アメリカの12年生（高校３年生）で習う教科、Calculus（微分積分）に関する質問です。
わかる人は教えてください。
テイラー展開とLagrange Error Boundについての問題。
問題は英語で許して。
分からない人はスルーしてください。
問題
Let f be the function that has derivatives of all orders for all real numbers x. Assume that f(5)=6, f'(5)=8, f''(5)=30, f'''(5)=48 and |f''''(x)|≦75 for all x in the interval [5, 5.2].
(a) Find the third-degree Taylor polynomial about x=5 for f(x)
答えには、こうあった。 P3(x)=6+8(x-5)+15(x-5)^2+8(x-5)^3 これはわかる。
(b) Use your answer to part (a)to estimate the value of f(5.2). What is the maximum possible error in making this estimate? Give three decimal places.
この答えは、こうあった。 P3(5.2)=8.264≈f(5.2) これは上の式に入れて計算したらこうなったからわかる。
で、次なんだけど答えにはこうあった。
|f(5.2)-P3(5.2)|≦|75(-5)^4/4!|
誤差の公式は R(x)≦|M(x-c)^(n+1)/(n+1)!
だから、それにいれたら、右辺のようになるのはわかる。
でも、右辺は４番目の項でもあるでしょ。
左の式の、f(5.2)って、テイラー展開を最後まで計算した結果でしょ。
質問１
P3(5.2)、３つまでの計算したのとの差が、４つ目の項よりも小さいってあるけど、でも、５つ目、６つ目、７つ目ってどんどん足したら、f(5.2)とP3(5.2)の違いは、４つ目だけの項よりももうちょっと大きくなるような気がするけど、どうなんだろう。
誤差の公式は R(x)≦|M(x-c)^(n+1)/(n+1)! 自体、５つ目の項、６つ目の項…を、無視してることにならない？
もしも項がプラスマイナスを行ったり来たりしているならわかるけど。
答えには、計算してあって、こうなってた。 |f(5.2)-P3(5.2)|≦0.005
(c) Use your answer to (b) to find an interval [a,b] such that a≦f(5.2)≦b.
答えにはこうあった。 8.264-0.005≦f(5.2)≦8.264+0.005 then 8.259≦f(5.2)≦8.269
質問２
上の(a)の公式でも明らかなように、プラスするだけだから、誤差も、プラスの方だけで、マイナスの方、8.259 は必要ないのではないか。
分かる人、教えてくれますか。
よろしくお願いします
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No.73502 - 2021/03/29(Mon) 05:49:28
| ☆ Re: アメリカのCalculusに関する質問 / 関数電卓 | | | > 誤差の公式は R(x)≦|M(x-c)^(n+1)/(n+1)!
> だから、それにいれたら、右辺のようになるのはわかる。
> でも、右辺は４番目の項でもあるでしょ。
「４番目の項」そのものではなく
> … and |f''''(x)|≦75 for all x in the interval [5, 5.2].
とあるように，
5≦x≦5.2 のすべての x での剰余項の評価値
でしょう。誤解の原因はここかと思うのですが…。
> プラスするだけだから、誤差も、プラスの方だけで、マイナスの方、8.259 は必要ないのではないか。
本例では f(5), f'(5), f''(5), f'''(5) が全て正なので「プラスするだけ」に見えますが，これらの中に負のものがあるときは，f(5.2)−P3(5.2) が負になることも有り得ます。ですから，下からの評価も必要です。
そもそも |真値−目論見値| を 誤差 と言います。
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No.73506 - 2021/03/29(Mon) 21:08:31 |
| ☆ Re: アメリカのCalculusに関する質問 / makoto | | | なるほど。
そういうわけだったんですね。
用くぁ借りました。
ありがとうございます
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No.73508 - 2021/03/29(Mon) 23:42:20 |
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