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★ (No Subject) / りゅーくん
R2 で定義された2変数関数 f(x,y)=(x+2y)^e^(2x+y) について
偏導関数 fx, fy , fxx, fxy, fyx, fyy を求めよ。

という問題なんですけど結果のみで良いので、わかる方お願いします！
No.74231 - 2021/05/03(Mon) 11:54:04
☆ Re: / GandB
　たとえば fy なら wolframa へ行って
　　D[(x+2y)^e^(2x+y),y]
No.74232 - 2021/05/03(Mon) 12:31:31
★ (No Subject) / あんこ
R^2⊃A= {(x,y)｜1＜x＜2,1＜y＜3} ∪ {(x,y)｜2＜x＜3,1＜y＜2}
このとき、

?@Aをxy平面に図示せよ
?AR^2∋P=(5/2,5/2)について、PはAの内点・外点・境界点のうちどれか。証明をつけて答えよ。
?BAの内部、外部、境界をxy平面に図示せよ。内部の図、外部の図、境界の図をそれぞれ別に描く こと。証明はしなくてよい。
?CAは開集合かそうでないか。また閉集合かそうでないか。それぞれ証明をつけて述べよ。 (1)はなんとなくできました。(2)は完全に外の点だなと思うのですが、証明の仕方がわかりません。また開集合とかどういう事かわかりません。どなたか得意な方お願いします
No.74220 - 2021/05/03(Mon) 02:29:29
☆ Re: / IT
(1) Aの図は手書きでもいいので、出来れば写して載せられるといいと思います。
(2)
・内点、外点の定義はどうなっていますか？
・また点Pを(1)の図にプロットされるといいです。
No.74221 - 2021/05/03(Mon) 07:42:45
☆ Re: / あんこ
ご返信ありがとうございます！
(1)は写真のような感じだと思います汚くてすみません。

内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
調べたら以下のように出てきました。
)A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
Ai :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A}⊂A.
(2) A の外点全体の集合を A の外部 (exterior) といい，Ae で表す:
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}=(Ac)i ⊂Ac.
(3) A の境界点全体の集合を A の境界 (frontier, boundary) といい，Af (または Ab) で表す:
Af :={x∈Rn |∀ε>0に対して，B(x;ε)∩A̸=∅かつB(x;ε)∩Ac ̸=∅}.
No.74222 - 2021/05/03(Mon) 08:34:57
☆ Re: / IT
Aの図は良いと思います。（どの境界線が含まれるかどうかの記述は要ると思いますが）

> 内点、外点、境界点の定義とはどんなものですか？
> 調べたら以下のように出てきました。
> )A の内点全体の集合を A の内部 (interior) (または開核) といい，Ai (または A◦) で表す:
お使いの授業のテキストなどで調べられたのですか？　

では、「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

PをAの図に描いてください。
No.74223 - 2021/05/03(Mon) 08:45:03
☆ Re: / あんこ

集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？

あと点Pはここですか？
No.74224 - 2021/05/03(Mon) 09:29:25
☆ Re: / IT
>> 「内点」の定義を書きだすとどうなりますか？　記号式ではなくて、日本語で書き下してみてください。

> 集合Aの内点は必ずAの要素であるみたいな感じですか？
違います。私が聞いているのは、「内点」の定義です。
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
が理解できてないようです。だとするとこの問題を解くのは難しいと思います。

B(x;ε)は、どんなものか分かりますか？
テキストに「内点」やB(x;ε)について　図解で定義や説明がしてないですか？

授業を受けておられて、それに関連した出題だと思いますので、授業で使われたテキストや授業で示された定義を理解し、それを基にして考える必要があります。

>
> あと点Pはここですか？

そうですね。
No.74225 - 2021/05/03(Mon) 09:37:05
☆ Re: / あんこ
0より大きいε(限りなく小さな数)があって、

BはAの部分集合、という意味でしょうか？
No.74226 - 2021/05/03(Mon) 09:58:20
☆ Re: / IT
> 0より大きいε(限りなく小さな数)があって、
> BはAの部分集合、という意味でしょうか？
「限りなく小さな数」というものはありません（少なくともこの議論の中では）
0より大きいある実数εがあって
　B(x;ε)⊂A 　すなわちB(x;ε) はA の部分集合 となる。

B(x;ε)は、どんな集合ですか？
これは、考えることではなくて、テキスト（か講義ノート）に書いてあることを確認するだけです。テキストはないのですか？
No.74227 - 2021/05/03(Mon) 10:05:19
☆ Re: / あんこ
B(x ; ε)
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合

でしょうか？
No.74228 - 2021/05/03(Mon) 10:23:40
☆ Re: / IT
> B(x ; ε)
> xからの距離が εより小さい点全体からなる集合
> でしょうか？
合っています。

では、整理すると
・集合Aの「内点」の定義はどう書けますか？
・集合Aの「外点」の定義はどう書けますか？
・点Pが集合Aの「外点」であることを示すには、何を示せば良いですか？
・図に　B(P;0.2) を描いてみてください。
No.74229 - 2021/05/03(Mon) 10:39:50
☆ Re: / あんこ
内点の定義
x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂A
0より大きいある実数εがあって　　
xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の部分集合 となる。

外点の定義
Ae :={x∈Rn |∃ε>0s.t. B(x;ε)⊂Ac}
0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合 となる。

点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
でしょうか？？
No.74230 - 2021/05/03(Mon) 11:09:47
☆ Re: / IT
> 外点の定義
> 0より大きいある実数εがあって、xからの距離が εより小さい点全体からなる集合B(x;ε)はA の補集合 となる。
集合B(x;ε)はA の補集合とは限りません。
集合B(x;ε)はAの補集合に含まれる。（Aの補集合の部分集合である。）です。

>
> 点pが外点と示すにはAからの距離を示すか、補集合だと示すのか
> でしょうか？？
あるε>0を見つけて　B(P;ε)⊂Ac　であることを示すのです。

B(P;0.2)は、描いて見ましたか？
No.74233 - 2021/05/03(Mon) 13:23:45
☆ Re: / あんこ
なるほど、ありがとうございます！

0.2はどこからきたんですか？
No.74238 - 2021/05/03(Mon) 14:44:50
☆ Re: / IT
> 0.2はどこからきたんですか？
B(P;ε)⊂Ac　であるためには、
　εは、0より大きく0.5 以下なら　いくらでもいいです。

なぜかは、B(P;0.2)　B(P;0.5) などを描いて見ると分かると思います。（手と目と頭を動かして考えましょう）
No.74239 - 2021/05/03(Mon) 14:55:46
☆ Re: / あんこ

そういう考え方なのですね！
難しいなあ

円で書けば良いですか？
Aに接しない円ができるので合っていますか？
No.74240 - 2021/05/03(Mon) 14:58:51
☆ Re: / IT
> 円で書けば良いですか？
もちろんそうです。

> Aに接しない円ができるので合っていますか？
そうですね。（おおむねそういうことで合っています）
No.74241 - 2021/05/03(Mon) 15:22:54
☆ Re: / あんこ

円がかけたのですが、
p(2,5)を中心とする半径0.2の円の内部をPとして、
P=｛(x,y)｜(x-2)^2+(y-5)^2<0.2｝
このP上の任意の点が、Aに含まれるかどうかを調べるような形で良いですか？
No.74246 - 2021/05/03(Mon) 16:39:56
☆ Re: / IT
そうですね。
No.74247 - 2021/05/03(Mon) 16:42:37
☆ Re: / あんこ
沢山聞いてすみませんでした。
ありがとうございました
No.74248 - 2021/05/03(Mon) 17:05:45
★ (No Subject) / いい
写像f:R^2→R^2, g: R^2→R^2をf(x,y)=(4x+2y,x-5y), g(x,y)=(2y^2,-3x) とする。 また、R^2⊃A= {(x,y)｜2x-y+3=0,}とする。このとき、

( 1 ) g⚪fを求めよ
( 2 )gは全射か。また、単射か。それぞれ証明せよ。
( 3 ) f^-1は全単射である。f^-1を求めよ。
( 4 )A,f(A),g(A)をそれぞれ図示せよ。

( 1 ) g⚪fは(2x^2-20xy+50y^2,-12x-6y) であっていますか？
あと、(2)以降はわかりません。よろしくお願いします
No.74210 - 2021/05/02(Sun) 22:29:38
☆ Re: / ヨッシー
(1) はそれで合っています。
(2)
全射でない：ｘ＜０の領域に移らないため。
単射でない：(0,1),(0,-1) ともに、(2,0) に移るため。
(3)
(X,Y)＝(4x+2y,x-5y) とおき、x,y について解くと
　x＝(5X+2Y)/22, ｙ＝(X-4Y)/22
よって、
　f-1(x,y)＝(5x/22＋y/11, x/22−2y/11)
(4)
f によって、移った先の点を(x,y) とすると、元の点は
　(5x/22＋y/11, x/22−2y/11)
であるので、2x-y+3=0 に代入して
　2(5x/22＋y/11)−(x/22−2y/11)＋3＝0
　9x＋8y＋66＝0
Ａ上の点を (t, 2t+3) とおいて、g を施すと移り先(X, Y)は
　(X, Y)＝(2(2t+3)^2, -3t)
ｔを消去すると
　X＝2(-2Y/3＋3)^2
　　＝(2/9)(-2Y＋9)^2

No.74215 - 2021/05/03(Mon) 01:02:58
☆ Re: / いい
ありがとうございます！！
よくわかりました！！
No.74219 - 2021/05/03(Mon) 02:03:42
★ 式の項についてです / くわくうぃくぅくぇくぉ
私は中学一年生の項の問題をと言いてるときに思いました。
-10＋(+4)-(-5)+5-4の項を全て答えなさいと問われた場合
まずすべて加法に直して
(-10)＋4＋5＋5＋(−4)となり
全ての項を答えるとなると＋5が二つ出てきます。
この場合−10、+4、＋5、＋5、−4
が答えでよいのでしょうか？
今まですべての項の絶対値が違う物しか見てこなかったのでっ不安になりました
No.74205 - 2021/05/02(Sun) 20:20:23
☆ Re: 式の項についてです / IT
> この場合−10、+4、＋5、＋5、−4
> が答えでよいのでしょうか？

良いと思います。
No.74206 - 2021/05/02(Sun) 20:49:24
★ 線形代数 / あ
初めてこちらを利用させて頂くものなのですが、数学が分からなくて困ってます。
A=「1 -1
1 1」で単位円をy=axで移す時どのような図形になるのかという問題です。「cost-sint
cost+sint」と計算したんですがここから分かりません。お時間よろしければ助けて頂けないでしょうか？
No.74195 - 2021/05/02(Sun) 18:40:14
☆ Re: 線形代数 / ヨッシー
行列Ａと、直線ｙ＝ａｘ の関係は何ですか？

問題文を、正確に書いてもらえますか？
No.74197 - 2021/05/02(Sun) 19:08:13
☆ Re: 線形代数 / あ
すみません。y=AxでAは(2,2)型行列です。
A=「1 -1
　　1 1」です。
No.74198 - 2021/05/02(Sun) 19:38:22
☆ Re: 線形代数 / IT
いくつかやり方がありますが、
> 「cost-sint,cost+sint」と計算したんですがここから分かりません。
そこからなら　cost＝○、sint=△　の形にして

(cost)^2+(sint)^2=1 を使うか、
三角関数の合成公式を使って　acos(t+θ),asin(t+θ) の形にする　のでしょうか。

まず、単位円上のいくつかの具体的な点がどこに移るかを調べると見通しが良いかも知れません。
No.74201 - 2021/05/02(Sun) 20:02:17
☆ Re: 線形代数 / あ
ヨッシーさん、ITさん、お忙しい中丁寧なお返事ありがとうございます。漸く理解に至った次第です。がんばります。
No.74204 - 2021/05/02(Sun) 20:16:13
★ 積分の応用 / あ
この問題の一番核となるのはどこですか？
No.74180 - 2021/05/02(Sun) 13:50:55
☆ Re: 積分の応用 / GandB
　ベクトル値関数
　　r↑(t) = (x(t),y(t))
は一般に平面曲線を表し、パラメータ t に時刻という物理的意味を持たせると r'↑(t) は速度になることかな（笑）。
No.74184 - 2021/05/02(Sun) 16:43:40
★ 鳩の巣原理 / 橋本
大学入試範囲の鳩の巣原理を使う問題ありますか。
No.74179 - 2021/05/02(Sun) 13:47:35
☆ Re: 鳩の巣原理 / GandB
　大学入試問題かどうかわからんけど
https://blog.goo.ne.jp/eric_henderson/e/b3c403b239775ecf404fc199fb11e8a2
あたりはどうかな。
No.74196 - 2021/05/02(Sun) 19:04:16
★ ルートの式変形 / Ru
どっちの式変形が間違っていますか。
No.74175 - 2021/05/02(Sun) 13:34:59
☆ Re: ルートの式変形 / Ru
こっちです
No.74178 - 2021/05/02(Sun) 13:37:34
☆ Re: ルートの式変形 / X
上側ですね。
√{(x+1)(x-1)(x+1)^2}
=√(x+1)√(x-1)√{(x+1)^2}
と変形した時点で
0≦x+1
の前提条件が付きますので
√{(x+1)^2}=x+1
となり絶対値をつける意味がありません。
No.74181 - 2021/05/02(Sun) 15:20:07
☆ Re: ルートの式変形 / IT
x＜-１,x=-1, −１＜x＜1,x≧1　に分けてみると

与式=√(x−1)√(x＋1)(x＋1) では？　
（√-1=i,i^2=-1 も考えるとして）
No.74183 - 2021/05/02(Sun) 15:52:57
☆ Re: ルートの式変形 / らすかる
どちらも定義域が変わってしまってまずいと思います。
変形するなら
√{(x-1)(x+1)^3}=√{(x-1)(x+1)}√{(x+1)^2}
=|x+1|√(x^2-1)
こうでしょう。
No.74192 - 2021/05/02(Sun) 18:06:48
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題についてです。
No.74172 - 2021/05/02(Sun) 13:29:20
☆ Re: / 数学苦手
3つの1組が4つある?@は分かりました。?A、?B、?Cは違うものが1つ混ざっていて、それは自動で決まるから4P2なのでしょうか？
No.74173 - 2021/05/02(Sun) 13:32:25
☆ Re: / 数学苦手
Pの右側にくる数字が表しているのは⚪×△などの種類？ですかね
No.74174 - 2021/05/02(Sun) 13:34:35
☆ Re: / 数学苦手
〇〇△と〇〇×は同じということでしょうか。
No.74176 - 2021/05/02(Sun) 13:36:06
☆ Re: / 数学苦手
いつでもいいので教えて頂きたいです。
No.74177 - 2021/05/02(Sun) 13:36:54
☆ Re: / 数学苦手
あ、×の場所は自動には決まらないですね。2つのマルが同じ色で自動に決まるでした。〇の場所に仮に赤が入るとすれば×の場所には3色分の組み合わせがあるので、同じ色3色の4通りに3を掛けるという感じですか？
No.74188 - 2021/05/02(Sun) 17:30:21
☆ Re: / 数学苦手
3枚選ぶのは連続動作なので掛け算するのでしょうか？
No.74189 - 2021/05/02(Sun) 17:34:11
☆ Re: / ヨッシー
4Ｐ2 の意味は何ですか？

この問題での意味ではなく、一般に言われている意味です。
No.74194 - 2021/05/02(Sun) 18:26:23
☆ Re: / 数学苦手
4個から2個を並べるですね
No.74199 - 2021/05/02(Sun) 19:54:05
☆ Re: / 数学苦手
4P2は計算すると4×3となり、同じ色3色4通りに3をかけると同じ意味になるのですね。だから、固定される場所に注目して並べるか取り出すか文章から考えて、残りの変わる1つの場所はスルーして式を立てたらいいのですね
No.74202 - 2021/05/02(Sun) 20:08:49
☆ Re: / ヨッシー
「4個から2個を並べる」で正解ですが、それが
4×3 で計算出来ることを説明してみてください。

また、赤、白、黄、青の４色から２色を選んで並べるときの
１２通りを、
　赤白、黄青　・・・
のように１２組書き上げてください。
No.74208 - 2021/05/02(Sun) 20:59:34
☆ Re: / 数学苦手
書き出してみました。頭が疲れてきたので輪をかけて汚くてすみません。
No.74212 - 2021/05/02(Sun) 23:04:20
☆ Re: / 数学苦手
証明はまず、4種類ある色の中から1種類を2つ選ぶ。これが4通り。
それから次に残りの3種類の中から1種類を選ぶ連続動作だから4×3ですか？
No.74213 - 2021/05/02(Sun) 23:10:56
☆ Re: / ヨッシー
ですから、疑問文で返しなさんなって。
合ってるんですから。
ちなみに、証明ではなく説明です。
また、連続動作という言い方を最近はするんですかね？

さて、その上の書き上げも合っています。
この時点で、74202 の記事の
>同じ色3色4通りに3をかける
が根拠のないこととわかるでしょう。
「同じ色3色」とは?@のことだと思いますが、?@と?A?B?Cは
関係ありません。

書き上げてもらった中の１番目（赤、白）の
左の色を?Aの○、右の色を?Aの×に当てはめて
赤赤白　という並びが出来ます。
これが?Aの並べ方の１つで、書き上げた残りの１１通り
についても　赤赤黄、赤赤青　・・・　青青黄　のように
?Aの並べ方を作ることが出来ます。
つまり、?Aの並べ方と「４つの色から２色を選んで並べる」のとは
完全に対応します。
?B?Cも同様です。

ここまで理解出来ていれば、?Dは言うまでもないでしょう。
No.74214 - 2021/05/02(Sun) 23:37:34
☆ Re: / 数学苦手
ありがとうございます。助かりました。
No.74217 - 2021/05/03(Mon) 01:32:15
☆ Re: / 数学苦手
続けてやる動作は掛け算でやると数学苦手な人向けの参考書に載っていました。例外パターンがあるかもしれないので、僕はなんとも言えません。
No.74218 - 2021/05/03(Mon) 01:38:33
★ 幾何学 / やまんば
大学の授業がオンラインで始まったのですが、解説もほどほどに課題がたくさん出ており困っています。どなたかお願いします

R^2上の次の3つの距離関数を考える。
R^2∋p=(x,y),q= (x‘ ,y‘ )について
d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝
d1(p,q)= ｜x-x‘｜+｜y-y‘｜
d2はユークリッド距離
このとき、
(1)R^2∋p= (2 , 5 ) ,q= ( 1 , -2 )について、p,q間の距離をd0,d1,d2のそれぞれについて求めよ。
( 2 ) R^2∋p= (2 , 5 )について、A= {r ∋ R^2｜d0(p,r)＞ 1 }なる集合Aをxy平面上に図示せよ。
( 3 ) d1の距離を用いた距離空間(R^2, d1 )において、点列［pk］k∋Nを以下のように定めると、［pk］k∋Nは収束することをε-N論法で示せ。
pk=(4+(-1)^k・(1/k),5-(-1)^k・(1/k^2))

よろしくお願いいたします。
No.74149 - 2021/05/02(Sun) 08:59:41
☆ Re: 幾何学 / IT
(1) そこに書いてあるd0,d1,d2 の定義にしたがって　計算等をするだけですが、それぞれどこが不明ですか？
No.74151 - 2021/05/02(Sun) 09:42:32
☆ Re: 幾何学 / やまんば
ご返信ありがとうございます。
(1)は√(2-1)²+(5-(-2) )²) = √50

で合っていますか？
No.74152 - 2021/05/02(Sun) 09:50:18
☆ Re: 幾何学 / IT
それは　d2(p,q) ですね。
d2((2,5),(1,-2))=√(2-1)²+(5-(-2) )²) = √50は合っていると思います。√50=5√2 としても良いかも。

残りのd0(p,q)と,d1(p,q) はどうなりますか？
No.74153 - 2021/05/02(Sun) 09:56:22
☆ Re: 幾何学 / やまんば
d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝のmaxの意味がわからないのですが、
d1(p,q)= ｜x-x‘｜+｜y-y‘｜は
(2-1)+(5-(-2))=8
であっていますか？
No.74155 - 2021/05/02(Sun) 10:18:05
☆ Re: 幾何学 / IT
> d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝のmaxの意味がわからないのですが、

max{a,b} はa,b の大きい方の値です。（等しい場合はその値）
例えばmax{1,2}=2,max{3,3}=3,max{-3,2}=2

> d1(p,q)= ｜x-x‘｜+｜y-y‘｜は
> (2-1)+(5-(-2))=8
> であっていますか？
値は合っていますが、途中式で絶対値記号を付けておくべきと思います。
No.74156 - 2021/05/02(Sun) 10:28:27
☆ Re: 幾何学 / やまんば

とてもわかりやすいです、本当ありがとうございます！
では、d0は7と言うことになりますか？
No.74157 - 2021/05/02(Sun) 10:36:00
☆ Re: 幾何学 / IT
>d0は7と言うことになりますか？
そうですね。

(2) は､r＝(x,y) として　d0(p,r) を定義から式に表し
d0(p,r)＞ 1 となるための x,y の条件を求めます。
出来るところまでやって載せてください。

(3) ε-N論法 の例題を習っておられると思うので、載せてみてください。

[pk] は、(4,5) に収束すると見当がつきます。
d1(pk,(4,5)) を出来るところまで計算で簡単にしてください。
No.74158 - 2021/05/02(Sun) 10:48:55
☆ Re: 幾何学 / IT
オンライン授業たいへんですね。

適当な紙のテキストや問題集を手元において取り組まれることをお勧めします。
（データで配信されているなら印刷する。先生推奨の市販本があればそれを購入、なければ、講義の進め方や出題の傾向を見てネットや書店で探す。）
また画面や頭の中だけで考えるのは効率が悪いのでできるだけ手書きして考えることをお勧めします。
No.74161 - 2021/05/02(Sun) 11:31:36
☆ Re: 幾何学 / やまんば
(2)は(2,5)を中心とした、半径1となる円ですか？
d0(p,r)はどういう意味なのか教えてもらえますか？無知ですみません。

(3)はまだ問題などは解いておらず
定義は教えて頂きました
limn→∞an=αlim n→∞ an = α
であることを次のように定義する。

∀ϵ>0,∃N∈ℕ,s.t. n≥N⇒|an−α|<ϵ
この式について見方を変えてみる。上記の論理式を満たすように、「ϵに対してNを対応付けることができる」と考えよう。すると、条件を満たすようなものをN(ϵ)というように関数のような形で書くことができるので、n≥N(ϵ)⇒|an−α|<ϵ
というように捉えることができる。
No.74164 - 2021/05/02(Sun) 11:46:27
☆ Re: 幾何学 / IT
> (2)は(2,5)を中心とした、半径1となる円ですか？
> d0(p,r)はどういう意味なのか教えてもらえますか？無知ですみません。
R^2∋p=(x,y),q= (x‘ ,y‘ )について
d0(p,q)=max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝

で　q をr に置き換えただけです。ｒ＝(x',y') とすると。
（r=(x,y) でもいいですが定義に合わせるためｒ＝(x',y')とおきます）

したがってd0(p,r)=max｛｜2-x‘｜,｜5-y‘｜｝
求める条件は、max｛｜2-x‘｜,｜5-y‘｜｝＞１です。　
　　（不等号の向きを間違えていましたので修正しました。）
No.74165 - 2021/05/02(Sun) 11:56:02
☆ Re: 幾何学 / IT
(3)
定義だけ示して、例題なしで　いきなり出題ですか？
少し不親切ですね。　

さて、「アルキメデスの定理（原理）」は習いましたか？
No.74166 - 2021/05/02(Sun) 12:00:38
☆ Re: 幾何学 / やまんば
ありがとうございます！
では、A= {r ∋ R^2｜d0(p,r)＞ 1 }というのは
(2,5)から1だけ大きい範囲を取れば良いという事になりますか？
間違ってたらすみません、

アルキメデスの定理はテキストを読みなさいとしじがありました
任意の正数a、b∈Rに対して、適当なn∈Rをとると、a < nb　
とすることができる、というものですよね
No.74168 - 2021/05/02(Sun) 12:19:10
☆ Re: 幾何学 / IT
> では、A= {r ∋ R^2｜d0(p,r)＞ 1 }というのは
> (2,5)から1だけ大きい範囲を取れば良いという事になりますか？

違います。
d0(p,r)の定義の式にp=(2,5)、ｒ＝(x,y) をあてはめて、式を書いて計算していってください。 途中も書いてください。
No.74170 - 2021/05/02(Sun) 12:51:36
☆ Re: 幾何学 / やまんば

2-x+5-y＞１

y=-x+6の上側の範囲という事になりますか？
No.74186 - 2021/05/02(Sun) 17:02:27
☆ Re: 幾何学 / IT
ちがいます。
d0(p,r)の定義式から途中計算も書いてみてください。
No.74187 - 2021/05/02(Sun) 17:10:33
☆ Re: 幾何学 / IT
（3）　記法は、授業の記法に直してください。
（略解）
[p[k]] は、q=(4,5) に収束する。

（証明）
d1(p[k],(4,5))=|-(-1)^k・(1/k)|+|(-1)^k・(1/k^2)|
=(1/k)+(1/k^2)≦2/k

任意の正数εに対して、2/ε＜N となる自然数Nがとれる。（∵アルキメデスの定理）
このとき　ε＞2/N
したがって
　k≧Nのとき　d1(p[k],(4,5))=(1/k)+(1/k^2)≦2/k≦2/N＜ε
No.74190 - 2021/05/02(Sun) 17:34:43
☆ Re: 幾何学 / やまんば
> ちがいます。
> d0(p,r)の定義式から途中計算も書いてみてください。

d0(p,r)= max｛｜x-x‘｜+｜y-y‘｜｝>1は

d0(p,r)= max｛｜2-x‘｜+｜5-y‘｜｝>1

これの大きい方が、1以上であれば良いという事でしょうか？
とすれば、x‘<1、y>4 というような範囲でしょうか？
まとを得ていなければすみません。
(3)ありがとうございます！自分でもやってみます
No.74200 - 2021/05/02(Sun) 19:59:01
☆ Re: 幾何学 / IT
> d0(p,r)= max｛｜x-x‘｜+｜y-y‘｜｝>1は
>
> d0(p,r)= max｛｜2-x‘｜+｜5-y‘｜｝>1
>
> これの大きい方が、1以上であれば良いという事でしょうか？
> とすれば、x‘<1、y>4 というような範囲でしょうか？

maxの中の記号は + ではないですね。
d0(p,r)= max｛｜x-x‘｜,｜y-y‘｜｝>1
d0(p,r)= max｛｜2-x‘｜,｜5-y‘｜｝>1

ですから
｜2-x‘｜>1 　または､｜5-y‘｜>1 　ですね｡
(ｘ'<1 または ｘ'>3 ) または(y'<4または y'>6 ) になります。
No.74203 - 2021/05/02(Sun) 20:11:46
★ 急ぎなのでもう一度質問させていただきます / 高専
複素関数の問題で w＝(az +b)/(cz +d)より、0＝b/d、1-i＝(a +b)/(c +d)、1＝(ia+b)/(ic +d)をきれいにすると最終的にどうなりますか？ 過程も教えてください
No.74138 - 2021/05/01(Sat) 20:16:46
☆ Re: 急ぎなのでもう一度質問させていただきます / IT
元の質疑応答に続けられるのが良いと思います。
Xさんがほとんど回答しておられると思います。
http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=74119
No.74141 - 2021/05/01(Sat) 21:03:44
☆ Re: 急ぎなのでもう一度質問させていただきます / 高専
気長に待ちたいと思います
No.74143 - 2021/05/01(Sat) 21:44:31
★ 複素関数 / 高専
複素関数の問題でe^iを求めよという問題なのですが、答えは何になりますか？
No.74128 - 2021/05/01(Sat) 17:58:47
☆ Re: 複素関数 / ヨッシー
ｅ^(iθ)＝cosθ＋ｉsinθ
のθが１になったものですね。
No.74129 - 2021/05/01(Sat) 18:00:37
☆ Re: 複素関数 / 高専
あまり綺麗な形にはなりませんよね
No.74130 - 2021/05/01(Sat) 18:05:39
☆ Re: 複素関数 / ヨッシー
たとえば、(1/2)＋(√3/2)ｉ のような形を期待されているなら、
そうはなりません。
No.74135 - 2021/05/01(Sat) 18:54:38
★ 複素関数 / 高専
これがラストです。
z= 0,1,i をそれぞれw = 0, 1-i, 1 に変換する 1次分数変換を求めよ。 また、 z=-iに対応する を求めよ。
この問題の解答と解き方を教えてください
No.74119 - 2021/05/01(Sat) 16:48:44
☆ Re: 複素関数 / X
前半の方針だけ。
w=(az+b)/(z+c)
と置き、条件からa,b,cについての連立方程式を
立てます。
No.74125 - 2021/05/01(Sat) 17:29:17
☆ Re: 複素関数 / 高専
それぞれの式を立てることは出来たのですが、整理の仕方がわかりません
No.74126 - 2021/05/01(Sat) 17:41:44
☆ Re: 複素関数 / X
前半)
条件から
b/c=0 (A)
(a+b)/(1+c)=1-i (B)
(ai+b)/(i+c)=1 (C)
(A)(B)(C)をa,b,cについての
連立方程式として解きます。
(A)より
b=0
これを(B)(C)に代入すると
a/(1+c)=1-i (B)'
ai/(i+c)=1 (C)'
(B)'(C)'をa,cについての連立方程式
として解きます。
解法はいろいろありますが、
aを消去するのが早い
と思います。
(B)'(C)'を
a=(1-i)(1+c) (B)"
ai=i+c (C)"
と変形してからでもいいですし
(B)'÷(C)'を計算してもよいでしょう。
No.74134 - 2021/05/01(Sat) 18:42:54
☆ Re: 複素関数 / 高専
私が知っている公式はw＝(αz +β)/(γz +δ)
なのですが、Xさんの言われている式との違いはどこでしょうか
No.74137 - 2021/05/01(Sat) 19:48:50
☆ Re: 複素関数 / X
私は問題の前提が「分数」関数を求めることと考え
(わざわざ分数関数でない、一次関数が出てくる
ようなことでは演習になりませんので)
γ≠0
としても問題ないと考え、
w＝(αz +β)/(γz +δ) (A)
を
w=((α/γ)z +β/γ)/(z +δ/γ)
と変形して
α/γ=a
β/γ=b
δ/γ=c
と置きました。

但し、勿論(A)を使うのが正式です。
(A)のまま、解くのであれば
(z,w)=(0,0),(1,1-i),(i,1)
を代入した上で、γを定数と見て
α,β,δについての連立方程式
として解いた後でγで約分する
方針となります。
No.74148 - 2021/05/02(Sun) 08:50:40
☆ Re: 複素関数 / 高専
わかりやすい解説ありがとうございます
その後を解いてみた結果、δが0になり答えが出ない形になってしまいました…
No.74154 - 2021/05/02(Sun) 09:59:14
☆ Re: 複素関数 / X
計算を間違えていませんか？
こちらの計算では
δ=(-1+i)γ
となりました。

(z,w)=(0,0)
よりβ=0
∴w=αz/(γz +δ)
とすると
(z,w)=(1,1-i),(i,1)
により
1-i=α/(γ +δ) (A)
1=αi/(γi +δ) (B)
(A)÷(B)より
1-i=(γ-δi)/(γ +δ)
これより
(1-i)(γ +δ)=γ-δi
∴δ=(-1+i)γ
これを(A)に代入して
α=(1+i)γ
よって
w=(1+i)z/(z-1+i)
となります。
No.74160 - 2021/05/02(Sun) 11:30:31
★ 複素関数 / 高専
何度もすみません。
複素関数w=1/zにより、z 平面上の領域 | z-i | ≦1はw平面上のどのような領域に変換されるかz平面、w平面で図示せよ。
この問題の解答とその解き方を教えてください
No.74118 - 2021/05/01(Sat) 16:45:40
☆ Re: 複素関数 / 高専
解決しました。
No.74123 - 2021/05/01(Sat) 17:14:38
★ 複素 / 高専
2の⑴⑵の解答とその解き方を教えてください
No.74113 - 2021/05/01(Sat) 15:41:15
☆ Re: 複素 / X
(1)
条件から
u+vi=x+yi+(-2+i)
右辺を整理して
u+vi=x-2+(y+1)i
∴複素数の相等の定義により
u=x-2
v=y+2

(2)
(1)の結果からwに対応する点は
zに対応する点を
実軸方向に-2
虚軸方向に1
だけ平行移動させたもの
となります。

よって求める領域は
△z[1]z[2]z[3]の辺及び内部
を
実軸方向に-2
虚軸方向に1
だけ平行移動させたもの
となります。
もっと具体的に言うと
-2+i,-1+i,-2+2i
に対応する3つの点を結んでできる
三角形の辺及び内部
となります。
(図示の方はご自分でどうぞ)
No.74116 - 2021/05/01(Sat) 16:18:00
☆ Re: 複素 / 高専
-2+i,-1+i,-2+2iっていうのはそれぞれw＝のことですか？
No.74121 - 2021/05/01(Sat) 17:04:15
☆ Re: 複素 / 高専
もしそうなるならx方向はu、y方向はvになるということですか？
No.74122 - 2021/05/01(Sat) 17:06:18
☆ Re: 複素 / X
＞-2+i,-1+i,-2+2iって〜
その通りです。
wへの変換により、z[1],z[2],z[3]が
この順でこれらの点に平行移動する
ということです。
No.74124 - 2021/05/01(Sat) 17:28:04
★ 行列 / 大学1年
この問題のXを求めたいのですが、行基本変形を使っての求めないといけません。行基本変形を使ってBの行列にすることが出来たのですが、ここからどうすればいいのか分かりません。教えてくださるとたすかります。
No.74109 - 2021/05/01(Sat) 14:58:22
☆ Re: 行列 / 大学1年
こちらがはじめです。
No.74110 - 2021/05/01(Sat) 14:59:10
☆ Re: 行列 / IT
３×３の単位行列をAの横に並べておいて、同じ行基本変形を施して行けばよいのでは？
No.74114 - 2021/05/01(Sat) 15:42:44
☆ Re: 行列 / 大学1年
> ３×３の単位行列をAの横に並べておいて、同じ行基本変形を施して行けばよいのでは？

なるほど！ありがとうございます！！
No.74115 - 2021/05/01(Sat) 15:51:34
☆ Re: 行列 / IT

１つめの変形は　記入ミスのような気がします。
（その後は合っているので）
No.74117 - 2021/05/01(Sat) 16:37:19
☆ Re: 行列 / 大学1年
>
> １つめの変形は　記入ミスのような気がします。
> （その後は合っているので）


わ、ほんとですね!!
ありがとうございます!
No.74127 - 2021/05/01(Sat) 17:55:11
☆ Re: 行列 / IT
ja.wolframalpha.com で検算すると良いでしょう。（絶対正解とは言えませんが）

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28%282%2C-1%2C-4%29%2C%28-0.5%2C0.5%2C1.5%29%2C%281.5%2C-0.5%2C-3.5%29%29%28%282%2C3%2C-1%2C-3%29%2C%28-1%2C2%2C2%2C1%29%2C%281%2C1%2C-1%2C-2%29%29
No.74131 - 2021/05/01(Sat) 18:05:54
☆ Re: 行列 / 大学1年
> ja.wolframalpha.com で検算すると良いでしょう。（絶対正解とは言えませんが）
>
> https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28%282%2C-1%2C-4%29%2C%28-0.5%2C0.5%2C1.5%29%2C%281.5%2C-0.5%2C-3.5%29%29%28%282%2C3%2C-1%2C-3%29%2C%28-1%2C2%2C2%2C1%29%2C%281%2C1%2C-1%2C-2%29%29




ありがとうございます!!
No.74150 - 2021/05/02(Sun) 09:07:46
★ 複素関数 / 高専
複素関数の問題で
z＝x +yi、w＝u(x ,y) +v(x,y)iとおくとき、u(x,y)、v(x,y)をx、yで表せ
と言う問題があるのですが答えとその方法を教えてください
No.74107 - 2021/05/01(Sat) 14:25:24
☆ Re: 複素関数 / IT
ｗとｚの関係が分からないと答えようがないと思います。
No.74108 - 2021/05/01(Sat) 14:48:48
☆ Re: 複素関数 / 高専
w＝z(zバー +i)が抜けていました
すみません
No.74112 - 2021/05/01(Sat) 15:28:43
★ (No Subject) / 数学苦手
こちらの問題ですが組み合わせと問われてますが順番が決まっているのでPとして、考えて式を建てようとしましたがその解法ではダメみたいでした。場合分けをするだけみたいです。
No.74093 - 2021/05/01(Sat) 00:00:07
☆ Re: / 数学苦手
この解説の赤線部分が分かりません。仮定をしないと答えは求められないのでしょうか？
No.74095 - 2021/05/01(Sat) 00:01:27
☆ Re: / 数学苦手
すみません。問題載せれてませんでした。
No.74096 - 2021/05/01(Sat) 00:02:01
☆ Re: / 数学苦手
一般性という言葉が数学、算数の問題でどう使われるのかも分からないので、教えて頂けると幸いです。
No.74097 - 2021/05/01(Sat) 00:37:52
☆ Re: / ヨッシー
別に仮定しなくても解けます。
１枚目が１→(4,10),(5,9),(6,8),(8,6),(9,5),(10,4)
１枚目が２→(3,10),(4,9),(5,8),(6,7),(7,6),(8,5),(9,4),(10,3)
１枚目が３→(2,10),(4,8),(5,7),(7,5),(8,4),(10,2)
１枚目が４→(1,10),(2,9),(3,8),(5,6),(6,5),(8,3),(9,2),(10,1)
１枚目が５→(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)
１枚目が６→(1,8),(2,7),(4,5),(5,4),(7,2),(8,1)
１枚目が７→(2,6),(3,5),(5,3),(6,2)
１枚目が８→(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
１枚目が９→(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)
１枚目が10→(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
以上、60通り。
このうち、同じ組合せの順序を変えているだけのものが６通りずつある。
よって、求める組合せは　６０÷６＝１０（通り）

さて、どちらがお好みですか？

ここまでの解法を見せられて、さらに公式でもあるのかと考えるのは愚の骨頂です。

ところで、「順番が決まっているので」という発想は、どこから出てくるのでしょう？
No.74098 - 2021/05/01(Sat) 00:37:59
☆ Re: / 数学苦手
P、Permitationは並べる時に使って、並べずに取り出すときはCombinationのCだと聞いた覚えがあります。
同じ組み合わせの順序を変えてるもの、1枚目が10なら2組、9なら2組、8なら3組、7なら2組といった数え方ではないのでしょうか？
No.74102 - 2021/05/01(Sat) 10:59:05
☆ Re: / らすかる
「1枚目が10の場合」のように考えた場合、
残る9枚中2枚で足して5になる組み合わせの数
のようになりますが、このような組み合わせの場合は
「無条件にどれかを選ぶ」わけではありませんので、
PやCは使えません。

もしPやCを使うとしたら、全く違う考え方ですが
以下のようにはできます。
（意味がわからない部分があれば無視して下さい）
1〜10の中から3枚選んで足して15になるということは
15個の○の間14箇所中2箇所に仕切りを入れて
3つに分け、(1つ目の個数)＜(2つ目の個数)＜(3つ目の個数)
となるようにすればよい。
15個の○を単純に3つに分ける場合の数は14C2=91通り
このうち11個以上を含む場合は
例えば1つ目が11以上となる場合は1つ目から10個減らせば
5個を3個に分ける場合の数と等しいので、4C2=6通り
2つ目が11以上、3つ目が11以上も同数なので、
15個の○を3つに分けてどれも10個以下となる場合の数は
91-6×3=73通り
（ただしこれは大小関係がバラバラ）
この73通りのうち
3つの個数が全て等しいのが(5,5,5)の場合で1通り
3つの個数のうち2つが等しいのは、
例えば1つ目と2つ目が等しいとき
3つ目は最小1個最大9個で奇数(ただし5個だと3つ全てが
等しくなってしまうので除く)なので4通り
「1つ目と3つ目が等しい」「2つ目と3つ目が等しい」も同数なので、
どれも等しくないのは73-1-4×3=60通り
よって15個の○を3つに分けてどの個数も最大10個でしかも
全ての個数が異なるものが60通りなので、
(1つ目の個数)＜(2つ目の個数)＜(3つ目の個数)
となるのはその1/3!で60/3!=10通り

# 例えば「全体が100枚で70枚を選んで和が550」のような問題ならば
# 数えていられませんので上記のように計算するしかありません。
# しかし今回の問題ならば、上記のように面倒な計算するよりも
# 数え上げる方が簡単ですね。
No.74104 - 2021/05/01(Sat) 11:51:19
☆ Re: / 数学苦手
丁寧にありがとうございます。数え上げの方についてですが1枚目が10なら2組、9なら2組、8なら3組、7なら2組といった数え方ではないのでしょうか？
No.74132 - 2021/05/01(Sat) 18:09:06
☆ Re: / らすかる
そういう数え方をしてもいいですが、その場合は後半で重複しないように
必ず大きい順にするなどの注意が必要です。
大きい順と仮定しても「一般性を失いませんので」、大きい順に
1枚目が10なら(4,1)(3,2)の2組
1枚目が9なら(5,1)(4,2)の2組
1枚目が8なら(6,1)(5,2)(4,3)の3組
1枚目が7なら(6,2)(5,3)の2組
1枚目が6なら(5,4)の1組
計10組
この数え方は最初の写真の小さい順を大きい順に変えただけのものです。
No.74136 - 2021/05/01(Sat) 19:31:29
☆ Re: / 数学苦手
順序を変えたものだけが6通りが分からないです、、
No.74139 - 2021/05/01(Sat) 20:54:42
☆ Re: / 数学苦手
とりあえず書き出してみましたけど沢山あるような、、
No.74140 - 2021/05/01(Sat) 20:55:56
☆ Re: / 数学苦手
あと、その無条件にどれかを選ぶとき、そうでないときは例えばどのような問題の時なのか教えて欲しいです。
No.74142 - 2021/05/01(Sat) 21:15:57
☆ Re: / 数学苦手
大きい順には書き出してないのですがこれでも出来る筈ですよね。
本当にできなくて辛くなります。頑張ります。
No.74145 - 2021/05/02(Sun) 00:25:52
☆ Re: / ヨッシー
「順序を変えたものだけ」ではなく
「順序を変えているだけのもの」です。

たとえば、
１枚目が１→(4,10),(10,4)
１枚目が４→(1,10),(10,1)
１枚目が10→(1,4),(4,1)
この６つは同じものです。

「無条件にどれかを選ぶ」
　1から10のカードから、3枚を選ぶ選び方：10Ｃ3＝120(通り)
「そうでない場合」
　1から10のカードから、合計が15になるように3枚を選ぶ選び方：一発で出る公式はない
No.74146 - 2021/05/02(Sun) 06:15:15
☆ Re: / 数学苦手


1→(4、10,)(10、4)が同じ、(5、9)(9、5)が同じ、(6、8)(8、6)が同じ。よって、同じものが3組。

2→(3、10)(10、3)が同じ、(4、9)(9、4)が同じ、(5、8)(8、5)が同じ、(6、7)(7、6)が同じ。よって、同じものが４組

3→同じものが３組

4→同じものが４組

5→同じものが４組

6→同じものが3組

7→同じものが2組

8→同じものが3組

9→同じものが2組

10→同じものが2組



これから全体の60、それを30で割るのではないのですか？
No.74159 - 2021/05/02(Sun) 10:55:43
☆ Re: / ヨッシー
60÷30＝2
この計算に何の意味がありますか？

ひょっとして
>１枚目が１→(4,10),(10,4)
>１枚目が４→(1,10),(10,1)
>１枚目が10→(1,4),(4,1)
>この６つは同じものです。
の意味がわかっていないのではないですか？
No.74162 - 2021/05/02(Sun) 11:34:15
☆ Re: / 数学苦手
分からないです。教えてください
No.74163 - 2021/05/02(Sun) 11:45:23
☆ Re: / 数学苦手
あーわかりました。
No.74167 - 2021/05/02(Sun) 12:17:12
☆ Re: / 数学苦手
順番を入れ替えたら同じになりますね。1枚目の数も入れて、順番を変えたら。
No.74169 - 2021/05/02(Sun) 12:42:39
☆ Re: / 数学苦手
3枚で15になればいいのですものね。百の位がどうとか順番は問われてませんし、どうでもよくて。
No.74171 - 2021/05/02(Sun) 13:02:55
☆ Re: / 数学苦手
ただ、6って数字がどこからきたのか分かりません。
No.74191 - 2021/05/02(Sun) 18:05:42
☆ Re: / らすかる
6は3つのものの入れ替えが6通りだからです。
(a,b,c)(a,c,b)(b,a,c)(b,c,a)(c,a,b)(c,b,a)の6通り
No.74193 - 2021/05/02(Sun) 18:08:43
☆ Re: / 数学苦手
> 別に仮定しなくても解けます。
> １枚目が１→(4,10),(5,9),(6,8),(8,6),(9,5),(10,4)
> １枚目が２→(3,10),(4,9),(5,8),(6,7),(7,6),(8,5),(9,4),(10,3)
> １枚目が３→(2,10),(4,8),(5,7),(7,5),(8,4),(10,2)
> １枚目が４→(1,10),(2,9),(3,8),(5,6),(6,5),(8,3),(9,2),(10,1)
> １枚目が５→(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)
> １枚目が６→(1,8),(2,7),(4,5),(5,4),(7,2),(8,1)
> １枚目が７→(2,6),(3,5),(5,3),(6,2)
> １枚目が８→(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
> １枚目が９→(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)
> １枚目が10→(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
> 以上、60通り。
> このうち、同じ組合せの順序を変えているだけのものが６通りずつある。
> よって、求める組合せは　６０÷６＝１０（通り）
>
> さて、どちらがお好みですか？
>
> ここまでの解法を見せられて、さらに公式でもあるのかと考えるのは愚の骨頂です。
>
> ところで、「順番が決まっているので」という発想は、どこから出てくるのでしょう？

この上の書き出しから探してみます。
No.74207 - 2021/05/02(Sun) 20:53:58
☆ Re: / 数学苦手
色分けしたらこんな感じになりました。それぞれの色が6通りありました。でも、これだと非効率的なので、1枚目に引いた数大なり小なりとしたいですが、、その場合は1枚目より2枚目3枚目が大きいことにしないとだめですね。
No.74211 - 2021/05/02(Sun) 22:48:16
☆ Re: / 数学苦手
これだと非効率的なので、1枚目が〇の場合は小さい順or大きい順で書いていく必要がありますね。
覚えます。
No.74216 - 2021/05/03(Mon) 01:31:26
☆ Re: / らすかる
3つの組ならば6倍なので「非効率」ぐらいで済みますが、もし5つだとすると120倍になってとんでもないことになります。常に少なくて済む方法を考えていた方がいいと思います。
No.74234 - 2021/05/03(Mon) 13:56:35
☆ Re: / 数学苦手
一般性云々という言葉がよく分かりませんが重なり、重複が出てこないようにするって意味合いなんですかね。この場合…
No.74312 - 2021/05/05(Wed) 10:33:10
☆ Re: / ヨッシー
重なりと重複の違いは何ですか？

「一般」の対義語は「特殊」です。
特別な場合だけを考えているのではなく、起こりうることは全部網羅していますよ
という意味です。
No.74323 - 2021/05/05(Wed) 13:40:48
★ 平均値の定理？ / とろけたのうみそ
高校3年生、数学?Vです。

恐らく式の形から平均値の定理を使いそうな問題だと予想していますが解けません。

|e^(-b^2)-e^(-a^2)|≦|b-a|

が成立することを示すという問題です。
No.74080 - 2021/04/30(Fri) 22:14:19
☆ Re: 平均値の定理？ / とろけたのうみそ
追記
aもbも実数でお願いします
No.74081 - 2021/04/30(Fri) 22:15:54
☆ Re: 平均値の定理？ / IT
f(x)=e^(-x^2) とおきます。
f'(x) の値の範囲（最小値、最大値）を調べておいて、
平均値の定理を使えばよいのでは？
No.74083 - 2021/04/30(Fri) 22:29:50
☆ Re: 平均値の定理？ / とろけたのうみそ
ITさんありがとうございます。
それだとf'(x)＝-2xe^(-x^2)なので
平均値の定理よりa＜c＜bで
|e^(-b^2)-e^(-a^2)|/|b-a|＝|-2ce^(-c^2)|
となります。
そうすると右辺が1より小さいことを示せば解けるのはわかります。

|e^(-c^2)|は1より小さいですが|-2c|は1を超えてしまうこともあると思うのでこの先へ進めません。
No.74084 - 2021/04/30(Fri) 22:43:25
☆ Re: 平均値の定理？ / IT
-2ce^(-c^2)　をcで微分して、最小値・最大値を調べてみてください。
No.74086 - 2021/04/30(Fri) 22:54:31
☆ Re: 平均値の定理？ / コブダイ・ケヴィ美
e^x≧1+xですからe^(c^2)≧1+c^2です
No.74087 - 2021/04/30(Fri) 23:06:46
☆ Re: 平均値の定理？ / とろけたのうみそ
ITさん
理解できました！最大値と最小値が1以下なので絶対値で挟んで≦1とすれば分母の|b−a|を掛けて解決できました！ありがとうございました！

コブダイ・ケヴィ美さん
その不等式を用いて示せますか？自分は思いつかないのですが…
No.74089 - 2021/04/30(Fri) 23:25:27
☆ Re: 平均値の定理？ / IT
e^(c^2)≧1+c^2≧|2c| ということでは？
No.74090 - 2021/04/30(Fri) 23:29:39
☆ Re: 平均値の定理？ / とろけたのうみそ
ITさん

|2c|がe^(c^2)より小さいのはわかるのですが、この先はどう示すべきなのですか？
自分あまり数学が得意ではないのでなかなか理解できません。

あと不安なので一応聞いておきたいのですが、先程の不等式の証明でaもbも実数ということなので場合分けはa＝bとb＞aだけで大丈夫ですよね？
No.74092 - 2021/04/30(Fri) 23:39:15
☆ Re: 平均値の定理？ / IT
> |2c|がe^(c^2)より小さいのはわかるのですが、この先はどう示すべきなのですか？
0≦|2c|/(e^(c^2))＝｜2ce^(-c^2)｜≦1　が言えます。

場合分けは、それでいいと思いますが、（b＜aのときも同様であることを）どう表現するかはこれまで習われた書き方に沿ってください。
No.74094 - 2021/05/01(Sat) 00:00:24
☆ Re: 平均値の定理？ / とろけたのうみそ
ITさん

なるほど！理解できました！凄く分かりやすかったです！
場合分けに関しては対称性よりb＞aを示せば十分というような書き方をすると思います！
No.74101 - 2021/05/01(Sat) 10:19:38
☆ Re: 平均値の定理？ / IT
> 場合分けに関しては対称性よりb＞aを示せば十分というような書き方をすると思います！


そうですね。あえていえば「対称性よりb＞aのときを示せば十分」　でしょうか。
No.74105 - 2021/05/01(Sat) 12:07:22
★ 複素数 / さち
先程投稿した問題の続きです。途中でつまづいてしまったので質問させていただきます。
(z+4)/(iz+4)が実数となる様な複素数zの描く複素数平面上の図形をCとする。また、C(複素数全体の集合)上の3点2,-4i,4-4iを6+14i,10+2i,14-2iに写す1次分数変換をw=f(z)とする。

・複素数zがC上を動くとき、w=f(z)の描く図形Dを複素数平面上に図示せよ。

・C(複素数全体の集合)における偏角を0≦argw≦2πで考える。D上の点で偏角が最も大きい点を求めよ。

今現在求めることができているのは、Cは複素数平面上に図示すると、中心(-2+2i)、半径2√2の円です。
また、w=f(z)={2(3-i)z-24(1+i)}/(z-4)であり、
1問目をz={-24(1+i)+4w}/(w-6+2i)をCの円を表す式|z+2-2i|=2√2に代入して考えてみたのですが、出てきたw-wi+6-11i=0の概形が分かりません。
よろしくお願いいたします。
No.74041 - 2021/04/30(Fri) 01:33:08
☆ Re: 複素数 / X
z={-24(1+i)+4w}/(w-6+2i)
を
|z+2-2i|=2√2
に代入してから
w-wi+6-11i=0
となる過程をアップして下さい。
計算過程で|w|^2が消えてしまって
いるようですが、計算間違いは
ありませんか？
No.74043 - 2021/04/30(Fri) 06:38:30
☆ Re: 複素数 / さち
すみません、計算間違いでした。
代入後から記入します。
|{-24(1+i)+4w}/(w-6+2i)+2-2i|=2√2
|6w-2wi-36-8i|=2√2|w-6+2i|
両辺を2乗して整理すると
7w^2-6w^2i-93w+16wi+180i+244=0
ここからの因数分解を教えていただきたいです。
No.74046 - 2021/04/30(Fri) 07:35:12
☆ Re: 複素数 / さち
何度も申し訳ございません、また計算が間違っていました。
w^2-{20(1+i)}w/3+{11(1+i)}/18=0、これを(w-α)(w-α)'＝ββ' ('はバー)の形に直す、という作業が分かりません。
No.74049 - 2021/04/30(Fri) 09:43:48
☆ Re: 複素数 / さち
計算できました。
ありがとうございました。
No.74063 - 2021/04/30(Fri) 11:05:02
☆ Re: 複素数 / X
もう見ていないかもしれませんが、アップされた文章を
見る限り、計算をまだ間違えていると見受けられるので
老婆心ですが、計算過程をアップしておきます。
(以下、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。)

|{-24(1+i)+4w}/(w-6+2i)+2-2i|=2√2
から
|-24(1+i)+4w+(2-2i)(w-6+2i)|=2√2|w-6+2i|
|(6-2i)w-24(1+i)+(2-2i)(-6+2i)|=2√2|w-6+2i|
|(6-2i)w-24(1+i)+(-8+16i)|=2√2|w-6+2i|
|(6-2i)w-32-8i|=2√2|w-6+2i|
両辺2乗して
{(6-2i)w-32-8i}{(6+2i)\w-32+8i}=8(w-6+2i)(\w-6-2i)
{(3-i)w-16-4i}{(3+i)\w-16+4i}=2(w-6+2i)(\w-6-2i)
10w\w-(16-4i)(3-i)w-(16+4i)(3+i)\w+272=2w\w-(12+4i)w-(12-4i)\w+80
8w\w-(44-28i)w-(44+28i)\w+192=-(12+4i)w-(12-4i)\w
2w\w-(11-7i)w-(11+7i)\w+48=-(3+i)w-(3-i)\w
2w\w-(8-8i)w-(8+8i)\w+48=0
w\w-(4-4i)w-(4+4i)\w+24=0
{w-(4+4i)}{\w-(4-4i)}=8
∴|w-(4+4i)|=2√2
No.74065 - 2021/04/30(Fri) 11:36:14
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