2021/04/20(Tue) 12:57:42
☆ Re: / 数学苦手
あ、絶対に式は必要とは思ってないですが…まあ、そもそも数学がかなり苦手なので、スッと思いつかないといいますか。ほとんどの問題は式を必要としますし、当たり前かもですが汗
とりあえずやり方を覚えておきたくて。
No.73837 - 2021/04/20(Tue) 13:28:26
☆ Re: / 数学苦手
グループ分けされてるから、別のグループの数字は別物と頭でロックして考えるからダメなのかもしれませんね。
No.73846 - 2021/04/20(Tue) 17:53:46
☆ Re: / ヨッシー
問題にも書いてある
「ア〜ウのグループに入れていくと」
がポイントです。入った結果ではなく、入れていく操作そのものを
見ていく必要があります。
No.73848 - 2021/04/20(Tue) 18:05:07
☆ Re: / 数学苦手
結果の場合はまた違うのでしょうか？例えば…
No.73864 - 2021/04/21(Wed) 00:18:37
☆ Re: / 数学苦手
今回の場合はアからウのグループにそれぞれと書いていないから、アイウに渡って続いて変化していると気づくべきですかね…
そこまで文に深い意味はありませんかね(^◇^;)
No.73865 - 2021/04/21(Wed) 00:43:44
☆ Re: / ヨッシー
気づくと言うなら、
Ａの図を見た瞬間に
　１　→→→　８
　　　　　　　↓
　16　←←←　９
と目が追いませんかね？
その瞬間、１〜８と９〜１６は、規則性が違うと気づきます。
さらに言うなら、１６までで１セットだと。
No.73866 - 2021/04/21(Wed) 08:59:40
☆ Re: / 数学
とりあえず文章では分からないので、こういった問題はパターンを覚えます。
No.73867 - 2021/04/21(Wed) 11:40:16
☆ Re: / ヨッシー
苦手じゃなくなったのですね（笑）
No.73868 - 2021/04/21(Wed) 11:44:37
☆ Re: / 数学
いや、苦手だから聞いてますが…見て閃けってことっぽいので。
No.73869 - 2021/04/21(Wed) 12:53:55
☆ Re: / 数学苦手
> 問題にも書いてある
> 「ア〜ウのグループに入れていくと」
> がポイントです。入った結果ではなく、入れていく操作そのものを
> 見ていく必要があります。

「順に」と書かれた部分が「それぞれに」だったらア、イ、ウそれぞれ区別するのかもしれませんね？
No.73885 - 2021/04/22(Thu) 17:32:13
☆ Re: / 数学苦手
いや、今回の問題でもAの方はアに連続して3つなのにBの方はアイウで連続して3つですね。
だから、関係ないですね。パターン記憶します
No.73898 - 2021/04/23(Fri) 03:46:51
★ 端点の微分 / みき
数?Vの問題です。端点では微分できないと習ったのですが、この問題では、空欄ではなく0が入っています。媒介変数表示だからなのでしょうか。
No.73819 - 2021/04/19(Mon) 23:21:25
☆ Re: 端点の微分 / みき
これです。
No.73820 - 2021/04/19(Mon) 23:23:56
☆ Re: 端点の微分 / みき
すみません　m(__)m
No.73824 - 2021/04/20(Tue) 09:44:49
☆ Re: 端点の微分 / ヨッシー
微分できるできないは、何で微分するかによります。

また、
>端点では微分できない
は一般には正しくありません。そもそも、端点って何？という話ですが、
上のグラフで、ｘ＝４の位置で、ｙはｘでは微分できませんが、
ｘ＝０の側では微分できます。

　dy/dx＝(dy/dt)/(dx/dt)
ですので、dx/dt＝0 であれば、dy/dx が求められないのは道理です。
No.73836 - 2021/04/20(Tue) 13:14:04
☆ Re: 端点の微分 / みき
そうだったんですか。ありがとうございます。
No.73841 - 2021/04/20(Tue) 15:51:42
★ 数ll / たいち
予習の際に、場合分けでつまってしまいました。どなたか、場合分けの仕方から、aの値の範囲まで解説よろしくお願いいたします。
No.73806 - 2021/04/19(Mon) 17:06:14
☆ Re: 数ll / ヨッシー
関連する記事は[返信]ボタンを押して記入してください。
上の記事は消しておきます。
No.73808 - 2021/04/19(Mon) 17:50:13
☆ Re: 数ll / ヨッシー
場合分け、というか条件を満たすグラフは下の３通りです。

No.73809 - 2021/04/19(Mon) 17:51:09
☆ Re: 数ll / たいち
お手数おかけして申し訳ないのですが、模範解答を教えていただけませんか？
No.73823 - 2021/04/20(Tue) 09:34:06
☆ Re: 数ll / ヨッシー
図の左から(i)(ii)(iii) とします。
また
　f(x)＝x^2＋ax−a^2＋1＝0
と置きます。
(i) の場合
　f(0)＝−a^2＋1＜0　かつ　f(1)＝−a^2＋a＋2＞0
よって
　a＜-1 または a＞1　かつ　-1＜a＜2
以上より　1＜a＜2

(ii) の場合
　（省略）

(iii)の場合
　判別式：Ｄ＝a^2−4(−a^2＋1)＝5a^2−4≧0
　軸：0＜-a/2＜1
　f(0)＝−a^2＋1＞0 かつ f(1)＝−a^2＋a＋2＞0
よって
　a≦-2/√5 または a≧2/√5 かつ -2＜a＜0 かつ -1＜a＜1 かつ -1＜a＜2
以上より　-1＜a≦-2/√5


(i)(ii)(iii) より
　　-1＜a≦-2/√5 または 1＜a＜2

こんな感じです。
肝心の不等式を解く部分は、サクッと省略しています。
No.73826 - 2021/04/20(Tue) 10:08:44
☆ Re: 数ll / たいち
ありがとうございました！自分の答えと一緒でしたー！
No.73838 - 2021/04/20(Tue) 14:07:10
★ 高校数学の整数問題 / なのめ
(4)で詰まってしまいました。
(1)はn≡1(mod6)
(2)はn≡1or7(mod10)
(3)はn≡1or8(mod12)
となりました。
ご教授ください。
No.73792 - 2021/04/18(Sun) 23:01:22
☆ Re: 高校数学の整数問題 / IT
1001を素因数分解するとどうなりますか？
(1)(2)(3) を使えばよいと目途が立ちます
(4)と(1)(2)(3)の関係を考えてみてください。
(1)(2)(3) を同時に満たすnの条件はどうなりますか？
　mod60 で表すと良さそうです
No.73794 - 2021/04/18(Sun) 23:45:23
☆ Re: 高校数学の整数問題 / なのめ
解決しました
ありがとうございました
No.73800 - 2021/04/19(Mon) 07:10:15
★ 高校数学の整数問題 / なのめ
Pn=2^n+3^nとする。
これを11で割った余りが5になるnを求めよ。

実験してみたのですがどうも規則性が見つかりません。
よろしくお願いします
No.73772 - 2021/04/18(Sun) 18:43:46
☆ Re: 高校数学の整数問題 / らすかる
n=1,2,3,…に対して
2^nを11で割った余りは
2,4,8,5,10,9,7,3,6,1,2,…
3^nを11で割った余りは
3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,3,…
なので2^n+3^nを11で割った余りは
5,2,2,9,0,1,5,8,10,2,5,…
なのでn≡1,7(mod 11)で余りが5になりますね。

# 11で割り切れないものを11で割った余りは
# 1〜10の10通りしかありませんので、
# 2^n,3^nをそれぞれ11乗まで試せば必ず規則性が見つかります。
No.73773 - 2021/04/18(Sun) 18:49:37
☆ Re: 高校数学の整数問題 / なのめ
n=11のときは除くのですか？
No.73778 - 2021/04/18(Sun) 19:25:13
☆ Re: 高校数学の整数問題 / らすかる
あ、間違えました。
n≡1,7(mod 11)ではなく
n≡1,7(mod 10)です。
No.73781 - 2021/04/18(Sun) 20:56:33
☆ Re: 高校数学の整数問題 / なのめ
ありがとうございます！
No.73783 - 2021/04/18(Sun) 20:59:19
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題は底辺分割の定理は使わないと言われました。高さが同じだから面積比と体積比は同じで4分の1になるらしいです。一般的には体積比は底辺の比の3乗ですが…
底辺分割の定理は高さが同じで、使えるのは三角錐の辺の比だけなのでしょうか。
No.73765 - 2021/04/18(Sun) 16:47:19
☆ Re: / 数学苦手
底辺分割の定理は高さが同じ三角形同士なら、それぞれの三角形の比と面積比が同じになるのは分かります。ただ、この三角錐の問題は補助線引いてそれらしいところもないし、無理ということでしょうか。
No.73766 - 2021/04/18(Sun) 17:26:20
☆ Re: / 数学苦手
三角錐AECFと三角錐ABCDはAE:ABの比が等しく、AFとFDの比が等しく、∠Aが同じで2組の角が等しくて、相似。
相似っていうのは分かりますが一般的？にはそれの3乗が体積比らしいので、特殊な問題なのかなと…
No.73767 - 2021/04/18(Sun) 17:34:33
☆ Re: / らすかる
それらの三角錐は相似ではありません。
相似なのは△ABDと△AEFです。
底面を△ABD,△AEFとすれば
底面積が1/4で高さが同じなので
(体積)=(底面積)×(高さ)÷3が1/4になるということですね。
No.73775 - 2021/04/18(Sun) 18:53:44
☆ Re: / 数学苦手
あ、そうです笑 こんがらがるといいますか混乱してました。 三角錐の相似は分からないですよね？僕は分からないです。底面積は1:2の2乗で1:4でAEFはABDの4分の1。そこからは高さの数値は分からないので、高さが同じということは分かっているから面積比と体積比が同じになるということを覚えてやる問題なのでしょうか。


僕は分からなかったので、下のような時間が掛かるやり方で解きました。
No.73777 - 2021/04/18(Sun) 19:21:28
☆ Re: / らすかる
それを覚えるわけではなく、
(体積)=(底面積)×(高さ)÷3だけ知っていれば十分です。
この式から、高さが一定の時、体積は底面積に比例することが
わかりますので、底面積比＝体積比になりますね。
No.73784 - 2021/04/18(Sun) 21:00:32
☆ Re: / 数学苦手
分かりました！ありがとうございます。あと、最初に底辺分割か相似比どちらを使うか見極めるのが必要だと思いますがこの場合はどのように見極めたら良いのでしょうか。比べるのは三角錐の体積で三角形の体積ではないので底辺分割の定理は使わないのでしょうか。
No.73788 - 2021/04/18(Sun) 21:49:15
☆ Re: / らすかる
使ってもできると思います。
補助線BFを引いて
AF=FDから△ABF=(1/2)△ABD
AE=EBから△AEF=(1/2)△ABF
よって△AEF=(1/2)△ABF=(1/2){(1/2)△ABD}=(1/4)△ABD
相似だと例えばAE：EB=2：1のようにAF：FDと比が異なる場合に使えませんが、
上記の計算ならばどんな比率でも使えますね。
No.73789 - 2021/04/18(Sun) 22:14:55
☆ Re: / 数学苦手
AE:EB=2:1とすると、AF:FD=2:1じゃないですか？
No.73791 - 2021/04/18(Sun) 22:52:46
☆ Re: / らすかる
相似の場合はそうなりますが、そうではなく
「AE：EB=2：1かつAF：FD=1：1のときに立体ACEFは正四面体ABCDの体積の何分の1か」
という相似でない場合の問題でも上記の方法が適用できる、と言っています。
No.73793 - 2021/04/18(Sun) 23:35:06
☆ Re: / 数学苦手
なるほど。あ、少し前のアドバイスについてですが補助線DEを引いたら、三角形EBDもしくは三角形AEDが2分の1三角形ABDになりますね。
No.73796 - 2021/04/19(Mon) 01:19:03
☆ Re: / 数学苦手
> 使ってもできると思います。
> 補助線BFを引いて
> AF=FDから△ABF=(1/2)△ABD
> AE=EBから△AEF=(1/2)△ABF
> よって△AEF=(1/2)△ABF=(1/2){(1/2)△ABD}=(1/4)△ABD
> 相似だと例えばAE：EB=2：1のようにAF：FDと比が異なる場合に使えませんが、
> 上記の計算ならばどんな比率でも使えますね。

あ、あと…「よって」の後ろについてですが三角形どうしの比、この場合は相似比ではなく、面積比というのでしょうか。それは最終的に合わさったものを求めるときは掛け算しないといけないんですね？
No.73797 - 2021/04/19(Mon) 01:37:50
☆ Re: / らすかる
はい、面積比です。
(1/2){(1/2)△ABD}までは単純な代入ですが、
最終的に(1/2)×(1/2)×△ABDという式になりますので
(1/2)×(1/2)の部分だけは掛ける必要がありますね。
No.73802 - 2021/04/19(Mon) 14:26:28
☆ Re: / 数学
小学生のときに比は✖と聞いたことあります。基本的に図形の問題で比を使って、複数の図形を足して求めたい図形の面積、体積を表すときは掛け算をすれば良いのでしょうか？
No.73803 - 2021/04/19(Mon) 15:27:26
☆ Re: / らすかる
複数の図形を「足す」なら足し算です。
AはBのx倍、BはCのy倍のような場合ならば
AはCのxy倍のように掛け算になります。
No.73804 - 2021/04/19(Mon) 15:42:26
☆ Re: / 数学苦手
なるほど！
No.73816 - 2021/04/19(Mon) 20:15:32
☆ Re: / 数学苦手
比は何倍って考え方ですものね
No.73817 - 2021/04/19(Mon) 20:16:52
★ 高２数学です。 / 白夜
解き方と答えを解説お願いします。
No.73761 - 2021/04/18(Sun) 15:10:58
☆ Re: 高２数学です。 / IT
実数係数の３次方程式の解の一つをαとするとαの共役複素数もその方程式の解である。　ことと

３次方程式の解と係数の関係を使います。
No.73762 - 2021/04/18(Sun) 15:22:19
☆ Re: 高２数学です。 / 白夜
もう少し詳しく教えていただけると嬉しいです。
No.73801 - 2021/04/19(Mon) 07:43:19
☆ Re: 高２数学です。 / ヨッシー
上の方にあった、「奈緒」こと白夜さんの記事と、
この記事内に誤ってレスされたちゅうぼうさんの記事は削除しました。

さて、この問題ですが、
　ｘ＝２±√３ｉ
を解に持つ
　ｘ^2−４ｘ＋７＝０
を使って、
　ｘ^3−５ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝(ｘ−α)(ｘ^2−４ｘ＋７)
と書けます。
これを展開して、係数比較すればいいでしょう。

なお、３次方程式の解と係数の関係は、
（簡単のため、ｘ^3 の係数は１とします）
　ｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０
の解が
　ｘ＝α、β、γ
であるとき、
　ｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝(ｘ−α)(ｘ−β)(ｘ−γ)
と書けるので、
　ｂ＝−(α＋β＋γ)
　ｃ＝αβ＋βγ＋γα
　ｄ＝αβγ
が成り立つというものです。
これも、展開して係数を比較したものなので、
　ｘ^2−４ｘ＋７
が
　(ｘ−β)(ｘ−γ)
に置き換えられたと見れば、上の方法と同じです。
No.73805 - 2021/04/19(Mon) 16:28:51
★ 中1数学 / ちゅうぼう
中1 数学です。
解き方を解説お願いします。
No.73755 - 2021/04/18(Sun) 13:43:33
☆ Re: 中1数学 / らすかる
CDに接している方の影をBDに関して折り返してADに接するようにすれば
直角二等辺三角形ABDから扇形ABEを除いた面積とわかりますので、
12×12÷2-12×12×3.14×(30/360)=34.32cm^2となります。
No.73756 - 2021/04/18(Sun) 13:51:49
☆ Re: 中1数学 / ちゅうぼう
ありがとうございます。
頭を柔らかくしないとダメですね。
No.73770 - 2021/04/18(Sun) 18:27:38
★ 京都大伝説の問題 / kitano
京都大伝説の問題

何卒、宜しく御願いします。

問題 以下
No.73749 - 2021/04/18(Sun) 12:22:06
☆ Re: 京都大伝説の問題 / X
条件から点P,Q,Rは辺BC,CA,ABの中点ですので
↑OP=(↑OB+↑OC)/2 (A)
↑OQ=(↑OC+↑OA)/2 (B)
↑OR=(↑OA+↑OB)/2 (C)
これらを、条件式である
↑OP+2↑OQ+3↑OR=↑0 (D)
に代入すると
(↑OB+↑OC)/2+2(↑OC+↑OA)/2+3(↑OA+↑OB)/2=↑0
これより
(↑OB+↑OC)+2(↑OC+↑OA)+3(↑OA+↑OB)=↑0
5↑OA+4↑OB+3↑OC=↑0 (D)'
更に△ABCの外接円の半径をRとすると
|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|=R (E)
(D)'の両辺の↑OA,↑OB,↑OCとの内積を
取り、更に(E)を用いると
5R^2+4↑OA・↑OB+3↑OC・↑OA=0 (F)
5+4R^2+3↑OB・↑OC=0 (G)
5↑OC・↑OA+4↑OB・↑OC+3R^2=0 (H)
(F)(G)(H)を↑OA・↑OB,↑OB・↑OC,↑OC・↑OA
についての連立方程式として解くことにより
↑OB・↑OC=0
∴内積の定義により
∠BOC=π/2 (I)

ここで∠Aは∠BOCに対する円周角になるので
(I)の2πに関する補角も∠BOCの候補となり
∠BOC=π/2,3π/2
∴∠A=∠BOC/2=π/4,3π/4
ですが、(D)'より∠A,∠B,∠Cは全て鋭角
ですので
∠A=π/4
となります。
No.73752 - 2021/04/18(Sun) 12:53:15
☆ Re: 京都大伝説の問題 / kitano
X様
ご回答有難う御座います

他の方の考え方も聞きたいと思います。

from kitano
No.73753 - 2021/04/18(Sun) 13:02:50
☆ Re: 京都大伝説の問題 / X
＞＞kitanoさんへ
No.73752についてですが、∠BOCの評価の詰めが
甘かったので修正をしておきました。
再度ご覧下さい。
No.73754 - 2021/04/18(Sun) 13:26:48
☆ Re: 京都大伝説の問題 / kitano
たびたび有難う御座います。

私の考え方です。

ご評価ください。

以下　from kitano
No.73759 - 2021/04/18(Sun) 14:34:41
☆ Re: 京都大伝説の問題 / X
方針そのものに問題はないと思います。
只、誤植などがありますね。

まず、最低限
↑OA=3↑OQ+4↑OR
が成り立つ
という辺りの記述が必要です。
そうでないと
↑OP+2↑OQ+3↑OR=↑0
5↑OA+4↑OB+3↑OC=↑0
から、いきなり四角形AROQ
が出てくる根拠が分かりません。

次に
＞＞AO=1
としていますが、これはこう仮定して
いるだけですか？
もしそうなら、そのことを記述すべきです。
(AOに対する比率で計算を進めている
という意図は分かりますが。)

最後に、添付写真の最下行から一行上の
＞＞接弦定理より
とありますが、これは
正弦定理より
の誤植ですか？。
No.73763 - 2021/04/18(Sun) 15:38:47
☆ Re: 京都大伝説の問題 / 関数電卓
こういうマニアックな「解」は，確かに 伝説 に残りそうですね。
本スレッド No.73749 の解としては X さんの解が極めて標準的で，幾何学的な方法に持ち込むことが得策とは思えない。この先が見通せなかったことが，No.73708，No.73698 の質問につながっているのでしょうから。

上の手書きの解は略解なのでしょう？
方べきの定理の下りはまだしも，正弦定理のところは私には曲技に思えます。
これを入試答案で書いた場合には，「説明不足」で大幅減点される恐れ大，受験生には決してお勧めできません。

No.73698 の解としては，一例としては
　∠OAQ＝α，∠OAR＝β とおき
　△OQR：△AQR＝1：6，△OAQ：△OAR＝3：2
から計算に持ち込むのが「実践的」だと思います。

以上 ※ 個人の感想 でした。
No.73768 - 2021/04/18(Sun) 18:12:53
☆ Re: 京都大伝説の問題 / IT
原題では、
（１）↑OA、↑OB,↑OCの関係式を求めよ
（２）∠Aの大きさを求めよ
となっていますね。
（１）の答えは、みなさんお答えのように　5↑OA+4↑OB+3↑OC=↑0 で、

（２）の手持の問題集の答案は､Xさんとほとんど同じですが
(1) より｜5↑OA｜=|4↑OB+3↑OC|
∴｜5↑OA｜^2=|4↑OB+3↑OC|^2
=16|↑OB|^2+24(↑OB･↑OC)+9|↑OC|^2
ここで|↑OA|=|↑OB|=|↑OC|なので(↑OB･↑OC)＝0　∴∠BOC=90°∴∠A=45°
No.73771 - 2021/04/18(Sun) 18:36:19
☆ Re: 京都大伝説の問題 / kitano
個性もセンスも探究心もない

数学音痴のの 関数電卓様

>極めて標準的
>「実践的」

そんな数学をずっと勝手にやってればいい

from kitano
No.73798 - 2021/04/19(Mon) 05:48:10
☆ Re: 京都大伝説の問題 / kitano

>曲技に思えます

ですか

完全に避難中傷ですね。

わかりました
No.73799 - 2021/04/19(Mon) 05:57:06
☆ Re: 京都大伝説の問題 / ヨッシー
なんか面白いので残しておきます。

関数電卓さん。ゴメンナサイ。
反論無用でお願いします。
No.73810 - 2021/04/19(Mon) 17:59:42
☆ Re: 京都大伝説の問題 / 関数電卓
>> ヨッシー さん
ご高慮有り難うございます。
もとより「反論」するつもりなど全くありません。
掲示板の宿命とはいえ，いろいろな受け取り方があるということを，これからも念頭に置きたいと思います。
No.73811 - 2021/04/19(Mon) 18:15:19
☆ Re: 京都大伝説の問題 / IT
状況は、まったく逆ですね。
No.73813 - 2021/04/19(Mon) 19:17:43
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題の解説で妻の年齢をx歳、息子の年齢をy歳としています。夫の年齢はx+2歳、x-2歳、娘の年齢はy+3歳となります。そこで、夫の年齢がx+2歳の場合、条件イとオより、X-(y+3)＞31という風に式ができます。何故、妻の年齢から娘の年齢を引くのでしょうか？
No.73738 - 2021/04/18(Sun) 00:10:57
☆ Re: / X
オから妻は娘より31歳を超える年上だからです。
No.73740 - 2021/04/18(Sun) 00:53:36
☆ Re: / 数学
娘は生まれたときとのことで、0歳という考え方をしてましたが合ってますかね？数学ではなく、低レベルな国語のような質問すみません。
No.73741 - 2021/04/18(Sun) 02:50:52
☆ Re: / Y
合ってません。それだと息子は-３さいになります。
No.73742 - 2021/04/18(Sun) 04:25:05
☆ Re: / 数学苦手
えっと、、では生まれたときとは…娘が生まれたばかりだから
息子は生まれてないのではないのですか？すいません
No.73743 - 2021/04/18(Sun) 04:51:55
☆ Re: / 数学苦手
解説はこのような感じでした。
No.73744 - 2021/04/18(Sun) 04:52:51
☆ Re: / Y
> 娘は生まれたときとのことで、0歳という考え方をしてましたが合ってますか

「娘が生まれたとき、娘は0歳である。」ということなら、そのとおりです。それなら聞かれるまでもないことだと思いますが。
No.73745 - 2021/04/18(Sun) 06:47:38
☆ Re: / 数学苦手
x-(y+3)＞31はx＞31と同じってことですね。分かりました。あまりにも自信がないため聞いた次第です。
No.73748 - 2021/04/18(Sun) 11:39:18
☆ Re: / X
＞＞数学苦手さんへ
もう見ていないかもしれませんが、もう少し別の角度から。

x-(y+3)＞31 (A)
をもう少し変形すると、妻と息子の
年齢差についても分かります。
(A)から
x-y-3＞31
x-y＞34
つまり息子が生まれたのは妻が34歳を超えてから
ということになります。

これは、娘が生まれる境界となる妻の年齢が31歳
ですので、それに息子と娘の年齢差である3歳を
足した34歳という、当たり前の結果をいっている
ことを表しています。
No.73750 - 2021/04/18(Sun) 12:25:29
☆ Re: / Y
> x-(y+3)＞31はx＞31と同じってことですね。分かりました。あまりにも自信がないため聞いた次第です。

どういう理屈でそう「x-(y+3)＞31はx＞31と同じってこと」
になりますか？
No.73758 - 2021/04/18(Sun) 14:21:31
☆ Re: / 数学苦手
妻が31歳を超えた年齢のときに娘を産んだからです。
No.73795 - 2021/04/19(Mon) 01:09:48
★ 対数 / Myu
答えがない問題です…すみません…
高一です。
a＞0, a≠1のとき、log(a)(a^x-a)＞0を解け。
表記の方法が合っているか分からないのですが、底はaです。
0＜a＜1のときとa＞1のときに場合分けして考えました。しかし、真数条件a^x-a＞0をどのように取り扱っていいものか…
ご教授お願い致します。
No.73732 - 2021/04/17(Sat) 23:16:32
☆ Re: 対数 / IT
それも、0＜a＜1のときとa＞1のときに場合分けして考えればよいのでは？
No.73735 - 2021/04/17(Sat) 23:33:57
☆ Re: 対数 / Myu
そうですね！それぞれx＜1, x＞1と出せました。
0＜a＜1のとき、a＞1のときどちらもx＞log(a)(a+1)となったのですが、ここからどうしたら良いのでしょうか…
No.73736 - 2021/04/17(Sat) 23:37:48
☆ Re: 対数 / Myu
0＜a＜1のときは、グラフを描いて考えるとlog(a)(a+1)＜x＜1となったのですが…a＞1の方が分からないです…
No.73737 - 2021/04/17(Sat) 23:43:19
☆ Re: 対数 / IT
a＞1 でも同じようにできるのでは？
No.73739 - 2021/04/18(Sun) 00:35:40
☆ Re: 対数 / Myu
同じようにやってみました。添付画像のようになりました。グラフを描いてみると確かにx＞1になったのですが…答えはどうなるんでしょうか。0＜a＜1ではlog(a)(a+1)＜x＜1ですが、今求めている方は解は何になるんでしょうか？x＞1ですか？

何度もすみません、もう少しお付き合い下さい💦
No.73751 - 2021/04/18(Sun) 12:27:27
☆ Re: 対数 / IT
画像が途切れています。

そのグラフは何のグラフですか？

また、できれば画像を正立させてください。　撮影方法を工夫するか、画像編集ソフトで回転する。
No.73757 - 2021/04/18(Sun) 14:16:07
☆ Re: 対数 / Myu
log(a)(a+1)のグラフを描いています。
No.73760 - 2021/04/18(Sun) 15:00:15
☆ Re: 対数 / IT
> log(a)(a+1)のグラフを描いています。
ンー？　横軸は何で縦軸は何ですか？

a＞1　のとき
　x＞log(a)(a+1) かつ　x ＞1　が求める条件だと思いますが
　これは、整理するとどうなりますか？
　log(a)(a+1)と１の大小比較してください。
No.73764 - 2021/04/18(Sun) 16:39:54
☆ Re: 対数 / Myu
横軸が真数で、縦軸がlog(a)(a+1)…です…グラフの書き方間違ってますかね…💦
グラフよりlog(a)(a+1)＞1だと思うのですがこれは合っていますか？？
理解力が乏しくお手を煩わせてしまい、大変申し訳ありません。。
No.73776 - 2021/04/18(Sun) 19:19:34
☆ Re: 対数 / IT
> 横軸が真数で、縦軸がlog(a)(a+1)…です…グラフの書き方間違ってますかね…💦
気持ちは分かりました。
横軸をs 縦軸をlog(a)(s) としたグラフですね。

> グラフよりlog(a)(a+1)＞1だと思うのですがこれは合っていますか？？

合っていますが、グラフからというよりは　
a+1＞a ＞1　からlog(a)(a+1)＞1　で良いと思います。

ノート（答案用紙）の左右に　独立した事項を記述するなら
縦線を入れた方が　紛れがないと思います。
No.73779 - 2021/04/18(Sun) 19:35:25
☆ Re: 対数 / Myu
なるほど！グラフからでなくても真数だけで導けますね！
分かりました、これからは縦線を入れるようにします！ありがとうございます。
最後に一つ確認させて頂きたいのですが、最終的な答えは、0＜a＜1のときとa＞1のときを合わせて、log(a)(a+1)＜x＜1, log(a)(a+1)＞1で良いでしょうか？
No.73782 - 2021/04/18(Sun) 20:57:19
☆ Re: 対数 / IT
違います。

もう一度、よく考えてください。

log(a)(a+1)＞1　は意味不明です。（x の条件ではありません）
0＜a＜1のときとa＞1のときは、別々にするしかないと思います。
No.73786 - 2021/04/18(Sun) 21:29:42
☆ Re: 対数 / Myu
本当ですね…xの条件になってなかったです。
a＞1のときは、1＜log(a)(a+1)とlog(a)(a+1)＜xを連立してx＞1でしょうか…
No.73787 - 2021/04/18(Sun) 21:41:50
☆ Re: 対数 / IT
ちがいます。

対数の問題というよりも　簡単な不等式の問題に出来ていますので　落ち着いてよく考えてください。
a＞1のとき　xが満たすべき必要十分条件は何ですか、
　２つ以上の条件を書くときには「かつ」、「または」などでつないで書いてください。
　それらを数直線上に表して確認してください。
No.73790 - 2021/04/18(Sun) 22:24:53
☆ Re: 対数 / Myu
返信遅くなりましたすみません💦
数直線で考えました。
x＞log(a)(a+1)
でしょうか？
No.73812 - 2021/04/19(Mon) 18:37:00
☆ Re: 対数 / IT
合ってます。
No.73814 - 2021/04/19(Mon) 19:36:18
☆ Re: 対数 / Myu
ということは…
0＜a＜1のときlog(a)(a+1)＜x＜1,a＞1のときx＞log(a)(a+1)
このような答え方で合っていますか？
No.73815 - 2021/04/19(Mon) 19:52:27
☆ Re: 対数 / IT
良いと思います。
No.73818 - 2021/04/19(Mon) 20:55:56
☆ Re: 対数 / Myu
またまた返信が遅くなってしまって申し訳ありません。。
丁寧な解説をして頂き、本当に有難うございました！とても勉強になりました。
No.73850 - 2021/04/20(Tue) 18:55:20
★ 積分の仕方について / あ
この積分の仕方を教えてください。
y=sinθと置換してみたのですが、答えがθになります。
答えをｙで表したいのですがどうすればいいですか？
No.73725 - 2021/04/17(Sat) 19:55:17
☆ Re: 積分の仕方について / 関数電卓
> 答えがθになります。
はい，それで OK です。
この後，y＝sinθ ですから θ＝sin-1y で，不定積分ですから
　与式＝sin-1y＋C (C：積分定数)
となります。
sin-1 は sin の逆関数で，アークサイン または インバースサイン と読みます。
No.73726 - 2021/04/17(Sat) 20:36:31
★ 3次方程式の解き方について / 数学苦手
2x^3＋x^2-7x＋4=0を解くために、x^3＋x^2/2-7x/2＋2=0に変形してから、有理数解を一つみつけて因数分解しようと思いました。このとき、x=1/2が解の一つになるのですが、(定数項の約数)/(最高次の約数)を考えても見つかりませんでした。なぜ見つからないのでしょうか?　回答よろしくお願いします。
No.73716 - 2021/04/17(Sat) 18:10:03
☆ Re: 3次方程式の解き方について / IT
有理数解が(定数項の約数)/(最高次の約数)といえるのは、整数係数のｎ次方程式の場合ですよね。

係数を整数でなくしてしまうと成り立たなくなります。
（証明の過程を確認してください）
No.73717 - 2021/04/17(Sat) 18:43:58
☆ Re: 3次方程式の解き方について / ヨッシー
分数を係数にしてしまったら、もはやそれは使えません。
もし、定数項が分数だったら、その約数って何？って感じですよね？

最初の式だと、それが使えて、1/2 も候補に入ってきます。
ただし、ｘ＝1/2 も解ではないですね。
No.73718 - 2021/04/17(Sat) 18:46:49
☆ Re: 3次方程式の解き方について / ast
# 本質的なところ (有理根定理は "整数係数多項式の有理根" について述べたものであること) は回答済みなので, 別な指摘を.

そもそも x=1/2 は 2x^3+x^2-7x+4=0 を (もちろん x^3+x^2/2-7x/2+2=0 も) 満たしませんので, 見ている問題が違うのでは?
# 符号間違いとかなら 2x^3+x^2+7x-4=0 あたりか?
No.73719 - 2021/04/17(Sat) 18:48:41
☆ Re: 3次方程式の解き方について / 数学苦手
すっきりしました！
回答ありがとうございます！
No.73720 - 2021/04/17(Sat) 18:49:33
☆ Re: 3次方程式の解き方について / ヨッシー
回答者側はすっきりしません。

正しい式は何ですか？
No.73722 - 2021/04/17(Sat) 18:51:41
☆ Re: 3次方程式の解き方について / 数学苦手
すいません、式を間違えてました2x^3＋x^2＋7x-4=0です
回答ありがとうございます！
No.73724 - 2021/04/17(Sat) 19:26:34
★ 高校数学　整数 / K
こちらの問題の(2)の解説をお願いしたいです。
No.73715 - 2021/04/17(Sat) 17:20:51
☆ Re: 高校数学　整数 / K
私は(1)と同様にやろうとしたのですが、途中でつまってしまいました…
No.73723 - 2021/04/17(Sat) 19:09:24
☆ Re: 高校数学　整数 / IT
ax+by=2009 を満たす自然数の組(x,y) でxが最大となるものを(s,t)とすると、
　as+bt=2009,　1≦t≦a である

?@の自然数解の組は、(s,t)(s-b,t+a),(s-2b,t+2a),...,(s-20b,t+20a)の２１個であり､
s-20b≧1、s-21b≦0。
すなわち 20b+1≦s≦21b
a 倍すると、20ab+a≦as≦21ab
ここでas＝2009-bt なので 20ab+a≦2009-bt≦21ab

20ab≦2009-bt-a≦2004
21ab≧2009-ab すなわち　22ab≧2009
したがって　92≦ab≦99 （必要条件であり十分とは限りませんが、かなり絞られました。）

ab=92=(2^2)*23 のとき　a=4,b=23 ,このとき　解が22個あり不適。（これをもっと簡単に排除できるとよいですね）

ab=93 のとき　a=3,b=31 とすると条件を満たす。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ab=94 のときの　a=2,b=47
ab=95 のときの　a=5,b=19 　
ab=96 のときの　a=3,b=32 などでもOK。

途中もう少しスッキリ出来るのかも知れません。
No.73727 - 2021/04/17(Sat) 21:46:14
☆ Re: 高校数学　整数 / ヨッシー
(1) と同じように考えると、
　ある a, b に対して?@が成り立つ、x, y を
　ｘ＝ｃ, ｙ＝ｄ　（ただし、ｄ＜ａ）とすると、ｙは
　０＜ｙ＜2009/b の範囲でｃで割った余りがｄの自然数である。
　そのようなｙは、c/b＋1 個程度ある。
　
そこで、
ｂ＝１１、ｃ＝２２０辺りを調べると、
　220a＋11y＝2009
を満たせそうな a の値としてa=9 が見つかります。

a=9,b=11 のとき、
　x=222, y=1 が１つの解であり、
　x=211, y=10
　x=200, y=19
　　・・・・
　x=2, y=181
の21個が解となります。
No.73729 - 2021/04/17(Sat) 23:02:46
☆ Re: 高校数学　整数 / K
ご回答ありがとうございます。
一つ目の13行目で≦99となるのは何故ですか？
No.73730 - 2021/04/17(Sat) 23:07:37
☆ Re: 高校数学　整数 / IT
20ab≦2009-bt-a≦2004
両辺を20で割って　ab≦2004/20=100.2
ab≦100 ですね。

なお、2 〜2006(=2009-3) の間に　公差ab の等差数列の項が21個含まれる。と考えても良いですね。
No.73731 - 2021/04/17(Sat) 23:15:53
☆ Re: 高校数学　整数 / K
ありがとうございます！
助かりました！
No.73733 - 2021/04/17(Sat) 23:20:15
★ 静岡大整数 / jasmine
問題
pを2とは異なる素数とする. m^2 = n^2 + p^2 を満たす自然数の組(m, n)がただ1組存在することを証明せよ.

という問題で, 解答が添付画像です. “ 」” マークを付けた所までは分かるのですが, 最後の「自然数の組(m, n)がただ1組存在する」の所が分かりません. 例えば(m, n) = (5, 4)や(13, 12)は与式を満たしますし, ただ1組とは限らないと思うのですが, 教えていただけるとありがたいです.
No.73709 - 2021/04/17(Sat) 14:51:06
☆ Re: 静岡大整数 / IT
ｐは、3以上の１つの素数ということです。
ｐ＝３　であれば、(m,n)=(5,4) ですし
ｐ＝５　であれば、(m,n)=(13,12) であり、
それぞれの素数ｐに対して、 m^2 = n^2 + p^2 を満たす自然数の組(m,n)は１組です。
No.73710 - 2021/04/17(Sat) 15:01:43
☆ Re: 静岡大整数 / IT
微妙な表現の違いですが
例えば
m^2 = n^2 + p^2 （ただしpは2とは異なる素数）
を満たす自然数の組(m, n)がただ1組存在する。

だと誤りになると思います。
No.73711 - 2021/04/17(Sat) 15:18:59
☆ Re: 静岡大整数 / jasmine
そういうことでしたか…ありがとうございます
No.73712 - 2021/04/17(Sat) 15:41:22
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