次の２つの問題で答えが同じなのか違うのかについて御説明をお願いできないでしょうか。
【問題１】
アリスとボブとが次に述べるようなゲームをすることとなった。
アリスの目の前に２×３の箱が並んでいる。
箱にはそれぞれＡ〜Ｆのラベルが貼られている。
ＡＢＣ
ＤＥＦ
この６つの箱のうち、ランダムに選ばれたどれか２つの箱に卵が１つずつ隠されて入っている。
残り４つの箱は空である。
ボブの目の前にも、アリスと全く同様にして作られた２×３の箱が並んでいる。
アリスの目の前の箱とボブの目の前にある箱とで、卵が隠されている箱の位置は全く同じものとする。
たとえば、空き箱を□、卵が隠された箱を■で表したときに、
アリスの目の前の箱が（卵が隠されている箱の位置はランダムであるものの）たまたま
□□■
□■□
だったならば、ボブの目の前の箱もまた
□□■
□■□
となっている。
いま、ゲームマスターの笛が１回鳴る都度に、アリスとボブは同時に目の前の箱から、１つずつ箱の中身を確認していく。ただし、アリスは、A, B, C, D, E, Fの順で、ボブは、A, D, B, E, C, F, の順で箱の中身を確認していくものとする。
（それぞれが１つめの卵を見つけるタイミングいかんに関わらず）目の前にある箱から２つめの卵を先に見つけた方が勝者となる。
なお、２つめの卵を同時に見つけた場合は引き分けとなる。
このゲームで有利なのはアリスとボブのどちらであろうか？
［問題１は以上です。］
【問題２】
目の前の箱に卵が隠されている位置が、アリスとボブとで無関係に、ランダムに決められている場合には、アリスとボブとではどちらが有利だろうか。
たとえば、
空き箱を□、卵が隠された箱を■で表したときに、
アリスの目の前の箱がたまたま
□□■
□■□
であったとして、（アリスの目の前に置かれた箱に隠された卵の位置はランダムであることは大前提として、その位置とは独立にランダムに選ばれた）ボブの目の前の箱に隠された卵の位置が
■□□
□■□
となっているなど。
［問題２は以上です。］
―――――――
問題１問題２とでアリスとボブとの間での有利不利に違いがあるのかないのか、違いがあるとしたら何処に原因があるのかについて、今ひとつ腑に落ちないでおります。
ランダムに卵が隠されている以上、箱の中身をあらためる手順によって有利不利が出るとはなかなか信じられません。
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No.73435 - 2021/03/22(Mon) 16:28:46
| ☆ Re: 卵探し / 隅田川のキョエ | | | 疑問点を別な角度から表現したいと思います。
村はずれに墓地があり、６個の墓石の下のそれぞれに棺桶が１個ずつ埋められています。墓地の区画は次のようなものです。
□□□
□□□
今は昼。昨夜に村に現れた吸血鬼が２体、この墓地の地下の棺桶に眠っていることがわかったとします。ひとつの棺桶には１人の吸血鬼が眠っていることとします。墓をあばき、吸血鬼の胸に杭を打ち付けて退治しなければならないとしたときに、可能な限り手早く完了するために、いったいどの順番で墓をあばくべきなのかについて、考えたいというわけです。
アリス提案の手順
?@?A?B
?C?D?E
ボブ提案の手順
?@?B?D
?A?C?E
アリスとボブの手順のうち２択で、どちらが手早く完了できるのか…
どっちでも同じなのか…違うのか…
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No.73436 - 2021/03/22(Mon) 16:47:47 |
| ☆ Re: 卵探し / らすかる | | | 問題1、2とも、有利不利がありませんので答えは同じです。
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No.73438 - 2021/03/22(Mon) 16:55:29 |
| ☆ Re: 卵探し / 隅田川のキョエ | | | らすかる様
早速の御回答を誠に有り難うございます。
私なりに考えました問題１の答案を以下に記しますので、考え違いがある点についてご指摘を賜れれば幸いです。何卒宜しくお願い申し上げます。
卵がどの箱に隠されているかについての場合分けは、全部で１５通りあります。
AB, AC, AD, AE,
AF, BC, BD, BE,
BF, CD, CE, CF,
DE, DF, EF
これらは等しく起こり得ます。（注１）
これらのうち、アリスが勝つケースは次の４通りです。
AB, AC, BC, CD
またこれらのうち、ボブが勝つケースは次の５通りです。
AD, AE, BD, BE, DE
これらのうち、引き分けとなるケースは次の６通りです。
CE, AF, BF, CF, DF, EF
従いまして、引き分けになる確率は
6/15 で、
アリスが勝つ確率は
4/15 で、
ボブが勝つ確率は
5/15 です。
以上より、ボブのほうが有利と言えます。
注１
ひょっとして、これら１５通りが起きる確率が互いに異なるのでしょうか。⇒ 問題１で、らすかる様が仰る通りに、私も直感的には有利不利などないと思えてなりません。でも、地道に数えるとボブが有利になってしまいます。
なんとも腑に落ちないのです。地道に数えたつもりですけれどもミスがあるのかもしれません。ミスがある理由を知りたくて問題１の他に問題２も作ってみましたが、こんがらがるばかりです。
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No.73439 - 2021/03/22(Mon) 18:27:06 |
| ☆ Re: 卵探し / らすかる | | | 確かにそうなりますね・・・
「問題1は有利不利がない」と書いたのは間違いですね。失礼しました。
おっしゃる通りで、問題1はボブが有利ということでよいと思います。
まさか開ける順番の兼ね合いで変わるとは思いませんでした。
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No.73440 - 2021/03/22(Mon) 18:47:24 |
| ☆ Re: 卵探し / IT | | | 面白い問題ですね。
問題１について考えてみました。
Fに入っている場合は、引き分けです。
Fに入っていなくて
Aに入っている場合は、アリスが勝つ場合の数とボブが勝つ場合の数は同じです。
差が出るのは、BCDEのどれか２つに入っている場合です。
入り方は、C(4,2)=６通りあります。
アリス BCDE
ボブ DBEC
なので､引き分けなのは、ECに入っている場合の１通りで
残りは５通りなので、アリスかボブのどちらかが勝率が高いことが分かります。
このBCDEとDBECの違いを考察すると理由が見つかるかもしれません。
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No.73442 - 2021/03/22(Mon) 21:11:07 |
| ☆ Re: 卵探し / エンヴィー | | | 確率が同じにならないのは、数字同士を対応させたとき、大小関係に対称性を見いだせないからではないでしょうか。
次の類題を考えてみました。
[問題3]ABCDEFの6つの箱の中にはランダムに卵が1個だけ入っている。アリスはABCDEFの順で、ボブはFABCDEの順で箱を開ける。先に卵を見つけた方を勝者とするとき、このゲームはどちらが有利か。ただし、ボブはアリスが挑戦したのと同じ卵の配置で挑むとする。
Aはアリスが1番目、ボブが2番目に開ける箱です。
Bはそれぞれ2番目、3番目に開ける箱です。
Cはそれぞれ3番目、4番目に開ける箱です。
以下、4、5番目、5、6番目と続き、次のFのみがボブがアリスよりも早く開けることのできる箱で、アリスは6番目、ボブは1番目となります。
「◯◯番目」の数字がペアになって対応しているのが分かる一方で、そこにかかれた数値の大小関係が一方的に片方の人物に片寄っているのがわかります。
このことが確率を異なるものにしている？
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No.73444 - 2021/03/23(Tue) 02:34:34 |
| ☆ Re: 卵探し / 隅田川のキョエ | | | らすかる様
IT様
エンヴィー様
お返事を誠に有り難うございます。
お陰様で随分と霧が晴れてまいりました。
未だスッキリしない部分もありまして、もう少しだけご教示を賜りたくお願い申し上げます。以下、順不同となりますがお許しください。
エンヴィー様
【問題３】の提案を有り難うございます。
アリスの拾い順が
?@?A?B
?C?D?E
で、ボブの拾い順が
?A?B?C
?D?E?@
ということですね。
この拾い順はあえて極端にバランスを崩してみる試みと存じます。
アリスの勝率：10/15
ボブの勝率：4/15
引き分けの率：1/15
となりましょうか。
ここで問題３の設定を以下のように変更したものを考えたく思います。すなわち、６つある箱はそのままに、卵入りの箱は１つ、空き箱は５つとして、勝利条件としては、卵を１つ先にみつけた者が勝者、と変更します。
さきほどのアリスおよびにボブの拾い順では、アリスが先着する箱が５つ、ボブが先着する箱が１つ、ですので、ボブが相当に有利とみえます。
アリスの勝率：5/6
ボブの勝率：1/6
引き分けの率：0
さて、同様な変更を問題１に対して行いますと、
アリスとボブとの間では有利不利が生じていません。
アリスの勝率：2/6
ボブの勝率：2/6
引き分けの率：2/6
問題１の変形版、卵が１個では有利不利が現れませんが、問題１の元バージョン、卵が２個あり、それを拾い尽くすときには、有利不利が出てきます。（ボブ有利）
そして更に興味深いことに、卵が２個あるが、そのうち１個でも拾えれば勝利とすると、このゲームではアリス有利となっています。元バージョンで２個拾うときにボブ有利であることと対照的になっています。
これらのことから、問題３でご提示頂きましたところの、箱を開ける順番でのアリスとボブとの間で極端な不均衡を与える設定は勿論のこと有利不利に影響を与えるものの、それだけでは説明がつかない現象も出てくることが判明したことと存じます。
問題３を御提案頂きましたお陰で、上に記しました方向で考えることが出来ました。有り難うございます。
――――
IT様。
仰る分析には目をみはりました。なるほど、引き分けのパターンが偶数あるので、勝敗が決まるパターンは奇数、これでは確かに、有利不利が生じざるを得ませんね。
>このBCDEとDBECの違いを考察すると理由が見つかるかもしれません。
とのこと、ヒントを有り難うございます。
問題１（卵を２個拾い尽くす設定）ではボブが有利なことは既に明らかですけれども、設定を変形して、（２つある卵のうち１つでも見つければ勝利）としますと、逆にアリスが有利となるようです。
このあたり「BCDEとDBECの違い」が実に微妙に働いているような気が致しますが、私の力不足のせいで、いまひとつ実感が湧いてまいりません。何か良いアイデアがあれば嬉しいのですけれども。
――――
らすかる様。
お陰様で、問題１のために用意した私の答案に自信が持てるようになりました。まことに有り難うございます。
いくつか御見解を賜りたく存じます。
◆（あ）
問題１と問題２とは見かけは違いますが実は等価、すなわち問題２でも問題１と同様にボブに有利、と考えられるのでしょうか。あるいは、問題２は問題１とは異なる問題なので同じ結論にはならない（例えば問題２ではアリスとボブとの間に有利不利はない、など）のでしょうか？
◆（い）
既に投稿してありますところの吸血鬼退治の問題は、問題１と等価、すなわちボブの手順のほうが確率的に有利…ということになりますでしょうか。それとも吸血鬼退治は問題２の考え方を適用すべきでしょうか。
（直感では問題２では箱を開ける手順による有利不利は生じないと思われてなりません）
（直感では吸血鬼退治の問題で、ボブの手順が有利とはとても思えません）
※こういうのが入試に出てきたら私は自信がありません。 全部自明、手順による有利不利など生じない、どの手順でも２体の吸血鬼を退治完了までの、棺桶をあける手数の期待値は同じ！！ などと考えてしまいたくなります。
腑に落ちないでおります。
以上、◆（あ）、◆（い）について、何卒ご教示を頂きたく、宜しくお願い申しあげます。
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No.73448 - 2021/03/23(Tue) 14:44:28 |
| ☆ Re: 卵探し / 隅田川のキョエ | | | IT様
> このBCDEとDBECの違いを考察すると理由が見つかるかもしれません。
問題１で
ABC
DEF
の箱を開ける手順として以下のように略記するものとします。
アリス：
１２３
４５６
ボブ：
１３５
２４６
これでボブ有利は既に確認済みのところではありますが……
この他に２人を登場させ、それぞれが別の手順を選ぶものとします。（下記）
キャリー：
１５４
３２６
ドロシー：
１４２
５３６
※上で、BCDEとDBECの違いを見てみたいのです。
この４人が、卵探し（２人ゲーム）を行いますと、対称性から以下がわかります。
アリス対ボブではボブ有利
ボブ対キャリーではキャリー有利
キャリー対ドロシーではドロシー有利
ドロシー対アリスではアリス有利
ここまではジャンケンのような…
更に、別途確認しますと
アリス対キャリーでは、有利不利なし。
ボブ対ドロシーでは有利不利なし。
…となっております。
BCDEをくるくる回してみた結果です。
こうなりますと、「有利不利」ってなんなんだろうと思えてきました。
卵探しに絶対最強の手順などない、相対的な強弱のみがある、そのような気もしてまいりました。
卵探しにかかる手数の期待値は、上の４人の手順では全て等しくなるようですし……
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No.73449 - 2021/03/23(Tue) 15:11:19 |
| ☆ Re: 卵探し / らすかる | | | > 問題１と問題２とは見かけは違いますが実は等価、すなわち問題２でも問題１と同様にボブに有利、と考えられるのでしょうか。あるいは、問題２は問題１とは異なる問題なので同じ結論にはならない（例えば問題２ではアリスとボブとの間に有利不利はない、など）のでしょうか？
問題２は箱の確認順と無関係（どちらも1番目に確認する箱〜6番目に確認する箱のうちの2つに等確率で卵が入っているから）ですから、アリスとボブとの間に有利不利が生じることはないですね。
> 既に投稿してありますところの吸血鬼退治の問題は、問題１と等価、すなわちボブの手順のほうが確率的に有利…ということになりますでしょうか。それとも吸血鬼退治は問題２の考え方を適用すべきでしょうか。
こちらは、アリスとボブの手順を両方試して比較するとアリスの方が早い場合が多いですが、開ける個数の期待値は同じですから、棺桶を開ける順番は関係ありません。
（「早い」か「遅い」かで比較するとアリスの方が早い確率が高いですが、アリスの方が遅かった場合に余計に手数が増えて、期待値が同じになるということです。）
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No.73450 - 2021/03/23(Tue) 15:27:34 |
| ☆ Re: 卵探し / IT | | | > こうなりますと、「有利不利」ってなんなんだろうと思えてきました。
卵探しに絶対最強の手順などない、相対的な強弱のみがある、そのような気もしてまいりました。
そのとおりだと思います。(ABCDEF そのものは、対等ですから）
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No.73451 - 2021/03/23(Tue) 18:19:05 |
| ☆ Re: 卵探し / エンヴィー | | | > さて、同様な変更を問題１に対して行いますと、
> アリスとボブとの間では有利不利が生じていません。
> 問題１の変形版、卵が１個では有利不利が現れませんが、問題１の元バージョン、卵が２個あり、それを拾い尽くすときには、有利不利が出てきます。（ボブ有利）
> そして更に興味深いことに、卵が２個あるが、そのうち１個でも拾えれば勝利とすると、このゲームではアリス有利となっています。元バージョンで２個拾うときにボブ有利であることと対照的になっています。
> これらのことから、問題３でご提示頂きましたところの、箱を開ける順番でのアリスとボブとの間で極端な不均衡を与える設定は勿論のこと有利不利に影響を与えるものの、それだけでは説明がつかない現象も出てくることが判明したことと存じます。
私が説明しようとしたことは、一般的に確率が等しくならないということなので、条件によって勝者が変わったり、たまたま確率が等しくなるのは何も矛盾していないと考えます。
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No.73452 - 2021/03/23(Tue) 18:43:26 |
| ☆ Re: 卵探し / 隅田川のキョエ | | | 皆様、これまでのご教示をまことに有り難うございます。
何度も考えた末に漸く全体のイメージを掴むに至りました。
妙な喩えですけれども、ジャンケンでグーもチョキもパーも勝率は同じですが相手がグーを出したときにこちらがパーを出せばこちらのほうが有利でして、これと似たような事情がこの問題１にもあるのですね。
―――――
追記：らすかる様、問題１と問題２とでは事情が異なることについてボンクラな私でもやっとわかりました。卵の位置が連動していることが、アリスとボブの箱を開く手順の間の「相関」による影響を引き起こしている、と理解いたしました。卵の位置の連動を壊してしまえば、アリスの手順とボブの手順との相関も消え失せてしまいますね。
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No.73468 - 2021/03/25(Thu) 20:04:33 |
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