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整数の性質 / 望希
[問題]

pとqは、p>qを充たす自然数とする。
正の整数mとnに対して、mpCnq÷pCqが奇数となるための必要十分条件を求めなさい。

解説をお願いします。

No.85325 - 2023/04/25(Tue) 17:43:02
数学3 複素数平面 / 山田山
なぜ両辺をZ-1で割れるのでしょうか?
No.85320 - 2023/04/25(Tue) 15:45:16

Re: 数学3 複素数平面 / IT
どこかにZ≠1という条件があるのでは?
その解答は不十分ですね。
(問題文を書かずに質問されても的確な回答は無理です。)

No.85321 - 2023/04/25(Tue) 15:59:30

Re: 数学3 複素数平面 / 山田山
不十分な質問ですみません。前問でz^6-1=0の解について求めた際、Z=1が1の6乗根解であると証明したのでよくわかりません。
No.85322 - 2023/04/25(Tue) 16:42:08

Re: 数学3 複素数平面 / IT
○2、〇3は、zについての恒等式ですね。
No.85323 - 2023/04/25(Tue) 17:01:34

Re: 数学3 複素数平面 / 山田山
恒等式は両辺の因数を割る際の制約などは無いのでしょうか?
No.85324 - 2023/04/25(Tue) 17:23:45

Re: 数学3 複素数平面 / IT
「恒等式」というより「整式」の積の性質と考えた方が分かり易いのではないでようか?

整式P(x)とQ(x)について、P(x)Q(x)=0 となるのはどういう場合か?(恒等式とも言えますが)

No.85327 - 2023/04/25(Tue) 20:08:14

Re: 数学3 複素数平面 / 山田山
つまりこの場合z-1≠0ということで大丈夫ですね。ご回答ありがとうございました。
No.85328 - 2023/04/25(Tue) 21:26:56
高校数学 / まほ
0≦x≦π/2
y=|(1-cosx)b+1|
by平面に図示してください

写真で回答していただけると助かります

No.85313 - 2023/04/24(Mon) 16:42:08

Re: 高校数学 / X
条件から求める領域は
0<y≦|b+1|又はy=1又は(b,y)=(-1,0)
図示をすると、下のようになります。
(但し、実線は領域に含まれますが
点(-1,0)以外の点線上の点は領域に含みません。)

No.85315 - 2023/04/24(Mon) 19:01:03

Re: 高校数学 / らすかる
例えばx=π/3,b=-1のときy=1/2となりますので
その領域にはならないのでは?

No.85316 - 2023/04/24(Mon) 19:15:03

Re: 高校数学 / X
>>らすかるさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>まほさんへ
ごめんなさい。らすかるさんの仰る通りです。
平行移動の考え方を間違えていました。
改めて回答を。

xの値を固定したときの問題の方程式のby平面上のグラフは
定点(0,1)を必ず通る、b軸上に頂点を持つV字型のグラフ
となります。
ここで
x=π/2
からスタートしてグラフの形状の変化を考えると
xの値の減少に伴い、
グラフの頂点は点(-1,0)からb軸上を負の向きに移動し
又、グラフの形状はV字の形が開くように変化します。

以上から求める領域は
0≦y≦-b-1 (b≦-2)
0≦y≦1 (-2<b≦-1)
b+1≦y≦1 (-1≦b≦0)
1≦y≦b+1 (0≦b)
図示すると下のようになります。
(但し、境界は含みます)

No.85318 - 2023/04/24(Mon) 22:47:02

Re: 高校数学 / まほ
Xさん、らすかるさんありがとうございます。
No.85329 - 2023/04/26(Wed) 00:16:13
線形代数 / おねがいします
線形代数です。
独学でやっているのですが、この問題がよくわからなくて、解説をお願いしたいです。
回答の形でいただきたいです。

No.85310 - 2023/04/23(Sun) 21:04:27

Re: 線形代数 / IT
問題になってないと思いますが?
独学なら解答解説が詳しいテキストを使われた方が良いと思います。

No.85312 - 2023/04/24(Mon) 09:29:48

Re: 線形代数 / GandB
 忖度すれば、

  VはR^3の部分空間になるか。

という問題のような気がしないでもないが、それだとあまりにも簡単だから、(1)も含めて問題全文挙げてくれないと、やはりわからんね。

No.85317 - 2023/04/24(Mon) 22:20:01
次の計算式を、TH=の式に変えてください。 / 福ちゃん
PH=TH±(i・x^2/200/L)という式があります。
これを移項して、TH=何々の式に変更してください。
PH:計画高(m)
TH:接線高(m)
i:勾配代数差(%)
x:バーチカル始点からの距離(m)
L:縦断曲線長(m)
のことです。

No.85307 - 2023/04/23(Sun) 15:16:53

Re: 次の計算式を、TH=の式に変えてください。 / らすかる
±(i・x^2/200/L)を移項して
PH±(i・x^2/200/L)=TH
すなわち
TH=PH±(i・x^2/200/L)
です。

No.85308 - 2023/04/23(Sun) 17:16:11

Re: 次の計算式を、TH=の式に変えてください。 / 福ちゃん
ありがとうございます。
今のは土木の専門分野になるのですが、バーチカルカーブと言って、
道路の勾配を突然変えるのではなく、緩和勾配と言って、
徐々に徐々に勾配を変えていったら、車や電車が地面にぶつかったり、逆に道路や線路から激しく逸脱するのを防止するための、処置として設計段階で、設置されるものだそうです。
難しい話は置いといて、
この手の計算で、バーチカルの接線高から、バーチカルの半分の個所のいわゆる計画高を求める話はよく話題に上がるものの、逆に、計画高から接線高を求める話がなかったので、今回投稿させていただきました。
非常に助かりました。

No.85309 - 2023/04/23(Sun) 19:02:19
(No Subject) / kwsk
0≦p≦q≦r、p+q+r=6を満たす実数p,q,rについて、pq,qr,rp,pq+qr+rpの最大値を求めよ。

式の形から三次関数の解と係数の関係かなとは思うのですが…
どなたかお願いします。

No.85303 - 2023/04/22(Sat) 22:04:59

Re: / らすかる
pq
0≦p≦q<r,p+q+r=6のときa=(r-q)/2としてqにaを足してrからaを引いても
p+q+r=6は変わらずpqは大きくなるから、pqが最大のときq=r
このときp+2q=6なのでpq=p(6-p)/2={9-(p-3)^2}/2となり
6=p+q+r≧3pからp≦2なので最大値は{9-(p-3)^2}/2でp=2とした4
(このときp=q=r=2)

qr
0<p≦q≦r,p+q+r=6のときa=pとしてrにaを足してpからaを引いても
p+q+r=6は変わらずqrは大きくなるから、qrが最大のときp=0
このときq+r=6なのでqr=q(6-q)=9-(q-3)^2となり、最大値はq=3のときの9
(このときp=0,q=r=3)

rp
0≦p<q≦r,p+q+r=6のときa=(q-p)/2としてpにaを足してqからaを引いても
p+q+r=6は変わらずrpは大きくなるから、rpが最大のときp=q
このとき2p+r=6なのでrp=(6-2p)p={9-(2p-3)^2}/2となり、
最大値は2p-3=0すなわちp=3/2のときの9/2
(このときp=q=3/2,r=3)

pq+qr+rp
pq+qr+rp=pq+(p+q)r=pq+(p+q)(6-p-q)
=12-{(p-q)^2+3(p+q-4)^2}/4
なのでp-q=0,p+q-4=0すなわちp=q=r=2のときに最大値12をとる

No.85304 - 2023/04/23(Sun) 00:21:04
(No Subject) / Kevin
画像の問題の(2),(3)お願いします(>人<;)
No.85299 - 2023/04/21(Fri) 10:40:21

Re: / X
(2)
A[n],B[n](n=1,2,3,4)を二次正方行列とするとき

M{(A[1],A[2]),(A[3],A[4])}・M{(B[1],B[2]),(B[3],B[4])}
=M{(A[1]B[1]+A[2]B[3],A[1]B[2]+A[2]B[4])
,(A[3]B[1]+A[4]B[3],A[3]B[2]+A[4]B[4])}

であることが既知であるなら、数学的帰納法により
X^n=M{(B^n,nB^(n-1)),(O,B^n)} (A)
となることは容易に証明できます。
(但し、B^0=Eと定義しておきます。)

((A)の証明)
(i)n=1のとき
成立は明らか。
(ii)n=kのとき(A)の成立を仮定すると
n=k+1のとき
X^n=X^(k+1)=(X^k)X=…

(3)
xy平面上で、原点中心にθの回転移動の変換をする
行列をM(θ)とすると
Z=M{(M(2π/3),E),(O,M(2π/3))}
∴(2)の結果から
Z^40=M{({M(2π/3)}^40,40・{M(2π/3)}^39),(O,{M(2π/3)}^40)}
=M{(M(80π/3),40・M(26π)),(O,M(80π/3))}
=M{(M(26π+2π/3),40・M(26π)),(O,M(26π+2π/3))}
=M{(M(2π/3),40・M(0)),(O,M(2π/3))}
=M{(M(2π/3),40E),(O,M(2π/3))}

No.85305 - 2023/04/23(Sun) 09:46:49
算数 / ポンタ
にばんについて教えてください。

上の知識を使ってください。
出来ればわかりやすくお願いいたします

No.85296 - 2023/04/20(Thu) 20:40:56

Re: 算数 / ヨッシー
AB:AE=CF:FE=BC:DE=2:3
であるので、
AF:BC=FE:CE=3:5
より
AF=(3/5)BC
よって、△ABC=20cm^2 に対して、
 △AFC=20×(3/5)=12cm^2
これを、上の性質に当てはめると、
 a=CF=2、b=CE=5
であるので、求める部分の面積をSとすると、
 12:S=4:21
 S=12×21÷4=63(cm^2) ・・・答え

No.85306 - 2023/04/23(Sun) 10:26:40
高校数学 / ともや
1から教えてください。
(1)cos2kπ/9+isin2kπ/9

No.85295 - 2023/04/20(Thu) 16:52:34

Re: 高校数学 / X
x^6+x^3+1=0 (A)
とします。

(1)
(A)の両辺にx^3-1をかけて左辺を展開すると
x^9-1=0 (B)
ここで(A)は
x^3=1 (C)
を満たしませんので、(A)の解は
(B)の解から(C)の解を除いたもの
となります。
よって求める解は
x=cos(2nπ/9)+isin(2nπ/9)
(但し、n=1,2,4,5,7,8)

(2)
複素平面に置ける単位円上に、偏角が
2nπ/9 (但しn=1,2,4,5,7,8)
となる点を打っていき、これらを頂点とする
多角形を作ります。
(これはご自分でどうぞ。)

(3)
z[n]=cos(2nπ/9)+isin(2nπ/9) (D)
と置くと(1)の結果から
x^6+x^3+1=(x-z[1])(x-z[2])(x-z[4])(x-z[5])(x-z[7])(x-z[8])
これにx=1を代入すると
(1-z[1])(1-z[2])(1-z[4])(1-z[5])(1-z[7])(1-z[8])=3
両辺の絶対値を取って
|1-z[1]||1-z[2]||1-z[4]||1-z[5]||1-z[7]||1-z[8]|=3 (E)
∴問題の命題は成立します。

(4)
(D)において
z[4]=cos(8π/9)+isin(8π/9)
=cos(π-π/9)+isin(π-π/9)
=-cos(π/9)+isin(π/9)
z[5]=cos(10π/9)+isin(10π/9)
=cos(π/9+π)+isin(π/9+π)
=-cos(π/9)-isin(π/9)
∴例えば、zの共役複素数を\zと書くことにすると
z[5]=\z[4] (F)
同様にして
z[7]=\z[2] (G)
z[8]=\z[1] (H)
(G)の両辺の複素共役を取ることにより
z[2]=\z[7] (G)'
(F)(G)'(H)を(E)に代入すると
{|1-z[1]|^2}{|1-z[4]|^2}{|1-z[7]|^2}=3
((注)|1-\z|=|\(1-z)|=|1-z|)

これより
[{1-cos(2π/9)}^2+{sin(2π/9)}][{1-cos(8π/9)}^2+{sin(8π/9)}][{1-cos(14π/9)}^2+{sin(14π/9)}^2]=3
[]内を展開して整理をすると
[2{1-cos(2π/9)}][2{1-cos(8π/9)}][2{1-cos(14π/9)}]=3
両辺8で割って
{1-cos(2π/9)}{1-cos(8π/9)}{1-cos(14π/9)}=3/8

No.85301 - 2023/04/22(Sat) 18:00:28

Re: 高校数学 / X
ごめんなさい。
No.85301の(4)に誤りがありましたので
直接修正しました。
再度ご覧下さい。

No.85319 - 2023/04/24(Mon) 22:55:10
数列 / なゆ
まったくわからないので教えてください!


異なる素数の積で表すことができる自然数全体の集合をPとし,Pの部分集合P(n)を
     P(n):={x∈P|x≦n}
と定める。数列(S_n)の第n項を
     S_n:=Σ_{x∈P(n)}(1/√x)
とするとき,
     S_n≧a_n かつ lim_{n→∞} a_n=∞
を満たす数列{a_n}を一つ求めよ。

No.85293 - 2023/04/19(Wed) 21:06:19

Re: 数列 / IT
Pに1,2,3,4,5,7,8は含まれない。6,10,は含まれる。ことは分かりますが、12はどうでしょうかね?問題文が曖昧な気がします。条件を満たすa(n)が存在するなら
a(n)=S(n)も答えの一つになるのでは?
出典はなんですか?どのレベルですか?

No.85294 - 2023/04/20(Thu) 14:58:43
数学3 微分法 / 山田山
(1)の極限においてx/e^x^2はx/e^xと同じになるのはなぜでしょうか?
No.85288 - 2023/04/19(Wed) 01:24:45

Re: 数学3 微分法 / らすかる
探しても見当たらないのですが、
「x/e^x^2はx/e^xと同じ」とどこかに書かれているのですか?

No.85289 - 2023/04/19(Wed) 01:31:04

Re: 数学3 微分法 / 山田山
lim (x→∞)e^x/x=∞よりlim(x→∞)x/e^x=0
つまりlim(x→∞)x/e^x^2=0と解釈しました。
ですが証明が出来ないので教えていただけると助かります

No.85297 - 2023/04/20(Thu) 22:01:52

Re: 数学3 微分法 / らすかる
lim[x→∞]x/e^x=0 を使ってよいとして
lim[x→∞]x/e^(x^2)=0 を示せばよいのですね?
lim[x→∞]x/e^(x^2)=0でx=√tとおけば
lim[x→∞]x/e^(x^2)
=lim[t→∞]√t/e^t
=lim[t→∞]t/e^t・1/√t
=0×0=0
となります。

No.85298 - 2023/04/20(Thu) 22:29:04

Re: 数学3 微分法 / 山田山
とてもわかりやすかったです。ありがとうございました。
No.85300 - 2023/04/21(Fri) 16:58:22
(No Subject) / 一変数
問題)a,bを0<a<bを満たす定数とする。2定点A(0,a),B(0,b)と動点P(t,0)を考える。t>0のとき角APBの大きさを最大にするtをa,bを用いて表せ。

タンジェントの加法定理でtanAPB=t(b-a)/(t^2+ab)となったのですが、tanAPBが最大となるようなtの求め方が分かりません。

No.85285 - 2023/04/18(Tue) 20:02:46

Re: / らすかる
f(t)=t(b-a)/(t^2+ab)とおくと
f'(t)=(b-a)(ab-t^2)/(t^2+ab)^2なので
t=√(ab)のときに最大

No.85286 - 2023/04/19(Wed) 01:01:31
(No Subject) / 兎
t=sinθ+√3cosθとする。t^3-3t=2sin3θを示せという問題で、その前の問題でt=2sin(θ+π/3)に変形したのでこれを使うのだと思うのですがどうすれば良いのでしょうか。
No.85284 - 2023/04/18(Tue) 19:34:23

Re: / らすかる
θ+π/3=αとおくと
t=2sin(θ+π/3)のときにt^3-3t=2sin3θを示す

t=2sinαのときt^3-3t=2sin{3(α-π/3)}=2sin(3α-π)=-2sin(3α)を示す

sin(3α)=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinα(cosα)^2+{2(cosα)^2-1}sinα
=4sinα(cosα)^2-sinα
=4sinα{1-(sinα)^2}-sinα
=-4(sinα)^3+3sinα
なので
-2sin(3α)=8(sinα)^3-6sinα=t^3-3t

No.85287 - 2023/04/19(Wed) 01:24:33
(No Subject) / SO
半径1の球に内接する正三角錐の体積の最大値を求めよ

どこの値を文字で置いて解けば良いか分かりません。どなたか解説よろしくお願いします。

No.85281 - 2023/04/18(Tue) 15:02:07

Re: / らすかる
底面の外接円の半径をr、高さをhとすると正三角錐の体積は(√3/4)hr^2となるが、
体積が最大になるとき(h-1)^2+r^2=1だから(√3/4)h{1-(h-1)^2}の最大値を調べればよい。
f(t)=t{1-(t-1)^2}=-t^3+2t^2(1<t<2)とおけばf'(t)=-3t^2+4tとなり
f'(t)=0の解は0,4/3だからf(t)はt=4/3のときに最大値をとる
よってh=4/3、r=2√2/3のときに体積が最大となり、そのときの体積は(√3/4)hr^2=8√3/27

No.85283 - 2023/04/18(Tue) 19:12:01
(No Subject) / グーチョコランタン
遠心力の式F=ma=mrω^2を加速度と距離lの関係式l=1/2×at^2から求めようとしたのですが、うまく行きません。どうしたら良いでしょうか。
あえてこの方法でお願いします。

No.85280 - 2023/04/18(Tue) 14:03:43

Re: / X
図において、微小三角形の方の∠Aを
∠A=θ
として計算されていますが、これは
∠A=θ/2 (A)
の誤りです。
(適当な円を描き、点A,Bを取った上で
確かめてみて下さい。)

(A)の場合
>>rθ^2=(1/2)at^2

rθ・(θ/2)=(1/2)at^2
と修正され、これを計算すると
a=rω^2
となり、矛盾はありません。

No.85290 - 2023/04/19(Wed) 20:43:50

Re: / X
文章だと分かりにくいので図をアップしておきます。
No.85292 - 2023/04/19(Wed) 20:56:29

Re: / グーチョコランタン
なるほど!確かに!
モヤモヤが晴れました!
ありがとうございます!

No.85311 - 2023/04/24(Mon) 02:14:56
(No Subject) / 藻
aを実数とする。f(x)=x^3-3axとする。-1≦x≦1における|f(x)|の最大値をMとする。Mの最小値とその時のaの値を求めよ。
No.85276 - 2023/04/17(Mon) 00:44:25

Re: / らすかる
f(x)=x^3-3ax
f'(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)
a≦0のとき極値をとらないので
-1≦x≦1における|f(x)|の最大値は
x=1のときとなり、M=f(1)=1-3a≧1
a>0のときx=-√aで極大値、x=√aで極小値をとる
0<a≦1のとき-1≦x≦1の範囲に極値があるので
Mはf(-√a)とf(1)の小さくない方
f(-√a)=|f(x)|=f(-√a)=2a√a
f(1)=1-3a
2a√a<1-3a → a<1/4 なので
0<a<1/4のときM=f(1)=1-3a
このとき1/4<M<1
1/4≦aのときM=f(-√a)=2a√a
このとき1/4≦M
よってMの最小値は1/4で、そのときのaの値は1/4

No.85302 - 2023/04/22(Sat) 20:09:25
算数 / ぽん太
算数です。
出来ればわかりやすく解説お願いします。

No.85275 - 2023/04/16(Sun) 20:49:37

Re: 算数 / みと
㋐の面積を「ココ大事」の【青】の比で考え
 ●×●÷2=4.5 から
   ●×●=9
     ●=3

㋑の面積を「ココ大事」の【赤】の比で考え
 (△×2)×△÷2=16 から
     △×△=16
       △=4

正方形ABCDの一辺が
 ●+△=3+4=7 なので
  面積は,7×7=49

No.85282 - 2023/04/18(Tue) 17:28:32
算数 / ぽん太
算数。

扇形の半径を求めるために左の直角二等辺三角形を正方形にして一辺×一辺という事にしました。そうすれば扇形の半径にもなるからです。
私のこの解き方でもいいですか。
答えでは直角二等辺三角形の面積
12×6÷2=36センチm2
半径×半径=36×2=72
というやり方でした。

No.85274 - 2023/04/16(Sun) 20:46:32
高校数学 / a
数Bの宿題で数列1,2,3,4,17,126,・・・の一般項を求めよって問題があるのですがどうしてもわかりません。教えていただきたいです、
No.85269 - 2023/04/16(Sun) 18:25:37

Re: 高校数学 / IT
不定ですね。(いろいろな解がこじつけられると思います)
No.85270 - 2023/04/16(Sun) 19:08:26

Re: 高校数学 / ポテトフライ
無理やり求めることはできます。

一般項a[n]=Σ[i=0,5]x_in^iとおいて
a[1]=1、a[2]=2、…a[6]=126
から係数x_0〜x_5の方程式を立てて求める。

まぁこのやり方は出題者の意図は完全に無視していると思いますが。

No.85271 - 2023/04/16(Sun) 19:16:45

Re: 高校数学 / IT
ポテトフライさん方式を少し工夫してwolframに解いてもらうと

a(n)=(1/2)(n-3)^5+(1/2)(n-3)^4-(3/2)(n-3)^3-(1/2)(n-3)^2+2(n-3)+3 

No.85272 - 2023/04/16(Sun) 20:29:39

Re: 高校数学 / IT
この形の方を求めるのが簡単かも

1*(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/(1-2)(1-3)(1-4)(1-5)(1-6)
+2*(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/(2-1)(2-3)(2-4)(2-5)(2-6)
・・・

+126*(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)

No.85273 - 2023/04/16(Sun) 20:40:39

Re: 高校数学 / らすかる
解はいろいろありますが、簡単な形では例えば
a[n]=(n-1)^[2^(n-5)+1]+1
a[n]=(n-1)^[(n/5)^4+1]+1
a[n]=(n-1)^{(|n-4|+n)/2-1}+1
(右辺の[ ]はガウス記号)

No.85277 - 2023/04/17(Mon) 01:38:27

Re: 高校数学 / IT
いずれにしても面倒な問題ですね。(出題者か質問者の記入ミスかな)
No.85278 - 2023/04/17(Mon) 18:22:02
高校化学 / A
質量数4のヘリウム原子の原子量を、電子の質量、陽子の質量、中性子の質量、アボガドロ数を使って計算せよ。また、文献値を調べて、その値を比べてみよ。

学校の宿題で出たんですけど、原子量は、同位体の相対質量×存在比で求めることができるって習ったんですけど、おそらく上の問題は相対質量×存在比というやり方以外で求めると思うんですが、その解法がわかりません。上の問題の解法と答えを教えて頂きたいです。化学の問題ですが、数学や物理と関連があると思い、質問させて頂きました。

No.85266 - 2023/04/15(Sat) 22:25:54

Re: 高校化学 / X
ヒントを。
1molの定義を使います。

No.85267 - 2023/04/16(Sun) 08:45:12

Re: 高校化学 / IT
質量数、原子量、アボガドロ数、の定義(意味)、ヘリウム原子の構造を教科書で確認すれば、後は簡単な加減乗除計算で求まると思います。
No.85268 - 2023/04/16(Sun) 09:39:23
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