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★ 数?V極限 / 雪太郎
数?Vの極限の問題です。難しくて困っています。どのように解けばよいのか解法を教えていただけるとありがたいです。
No.74800 - 2021/05/20(Thu) 20:28:26
☆ Re: 数?V極限 / IT
f(x)が縮小写像の場合は、その数列が収束することは、「バナッハの不動点定理」「縮小写像の不動点定理」などという定理で大学の初年級の微積分の教科書などに載っています。

f(x)が縮小写像であることを示せればいいと思うのですが
縮小写像
　0＜K＜1があって　|f(x)-f(y)｜≦K|x-y|
とは少し条件が違ってますね。
No.74805 - 2021/05/20(Thu) 22:25:49
☆ Re: 数?V極限 / IT
(fの条件２）x,y∈[0,1]に対して、x≠y ⇒　|f(x)-f(y)|＜|x-y|

（元の問題の解法）
h(x)=f(x)-x とおくと h(x) は連続で,h(0)=f(0)≧0、h(1)=f(1)-1≦0なので
中間値の定理によって　h(a)=0 となるa∈[0,1]が少なくとも１つ存在する。
このときf(a)=a (#　a はf(x)の「不動点」です。)
このようなaは１つしか存在しない。
（２つあるとf(a)-f(b)=a-bとなり(fの条件２）に反します）

＃以下は、全面的に直しました。＃

d(x)=|h(x)| とおく。d(x)は連続関数。

d(x[n])は、非増加数列で0以上なので収束する。
lim(n→∞)d(x[n])=βとする。

[0,1]は有界閉集合なので{x[n]}は、[0,1]内に収束する部分列{x[n[k]]}を持つ。
　（大学レベルだと思います。）
lim(k→∞)x[n[k]]=zとする。z ∈[0,1]
lim(k→∞)x[n[k]+1]=lim(k→∞)f(x[n[k]])=f(z) (∵fは連続）

d(x)は連続関数なので
　lim(k→∞)d(x[n[k]])=d(z)=β
　lim(k→∞)d(x[n[k]+1])=d(f(z))=β
∴d(z)=d(f(z))=β
すなわち|z-f(z)|=|f(z)-f(f(z))|
(fの条件２）から、z=f(z) ∴β＝0
∴z=a

よって、{x[n[k]]},{x[n[k]+1]}はともにaに収束する。
したがって、{x[n[k]+2]},{x[n[k]+3]},...もすべてaに収束することが言える。

すなわち{x[n]}はaに収束する。

#「Edelsteinの不動点定理」と呼ばれるものです。
（数3の範囲で厳密に示すのは無理かなと思います）

# y=x とy=f(x) のグラフを描いて見ると分かり安いと思います。
# x[1]=x のx とそうでない一般のxの区別が分かりにくいので,x[1] として表記しています。
No.74824 - 2021/05/22(Sat) 07:30:42
☆ Re: 数?V極限 / IT
（数３レベルの証明の流れにしてみました。細かいところは自分で補足してください。）

h(x)=f(x)-x とおくと h(x) は連続で,h(0)=f(0)≧0、h(1)=f(1)-1≦0なので
中間値の定理によって　h(a)=0 となるa∈[0,1]が少なくとも１つ存在する。
このときf(a)=a
このようなaは１つしか存在しない。
（２つあるとf(a)-f(b)=a-bとなり(fの条件２）に反します）
x[1]=a　のとき,任意の自然数nについてx[n]=a となる。

x[1]≠a　のとき任意の自然数nについてx[n]≠aなので、
　ｆの条件から|x[n+1]-a|=|f(x[n])-f(a)|＜|x[n]-a|
　d(x)=|x-a|とおく、
　d(x[n])は、減少数列で0より大きいので収束する。
　lim(n→∞)d(x[n])=δとおく。（δ≧0）

　{x[n]} を、x[n]＜a の部分列と、x[n]＞aの部分列に分けて考えると、少なくとも一方は無限個の項がある。
　x[n]＜a の部分列の項が無限個あったとする。
　その部分列を{x[n[k]]}とする。

　{x[n[k]]}は、増加数列で　x[n[k]]＜aなので収束する。
　lim(k→∞)x[n[k]]=zとおく。z ∈[0,a]。
　lim(k→∞)x[n[k]+1]=lim(k→∞)f(x[n[k]])=f(z) (∵fは連続）

d(x)は連続関数なので
　lim(k→∞)d(x[n[k]])=d(z)=δ
　lim(k→∞)d(x[n[k]+1])=d(f(z))=δ
∴d(z)=d(f(z))=δ
すなわち|z-a|=|f(z)-a|=|f(z)-f(a)|
(fの条件２）から、z=a

よって、{x[n[k]]},{x[n[k]+1]}はともにaに収束する。
したがって、{x[n[k]+2]},{x[n[k]+3]},...もすべてaに収束することが言える。

すなわち{x[n]}はaに収束する。

x[n]＞aなる部分列の項が無限個ある場合も同様。
No.74833 - 2021/05/23(Sun) 11:25:24
★ 写像 / 牡蠣
写像の問題です。
写像p:R^2→R^3を以下のように定める。
p(u,v)={(3+cosu)cosv,(3+cosu)sinv,sinu}
pはどんな曲面か、像を描け、という問題です。
どのような像になるのかご教授お願いいたします。
No.74796 - 2021/05/20(Thu) 17:39:41
☆ Re: 写像 / 関数電卓
下図のような円環面（ドーナツの表面）ですね。
No.74798 - 2021/05/20(Thu) 19:15:37
☆ Re: 写像 / 関数電卓
　x＝(3+cosu)cosv …(1)
　y＝(3+cosu)sinv …(2)
　z＝sinu 　　　　…(3)
v＝π/2 とすると，cosv＝0, sinv＝1 で，上式は
　x＝0 　　 …(1)'
　y＝3+cosu …(2)'
　z＝sinu 　…(3)'
で，下図の円（右側）になり，
これを z 軸の回りに回転すると，上のドーナツ面になります。
No.74799 - 2021/05/20(Thu) 20:09:11
☆ Re: 写像 / 牡蠣
(y-3)^2+z^2=1
(y+3)^2+z^2=1
この2つの円が出てくることは分かりました。
ただ、回転させる、という考えはどこからきたものでしょうか。
お手数おかけし申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。
No.74809 - 2021/05/20(Thu) 23:33:10
☆ Re: 写像 / X
問題の像を円筒座標に変換してみましょう。
No.74815 - 2021/05/21(Fri) 05:20:06
☆ Re: 写像 / 関数電卓
(1)(2)(3)で，v を固定（例えば v＝π/2）し u を変化させると，(1)'(2)'(3)'の円になりました。
次に u＝u0 と固定し，3＋cos(u0)＝A とおけば，
　x＝Acosv …(1)''
　y＝Asinv …(2)''
　z＝sin(u0) …(3)''
となります。
ここで v が変化すると「xy 平面に平行で，中心 (0,0,sin(u0)), 半径 A の円」になりますね。
これが，「z 軸の回りに回転させる」ことの正体です。

尚，X さんがお書きの円筒座標とは，
(1)^2＋(2)^2： x^2＋y^2＝(3＋cosu)^2＝r^2 とし，
　r＝3＋cosu …(4)
　z＝sinu 　　…(5)
と書き表すものを言います。
No.74816 - 2021/05/21(Fri) 09:07:36
★ (No Subject) / かえるくん
すみません、中学２年生です。
解き方教えていただきたいです。27番の問題です。
No.74794 - 2021/05/20(Thu) 17:12:51
☆ Re: / ヨッシー
ｘ＝－３ のときのｙをｙa、ｘ＝－２ のときのｙをｙbとし、
それぞれａを含んだ式として求めておきます。

変化の割合＝(ｙb－ｙa)／{(-2)－(-3)}
が －3/2 になるようにａを決めます。
No.74795 - 2021/05/20(Thu) 17:38:52
☆ Re: / かえるくん
ヨッシー様

わかりました！ありがとうございました！
No.74802 - 2021/05/20(Thu) 21:13:13
★ 図形と方程式 / ceremony
この問題の解き方がよくわからないです。教えていただけませんか？
No.74793 - 2021/05/20(Thu) 17:02:08
☆ Re: 図形と方程式 / 関数電卓
図です。参考にされ，再度お考え下さい。
No.74797 - 2021/05/20(Thu) 18:53:06
★ 背理法 / 亮
高校1年です。
√ｍ、√ｎ、√ｍｎ、がいずれも無理数であるような自然数ｍ、ｎについて、a√ｍ＋ｂ√ｎ＋ｃ√ｍｎが有利数となるような有理数a,b,cはa=0,b=0,c=0以外にないことを示せ。
という問題なんですが分からない
ので教えてください。
No.74784 - 2021/05/20(Thu) 01:32:07
☆ Re: 背理法 / らすかる
a√m+b√n+c√mn=d　(dは有理数)とすると
a√m+b√n=d-c√mn
(a√m+b√n)^2=(d-c√mn)^2
a^2m+b^2n+2ab√mn=d^2+c^2mn-2cd√mn
2(ab+cd)√mn=d^2+c^2mn-a^2m-b^2n
右辺は有理数なのでab+cd=0
元の式に戻って
a√m+b√n+c√mn=d
c^2√mn+ac√m+bc√n=cd
c^2√mn+ac√m+bc√n+ab=ab+cd=0
(c√m+b)(c√n+a)=0
c√m+b=0またはc√n+a=0
c√m+b=0のときb=c=0なので元の式からa√m=dとなりa=d=0
c√n+a=0のときa=c=0なので元の式からb√n=dとなりb=d=0
従っていずれにしてもa=b=c=d=0なので、
a√m+b√n+c√mnが有理数ならばa=b=c=0。
No.74787 - 2021/05/20(Thu) 04:00:49
☆ Re: 背理法 / IT
（別解）
a√m+b√n+c√mn-d=0 （dは有理数)…(1) とする。

d=0 のとき　すなわちa√m+b√n+c√mn=0…(2) のとき

a√m=-(b√n+c√mn) 両辺二乗すると　2bcn√mは有理数。
b√n=-(a√m+c√mn) 両辺二乗すると　2acm√nは有理数。
c√mn=-(a√m+b√n) 両辺二乗すると　2ab√mnは有理数。

∴bc=ac=ab=0 よってa,b,c のうち少なくとも２つは0
(2)からa=b=c=0

一般の場合
(1)×am,am(a√m+b√n+c√mn)-amd=0
(1)×d√m,amd+bd√mn+cdm√n-d^2√m=0

両者を足すと((a^2)m-d^2)√m+(abm+cdm)√n+(acm+bd)√mn=0
(2)の形になったので　(a^2)m-d^2=0
　a≠0ならば　m=(d/a)^2,√m=|d/a|：有理数 となり√mが無理数に反する
　よって　a=0∴d=0
したがって　a=b=c=d=0
No.74790 - 2021/05/20(Thu) 07:33:51
☆ Re: 背理法 / 亮
らすかるさん右辺が有理数なのでab+cd=0のところがわからないので詳しく教えてくれませんか。すいません
No.74791 - 2021/05/20(Thu) 09:02:30
☆ Re: 背理法 / らすかる
もしab+cd≠0ならば2(ab+cd)√mnは無理数ですから
右辺が有理数、左辺が無理数となって成り立ちません。
よってab+cd=0です。
一般にp,qが有理数でp×(無理数)=qならばp=q=0であり、
これを下の方で繰り返し使っています。
No.74792 - 2021/05/20(Thu) 10:26:58
★ 物理です / のの
積分を使って解かないといけないので積分を使うと言わせていただきました。
No.74780 - 2021/05/19(Wed) 18:04:33
★ 物理です / のの
積分を使ってとくのですが、まっったく分からないので詳しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。
No.74778 - 2021/05/19(Wed) 17:43:49
☆ Re: 物理です / X
積分を使う必要はありません。
方針だけ。

(1)
条件から
y_max=v[0]t[1]-(1/2)gt[1]^2 (A)
v[0]-gt[1]=0 (B)
(A)(B)をt[1],y_maxについての連立方程式として解きます。

(2)
条件から
v[0]t[2]-(1/2)gt[2]^2=0 (C)
v[2]=v[0]-gt[2] (D)
t[2]＞0 (E)
(C)(D)(E)をt[2],v[2]についての連立方程式
として解きます。
v[2]の向きについてですが、
v[0]が鉛直上向き
であることに注意して考えてみましょう。
No.74779 - 2021/05/19(Wed) 18:03:14
☆ Re: 物理です / IT
積分を明示的に使うと
（１）は
v[0]-gt[1]=0 ∴ t[1]=v[0]/g…（ア）
t秒後の速度はv[t]=v[0]-gt…（イ）

y[max]＝∫[0,t[1]]v[t]dt
（イ）を代入
=∫[0,t[1]](v[0]-gt)dt
=[v[0]t-(1/2)gt^2][0,t[1]]
=v[0]t[1]-(1/2)gt[1]^2
（ア）を代入
=v[0]v[0]/g-(1/2)g(v[0]/g)^2
=v[0]^2/g-(1/2)v[0]^2/g
=(1/2)v[0]^2/g
No.74783 - 2021/05/20(Thu) 00:11:44
☆ Re: 物理です / GandB
　IT さんの説明で十分とは思うが
> 積分を使ってとくのですが、まっったく分からないので詳しく教えていただけると助かります。
> 積分を使って解かないといけないので積分を使うと言わせていただきました。
が少し気になるので蛇足を追加しておく。

　ボールには質量が与えられてないから、力学ではなく運動学の問題。変位を y としたとき、速度 v、加速度 a を高校物理の教科書では
　　Δy/Δt = v, Δv/Δt = a
で定義していると思う。この極限をとって速度 v、加速度 a を改めて
　　dy/dt = v, dv/dt = a
で定義する。
「積分を使って解かないといけない」ということなら、この定義から等加速度直線運動の式を導くことがわかればいいのだろうから(1)を示せば十分だろう。

　鉛直上向きを正とする。ボールには鉛直下向きの加速度 g が働いているのだから
　　dv/dt = -g
　加速度を積分すると速度になるから
　　v = -∫gdt = -gt + C.
　初期条件より C = v0.
　　∴v = -gt + v0.
　これで問題文で与えられた g、v0 を使って v を表すことができた。
　t = t1のとき v = 0 なのだから
　　0 = -gt1 + v0.　　∴t1 = v0/g.

　速度を積分すると変位になるから
　　y = ∫vdt
　　　= ∫-gt + v0 dt
　　　= v0t - (1/2)gt^2 + C.
　初期条件より C = 0.
　　∴y = v0t - (1/2)gt^2.
　t = t1のとき y = ymaxなのだから
　　ymax = v0t1-(1/2)g(t1)^2
　　　　 = v0(v0/g)-(1/2)g(v0/g)^2
　　　　 = (1/2)(v0)^2/g
No.74788 - 2021/05/20(Thu) 06:26:36
★ ラプラス変換 / うた
(sint)/t のラプラス変換を教えて頂きたいです。
f(t)/t → ∫F(s)dsは勝手に使ってもいいものなのでしょうか…？
No.74773 - 2021/05/19(Wed) 02:26:49
☆ Re: ラプラス変換 / X
>>f(t)/t → ∫F(s)dsは勝手に使ってもいいものなのでしょうか…？
例えば、以下のURLの変換表では積分範囲
が設定されているので注意が必要です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B

このURLの変換表通りに計算すると、求めるラプラス変換は
π/2-arctans
となります。
No.74777 - 2021/05/19(Wed) 17:16:07
★ (No Subject) / 数学苦手
いつもすいません。この問題のCの60度からBのb、b'の60度が求まるのは何故でしょうか？
あと、対称になる線も分からないです。教えてください
No.74769 - 2021/05/19(Wed) 00:26:29
☆ Re: / 数学苦手
解説はちなみにこんな感じでした。
No.74770 - 2021/05/19(Wed) 00:29:12
☆ Re: / ヨッシー
実際に紙を折って切ってやってみましたか？

「やってません」という答えは期待していません。
No.74774 - 2021/05/19(Wed) 05:15:36
☆ Re: / 数学苦手
折り紙を買ってきます
No.74785 - 2021/05/20(Thu) 01:36:09
☆ Re: / 数学苦手
さっきまで返信できませんでしたが原因不明ですが返信可能になりました。失礼しました。
No.74786 - 2021/05/20(Thu) 01:39:48
★ 順列 / ceremony
自然数nに対して、1から3nまでのすべての自然数を次の条件（ア）および（イ）を満たすように並べた順列[i1、i2、i3、i4、…、i3n-2、i3n-1、i3n]の総数をf（n）とする。
（ア）k = 1、2、…、nに対してi3k-2 <i3k-1<i3k
（イ）n≧2ならばi1<i4<…<i3n-2
たとえばn = 1のとき条件（ア）を満たす順列は[1,2,3]のみであるからf（1）= 1となる。
（1）f（2）、f（3）を求めよ。
（2）n = 2、3、…とするとき、f（n）とf（n-1）の間の関係式を求めよ。
（3）f（n）を求めよ。
No.74764 - 2021/05/18(Tue) 22:59:14
☆ Re: 順列 / IT
1から3nまでのすべての自然数を3つずつｎ個の組に分ける方法の数＝f(n) となるようですね。
No.74766 - 2021/05/18(Tue) 23:27:05
★ ラプラス変換 / とび
ラプラス変換 t^3×sin(λt)
微分のラプラス変換でやったのですが長すぎて合ってる気がしません…なにか簡単に求める方法などあれば教えてもらいたいです。
No.74759 - 2021/05/18(Tue) 22:26:37
★ 不定積分はでき、定積分はできない？ / One
I dx/1+cosx = -1/tanx + 1/sinx +Cで、グラフより、例えば0→π/3はちゃんとした解が出るはずですが、x=0で、0/0の不定形になってしまうので、計算できません。この場合、0とπ(+2nπ)以外の区間でしか、求めてはいけないのですか？
No.74758 - 2021/05/18(Tue) 22:12:05
☆ Re: 不定積分はでき、定積分はできない？ / ヨッシー
0/0 にはならないのでは？
(右辺)＝(1-cosx)/sinx＋Ｃ
で、マクローリン展開すると分子の方が次数が高いので、
０になるはずです。
No.74760 - 2021/05/18(Tue) 22:31:53
☆ Re: 不定積分はでき、定積分はできない？ / IT
I dx/(1+cosx) =tan(x/2) +C　だと　x=0 のとき分母が0になりませんね。

両方が定義されているところでは　
　-1/tanx + 1/sinx ＝　tan(x/2)　です。
No.74762 - 2021/05/18(Tue) 22:58:10
☆ Re: 不定積分はでき、定積分はできない？ / One
-1/tanx + 1/sinx ＝　tan(x/2)の変形の仕方教えてください。
No.74768 - 2021/05/19(Wed) 00:20:27
☆ Re: 不定積分はでき、定積分はできない？ / IT
-1/tanx + 1/sinx
=(1-cosx)/sinx
倍角公式から
=(1-(1-2(sin(x/2))^2)/(2sin(x/2)cos(x/2))
=2(sin(x/2))^2)/(2sin(x/2)cos(x/2))
=sin(x/2)/cos(x/2)
=tan(x/2)
（定義域が違いますが）
No.74772 - 2021/05/19(Wed) 01:01:08
★ (No Subject) / けいき
いつもありがとうございます。今回は対数の計算について分からないことがありました。185ページの三行目の先に出てくる二分の一がどうやったら出てきたのかがわかりません。2を掛けて分母を無くす所まではわかるのですが、そこから何故二分の一が出てくるのがわかりません。ご教授お願い致します。
No.74754 - 2021/05/18(Tue) 20:32:35
☆ Re: / けいき
185ページ
No.74755 - 2021/05/18(Tue) 20:33:07
☆ Re: / けいき
答えです
No.74756 - 2021/05/18(Tue) 20:33:24
☆ Re: / ヨッシー
２を掛けるだけだと、単に２倍になるだけですので、
(1/2) を掛けて元に戻しています。

　ａ＋(b/2)＝{ａ＋(b/2)}×２×(1/2)
　　　＝{ａ×２＋(b/2)×２}×(1/2)
　　　＝(1/2)(２ａ＋ｂ)
と同じです。
No.74757 - 2021/05/18(Tue) 21:41:05
☆ Re: / けいき
ありがとうございます。理解できました！
No.74776 - 2021/05/19(Wed) 11:47:35
★ 整式の問題 / CEGIPO
（問題：自作問題です）
（質問者：社会人）
（レベル：高校数学位かな？）

/********************************/
11a1-2=(6k+1)a2-k(a1,a2,k:自然数)
...[A1]
/********************************/
という式を考えます。

この時、

１）a1及びa2を一般化してkを用いて
それぞれ１つの式で表すには
どうすれば良いでしょうか？
(解は★毎に複数あるので(下部資料参照)
厳密にはもう１つ変数が必要と思われます）

２）欲を言えば
/************************************/
(6j-1)-j=(6k+1)a2-k(a1,a2,k,j:自然数)
...[A2]
/************************************/
のさらに一般の場合もわかると幸いです。


/******************************************/
以下は参考に自分で解析してみた分析内容です。
（《分析１》及び《分析２》）


《分析１》
各★毎a2の最小値を順に選ぶと
(下部資料も参照)

a2=3,11,7,8,4,1,6,10,5,9で
1～11の自然数の内、2以外の
値を重複無く１回ずつとっている。
(2巡目以降は繰り返し(省略))
(値が現れる順番の規則は不明)

### 1巡目 ###
★11a1-2=7a2-1の場合は
a1=2,a2=3
★11a1-2=13a2-2の場合は
a1=13,a2=11
★11a1-2=19a2-3の場合は
a1=12,a2=7
★11a1-2=25a2-4の場合は
a1=18,a2=8
★11a1-2=31a2-5の場合は
a1=11,a2=4
★11a1-2=37a2-6の場合は
a1=3,a2=1
★11a1-2=43a2-7の場合は
a1=23,a2=6
★11a1-2=49a2-8の場合は
a1=44,a2=10
★11a1-2=55a2-9の場合は解無し
★11a1-2=61a2-10の場合は
a1=27,a2=5
★11a1-2=67a2-11の場合は
a1=54,a2=9
...

《分析２》
★から次の★に行く時
a2値が直前の★のa2値
より大きい最小の物を選ぶと
(下部資料も参照)

a2の差分が
8,7,1,7,8,5,4,6,4,5,
(以下、繰り返し(省略))
と局所局所毎に線対称になっている。

### 1巡目 ###
★11a1-2=7a2-1の場合は
a1=2,a2=3
(3 + 8 = 11)
★11a1-2=13a2-2の場合は
a1=13,a2=11
(11 + 7 = 18)
★11a1-2=19a2-3の場合は
a1=31,a2=18
(18 + 1 = 19)
★11a1-2=25a2-4の場合は
a1=43,a2=19
(19 + 7 = 26)
★11a1-2=31a2-5の場合は
a1=73,a2=26
(26 + 8 = 34)
★11a1-2=37a2-6の場合は
a1=114,a2=34
(34 + 5 = 39)
★11a1-2=43a2-7の場合は
a1=152,a2=39
(39 + 4 = 43)
★11a1-2=49a2-8の場合は
a1=191,a2=43
(43 + 6 = 49)
★11a1-2=55a2-9の場合は解無し
★11a1-2=61a2-10の場合は
a1=271,a2=49
(49 + 4 = 53)
★11a1-2=67a2-11の場合は
a1=322,a2=53
(53 + 5 = 58)
### 2巡目 ###
★11a1-2=73a2-12の場合は
a1=384,a2=58
(58 + 8 = 66)
★11a1-2=79a2-13の場合は
a1=473,a2=66
...

##########################
##### 以下、下部資料 #####
##########################

### 1巡目 ###
★11a1-2=7a2-1=#(以下、同様)の場合は
a1=2,a2=3 #=20
a1=9,a2=14 #=97
a1=16,a2=25 #=174
a1=23,a2=36 #=251
a1=30,a2=47 #=328
...続く（次以降の★も同様）
★11a1-2=13a2-2の場合は
a1=13,a2=11 #=141
a1=26,a2=22 #=284
a1=39,a2=33 #=427
a1=52,a2=44 #=570
a1=65,a2=55 #=713
★11a1-2=19a2-3の場合は
a1=12,a2=7 #=130
a1=31,a2=18 #=339
a1=50,a2=29 #=548
a1=69,a2=40 #=757
a1=88,a2=51 #=966
★11a1-2=25a2-4の場合は
a1=18,a2=8 #=196
a1=43,a2=19 #=471
a1=68,a2=30 #=746
a1=93,a2=41 #=1021
a1=118,a2=52 #=1296
★11a1-2=31a2-5の場合は
a1=11,a2=4 #=119
a1=42,a2=15 #=460
a1=73,a2=26 #=801
a1=104,a2=37 #=1142
a1=135,a2=48 #=1483
★11a1-2=37a2-6の場合は
a1=3,a2=1 #=31
a1=40,a2=12 #=438
a1=77,a2=23 #=845
a1=114,a2=34 #=1252
a1=151,a2=45 #=1659
★11a1-2=43a2-7の場合は
a1=23,a2=6 #=251
a1=66,a2=17 #=724
a1=109,a2=28 #=1197
a1=152,a2=39 #=1670
a1=195,a2=50 #=2143
★11a1-2=49a2-8の場合は
a1=44,a2=10 #=482
a1=93,a2=21 #=1021
a1=142,a2=32 #=1560
a1=191,a2=43 #=2099
a1=240,a2=54 #=2638
★11a1-2=55a2-9の場合は解無し
★11a1-2=61a2-10の場合は
a1=27,a2=5 #=295
a1=88,a2=16 #=966
a1=149,a2=27 #=1637
a1=210,a2=38 #=2308
a1=271,a2=49 #=2979
★11a1-2=67a2-11の場合は
a1=54,a2=9 #=592
a1=121,a2=20 #=1329
a1=188,a2=31 #=2066
a1=255,a2=42 #=2803
a1=322,a2=53 #=3540
### 2巡目 ###
★11a1-2=73a2-12の場合は
a1=19,a2=3 #=207
a1=92,a2=14 #=1010
a1=165,a2=25 #=1813
a1=238,a2=36 #=2616
a1=311,a2=47 #=3419
★11a1-2=79a2-13の場合は
a1=78,a2=11 #=856
a1=157,a2=22 #=1725
a1=236,a2=33 #=2594
a1=315,a2=44 #=3463
a1=394,a2=55 #=4332
★11a1-2=85a2-14の場合は
a1=53,a2=7 #=581
a1=138,a2=18 #=1516
a1=223,a2=29 #=2451
a1=308,a2=40 #=3386
a1=393,a2=51 #=4321
★11a1-2=91a2-15の場合は
a1=65,a2=8 #=713
a1=156,a2=19 #=1714
a1=247,a2=30 #=2715
a1=338,a2=41 #=3716
a1=429,a2=52 #=4717
★11a1-2=97a2-16の場合は
a1=34,a2=4 #=372
a1=131,a2=15 #=1439
a1=228,a2=26 #=2506
a1=325,a2=37 #=3573
a1=422,a2=48 #=4640
★11a1-2=103a2-17の場合は
a1=8,a2=1 #=86
a1=111,a2=12 #=1219
a1=214,a2=23 #=2352
a1=317,a2=34 #=3485
a1=420,a2=45 #=4618
★11a1-2=109a2-18の場合は
a1=58,a2=6 #=636
a1=167,a2=17 #=1835
a1=276,a2=28 #=3034
a1=385,a2=39 #=4233
a1=494,a2=50 #=5432
★11a1-2=115a2-19の場合は
a1=103,a2=10 #=1131
a1=218,a2=21 #=2396
a1=333,a2=32 #=3661
a1=448,a2=43 #=4926
a1=563,a2=54 #=6191
★11a1-2=121a2-20の場合は解無し
★11a1-2=127a2-21の場合は
a1=56,a2=5 #=614
a1=183,a2=16 #=2011
a1=310,a2=27 #=3408
a1=437,a2=38 #=4805
a1=564,a2=49 #=6202
★11a1-2=133a2-22の場合は
a1=107,a2=9 #=1175
a1=240,a2=20 #=2638
a1=373,a2=31 #=4101
a1=506,a2=42 #=5564
a1=639,a2=53 #=7027
### 3巡目 ###
...（以下、省略）
No.74750 - 2021/05/18(Tue) 17:52:47
☆ Re: 整式の問題 / CEGIPO
《分析3（追加）》

（予想ですが）
次のような性質(※3)が成り立っているようです。
(a1,a2の一般式はまだ不明)
a2の「下部資料（前記）」での
★毎の最小値を
それぞれ取り出した時
何番目の★のa2かを順に並べて
置換とみなすと

【5a1-1...】

(5,4,1)
(2)
(3)

（例えば(5,4,1),(2),(3)なら


### 1巡目 ###
★5a1-1=7a2-1の場合は
a1=7,a2=5 #=34
a1=14,a2=10 #=69
a1=21,a2=15 #=104
a1=28,a2=20 #=139
a1=35,a2=25 #=174
★5a1-1=13a2-2の場合は
a1=5,a2=2 #=24
a1=18,a2=7 #=89
a1=31,a2=12 #=154
a1=44,a2=17 #=219
a1=57,a2=22 #=284
★5a1-1=19a2-3の場合は
a1=11,a2=3 #=54
a1=30,a2=8 #=149
a1=49,a2=13 #=244
a1=68,a2=18 #=339
a1=87,a2=23 #=434
★5a1-1=25a2-4の場合は解無し
★5a1-1=31a2-5の場合は
a1=24,a2=4 #=119
a1=55,a2=9 #=274
a1=86,a2=14 #=429
a1=117,a2=19 #=584
a1=148,a2=24 #=739


まず1番目の★のa2
(★5a1-1=7a2-1の場合)は5。
5番目の★を見るとa2は4。
4番目の★を見るとa2は解無しだが
ここにはa2に現れる{5,2,3,4}
の欠数1を充てる。
1番目に戻って★のa2は5。
2番目のa2はそのまま2
3番目のa2はそのまま3

以下、同様）

【5a1-1...】

(5,4,1)
(2)
(3)

【11a1-2...】

(1,3,7,6)
(2,11,9)
(4,8,10,5)

【17a1-3...】

(1,7,8,6)
(2,13,4,15)
(3,17,14)
(5)
(9,10,16,11)
(12)

【23a1-4...】
(1,16,7,22)
(2,14,15,12)
(3,6,10,5)
(4,23,19)
(8,9,21,11)
(13,17,20,18)

【29a1-5...】
(1,16,4,22)
(2)
(3,6,11,20)
(5,29,24)
(7,25,13,28)
(8,19,15,17)
(9,18,23,26)
(10,21,12,14)
(27)

【35a1-6...】
35は素数でないため
振る舞いが少し違うらしい。
保留。

【41a1-7...】
(1,5,33,23)
(2,28,37,29)
(3,30,11,38)
(4,13,39,12)
(6,31,26,9)
(7,41,34)
(8,36,40,18)
(10,35,32,15)
(14,16,17,20)
(19)
(21,24,25,27)

【47a1-8...】
(1,46,30,17)
(2,14,15,29)
(3,22,10,27)
(4,13,31,24)
(5,9,6,19)
(7,12,11,26)
(8,47,39)
(16,34,43,23)
(18,32,33,45)
(20,37,25,44)
(21,36,35,40)
(28,41,38,42)
...

と
/************************************/
a1の係数が素数の場合は
上記のような方法で現れる
置換の様子が全て最大位数（要素数）4の
巡回置換になっている。(※3)
/************************************/
(なぜこのような性質が成り立つ
（らしい）のかは不明です。)
No.74817 - 2021/05/21(Fri) 09:51:07
★ 中学3年の因数分解について / 太郎
中学3年生です。
因数分解の式の利用についてです。トライの部分が分かりません。

僕の考えでは、3つの扇形の図形を組み合わせて円にするのかと思ったのですが、イマイチできません。
No.74744 - 2021/05/18(Tue) 16:27:24
☆ Re: 中学3年の因数分解について / ヨッシー
エルはＬ（大文字）で表すことにします。
Ｌのうち、円になっている部分の長さは３つ合わせると、半径a/2 の
円（全円）と同じなので、3.14a。
よって、Ｌの直線部分は３つ合わせて　Ｌ－3.14a
求める面積のうち、扇形の部分は３つ合わせると、半径ａの円と同じなので、
　3.14ａ^2
長方形部分の面積は３つ合わせて、
　ａ(Ｌ－3.14a)
よって、
　（以下略）
No.74746 - 2021/05/18(Tue) 16:52:24
☆ Re: 中学3年の因数分解について / 太郎
ありがとうございます。理解できました
No.74747 - 2021/05/18(Tue) 17:14:09
★ (No Subject) / 数学苦手
Bの子が男だったら、Dの子は男、Dの発言より、Aの子は女、CDの子が女となるがDはBの子が男の仮定より、間違えている。よって、Aの子は女である。

Cの子を男とすると、Bの子は女、よって、Dの子は女となる、よって、Dの発言から、嘘より、Aは男、しかし、Aの発言は正しくない。また、CとAが矛盾なので、Aは嘘つきとなる。

Dの子が男とすると、Aの子は女が正しい、Aの発言より、Dの子が女は嘘。Cは空き枠で女の子で決まる。よって、AとCの子は女の子。

Dでもできる気がしました。

やっぱり、Aが男の場合、男3人で分かる方がいいですね、、
No.74737 - 2021/05/18(Tue) 11:11:19
☆ Re: / ヨッシー
そのことは、No.74643 ですでに言及しています。

「Ａの子が男だったら～」から始めて、調べていけば、答えにたどり着きます。
「Ｂの子が男だったら～」からでも答えは出ます。
「Ｃの子が男だったら～」からでも答えは出ます。
「Ｄの子が男だったら～」からでも答えは出ます。

つまり、１つの答えを出すのに、別々の方法で、４回解いているということです。
思考の訓練には良いかも知れませんが、解答として書くには適切ではありません。
No.74740 - 2021/05/18(Tue) 11:38:09
☆ Re: / 数学苦手
そうです。すいません。ただ、考え方を整理したくて申し訳ないです。Bの子が男だったら、Dの子は男、Dの発言より、Aの子は女、CDの子が女となるがDはBの子が男の仮定より、間違えている。よって、Aの子は女である。よって、CとAが女の子ですね。

Cの子を男とすると、Bの子は女、よって、Dの子は女となる、よって、Dの発言から、嘘より、Aは男、しかし、Aの発言は正しくない。また、CとAが矛盾なので、Aは嘘つきとなる。よって、AとCが女の子ですね。

全部できます！ありがとうございました。
No.74741 - 2021/05/18(Tue) 11:47:45
★ 数lll / たいち
(1)のf(x)の増減を調べるところでつまってしまいました。どなたか解答例教えてください！
No.74736 - 2021/05/18(Tue) 11:09:24
☆ Re: 数lll / ヨッシー
(1)
　ＡＰ＝√(x^2＋1)、ＢＰ＝√{(x－c)^2＋1}
より、
　f(x)＝√(x^2＋1)＋2√{(x－c)^2＋1}
ｘで微分して
　f'(x)＝x/√(x^2＋1)＋2(x－c)/√{(x－c)^2＋1}
ここで、
　g(x)＝x/√(x^2＋1)
において、
　g'(x)＝{√(x^2＋1)－x^2/√(x^2＋1)}/(x^2＋1)
　　＝{(x^2＋1)－x^2}/(x^2＋1)√(x^2＋1)
　　＝1/(x^2＋1)^(3/2)
よって、
　f"(x)＝1/(x^2＋1)^(3/2)＋2/{(x-c)^2＋1}^(3/2)
ｘの全範囲において　f"(x)＞0 であるので、f'(x) は単調増加
　f'(0)＝－2c/√{c^2＋1}＜０
　f'(c)＝c/√(c^2＋1)＞０
より、０＜ｘ＜ｃ の範囲で　f'(x)＝0 の解が１つだけ存在します。
この点をｘ＝αとすると
　ｘ＜α で f'(x)＜０　で　f(x) は単調減少
　α＜ｘ で f'(x)＞０　で　f(x) は単調増加
となり、f(α) が極小かつ最小値となります。

(2)
ｘ＝α のとき f(x) が最小となるとすると、
　f'(α)＝α/√(α^2＋1)＋2(α－c)/√{(α－c)^2＋1}＝０
よって、
　α/√(α^2＋1)＝2(c－α)/√{(c－α)^2＋1}

ここで、
　α＝ＯＰ、ｃ－α＝ＰＨ
であることより
　α/√(α^2＋1)＝ＯＰ／ＡＰ＝sin∠ＰＡＯ
　(c－α)/√{(c－α)^2＋1}＝ＰＨ/ＢＰ＝sin∠ＰＢＨ
よって、
　sin∠ＰＡＯ＝2sin∠ＰＢＨ
sin∠ＰＢＨ＞０ より
　sin∠ＰＡＯ/sin∠ＰＢＨ＝2

α/√(α^2＋1)＋2(α－c)/√{(α－c)^2＋1}＝０
において、α＝２ とおくと、
　2/√(2^2＋1)＋2(2－c)/√{(2－c)^2＋1}＝０
　2/√5＝2(c－2)/√{(c－2)^2＋1}
　√{(c－2)^2＋1}＝√5(c－2)
２乗して
　(c－2)^2＋1＝5(c－2)^2
　4(c－2)^2＝1
　c－2＝±1/2
ｃ＞２ より
　ｃ＝5/2　・・・答え
No.74742 - 2021/05/18(Tue) 13:05:35
☆ Re: 数lll / 関数電卓
この問題は数?Vの問題としてアレンジされていますが，問題の背景に，物理の 波の屈折の法則 があることにはお気づきですか？
すなわち，A(0,1) から出た波が y＞0 領域では速さ v1＝1 で進み，y＜0 領域では速さ v2＝1/2 で進むとき，B(c,－1) に到達する 時間が最短になる経路は APB である。（フェルマーの原理）
このとき，
　屈折の法則　sin∠PAO/sin∠PBH＝v1/v2 (＝2)
が成り立つ。
No.74752 - 2021/05/18(Tue) 18:54:46
★ 数3 / わーわわ
これはどう求めたらいいですか？
No.74732 - 2021/05/18(Tue) 09:30:16
☆ Re: 数3 / ヨッシー

ａ，ｂが変化すると、図のように上下に変化します。
この３つの図形がつながるように、ａ、ｂを決めましょうということです。
No.74733 - 2021/05/18(Tue) 09:56:10
☆ Re: 数3 / わーわわ
なるほどです！ありがとうございます！！
No.74745 - 2021/05/18(Tue) 16:32:37
★ (No Subject) / aiko
ときたいしきをまちがえました！！
この式を解きたいんですが、助けてください！
No.74729 - 2021/05/18(Tue) 09:14:31
☆ Re: / ヨッシー
下のと方針は同じです。
今度は、Ｂ^2 が消えて楽ですね。
No.74731 - 2021/05/18(Tue) 09:25:50
☆ Re: / aiko
答えがあってる自信がないのですが、答えだけでもいいので教えてくれませんか？？
No.74734 - 2021/05/18(Tue) 10:09:32
☆ Re: / ヨッシー
　Ｂ＝Ａ(根号を含んだ式Ｘ)／(Ｘによく似た式)
になればＯＫ。分母の有理化をすると
　Ｂ＝Ａ(根号を含んだ式Ｘ)^2／(ｍｃ^2)^2
となります。
No.74743 - 2021/05/18(Tue) 13:32:58
★ 式 / aiko
これをBについて解きたいのですが……、解けなくて困ってます！
どなたかよろしくお願いします！
No.74726 - 2021/05/18(Tue) 08:44:06
☆ Re: 式 / ヨッシー
途中で２乗したりして同値性が崩れていますので、
解いたあと、実際に式を満たすかは確認が必要です。

移項して
　√{A－(mc^2)^2}＋Ａ－Ｂ＝√{B－(mc^2)^2}
Ｄ＝√{A－(mc^2)^2}＋Ａ　とおいて
　Ｄ－Ｂ＝√{B－(mc^2)^2}
２乗して
　Ｂ^2－２ＢＤ＋Ｄ^2＝Ｂ－(mc^2)^2
　Ｂ^2－(２Ｄ＋１）Ｂ＋Ｄ^2＋(mc^2)^2＝０
これを、Ｂの２次方程式として解きます。
No.74727 - 2021/05/18(Tue) 08:57:05
☆ Re: 式 / aiko
> 途中で２乗したりして同値性が崩れていますので、
> 解いたあと、実際に式を満たすかは確認が必要です。
>
> 移項して
> 　√{A－(mc^2)^2}＋Ａ－Ｂ＝√{B－(mc^2)^2}
> Ｃ＝√{A－(mc^2)^2}＋Ａ　とおいて
> 　Ｃ－Ｂ＝√{B－(mc^2)^2}
> ２乗して
> 　Ｂ^2－２ＢＣ＋Ｃ^2＝Ｂ－(mc^2)^2
> 　Ｂ^2－(２Ｃ＋１）Ｂ＋Ｃ^2＋(mc^2)^2＝０
> これを、Ｂの２次方程式として解きます。



もしかして地獄の答えになりますか？？？
答えが信じられんくらい長くなるのですが
No.74728 - 2021/05/18(Tue) 09:02:46
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